第八章动静法B
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动静法(08)
22
简图：
分析运动：当角速度ω =常数时，杆绕铅垂轴作定轴转动。 注意，此杆虽然有质量对称面，但转轴并不垂直于该面。所 以，不能应用上讲述的刚体定轴转动惯性力简化结果，必须 具体分析惯性力沿杆的分布状况，再进一步简化。 23
【解】杆AB
FAz A FAy F Ay mg mg aC C D B B A FAz FAy mg C
r r FIV = − FV r r M IA = − M A
A --- 简化中心
r r FV = maC
M A = J Aα
7
一．平动刚体
真实力系向质心C简化
F FI
r r r 一个力： F = maC = ma
惯性力系向质心C简化
一个力：
r r FI = − ma
（过质心Ｃ）
8
二．定轴转动刚体 （轴垂直质量对称平面）
FIn
FIt
M IO
FIt = 2mRα
2 7 1 2 = J Oα = m(2 R ) + m 2 R α = mR 2α 3 17 12
(
)
12.3 动静法的应用
1.主动力 2.约束反力 3.惯性力 --- 组成平衡力系 借助静力学平衡方程求解动力学问题 动静法可代替动量法，不能代替动能定理。 动静法的优点：◇矩心不受限制； ◇列平衡方程解题。
M IA
2 2 1 b + h = J Aα = m(b 2 + h 2 ) + m ⋅ α 4 12
1 = m(b 2 + h 2 )α 3
M A = 0,
3 b b g − mg ⋅ + M IA = 0 ⇒ α = 2 2 2 b +h 2
动静法
F'' FN 得出：损失力等于约束反力冠以负号
（6）达朗伯尔原理：
从上式移项可以得出达朗伯尔原理的表达式：
F'' FN 0
即：非自由质点所受的约束反力与耗损力相平衡。
（7）动静法：利用上式变形为：
F ma FN 0
令：F ma, F 称为惯性力
I I
可得到：
F FN F 0
对于动力学问题，“平衡力系”实际并不存在，此
处 仅仅是在每一个质点上假想地加上惯性力后，借用 静力学的平衡理论来求解动力学的问题，因此称为 “动静法”。
例 如图所示，机车沿水平直线轨道以匀加速度 a行驶，求水箱中水面的倾斜角θ。
解： （1）取水的自由表面
y
θ
上质量为m的某一水分
子为研究对象。 （2）受力分析： 水分子的重力mg， 其它水分子给该水分子
I
Ff FN
θ
D n cos 1800 g
2
2
mg
――此即脱离角θ应满足的 条件之一 与此相反，在离心 浇注混凝土管或钢管时， 必须满足：
1800 g n 2 D
这样才能保证混凝土浆或钢水紧贴转筒内壁 而被压紧成形。
2、惯性力系的简化
应用动静法解决质点系动力学的问题时，需要
在每个质点上附加相应的惯性力，这对于质点较多
(3)
即：如果质点系中的每一个质点都加上惯性力，则 作用于质点系的所有主动力约束反力以及惯性力在 形式上组成一平衡力系。 (3)式即为质点系的达朗伯尔原理的表达式。
(10) 动静法
在质点或质点系运动的某一瞬时，除真实作用 在质点或质点系的每一个点的主动力和约束反力外， 再假想地加上各自的惯性力，则可按静力学求解平 衡问题的方法，建立平衡方程，求解质点或质点系 的动力学问题。 具体求解时，仍然选择投影形式的平衡方程。
理论力学08_5动力学建模的动静法
mF NF IFm a图8-7 质点的惯性力§8.2 动力学建模的动静法1 惯性力 • 达朗贝尔原理设一质量为m ，加速度为a 的非自由质点在一固定的曲线上运动，作用于质点的主动力为F ，约束力为F N ，如图8-7所示。
根据牛顿第二定律，有N F F a +=m (8.2.1) 将上式移项后写为 0=−+a F F m N (8.2.2)令 a F m −=I (8.2.3)F 1具有力的量纲，称为质点的惯性力，于是可将方程(8.2.2)写成 0=++I N F F F (8.2.4) 惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。
式(8.2.4)表明 质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
实际上，方程(8.2.4)是牛顿定律的另一种表达形式。
引进虚拟的惯性力之后，就可以将动力学问题在形式上转化为静力学问题来处理，因此这种方法称为动静法。
惯性力是力学中的重要概念之一。
在达朗贝尔原理中，惯性力是体现运动惯性的力学量，是人为地将二阶运动量表示成力的形式，虚拟地施加在运动的物体上。
在§8.3中非惯性系中研究动力学问题时，为了将非惯性系中的动力学运动定律在形式上化成与惯性系中的动力学运动定律一致，也引入了虚拟的惯性力。
这两种惯性力有共同点，都是假想惯性力作用在运动物体上。
但是，在运动物体上并不真实存在这样的作用力。
因为真实的力是物体之间的机械作用，能使物体的运动状态发生改变。
惯性力不能改变物体自身的运动状态，不符合作用与反作用定律(牛顿第三定律)，所以惯性力不是真实的力，是假想的力。
但是，这两种惯性力又有概念上的差别．在达朗贝尔原理中，我们讨论的是物体的绝对运动，即讨论物体相对于某个取定的惯性系的运动。
作用在运动物体上的惯性力，只取决于物体的绝对加速度。
在非惯性系中，我们讨论的是物体的相对运动，存在着定坐标系(惯性系)和动坐标系(非惯性系)。
达朗贝尔原理(动静法)课件
惯性力问题
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
动静法
由 2)得: ( R = mg sinϕ0 ;
n A
τ
(1) (2) (3)
3g ε = cosϕ0 ; ( 由 3)得: 2l mg τ (1) cosϕ0 。 代入 得: RA = − 4
22
理力13理力13-动静法
一、惯性力 一、惯性力
r r r 人用手推车 F' = −F = −ma
图保持原来的运动状态， 图保持原来的运动状态，对于
是由于小车具有惯性， 力 F ' 是由于小车具有惯性，力 施力物体(人手 产生的反抗力。 施力物体 人手)产生的反抗力 人手 产生的反抗力。
r r 定义： 定义：质点惯性力 FI = −ma
实际应用时, 与静力学一样， 实际应用时, 与静力学一样，可以任意选 取研究对象, 列平衡方程求解。 取研究对象, 列平衡方程求解。
11
理力13理力13-动静法
【 例 13-2】 两个相同的小球连接如图示 ： 轻质 】 两个相同的小球连接如图示： 细杆AO=BO=b， 小球 、B的质量匀为 ， 轻 的质量匀为m， 细杆 ， 小球A、 的质量匀为 质转轴CD以匀角速度ω转动，杆 AB与轴 的 以匀角速度ω 与轴CD的 质转轴 以匀角速度 转动， 与轴 夹角为α 的约束力。 夹角为α，CD=L。求轴承 、D的约束力。 。求轴承C、 的约束力 解： A A 1) 取整体为研究对象； 取整体为研究对象； 小球的法向加速度相等： 小球的法向加速度相等：
动的物体的惯性反抗的总和。 动的物体的惯性反抗的总和。
称为小车的惯性力。 称为小车的惯性力。 惯性力
加速运动的质点，对迫使其产生加速运 加速运动的质点，
3
理力13理力13-动静法
惯性力投影式: 惯性力投影式:
n A
τ
(1) (2) (3)
3g ε = cosϕ0 ; ( 由 3)得: 2l mg τ (1) cosϕ0 。 代入 得: RA = − 4
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理力13理力13-动静法
一、惯性力 一、惯性力
r r r 人用手推车 F' = −F = −ma
图保持原来的运动状态， 图保持原来的运动状态，对于
是由于小车具有惯性， 力 F ' 是由于小车具有惯性，力 施力物体(人手 产生的反抗力。 施力物体 人手)产生的反抗力 人手 产生的反抗力。
r r 定义： 定义：质点惯性力 FI = −ma
实际应用时, 与静力学一样， 实际应用时, 与静力学一样，可以任意选 取研究对象, 列平衡方程求解。 取研究对象, 列平衡方程求解。
11
理力13理力13-动静法
【 例 13-2】 两个相同的小球连接如图示 ： 轻质 】 两个相同的小球连接如图示： 细杆AO=BO=b， 小球 、B的质量匀为 ， 轻 的质量匀为m， 细杆 ， 小球A、 的质量匀为 质转轴CD以匀角速度ω转动，杆 AB与轴 的 以匀角速度ω 与轴CD的 质转轴 以匀角速度 转动， 与轴 夹角为α 的约束力。 夹角为α，CD=L。求轴承 、D的约束力。 。求轴承C、 的约束力 解： A A 1) 取整体为研究对象； 取整体为研究对象； 小球的法向加速度相等： 小球的法向加速度相等：
动的物体的惯性反抗的总和。 动的物体的惯性反抗的总和。
称为小车的惯性力。 称为小车的惯性力。 惯性力
加速运动的质点，对迫使其产生加速运 加速运动的质点，
3
理力13理力13-动静法
惯性力投影式: 惯性力投影式:
达朗贝尔原理动静法解析PPT学习教案
FN
F
FI
ma F FN
可改写成：
F FN ma 0
FN
令：FI ma
则有：F FN FI 0
假想FI是一个力，上式在形式上是一个平衡 方程。
F I称 为 质 点 的惯性 力，大 小等于 质点的 质量与 加速度 的乘积 ，方向 与质点 加速度 的方向 相反。
第4页/共67页
5
FI FN
如 果 在 质 点 上除了 作用有 真实的 主动力 和约束 反力外 ，再假 想地加 上惯性 力，则 这些力 在形式 上组成 一平衡 力系。
则 惯 性 力 系 简化的 主矩为 ：
工 程中绕 定轴转 动的刚 体常常 有质量 对称平 面。
M M J IO
Iz
z
（13-13-1）
第18页/共67页
于是得结 论：当 刚体有 质量对 称平面 且绕垂 直于此 对称平 面的轴 作定轴 转动时 ，惯性 力系向 转轴与 对称平 面交点 简化时 ，得位 于此平 面内的 一个力 和一个 力偶。 这个力 等于刚 体质量 与质心 加速度 的乘积 ，方向 与质心 加速度 的方向 相反， 作用线 通过转 轴；这 个力偶 的矩等 于刚体 对 转轴的转 动惯量 与角加 速度的 乘积， 转向与 角加速 度相反 ，
Fi FNi FIi 0
( i 1,2,...... , n )
如将质点系受力按内力、外力划分, 又因为 则：
Fi FNi FIi 0 M O (Fi ) M O (FNi ) M O (FIi ) 0
Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0
F (e) i
FIi 0
x
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ri mi
k
O
i
江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会
解： 重物降下的位能为V Q( f ) 变成两杆的应变能。
杆1
1 ( f )2
W1 2 c
杆2
W2
1 2
f2 c
c l3 3EI
即 Q( f ) 1 [( f )2 f 2 ]
2c
由题 Qc，代入后得 2 ( f ) 2 f 2 2 f 2
即 2 2f2 f
/2
0
P r(1 cos )rd
2 EI
Pr2 2EI
(
2
1)
11
/2 l lrd
0 EI
r
2EI
由正则方程 11 X1 1F 0 （D截面处的转角为0）
解得：
11
X1 Pr( 2 )
17
杆件受冲击时的应力和变形
由莫尔定理，顶端A的垂直位移：
A
/2 Pr2 ( cos 1 )2 rd
12
动静法
又 cos 3g 2 L 2
sin
1
(
2
3g
L
2
)2
故
M
(x)
Wx 4L2
(L
x)2
1
(
4
3g
L
2
)2
由 M (x) 0 x
3X 2 4Lx L2 0
x L, M (x) 有极小值，为 0； x L , M (x) 有极大值， 3
将 x L 代入，得最大弯矩为 3
M max
23
杆件受冲击时的应力和变形
二、非线性结构的冲击 例6
有一悬臂梁 AB，长度为 L ，抗弯刚度为 EI ，梁本身自重
可忽略不计。在自由端 B下方有一弹簧，与之相距一铅垂
的间隙 ，当在梁自由端作用一静载 Q 时，梁正好与弹簧
理论力学达朗贝尔原理与动静法教学省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
M Q＝0
刚体平移时, 惯性力系简化为 经过刚体质心协力。
20/78
常见惯性力主失和主矩
2.刚体做定轴转动
含有质量对称平面刚体绕垂直于 对称平面固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动, 在任意瞬 时角速度为ω, 角加速度为ε。
● 主矢 RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
i
aC aC aCn
设质心C转动半径为rc，则 RQ 和 RQn 大小可分别表示为
37/78
例题
重 G 、长 l 匀质细直杆 AB , 其 A 端铰接在铅直轴 Az 上,并以匀角速度 ω 绕这轴转动。求当 AB 与转轴间夹角θ = 常量(图 a )时ω与θ关系,以及 铰链 A 约束反力。
解: 取杆 AB 作为研究对象。
受力如图( b )。显然当θ 不变时, 杆 上各点只有向心加速度 an , 方向都 为水平并指向转轴；这么, 杆惯性 力是同向平行分布力。图( b )所表 示.沿杆 AB 取任一微小段 dε考虑, 它质量是 G dε/ gl, 加速度是 ω2εsinθ。
达朗贝尔原理首先广泛应用于刚体动力学求解动 约束力；另首先又普遍应用于弹性杆件求解动应 力。
3/78
工程实例
4/78
工程实例
爆破时烟囱怎样坍毁
5/78
工程实例
爆破时烟囱怎样坍毁
6/78
达郎贝尔原理
7/78
质点达朗贝尔原理
设质量为m非自由质点M, 在主动力F
和约束力N作用下沿曲线运动,
N
该质点动力学基本方程为
R RQ 0 MO MOQ 0
由质心运动定理有 R = MaC ,得
RQ MaC
即质点系惯性力主矢恒等于质点系总质量与质心加速度乘积, 而 取相反方向。
课件：达朗贝尔原理(动静法)
主矢： FIR maC
主矩：
M IO
dLO dt
质系动力学问题
向质心C简化
主矢： FIR maC
主矩：
M IC
dLC r dt
{F1e ,, Fme , FIR , MIO} {0}
“平衡”条件:
m
Fie FIR 0
i 1
质心运动定理
m
MO' (Fie ) MO' (FIR ) MIO 0
1、均质细杆AB重P，长L，置于水平位置，若在绳BC突然剪断瞬
时有角加速度，则杆上各点惯性力简化为一个合力时，大小为
PL
2L
_____2_g____，作用点的位置在离A端_____3_____处，在图中画出该
惯性力。
23
2、半径为R，质量为mA的均质圆盘A，与半径为
R 2
，质量为mB的
均质圆盘B如图固结在一起，并置于水平光滑平面上，初始静止
B FBx
FI1 FI2 ma mL2 sin
FI1
MA 0
mgLsin mgLsin FBxh
mg
C
FI1(0.5h L cos ) FI2(0.5h L cos ) 0
FBx
mL 2 sin2
h
mg
A
FAx
FAy
若求附加动反力？
Fx 0
FAx
mL 2 sin2
h
FBx FAx FI1 FI2 0
T 1 mv 2 1 mv 2 1 (1 mr 2 ) 2 5 mv 2
J
A
m
g
L 2
m aCx Fx
m aCy Fy m g
d(1 2
J A2 dt
理论力学动静法
列平衡方程：
mO (F ) 0
,
TR
M
J O
M
0
(1)
X 0 , XO T cos 0
(2)
Y 0 , YO Q T sin 0
(3)
（2）取轮A为研究对象，虚加惯性力 。
FJ
P g
aA
,
MJ A
J A A
1 2
P g
R2 A
30
列出平衡方程：
列补充方程： a1 r1 , a2 r2
m1r1 m1r12
m2r2 m2r22
J
g
25
X 0, X O 0
Y 0, YO P F1J m1g F2J m2 g 0
即YO
P m1g
m2 g
FJ 1
FJ 2
P m1g m2 g (m2r2 m1r1)
(m1r1-m2r2 )gd
由两边dT除以dtW，并得求d导[数22，(m得1r12 m2r22 J )] (m1r1 m2r2 )gd
m1 r1 m1r12
m2r2 m2r22
J
g
方法2、3须用质心运 动定理求O处反力
28
[例2] 在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，半径
[注意]F J ,
M
J C
的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，
只需按
FJ
maC
,
M
J C
JC
计算即可。
23
[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于 转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的 角加速度及O处反力。
理论力学25【创意版】.ppt
■ 平动
向质心简化。设刚体的平动加速度为a , 质元 mi 相对于质心的矢径为ri , 于是可得
MIC=∑MC(FIi) =∑ri×(– mi a) = – (∑ mi ri)×a = – mrC×a = 0
0.0
9
■ 定轴转动
仅考虑工程中常见的具有垂直于转轴z的质量对 称平面S的简单情况。首先将惯性力系简化为对称 平面S内的平面力系,然后再向z轴与S的交点O简化。
10.3.1 惯性力系的主矢
FIR=∑FIi =－∑miai ∑miai = maC
FIR=－maC
上式表明, 无论刚体作什么运动,惯性力系的主
矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积, 方向
与质心加速度方向相反。
0.0
8
12.3.2 惯性力系的主矩
一般说来,刚体惯性力系的主矩既与刚体的运 动形式有关,又与简化中心的位置有关。下面仅 就最常见的三种刚体运动形式进行讨论。
故有
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
0.0
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
0.0
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
向质心简化。设刚体的平动加速度为a , 质元 mi 相对于质心的矢径为ri , 于是可得
MIC=∑MC(FIi) =∑ri×(– mi a) = – (∑ mi ri)×a = – mrC×a = 0
0.0
9
■ 定轴转动
仅考虑工程中常见的具有垂直于转轴z的质量对 称平面S的简单情况。首先将惯性力系简化为对称 平面S内的平面力系,然后再向z轴与S的交点O简化。
10.3.1 惯性力系的主矢
FIR=∑FIi =－∑miai ∑miai = maC
FIR=－maC
上式表明, 无论刚体作什么运动,惯性力系的主
矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积, 方向
与质心加速度方向相反。
0.0
8
12.3.2 惯性力系的主矩
一般说来,刚体惯性力系的主矩既与刚体的运 动形式有关,又与简化中心的位置有关。下面仅 就最常见的三种刚体运动形式进行讨论。
故有
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
0.0
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
0.0
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
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2014-12-28
22
2014-12-28 16
BUAA
已知：l , L, f f s
动静法的应用
例：矩形均质板的质量为m，静止放在水平地面上，在其上作 用有一水平推力P，求板不会翻倒，h 应满足的条件。
l
1、P f s mg
静力学问题
P
h
F
M
mg
A
0, mgx Ph 0
L
A
x FN
l x 2 mgl 0 h 2P
2、 P f s mg 动力学问题
17
mgx h P
2014-12-28
BUAA
应用动静法: 添加惯性力
动静法的应用
FI maC
l
P
h
F
FI
F F
aC
x
0, P F FI 0
y
0, FN mg 0
L Ph 0 2
M A 0, mgx FI
Ii
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
z
一、定轴转动刚体惯性力系的简化
ri xi i yi j zi k, ai ri ( ri )
i i C
F ( m a ) ma (r F ) r ( m a )
i Ii i i i
mg
L
A
x FN
P(2h L) mgLf x 2mg l | x | 2
L mg (l Lf ) L mg (l Lf ) h 2 2P 2 2P
18
2014-12-28
BUAA
动静法的应用
例：质量为m的套筒可在光滑的水平杆上滑动，质量为m的均 质杆用铰链与套筒连接，系统在 F 力的作用下在铅垂面内运 动。不计所有摩擦，分别求套筒的加速度和滑道作用在两个套 筒上的约束力。
FIR
M Ix J xz 2 J yz M Iy J xz J yz
2
J xz 2 J yz 0 J xz J yz 0
2
x
y
M Iz J z
xC y C 0 附加动反力为零 的充分必要条件： J xz J yz 0
BUAA
B
作业：8-12、8-13、8-14
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
FBx
问题的引出
L
FI2
A
FI1
mg
mL 2 sin 2 FAx FBx h
• • • 附加动反力由惯性力引起 惯性力与转子的质量分布有关 如何消除附加动反力
1
C
FAx
FAy
mg
2014-12-28
BUAA
xi
yi
o
yi
J xz mi xi zi 0 J yz mi yi zi 0
（2）如果刚体有质量对称面， 如oxy面。则垂直于该对称面 的轴必为该轴与对称面交点 的惯量主轴。
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mi zi xi
y
x
z
o
yi
zi
zi
mi xi
y
x
7
BUAA
B
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
x
F 0 M 0
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20
BUAA
动静法的应用
思考题：均质薄板质量为m，长为a，宽为b，转轴通过质心C， x’, y’为板的对称轴。板绕AB轴匀角速转动。确定在图示瞬时 轴承A、B的约束力哪个大。已知：a b , sin 2 0
y'
A：轴承A的约束力大
x'
B
B：轴承B的约束力大
F1 , , Fn
轴承的约束力 FAx , FAy , FBx , FBy , FBz 惯性力系
Fi FAx
F Ay
M IO
A
FI 1 , , FIn
1
FIR
Fx 0
y z
FAx
F 0 F 0 Mx 0 My 0 Mz 0
1 M y Fi Fix lOB M IOy FIxlOB l AB l AB 1 1 M x Fi Fiy lOB FAy l M IOx FIy lOB x l AB AB 1 1 M y Fi Fix lOA FBx M IOy FIx lOA l AB l AB 1 1 M x Fi Fiy lOA FBy l M IOx FIy lOA l AB AB FBz Fiz
A
C
x
MI
y'
FB
x'
B
பைடு நூலகம்
mg
A
C
x
FA
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mg
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BUAA
动静法的应用
思考题：三根均质细杆与AB轴固连（三根杆共面）且以匀角 速度绕AB轴作定轴转动，杆1、杆2、杆3的质量与长度分别 为，m1,m2,m3,L1,L2,L3,各杆间的距离分别为d1,d2。若该定轴 转动刚体为动平衡，求各杆质量与长度以及杆间的距离应满 足什么条件。
演示实验
2014-12-28
2
BUAA
演示实验
高速旋转时有较大的动反力
高速旋转时有较小的动反力
任意位置平衡 2014-12-28
图示位置平衡 3
BUAA
高速转子在现实中应用
2014-12-28
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
实验现象表明：动反力、平衡位置与转子的质量分布有关
4
BUAA
FIR M IO
xi
y
x
如果 J xz J yz 0 ， 则称z轴为关于O点的惯量主轴。 刚体上任意一点至少有三根互相垂直的惯量主轴 通过质心的惯量主轴称为中心惯量主轴
2014-12-28 6
BUAA
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
惯量主轴判据 （1）如果刚体有质量对称轴， z 如z轴。则对称轴是该轴上任 mi 意一点的惯量主轴之一，也 是中心惯量主轴。
A
F
B
a
mg
mg
mg
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BUAA
FIA FB
B
动静法的应用
FA
A
F
FI
mg
mg
a
mg
FIB
解：受力分析、运动分析、添加惯性力
F a 3m
F FIA FIB FI 0 F 3ma 0 F 3 F mg tan A B 2 2 L L FB L cos FI sin FIB L sin mB gL cos mg cos 0 2 2 F 3 FA tan mg Fy 0 FA FB 3mg 0 2 2
x
B
C
A
z
FI
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y
mg
2014-12-28
BUAA
车轮的 动平衡问题
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
x
C
z
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y
2014-12-28
BUAA
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
压路机的 非动平衡问题
2014-12-28
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BUAA
y
y'
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
例：均质薄板质量为m，长为a，宽为b，转轴通过质心C，x’, y’ 为板的对称轴。板可绕AB轴转动，板是静平衡还是动平衡。 判断 x 轴是否为中心惯量主轴
三、定轴转动刚体轴承附加动反力／静平衡与动平衡 若定轴转动刚体仅在自 身重力作用下，可在任意位 置平衡，则称定轴转动刚体 为静平衡。 如果刚体转动时，不 会引起轴承附加动反力， 则称定轴转动刚体为动平 衡。
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BUAA
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
z
四、动平衡与静平衡的条件 设作用在刚体上主动力
FBx FBz
B
y
FBy
M F M
z i
Iz
0 10
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BUAA
FIx m ( xC yC )
2
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
z
动平衡与静平衡的条件:
2 xC y C 0
xC 2 y C 0
Fi
M IO
FIy m ( xC 2 yC ) FIz 0
2
Fi
M IO
y
FIR
将惯性力的主矢和主矩在连体坐标轴上投影：
FIx m ( 2 xC yC ) FIy m ( xC yC ) FIz 0
M M M
Ix Iy Iz
xC , yC
质心的坐标
x
J xz 2 J yz J xz J yz
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质心在转轴上 转轴为惯量主轴
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BUAA
B
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
思考题：匀角速度转动的质点系，如图所示。其附加动反力的 作用效果改变了系统的什么物理量？
FBx
LC
L
FI2
C
FI1
mg
mL 2 sin 2 FAx FBx h LC 2mL2 sin
x'
A
C