2016年秋九年级数学上册21.3平均变化率与一元二次方程(第2课时)教案1(新版)新人教版

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人教版九年级数学上册第21.3：一元二次方程的应用教案

人教版九年级数学上册第21.3：一元二次方程的应用教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21.3节：一元二次方程的应用教案。本节课主要围绕以下内容展开：
1.利用一元二次方程解决实际问题的步骤和技巧。
2.分析实际问题，找出等量关系，列出相应的一元二次方程。
3.解决以下类型的实际问题：
a.行程问题：如速度、时间和路程的关系。
-重点强调从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，以及如何利用方程求解实际问题。
-着重讲解如何建立等量关系，尤其是涉及两个未知数的情形，以及如何将实际问题转化为数学模型。
-例：在行程问题中，重点讲解速度、时间和路程的关系，即路程=速度×时间，以及当速度变化时如何建立一元二次方程。
2.教学难点
-难点在于让学生理解并掌握如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立正确的等量关系。
c.在比例分配问题中，如何根据不同条件建立比例关系，并将问题转化为求解一元二次方程。
-难点还包括如何引导学生运用数学语言准确描述问题，以及如何将实际问题与一元二次方程求解过程有效结合。
在教学过程中，教师需要针对这些重点和难点内容，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用，确保学生能够透彻理解并灵活运用所学知识。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，虽然大多数学生能跟上教学进度，但仍有少数学生对所学知识掌握不够牢固。为了确保每个学生都能学好这门课程，我打算在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

实际问题与一元二次方程(第2课时)教学设计人教版数学九年级上册

归纳小结：类似地，这种变化率的问题在实际生活普遍存在，例如人口增长率、成本下降率等.本节讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系：
变化前数量×( 1±x)²=变化后数量.
设计意图：通过小结，归纳变化率问题的共同特征，并在一元二次方程和连续增长两次的问题之间建立知识联系，帮助学生形成解决同类问题的策略，并适时补充下降率的有关知识.
教学重点：掌握建立数学模型以解决平均变化率问题.
教学难点：分析题意，建立正确的数学模型.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习
复习：用方程解决实际问题的步骤是什么？
设计意图：梳理前一节课所学，体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法,
为本节课后续学习做好铺垫.
探究思考
探究：
2019年，研究人员在某杂志发表论文说，他们分析了两颗卫星的观测数据，发现在2000年至2017年间全球绿化面积增加了5%.其中约四分之一来自中国,贡献比例居全球首位.研究人员认为原因是中国在植树造林和集约农业等方面有突出表现.
（1）经调查，2000年全球绿化面积大约是38亿公顷，则2017年全球绿化面积大约是多少亿公顷？
（2）如果保持此增长率继续增长，那么到2034年，全球绿化面积约能达到多少呢？
（3）如果增长率是6%，那么2017年和2ห้องสมุดไป่ตู้34年的全球绿化面积又该怎么表示呢？
（4）如果增长率用x表示，那么2017年和2034年的全球绿化面积又该怎么表示呢？
思考：
1.经过计算，你可以得到什么结论？
2.成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
3.应怎样全面的比较几个对象的变化状况？

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第2课时教案

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第2课时教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》的第2课时教案。

这部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法的基础上进行讲解的，目的是让学生能够将一元二次方程应用于实际问题中，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和解法已经有所了解。

但是，学生在应用一元二次方程解决实际问题时，可能会存在理解不深刻、应用不灵活的情况。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学思维和方法解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的积极性。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过解决实际问题，引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用。

同时，采用合作学习的方式，让学生在解决实际问题的过程中，相互交流、相互学习，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现一些实际问题，让学生尝试用一元二次方程解决。

例如，某个商品打折后的价格仍然比原价高20元，打折后的价格是x元，求原价。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，如何将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

《21.3 第2课时平均变化率与一元二次方程》教案、导学案

《第2课时平均变化率与一元二次方程》教案【教学目标】1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．【教学过程】一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题某工厂一种产品2017年的产量是100万件，计划2019年产量达到121万件．假设2017年到2019年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2017年到2019年这种产品产量的年增长率；(2)2018年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2018年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2018年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x＝－3.2(舍)，x2＝0.2，1所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x ＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.《第2课时平均变化率与一元二次方程》教案【教学内容】建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．【教学目标】掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．【重难点关键】1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板【教学过程】一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100）解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0y=49268-±⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元．依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业复习巩固2 综合运用7、9．1．教材P532．选用作业设计：一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人 B．18人 C．9人 D．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．A．12% B．15% C．30% D．50%3．育才中学从2016年到2019年四年内师生共植树1997棵，已知该校2016年植树342棵，2017年植树500棵，如果2018年和2019年植树的年增长率相同，那么该校2019年植树的棵数为（）．A．600 B．604 C．595 D．605二、填空题1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?答案：一、1．C 2．B 3．D二、1．2 2．1 3．（1-63x ）2=2863 三、1．甲：设上升率为x ，则100（1+x ）2=121，x=10%乙：设上升率为y ，则200（1+y ）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大．2．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%）•，• 整理，•得：•x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=3803．（1）2222a b +⨯=a+2b 或2253a b +⨯（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．所以a+2b=2103a b，解得：a=4b所以（a+2b）÷45b=6b÷45b=304=7.5（人）所以至少要派8名检验员．《第2课时平均变化率与一元二次方程》导学案教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。

人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》教学设计

人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》这一节主要讲述了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。

教材通过具体的例子引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对于如何列方程、解方程已经有了一定的了解。

但是，将实际问题转化为一元二次方程的能力还需要加强。

此外，学生对于实际问题的解决方法还不够灵活，需要通过实例引导学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题。

三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.学会将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程得到实际问题的解答。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，将实际问题转化为一元二次方程的方法。

2.教学难点：如何引导学生发现实际问题中的等量关系，并将等量关系转化为数学方程。

五. 教学方法采用案例教学法，通过具体的实例引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学思维能力。

同时，采用小组讨论法，让学生在小组内共同探讨实际问题的解决方法，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备PPT，用于展示案例和引导学生思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣。

例如：小明买了一本书，原价是20元，书店搞活动满100元减30元，小明最后实付了50元，问小明买了多少本书？2.呈现（10分钟）呈现准备好的案例，引导学生观察、分析案例中的等量关系。

例如：某车间生产一批产品，每小时生产30个，生产4小时后，因机器故障停工，停工后修机器花了2小时，修好机器后，车间又接着生产，最终完成了原定的生产任务。

21.3 第2课时平均变化率与一元二次方程优秀课件

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
能力提升
菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
答：该地区投入教育经费的年平均增长率10%
6.柏溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷，则该镇绿地面积年平均增长率是多少？
解：该镇绿地面积年平均增长率是x 57.5（ 1+x)2=82.8
解得： X1=0.2 x2=-2.2（不合题意，舍去）
例题讲解
例1：已知小明今年二月份的实心球测试
成绩分别是5米，四月份的实心球测试成绩分别为7.2米。问小明每个月成绩的平均增长率是多少？
解：设小明每个月成绩的平均增长率为x
5（1+x)2=7.2
解这个方程得：（1+x）2=1.44 即：1+x=±1.2
∴X1=0.2=20% x2=-2.2（不合题意，舍去）
答：该镇绿地面积年平均增长率是 0.2
4.幸福村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x. 根据题意，得 7200（1+x)2=8712. 系数化为1, 得（1+x)2=1.21. 直接开平方，得 1+x=1.1, 1+x=-1.1. 则 x1=0.1, x2=-1.1（舍去）.

人教版九年级上册数学教案：21.3实际问题与一元二次方程-增长率问题

-难点四：在实际问题中，增长率可能为负，如在减少污染排放的问题中，学生需要理解减少率的概念，并将其正确地反映在数学模型中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程-增长率问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过价格每年上涨或人口每年增长的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索增长率的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现有些学生对一元二次方程的求解方法还不够熟练。针对这个问题，我考虑在接下来的课程中增加一些针对性练习，巩固学生对求解一元二次方程方法的掌握。同时，我也会强调在解决增长率问题时，要关注增长率可能为负数的情况，即减少率。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。但我注意到，有些小组在讨论过程中，成员之间的交流并不充分。为了提高学生的合作能力，我打算在之后的课程中加强对小组讨论的引导，鼓励学生们多发表自己的观点，学会倾听他人的意见。
-难点二：在将实际问题转化为方程时，学生可能会对如何选择变量、如何列出等式感到困难。例如，在人口增长问题中，学生需要明确人口增长的初始值、增长率以及增长后的值之间的关系。
-难点三：求解一元二次方程时，学生需要根据方程的特点选择合适的解法，如对于ax^2+bx+c=0，何时使用因式分解，何时使用配方法或公式法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“增长率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

部编版人教初中数学九年级上册21.3 第2课时平均变化率与一元二次方程教学设计教案

前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

实用性强。

高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。

（最新精品教学设计）21.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100）解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0y=49268-±⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元。

人教版九年级上册(新)数学同步教案21.3实际问题与一元二次方程(第2课时)

21.3实际问题与一元二次方程一、内容和内容解析1．内容列一元二次方程解决有关“增长率”的实际问题．等量关系是：平均变化率为x，则变化前数量×(1＋x)2＝变化后数量．2．内容解析探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题．这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等．本节讨论两轮(即两个时间段)的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型．涉及成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元；后者表示相对变化量，是表示比率的数字．通过这个问题，可以使学生认识到分析问题时应对变化额与变化率两者兼顾，这样才能全面比较对象的变化状况．二、目标和目标解析1．目标(1)能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；(2)进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：能分析出关于增长率的实际问题中第一个时间段和第二个时间段的平均变化率的表示，从而选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量关系，列出正确的方程来解决实际问题．达成目标(2)的标志是：在一元二次方程解决增长率问题的过程中，对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)，以及需注意的事项进行回顾、总结和深化．体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．三、教学问题诊断分析通过探究1的学习，学生积累了一定的应用一元二次方程的实际模型解决实际问题的经验和方法．本课时实际问题中的数量关系比探究1更复杂．学生理解题意的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化后的量与变化前的数量和平均增长率的关系．在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式的表示问题．四、教学过程设计1．分析平均变化率问题的数量关系问题1填写下列空格:1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为__________kg，第三年的产量为_____________kg．2．某糖厂2012年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为x，那么预计2013年的产量将是________；2014年的产量将是________．师生活动：学生独立思考，讨论交流结果．在学生活动过程中，提出以下问题：(1)什么是年平均变化率？(2)怎么利用平均变化率表示各时段的数量关系？(3)第二个时间段变化后的数量应如何用平均变化率来表示？问题2你能归纳一下上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？师生活动：学生独立思考后，师生一起总结得出，与变化率相关的问题的等量关系是：设平均变化率为x，则变化前数量×(1＋x)2＝变化后数量．设计意图：明确与变化率相关的实际问题中的数量关系，为建立一元二次方程模型解决增长率问题打好基础．2．解决变化率问题问题3两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？师生活动：学生小组交流、讨论，代表回答．教师可以穿插提出下列问题：(1)这个问题有几个变化对象？(甲种药品、乙种药品)(2)它们的年平均下降额各是多少？甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)．乙种药品成本的年平均下降额较大．(3)年平均下降额(元)等于年平均下降率(百分数)吗？年平均下降率体现了哪两个量之间的关系？这两个量之间经过几次变化？怎样列式表示？成本下降额表示绝对变化量，单位是元；成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数字．甲种药品两年前的成本5 000元，设年平均下降率为x，一年后甲种药品成本5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000×(1－x)2元，于是有5 000×(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．(4)这两个根都是甲种药品的平均下降率吗？为什么？根据问题的实际意义，成本的年下降率应是小于1的正数，所以应选0.225．所以根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．(5)类比甲种药品求年平均下降率的方法，你能求出乙种药品成本的年平均下降率吗？类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程6 000×(1－x)2＝3 600得乙种药品成本年平均下降率为0.225．(6)这两种药品成本的年平均下降率是什么关系？你又能得到什么结论呢？两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量．成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．设计意图：在学生独立思考的基础上进行合作讨论，通过问题串的设置，引导学生在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值．将成本下降额与成本下降率这两个接近而不同的概念进行区分，通过计算，可以使学生认识到分析问题时应兼顾变化额与变化率．3．练习巩固教科书第22页练习7．设计意图：巩固整个解题思路：审、设、列、解、验、答，从而加深学生对此类问题的掌握情况．4．小结问题4你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．设计意图：通过归纳，明确“变化率问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．5．布置作业教科书第26页复习题21第9题．6．目标检测设计向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．设计意图：检测学生对变化率问题的掌握情况．。

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21.2.4 实际问题与一元二次方程（2）教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。

重难点关键1．重点：如何解决增长率与降低率问题。

2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。

教学过程探究2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,依题意得5000（1-x）2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。

思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)二、巩固练习（列出方程）1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？三、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．A．B．p C．D．二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是_____．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是_________.。

【新】九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(第2课时)教案(新版)新人教版

第2课时实际问题与一元二次方程（2）※教学目标※【知识与技能】1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.【过程与方法】经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.【情感态度】通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【教学重点】构建一元二次方程解决应用问题.【教学难点】寻找问题中的等量关系.※教学过程※一、复习导入问题1通过上节课的学习，请谈谈你方程解应用题的一般步骤是怎样的》关键是什么？问题2现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2,问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？二、探索新知探究如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽15cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？三、掌握新知例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为()x+尺，利用台23x+尺，宽为()26布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程()()x x++=⨯⨯.6232263整理，得2+-=.解得10.842990x xx≈-（不合题意，舍去）.即这块台布的长x≈，2 5.3约为7.7尺，宽约为4.7尺.例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.(1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；(2)如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？(3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析：如图，若设BC=x m，则AB的长为352x-m，若设AB=x m，则BC=()352x-m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，根据方程的根的情况可得到结论.解：（1）设BC=x m，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为351502xx-=，解这个方程，得120x=，215x=.当BC=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=x=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m；（2）当1墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m；（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场.理由如下：设BC=x m，由（1）知AB=352x-m，从而有351602xx-=，方程整理为2353200x x-+=.此时23541320122512800∆=-⨯⨯=-<，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的长方形鸡场.四、巩固练习1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（）2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40cm2，求花边的宽.4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价应定为多少时，可使顾客更实惠？答案：1.B 2.64cm23.设花边的宽为x m，依题意有()()623240x x++=，解得11x=，211 2x=-（不合题意，舍去），即花边的宽度为1m.4.设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为()()8060400512000x x+--=.解这个方程，得120x=，240x=.显然，当40x=时，销售价为120元，当20x=时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.五、归纳小结通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题21.3中选取．※教学反思※1.面积问题的设置，力求以点带面，了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，用时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下册中学习二次函数解决问题的基础.。

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