2子集、真子集

集合间的基本运算一：教学目标了解集合间包含关系的意义.理解子集、真子集的概念和意义,注重学生数学语言、符号语言、图形语言的互译与转化能力的培养二：教学重难点教学重点：子集、真子集的概念 教学难点：写出子集、真子集的个数三：新课引入公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家，他曾提出“白马非马”的论断，他的理由主要有三条，其中第一条是他认为“马”是一种动物，而“白”是一种颜色，“白马”则是一种动物与一种颜色的混合体，因此他认为“白马非马”.能过这种解释，你还认为白马是马吗？你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间有什么关系呢？四：知识要点1．子集一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（subset ）,记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.其数学语言表示形式为：若对任意的x A ∈有x B ∈，则.A B ⊆例如{1,2,3}N ⊆，N R ⊆，{|x x 是山东人}{|x x ⊆是中国人}等.另外，在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.用Venn 图表示)(A B B A ⊇⊆或如下：根据子集的定义，我们可以知道A A ⊆，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.2．真子集如果集合B A ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集（propersubset ），即如果A B ⊆且A B ≠，那么集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）.例如{1,2,3}N 、{,}ab {,,}a bc 等等. 子集与真子集的区别在于“A B ⊆”允许A B =或A B ，而A B 是不允许“A B =”的，所以如果AB 成立，则一定有A B⊆成立；但如果有A B ⊆成立，A B 不一定成立.3.空集我们把不含有任何元素的集合叫做空集（empty set ），记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.其实空集还可以看作是含有0个元素的集合，从这种角度出发，往往能为我们研究集合的性质提供有条理性的帮助.对于空集∅，我们规定∅A ⊆，即空集是任何集合的子集. 4．集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作.A B =用Venn 图表示A B =如下：5.子集的有关性质子集与真子集的性质（1）任何集合是它本身的子集，即A A ⊆；（2）对于集合A 、B 、C ，如果,A B ⊆且,B C ⊆那么A C ⊆； （3）对于集合A 、B 、C ，如果AB ，且BC ，那么A C ；（4）空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 如{1,2}⊆ M{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是____________)五：典型例题 考点一:子集例1.正确表示常用数集：正整数集（N *或N ）；整数集（Z ）；有理数集（Q ）；实数集（R ）得关系。

分析：考察每个数集得具体元素 例2.设(,)|1y x A x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，2(,)|21y x B x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=-+⎩⎩⎭，判断集合A 是否是集合B的子集，B A ⊆成立吗？分析：由于正比例函数y x =与1y x =+的图象都是直线，并且这两条直线互相平行，所以(,)|1y x A x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭＝∅.又221y x y x =⎧⎨=-+⎩解得1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以集合211(,)|{(,)}2142y x B x y y x ⎧=⎫⎧==⎨⎨⎬=-+⎩⎩⎭从而知集合A 是集合B 的子集，但B A ⊆不成立. 变式练习练1.若P ={y|y=x 2,x ∈R}，Q ={y|y=x 2＋1,x ∈R}，试判断集合P 与集合Q 之间的包含关系解：P 、Q 中的代表元素都是y ，它们分别表示函数y=x 2,y= x 2＋1中y 的取值范 由P ={y|y ≥0},Q={y|y ≥1}，知Q ⊆P. 例3. 写出集合{,,,}a b c d 的所有子集.分析：集合{,,,}a b c d 的所有子集可以分为五类，即： （1）含有0个元素的子集，即空集∅； （2）含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d ；（3）含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d ； （4）含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d ； （5）含有四个元素的子集：{,,,}a b c d .探究：如果用()Card A 表示集合A 的元素个数，则集合A 共有()2Card A 个子集.即若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n个子集. 例4.下列表述正确的是（ ）A ．}0{=∅ B.}0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅分析： B 由于空集∅是不含有任何元素的集合，而集合{0}则是含有1个元素0的集合，从而选B.变式练习：练1：分别写出集合{},{,}a a b 和{,,}a b c 的所有子集，并得出子集的个数. 分析：集合{}a 的所有子集是∅，{}a ，共有2个子集；集合{,}a b 的所有子集是∅，{},{},{,}a b a b ，共有4个即22个子集；集合{,,}a b c 的所有子集可以分成四类即○1空集：∅；○2一元子集：{},{},{}a b c ；○3二元子集{,},{,},{,}a b a c b c ；○4三元子集{,,}a b c .共有8个即32个子集.考点二：真子集例5.下列命题中正确的是： （1） 空集没有子集（2） 任何集合至少有两个子集 （3） 空集是任何集合的真子集 （4） 如果A ⊂φ，则φ≠A 分析：（4）正确例 6.已知2{|340}A x x x =-+=，2{|(1)(34)0}B x R x x x =∈++-=，求满足条件AP B ⊆的集合.P分析：由P B ⊆知P 是B 的子集，又由AP 知P ≠∅，此时即求满足条件的集合B 的非空子集.由于2{|340}A x x x =-+=＝∅，2{|(1)(34)0}{1,1,4}B x R x x x =∈++-==--.由AP B ⊆知P B ≠且其元素全属于 B.因此满足条件的集合P 为{1}、{4}-、{1,1}-、{1,4}--、{1,4}-、{1,1,4}.--变式练习练1.求满足{2,3}A⊆{2,3,4,5,6,7}的集合A 的个数解：由{2,3}A ⊆知，集合A 中必有2、3两个元素，又由于A {2,3,4,5,6,7}，从而只需考虑{4,5,6,7}的真子集的个数即可.由于{4,5,6,7}共有42115-=个真子集，从而可知符号条件的集合A 的个数为15个.考点三：集合相等例7. 已知集合A={a ,a ＋b , a ＋2b }，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b =a c 且a ＋2b =a c 2，消去b 得：a ＋a c 2－2a c =0， a =0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c =1，但c =1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b =a c 2且a ＋2b =a c ，消去b 得：2a c 2－a c －a =0， ∵a ≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c ≠1，故c =－12．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例8.（1）设2{|213},{|10}A x m x xB x R x =-<<+=∈+=，问m 为何值时能使得?A B =（2）已知{|21,},{|41,}X x x n n Z Y y y k k Z ==+∈==±∈，求证：.X Y = 分析：（1）显然B =∅，欲使A B =，必须且只需A =∅即可.由于213m m -≥+可得4m ≥，此时{|213}A x m x x =-<<+＝∅. 综上可知，当4m ≥时，.A B = （2）设x X ∈，即(21),.x n n Z =+∈ 当2n k =时，有41,x k x Y =+∈； 当21n k =-时，有41,x k x Z =-∈ 从而X Y ⊆；另一方面，设y Y ∈，即(41),y k k Z =±∈，因为41k ±是奇数，所以y X ∈，即Y X ⊆.综上可知，.X Y = 变式练习练1：设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b |b =3k －1, k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是 解：这里说明a ∈B 或b ∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理,任设a ∈A，则a =3n ＋2=3(n ＋1)－1(n ∈Z)， ∴ n ∈Z,∴n ＋1∈Z.∴ a ∈B,故A B ⊆． ① 又任设 b ∈B，则 b =3k －1=3(k －1)＋2(k ∈Z), ∵ k ∈Z,∴k －1∈Z. ∴ b ∈A，故B A ⊆ ② 由①、②知A=B ．练2.设集合{1,,}A a b =，集合2{,,}B a a ab =，且A B =，求实数,a b 的值.解法一：因为A B =，所以2211a b a a ab a b a a ab ⎧⨯⨯=⨯⨯⎨++=++⎩，即3(1)(1)0(2)(1)(1)0ab a a a b ⎧-=⎨-++=⎩ 因为元素的互异性，则0, 1.a a ≠≠由（1）得0b =，代入（2）式得1a =-. 从而1a =-，0b =.解法二：由集合相等的定义得21a b ab ⎧=⎨=⎩ ① 或21abb a=⎧⎨=⎩ ② 解○1得1a b R =⎧⎨∈⎩或10a b =-⎧⎨=⎩；解○2得11a b =⎧⎨=⎩由集合元素的互异性得1a =-，0b =.考点四：子集问题的应用例9.已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．分析：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA ，只须213 3.215p p p -≤+⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩∴ p 的取值范围是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=∅时，符合题设． 应有：①当B≠∅时，即p ＋1≤2p－1p≥2．由BA 得：－2≤p＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.②当B=∅时，即p ＋1>2p －1p ＜2．由①、②得：p≤3．变式练习练1：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若BA ，求实数m 范围解：根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=∅，B={1}或{2}，B={1，2}．当B=∅时，△=m 2-8<0．∴ 22m 22<<-．当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．当B={1，2}时，12,12 2.m +=⎧⎨⨯=⎩∴ m=3． 综上所述，m=3或22m 22<<-．例10. 设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q ⊆PC ．P =QD ．Q P分析：解法一Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立，对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0. 综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0} 从而P Q ，选A.解法二显然m ＝0时，2440mx mx +-<恒成立，故0∈Q ，但0∉P ，故可排除B 、C ；另一方面，当2m =-时，2244244mx mx x x +-=---22(1)20x =-+-<恒成立，故2-∈Q ，又2-∉P ，从而排除D ，故只有A 正确.变式练习练1.已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____解：a ≤－2 提示：∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数轴上覆盖关系：因此有a ≤－2练2. 若P ={y |y=x 2, x ∈R}，Q ={(x ，y )|y=x 2, x ∈R}，则必有（ ）A ．PQ B ．P=Q C ．P Q D .以上都不对错解：由于集合P 与集合Q 中的元素都满足性质y=x 2,x∈R ，从而知P ＝Q .从而选B. 正解：错解的主要原因在于看到两集合中的y=x 2,x ∈R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，集合P 是变量y 的取值集合，而集合Q 是y=x 2, x ∈R 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．从而应选D.练3.已知集合M ={y |y =x 2＋1,x ∈R},N ={y| y =x ＋1,x∈R}，试判断集合M 与集合N 之间的包含关系解：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y )，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的变量的取值范围，且y=x 2＋10≥，y=x ＋1∈R，所以.M N ⊆六：课后练习 一、理解与应用1. 下列关系中正确的个数为（ ）①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(,)}a b ＝{(,)}b aA.1B.2C.3D.42. 下列图形中，表示N M ⊆的是（ ）3.（2007年全国I 卷）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 4．设集合},4121|{Z k k x x A ∈+==，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．A x ⊂}{二、拓展与创新 5. 用适当的符号填空：MNA ．MNB ． NMC ． MND ．（1）∅ }01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ； （3）{1} }{2x x x =；（4）0 }2{2x x x =．6. 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |a x －2=0}且B A ⊆，则实数a 组成的集合C 是________．三、综合与探究7. 已知M ={x| -2≤x ≤5}, N ={x| a +1≤x ≤2a -1}. （Ⅰ）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围. 8. 设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围 答案：1.B 提示：①②正确. ③中集合{0,1}是数0和1的集合，而集合{(0,1)}则是点(0,1)的集合；④当a b ≠时，(,)a b 与(,)b a 代表不同的点. 2．C3．C 提示：设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，∵ a ≠0，∴ 0,a b a b +==-， ∴1ba=-，∴ 1,1a b =-=，则b a -=2，选C. 4．D 提示：由于4124121+=+k k 中12+k 只能取到所有的奇数，而41829=中18为偶数.则A A ⊂∉}29{,29. 5．（1）⊆；（2）⊆；（3）⊆；（4）∈.6．C={0，1，2} 提示：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2，当x =2时，a =1． 这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=∅时，仍满足A∪B=A，当a =0时，B=∅，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．7．解：（Ⅰ）由于M ⊆N ，则21521211a a a a -≥+⎧⎪≤-⎨⎪-≥+⎩，解得a ∈∅.（Ⅱ）①当N=∅时，即a ＋1＞2a －1，有a ＜2；②当N ≠∅，则21521211a a a a -≤+⎧⎪≥-⎨⎪-≥+⎩，解得2≤a ≤3，综合①②得a 的取值范围为a ≤3.8．解：由|x －a |<2，得a －2<x <a +2，所以A ={x |a －2<x <a +2}. 由212+-x x <1，得23+-x x <0，即－2<x <3，所以B ={x |－2<x <3}. 因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，于是0≤a ≤1.。