矩阵的相似对角化1.ppt

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矩阵的对角化1

相似是矩阵之间的一种关系。这种关系具有如下性质： 1)自反性对任意方阵A，都有A～A； ) 2)对称性若A～B，则B～A； ) 3)传递性若A～B，B～C，则A～C。 )
相似矩阵之间有如下性质：性质1 相似矩阵的行列式的值相等。性质性质2 性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆，且在可逆的情形，逆矩阵也相似。性质3 性质若A～B，则An～Bn，n为自然数。性质3在求矩阵的正整数幂时非常有用。
其一般解写成向量形式为
x1 −( x2 + x3 ) −1 −1 x2 = x2 = x2 1 + x3 0 x 0 1 x3 3
由此得知，属于特征值 λ1 = −1 的全部特征向量为
− 1 − 1 k1 1 + k 2 0 0 1
其中 k1 , k 2 为不全为0的任意常数。
4 x1 − 2 x 2 − 2 x3 = 0 类似地，对于λ2 = 5 ，由 − 2 x1 + 4 x 2 − 2 x3 = 0 − 2 x − 2 x + 4 x = 0 1 2 3 x1 x3 1 得 x 2 = x3 = x3 1 x x 1 3 3
Aα 为A的属于 λ 的特征向量。如何求A的特征值与特征向量呢？
由 Aα = λα ，得 λα − Aα = 0 即所以
λIα − Aα = 0
(λI − A)α = 0
(λ I − A) x = 0
这说明 α 是齐次线性方程组的非零解，从而必须
| λ I − A |= 0
α1 , α 2 ,..., α s ，并写成列向量列向量的形式，则列向量

矩阵可相似对角化的条件课件

通过归纳矩阵的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化。
要点二
详细描述
归纳法是一种基于数学归纳法的证明方法，通过归纳矩阵的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化的性质。这种方法适用于阶数较大的矩阵，但需要严谨的数学推导和证明。
05
矩阵可相似对角化的实例分析
二阶矩阵的实例分析存在两个线性无关的特征向量。
三阶矩阵的实例分析
总结词
详细描述
实例
三阶矩阵可相似对角化的条件是存在三个线性无关的特征向量。
对于三阶矩阵A，如果存在三个线性无关的特征向量α、β和γ，使得 $Aalpha = lambda_1alpha$、 $Abeta = lambda_2beta$和 $Agamma = lambda_3gamma$，其中$lambda_1$、$lambda_2$和 $lambda_3$是矩阵A的特征值，则矩阵A可相似对角化。
反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的情况，如行列式值为零或特征多项式无重根等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳法
要点一
总结词
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相似对角化可以将复杂的系统分解为若干个简单子系统，有助于简化控制器的设计过程。
04
矩阵可相似对角化的证明方法
构造法
总结词
通过构造具体的矩阵，证明矩阵可相似对角化。
详细描述
构造法是一种基于具体实例的证明方法，通过构造一个具体的矩阵，并证明该矩阵可以相似对角化，从而证明任意矩阵可相似对角化的可能性。这种方法直观易懂，但需要一定的技巧和经验。

北京工业大学线性代数第五章第三节矩阵的对角化.ppt

则
l1 l2 L lr 0,
从而 1,2 ,L ,s , 1, 2 ,L , r 线性无关．
8
对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到定理3：设 1,2 ,L , m 是数域P上n 阶矩阵A 的不同的特征值， j1, j2 ,L , jrj 是A的属于 j 的线性无关的特征向量，j 1, 2,L , m, 则向量组
以上两式相减得
k1(1 2 )1 k2 (1 2 )2 L ks (1 2 )s ,
由于1 2，因此由上式得
k11 k22 L kss ,
7
由于 1,2 ,L ,s 线性无关，
则
k1 k2 L ks 0,
代入①式得
l11 l22 L lr r
由于 1, 2 ,L , s 线性无关，
解：Q A1 21 , A2 22 , 1 2, 2 2 是A的两个不同的特征值, 1 ,2 线性无关。令
P (1,2)
1 1
1 1
,
1
P 1
2 1
1 2 1
,
2 2
22
则
P 1 AP =
2 0
0 2
,
因此
A P
2 0
0 2
P 1
所以
A10 P
2 0
0 2
10
P 1
6
k1 A1 k2 A2 L ks As l1 A1 l2 A2 L lr Ar
从而有
k111 k212 L ks1s l121 l222 L lr2r ,
①式两边乘以 2 得
k121 k222 L ks2s l121 l222 L lr2r ,
12
例1 已知
A
3 5

实对称矩阵的相似对角化

§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6

线性代数-矩阵相似对角化

9
代数重数为当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值，的特征向量，设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有：阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时：解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r

线性代数矩阵相似对角化

0 2
k2X0
上述必须有两个线性无关的解向量，r(-I-A)=1
4 2 2 4 2 2
rk4
0 2
k2rk0
0 0
0k1
k0
(2)代入k=0, 1,2 1 时，线性无关的特征向量：
1 120 T ,2 102 T
（4）Ａ~Ｂ，则 RA=RB
（5）Ａ~Ｂ，则 A B
（6）Ａ~Ｂ，且Ａ可逆，则 A1~B1
定理
若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值．
IAIB
QIBIP1A PP1IPP1A P
P1IAPIA
推论若n阶矩阵A与对角矩阵
y1
x1
令Y

y2

P1

x2
,
y3
x3
Y
'

y1' y2'

P1

x1' x2'
,
y3'
x3'
故有
5 Y'00
0 3 0
003Yyyy231
推论如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 t i 重特征值
i 对应 t i 个线性无关的特征向量．
注意（1）P中的列向量 p1,p2, ,pn的排列顺序要与
1,2, ,n的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x0 的基础解系中的解向量，
的λ都是方阵Ａ的特征值．
(1)由 f()EA0求出A的所有特征值 1,2,L,n,

相似矩阵与矩阵对角化

1 2 2 1 2 2
2E
A
2 2
4 4
4 4
0 0
0 0
0 0
得
x1 2 x2 2 x3
2
2
得基础解系
X1
1 0
,
X2
0 1
.
15
当3 7时，齐次线性方程组为 7E A X
8
7E
A
2 2
2 5 42Biblioteka 4 510
0
0
1 0
1
2
1
0
x1
1 2
x3
x2 x3
5
即Ak ∽ B k (5) 设A ∽ B ，则存在可逆矩阵P，有
B P1 AP
即 E B E P1AP
= P1( E)P P1AP P1( E A)P
= P1 E A P = E A
相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值．
注1 虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一特征值的特征向量不一定相同.
将 P 按列分快为 P X1 , X2 ,L , Xn .
7
由P 1 AP , 得 AP P
1
即
A X1, X2 ,L
,
Xn
X1 ,
X2 ,L
,
Xn
2
O
n
1 X1 ,2 X2 ,L ,n Xn
所以 A X1 , X2 ,L , Xn AX1 , AX2 ,L , AXn
13
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
(1)
A
2 2
2 4
4 2
2 1 2
(2)
A
5 1

矩阵相似对角化

例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$，则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵具有与原矩阵相同的特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵具有与原矩阵相同的特征子空间和特征向量。
相似对角化后的矩阵具有与原矩阵相同的行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关的特征向量，则该矩阵可相似对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一种形式，可以将一个复杂的矩阵分解为易于处理的几个部分，如三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线性变换的性质。通过对矩阵进行相似对角化，可以了解线性变换在各个方向上的拉伸、压缩、旋转等效应。

5-3矩阵的相似对角化

（2） P A P 中的可逆阵 P 的各列 1 , 2 , , n 恰好是 A 的属于 j 的特征向量。
1
信息系刘康泽
特别的，若 A 的特征多项式的根都是单根时, 有：【推论 1】如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值（或 A 的特征值都是其特征多项式的单根）则 A 必与对，角阵相似。事实上，对 n 个互异的特征值各取一个特征向量，由于 A 的不同特征值对应的特征向量线性无关，则得到 A 的 n 个线性无关的特征向量，故 A 必与对角矩阵相似。
j2
,
jn j
是 A 的属于特征值 j 的 n j n r ( j E A ) 个线性无
第三步：如果
n
j 1
m
j
n ， A 没有 n 个线性无关的则
特征向量，故 A 不可对角化；如果 n j n ，则 A 有 n 个线性无关的特征向量，
j 1 m
故 A 可对角化。
征向量组中所含向量的个数为 n j ，j 1, 2, , m ， A 可则对角化的充分必要条件是： n j n 。
j 1 m
【推论 3】如果 n 阶方阵 A 有 m 个互不相同的特征值 1 , 2 , , m ， m n ，依次分别为 r1 , r2 , , rm 重特征根，且 r j n ，则 A 可对角化的充分必要条件是
即
r
j 1
s
j
n , 或 [ n r ( j E A )] n ，
j 1
s
由上面的推论 2 即得结论。
一般地称 r j 为特征值 j 的代数重数，而称
n r ( j E A ) 为特征值 j 的几何重数，

线性代数-矩阵的相似对角化

5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第三、矩阵相似对角化的方法步骤
五章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
似矩阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。7源自§5.2 矩阵的相似对角化
第二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P，使得
P145
相定义似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；

§5.2相似矩阵与相似对角化

A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
《线性代数》
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结束
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
《线性代数》
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结束
例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵, 若相似, 求可逆矩阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以

实对称矩阵的相似对角化.ppt

1 (
2, 5
1 5
,0)T ，2
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
将3
(1，2，
2)T
单位化，得：3
（1 ，2 ， 33
2）T . 3
2 2 1
5 3 5 3
Q 1
2
3
1 5
0
4 2
35 5
35
3 2
3
Q 1
AQ
2
2
7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 ,, m ;
实对称矩阵的相似对角化
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵 A的特征值, (a1, a2,, an )T
是对应的特征向量 ,即A ，两边取共轭，得： A (1) A (aij )nn , (a1, a2,, an )T ,
由于A为实对称阵，故 A A AT （1）两端取转置，得：
反之，若 A与对角阵相似且已知 A的特征值及特征向量，也就是已知 P与，也可以求出矩阵 A. A PP1
例1：设三阶方阵 A满足Ai ii ,i 1,2,3.
1 (1,2,2)T ,2 (2,2,1)T ,3 (2,1,2)T ,求A. Ai ii , i 1,2,3. 1,2 ,3是A的属于特征值 1,2,3的特征向量。
(iv) 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个
n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。此时
Q 1AQ QT AQ 为对角阵。
EX
:
பைடு நூலகம்
设A
2 2

线性代数课件4-1矩阵的对角化

解得特征值为$lambda_1 = 2, lambda_2 = lambda_3 = 3$。
对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$，解方程组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$，解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换，将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩阵，从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式，可以直接求解各个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化，可以避免对原始系数矩阵进行复杂的运算，从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计算，进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性：$A sim A$（任何矩阵都与自身相似）。
04
对称性：若$A sim B$，则$B sim A$。
05
传递性：若$A sim B$且$B sim C$，则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义：对于n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵，则称A为 Jordan可约的，对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准型。性质

矩阵的相似对角化-文档资料

结束
3 1 例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4,l2=-2, 5 -1 1 1 其对应特征向量分别为x1= ，x2= . -5 1
1 1 取P=(x1, x2)= ，则 1 -5 P-1AP =-5 -1 1 — 6 -1 1 3 1 5 -1 1 1 4 0 = ， 1 -5 0 -2
所以A与对角矩阵相似.
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2.1 相似矩阵及其性质定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|， A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
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l1 0 0 0 l2 0
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
-2 0 问题：若取P=(x2, x1)，问L=？ L＝ . 0 4
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推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件. 例如，A=
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是

相似矩阵与相似对角化27页PPT

相似矩阵与相似对角化
36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。不容忽视的。— —爱献生
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

7-2 相似矩阵与矩阵对角化

(3)若 A 与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似.（ m 为正整数）
4
(4) 若 A 与 B 相似，而 f ( x ) 是一个多项式，则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似。
(5) P 1 A A P P 1 A P 1 2 1
P
1
A2 P .

(6) P 1 k 1 A1 k 2 A 2 P k 1 P 1 A 1 P k 2 P 1 A 2 P （ k 1 , k 2 为任意常数）
求得
P
1

17
A PP
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
1
3
1 3 1 2 1 6
1 3 0 1 3
1 3 1 2 1 6
（1）反身性：
A A.
A B则
（2）对称性：若
（3）传递性：若
B A.
则A C.
A B,B C ,
相似矩阵还具有如下性质：性质1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩. 推论若矩阵 A n n与对角阵相似，即
3
A n n
A 的特征值是 2 , 4 , , 2 n 即 i 2 i ,
解
A 3 E 的特征值是 f ( i ) 2 i 3
A 3E
( 2 i 3 ) ( 1) 1 3 ( 2 n 3 )
i 1
n
22
方法2：已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，即存在可逆矩阵 P , 使得 2