合理使用参数法进行化归和转化——高中数学解题基本方法系列讲座(6)

Ｇｕ ＡＮ ８ ００Ｎ Ｇ Ｊ ｌ Ａ ０ Ｙ Ｕ ＧＡ Ｏ Ｚ ＨｏＮ Ｇ
二 ．参数法在三角 中的应用
在研 究 函数 ｆ （ ｘ ） － － Ａ ｓ ｉ ｎ （ ｔ ｏ ｘ － ￣） 像与性质求 函数在某 个 区 间上 的值域 或最值或 在求与三 角函数有关 的复合 函数的值域
增 ，则 。 的取值范 围为 （
Ａ． ［ ０ ， １ 】 Ｂ ． 【 － １ ， ０ 】
）
１ １
Ｃ ． 【 － １ ， １ 】
ｌ
ｌ
Ｄ． 【 一 １， １】
二 二
— ｌ
ｌ
【 解析】 令ｔ ＝ ２ ， 则 ∈ ［ １ ， ２ ］ ， － 厂 （ ） ＝ １ ２ ｘ ＿ 告ｌ 在区间［ ０ ， ｌ 】 上
一
、
当 ２ 时 ，
１， 一 １ ） ＝ ｝ 吨 也 综 上 ， 。 ） ＝
手 卅，
（ ２ ） 设 ， 为 方 程 Ｉ 厂 （ ） ＝ ０ 的 解， 且 一 １ ≤ ￡ ≤ １ ， 则｛ ■ ’
Ｌ ｓＦ － － Ｏ．
复合 函数性 质 、求 复合 函数 值域或最 值 、利用导数研 究 函数 图像 与性质 中 ，常用 “ 整体 代换 ”的方法 引入参数 ，往往 起
和 一 ３ ≤ 箐＜ ０ ， 所 以 一 ３ ≤ ．
综 Ｅ 可 知 ．６的 取 值 范 围 是 『 一 ３ ． ９ — ４ 、 ／ 厂 １ ．
单调递增， 转化为， （ ｔ ） ＝ ｌ 一 Ｊ 在［ １ ， ２ １ 上单调递增， 又， （ ） ＝
３ ０ 广东教育 ・ 离中 ２ ０ １ ７年第 １ ２ 期
Ｉ ～ ｌ
当 ０ ≤ ｔ ≤ １ 时 ， 鲁 ≤ ６ ≤ ｔ － ２ ｔ ２ ， 由 于 一 ≤ ≤ ｏ 和 一 ｝ ≤ 专 等≤ ９ — ４ 、 ／ ， 所 以 一 ≤ ６ ≤ ９ — ４ 、 ／ ． 当 一 １ ≤ ｚ ≤ ０ 时 ， 气 ≤ ６ ≤ 鲁， 由 于 一 ２ ≤ 鲁＜ ０
（ １ ）当６ ＝ 竿＋ １ 时， 求函 数Ｉ 厂 （ ） 在ｆ ． １ ， １ ］ 上的最小值ｇ （ 。 ）
的表 达式 ： （ ２ ）已知函数 ） 在【 一 １ ， １ １ ３ ￣ ． 存在零点 ，Ｏ ≤６ — ２ Ⅱ ≤１ ，求 ｂ的取值范 围．
【 解析 】
列 、解析几何 、不等式 、立体 几何等问题． 要 求学生有较强 的 转化与化归意识和准确 的计算 能力． 从实 际教 学来 看 ，学生对 引入参 数的时机 、引人 什么样 的参数 、引人参 数 的作 用及 引
合理使用参数法进行化归和转化
高中数 学解 题基本方法 系列讲座 （ ６ ）
■北京市第十二 中学 高慧明
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参 数法是 指在解 题过程 中 。通 过适 当引入一些 与题 目研
ｔ — ａ
，
（ 。 ≤ｔ ）
究 的数学对象发生联 系的新变量 （ 参数 ） ，以此作 为媒 介 ，再 进行 分析和综合 ．从而解决 问题． 直线与二 次曲线 的参数 方程 都是 用参 数法解题的例证． 换元法也是引入参数 的典型例子 ． 辨证唯 物论肯定 了事 物之 间的联系是 无穷 的 ，联 系的方 式是丰 富多采 的 ，科学 的任务就 是要揭示 事物 之间 的内在联 系 ，从而发现事 物 的变化 规律 ． 参 数 的作用 就是刻 画事 物的变 化状态 ．揭示变化 因素之 间的内在联系． 参数体 现了近代数学 中运动 与变化 的思想 ，其 观点 已经渗透 到 中学 数学 的各 个分 支． 运用参数法解题 已经 比较普遍 ． 参数法解题的关键是恰 到好处地引进参数 ，沟通 已知和未 知之间的内在联系 ，利用参数提供的信息。顺利地解答问题． 纵观近 几年 高考 对 于参数法 的考查 ，重点 放在参数 法在
函数 、三角 、数 列 、解 析几何 、不等式 、立体 几何等 问题上 应用 ，主要 考查 适时合 理的 引人 参数处 理与 函数 、三 角 、数
，
一
，
（ ０ ≥ｆ 。 ）
，、
当 。 ≤ ｆ 时 ， 厂 （ ） ＝ １ 争≥ 在 Ｉ １ ， ２ 】 恒 。 ０
成立 ，必有 ０ ≥＿ ｔ，可求得一 － １ ≤ｎ ≤１ ；当 ０ ≥ｔ 时， ｆ（ ￡ ） ＝ 一 １ －
５ 。 ５ － ＞０在 【 Ｉ １ ， ２ １ 恒成 立 ，必有 ０ ≤一 ｔ ，与 ｎ ≥ｚ 矛盾 ，所 以此时
ｔ Ｔ ｔ 不存 在． 故选 ｃ ．
例 ２ ． 设 函数 ＿ 厂 （ ｘ ） ＝ ｘ Ｚ ＋ ａ ｘ ＋ ｂ ， （ 口 ， ｂ ∈Ｒ ） ．
当一 ２ ＜ 口 ≤ ２ 时， ｇ （ ｎ ） 一 罢 一 ） ＝ １ ．
枷 ，ｎ≤ － ２ － ２ ＜ ａ ＜２ ￣
除 了参 数法较难 把握 外 ，主要 是学生 没有 真正掌握参 数 的实
质 ．以至于遇到需要用参数 的题 目便产 生畏惧 心理． 参数法在 函数 问题 中的应 用 在 求解 函数 问题 时 ，特别 是在求 复合 函数解析式 、研 究
入参数 的范 围的确定学生难 以把握 ，不会灵 活运用 ． 分析原因 ，
（ １ ） 当 ６ ｝ ＋ １ 时 ， ） ＝ （ ＋ ２ ） ２ ＋ １ ， 故 其 对 称 轴 为 一 手 ・
当Ⅱ ≤一 ２时 ，ｇ （ 。 ） ， （ １ ） ＝ ＿ － ＋ ｃ 卧 ２ ．
到 高次化为低 次 、无 理化有 理 、超 越式化 为代数式 、复杂 问 题简单化 、陌生问题 熟悉 化的作用．
Ｉ
ｌ
由于 ０ ≤６ — ２ ｎ ≤１ ，因 此
１＿ 二
≤ｓ ≤
ｂ 二
（ 一 １ ≤ｆ ≤１ ） ．
ｌ
ｌ
例１ ． 已知函数， （ ） ＝ Ｉ 一 告ｌ ，其在区间【 ｏ ， ｌ 】 上单调递