高一必修一映射的概念

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高中数学必修一-函数的定义域

函数的定义域知识集结知识元函数与映射的概念知识讲解1、一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．注意：（1）值域由定义域和对应关系唯一确定；（2）f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同.2.设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f:A→B。

其中，b称为元素a在映射f下的象，记作:b=f(a);a称为b关于映射f的原象。

集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

注意:(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象;(2)B中每个元素都有原象(即满射)，且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即单射)，则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。

例题精讲函数与映射的概念例1.给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A．只有①②B．只有①④C．只有①③④D．只有③④例2.A＝{1，2，3}，b＝{a，b}，则从A到B的可以构成映射的个数（）A．4个B．6个C．8个D．9个例3.已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应法则中可以是从A至B的函数的有．①f：x→y＝②f：x→y＝③f：x→y＝x④f：x→y＝2x．例4.下列图象中可作为函数y＝f（x）图象的是（）A．B．C．D．函数相等知识讲解判断两个函数是否为同一函数函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．注意：判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．例题精讲函数相等例1.下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣1C．f（x）＝x2，g（x）＝（）4D．f（x）＝x3，g（x）＝例2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝x和g（x）＝B．f（x）＝|x|和g（x）＝C．f（x）＝x|x|和g（x）＝D．f（x）＝和g（x）＝x＋1，（x≠1）例3.'试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）＝，g（x）＝；（2）f（x）＝，g（x）＝（3）f（x）＝，g（x）＝（）2n﹣1（n∈N*）；（4）f（x）＝，g（x）＝；（5）f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1．'例4.下列函数中与函数y＝x是相同函数的是（）A．B．y＝C．D．例5.在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．B．C．D．具体函数的定义域知识讲解函数的定义域及其求法1.定义函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.2.求解函数定义域的常规方法（1）如果f(x)是整式，其定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；（3）如果f(x)是二次根式（或偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；（4）如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（5）如果f(x)=x^0的定义域是{x∈R|x≠0};（6）实际问题要具体分析.例题精讲具体函数的定义域例1.函数f（x）＝＋的定义域是（）A．[﹣1，＋∞）B．[2，＋∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）例2.'求下列函数的定义域（1）（2）．'例3.'求函数的定义域．'例4.函数的定义域为．复合函数的定义域知识讲解抽象函数的定义域（1）对在同一对应法则f下的量“x”“x＋a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；（2）函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．例题精讲复合函数的定义域例1.'设函数f（x）＝．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．'例2.已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]例3.已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[﹣2，3]，则y＝f（x2）的定义域是（）A．[﹣1，4]B．[0，16]C．[﹣2，2]D．[1，4]例4.函数f（x2）的定义域为（﹣3，1]，则函数f（x﹣1）的定义域为（）A．[2，10）B．[1，10）C．[1，2]D．[0，2]备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的定义域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函数f（x）=的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[0，2）∪（2，+∞）D．[2，+∞）例2.已知函数f（x+3）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（-1，1）B．C．（-1，0）D．（）例3.下列函数中，与函数y=的定义域相同的函数为（）C．y=xe x D．A．B．例4.已知函数f（2x+1）的定义域为（0，3），则f（x）的定义域为（）A．（1，3）B．（1，7）C．（1，3）D．（-，1）例5.已知f（x）的定义域为[-1，5]，则f（2x+5）的定义域为（）A．[-1，5]B．[3，15]C．[-3，0]D．[0，3]例6.设函数的定义域A，函数y=ln（1-x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[-3，1）D．（-3，1）例7.函数的定义域是（）A．[-3，1]B．（-3，1）C．（-∞，-3）∪（1，+∞）D．（-∞，-3[∪[1，+∞）当堂练习单选题练习1.已知函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（-1，1）练习2.函数的定义域为（）A．（2，3）B．（3，4]C．（2，4]D．（2，3）∪（3，4]练习3.已知函数f（x）=lg的定义域为A，函数g（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域为B，则下述关于A、B的关系中，不正确的为（）A．A⊇B B．A∪B=B C．A∩B=B D．B⊊A练习4.函数f（x-4）的定义域为[3，27]，则函数f（x）的定义域为（）A．[-2，7]B．[-1，7]C．[-2，-1]D．[3，27]若函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数的定义域为（）A．（2，4]B．（2，3）∪（3，4]C．[1，4]D．[1，3）∪（3，4]练习6.若函数f（x）=ln（x+1），则函数g（x）=f（x）+f（-x）的定义域为（）A．（-1，2]B．（-1，1）C．（-2，2）D．[-2，2]填空题练习1.若函数在区间（-∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是______练习2.函数y=arccos（x-1）的定义域为_______．练习3.若函数在区间（-∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．练习4.已知函数y=f（x-1）的定义域为[0，2]，则f（ax）+f（），（a≥1）的定义域是__．练习5.函数y=（a>0，且a≠1）的定义域是（-∞，0]，则实数a的取值范围为_______．练习1.'函数f（x）=，（1）若f（x）的定义域为[-2，1]，求实数a的值．（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．'练习2.'设函数（a>0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并判断它的奇偶性；（Ⅱ）若，求x的取值范围．'练习3.'已知函数（x>0），（1）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由（2）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]时，值域为[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．'练习4.'设函数．（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的取值范围．'。

北师大版高中数学必修一学第二章映射讲解与例题

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1

预习测评
1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_．在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
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高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数在上是减函数,则的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称指数函数对数函数一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点０,1 1,０图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称；函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

人教版高中数学必修一教案：映射的概念

映射的概念1、映射的概念：设A,B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，使对于-______________________，在B 中都有 ______________________，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的 _______，记作_______2、对应与映射，映射与函数的关系_______ 二、例题分析：例1、如图所示的对应中，哪些是A 到B 的映射？例2、在下列集合A 到集合B 的对应中是映射的是（）A:*N B A ==,对应法则：|3|:-→x x fB:}1,0{,==B R A ，对应法则：⎩⎨⎧<≥→)0(0)0(1:x x x f C:R B A ==，对应法则：x x f ±→: D:Q B Z A ==,，对应法则：:f 取倒数例3、已知映射},|),{(,:R y R x y x B A B A f ∈∈==→，:f A 中的元素),(y x 对应B 中的元素为)134,123(-++-y x y xa 1a 2 a 3 a 4b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 a 2 a 1 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4a 2a 1b 1 b 2 b 3 b 4 a 2a 1b 1 b 2a 2 a 1 a 3 a 4b 1 b 2(1) (2)(3)(4)(5) (6)求A 中元素(1,2)与B 中的哪个元素对应？ A 中哪些元素与B 中元素（1,2）对应？例4、①集合{1,2,3,4},{5,6}A B ==，则A 到B 的不同映射有_______个。

②集合}1,0,1{},,,{-==N c b a M ，映射NM f →:满足0)()()(=++c f b f a f ，那么映射N M f →:的个数是_______个。

练习若B={-1，3，5}，试找出一个集合A ，使得:21f x x →-是A 到B 的映射。

2019-2020学年高一数学苏教版必修1同步练习：2.3 映射的概念 Word版含答案

姓名，年级：时间：2.3 映射的概念1、下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是（ )①;:,,M N R f x y x M y N ==→=∈∈1x。

②2;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈ ③|:,,|;M N R f x y x M y N +==→=∈∈1x x。

④3;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈.A.①② B 。

②③ C.①④ D 。

②④2、已知:f A B →是集合A 到B 的映射，又A B ==R ，对应法则2:23,f x y x x k B →=+-∈且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是（）A 。

(),4-∞-B 。

(1,3)-C 。

[),?-+∞4D 。

(,1)(3,)-∞-⋃+∞3、已知集合A 中元素(),x y 在映射f 下对应B 中元素(),x y x y +-,则B 中元素()4,2-在A 中对应的元素为( ） A. ()1,3 B 。

(1,6) C 。

()2,4 D 。

()2,64、设集合{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是（）A 。

B.C. D 。

5、下列对应不是映射的是( ）A. B 。

C 。

D 。

6、图中各图表示的对应能构成映射的个数有（ )A.3个 B 。

4个 C 。

5个 D 。

6个 7、在下列各对集合M 和Y 中，使对应法则21:1f x x →-可以作为集合M 到Y 的映射的是（ ) A 。

{}111,3,5,0,,824M Y ⎧⎫=---=⎨⎬⎩⎭B.{}1113,5,7,0,,,82448M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C 。

{}111,2,3,0,,38M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭D 。

{}110,2,4,6,1,,315M Y ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭8、下列对应关系不是映射的是（ )A 。

B. C. D.9、集合{04},{02}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ) A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.2:3f x y x →=D.:f x y x →=10、已知映射:,f A B →其中,A B R ==对应法则221:().3xxf x y +→=若对实数,m B ∈在集合A 中存在元素与之对应,则m 的取值范围是（ ) A 。

北师大版高中数学必修一课件第二章223映射

所以(4)不是函数，也不是映射.
已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是从 A 到 B 的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求 A 中元素 2的像和 B x＝ 2代入对应关系，得其像为( 2＋1，3)．由xx＋ 2＋11＝＝3254，，得 x＝12. 所以 2的像为( 2＋1，3)，32，54的原像为12. 【方法总结】关键是分清像与原像，以及像与原像间的对应关系，通过方程或方程组求解．
4．根据下列所给的对应法则，回答问题： ①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B； ②A＝{x|x 为高一(2)班的同学}，B＝{x|x 为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝x＋1|x|，x∈A，y∈B．
上述三个对应法则中，是映射的是________，是函数的是 ________．
答案：B
设集合 A＝{a，b，c}，B＝{m，n}，从 A 到 B 的映射共有几个？将它们分别表示出来．
【解】
从 A 到 B 的映射共 8 个．
【方法总结】在求从 A 到 B 的映射，确定 A 中每个元素的像时，要按照一定的顺序，防止重复或遗漏．B 中的某些元素可以无 A 中的元素与之对应．
3 基础知识达标
即学即练稳操胜券
1．若 f：A→B 能构成映射，下列说法正确的有( )
(1)A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一；(2)A 中的多个元
素可以在 B 中有相同的像；(3)B 中的多个元素可以在 A 中有相同
的原像；(4)像的集合就是集合 B．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
答案：①② ①
5．判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？

北师大版高中数学必修一课件《2.2.3映射》

课后作业
1.设f：A→B是集合A到B的映射，则下列说法正确的是[JY。]( ) A. A中每一个元素在B中必有象 B. B中每一个元素在A中必有原象 C. A中的不同元素在B中具有不同的象 D. A中的每一个元素在B中具有不同的象
2.下列各组中，集合P与M能建立一一映射的是[JY。]( ) A. P＝{0}，M B. P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8} C. P＝{有理数}，M＝{有序实数对} D. P＝{平面上的点}，Q＝{有序实数对}
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}， f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y). (1)求A中元素(5,5)的象；
【思路点拨】 ①f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}； (2)求B中元素(5,5)的原象.
②对应关系 f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)； ③A 是原象集，B 是象集，解答本题中的(1)可利用 x＝5，y＝5 代入对应关系求出(x＋2y＋2,4x＋y)的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组x4＋ x＋2yy＋＝25＝5 ，求出 x，y 的值便可.
必修一第二章第二节
【解析】设票价为 y，里程为 x，根据题意，如果某空调汽车运行路
线中设 21 个汽车站，那么汽车行驶的里程约为 20 公里，所以自变量 x 的
取值范围是(0,20］.则可得到以下函数解析式：y＝ 2345，，，，0511＜＜ 05＜＜xx≤ ≤ xx≤ ≤5101250
高中数学课件
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2.3 映射
永丰中学数学教研组
必修一第二章第二节
温故知新
1.数集A中任何一个元素在数集B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，这种对应关系叫集合A到集合B的映射，体现多对一或一对一.

【精编】人教A版高中数学必修一课件：映射的概念课件-精心整理

A f : 求正弦
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
90°
2 1
（2）
A f : 加3 B
4 1
5 2
6 3
7 4
（4） 8
映射也由三个部分组成，映射是一种特殊的对应。
练习、讨
论
一、下列图中所表示的对应是不是从A到B的
映射？为什么？
A
B
A
B
a 1
b 1
a 1
b 1
a 2
b 2
a 2
b 2
a 3
b 3
a 3
b 3
a 4
b 4
a 4
b 4
(1)
(2)
A
B
A
a
b
1
1
a
a 2
b 2
b
B e f g
a
b
c
h
3
3
d
a
b
i
4
4
(3)
(4)
b 的原象 1
一个从A 到B的映射，如果
a A,b B 且b与a对应，我们就把元素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素b 的原象。
一、下列图中所表示的对应是不是从A到B的
映射？为什么？
A
B象 A
B
a 1
b 1
a 1
b 1
a 2
b 2
a 2
b 2
a 3
b 3
a 3
b 3
a 4)
M
N
M
N
a
b
1
1
a
a 2
b 2

必修一数学第一章知识点【映射】

映射 · 数学定义设A 、B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每个元素a ，按法则f ，在B 中有唯一确定的元素b 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作f ：A→B。

其中，其中，b b 称为元素a 在映射f 下的象，记作：，记作：y=f(a); a y=f(a); a称为称为b 关于映射f 的原象。

集合A 中多有元素的像的集合记作f(A)f(A)。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。

在数学及相关的领域还用于定义函数。

函数是从非空数集到非空数集函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。

如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合（不限于数）（不限于数），我们可以得到映射的概念：映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。

按照映射的定义，下面的对应都是映射。

⑴设A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}，，B={3,5,7,9}B={3,5,7,9}，集合，集合A 中的元素x 按照对应关系“乘2加1”和集合B 中的元素2x-1对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。

⑵设A=N*A=N*，，B={0,1}B={0,1}，集合，集合A 中的元素按照对应关系“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。

⑶设A={x|x 是三角形是三角形}}，B={y|y>0}B={y|y>0}，，集合A 中的元素x 按照对应关系“计算面积”和集合B 中的元素对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。

⑷设A=R ，B={B={直线上的点直线上的点直线上的点}}，按照建立数轴的方法，是A 中的数x 与B 中的点P 对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。

人教版高一数学必修一各章知识点总结

人教版高一数学必修一各章知识点总结一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

（2）集合与元素的关系用符号=表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

（5）空集是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：二、函数的三要素：相同函数的判断方法：①对应法则；②定义域(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①含参问题的定义域要分类讨论；②对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

高一必修一数学映射知识点

高一必修一数学映射知识点数学作为一门重要的学科，拥有丰富而精彩的内容。

在高中数学学习中，映射是一个非常重要的知识点。

映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的方法。

本文将从映射的定义、映射的性质和应用等方面进行探讨。

首先，我们来看映射的定义。

映射可以简单理解为一个输入与输出之间的对应关系。

设A和B是两个非空集合，如果对于集合A中的每一个元素a，都有唯一确定的集合B中的元素b与之对应，那么我们就称这样的对应关系为映射。

通常用符号f表示映射，表示为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。

在学习映射的过程中，我们需要了解映射的一些重要性质。

映射的重要性质有两个，分别是单射性和满射性。

单射性指的是映射中每个元素在值域中都有唯一对应的元素。

换句话说，映射中不会存在两个不同的元素映射到值域中的同一个元素。

满射性则是指映射中的每个元素都至少有一个对应的元素在值域中。

也就是说，值域中的每个元素都有被映射到的元素。

而如果一个映射既满足单射性又满足满射性，我们就称之为双射。

双射是映射中最为理想的情况。

映射作为一个重要的数学工具，在生活中也有着广泛的应用。

一个常见的应用是数学模型中的映射。

数学模型是用来描述真实世界的数学方法。

映射在数学模型中经常被用来描述不同变量之间的关系。

例如，在人口增长模型中，我们可以定义一个映射，将时间作为输入，将人口数量作为输出。

通过这个映射，我们可以研究人口随时间变化的规律。

另一个应用是密码学中的映射。

密码学是保护信息安全的学科，映射在密码学中被广泛使用来进行加密和解密操作，保障信息的安全性。

除了上述应用之外，映射还有着其他一些特殊的类型。

比如说，我们可以将一个集合映射到它自身，这种映射称为恒等映射。

恒等映射保持集合中元素的原有顺序和对应关系。

又比如，有些映射满足交换律，即改变映射中元素的顺序不会改变映射的结果，这种映射称为交换映射。

交换映射在很多数学理论中都有着重要的地位。

综上所述，映射是高一数学必修一课程中的重要知识点。

【课件】人教A版数学必修一课件--_映射的概念

－2 －1 0 1 2 3
B
A －2 －1 0 1 2 3 3、设A＝{正数}，B＝R，对应法则是“求平方根”，这个对应是不是A到B的映射？
4、设A＝{x|x>0},B={x|0<x<12},对应法则是 “求算术平方根”，这个对应是不是从A到 B的映射？
想一想：
练
1. 设f : A B中，A＝{（x,y）|x,y是
b 2
b
e f g
a
b
c
h
3
3
d
a
b
i
4
4
(3)
(4)
下列图中所表示的对应是不是从A到B的映射？
原象
为什么？ A
B象 A
B
a 1
b 1
a 1
b 1
a
映射不同于一般的
2
a 3
b 2
b 3
a 2
a 3
b 2
b 3
对应在于：
a
4
b 4
a 4
b 4
(1)
(2)
A
B
A
B
象都存在
a 1
b 1
a
且唯一。
a 2
A f : 求正弦
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
90°
2 1
（2）
A f : 加3 B
4 1
5 2
6 3
7 4
（4） 8
定义
一般地，设A、B是两个非空集合， f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素在集合 B中都有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映

3-4.函数概念及三要素(学案)

B.（-3，-7）
C.（-6，-4）
D.（- 3 , 7 ） 22
答案：B
x
解析：
x
2 2
y y
5, 2,
x
y
3, 7.
x 2. 函数 y x 的图像是图中的（）
x
【解析】C.
当 x 0 时， y x x x 1；当 x 0 时， y x x x 1 ，满足要求的只有 C 选项中的函数图象，故选
( ) 这个答案不对，视频中是按照上面那个答案给的，但是第三行有问题，应该是
y
=
ìïïí146t,+0
£ 5
t t
£4 -4
,4
<
t
£
6
ï ïî26
+
7(t
-
6)
,t
>
6
（3）根据题意，16 5t 4 24 ，解得 t 5.6 .所以，要使 1 月份缴纳的水费不超过 24 元，该用户最多可以
x
x
C.
第6页共7页
3.下列四个图形中，不可能表示函数 y f (x) 的图象的是（）
【解析】D. 对于选项 A、B 和 C 中的图象，每一个自变量均有唯一的函数值与之对应，符合函数的要求，但是 D 选项中，存在自变量对应两个数值，不符合函数定义的要求，故选 D.
两函数的交点是 x 4 ，此时的函数值为 y 6 ，故选 C.
2. （1）若 f x 1 x2 2x 5 ，则 f x
.
（2）若 f x 2x 3， g x 2 f x ，则 g x
.
【解析】（1）设 t x 1，那么 x t 1，则 f t t 12 2 t 1 5 t 2 4t 8 ，所以 f x x2 4x 8

人教版高一数学必修一第一章知识点解析：函数及其表示

三一文库（）/高一〔人教版高一数学必修一第一章知识点解析：函数及其表示〕考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。

包括：一对一多对一考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

3.区间的概念：设a,bR,且a①(a,b)={xa⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。

②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

考点四、求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R;②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题。

人教版高中数学必修一课件：集合-映射

8
已知 ⑴
的映A射有多{1少,个2?,3},取,适B当的{对5应,法6}则
A到B ⑵以为定义域, 为值域的函数有多少个?
⑶在所有的以为定义域, 为值域的函数中,
满足 A
B 的函数有多少个?
A
B
f (1) f (2) f (3)
9
A B {a,b,c, d,e,, x, y, z}
A {a, b, c, d ,, x , y , z } B {a, b, c, d , , x , y , z }
考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}； (2)A={x|x是我班的女同学},
B={x|x是我班戴眼镜的同学}, C={x|x是我班戴眼镜的女同学}.
发现：集合C是由集合A中和集合B中的公共元素所组成的.
交集
一一映射：设A，B是两个集合，f : A B 是集合A到集合B
的映射，如果在这个映射下，对于A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 A到B上的一一映射
7
• 答：主要有两点区别： • (1) 映射要求A中的元素在B中有唯一的象，
而一一映射不仅要求A中的元素在B中有唯一的象，还要求A中不同的元素在B中有不同的象； • (2) 映射不需要B中的元素都有原象，而一一映射则要求B中的每一个元素都必须有原象。
映射
A 开平方
B93来自－342－2
1
1
－1
A
B
求平方
1
－1
1
2
－2
4
3
－3
9
A 求正弦 B

高中数学必修一函数的相关概念与映射

• 类型二映射中的象与原象
• 类型三函数的概念
• 类型四同一函数的判定
• 类型五函数的定义域
• 类型六求函数值
类型一映射的概念
• 例1：已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四
个对应关系中，能否构成A到B的映射？说明理由．
• 解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的定义，即A中的
同的；
三、映射
• 一般地，设A，B是两个非空的集合，�: � → �是集
合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A
中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中
每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B的一
一映射。
• 特别提醒：
• 对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合
B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合B中不
允许有剩余的元素。（2）对于集合A中的不同元素，
在集合B中有不同的象，也就是说，不允许“多对
一”；
四、函数的概念
• 设A、B是两个非空的数集，如果按某一个确定的
对应关系�,使对于集合A中的任意一个数�,在集
合B中都有唯一确定的数� � 和它对应，那么就
称�: � → �为从集合A到集合B的一个函数，记作
高中数学（北师大版）
必修一
• 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间
的依赖关系的重要数学模型；
• 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应
关系在刻画函数概念中的作用；
• 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义
域和值域.
• 一、映射的概念
• 二、象与原象的概念
• 三、映射
• 四、函数的概念

高一数学必修一映射课件PPT

D.在课堂上,教师带领学生,通过观察足球赛、电子游戏来总结物体的运动规律教学活动
E.在课堂上,讲到一个历史人物时,先让学生记笔记, 然后测验和这个人物相关的知识。
F.带领学生研究历史人物,并和自己现在的生活进行对比,设想如果这个历史人物生活在现代他会是怎样的。 G.最后,让学生谈谈这个历史人物在历史上的作为对我们现在的生活产生了哪些影响。 H.在课堂上,通过扔骰子给学生讲解概率论。
2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？
知识探究（一）
考察下列两个对应：
A
B
图1
A
B
图2
思考1:上述两个对应有何共同特点？
集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？
图1
A
B
图2
思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？
知识探究（二）
思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？
思考2:映射有哪几种对应形式？
一对一，多对一
思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
其中集合A中的元素x称为原象，在集合B 中与x对应的元素y称为象.
思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？
A
B
重新思考教学方式,让自己在课堂上变得比之前更加高效。