高中数学人教A版必修5 ：等比数列(2课时)精品课件
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联系1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时,
a 数列｛an×bn｝(其中p 、 q是常数n)也是等比数列.
2 设 c , 求证数列 c 数列｛pan÷qbn｝(其中p n、 q是常n数)也是等比数列吗?
n
2 例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
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二、等比数列 a n 的通项公式为
an a1 •qn1，它的图象又是怎样
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
补充例题．三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数 减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来的三个数：是 a,aq,aq2
则必有 2aqa(a2q3)2
(aq4)2a(a2q3)2
① ②
由①得： q 4a 2
a
代入②得： a2 ,q 5
或
a5 9
a 2 a 2 (a 2 a) b a 2a 探例究3 一1:个当等｛比an数｝列、的｛第bn3｝项n 是与 项2 第数4项相分同别的n 是 两1 1个2与等1比8，数求列n 它时 1 的, 第1项与n 第2项.
2.4.2等比数列的性质课件(人教A版必修5)
q2 9 得 ＝ ， 1＋q2＋q4 91 得 9q4－82q2＋9＝0， 1 即得 q ＝9 或 q ＝ ， 9
2 2
1 ∴q＝± 3 或 q＝± ， 3
栏目 导引
第二章
数
列
若 q＝3，则 a1＝1； 若 q＝－3，则 a1＝－1； 1 若 q＝ ，则 a1＝9； 3 1 若 q＝－ ，则 a1＝－9. 3 故这三个数为：1,3,9 或－1,3，－9 或 9,3,1 或 －9,3，－1.
栏目 导引
第二章
数
列
题型三
等比数列的实际应用
例3 (本题满分10分)从盛满a(a＞1)升纯酒 精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒
出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继 续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多 少？若a＝2，则至少应倒几次后才能使酒精 的浓度低于10%?
栏目 导引
第二章
数
列
【思路点拨】 本题可设第 n 次操作后的浓度 为 an，第 n＋1 次操作后的浓度为 an＋1，根据 1 题意可得到 an＋1＝an(1－ )． a
且它们的乘积为216，后三个数成等差数列, 且它们之和为12，求这四个数． a 【解】 法一：设前三个数为 ，a，aq， q a 则 · a· aq＝216， q 6 3 ∴a ＝216.∴a＝6.因此前三个数为 ，6,6q. q
栏目 导引
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
如果一个数列
a1, a2 ,
a3 ,
a , …，
…，
n
是等比数列，它的公比是q，那么
a2 a3
a1q a2q
a1q 2wenku.baidu.com
a4 a3q a1q3
a5
…
a4q
a1q 4
由此可知，等比数列 an 的通项公式为
an a1qn（1 a1, q 0）
教学目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}，
{a2n}{an·bn}，abnn也为 等比数列
．
合作探究
问题1
我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n －1)d＝am＋(n－m)d. 等比数列也有类似变形吗？
在等比数列中，由通项公式 an＝a1qn－1，得aamn＝aa11qqmn－－11＝qn－m， 所以 an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
命题角度2 未知量的设法技巧 例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求 这四个数．
a＋d2 方法一 设这四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
2.4.2 等比数列(第2课时)等比数列的性质(课件)(人教A版必修5)
[规律方法] 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量 a1 和 q 的方程组，先解出 a1 和 q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用 等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标” 的指导作用.
[跟踪训练] 2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求 a7. (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q.
所以这四个数为 1，－2,4,10 或－45，－2，－5，－8.
等比数列的性质及应用
例 2、已知{an}为等比数列， (1)等比数列{an}满足 a2a4＝12，求 a1a23a5； (2)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 思路探究：利用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq 求解．
4．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}， {a2n}{an·bn}，abnn也为 等比数列.
思考：等比数列{an}的前 4 项为 1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； (3)a1n是等比数列； (4){a2n}是等比数列．
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
∴3＋3 m2＝1＋1 m×151＋5 m，
解之得：m＝9或m＝0(舍去).故m＝9.
2.4 等比数列(二)
27
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4， bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意
2.4 等比数列(二)
32
当堂检测
当堂训练，体验成功
1234
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( A )
A.2
B.3
C.4
D. 8
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2.4 等比数列(二)
33
1234
2.在等比数列{an }中，an＞0，且a1·a10＝27，log3a2
故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次
不少于4 750万平方米.
2.4 等比数列(二)
21
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大 于85%.
解 设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正
高中数学 第1部分 2.5第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5
①－②得(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n －1)an＝1＋2·a1－－aan－(2n－1)an
∵a≠1， ∴Sn＝1－12－n－a 1an＋21a－－aan2. 综上所述：当 a＝1 时，Sn＝n2； 当 a≠1 时， Sn＝1－12－n－a 1an＋21a－－aan2.
25第二课时数列求和回顾相关知识回顾相关知识突破常考题型突破常考题型跨越高分障碍跨越高分障碍题型一题型一题型二题型二应用落应用落实体验随堂即时演练随堂即时演练课时达标检测课时达标检测题型三题型三第二课时数列求和习题课1
回顾相关知识 2.5
第
第二 课时
突破常 考题型
题型一 题型二
二
题型三
章
数列
求和 (习题
①nn1＋k＝1k·(n1－n＋1 k)；
②若{an}为等差数列，公差为 d，
则an·a1n＋1＝1d(a1n－an1＋1)；
③
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n等．
3．错位相减法 若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数 列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前 n 项 的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比 q，然后错位一项与 {anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以 这种数列求和的方法称为错位相减法． 4．倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得 到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价 的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解： 设平均每次降价的百分率是x， 由已知条件，有
以上6个数列的公比分别为…
等比数列的通项公式
如果一个数列 是等比数列，它的公比是 q，那么
当q=1时，这是 一个常函数。
(1)
(2)
2，4，8，16，32，64.
an 2 2
n 1
2
n
1，3，9，27，81，243，… a n 1 3 n 1 3 n 1
an 1 x 1 1 n 1 an ( ) 2 2
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 证：由题设：b2=ac 得： 也成 GP。
也成GP
(5) (6) 5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列与等比数列
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
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①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
2.延伸拓展5中，证明一个数列是等比数列(或等差数列)， 用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系.
【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再 求，也是可行的，但运算量较大.
3.已知点An(n,an)为函数F1∶y=√x2+1上的点，Bn(n,bn)为函 数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+). (1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较cn与cn+1的大小.
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
a20 a10 2 3 7 ∴ ＝q ＝ ＝ 或 . a13 a3 3 2
答案：C
3．已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 b7 ＝a7，则 b5＋b9＝________.
2 解析：由等比数列的性质得 a3a11＝a7 ， 2 ∴a7 ＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为
d d d d an＋1－ ＝can－1－c，当 a1－ ≠0 时，数列an－1－c为等比 1－c 1－c
数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)
【解析】 由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则 b3＝
－8，解得 b＝－2，q 与 a 可通过解方程组
2bq＝a＋b， ab2q＝－80 求出，
即
为
a＝10， b＝－2， q＝－2
或
a＝－8，
b＝－2，
q＝52，
所以此四个数为 1，－2,4,10 或－45，－2，－5，－8.
2．等比数列的单调性易误点 (1)易误认为数列{an}的公比 q>1 时，为递增数列，公比 q<1 时，为递减数列．
(2)当 q>1，a1>0 或 0<q<1，a1<0 时，等比数列{an}是递增数 列．
当 q>1，a1<0 或 0<q<1，a1>0 时，等比数列{an}是递减数列．
|巩固提升|
解得b1＝－16， d＝12. 从而 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
Байду номын сангаас
|素养提升|
1．等比数列的“子数列”的特性 若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列 {a2n}是公比为 q2 的等比数列． (3)若{kn}成等差数列且公差为 d，则{akn}是公比为 qd 的等比 数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项 依次成等比数列．
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
KETANG HEZUO TANJIU
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tánɡ)检测
3.等比数列{an}中,an 是正实数,a4·
a5=8.求 log2a1+log2a2+…+log2a8
的值.
解:∵a1a2a3…a8=(a1·
a8)·
(a2·
a7)·
…·
(a4·
a5)=(a4a5)4=84=212,
∴log2a1+log2a2+…+log2a8
= 8,
由已知得
解得
或
1
=
2
2 = -2 + (aq-2),
=
.
2
故这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.
第十四页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
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迁移与应用
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
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课堂合作探究
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当堂(dānɡ
人教A版高中数学必修五课件：2.4.3《等比数列复习课》.pptx
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③若且c ,则0 c 1
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
c2≠1
例1 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号 a1
q
n
an
Sn
(1)
1
2
1 2
1
255
8
256
256
解：
(2)
S(83)
=105×1.0410-=1m0(115×11..001441.04) 802-
m(1 1.4802) 1 1.04
根据题意a10=0解得m=≈12330(元10)5
1.4802 0.4802
0.04
所以,每年需还款12330元.
(2)设每年交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故 a1=104+105×0.05=15000(元) a2=104+(105-104)×0.05=14500(元) a3=104+(105-104×2)×0.05=14000(元) a4=104+(105-104×3)×0.05=13500(元) ……
1 [1 (1 )8 ] 22
1 1
1
(
1
2 )8
2
255
高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5
[解析]
(1)由已知 a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得
q＝6， 解得 d＝5， q＝1， 或 d＝0.
1＋d＝q， 2 1 ＋ 7 d ＝ q ，
(舍去)
(2)假设存在 a，b 使得 an＝logabn＋b 成立， 即有 1＋5(n－1)＝loga6n 1＋b.
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为 x，则第 16 32 x3 二个数为 ，则第一个数为 －x，最后一个数为 ，再利用 x x 16 x3 32 －x＝－128， 首尾两数之和为－128 可列出关于 x 的方程16· x 解之得 x＝± 8，则更简捷．
三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数， 又 可 成为 等 比数 列，这 三 个数 的 和为 6 ，则 这 三个 数 为 ________．
1 1 ∴{bn}是首项为 a－4，公比为2的等比数列．
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中， 已知 a1 ＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q； (2)是否存在常数 a， b 使得对一切正整数 n， 都有 an＝logabn ＋b 成立？若存在，求出 a 和 b；若不存在，说明理由．
[正解]
∵lga1，lga2，lga4 成等差数列，
∴2lga2＝lga1＋lga4＝lg(a1· a4)，∴a2 a4. 2＝a1· 设等差数列{an}的公差为 d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ∴d2＝a1· d，∴d(a1－d)＝0， ∴d＝0 或 d＝a1， ①当 d＝0 时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列 {bn}是首项为正数，公比为 1 的等比数列．
等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
反思感悟
反思感悟
形如an＋1＝pan ＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系
数法求得通项公式，步骤如下
第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t).
第二步：由待定系数法，解得t＝ q .
p－1
q
第三步：写出数列 an＋
的通项公式.
p－1
第四步：写出数列{an}的通项公式.
√
(3){c} ; q
(5){· + 1} ; q 2
(6){ + + 1} ; q
√
(2){2 } ; q 2
q
q
(9){ + }.
2.若2a，2b，2c成等比数列，则a, b, c成 等差 数列.
3.若lga, lgb, lgc成等差数列，则a, b, c成 等比 数列.
注意点： (1)证明{an}为等比数列常用定义法.
an an＋1
(2)用定义法证明时，
和 a 中的 n 的范围不同.
n
an－1
典例分析
1
例1已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (an－1)(n∈N*).
3
(1)求a1，a2；
1
1
由 S1＝3(a1－1)，得 a1＝3(a1－1)，
1
高中数学 2-5-2等差、等比数列的综合应用课件 新人教A版必修5
第二章
数列
第二章
2．5 等比数列前 n 项和
第二章
第 2 课时 等差、等比数列的综合应用
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误作答
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
熟练地应用等差数列、等比数列的性质、通项公式和前 n 项和的公式，解决一些实际问题，提高分析解决问题的能力．
课前自主预习
1．(2011·福州高二检测)等比数列 2,4,8,16，…的前 n 项和
[答案] x＋y>m＋n
[解析] ∵a、x、y、b 成等差，∴x＋y＝a＋b， ∵a、m、n、b 成等比，∴m·n＝a·b，设其公比为 q，则 m ＝aq，n＝bq， ∴(x＋y)－(m＋n)＝(a＋b)－(aq＋bq) ＝a(1－q)＋b(1－1q)＝(1－q)[a－bq] 由条件知，a，b，m，n 均为正数，
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数 都成等差数列，每一列的数都成等比数列，且所有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
数列
第二章
2．5 等比数列前 n 项和
第二章
第 2 课时 等差、等比数列的综合应用
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误作答
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
熟练地应用等差数列、等比数列的性质、通项公式和前 n 项和的公式，解决一些实际问题，提高分析解决问题的能力．
课前自主预习
1．(2011·福州高二检测)等比数列 2,4,8,16，…的前 n 项和
[答案] x＋y>m＋n
[解析] ∵a、x、y、b 成等差，∴x＋y＝a＋b， ∵a、m、n、b 成等比，∴m·n＝a·b，设其公比为 q，则 m ＝aq，n＝bq， ∴(x＋y)－(m＋n)＝(a＋b)－(aq＋bq) ＝a(1－q)＋b(1－1q)＝(1－q)[a－bq] 由条件知，a，b，m，n 均为正数，
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数 都成等差数列，每一列的数都成等比数列，且所有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
人教版高中数学必修五-等比数列课件 (2)
得通项公式. 【规范解答】∵S =a1+a2+…+a
∴a
SS1n,
n
1, Sn1,
n
2.
第二章 数 列
又由a -3，得a -1 -1-3(n≥2)，
于是a -a -1=5(S - -1)=5a .
∴a = a -1，
1 4
由a1 1-3，得a1 ∴
知a ≠0，
∴数列{a }是以a13， 为首项，
第二章 数 列
合作探究 课堂互动
第二章 数 列
等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列， (1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式； (2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值． [思路点拨] 运用等比数列下标与项的运算关系，也可以 利用通项公式计算．
第二章 数 列
第二章 数 列
5.若 是b-1，b+1的等比中项，则b=________.
2【2解析】因为 是b-1，b+1的等比中项，
所以2( 2 )2=(b-1)(b+1),即8=b2-1， 故b2=9，b=±3.
22
答案：±3
第二章 数 列
6.等比数列{an}中，已知a2=3,a5=24，求a8的值. 【解析】设公比为q,a2=3，a =24，∴ 3=8,a8=a2 6,
a7的等比中项，注意解的个数.
∴a
SS1n,
n
1, Sn1,
n
2.
第二章 数 列
又由a -3，得a -1 -1-3(n≥2)，
于是a -a -1=5(S - -1)=5a .
∴a = a -1，
1 4
由a1 1-3，得a1 ∴
知a ≠0，
∴数列{a }是以a13， 为首项，
第二章 数 列
合作探究 课堂互动
第二章 数 列
等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列， (1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式； (2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值． [思路点拨] 运用等比数列下标与项的运算关系，也可以 利用通项公式计算．
第二章 数 列
第二章 数 列
5.若 是b-1，b+1的等比中项，则b=________.
2【2解析】因为 是b-1，b+1的等比中项，
所以2( 2 )2=(b-1)(b+1),即8=b2-1， 故b2=9，b=±3.
22
答案：±3
第二章 数 列
6.等比数列{an}中，已知a2=3,a5=24，求a8的值. 【解析】设公比为q,a2=3，a =24，∴ 3=8,a8=a2 6,
a7的等比中项，注意解的个数.
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课堂小结
• 1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达
式： an q(q 0)，（n ≥ 2，n ∈N）； an1
• 2、要会推导等比数列的通项公式：
ana1qn 1(a1q0)，并掌握其基本应用；
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
4.通项公式
an a1qn1 an a1 (n 1)d
an amqnm an am (n m)d
5.性质 (若m+n=p+q)
am
an
ap
aq
am an ap aq
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
a18
a9 a10 a1
100 5
20
2 : 在 等 比 数 列 b n 中 ， b 4 3 ， 求 该 数 列 前 7 项 之 积 。
解 ： b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 1 b 7 b 2 b 6 b 3 b 5 b 4
b42b1b7b2b6b3b5
前 7 项 之 积 3 23 3 3 7 2 1 8 7
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？
如果是,a必须满足什么条件？
(1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
定义说明：
1o 等比数列的定义公式
{ a n }成等比数列
新疆 王新敞
a n1 an
奎屯
=q(≠0) （ nN）
2 隐含：任一项 an0且q0等比数列无零项
a2 a1
qa2
a1q
累乘法 a 2 q a1
全 归 纳
a3 a2
qa3a2qa1q2
法
a4 a3
qa4
a3qa1q3
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
……
×） a n q
a n1
共n – 1 项
归纳可得等比数列的通项公式：
an a1qn1
a n q n1 a1
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
等比数列的通项公式：
公式一：an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
公式二：an amqnm (n, m N *)
注意：
公式an
a1q n 1
a1 q
qn，令c
a1 ，则 q
an cq（n c、q是不为零的常数）
因此，等比数列的通项公式本质是关于n的
指数型的函数。
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
2、等比中项
如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 则G叫做a,b的等比中项。 即若a,G,b成等比数列，则有：
G b G2 ab G a（b ab 0）
a G 反过来推不成立
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
3、等比数列的通项公式：
不 完
新疆 王新敞
奎屯
3 q= 1时，{an}为常数列
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
想一想 判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是
多少，若不是，请说明理由
1)、 16，8，4，2， 1， … ； 公比是0.5
2)、 5，-25，125，- 625，…；公比是-5
3) 、1，0，1，0，1，…；
3 : 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 ,a 5 5 4 ， 求 a 8
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
1 : 在 等 比 数 列 a n 中 ， 已 知 a 1 5 ， a 9 a 1 0 1 0 0 ， 求 a 1 8
解 ： a1a18a9a10
2.4 等比数列 （第2课时）
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
复习回顾：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 .
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
1. a n 是等比数列
a n 1 q (nN*) (q为非零常数） an
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
3、在公比为q的等比数列an中从第ak项起，
每m(mN*)项取出此项，组成一个新的等比数列 即：ak，akm，ak2m，ak3m， 这个数列是以ak为首项，qm为公比的等比数列。
试一试
1 : 在 等 比 数 列 a n 中 ， 已 知 a 1 5 ， a 9 a 1 0 1 0 0 ， 求 a 1 8 2 : 在 等 比 数 列 b n 中 ， b 4 3 ， 求 该 数 列 前 7 项 之 积 。
不是
4)、 2，2，2，2，2，…； 公比是1
56))、10,，x0，,20,x，x03，,0x，4, …； x=0不时是不是；否则是.
公比为x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比； 防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负 数，可以是1，但不可以为0
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
2.4 等比数列 （第1课时）
引例分析：
(1)细胞分裂问题 ①1，2，4，8，16，…
(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
1
②1， 2
，1
4
，1
8
，1
16
，…
(3)计算机病毒感染问题
③1，20，2 0 2 ，2 0 3 ，2 0 4 ，…
(4④)银1行00复00利1 计.0算19问8题，100001.01982，100001.01983
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
4、例题讲解 例1、一个等比数列的第3项和第4项分别
是12和18，求它的第1项和第2项。
解：设首项为a1，公比为q，则有
a a
1 1
q q
2 3
12 18
解得
3 16 q 2,a1 3
所以a2 = 8。
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
3 : 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 ,a 5 5 4 ， 求 a 8
解 ： a 8a5q3a5a a5 254 54 2 1458
另 解 ： a 5 是 a 2 与 a 8 的 等 比 中 项
542 a8(2)
a8 1458
作业布置
1、完成《全优课堂》 2、预习等比数列前n项和
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）Fra Baidu bibliotek
注1：方程中有四个量，知三求一，这是公式 最简单的应用
注2：等比数列另一通项公式：
an amqnm (n, m N *)
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
100001.01984，100001.01985 ，……
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
1、等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
anbn
、
a b
n n
也是等比数列。
（课本P52）
特 别 地 ， 如 果 是 a n 等 比 数 列 ， c 是 不 等 于 0 的 常 数 ，
那 么 数 列 c a n 也 是 等 比 数 列 。
2 . 若 m ,n ,p ,q N ,且 m n p q ,则 amanapaq
特 别 地 ， 当 m n 时 ， 有 a n 2 a p a q
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
课堂练习： P52——P53 第1、4题
作业布置
1、P53—P54 A组第1、8题 2、完成《全优课堂》
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
例如：a1.an a2 .an1 a3.an2 ...
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
类比
1.定义
2.公比(差)
等比数列
an1 q an
q不可以是0,
等差数列
an1 an d
d可以是0
3.等比(差) 中项
2. 隐含：任一项 an 0且q0
练习：
3. q= 1时，a n 为常数列。 P52——P53
4. 等比数列的通项公式
第1、4题
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
等比数列的一些性质
1.如果 a n 、bn 是项数相同的等比数列,那么