人教版 成才之路 数学选修(2-2)课后强化作业16
《成才之路》高二数学人教A版选修2-2课后强化作业：1-2-1几个常用函数的导数.doc
基础巩固强化
一、选择题
1. 若函数 / （兀） =心，则广 （1）等于 （ ）
A. 0
B. —*
C? 2
D?
*
［答案］ D
［解析］ /' （ x） = （ S） '=点,
所以 /' ⑴=2 ，迅=刍故应选 D.
2. 抛物线 y^x2 在点 （2，1）处的切线方程是（ ）
A. x—y—l=O
B. 6 米/ 秒
C. 5 米/ 秒
D. 8 米/ 秒
［答案］ C ［解析］ v(t)=s r (/)= — 1+2/, ???巩
3)= —1+2X3 = 5( 米/ 秒) ，故
选 C.
6. 曲线尹 =疋在点户处切线斜率为匕当 k=2 时, P 点坐标为 (
)
A. ( —2, —8)
C? ( 1,1)
???切线方程为兀 =0.
14. 质点作直线运动\y_的__方_程_ 是 s =罷，则质点在 1=3 时的速度是
A. ------
4折
4烟
2皓 ［答案］ A
z+A?— t \t
? r 坐—
1
??hm△厂
△ LO
? ?? "（3）=—^ ? 故应选 A.
4折
二、填空题
15. ______ 在曲线 J=X3 + 3X2+6X-10 的切线中，当斜率最小时，切
B. x=0
C? y—0
D. 不存在
［答案］ B
［解析］ Ty= 眾,
x+Ax —x (^Jx+Ax) 2 + ^x(x+Ax) + (^/x) 2
【成才之路】高中数学人教A版选修2-2练习：模块综合检测(能力卷)(含答案解析)
模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －2[答案] D[解析] y′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x|－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x|＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f ′(x)的图象是导学号 10510899( )[答案] A[解析] ∵f ′(x)＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f(x)的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b<0，排除C ，故选A.4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋bi ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z*z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32 D ．94[答案] B[解析] 由题意可得z*z －＝|a ＋bi|＋|a －bi|2＝a 2＋b 2＋a 2＋－22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ， ∴a 2＋b 2＝a 2＋－2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．(2016·宜春高二检测)已知函数f(x)＝sinx ＋e x ＋x 2015，令f 1(x)＝f ′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，则f 2016(x)＝导学号 10510901( )A ．sinx ＋e xB ．cosx ＋e xC ．－sinx ＋e xD ．－cosx ＋e x[答案] A[解析] f 1(x)＝f ′(x)＝cosx ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x)＝f 1′(x)＝－sinx ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x)＝f 2′(x)＝－cosx ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x)＝sinx ＋e x .6．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] 由f ′(x)＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x)>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f(x)取到极大值也是最大值，f(12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sinx; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④[答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sinx 的值域是[－1,1]；当sinx ＝0时，x ＝kπ(k ∈Z)，此时相应的整数x ＝0；当sinx ＝±1时，x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sinx 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k(k ∈Z)得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(x cosx )′＝cosx －xsinx 2 [答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcosx)′＝cosx ＋xsinx 2；综上可知选B. 9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，图2中满足b n＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] y′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32y －a －12＝－12a －32(x －a)，令x ＝0，y ＝32a －12y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a·32a －12＝18，解得a ＝64.11．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个 [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x>0时，a≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t≥1. ∴a≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g(t)＝t －4t 2－3t 3，g′(t)＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数 而且g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数， ∴g(t)max ＝g(1)＝－6，∴a≥－6； 当x<0时，a≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t≤－12，令g′(t)＝0得，t ＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g(t)min ＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsinxdx ＝________.导学号 10510909[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsinxdx ＝2⊗2＝2－12＝22.14．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 10510910[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n(n ∈N *)[解析] 构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f(x)≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n.15．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝＋2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋－2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0， 又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝lnx ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912[答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝lnx ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，lnx 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －lnx 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋lnx 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1lnx 1＋1＝－x 2x 2＋1＋2＋，解得x 1＝12，从而b ＝lnx 1＋1＝1－ln2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q.导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋yi ，(x 、y ∈R)，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋yi ，(x 、y ∈R)， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋yi x －3＋yi ＝x 2＋y 2－9－6yi－2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18．(本题满分12分)设函数f(x)＝sinx －cosx ＋x ＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值.导学号 10510914[解析] f ′(x)＝cosx ＋sinx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x<2π)，令f ′(x)＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x)以及f(x)变化情况如下表：∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x)＝f(π)＝π＋2，f 极小(x)＝f(3π2)＝3π2.19．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．[解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n. 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列． (2)解：∵c n ＋1＝＋2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n>0， ∴c n ＋1c n ＝＋2＋1－＋n 2＋1－n＝n 2＋1＋n＋2＋1＋＋，0<n 2＋1<＋2＋1，又0<n<n ＋1， ∴n 2＋1＋n<＋2＋1＋n ＋1，∴0<n 2＋1＋n＋2＋1＋＋<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20．(本题满分12分)设函数f(x)＝xlnx.导学号 10510916 (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f(x)＝xlnx ，∴f ′(x)＝lnx ＋1， 令f ′(x)＝0，得x ＝1e ，令f ′(x)>0，得x>1e ，令f ′(x)<0，得0<x<1e，∴f(x)的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f(18)＝18ln 18＝38ln 12，f(12)＝12ln 12，f(1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f(x)在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a(a>0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a －n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a>0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a·(－12)n －1＝a －n 1.方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a·(－12)1－1，结论a n ＝a －n －1成立．②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N)时，a n ＝a －n －1成立，即a k ＝a·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a·(－12)k －1＝a·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a －n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c.导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件． [解析] (1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b. 因为f(0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝bx ＋c. (2)当a ＝b ＝4时，f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x)＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x)＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f(x)与f ′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c>0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b<0时，f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b>0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0.当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x)>0，f(x)在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x)>0，f(x)在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f(x)不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b>0.故a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b>0，f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＝x(x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．。
【成才之路】高中数学人教A版选修2-2同步练习：132函数的极值与导数.docx
2. （ 2013-北师大附中高二期中）函数的极值点的个数为 （）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
［答案］ B
［解析］丿‘ =2— 1）,由 y' =0 得 Q=0,兀 2=1.
当 X 变化时 ，） /、： y 的变化情况如下表
X
( 一 8, 0)
0
(0,1)
1
(1, + °°)
1y
—
0
—
0
+
y
故选 B.
3
三、解答题 10. 已知 fix)=+bX^ + cx(a 0)在兀 =±1 吋取得极值，且几 1)= —1.
(1) 试求常数 a、b、c 的值；
(2) 试判断 x=±l 时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 . ［解析］ (1)由广 ( 一 1)=厂(1)=0,得 3a+2 方+c=0,3a—2b+c=0. 又/(1)= —1 , .*.6f + Z? + c= — 1.
无极值
极小值
3. 函数 y=a^+b^取得极大值和极小值时的兀的值分别为 0 和￡贝9（）
A. a—2b=0
B. 2a~b=0
C. 2a+b=0
D. a+2b=0
［答案］ D
［解析］ yf =3aX^+2bx 由题设 0 和* 是方程 3ax2-\-2bx= 0 的两根， .?? a+2b=0.
4? 若 a>0, b>0,且函数 fix)=4x 3-ax 1-2bx+2 在 1 处有极值，则”的最大值等 于()
? ［答案］ ［-1,1］ ［解析］ f 1 (x)= 1 +acosx, 由条件知 (x)M0 在 R 上恒成立， ? °? 1+acosx$0, a=0 时显然成 立； a>0时，
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2同步练习第1章1.2第1课时
第一章 1.2 第1课时一、选择题1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案] B解析] 本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(x －12 )′＝－12x －32 ＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12 ＝12x，正确．对于D ，正确．2．y ＝13x 2的导数为A.23x －13 B ．x 23C ．x－23D ．－23x －53答案] D 解析] y ′＝(x －23 )′＝－23·x －53 .∴选D.3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝0答案] A解析] ∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.4．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为A ．1B ．－π4C.π4 D ．5π4答案] C解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．(2015·青岛市胶州市高二期中)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0答案] A解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A.6．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为 A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0 答案] D解析] ∵y ′|x ＝x 0＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为 A.12523B ．110523C.25523 D ．110523答案] B解析] ∵s ′|t ＝4＝15t －45 |t ＝4＝110523.故选B.8．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为 A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2答案] A解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.二、填空题9．曲线y ＝1x 上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．答案] (12，2)或(－12，－2)解析] 设P (x 0，y 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12，当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．y ＝13x的导数为________．答案] －13－4311．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．答案] (2,1)解析] ∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3，∴－8x －3＝－1，∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)． 三、解答题12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． 解析] (1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 0＝－1或x 0＝2，∴切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则切线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案] B解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0答案] B解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，要善于观察，故选B.3．若对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为 A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4－1答案] B解析] 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为A.33 B ．333 C. 3 D ．393 答案] D解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 二、填空题5．函数y ＝x 2过点(2,1)的切线方程为________．答案] (4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0解析] y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2，∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3，∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．6．已P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案] 4x －4y －1＝0解析] y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12.∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．答案] 4解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题8．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y ′＝2x ，令2x ＝1 ∴x ＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12， 即x －y －14＝0.∴x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋(－1)2＝728，∴728即为所求的最短距离． 简解：d ＝|x －x 2－2|2＝|(x －12)2＋74|2≥728.当且仅当x ＝12时取等号，∴所求最短距离为728.9．求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．解析] ∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上，∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30， k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1.又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 2＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32.①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)，即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332，切线为y －12＝6＋332(x －1)，即(6＋33)x －2y －5－33＝0. ③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)，即(6－33)x －2y －5＋33＝0. 综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0.。
数学 人教B版 选修2-2 成才之路 课后强化作业1-1-1 详解答案
选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( ) A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx＋2 B ．Δx －1Δx－1 C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx＋2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________． [答案]6－2 [解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2.13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________．[答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)； 第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s. (2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝12m/s.。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
【成才之路】高中数学 综合检测 新人教A版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 综合检测 新人教A 版选修2-2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2 D ．y ＝x －2[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝x 2－14x 4|20＝8，故选B. 5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f (x )＝sin x ＋e x＋x2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x[答案] C[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2013x 2012，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x＋2013×2012x2011，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x＋2013×2012×2011x2010，……，∴f 2014(x )＝－sin x ＋e x.6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cos π＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x)′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(x cos x )′＝cos x －x sin x x 2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x2；对于D ，(x cos x )′＝cos x ＋x sin xx 2；综上可知选B.11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…12n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为： 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k－1， 故共增加了2k项，故选D.12．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1][答案] A[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x＝x ＋x －x，由f ′(x )≤0及x >0得，0<x ≤1，故选A. [点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤 ①求导数f ′(x )；②在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； ③根据②的结果确定函数f (x )的单调区间．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n＝(T 2n T n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________． [答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2n T n)3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．14．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,7)[解析] f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a )(7－a )<0，∴－1<a <7，当a ＝－1时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝0，在(－1,1)上恰有一根x ＝－13，当a ＝7时，f ′(x )＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a <7.15．(2014·天门市调研)若复数z ＝21＋3i ，其中i 是虚数单位，则|z －|＝________.[答案] 1 [解析] 因为z ＝21＋3i ＝－3＋3－3＝－34＝12－32i ，所以|z －|＝122＋－322＝1.16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a)dx ＝________. [答案] 2－3ln3 [解析] 由条件知方程1－3x ＋a＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx ＝ |[x －x ＋20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z－1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y ix －2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. [解析] (1)由f (x )＝e x－ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b . 所以g ′(x )＝e x－2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)． 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点． 由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.解得e －2<a <1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.19．(本题满分12分)先观察不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(a 1、a 2、b 1、b 2∈R )的证明过程：设平面向量α＝(a 1，b 1)，β＝(a 2，b 2)，则|α|＝a 21＋b 21，|β|＝a 22＋b 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2.∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2|≤a 21＋b 21·a 22＋b 22， ∴(a 1a 2＋b 1b 2)2≤(a 21＋b 21)(a 22＋b 22)， 再类比证明：(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2. [分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．[解析] 设空间向量α＝(a 1，b 1，c 1)，β＝(a 2，b 2，c 2)，则|α|＝a 21＋b 21＋c 21，|β|＝a 22＋b 22＋c 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|≤a 21＋b 21＋c 21·a 22＋b 22＋c 22，∴(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2≤(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22， 解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(2π，2π)，单调减区间为(π，2π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2. 21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．[解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a－n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a－n －1.方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a－n －1成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a－n －1成立，即a k ＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a－n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e，令f ′(x )>0，得x >1e，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e)．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12， f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .一、选择题1．i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] z ＝2＋3i－3＋2i ＝＋－3－－3＋－3－＝－6－9i －4i ＋613＝－i ，∴z 的虚部是－1. 2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2x －2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋n ＋2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ， 故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A.20122013B ．20112012 C ．20092010D ．20102011[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x . 于是1f n＝1n 2＋n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， S 2013＝1f＋1f＋…＋1f＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12012－12013)＝1－12013＝20122013.7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.10．(2012·大纲全国理，1)复数－1＋3i1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i[答案] C[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为－1＋3i1＋i ＝－1＋－＋－＝2＋4i2＝1＋2i ，所以选C. 11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·n ＋2，图2中满足b n＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.12．(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x3恒成立．令1x＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题13．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝＋2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m m －2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0， 又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题17．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c不可能构成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac . ①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．18．已知函数f (x )＝(2－a )x －2ln x ，(a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)由题可知f ′(x )＝2－a －2x(x >0)，令f ′(x )＝0得2－a －2x ＝0，∴x ＝22－a ，又因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝0.(2)①若a ＝2，f ′(x )＝－2x<0(x >0)，f (x )＝－2ln x 的单调递减区间为(0，＋∞)；②若2－a <0，即a >2时，f ′(x )＝2－a －2x在(0，＋∞)上小于0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③若2－a >0，即a <2时，当x >22－a 时f ′(x )>0，f (x )单调递增，0<x <22－a时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上：a ≥2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；a <2时，f (x )的单调递增区间为(22－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，22－a)． 19．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋xx －1－b ，则g ′(x )＝a －1x －2＝a x －2－1x －2， 令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0， 解得：x ＝±aa＋1， ∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5， 当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[解析] 要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ac >0，且上述三式中的等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .21．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝x －x －a －x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，n ，0，n ＝∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)． 所以1a n ＝1n ＋n －(n ≥2)． 因为1n ＋n －<13nn －＝13(1n －1－1n)， 所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13， 综上，不等式得证．22．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0)．(1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n－1.[解析] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立， 则a ≤1－2x x ＝(1x－1)2－1在x >0时恒成立，即a ≤((1x－1)2－1)min (x >0)，当x ＝1时，(1x－1)2－1取最小值－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝x －x －2x.g (x )，g ′(x )随x 的变化如下表：∴g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2，g (x )极大值＝g (1)＝－b －4，又g (4)＝2ln2－b －2，∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，g得ln2－2<b ≤－54.(3)设h (x )＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝1x－1≤0，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数．∴h (x )max ＝h (1)＝0，故当x ≥1时有ln x ≤x －1. ①当n ＝1时，a 1＝1≤1成立；②假设n ＝k 时，a k ≤2k－1，则当n ＝k ＋1时， ∵2k－1≥1，∴ln(2k－1)≤(2k－1)－1＝2k－2， ∴a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≤ln(2k－1)＋(2k－1)＋2 ≤(2k－2)＋(2k－1)＋2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时结论也成立，由①②得，对∀n∈N*有a n≤2n－1成立．。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． 解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第2章知能基础测试
其次章知能基础测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为导学号05300577( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2答案] A解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.2．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项为12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值为导学号05300578( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案] C解析] 由已知得a ＋b ＝1，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋ab≥3＋2＝5.故选C.3．已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R )，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为导学号05300579( )A ．正B ．负C ．等于0D ．无法确定答案] A解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0， ∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b .∴f (a )>f (－b )． 又f (x )＝x 3＋x 是奇函数， ∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0. 同理：f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.4．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是导学号05300580( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )答案] D解析] 特值法：当k ＝1时，明显只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. ∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除， 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．故命题对任何k ∈N *都成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为导学号05300581( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案] A解析] 令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ， 令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A.6．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝导学号05300582( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案] C解析] 法一：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123，故选C.法二：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123，故选C.7．观看下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52021的末四位数字为导学号05300583( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125答案] D解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125， 510末四位数字为5625,511末四位数字为8125， 512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替消灭， ∴52021＝54×502＋7末四位数字为8125.8.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为导学号05300584( )A.13 B ．43C ．2D ．83答案] B解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 9．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )的表达式为导学号05300585( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n －(n －1)(n －2)(n －3)D ．n 3－5n 2＋10n －4 答案] B解析] 四个选项的前三项是相同的，但第四项f (4)＝14(如图)就只有B 符合，从而否定A ，C ，D ，选B ，一般地，可用数学归纳法证明f (n )＝n 2－n ＋2.故选B.10．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑k ＝1na k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足导学号05300586( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1答案] A解析] S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1.C 真． S k ＋1＝1＋13＋…＋13k＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝1＋13S k .B 真． 3S k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝3＋1＋13＋…＋13k －2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －2＋13k －1＋13k －a k －a k ＋1＝3＋S k ＋1－a k －a k ＋1.D 真．事实上，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .A 不真．故选A.11．下列结论正确的是导学号05300587( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案] B解析] A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；依据函数f (x )＝x －1x 的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.12．如图(1)，在△ABC 中，AB ⊥AC 于点A ，AD ⊥BC 于点D ，则有AB 2＝BD ·BC ，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 在△BCD 内的射影为O ，则S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD ，那么上述命题导学号05300588( )A ．是真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”后才是真命题 C ．是假命题D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”后才是真命题 答案] A解析] 由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC ，△BCO ，△BDC 分别与题图(1)中的AB ，BD ，BC 进行类比即可．严格推理如下：连结DO 并延长交BC 于点E ，连结AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC .由于AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE .又由于AO ⊥DE ，所以AE 2＝EO ·ED ，所以S 2△ABC＝(12BC ·EA )2＝(12BC ·EO )·(12BC ·ED )＝S △BCO ·S △BCD .故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2022·全国卷Ⅱ理，15)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.导学号 05300589答案] 1和3解析] 为便利说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙动身，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C ，最终由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .14．在平面上，我们用始终线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，假如用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．导学号05300590答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ， ∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ， ∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.15．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.导学号05300591答案] 30解析] 类比规律∴a ＝21，b ＝9故a ＋b ＝30.16．(2022·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号 05300592 ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”肯定共线． 其中的真命题是________(写出全部真命题的序号)． 答案] ②③解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎨⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)与P ′1(－y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎨⎧x ′＝y 0x 20＋y 2y ′＝－x 0x 20＋y2，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋C x 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不肯定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．导学号05300593证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0， Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．18．(本题满分12分)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．导学号05300594解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP＝－b 2a2.19．(本题满分12分)已知a 、b ∈R ，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥证明] 设f (x )＝x1＋x，x ∈0，＋∞)．设x 1、x 2是0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1(1＋x 1)(1＋x 2). 由于x 2>x 1≥0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )＝x1＋x 在0，＋∞)上是增函数．(大前提)由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提) 知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |) 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |成立．20．(本题满分12分)设a ，b ∈R ＋，且a≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2证明] 证法1：用分析法． 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0， 只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立． 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0明显成立． 由此命题得证． 证法2：用综合法． a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .留意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.21．(本题满分12分)(2021·甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)证明] (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2＋1)＝－3， 故左边＝右边，∴当n ＝1时，等式成立； (2)假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)成立， 那么n ＝k ＋1时，左边＝12－22＋32－…＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2 ＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－4(k ＋1)2 ＝(2k ＋1)(2k ＋1)－k ]－4(k ＋1)2 ＝(k ＋1)(－2k －3) ＝－(k ＋1)2(k ＋1)＋1]，综合(1)、(2)可知等式12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)对于任意正整数都成立．22．(本题满分14分)(2021·湖北理，22)已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n n a n (n ∈N ＋)，e 为自然(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n 与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推想计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n ，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n .解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x.当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x . 令x ＝1n ，得1＋1n ＜e 1n ，即(1＋1n )n ＜e.①(2)b 1a 1＝1·(1＋11)1＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2(1＋12)2 ＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3(1＋13)3＝(3＋1)3＝43.由此推想：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(1)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立． (2)假设当n ＝k 时，②成立，即 b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)(1＋1k ＋1)k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)(1＋1k ＋1)k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．依据(1)(2)，可知②对一切正整数n 都成立．(3)由c n 的定义，②，算术－几何平均不等式， b n 的定义及①得 T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝(b 1)112＋(b 1b 2)123＋(b 1b 2b 3)134＋…(b 1b 2…b n )1n n ＋1≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n (n ＋1)＝b 111×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＋b 212×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)]＋…＋b n ·1n (n ＋1)＝b 1(1－1n ＋1)＋b 2(12－1n ＋1)＋…＋b n (1n －1n ＋1)＜b 11＋b 22＋…＋b nn＝(1＋11)1a 1＋(1＋12)2a 2＋…＋(1＋1n )n a n＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n . 即T n ＜e S n .。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版-选修2-2)练习题：2.3]
![【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版-选修2-2)练习题：2.3]](https://img.taocdn.com/s3/m/b45ad82479563c1ec4da710a.png)
第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．12(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析](k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝12(2k ＋1).故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1.故选C.4．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( )A ．n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos3α D.12＋cos α＋cos3α＋cos5α [答案] B[解析] 令n ＝1，左式＝12＋cos α.故选B.8．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－110．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时原式为__________，从k →k ＋1时需增添的项是________．[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋411．使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为________． [答案] 5[解析] 25＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n ＞n 2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立．即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)成立．那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2·(k ＋1)－1] 即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n ∈N *等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)(n ∈N ＋)”，则“从k 到k ＋1”左端需乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时左式＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)n ＝k ＋1时左式＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k ＋1)(2k ＋2)故“从k 到k ＋1”左端需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.2．已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(k ∈N *)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除时，假设a 4k 能被4整除，应证( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除 [答案] D[解析] 在数列{a 4n }中，相邻两项下标差为4，所以a 4k 后一项为a 4k ＋4.故选D. 3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2 [答案] C[解析] 由凸n 边形变为凸n ＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n －2)个顶点连成(n －2)条对角线，同时，原来的凸n 边形的那条边也变为对角线，故有f (n ＋1)＝f (n )＋(n －2)＋1.故选C.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题5．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，待证表达式应为________．[答案] 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2 6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立； ②假设n ＝k 时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1.则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n ，等式都成立． 以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)2时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．[答案] (k ＋2)·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1＋1)2－k (2k ＋1)2＝(k ＋2)·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3. ∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数．则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数． 9．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k∴a k＋1＝2＋a k2＝2k＋1－12k＝2k＋1－12(k＋1)－1，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n＝2n－12n－1成立．。
成才之路选修2-2之
选修2-2 1.7一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－94，0，⎝⎛⎭⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112. 8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D[解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k 0[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝⎛⎭⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)． 因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y 22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t ， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt ，∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122t d t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132 .17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.3 第2课时
第一章 1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中正确的是导学号05300234( )A ．导数为零的点肯定是极值点B ．假如在点x 0四周的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是微小值C ．假如在点x 0四周的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．假如在点x 0四周的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 答案] C解析] 由极大值的定义可知C 正确．2．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )导学号05300235( )A ．无极大值点，有四个微小值点B ．有三个极大值点，两个微小值点C ．有两个极大值点，两个微小值点D ．有四个极大值点，无微小值点 答案] C解析] f ′(x )的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f (x )有4个极值点，且f ′(x )的函数值由正变负为极大值点，由负变正为微小值点，故选C.3．函数f (x )＝x ＋1x 的极值状况是导学号05300236( )A ．当x ＝1时，微小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无微小值C ．当x ＝－1时，微小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，微小值为2 答案] D解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减， ∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取微小值2.故选D. 4．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为导学号05300237()A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案] B解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化状况如下表x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ －0 －0 ＋ y无极值微小值故选B.5．函数y ＝f (x )＝x 3－3x 的极大值为m ，微小值为n ，则m ＋n 为导学号05300238( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案] A解析] y ′＝3x 2－3，令y ′＝0，得3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1，当x <－1时，y ′>0；当－1<x <1时，y ′<0；当x >1时，y ′>0，∴函数在x ＝－1处取得极大值，m ＝f (－1)＝2； 函数在x ＝1处取得微小值，n ＝f (1)＝－2. ∴m ＋n ＝2＋(－2)＝0.6．(2022·四川文，6)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的微小值点，则a ＝导学号 05300239( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2答案] D解析] 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.7．(2021·青岛市胶州市高二期中)下列函数中x ＝0是极值点的函数是)A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x答案] B解析] A ．y ′＝－3x 2≤0恒成立，所以函数在R 上递减，无极值点．B ．y ′＝sin x ，当－π<x <0时函数单调递增；当0<x <π时函数单调递减且y ′|x ＝0＝0，故B 符合．C ．y ′＝cos x －1≤0恒成立，所以函数在R 上递减，无极值点．D ．y ＝1x 在(－∞，0)与(0，＋∞)上递减，无极值点．8．函数f (x )＝－xe x (a <b <1))A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 答案] C解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1ex .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．9．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间－3,0] ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 答案] C解析] 由y ′＝2x －1＝0，得x ＝12(舍去)，f (－3)＝13，f (0)＝1，∴f (x )在－3,0]上的最大值为13，最小值为1，故选C.二、填空题10．(2021·陕西文，15)函数y ＝x ex 在其极值点处的切线方程为________．答案] y ＝－1e解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.11．函数y ＝x －2x 在0,4]上的最大值是__________，最小值是____________．答案] 0 －1 解析] y ′＝1－1x，令y ′＝0，得x ＝1， f (0)＝0，f (1)＝－1，f (4)＝0，∴函数y ＝x －2x 的最大值为0，最小值为－1.12．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．答案] －1,1]解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时明显成立；a >0时， ∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a ≥cos x 恒成立，∴－1a ≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题13(1)y ＝x 2－7x ＋6；(2)y ＝x 3－27x . 解析] (1)y ′＝(x 2－7x ＋6)′＝2x －7. 令y ′＝0，解得x ＝72.当x 变化时，y ′，y 的变化状况如下表.x ⎝⎛⎭⎫－∞，7272 ⎝⎛⎭⎫72，＋∞y ′ －0 ＋ y微小值－254当x ＝72时，y 有微小值，且y 微小值＝－254.(2)y ′＝(x 3－27x )′＝3x 2－27＝3(x ＋3)(x －3)． 令y ′＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化状况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,3) 3 (3，＋∞)y ′ ＋0 －0 ＋ y极大值54微小值－54∴当x ＝－3时，y 有极大值，且y 极大值＝54.当x ＝3时，y 有微小值，且y 微小值＝－54.一、选择题1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极值点有导学号05300247( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案] C解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最终再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内有三个极值点．故选C.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和微小值，则a 的取值范围为导学号05300248( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6答案] D解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.由于f (x )既有极大值又有微小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或微小值时的x 的值分别为0和13，则导学号05300249( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0答案] D解析] y ′＝3ax 2＋2bx ，由题设知0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.故选D.4．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2021π)，则函数f (x )的极大值之和为导学号05300250( )A.e 2π(1－e 2022π)e 2π－1B ．e π(1－e 2022π)1－e 2πC.e π(1－e 1007π)1－e 2πD ．e π(1－e 1007π)1－e π答案] B解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2021π)，∴0<(2k ＋1)π<2021π，∴0≤k <1007，k ∈Z . ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2021π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2021π＝e π[1－(e 2π)1007]1－e 2π＝e π(1－e 2022π)1－e 2π，故选B.二、填空题5．若函数y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值是6，则a ＝________.导学号05300251 答案] 6解析] y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，易知函数f (x )在x ＝0处取得极大值6，即f (0)＝6，∴a ＝6. 6．函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________． 导学号05300252答案] 2，－1解析] f ′(x )＝cos x －sin x ＝0， ∴tan x ＝1，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＝π4， 当－π2<x <π4时，f ′(x )>0，π4<x <π2时，f ′(x )<0， ∴x ＝π4是函数f (x )的极大值点．∵f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝ 2. ∴f (x )的最大值为2，最小值为－1.7．已知f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有微小值，则实数b 的取值范围是________．答案] (0,1)解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x 2－b )． 由于函数f (x )在(0,1)内有微小值，故方程3(x 2－b )＝0在(0,1)内有解，所以0<b <1，即0<b <1. 三、解答题8．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋(1)求a ，b 的值；(2)争辩f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．9．(2022·北京理，18)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.导学号 05300255(Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)求f (x )的单调区间．解析] (Ⅰ)由于f (x )＝xe a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e . (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝xe 2－x ＋ex .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.6
第一章 1.6一、选择题1．(2015·广西柳州市模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C ．32D. 3[答案] D[解析] 由题意得，S ＝2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin x|π30＝3，选D.2．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A.49 B ．59C ．43D ．53[答案] A[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32 |a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 3.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A.14 B ．13C.12 D ．23[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝t 2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t ＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2).则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 5．(2014～2015·河南周口市高二期末)已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则⎠⎛13f (－x )d x ＝( )A ．0B ．3C ．－23D ．23[答案] D[解析] ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2， 解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，∴⎠⎛13f (－x )d x ＝，则⎠⎛13(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D. 6．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎜⎛0 π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ＝sin θ|π30＝32，故应选D. 二、填空题 7．计算定积分：①⎠⎛－11x 2d x ＝________________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________________ ④⎠⎛π20|sin x |d x ＝________________ [答案] ①23 ②436 ③2 ④1[解析] ①⎠⎛－11x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436. ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2. ④⎠⎛-π20|sin x |d x ＝⎠⎛-π20 (－sin x )d x ＝cos x|0-π2＝1.8.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 1＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题10．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.一、选择题11．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－cos xD ．F ′(x )＝－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.12．(2015·江西教学质量监测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－aa (x 3＋sin x －5)d x 的值为( )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[答案] D[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22(x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.[点评] 若f (x )为奇函数，定义域(－a ，a )，a >0，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.13．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[答案] B [解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B.14．(2015·河南高考适应性测试)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x 4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C.二、填空题15．(2014·绍兴模拟) ⎠⎜⎛π2-π2 (x ＋cos x )d x ＝________________.[答案] 2[解析] ⎠⎜⎛π2-π2 (x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x )| π2- π2＝2. 16．(2014·山东省菏泽市期中)函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________________. [答案] 3[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 三、解答题17．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.18．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.2.2第1课时
第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．(2014～2015·潍坊市五县期中)若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[分析] 利用三角函数的导数公式，将导函数中的x 用α代替，求出导函数值． [解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014～2015·山师大附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1n B ．1n ＋1C.n n ＋1 D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014～2015·合肥一六八中学高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)2[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.二、填空题7．(2015·陕西理，15)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________________．[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．8．(2014～2015·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为____________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)． 9．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12， ∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x2 ＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014～2015·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014～2015·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2016(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] A[解析] f 0(x )＝sin x ，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2016(x)＝f0(x)＝sin x.故选A.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014～2015·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1
第三章 3.1 3.1.1一、选择题 1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定．[解析] 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0，且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D ．k π2＋π4(以上k ∈Z )[答案] B[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4，(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4.选B.3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.4．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( ) A ．{π，2π3，4π3}B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3}[答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0， ∴2cos 2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或12，∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D.5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2 [答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0[答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝______________，y ＝______________[答案] 141[解析] 由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________________. [答案] 2[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.9．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________________． [答案] －2[解析] 如果z 为纯虚数，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0.，解之得a ＝－2.三、解答题10．已知z 1＝⎝⎛⎭⎫cos α－45＋i ⎝⎛⎭⎫sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值． [解析] 由复数相等的充要条件，知⎩⎨⎧cos α－45＝cos β，sin α－35＝sin β.即⎩⎨⎧cos α－cos β＝45， ①sin α－sin β＝35. ②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.一、选择题11．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 12．(2014·江西临川十中期中)若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4.13．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.14．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2[答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25；若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15；若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2， ∴p 2＝35；若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15.∴p 3＝p 4<p 1<p 2. 二、填空题15．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________________. [答案] 2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数知，⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，1＋sin θ≠0.所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．16．若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________________，y ＝________________.[答案] 122i[解析] 设y ＝b i(b ∈R, 且b ≠0)，则2x －1＋2i ＝b i ，再利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，b ＝2.∴x ＝12，y ＝2i.三、解答题17．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立．18．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．。
【成才之路】高中数学人教A版选修2-2练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案解析)
选修 2-2第一章1.3一、选择题1．已知函数y＝ f(x) 在定义域内可导，则函数y＝ f(x) 在某点处的导数值为0 是函数 y＝f(x) 在这点处获得极值的A．充足不用要条件C．充要条件导学号10510208 () B．必需不充足条件D．非充足非必需条件[答案]B[分析 ]依据导数的性质可知，若函数y＝ f(x) 在这点处获得极值，则f′＝(x)0，即必需性建立；反之不必定建立，如函数f(x) ＝ x3在 R 上是增函数， f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝ 0 处函数不是极值，即充足性不建立．故函数 y＝ f(x) 在某点处的导数值为 0 是函数 y＝ f(x) 在这点处获得极值的必需不充足条件，应选 B.2．函数 y＝ 2x3－6x2－ 18x ＋ 7 导学号 10510209 ()A．在 x＝－ 1 处获得极大值17，在 x＝ 3 处获得极小值－47B．在 x＝－ 1 处获得极小值17，在 x＝3 处获得极大值－47C．在 x＝－ 1 处获得极小值－17，在 x＝ 3 处获得极大值47D．以上都不对[答案 ]A[分析 ]y′＝ 6x2－ 12x－ 18，令 y′＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 3.当 x 变化时， f ′(x)， f(x) 的变化状况见下表：x(－∞，－ 1)－ 1(－ 1,3)3(3 ，＋∞)f ′ (x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当 x＝－ 1 时，f(x) 获得极大值， f( －1) ＝17，当 x＝ 3时，f(x) 获得极小值， f(3) ＝－ 47.1413的极值点的个数为导学号 10510210 ()3．函数 y＝ x－ x43A． 0 B ．1C． 2D． 3[答案 ]B[分析 ]y′＝ x3－ x2＝ x2(x－ 1)，由 y′＝ 0 得 x1＝ 0， x2＝ 1.当 x 变化时， y′、 y 的变化状况以下表x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值应选 B.4．已知实数 a、 b、 c、d 成等比数列，且曲线y＝ 3x－x3 的极大值点坐标为(b，c)，则ad 等于导学号 10510211 ()A． 2 B ．1C．－ 1D．－ 2[答案 ]A[分析 ]∵a、 b、 c、 d 成等比数列，∴ ad＝ bc，又 (b， c)为函数 y＝3x－ x3的极大值点，∴ c＝ 3b－ b3，且 0＝ 3－ 3b2，b＝ 1，b＝－ 1，∴或∴ ad＝ 2.c＝ 2，c＝－ 2.5 ．已知 f(x) ＝ x3＋ ax2＋ (a ＋ 6)x ＋ 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是导学号 10510212 ()A．－ 1<a<2 B ．－ 3<a<6C． a<－ 3或 a>6D． a<－ 1 或 a>2[答案 ]C[分析 ]f′＝(x)3x2＋2ax＋ a＋ 6，∵f(x) 有极大值与极小值，∴ f ′＝(x)0 有两不等实根，∴＝ 4a2－12(a＋6)>0 ，∴ a<－3 或 a>6.x6．函数 f(x) ＝－e x(a<b<1)，则导学号 10510213 ()A． f(a)＝ f(b) B ．f(a)<f(b)C． f(a)>f(b)D． f(a) ， f(b) 的大小关系不可以确立[答案 ]C[分析 ] f ′＝(x)－ x－x －－x x )′＝x2ex－1＝e x .当x<1 时，f ′(x)<0，∴f(x) 为减函数，∵ a<b<1，∴ f(a)>f(b) ．二、填空题7．(2015·陕西文，15)函数y ＝ xe x在其极值点处的切线方程为____________. 导学号 105102141[答案 ]y＝－e[分析 ]y＝ f(x) ＝ xe x? f ′＝(x)(1＋ x)e x，令 f′(x)＝0? x＝－ 1，此时 f( － 1)＝－1，e函数 y＝ xe x在其极值点处的切线方程为y＝－1 . e8 ．若函数 f(x) ＝ x3－ 2mx 2＋ m2x在x ＝ 1处获得极小值，则实数m ＝________. 导学号 10510215[答案 ]m＝ 1[分析 ]∵f′＝(x)(3x － m)(x －m)由题意得： f′(1)＝(3－ m)(1－ m)＝ 0∴m＝ 3 或 m＝ 1.经查验知，当m＝3 时，在 x＝ 1 处获得极大值．当 m＝ 1 时，在 x＝1 处获得极小值．∴m＝ 1.9 ．设 x ＝ 1与x ＝ 2 是函数f(x) ＝ alnx ＋ bx2＋ x的两个极值点，则常数 a ＝________. 导学号105102162[答案 ]－3a[分析 ]f′＝(x)＋2bx＋1，xa＋ 2b＋ 1＝ 0，2.由题意得a∴ a＝－2＋ 4b＋ 1＝ 0.3三、解答题10．若 a≠0，试求函数f(x) ＝－23222＋2ax的单一区间与极值 . ax－x＋a x3导学号 10510217[分析 ]23222＋ 2ax，∵f(x) ＝－ ax － x ＋ a x3∴f ′＝(x)－ 2ax2－ 2x ＋ 2a2x＋2a ＝－ 2(ax2＋x－ a2x－ a)＝－ 2(x－ a)(ax＋ 1)．令 f ′＝(x)0，可得 x ＝－1或 x ＝ a.a若 a>0，当 x 变化时， f′(x)，f(x) 的变化状况以下表：x(－ ∞，－ 1)－1(－ 1， a)a(a ，＋ ∞)aa a f ′ (x) －0 ＋－f(x)单一递减极小值单一递加极大值 单一递减所以 f(x) 在区间 (－ ∞，－ 1)， (a ，＋ ∞)内为减函数，在区间 (－ 1， a)内为增函数．函数a a1处获得极小值 f( －11 2处获得极大值2＋1 4f(x) 在 x ＝－ aa )＝－ 1－ 3a ，在 x ＝ a f(a)＝ a3a .若 a<0，当 x 变化时， f′(x)，f(x) 的变化状况以下表：x( － ∞， a)a1 －11，＋ ∞)(a ，－ )a(－aaf ′ (x) ＋ 0 －＋f(x)单一递加极大值单一递减极小值 单一递加所以 f(x) 在区间 (－ ∞， a)， (－ 1，＋ ∞)内为增函数，在区间 (a ，－ 1)内为减函数．函数a a2 ＋a 4，在 x ＝－1处获得极小值 f( － 11 2f(x) 在 x ＝a 处获得极大值 f(a)＝ a 3aa )＝－ 1－3a .一、选择题1． (2016 日·照高二检测 )已知函数 f(x) ＝e x (sinx － cosx)， x ∈ (0,2013 π)，则函数f(x) 的极大值之和为 导学号 10510218 ()e 2π － e 2012πe π－ e 2012πA.2πB.2πe － 11－ eπ 1006ππ 1006πe－ ee－ eC. 1－ e 2πD.1－ e π[答案 ] B[分析 ]x′)＝(x0 得 sinx ＝ 0，∴ x ＝ k π， k ∈ Z ，当 2k π <x<2k ＋ππ时，f ′＝(x)2e sinx ，令 f f ′ (x)>0，f(x) 单一递加，当 (2k － 1) π <x<2k 时π，f ′ (x)<0，f(x) 单一递减，∴当 x ＝ (2k ＋ 1) π时， f(x) 取到极大值，∵x ∈ (0,2013 π)，∴ 0<(2k ＋ 1) π<2013π，∴0≤ k<1006， k ∈ Z.∴ f(x) 的极大值之和为 S ＝ f(π3π5π 2011ππ)＋f(3 π)＋f(5 π)＋ ＋ f(2011 π)＝e ＋e ＋ e ＋ ＋e＝π2π1006π － e 2012πe [1 － 2π] ＝e2π，应选 B.1－ e1－ e2．对于三次函数 f(x) ＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＋ d(a ≠0)，给出定义： 设 f ′是(x)函数 y ＝ f(x) 的导数，f ″ (x)是 f ′的(x)导数，若方程 f ″ (x)＝0 有实数解 x 0，则称点 (x 0，f(x 0))为函数 y ＝ f(x) 的 “拐点 ”．某 同学经过研究发现： 任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有对称中心， 且“拐 点 ”就是对称中心．设函数g(x) ＝1x 3－1x 2＋ 3x － 5 ，则 g(1)＋ g(2)＋ ＋ g( 2016)＝3212201720172017导学号 10510219 ()A ． 2015B ．2016C ． 2017D ． 2018[答案 ] B[分析 ]函数的导数 g ′ (x)＝ x 2－ x ＋3，g ″ (x)＝2x － 1，1由 g ″(x 0) ＝0 得 2x 0－ 1＝0，解得 x 0 ＝ ，2而 g(12)＝ 1，故函数 g(x) 对于点 (1， 1)对称，2∴ g(x) ＋ g(1－ x)＝ 2，故设 g(12 20162017)＋ g(2017)＋ ＋ g(2017)＝ m ， 2016 2015 1则 g(2017)＋ g(2017)＋ ＋g(2017)＝ m ， 两式相加得2×2016＝ 2m ，则 m ＝ 2016.应选 B.二、填空题3．已知函数 y ＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 27 在 x ＝－ 1 处有极大值，在x ＝ 3 处有极小值，则a ＝______ ， b ＝ ________. 导学号 10510220[答案 ]－3 －9－ 1＋ 3＝－ 2a3 ，[分析 ]y ′＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，方程 y ′＝ 0 有根－ 1 及 3，由韦达定理应有b－ 3＝.3a ＝－ 3， ∴b ＝－ 9.经查验 a ＝－ 3，b ＝－ 9 切合题意．π4． (2016 郑·州市质量检测)已知偶函数 y ＝ f(x) ，对于随意的x ∈ 0，2 知足 f ′(x)cosx ＋f(x)sinx>0( 其 中 f ′ (x)是 函 数 f(x)的导函数)，则以下不等式中建立的有________. 导学号 10510221① 2f －π<f π ② 2f － π >f － π3 43 4 ③ f(0)<2f － π④ f π 3f π46<3[答案 ] ②③④[分析 ]令 g(x) ＝ cosx ，由已知得 g ′(x)＝＋ f>0，∴ g(x) ＝ cosxcos 2 x在π上单一递加，故得 g ππ，g(0)<g π， 0， 23 >g44πππ即 2f 3 >f 4 ， f(0)< 2f 4 ，πππππππf 6∴ 2f － 3 >f 4 ， 2f － 3 >f －4 ，①错误，②正确；③正确；又g 6 <g3 ，即πcos 6π< f 3 ，πcos 3∴ f ππ，④正确．6 <3f 3三、解答题x 25． (2015 北·京文， 19)设函数 f(x) ＝ 2 － kln x ， k ＞0. 导学号 10510222 (1) 求 f(x) 的单一区间和极值；(2) 证明：若 f(x) 存在零点，则f(x) 在区间 (1， e]上仅有一个零点．x 2[分析 ](1)由 f(x) ＝ 2 － kln x ， (k ＞ 0)得，f ′＝(x)x － k ＝ x 2－ k.xx由 f ′＝(x)0 解得 x ＝k(负值舍去 )．f(x) 与 f ′在(x)区间 (0，＋ ∞)上的状况以下：fx′ (x)(0 ，－k)k( k ，＋ ∞)＋－ f(x)2所以， f(x) 的单一递减区间是 (0， k)，单一递加区间是 ( k ，＋ ∞)；f(x) 在 x ＝ k 处获得极小值 f(k)＝－.2(2)由 (1)知， f(x) 在区间 (0，＋ ∞)上的最小值为 f( k)＝－2－≤0，进而 k ≥ e.因为 f(x) 存在零点，所以2当 k ＝e 时， f(x) 在区间 (1， e)上单一递减，且 f( e)＝ 0，所以 x ＝ e 是 f(x) 在区间 (1， e]上的独一零点．当 k ＞e 时， f(x) 在区间 (0， e)上单一递减，且 f(1) ＝ 1＞ 0，f( e)＝e － k ＜ 0， 22所以 f(x) 在区间 (1， e]上仅有一个零点．综上可知，若 f(x) 存在零点，则f(x) 在区间 ( 1， e]上仅有一个零点..6．已知函数 f(x) ＝ 1x 2＋ alnx. 导学号 105102232(1)若 a ＝－ 1，求函数 f(x) 的极值，并指出是极大值仍是极小值；(2)若 a ＝ 1，求证：在区间 [1，＋ ∞)上，函数 f(x) 的图象在函数2 3的图象的下方．g(x) ＝ x3[分析 ] (1)因为函数 f(x) 的定义域为 (0，＋ ∞)，＋－当 a ＝－ 1 时， f ′＝(x)x － 1＝，xx令 f ′＝(x)0 得 x ＝ 1 或 x ＝－ 1( 舍去 )，当 x ∈(0,1)时， f ′(x)<0，所以函数 f(x) 在 (0,1)上单一递减，当 x ∈(1，＋ ∞)时， f ′(x)>0，所以函数 f(x) 在 (1，＋ ∞)上单一递加，则 x ＝1 是 f(x) 的极小值点，所以 f(x) 在 x ＝1 处获得极小值为1f(1) ＝ .21223 ，(2)证明：设 F(x) ＝ f(x) －g(x) ＝ x ＋ lnx －x 2 3则 f ′＝(x)x ＋ 1－ 2x 2＝－ 2x 3＋ x 2＋ 1 x x－－2＋ x ＋＝，x当 x>1 时， f ′(x)<0，故 f(x) 在区间 [1，＋ ∞)上单一递减，又 F(1)＝－ 1<0， 6∴在区间 [1，＋ ∞)上， F(x)<0 恒建立，即 f(x)<g(x) 恒建立．所以，当 a＝ 1 时，在区间 [1，＋∞)上，函数f(x) 的图象在函数g(x) 图象的下方．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
选修2-2
人 教 A 版 数 学
第二章