2020年平行线的有关证明单元测试题

2020年 平行线的有关证明单元测试题
时间: 120分钟 满分:120分 姓名:
一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）

1．下列命题中，是真命题的是 （ ）
A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
B. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．两直线被第三条直线所截，截得的同旁内角相等
D．垂直于同一直线的两条直线平行
2．如图1，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是 ( )
A．∠BAO与∠CAO相等 B．∠BAC与∠ABD互补
C．∠BAO与∠ABO互余 D．∠ABO与∠DBO不等

3．下列条件能判断直线a∥b的是 （ ）
A．∠1=∠2 B．∠4=∠2 C. ∠3=∠4 D．∠1=∠3

4．如图3，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，
则下列结论错误的是 （ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC

5．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图4所示放置，∠2=45°，则∠1等于（ ）
A．100° B．135° C．155° D．165°
6．下列命题是真命题的是 （ ）
A．相等的角一定是同位角 B．互补的角一定是同旁内角
C．同位角一定相等 D．平行线于同一直线的两直线平行

7．如图5，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于 （ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°

8． 如图6所示，已知AB∥CD，则下列结论正确的是 （ ）
A．∠A =∠D B．∠A =∠B C．∠A +∠1=180° D．∠DFA=∠D

9．下列说法中，正确的是 （ ）
A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
B．对顶角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角互补
D．和平行线中的一条直线垂直的直线，必垂直另一条
10．如图7，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC等于 （ ）
A．20° B．50° C．80° D．100°
11．如图8，梯形ABCD中，AB∥CD，，∠D的度数是 ( )
A.120° B.135° C.145° D.155°

12．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与
EF的长度相等，则C的度数为 （ ）
A．48° B．40° C．30° D．24°

二、填空题：(本题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果)．
13．请你写一个与平行线相关的正命题，你写的是 ．

14．如图10，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED的度数为 ．

15．如图11，已知直线AB、CD被直线AE所截，请利用∠1，∠2为条件，使得AB∥CD,你
添加的条件是 .
16．含30°角的直角三角板与直线
1l、2l的位置关系如图12所示，已知1

l
∥2l，

∠ACD=∠A，则∠1的大小为 ．

17．如图13，已知AB∥CD，则∠A，∠E, ∠C之间的关系是 .

三、解答题:本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
18．（满分5分）
如图14，已知点P是∠BAC的边AC上的一点.
（1）求作：直线PD,使得PD∥AB（保留作图的痕迹）；
（2）写出∠BAC与∠APD的关系式.
19．（满分5分）请根据“同位角相等，两直线平行”这条原理，论证内错角相等，两直线
平行.
要求：写出已知，求证，给出详细的证明，并注明理由.

20． （满分7分）三角板成为近几年中考数学舞台上的工具秀，颇受命题老师的亲睐,请你
也当一回命题人，利用一把直尺，一个三角板自编一题，并给出证明.
如图15，把三角板的直角顶点放在直尺的边b上．若∠1=40°，求∠2的度数.
21．（满分7分）
如图16，已知AD∥BC，借助这个图形，我们可以证明三角形内角和定理.请你试着完成.祝
你成功．

22． （满分8分）小明在做数学作业时，留出了许多的空白，请你顺着小明的证明思路，
把证明过程完善起来.
如图17，已知AB∥CD,EF平分∠PED，AG平分∠PAB.求证：EF∥AG.
证明：因为AB∥CD（已知），所以∠PAB=∠ （ ），
因为EF平分∠PED（已知），所以∠PEF= ∠PED （ ），
因为AG平分∠PAB（已知），所以 （ ），
所以 ，所以EF∥AG（ ）.
23． （满分8分）
如图18，在一个坡度为∠α=25°的斜坡上生长着两课笔直的松树AB和CD.
（1）若松树CD与斜坡的夹角为β.求∠β的大小；
（2）根据（1）的计算，猜想∠α，∠β二者之间有怎样的关系？直接写出结论.

24．（满分12分）如图19，已知AB∥CD.
（1）若∠α=65°，∠β=130°求∠θ的大小；
（2）根据（1）的计算，猜想∠α，∠β，∠θ三者之间有怎样的关系？试证明你的猜想.
参考答案：
一、选择题：

1．D
2．D
3．C
4．D
5．D
6．D
7．A
8．C

9．D
10．C
11．B
12．D
二、填空题：

13．
答案不唯一： 两直线平行，同位角相等.内错角相等，两直线平行等等.
14．114°
15．∠1+∠2=180°.

16． 60°

17． ∠E=∠A+∠C
三、
18．
解：（1）略；
（2）当PD与AB在AC的同侧时，∠BAC+∠APD=180°；
当PD与AB在AC的两侧时，∠BAC=∠APD.

19．
解：
如图，已知直线AB,CD被直线AE所截，且∠1=∠2.求证：AB∥CD.

证明：
因为∠2=∠3（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以∠1=∠3（等量代换），
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
20．
解：因为∠1=40°，∠BAC=90°，所以∠BAD=50°，
因为a∥b,所以∠BAD+∠2=180°，所以∠2=130°.
21．
证明：因为AD∥BC，所以∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，

因为∠DAB +∠EAC +∠BAC =180°，所以∠B +∠C +∠BAC =180°.

22．
解：
已知AB∥CD,EF平分∠PED，AG平分∠PAB.求证：EF∥AG.
证明：因为AB∥CD（已知），所以∠PAB=∠ PED （ 两直线平行，同位角相等），

因为EF平分∠PED（已知），所以∠PEF= 12 ∠PED （ 角平分线的定义），

因为AG平分∠PAB（已知），所以∠PAG 12 ∠PAB（ 角平分线的定义），
所以∠PAG=∠PEF ，所以EF∥AG（ 同位角相等，两直线平行）.

23．
解：（1）延长AB交EF于点G，根据生活经验知道，∠AGE=90°,因为∠α=25°，所以∠
EBG=65°.因为AB∥CD，所以∠ABD=∠β，因为∠ABD=∠EBG，所以∠β=65°.
（2）∠α+∠β=90°.
24．
解：
（1）过点E作EF∥CD，则∠γ+∠β=180°，因为∠β=130°，

所以∠γ=50°.因为AB∥CD，所以AB∥EF，所以∠α=∠θ+∠γ，因为∠α=65°，
所以∠θ=65°-50°=15°.
（2）∠α，∠β，∠θ三者之间的关系式是：∠θ=∠α+∠β-180°.
证明：过点E作EF∥CD，则∠γ+∠β=180°，所以∠γ=180°-∠β.
因为AB∥CD，所以AB∥EF，所以∠α=∠θ+∠γ，
所以∠θ=∠α-∠γ=∠α-（180°-∠β）=∠α+∠β-180°.
所以∠θ=∠α+∠β-180°.