第五课时全等三角形的判4

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八年级第5讲全等三角形的判定四(全等的综合)

第5讲全等三角形的判定四（全等的综合）【课前热身】1、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则下列结论中，错误的是（） A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO ＝∠EPOD ．PD ＝OD2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为（） A ．40 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3、如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠C ＝70°，求∠DAC 和∠BOA 的度数4、（本题10分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE ＝21BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD ＝DF【本讲说明】本讲重难点：全等三角形的综合，手拉手模型与半角模型这讲内容，是全等三角形这章的大综合，全等是中考常考知识点并且是几何的基础，奠定了后续所有几何的学习。

综合的难度提高，是对前面的简单复习，更是提高，其中，我们已经学习了三垂直模型，四大金刚模型，今天我们继续学习手拉手模型和半角模型。

这些模型是初二全等几何非常重要的模型，其证明过程巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。

【课程引入】提问式引入（顾及班上所有学生）老师：同学们，全等三角形这一章已经全部学完了，大家还记得这一章都学了哪些知识点呢？生：SSS，SAS，ASA， AAS，HL，四大金刚模型，三垂直模型……(学生七嘴八舌)师：很好，大家都说出了自己心里印象最深的一节，那我们一起回顾下本章内容。

这一章我们主要学习了全等三角形的概念，是什么？生：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

师：全等三角形有哪些性质？生：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应中线、角平分线、高线分别相等。

全等三角形的判定 (1-5课时)Microsoft Word 文档

全等三角形的判定第一课时：SSS教学目标知识与能力：（1）经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用，了解三角形的稳定性及其应用。

过程与方法：在探索三角形全等条件的过程中，让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力，培养学生推理意识和能力，发展学生的空间观念。

情感态度与价值观：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

教学重点：经历探索三角形全等条件的过程。

教学难点：对三角形全等条件的分析和探索。

教学过程引入：三角形全等的判定是中学数学重要内容之一，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后几何学习的基础。

本节课是探索三角形全等条件的第一课时，学好了将为下节课探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础；同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法，因此本节课占有相当重要的地位和作用。

复习回顾1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？2．创设情景，提出问题大家知道:一个三角形有三个角与三条边,那么两个三角形全等是否一定要三个角与三条边都对应相等,即这六个条件都成立。

如果满足这六个条件中的一个或两个，那么两个三角形会全等吗?小组合作完成课本第六页探究1。

通过探究可以发现满足上述条件中的一个和两个两个三角形不一定全等。

满足上述六个条件中的三个，能保证两个三角形全等吗？需分境况来讨论。

探究2：先画出一个三角形△ABC，你能画一个△A′B′C′，使AB= A′B′，AC= A′C′，BC= B′C′吗？教师介绍尺规作图。

师生一起完成：A B C D EF并△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 拼一拼，他们是否全等？4．归纳总结，得出新知三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS ”用符号语言表达为：在∆ABC 和∆DEF 中AB=DE∵AC=DFBC=EF∴∆ABC ≌∆DEF5．应用新知，体验成功要证明这两个三角形的三条边是否对应相等，从题目中得知，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，所以有BD=DC ，而AD=DA 是公共边，这样根据“SSS ”，所以题目所求证的这两个三角形就全等了。

全等三角形判定(边边边)第五课时

A D
B
C
例2，如图，点A，B，C，D在一条直线上。
已知AC=DB,AE=CF,BE=DF，说明∠E＝∠F 的理由。
ED=BC,BD=AC,
1）说明∠D=∠C的理由;
2 ) 说明DE=CE的理由.
D E C
A
B
练一练1
如图：已知BD=CE,AB=AC,点A是DE的中点，说明∠ABD与∠ACE相等的理由。
做一做
如图19．2．12，已知三条线段，以这三条线段为边，画一个三角形．
1．画一线段AB，使它等于线段c（4.5cm）
2．以点A为圆心、线段b（3cm）的长为半径
画圆弧，以点B为圆心、线段a（4cm）的长
为半径画圆弧，两弧交于点C；
3．连结AC、BC．△ABC即为所求．
同桌的两个同学把各自画的三角形叠在一起,
你发现这两个三角形有何关系
全等三角形的判定方法
在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这
两个三角形全等。（简记为：S.S.S）
在△ABC与△A′B′C′中, AB=A′B′ AC=A′C′ BC=B′C′
∴△ACB≌ △A′B′C′ （SSS）
例1，如图，已知AB＝CD，AD＝BC，
求证：∠A=∠C
1.“SSS”公理，三角形的稳定性及其应用；
2.判定两个三角形全等有四种方法： “SAS”、“ASA’’、“AAS”、“SSS”;
3.证角（或线段）相等转化为证角（或线段）所在的三角形全等;
小结与回顾
D A E
解： ∵ 点 A是 DE的中点 ∴ AD=AE(线段中点的定义 ) 在 △ ADB和 △ AEC中，
B
C
AD=AE(已证 ) BD=CE(已知 ) AB=AC(已知 ) ∴ △ ABD≌ △ ACE（ S.S.S）

1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)

当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）

三角形全等的判定(第四课时)教学课件(共19张PPT)初中数学人教版八年级上册

【总结】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
A
几何语言：由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的
思路吗？在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
B
C
AB = A′B′，
A′
BC = B′C′，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
谢谢观看
∴ Rt ABE≌Rt BCDHL .
练习 5 如图，点 B、C、E、F 在同一直线上， BE CF，AC BC 于点 C， DF EF 于点 F， AB DE ，求证： AB∥DE .
证明：∵ AC BC，DF EF ，
∴ ACB DFE 90 ，
∵ BE CF ，∴ BE CE CF CE ，
证明： DE AB ， DF AC ，
BED CFD 90，
D 是 BC 上的中点，BD CD ，
在
Rt△BED
和
Rt△CFD
中，
BD DE
CD DF
Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ，B C .
斜边、直角边（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）
SSS、AAS、ASA、SAS适用于一般三角形； HL只适用于直角三角形.
D A
C B
已知
一般三角形
三边两边一角
两角一边
方法 SSS
SAS
ASA AAS
直角三
两边
HL SAS
角形
一边一角
ASA AAS
特别说明
其中角为两边的夹角对于两个三角形只需有两个角和一边
对应相等则其全等两边可以为斜边和直角边，或两直角边

全等三角形的判定“HL”人教版八年级数学上册课件

12.2全等三角形的判定第4课时“HL”-人教版八年级数学上册课件
新知小练
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全
等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ AAS）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ × ）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（ AAS ）
（4）两直角边对应相等；
（ SAS ）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（ HL ）
12.2全等三角形的判定第4课时“HL”-人教版八年级数学上册课件
12.2全等三角形的判定第4课时“HL”-人教版八年级数学上册课件
例题解析
例1、如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
12.2全等三角形的判定第4课时“HL”-人教版八年级数学上册课件
A B
D C
12.2全等三角形的判定第4课时“HL”-人教版八年级数学上册课件
例题解析
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果
AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
A
A′ （1）先画∠M C′ N=90°
（2）在射线C′M上截 B′C′=BC
（3）以点B′为圆心，AB为半径
B
CM
B′
C ′ 画弧，交射线C′N于A′ （4）连接A′B′

12-2《三角形全等的判定》(共4课时)教案

12-2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1 如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长； (2)画线段A ′B ′，使A ′B ′＝AB ；(3)分别以A ′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA ′B ′，∠EB ′A ′，使∠DA ′B ′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A ′D 与B ′E 交于一点，记为C ′. 即可得到△A ′B ′C ′.将△A ′B ′C ′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”)这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”)例如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE. [师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题．学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC 上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．多媒体出示教材例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中， ⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD. 想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边． 2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL .思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？ 3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．。

12_2三角形全等的判定(第5课时)

教学设计二次备课一、知识梳理问题1 请同学们回答以下问题：（1）判定两个三角形全等的方法有哪些？（2）判定两个直角三角形全等的方法有哪些？（3）在三角形全等的判定方法中，至少要几个条件？二、证题思路建构问题2 已知：如图，（1）当AB =DC 时，再添一个条件证明△ABC ≌△DCB ，这个条件能够是 .（2）当∠A =∠D 时，再添一个条件证明△ABC ≌ △DCB ，这个条件能够是 .分析在△ABC 和△DCB 中，已经具备了什么条件？（1）若要以“SAS ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；（2）若要以“ASA ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；（3）若要以“AAS ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；（4）若要以“SSS ”为依据，还缺条件＿＿＿＿．三、证明两个三角形全等的基本思路（1）已知两边；（2）已知一边一角；（3）已知两角．四、典型例题例1 已知：如图，（1）若AB =DC ，∠A =∠D ，你能证明哪两个三角形全等？（2）若AB =DC ，∠A =∠D =90°，你能证明哪两个三角形全等？五、展开变式，实行探究 AB CD EABC D E变式1 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线，求证：AB = DC . 变式2 已知：如图，AB =DC ，AC =DB ．求证：EA =ED . 变式3 已知：如图，AB =DC ，AC =BD ．求证：EA =ED . 变式4 如图，延长BA 、CD 交于点P ：（1）若PA =PD ，PB =PC ．求证：BE =CE ；（2）若PA =PD ，∠B =∠C ．求证： BE =CE ；（3）若PA =PD ，∠BAC =∠BDC ．求证： BE =CE ．六、证两三角形全等的方法（1）先确定要证哪两个三角形全等；（2）在图中标出相等的边和角（公共边、公共角以及对顶角都是隐含条件）；（3）分析已知条件，欠缺条件，选择判断方法．七、布置作业A B C DEA B CDE PD。

2.5 第5课时全等三角形的判定(SSS)

AB=AC， BH=CH， AH=AH，
BH=CH， BD=CD， DH=DH，
△ABD≌△ACD(SSS)
A
△ABH≌△ACH(SSS) B
△BDH≌△CDH(SSS)
D HC
课堂小结
三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等的两个三角形全等.
三边分别相等的两个三角形
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
课后作业
见《名师学案》本课时练习
A
E
A×
D
= ×× =
B D FC
=
=
O
B
×C
2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：
①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD
≌△CDB；④BA∥DC. 正确的个数是
( C)
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是
为了
(C )
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框
ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(D )
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角 A D.三角形的稳定性
E
D
F
B
C
当堂练习
1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
要使△ABF≌△ECD，还需要条件 BF=CD（答__案_不唯一. ）
你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗?
讨论
观察上面这些图片，你发现了什么？发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？
这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性.

三角形全等的判定教案

三角形全等的判定教案教学目标1。

通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2。

比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3。

初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4。

掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程设计一、实例演示，发现公理1．教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2．在此过程当中应启发学生注意以下几点：（1）可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。

如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm，可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。

因此△BAD可与△CAE重合，说明△BAD≌△CAE。

（2）每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3。

画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、提出公理1。

板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．2．强调以下两点：（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中，（指明范围）三、应用举例、变式练习1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，例1已知：如图3-51，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．分析：△ABD≌△CBD因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．（3）可将此题做条种变式练习：练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD。

全等三角形的判定-2021-2022学年八年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

第05讲全等三角形的判定考点定位精讲讲练一.全等三角形的判定三角形全等判定方法1：文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，''''''(..)''AB A B A A ABC A B C S A S AC A C =⎧⎪∠=∠∴∆∆⎨⎪=⎩≌三角形全等判定方法2：文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：C'B'A'C B A符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，''''''(..)'A A AB A B ABC A B C A S A B B ∠=∠⎧⎪=∴∆∆⎨⎪∠=∠⎩≌三角形全等判定方法3：文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，'''''(..)''A A B B ABC A B C A A S BC B C ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∆∆⎨⎪=⎩≌三角形全等判定方法4：文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，'''''''(..)''AB A B AC A C ABC A B C S S S BC B C =⎧⎪=∴∆∆⎨⎪=⎩≌ 直角三角形全等的判定：图形定理符号C'B'A'C B A C'B'A'C B A C'B'A'C B A如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B ==，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌ 二、证题的思路（难点）考点一：利用SAS 判断两个三角形全等典例1（2020惠州市期末）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE .求证：AF=CE .【答案】证明见解析【分析】由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，即可得出AF ＝CE ．【详解】C'B'A'C B A证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BC D B DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．变式1-1（2018·丹江口市期末）如图，点E,F 在AB 上，,,AD BC A B AE BF =∠=∠=. 求证：ADF BCE ∆≅∆.【分析】先将转化为AF ＝BE ，再利用证明两个三角形全等.【详解】证明：因为AE ＝BF ，所以，AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE ，在△ADF 和△BCE 中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，ADF BCE ∆≅∆变式1-2（2019·武汉市期中）已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【答案】证明见解析.【解析】证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠ B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）变式1-3（2019·兰州市期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明△ABE ≌△ACF 即可；（2）根据△ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒-︒=75°，故答案为75．考点二：利用ASA 判断两个三角形全等典例2（2019·玉林市期中）如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．变式2-1（2018·楚雄州期末）如图，完成下列推理过程：如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠3，∠E＝∠C ，AE ＝AC ，求证：△ABC ≌△ADE.证明：∵∠E＝∠C （已知），∠AFE＝∠DFC（）,∴∠2=∠3（）,又∵∠1＝∠3（）,∴∠1=∠2（等量代换），∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（）, 即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE 中∵()()()E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知已知已证∴△ABC≌△ADE（）.【答案】对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA 【详解】解：∵∠E=∠C （已知），∠AFE=∠DFC （对顶角相等），∴∠2=∠3（三角形内角和定理）．又∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC （等式的性质），即∠BAC=∠DAE ．在△ABC和△ADE 中，∵E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证），∴△ABC≌△ADE（ASA ）．变式2-2（2019·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.【答案】见解析.【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.考点三：利用AAS判断两个三角形全等典例3（2019·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFB＝∠AED＝90°，∴△AED≌△CFB（AAS）．（2）证明：∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．变式3-1（2019·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】()1根据同角的余角相等可得到24=，可证∠=∠，再加上BC CE∠=∠，结合条件BAC D得结论；()2根据90D∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到，，得到145∠=︒=ACD AC CDDEC∠=︒-∠=︒．∠=∠=︒，由平角的定义得到1805112.53567.5【详解】()1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒， 2334，∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEC (AAS )，AC CD ∴=；（2）∵∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∴∠1＝∠D ＝45°，∵AE ＝AC ，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC ＝180°－∠5＝112.5°．变式3-2（2019·温州市期中）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，//AB CD ，ABE CDF ∠=∠，AF CE =.试说明：ABE CDF ∆≅∆.【答案】见解析；【分析】由AB ∥CD 可得∠BAC =∠DCA ，由AF =CE 可得AE =CF ，由AAS 可得△ABE ≌△CDF ．【详解】证明∵AB CD ∕∕，∴BAC ACD ∠=∠∵AF CE =，∴AF EF CE EF +=+，即AE FC =.在ABE ∆和CDF ∆中，BAC ACD ABE CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CDF ∆∆≌（AAS ）考点四：利用SSS 判断两个三角形全等典例4（2019·德州市期中）已知：如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．求证：DE ＝DF ．【分析】连接AD ，利用“边边边”证明△ABD 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．【详解】证明：如图，连接AD ，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF （全等三角形对应边上的高相等）．变式4-1（2019·阳泉市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，求证：∠1＝∠ 2.【答案】证明见详解【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD ≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE ≌△ACE,即可得到结论.【详解】证明:∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,在△ABD 和△ACD 中,AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,在△ABE 和△ACE 中, ,AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACE∴∠1=∠ 2.变式4-2（2019·鄂州市期中）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD=CF ，AB=DE ，BC=EF.(1)求证：ΔABC ≌△DEF ；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37° 【解析】（1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且AD=CF∴AC=DF在△ABC 和△DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°变式4-3（2020·石家庄市期末）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ．（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE,理由见解析. 【解析】（1）证明：∵BF=EC ，∴BF+CF=CF+CE ，∴BC="EF"∵AB=DE ，AC="DF"∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）AB ∥DE,AC ∥DF,理由如下，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE,∴AB ∥DE,AC ∥DF.考点五：利用HL 判断两个直角三角形全等典例5（2019·云龙县期中）已知：如图，AC=BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD=BC【分析】连接CD ，利用HL 定理得出Rt △ADC ≌Rt △BCD 进而得出答案．【详解】证明：如图，连接CD ，∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ，∴∠A=∠B=90°，在Rt △ADC 和Rt △BCD 中CD CD AC BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ），∴AD=BC ．变式5-1（2019·开封市期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt △DCE ≌Rt △BFA （HL ），由全等三角形的性质即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A ，根据平行线的判定即可得到AB ∥CD.【详解】证明： ∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC∴ ∠DEC=∠BFA=90°在Rt △ DEC 和Rt △ BFA 中AB=CD DE=BF∴ Rt △ DCE ≌Rt △ BFA （HL ）∴ AF=CE∴ ∠C=∠A∴ AB ∥ CD变式5-2（2018·开封市期末）如图，D 、C 、F 、B 四点在一条直线上，AB DE =，AC BD ⊥，EF BD ⊥，垂足分别为点C 、点F ，CD BF =．求证：（1）ABC EDF ∆≅∆；（2）//AB DE ．【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到∠D ＝∠B ，则可证得结论．【详解】证明：（1）∵AC BD ⊥，EF BD ⊥，∴ABC ∆和EDF ∆为直角三角形，∵CD BF =，∴CF BF CF CD +=+，即BC DF =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，AB DE BC DF=⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABC Rt EDF HL ∆≅∆；（2）由（1）可知ABC EDF ∆≅∆，∴B D ∠∠=，∴//AB DE ．考点六：三角形全等判定的综合典例6（2019·保定市期末）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【答案】B【解析】乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．变式6-1（2019·武汉市期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．变式6-2（2020·杭州市期末）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC【答案】C【解析】解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等．故选C．变式6-3（2018·虹桥区期中）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC【答案】D【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．解答：【详解】分析：∵AD=AD，A 、当BD=DC ，AB=AC 时，利用SSS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；B 、当∠ADB=∠ADC ，BD=DC 时，利用SAS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；C 、当∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD 时，利用AAS 证明△ABD ≌△ACD ，正确；D 、当∠B=∠C ，BD=DC 时，符合SSA 的位置关系，不能证明△ABD ≌△ACD ，错误．故选D ．一、单选题1．（2021·全国八年级课时练习）如图，点B 在AE 上，CAB DAB ∠=∠，要通过“ASA ”判定ABC ABD △≌△，可补充的一个条件是（）A ．CBA DBA ∠=∠B ．ACB ADB ∠=∠C ．AC AD = D ．BC BD =【答案】 A 【分析】根据“ASA ”的判定方法添加条件即可．【详解】解：在△ABC 与△ABD 中，CAB DAB AB ABCBA DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ABD （ASA ），故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．2．（2021·全国八年级课时练习）下列一定能使△ABC ≌△DEF 成立的是（）A ．两边对应相等B ．面积相等C ．三边对应相等D ．周长相等【答案】 C 【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．【详解】解：A 、两边对应相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；B 、面积相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；C 、三边对应相等，根据SSS 即可证明△ABC ≌△DEF ，该选项符合题意；D 、周长相等，不能使△ABC ≌△DEF 成立，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等．3．（2021·福建八年级期中）如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，CD 、BE 相交于点O ，已知CD BE =．现在添加以下一个条件能判断ABE ACD △≌△的是（）A ．AB AC =B ．AE AD =C ．B C ∠=∠D ．BD CE =【答案】C 【分析】由已知条件CD BE =、∠A =∠A ，结合各选项条件分别依据“AAS 、ASA 、SSA 、SAS ”，逐一作出判断即可得，其中SSA 不能任意判定三角形全等．【详解】解：A ．由CD =BE 、∠A =∠A 、AB =AC 不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意； B ．由CD =BE 、∠A =∠A 、AE AD =不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意； C ．由CD =BE 、∠A =∠A 、B C ∠=∠可依据“AAS ”△ABE ≌△ACD ，此选项符合题意； D ．由CD =BE 、∠A =∠A 、BD CE =不能判定△ABE ≌△ACD ，此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．（2021·香河县第九中学八年级期中）如图，已知：12∠=∠，要证明ABC AED ≌△△，还需补充的条件是（）A ．,AB AE BC DE ==B ．,AB AE AC AD == C ．,AC AE BC DE==D ．以上都不对【答案】B 【分析】首先证明∠BAC =∠1+∠DAC =∠ADC +∠2=∠EAD ，然后根据全等三角形的判定条件进行判断即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC =∠1+∠DAC =∠ADC +∠2=∠EAD ，当AB =AE ，BC =DE 时，“SSA ”不能判定△ABC ≌△AED ，故A 选项不符合题意；当AB =AE ，AC =AD 时，可以用“SAS ”判定△ABC ≌△AED ，故B 选项符合题意；当AC =AE ，BC =DE 时，“SSA ”不能判定△ABC ≌△AED ，故C 选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．5．（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 即是AOB ∠的平分线．画法中用到三角形全等的判定方法是（）．A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL【答案】 A 【分析】由三边相等得COM CON ≅，即由SSS 判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．【详解】解：由图可知，CM CN =，又OM ON =，在MCO 和NCO 中，MO NO CO CO NC MC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()COM CON SSS ∴≅，AOC BOC ∠=∠∴，即OC 是AOB ∠的平分线．故选 A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．6．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）如图，经过平行四边形ABCD 的对角线AC 中点的直线分别交边CB ，AD 的延长线于E ，F ，则图中全等三角形的对数是（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】 C 【分析】根据已知条件及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】：四边形ABCD 为平行四边形，EF 经过AC 的中点，AB CD ∴=，AD BC =，AO CO =，AOE COF ∠=∠，F E ∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AOE COF ∠=∠，BAF DCE ∠=∠，()∴∆≅∆AOH COG ASA ，()∆≅∆AOF COE ASA ，()FDG EBH ASA ∆≅∆，()ABC CDA SSS ∆≅∆，()∆≅∆AFH CEG ASA ．故图中的全等三角形共有5对．故选:C【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，ASA 等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．7．（2021·兰州市第五十五中学八年级月考）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AE 是经过点A 的一条直线，且B 、C 在AE 的两侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，AD =CE ，则∠BAC 的度数是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C 【分析】首先证明△BAD ≌△CAE ，可得∠BAD =∠ACE ，由∠ACE +∠CAE =90°，可得∠BAD +∠CAE =90°即可解答．【详解】解：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB =∠E =90，在Rt △BAD 和Rt △ACE 中，AB =AC 、 AD =EC∴△BAD ≌△CAE （HL ），∴∠BAD =∠ACE ，∵∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAC =∠BAD +∠CAE =90°．故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．二、填空题8．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知AB CB =，要使ABD CBD ≌△△()SSS ，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．【答案】AD CD =【分析】要利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，已知AB CB =，公共边BD BD =,只需要再添加一组对边相等即可．【详解】解：∵AB CB =，BD BD =，∴要利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD CD =，故答案为：AD CD =．【点睛】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．9．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知,,AF BE A B AC BD =∠=∠=，经分析__________≌__________，依据是__________．【答案】ADF BCE SAS【分析】利用SAS 得出全等三角形.【详解】证明：∵AC ＝BD ，∴AD ＝BC ，在△ADF 和△BCE 中∵AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△BCE （SAS ）.故答案为：①ADF ，②BCE ，③SAS . 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键10．（2021·青岛大学附属中学八年级期中）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ON =，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是AOB ∠的平分线．小旭这样画的理论依据是______．【答案】HL【分析】由“HL ”可证Rt △OMP ≌Rt △ONP ，可得∠MOP =∠NOP ，可证OP 是∠AOB 的平分线．【详解】解：∵∠OMP =∠ONP =90°，且OM =ON ，OP =OP ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP =∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt △OMP ≌Rt △ONP 是本题的关键．11．（2021·全国八年级课时练习）已知线段a ，b ，c ，求作ABC ，使,,BC a AC b AB c ===． ①以点B 为圆心，c 的长为半径画弧；②连接,AB AC ；③作BC a =；④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是__________．【答案】③①④②【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．=，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长【详解】解：先作BC aAB AC，则ABC即为所求．为半径画弧，两弧交于点A，然后连接,故答案为：③①④②．【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．（2021·全国八年级课时练习）如图，AD=BC，若利用“SSS”来证明△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是__________．=【答案】AB CD【分析】根据“SSS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．【详解】解：∵AD=BC，BD=DB，∴当添加AB=CD时，可根据“SSS”判断△ABD≌△CDB．故答案为：AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2021·全国八年级课时练习）如图，AC=BD，AF=DE，BF=CE，∠E=30°，∠A=45°，则∠ACE=__________．【答案】75︒【分析】利用“SSS ”证明△ABF ≌△DCE ，即可求解．【详解】解：∵AC =BD ，∴AC −BC =BD −BC ，∴AB =DC ，又∵AF =DE ，BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE (SSS )，∴∠D =∠A =45°，∴∠ACE =∠D +∠E =45°+30°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．14．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知CAB DAE ∠=∠，要使()ABD ACE SAS △≌△，需加的两个条件是__________．【答案】AB AC AD AE ==，【分析】根据CAB DAE ∠=∠得到CAE BAD ∠=∠，根据SAS 添加条件即可；【详解】∵CAB DAE ∠=∠，∴CAE BAD ∠=∠，当AB AC AD AE ==，时，得到()ABD ACE SAS △≌△；故答案是：AB AC AD AE ==，．【点睛】本题主要考查了探索全等三角形全等的条件，准确分析判断是解题的关键．15．（2021·全国八年级课时练习）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC ．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C 爬到D 所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）【答案】BE【分析】根据全等三角形的判定及性质证明CD =BE 即可得到结论．【详解】∵ABC 和ADE 是等腰直角三角形，∴,,90AB AC AE AD BAC EAD ==∠=∠=︒，∴BAC EAC DAE EAC ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，在ABE △和ACD △中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌ACD △（SAS ），∴BE CD =．故答案为：BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题16．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，,12AB AC =∠=∠求证：AD BC ⊥．【分析】利用SAS 证明ABD ACD △≌△，得到34∠=∠，即可求解．【详解】证明：在ABD △和ACD △中，,12,,AB AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD ACD SAS △△≌．∴34∠=∠．又∵34180∠+∠=︒，即23180∠=︒，∴390∠=︒，∴AD BC ⊥．【点睛】此题考查了全等三角形的证明与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．17．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，//AB CD ，E 是AB 的中点，,EC ED ECD EDC =∠=∠，求证：（1）AEC BED ∠=∠；（2）AC BD =．【分析】（1）根据∠ECD ＝∠EDC ，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS 证明△AEC 与△BED 全等，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】证明：（1）∵//AB CD ，∴,AEC ECD BED EDC ∠=∠∠=∠，∵ECD EDC ∠=∠，∴AEC BED ∠=∠；（2）∵E 是AB 的中点，∴AE BE =，在AEC 和BED 中，AE BE AEC BED EC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEC BED SAS ≌，∴AC BD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021·全国八年级课时练习）如图，在ABC 中，A ∠是锐角，AF AE =，BF CE 、是高，你能说明BF CE =吗？【分析】根据AAS 易证△AEC ≌△AFB ，再利用全等三角形的性质即可求证结论．【详解】解：∵BF 、CE 是高，∴90AFB AEC ∠=∠=︒，在AFB △和AEC 中，,,,A A AF AE AFB AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△AFB （AAS ），∴BF CE =．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“AAS ”证得△AEC ≌△AFB ．19．（2021·全国八年级课时练习）如图，//,,//AC DF AD BE BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】利用直线平行得出A EDF ∠=∠以及ABC E ∠=∠，再根据题意求得AD BE =，最后利用ASA 定理来证明即可．【详解】证明：∵//AC DF ，∴A EDF ∠=∠，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，即AB DE =，在ABC 和DEF 中，ABC E AB DE A EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴()ABC DEF ASA ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解决问题的关键．20．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知,,,CE AB DF AB AC BD CE DF ⊥⊥==．求证：//AC BD ．【分析】利用()HL Rt ACE Rt BDF ≌全等，来求得A B ∠=∠，利用内错角相等求得//AC BD ．【详解】证明：∵,CE AB DF AB ⊥⊥，∴90CEA DFB ∠=∠=︒，又∵,AC BD CE DF ==，∴()HL Rt ACE Rt BDF ≌，∴A B ∠=∠，∴//AC BD ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与应用，以及两直线平行的判定，熟练掌握是关键．21．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图1，已知ABC 中，90BAC ∠=，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE ≅；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE −CE【分析】（1）根据题意可得ABD EAC ∠=∠，结合BDA AEC ∠=∠，AB AC =直接用AAS 证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-；（3）方法同（1）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =+（4）方法同（1）结论同（2）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-．【详解】（1）证明：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴()ABD CAE AAS ≌．（2）解：∵ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．（3）解：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌．∴BD AE =，AD CE =，AE AD DE =+，∴BD DE CE =+．（4）解：BD DE CE =-．理由如下：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．22．（2021·四川省成都市七中育才学校）如图1，已知Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 是AB 上一点，且8AC =．45DCA ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，交CD 于点F ．（1）如图1，若2AB AC =，求AE 的长；（2）如图2，若30B ∠=︒，求CEF △的面积；（3）如图3，点P 是BA 延长线上一点，且AP BD =，连接PF ，求证：PF AF BC +=．【答案】（1）1655AE =；（2）8(23)ECF S ∆=-；（3）证明见解析部分【分析】（1）利用勾股定理求出BC ，再利用面积法求出AE 即可．（2）如图2中，在CE 上取一点J ，使得FJ CJ =，连接FJ ．设EF m =，想办法构建方程求出m 即可解决问题．（3）如图3中，过A 点作AM CD ⊥于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ，证明()AMF DMN ASA ∆≅∆，推出AF DN CN ==，再证明()APF DBN SAS ∆≅∆，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，2AB AC =，8AC =，16AB ∴=，90BAC ∠=︒，222281685BC AC AB ∴=+=+=，AE BC ⊥，1122ABC S BC AE AC AB ∆∴=⋅⋅=⋅⋅， 816165585AE ⨯∴==．（2）解：如图2中，在CE 上取一点J ，使得FJ CJ =，连接FJ ．90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，903060ACE ∴∠=︒-︒=︒，AE BC ⊥，8AC =，cos604CE AC ∴=⋅︒=，45DCA ∠=︒，15FCE ACE ACD ∴∠=∠-∠=︒，JF JC =，15JFC JCF ∴∠=∠=︒，30EJF JFC JCF ∴∠=∠+∠=︒，设EF m =，则2FJ JC m ==，3EJ m =， ∴324m m +=，4(23)m ∴=-，4(23)EF ∴=-，144(23)8(23)2ECF S ∆∴=⨯⨯-=-．（3）证明：如图3中，过A 点作AM CD ⊥于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ．90BAC ∠=︒，AC AD =，AM CD ∴⊥，AM DM CM ==，45DAM CAM ADM ACD ∠=∠=∠=∠=︒，DN CN ∴=，NDM NCM ∴∠=∠，AE BC ⊥，90ECF EFC MAF AFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，AFM EFC ∠=∠，MAF ECF ∴∠=∠，MAF MDN∴∠=∠，∠=∠，AMF AMN∴∆≅∆，()AMF DMN ASA∴==，AF DN CN∠=︒，AC AD90BAC=，DAM CAM ADM ACD∴∠=∠=∠=∠=︒，45∴∠=∠=︒，NAP CDB135∠=∠，MAF MDN∴∠=∠，PAF BDN=，AP DB∴∆≅∆，()APF DBN SAS∴=，PF BN=，AF CN∴+=+，PF AF CN BN+=．即PF AF BC【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

12.2 《三角形全等的判定(四)(HL)》教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册

12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （）∴∠ = ∠ （）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。

19.2.5直角三角形全等的判定(第五课时)课件

斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)推理格式
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△ABC 中

B
AB= AB
BC=
BC
A
∴Rt△ABC≌
Rt△ ABC (HL)
A′
C B′
C′
已知：如图,在△ABC和△ABD 中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD.
D
C
例1
A
B
练习
1. 如图∠C= ∠D=90，要证明 △ACB≌ △BDA ，至少再补充几个条件，应补充什么.如图在△ABC中，已知BD⊥AC， CE ⊥AB，BD=CE。说明△EBC≌ △DCB的理由。
A
E
D
B
C
巩固练习
• 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90，在 BC上截取BF=BA，作DF⊥BC，交AC于D 点，连结BD，作AE⊥BC于E点，交BD于 G点，连结GF，试说明：GD平分∠AGF和∠ADF。
学习目标
• 1、通过画图、操作等教学活动，探索直角三角形全等的判定方法 • 2、掌握直角三角形全等的特殊判定方法（HL) • 3、能灵活地运用所学的判定方法判定两个直角三角形全等，从而解决线段或角相等的问题
快乐探究
• 1、动手操作：P74“做一做”并思考其后问题 • 2、直角三角形的判定定理是： • 3、HL判定定理，应用时要注意先决条件，即必须在 --------直角三角形中才能应用。
A D G B
E
F
C

人教版八年级上册数学课件：12.2 全等三角形的判定(HL

由此得，判定两个直角三角形全等的方法：如果直角三角形斜边和一条直角边对应相等，
那__么__这_两__个__直__角__三_角__形__全__等__。_______________ （简写成“斜_ 边和一直角边 _”或“HL_____”）.
三、研读课文
知用
识“
HL
点
二”
：
的应
例5 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD, 求证：BC=AD.
三、研读课文
知识“ 点二” ：的
应用
HL
2、如图，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF. 求证：CF=BE.
证明： ∵AE⊥BC,DF⊥BC ∴∠AEB=∠CFD=90° 在Rt△AEB和Rt△CFD中
AB=CD AE=DF
∴Rt△AEB≌Rt△CFD (H L) ∴CF=BE (全等三角形对应边相等)
第十二章全等三角形第五课时 12.2.4
全等三角形的判定（HL）
一、新课引入
1、简写关于一般的三角形全等的判定方法： ___S_A_S_、__A_S_A_、_A_A_S_、___SS_S_。_______________ . 2、直角三角形是一种特殊的三角形，它有自己特殊的全等判定方法吗？
二、学习目标
2、下列结论不正确的是（ A ）. A、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等. B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等. C、一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等. D、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
五、强化训练
3、如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠BAC=40°，则∠ACD=（ C ）.
知识“ 点
时到达D、E两地。DA⊥AB、EB⊥AB。D、E与路段 AB的距离相等吗？为什么？

全等三角形的判定——边边边说课稿

八年级数学《全等三角形的判定——边边边》说课稿各位老师，大家好。

今天我说课的题目是《全等三角形的判定——边边边》,接下来我将从以下几个方面来说说我对这节课的认识和教学过程的设计。

一、说教材教材分析是上好一节课的前提，《全等三角形的判定——边边边》是湘教版中学数学八年级上册第二章《三角形》第五节第五课时的内容。

它是在全等三角形的基础上讨论的，为进一步构建全等三角形的判定方法奠定了基础，是初中学习的重要内容。

二、学情分析1、学生的知识技能基础学生在前几节中，已经了解了三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），以及三角形三边之间的关系、图形的全等和全等三角形等，对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”来说已经具备了一定的知识技能基础。

2、学生活动经验基础在本节学习之前，学生已经经历了一些探索图形的全等和全等三角形的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、教学目标、重点和难点（一）教学目标1、会运用全等三角形的判定4—边边边定理判断三角形全等2、培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟分类、转化的数学思想方法。

3、培养学生勇于实践、大胆创新的精神和积极探求真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约和数学来源于实践、又作用于实践的辩证唯物主义观。

（二）教学重点理解并掌握边边边定理及应用（三）教学难点边边边定理的应用和辅助线的添加四、说教法和学法好的教学方法可以达到事半功倍的效果，本节课我将采用的是教学方法有讲授法、练习法。

五、说教学过程下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。

（一）新课导入首先是导入环节，我将采用温故知新法进行课堂导入，在课程开始前，通过提问的方式，复习上节课所学习的内容：三角形全等的条件。

132三角形全等的判定第五课时

情境问题:
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm， 7cm，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简写为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边边边” 或“SSS”。
1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形；
2. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）； 3. 书写格式： ①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。
课后作业
如图，已知AB=CD，BC=DA．
说出下列判断成立的理由：
A
D
（1）△ABC≌△CDA；
（2）∠B=∠D。
B
C
A
用数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
BC=EF，
D
CA=FD，
所以 △ABC ≌△ DEF（SSS）。 E
F
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形
全等。
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
例1 如图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD
是连接A与BC中点D的支架。求证：△ABD≌△ACD。
所以AD+DB=BF+DB，
即AB=DF
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：因为BD=CE，
A
所以 BD-ED=CE-ED，即BE=CD。
在AEB和ADC中，
AB=AC，
B ED C
AE=AD，
BE=CD，