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2013届高考数学二轮突破知精讲精练(1-30讲)参考答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东理

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东理

2013年广东理一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合M = x x 2+2x =0,x ∈R ，N = x x 2−2x =0,x ∈R ，则M ∪N = A. 0 B. 0,2 C. −2,0 D. −2,0,22. 定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A. 2,4B. 2,−4C. 4,−2D. 4,24. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望E X = A. 32B. 2C. 52D. 35. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 A. 4B. 143C. 163D. 66. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ⊥nB. 若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥nC. 若m ⊥n ,m ⊂α,n ⊂β，则α⊥βD. 若m ⊥α,m ∥n ,n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F 3,0 ，离心率等于32，则C 的方程是 A.x 242 5=1 B.x 24−y 25=1 C.x 22−y 25=1 D.x 222 5=18. 设整数n ≥4，集合X = 1,2,3,⋯,n ．令集合S = x ,y ,z x ,y ,z ∈X ,且三条件x <y <z ,y <z <x ,z <x <y 恰有一个成立 ，若 x ,y ,z 和 z ,w ,x 都在S 中，则下列选项正确的是 A. y ,z ,w ∈S ， x ,y ,w ∉S B. y ,z ,w ∈S ， x ,y ,w ∈SC. y ,z ,w ∉S ， x ,y ,w ∈SD. y ,z ,w ∉S ， x ,y ,w ∉S二、填空题（共7小题；共35分）9. 不等式x2+x−2<0的解集为．10. 若曲线y=kx+ln x在点1,k处的切线平行于x轴，则k=．11. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．12. 在等差数列a n中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．13. 给定区域D:x+4y≥4,x+y≤4,x≥0,令点集T=x0,y0∈D x0,y0∈Z,x0,y0是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定条不同的直线．14. 已知曲线C的参数方程为x=2cos ty=2sin t（t为参数），C在点1,1处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=2cos x−π12，x∈R．（1）求f −π6的值；（2）若cosθ=35，θ∈3π2,2π ，求f2θ+π3．17. 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18. 如图左，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘,BC=6，D,E分别是AC,AB上的点，CD=BE=2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到下图右所示的四棱锥Aʹ−BCDE，其中AʹO=3．（1）证明：AʹO⊥平面BCDE；（2）求二面角Aʹ−CD−B的平面角的余弦值．19. 设数列a n的前n项和为S n，已知a1=1，2S nn =a n+1−13n2−n−23，n∈N∗．（1）求a2的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+⋯+1a n<74．20. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F0,c c>0到直线l:x−y−2=0的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P x0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求 AF ⋅ BF 的最小值．21. 设函数f x=x−1e x−kx2k∈R．（1）当k=1时，求函数f x的单调区间；（2）当k∈12,1时，求函数f x在0,k上的最大值M．答案第一部分1. D2. C3. C4. A 【解析】E X=1×3+2×3+3×1=3.5. B6. D7. B8. B 【解析】因为x,y,z∈S，所以x，y，z的大小关系有3种；同理z，w，x的大小关系也有3种．如图所示，可知x，y，w，z的大小关系有4种，均符合y,z,w∈S，x,y,w∈S．第二部分9. −2,110. −111. 712. 20【解析】设等差数列a n的公差为d．因为a3+a8=10，即2a1+9d=10．所以3a5+a7=4a1+18d=22a1+9d=20．13. 6【解析】因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点4,0,3,1,2,2,1,3,0,4时，直线的纵截距最大，即z最大．当直线过0,1时，直线的纵截距最小，即z最小，从而点集T=4,0,3,1,2,2,1,3,0,4,0,1，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．14. ρsin θ+π4=2【解析】易得l的直角坐标方程为y=−x+2，故其极坐标方程为ρsinθ=−ρcosθ+2，即ρsin θ+π4=2．15. 23【解析】连接OC．O、C为AB、DB中点，则OC∥AD．又OC⊥CE，则CE⊥AD．又AC⊥BD,BC=CD．∴AB=AD=6．由射影定理，有CD 2=AD ⋅ED =12， ∴BC 2=CD 2=12，即BC =2 3． 第三部分16. （1）f −π6 = 2cos −π4= 2cos π4=1.（2）因为cos θ=35，θ∈ 3π2,2π ，所以sin θ=−45，所以f 2θ+π = 2cos 2θ+π=cos2θ−sin2θ=2cos 2θ−1−2sin θcos θ=2×9−1+2×3×4=1725.17. （1）样本的均值为x =1617+19+20+21+25+30 =22.（2）由茎叶图知，抽取的6名工人中有2名为优秀工人，由此推断 该车间12名工人中优秀工人有12×26=4（名）．（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率P =C 41C 81C 122=3266=1633.18. （1）连接OD ,OE ．∵ BC =6，∴ BO =CO =3．由余弦定理得OD 2=OE 2=CD 2+CO 2−2CD ⋅CO cos ∠BCD=2+9−2 2×3×2=5.在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90∘,BC =6,AB =AC =3 2， 所以AʹD =AʹE =2 2,所以OD2+AʹO2=OE2+AʹO2=5+3=8=AʹD2=AʹE2,∴AʹO⊥OD,AʹO⊥OE，∵OD∩OE=O，∴AʹO⊥平面BCDE．（2）设G为AC的中点，连接AʹG,OG，则OG=12AB=322,且OG∥AB.∵AB⊥AC，∴OG⊥AC．∵AʹO⊥平面BCDE，∴AʹG⊥AC，∴∠AʹGO为二面角Aʹ−CD−B的平面角．在Rt△AʹOG中，AʹG=3+92=152=302,所以cos∠AʹGO=OG=15为所求二面角Aʹ−CD−B的平面角的余弦值．19. （1）令n=1，得2S1=2a1=a2−13−1−23.把a1=1代入，解得a2=4．（2）由2S nn =a n+1−13n2−n−23，得2S n=na n+1−1n3−n2−2n, ⋯⋯①2S n+1=n+1a n+2−1n+13−n+12−2n+1, ⋯⋯②②−①化得a n+2−a n+1=1,n∈N∗.即可得a n+1−a n=1,n∈N∗,所以a nn 成为首项为a11=1，公差为1的等差数列，于是有a nn=1+ n −1 =n , 即a n =n 2.（3）①当n =1时，1a 1=1<74成立；②当n ≥2时，1n =12<12=1 1−1 , 故可得出1a 1+1a 2+⋯+1a n<1+1 1−1 + 1−1 +⋯+ 1−1=1+1 1+1−1−1=74−12 1n +1n +1<7.综合以上，对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n <74.20. （1）由题意，得2=3 22．∵ c >0，∴ c =1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）由x 2=4y ，得yʹ=12x ．设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，切线PA :y −y 1=x 12x −x 1 ,即y +y 1=x 12x ．同理切线PB :y +y 2=x 22x ,由P x 0,y 0 得y 0+y 1=x 12x 0,y 0+y 2=x 22x 0.上述表明直线y +y 0=x02x 过A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点．∵ x 0−y 0−2=0，故直线AB 的方程为：x 02x −y +2−x 0=0.（3）由 x 02x −y +2−x 0=0,x 2=4y ,消去x 化得y 2− x 02−2x 0+4 y + x 0−2 2=0,所以y1+y2=x02−2x0+4, y1y2=x0−22.因为AF=y1+1，BF=y2+1，所以AF ⋅ BF=y1+1y2+1=y1y2+y1+y2+1=2x02−6x0+9=2 x0−32+9.当x0=32，即P为32,−12时，AF ⋅ BF取最小值为92．21. （1）fʹx=x−1e x+e x−2kx=x e x−2kx=x e x−2k.当k=1时，令fʹx=x e x−2=0，得x1=0,x2=ln2;当x<0时，fʹx>0；当0<x<ln2时，fʹx<0；当x>ln2时，fʹx>0；∴函数f x的单调递增区间为−∞,0,ln2,+∞；单调递减区间为0,ln2．（2）∵12<k≤1，∴1<2k≤2，所以0<ln2k<ln2.记 k=k−ln2k，则 ʹk=1−22k =k−1k在k∈12,1有 ʹk<0，∴当k∈12,1时， k=k−ln2k> 1=1−ln2>0，即k>ln2k>0.∴当k∈12,1时，函数f x在0,ln2k单调递减，在ln2k,k单调递增．f0=−1，f k=k−1e k−k3，记g k=f k=k−1e k−k3，下证明g k≥−1．gʹk=k e k−3k,设p k=e k−3k，令pʹk=e k−3=0,得k=ln3>1,∴p k=e k−3k在12,1为单调递减函数，而p 1=e−3> 2.25−1.5=0,p1=e−3<0,∴gʹk=k e k−3k=0的一个非零的根为k0∈12,1，且e k0=3k0．显然g k=k−1e k−k3在12,k0单调递增，在k0,1单调递减，∴g k=f k=k−1e k−k3在12,1上的最大值为g k 0 = k 0−1 3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0= 1−k 0 3−1>−1,g 1 =−1 e −1>−1⇔74> e 而74> 3> e 成立，∴ g 12 >−1,g 1 =−1． 综上所述，当k ∈ 12,1 时，函数f x 在 0,k 的最大值M = k −1 e k −k 3.。

高考数学理二轮专题复习课件专题六概率与统计第二讲概率【精选】

高考数学理二轮专题复习课件专题六概率与统计第二讲概率【精选】
栏目 导引
专题六 概率与统计
强 化 训 练 2 (2013·成 都 市 诊 断 性 检 测 ) 已 知 集 合 {(x ，
2x＋y－4≤0 y)|x＋y≥0 }表示的平面区域为 Ω，若在区域 Ω 内任取一
x－y≥0
点 P(x，y)，则点 P 的坐标满足不等式 x2＋y2≤2 的概率为( A )
栏目 导引
专题六 概率与统计
【解】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等， 出现的可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共 16 种． (1)事件“m 不小于 6”包含其中(1，5)，(2，5)，(3，5)，(3， 3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共 8 个基本事件，所以 P(m≥6)＝186＝12.
3π A. 32
3π B. 16
π
π
C.32
D.16
栏目 导引
专题六 概率与统计
【解析】 作出不等式组
2x＋y－4≤0 x＋y≥0 表示的平面区域，如图三角形 x－y≥0
ABO，且有
A(43，
43)，B(4，－4)，所以 S△ABO＝12×4 3 2×4 2＝136，点 P 的坐
标满足不等式 x2＋y2≤2 的面积 S 扇形＝14×π ( 2)2＝π2 ，
3．(2013·高考辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道 乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
栏目 导引
专题六 概率与统计
【解】(1)将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4；2 道乙类 题依次编号为 5，6.任取 2 道题，基本事件为：{1，2}，{1， 3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2， 6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用 A 表示“都 是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有{1，2}，{1， 3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共 6 个，所以 P(A) ＝165＝25. (2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件， 则 B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}， {3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共 8 个，所以 P(B)＝185.

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=x^2-4x+c，则f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点，则c的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=4，则S_5的值为：A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A3. 设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A4. 若直线y=2x+3与曲线y=x^3-x^2+1相切，则切点的横坐标为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A5. 已知复数z满足|z-1|=1，|z+1|=2，则|z|的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f'(x)=0，则x的值为：A. 1B. -1C. 2D. -2答案：A7. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，若a·b=5，则a与b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C8. 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，若椭圆C与直线y=x+1相交于A、B两点，且|AB|=2√2，则a^2+b^2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B二、填空题（每题5分，共20分）9. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，若f'(x)=0，则方程x^3-6x^2+9x+1=0的根为________。

答案：0，310. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_3=26，则公比q为________。

答案：311. 设函数f(x)=3x^2-6x+5，若f(x)=0，则x的值为________。

答案：1，5/312. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 1)，若a·b=-11，则向量a与b的夹角为________。

2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)

高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)

专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数． 解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。

2013年高考数学试题(附答案)

2013年高考数学试题(附答案)

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z=(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a的值为A.2 B.- C.D.-22.如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是 A.概念与分类是从属关系 B.等差数列与等比数列是从属关系 C.数列与等差数列是从属关系D.数列与等比数列是从属关系，但数列与分类不是从属关系3.下列说法中错误的是A.对于命题p：?x0R，sin x01，则綈p：?xR，sin x高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!B.命题若0C.若pq为真命题，则p，q均为真命题;D.命题若x2-x-2=0，则x=2的逆否命题是若x2，则x2-x-2.4.1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是 A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.456.三角形的面积为S=(a+b+c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)h，(h为四面体的高)7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知椭圆+=1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O为原点)的长为A.1 B.2 C.3 D.4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9.已知复数z=1+，则||=____________.10.读下面的程序框图，当输入的值为-5时，输出的结果是________.11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块.12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.13.已知双曲线-=1(a，b0)的顶点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率e是________.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据：K2=P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?15.(本小题满分12分)已知：a，b，c0.求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.16.(本小题满分12分)已知抛物线y2=4x 的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1) 求证：y1y2是一个定值;(2) 求证：直线MB平行于x轴.一、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.二、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)0，则下列各式中必成立的是A.2f(-1)2f(-3)C.2f(1)f(2) D.3f(2)2f(3)三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)已知函数f(x)=-x3+3x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x[0，a]，a0时，设f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表达式.4.(本小题满分13分)(1)证明：xln x(2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.5. (本小题满分14分)如图，已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b0)有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x 轴的切线交椭圆于点M，N，且(O为原点).(1)求b的值;(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：，并求|AB|的取值范围.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(文科)参考答案必考Ⅰ部分(100分)6.C 【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c;类比：设四面体A-BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体，高都为r，所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.7.B 【解析】f(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6)，所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.8.D 【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|=8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|=4.二、填空题9.10.2 【解析】①A=-50，②A=-5+2=-30，③A=-3+2=-10，④A=-1+2=10，⑤A=21=2.11.4n+2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n 个图案中有4n+2块.12.x-y=013. 【解析】由题意知=tan 30=?e==.∵K25.75.024，因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态.(11分)(2)据题意设A，M(-1，yM)，(8分)由A、M、O三点共线有=?y1yM=-4，(10分)又y1y2=-4则y2=yM，故直线MB平行于x轴.(12分)必考Ⅱ部分(50分)一、填空题1.10 【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，yP=4，则|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.二、选择题2.B 【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性，而f(x)0且f(x)0，则当x0时0，即函数在(-，0)上单调递减，故选 B.三、解答题 3.【解析】(1)f(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)列表如下：x(-，-1)-1(-1，1)1(1，+)f(x)-0+0-f(x)递减极小值递增极大值递减所以：f(x)的递减区间有：(-，-1)，(1，+)，递增区间是(-1，1);f极小值(x)=f(-1)=-2，f极大值(x)=f(1)=2.(7分)(2)由(1)知，当0此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，即当x[0，a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)综上有h(a)=(13分)4.【解析】 (1)设函数(x)=xln x-x+1，则(x)=ln x(1分)则(x)在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，(3分)(x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(1)=1ln 1-1+1=0故xln xx-1.(5分)(2)f(x)=ex-a(6分)①a0时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)=0，所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)②当a0时，函数f(x)在(-，ln a)上递减，在(ln a，+)上递增，函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)ⅰ.当a=1时，函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)ⅱ.当01时，由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-10，又f(0)=0当0故此时f(x)?+，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;当a1时，2ln a0，计算f(2ln a)=a2-2aln a-1考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x1) ，则g(x)=2(x-1-ln x)，再设h(x)=x-1-ln x(x1)，h(x)=1-=0故h(x)在(1，+)递增，则h(x)h(1)=1-1-ln 1=0，所以g(x)0，即g(x)在(1，+)上递增，则g(x)g(1)=12-21ln 1-1=0即f(2ln a)=a2-2aln a-10，则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根.故01时函数f(x)都是恰有两个零点.综上：当a(-，0]{1}时，函数f(x)恰有一个零点x=0，当a(0，1)(1，+)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)5.【解析】(1)当MNx 轴时，MN的方程是x=，设M，N由知|y1|=，即点在椭圆上，代入椭圆方程得b=2.(3分)(2)当lx轴时，由(1)知当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0则=?3m2=8(1+k2)(5分)?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则，(7分)x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2-+==0，即.即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有.(9分)(2)当lx轴时，易知|AB|=2=(10分)当l不与x轴垂直时，|AB|===(12分)设t=1+2k2[1，+)，(0，1]则|AB|==所以当=即k=时|AB|取最大值2，当=1即k=0时|AB|取最小值，(或用导数求函数f(t)=，t[1，+)的最大值与最小值)综上|AB|.(14分)高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!。

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题及答案【试题一】题目：已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \)，求\( f(x) \)的导数\( f'(x) \)。

解答：首先，我们需要对函数\( f(x) \)求导。

根据导数的基本运算法则，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 1) \]分别对每一项求导，得到：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \]【试题二】题目：解方程\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)。

解答：这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中\( a = 2 \)，\( b = -5 \)，\( c = 3 \)。

代入求根公式，得到：\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} \]\[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \]所以，方程的解为：\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]【试题三】题目：已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证三角形ABC是一个直角三角形。

解答：根据勾股定理，如果三角形的三边长满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是一个直角三角形。

已知条件正是勾股定理的表达式，因此我们可以得出结论：三角形ABC是一个直角三角形。

【试题四】题目：已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \)，\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)，求\( \sin\alpha \)和\( \cos\alpha \)的值。

高考数学基础知识突破训练试题(附答案和解释)

高考数学基础知识突破训练试题(附答案和解释)

高考数学基础知识突破训练试题（附答案和解释）高三一轮“双基突破训练”〔具体解析+方法点拨〕 (5)一、选择题1．设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满意f(x)＝fx＋3x＋4的全部x之和为( )A．－3 B．3C．－8 D．8【答案】C【解析】由于f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝fx＋3x＋4，只有两种状况：①x＝x＋3x＋4 ；②x＋x＋3x＋4 ＝0.由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.由②知x2＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5.因此满意条件的全部x之和为－8.应选择C.此题考查函数的性质及推理论证力量，易错之处是只考虑x＝x＋3x ＋4 ，而忽视了x＋x＋3x＋4 ＝0，误选了A.2．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，那么满意条件的整数数对(a，b)共有( )A．2个 B．3个C．5个 D．很多个【答案】C【解析】f(x)在[0，＋∞)递减，在(－∞，0]上递增，且f(0)＝1，f(－2)＝f(2)＝0，故(a，b)可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)，共5个．应选择C.3．对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x＋2)．推断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的全部函数的序号是( )A．①③ B．①②C．③ D．②【答案】D【解析】此题考查函数的增减性、奇偶性、考查真假命题的概念，考查分析问题的力量．方法1：函数①、②使命题甲为真，函数③使命题甲为假，排解A、C 选项；依据函数图像分析，函数①、②使命题乙为真；函数②使命题丙也为真，但函数①使命题丙为假，因此选D.方法2：由命题甲f(x＋2)是偶函数，可知①、②满意条件，排解③；作出①②函数的图像，可知②满意命题乙的条件，①不满意乙的条件，排解①.因此选D.4．函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又a∈R，则( )A．f(a)f(2a) B．f(a2)f(a)C．f(a2＋a)f(a) D．f(a2＋1)f(a)【答案】D【解析】法1：取a＝0，由f(x)在R上是减函数，去A、B、C，∴选D.法2：∵f(x)是R上的减函数，而a0时，a2a.a0时，a2a，∴f(a)与f(2a)大小不定，同样a2与a，a2＋a与a的大小关系不确定，从而f(a2)与f(a)，f(a2＋a)与f(a)的大小关系不定，但a2＋1－a＝(a－12)2＋340，∴a2＋1a，从而f(a2＋1)f(a)．应选D.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(0,2] D．[－2，－1]∪[2，3]【答案】A【解析】当t＝1时，x∈[1,3]，若x＝3，则f(x＋t)＝f(4)＝15,2f(x)＝2f(3)＝18，故f(x＋t)≥2f(x)不恒成立，故答案C、D错误；当t＝32时，x∈32，72，令g(x)＝f(x＋t)－2f(x)＝x＋322－2x2＝－x2＋3x＋94，g(x)在32，72上是减函数，g(x)≥g72＝12，g(x)≥0在32，72上恒成立，即f(x＋t)≥2f(x)在32，72上恒成立．故t＝32符合题意，答案B错误．应选择A.二、填空题6．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝.【答案】－1【解析】∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)＝x2＋(a＋1)x＋a，由函数为偶函数得a＋1＝0，解得a＝－1.【答案】1＋22【解析】由x2－2x≥0，x2－5x＋4≥0得x≤0或x≥2，x≤1或x≥4，∴函数的定义域为x≤0或x≥4，而原函数在(－∞，0]上为减函数，在[4，＋∞)上是增函数，当x＝0时f(x)＝4，而当x＝4时，f(x)＝1＋22，故f(x)的最小值为1＋22.8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝.【答案】－2x2＋4【解析】∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.当a＝0时，f(x)＝bx2，∵f(x)值域为(－∞，4]，而y＝bx2值域不行能为(－∞，4]，∴a≠0.当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]．∴2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2＋4.三、解答题9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，求不等式fx－f－xx0的解集．【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴fx－f－xx＝2fxx0，即fx0，x0，或fx0，x0.由于f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．由f(1)＝0知f(－1)＝0，∴fx0，x0，可化为fxf1，x0，∴0x1，fx0，x0，可化为fxf－1，x0，∴－1x0.∴原不等式的解集为x|－1x0或0x1．10．设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式．【解析】f(x)＝(x－1)2－1.当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2－2；当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴最小值g(t)＝f(t)＝(t－1)2－2；当t1t＋1，即 0t1时，最小值g(t)＝f(1)＝－2，∴g(t)＝t2－2 t≤0－2 0t1t－12－2 t≥1.11．函数f(x)＝－x2＋2tx＋t在[－1,1]上的最大值为g(t)，求函数g(t)的解析式；画出其图像，据图像写出函数g(t)的值域．【解析】f(x)＝－x2＋2tx＋t＝－(x－t)2＋t2＋t，(－1≤x≤1)当－1≤t≤1时，函数f(x)的最大值为f(t)＝t2＋t.当t－1时，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，∴最大值为f(－1)＝－1－t.当t1时，函数f(x)在[－1,1]上是增函数，∴最大值为f(1)＝－1＋3t.综上可得g(t)＝t2＋t －1≤t≤1－1－t t－1－1＋3t t1图像如下：∴g(t)的值域为：－14，＋∞.12．设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满意0x1x21.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．【解析】方法1：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，则由题意可得Δ0，01－a21，g10，g00，a0，－1a1，a3－22或a3＋22，0a3－22.故所求实数a的取值范围是(0,3－22)．(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0) g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2.∵当a0时，h(a)单调增加，∴当0a3－22时，0h(a)h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝2117＋122116，即f(0)f(1)－f(0)116.方法2：(1)同方法1.(2)f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，由(1)知0a3－22，∴42a－1122－170.又42a＋10，于是2a2－116＝116(32a2－1)＝116(42a－1)(42a＋1)0，即2a2－1160，故f(0)f(1)－f(0)116.方法3：(1)方程f(x)－x＝0x2＋(a－1)x＋a＝0. 由韦达定理得x1＋x2＝1－a，x1x2＝a，于是0x1x21Δ0，x1＋x20，x1x20，1－x1＋1－x20，1－x11－x20，a0，a1，a3－22或a3＋22，0a3－22.故所求实数a的取值范围是(0,3－22)．(2)依题意可设g(x)＝(x－x1)(x－x2)，则由0x1x21得f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝[x1(1－x1)][x2(1－x2)]x1＋1－x122x2＋1－x222＝116，故f(0)f(1)－f(0)116.。

2013年考研数学真题及参考答案(数学二)

2013年考研数学真题及参考答案(数学二)

π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【 】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小 【答案】 答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】 考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】 解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】 解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】 评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 【答案】 答案】B. 【考点】 考点】向量组的线性表示方法. 【解析】 解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【 】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】 答案】
π
12
.
【考点】 考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.

高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)

高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知()f x =奇函数M +核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- ．因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-．因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ ．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnb x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增（或减）函数；③若()0f x>且()f x为增函数，则函数为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，则函数为减函数，1()f x为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x是偶函数⇔函数(f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()[()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-．5、对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()224,1,1,1x ax x f x x x⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞-【答案】A【解析】显然当1x >时，()1f x x=为单调减函数，()()11f x f <=当1x时，()224f x x ax =-++，则对称轴为()221ax a =-=⨯-，()123f a =+若()f x 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上减函数，则12231a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选：A ．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x xf x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<-所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（）A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-，∴b a =（舍去），或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<，对于函数(11y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=<∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增，∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+，∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增，∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误．故选：B ．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例5．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A ．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例8．（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A ．－1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x --+-，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫-++≥⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4-+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞【答案】A【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x ---=-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x -'=+-cos 11cos 0x x ≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于：22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-，故选：A ．核心考点三：已知()f x =奇函数+M 【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．【答案】-2014【解析】()()3lg log 10lg lg32022f f =-=，因为()()34g x f x ax =-=+所以()()lg lg3lg lg3g g -=-，其中()()lg lg3lg lg342018g f -=--=，所以()()lg lg34lg lg32018g f -=-=，解得：()lg lg32014f =-故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】D 【解析】设()2sin 44x x g x x -=+，因为()()()()()22sin 4sin 444x x x x g x g x x x -----==-=-+-+，所以()g x 为奇函数，因为()()14g a f a =-=，所以()()14g a f a -=--=-，则()3f a -=-．故选：D ．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】由题设，()(0)()()4f x x f f x f x -==+--且(0)()()(0)4f x f x f x f +==+-，∴(0)4f =，则()()8f x f x +-=，∴()()4m x f x =-为奇函数，令2sin ()cos 1()()4xm h x g x x x =-++=，∴2sin()2sin ()()()()cos()1cos 1x xh x m x m x h x x x --=+-=--=--++，即()h x 是奇函数，∴()h x 在[2021,2021]-上的最小、最大值的和为0，即max min ()4()40g x g x -+-=，∴max min ()()8g x g x +=．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例14．（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x -=-++=++=-++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t =-，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +-≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t -≤≤，即21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log (log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log 2f f f ->>【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增．∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈，∴0.52314log 92log 0.512->>->>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=．故选：C ．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数()()()33sin cos tan 1221sin 2sin x x x f x x xππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+，函数()1y g x =-为奇函数，若函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】因为()()()cos sin tan 111sin 1sin sin sin x x x f x x xx x-⋅-=++=++，函数()f x 的定义域为,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，()()()11sin 1sin 1sin sin f x x x x x-=-++=--+-，所以，()()2f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，因为函数()1y g x =-为奇函数，则()()110g x g x --+-=，即()()2g x g x +-=，故函数()g x 的图象也关于点()0,1对称，函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，且这六个点也关于点()0,1对称，所以，()610236i i i x y =+=+⨯=∑．故选：B ．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与()y f x =图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】由题可得()f x 关于点(0,1)对称，11y x=+的图象也关于点(0,1)对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点，同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()112266x y x y x y ++++⋅⋅⋅++=()()()111122122x y x y x y ⎡++-+-++⎣()()()226666226x y x y x y ⎤+-+-+⋯+++-+-=⎦，故选：D ．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，L ，2023x ，且122023x x x m +++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为（）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0∞-D ．∅【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，且函数()f x 的图象与x 轴交点关于原点对称，不妨设1232023x x x x <<<< ，则()202401,2,32023i i x x i -+== ，所以1220230m x x x =+++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤，所以不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数())()3sin lnf x x x x x R =++∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=，则函数()g x 的图象关于点(1,0)对称，且g （1）0=，函数())3sin lnf x x x x =+++，则))33()()sin()lnsin ln ()f x x x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+=-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)=-y f x 是由函数()y f x =向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h x f x g x =--=，则(1)()f x g x -=，因为函数()g x 与(1)f x -的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h x f x g x =--恰有2021个零点，所以2021个零点除1x =之外的个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212⨯+=．故选：D ．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12-D ．1-【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x -+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x -+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故()()31f x f x +=-+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=-+②，由①②得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =-，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，因为()()11f x f x -+=-+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x -+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫-⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x -+=-+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=--+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B 【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥-⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min 1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B ．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 【答案】C 【解析】因为[]4,2x ∈--，所以[]40,2x +∈，因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，所以()()()22442468f x x x x x +=+-+=++，因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=，所以()()()4329f x f x f x +=+=，所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈--，又因为[]4,2x ∈--，()13t 18f x t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故()131t 189minf x t ⎛⎫-≤=- ⎪⎝⎭，解不等式可得t 3≥或1t 0-≤<．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【答案】C 【解析】当[)0,2x ∈时，()min 0f x =，又()()22f x f x +=，因此当[)4,2x ∈--时，函数()min 0f x =，从而20220t t t ≥+⇒-≤≤，选C ．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞--D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由()()121221()[0f x f x x x x x --<，得()()11221212()[0x f x x f x x x x x --<，因为121200x x x x ->>，，所以()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x -<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)-∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=-，则210x -<+<，解得：31x -<<-；综上，原不等式的解集为(),111)3(,--- ．故选：B ．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。

（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。

（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。

（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。

4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 解释什么是平面向量的坐标表示。

3. 请写出三角形面积公式。

4. 请列举三种不同的数列。

5. 简述反函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。

2013考研数学二答案真题解析

2013考研数学二答案真题解析
sin tdt =1− cos x,
0
π
x
sin tdt + 2dt= 2(x − π
0
π
0≤ x<π +1),π ≤ x ≤ 2π
，
由于 l= im F (x) l= im F (x) 2 ，所以 F (x) 在 x = π 处连续；
x→π −
x→π +
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梦想不会辜负每一个努力的人
梦想不会辜负每一个努力的人
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（ ） 2
要使 lim(− 1 λ→∞ α
1 lnα
) 存在，需满足α λ
>
0 ；所以 0
<α
<
2。
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （ ）
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
【答案】（A）
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲理

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲理

2013年全国大纲理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合A=1,2,3，B=4,5，M=x x=a+b,a∈A,b∈B，则M中元素的个数为 A. 3B. 4C. 5D. 62. 1+3= A. −8B. 8C. −8iD. 8i3. 已知向量m=λ+1,1，n=λ+2,2，若m+n⊥m−n，则λ= A. −4B. −3C. −2D. −14. 已知函数f x的定义域为−1,0，则函数f2x+1的定义域为 A. −1,1B. −1,−12C. −1,0 D. 12,15. 函数f x=log21+1xx>0的反函数f−1x= A. 12−1x>0 B. 12−1x≠0C. 2x−1x∈RD. 2x−1x>06. 已知数列a n满足3a n+1+a n=0，a2=−43，则a n的前10项和等于 A. −61−3−10B. 191−310C. 31−3−10D. 31+3−107. 1+x81+y4的展开式中x2y2的系数是 A. 56B. 84C. 112D. 1688. 椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是−2,−1，那么直线PA1斜率的取值范围是 A. 12,34B. 38,34C. 12,1 D. 34,19. 若函数f x=x2+ax+1x 在12,+∞ 是增函数，则a的取值范围是 A. −1,0B. −1,+∞C. 0,3D. 3,+∞10. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 A. 23B. 33C. 23D. 1311. 已知抛物线C:y2=8x与点M−2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若MA⋅MB=0，则k= A. 12B. 22C. 2D. 212. 已知函数f x=cos x sin2x，下列结论中错误的是 A. y=f x的图象关于点π,0中心对称B. y=f x的图象关于x=π2对称C. f x的最大值为32D. f x既是奇函数，又是周期函数二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知α是第三象限角，sinα=−13，则cotα=．14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15. 记不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4,所表示的平面区域为D，若直线y=a x+1与D有公共点，则a的取值范围是．16. 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK=32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60∘，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题；共78分）17. 等差数列a n的前n项和为S n，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求a n的通项公式．18. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a+b+c a−b+c=ac．（1）求B；（2）若sin A sin C=3−14，求C．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BAD=90∘，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A−PD−C的大小．20. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21. 已知双曲线C:x2a −y2b=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6．（1）求a，b；（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且AF1=BF1，证明：AF2， AB ，BF2成等比数列．22. 已知函数f x=ln1+x−x1+λx1+x．（1）若x≥0时f x≤0，求λ的最小值；（2）设数列a n的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．答案第一部分1. B2. A3. B4. B5. A6. C 【解析】由3a n+1+a n=0，得a n≠0（否则a2=0），且a n+1a n =−13，所以数列a n是公比为−13的等比数列，代入a2可得a1=4，故S10=4×1− −13101+13=3×1−1310=31−3−10.7. D 8. B 9. D 10. A【解析】提示：建立空间直角坐标系进行求解．11. D 【解析】由抛物线C的准线方程为x=−2可知，点M在准线上，设直线方程为y=k x−2，并设A x1,y1，B x2,y2，由MA⋅MB=0可得AM⊥BM，所以点M到直线AB中点N的距离等于AB弦长的一半，根据抛物线的定义，也即AB的中点N到准线的距离，所以线段MN即为三角形MBA的中线，所以MN平行于x轴，如图所示：则N点的纵坐标为2，而y1+y2=4，联立直线方程与抛物线方程得k8y2−y−2k=0，于是y1+y2= 8k=4，解得k=2．12. C 【解析】A项，因为f2π−x=cos2π−x sin4π−2x=cos−x sin−2x=−cos x sin2x=−f x,所以y=f x的图象关于点π,0中心对称，故正确．B项，因为fπ−x=cosπ−x sin2π−2x=cos x sin2x=f x,所以y=f x的图象关于直线x=π2对称，故正确．C项，f x=cos x sin2x=2sin x cos2x=2sin x1−sin2x=−2sin3x+2sin x,令sin x=t，则t∈−1,1，f x的最大值问题转化为求ℎt=−2t3+2t在t∈−1,1上的最大值．ℎʹt=−6t2+2,令ℎʹt=0，得t=−33或33，经计算比较得最大值为ℎ33=439，故错误．D项，由f−x=cos−x sin−2x=−cos x sin2x=−f x,知其为奇函数；对于任意的x，都有f x+2kπ=f x k∈Z，所以f x是以2π为周期的周期函数，故正确．第二部分13. 2214. 48015. 12,4【解析】画出可行域，如图中△ABC区域．又∵直线y=a x+1恒过定点−1,0，a是直线y=a x+1的斜率，当直线经过B点与A点这两个边界点时，对应的a分别为a=12与a=4，故a的范围为12,4．16. 16π【解析】如图所示，公共弦为AB，设球的半径为R，则AB=R．取AB中点M，连接OM，KM，由圆的性质知OM⊥AB，KM⊥AB，所以∠KMO为圆O与圆K所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO=60∘．在Rt△KMO中，OK=32，所以OM=OKsin60∘= 3.在Rt△OAM中，因为OA2=OM2+AM2，所以R2=3+14R2,解得R2=4，所以球O的表面积为4πR2=16π．第三部分17. 设a n的公差为d，由S3=a22，得3a2=a22，故a2=0 或 a2=3.由S1，S2，S4成等比数列得，S22=S1S4．又S1=a2−d,S2=2a2−d,S4=4a2+2d,故2a2−d2=a2−d4a2+2d.若a2=0，则d2=−2d2，所以d=0，此时S n=0不合题意；若a2=3，则6−d2=3−d12+2d,解得d=0 或 d=2.因此a n的通项公式为a n=3 或 a n=2n−1.18. （1）因为a+b+c a−b+c=ac,所以a2+c2−b2=−ac.由余弦定理得cos B=a2+c2−b2=−1,因此B=120∘.（2）由（1）知A+C=60∘，所以cos A −C =cos A cos C +sin A sin C=cos A cos C −sin A sin C +2sin A sin C =cos A +C +2sin A sin C =12+2× 3−14= 32, 故A −C =30∘或A −C =−30∘，因此C =15∘或C =45∘.19. （1）如图1，取BC 的中点E ，连接DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥ 平面 ABCD ，垂足为O ． 连接OA ，OB ，OD ，OE ．由△PAB 和△PAD 都是等边三角形，知PA =PB =PD ，所以OA =OB =OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ． 又OE ⊥OP ，BD ∩OP =O ，所以OE ⊥ 平面 PDB ，从而PB ⊥OE ． 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．（2）方法一：由⑴知，OE ⊥ 平面 PDB ，OE ∥CD ，故CD ⊥ 平面 PBD ． 又PD ⊂ 平面 PBD ，所以CD ⊥PD ． 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连接FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD ，连接AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD ， 所以∠AFG 为二面角A −PD −C 的平面角． 连接AG ，EG ，则EG ∥PB ． 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE ． 设AB =2，则CD =AE =2 2,EG=12PB =1, 故AG = AE 2+EG 2=3.在△AFG中，FG=12CD=2,AF=3,AG=3,所以cos∠AFG=FG2+AF2−AG2=−6 3 ,因此二面角A−PD−C的大小为π−arccos63．方法二：由（1）知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系O−xyz．设AB=2，则A − 2,0,0,D 0,− 2,0,C 22,− 2,0,P 0,0,2.PC=22,− 2,− 2,PD=0,− 2,− 2,AP=2,0,2,AD=2,− 2,0.设平面PCD的法向量为n1=x,y,z，则n1⋅PC=x,y,z⋅22,− 2,− 2=0,n1⋅PD=x,y,z⋅0,− 2,− 2=0,可得2x−y−z=0,y+z=0.取y=−1，得x=0，z=1，故n1=0,−1,1.设平面PAD的法向量为n2=m,p,q，则n2⋅AP=m,p,q⋅2,0,2=0,n2⋅AD=m,p,q⋅2,− 2,0=0,可得m+q=0,m−p=0.取m=1，得p=1，q=−1，故n 2 = 1,1,−1 .于是cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 n 2 =− 6.由于 n 1 ,n 2 等于二面角A −PD −C 的平面角，所以二面角A −PD −C 的大小为π−arccos 63． 20. （1）记A 1表示事件"第2局结果为甲胜"， A 2表示事件"第3局甲参加比赛时，结果为甲负"， A 表示事件"第4局甲当裁判"． 则A =A 1⋅A 2．P A =P A 1⋅A 2=P A 1 P A 2=1.（2）X 的可能取值为0,1,2．记A 3表示事件"第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙"， B 1表示事件"第1局结果为乙胜丙"，B 2表示事件"第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲"， B 3表示事件"第3局乙参加比赛时，结果为乙负"． 则P X =0 =P B 1⋅B 2⋅A 3=P B 1 P B 2 P A 3 =1,P X =2 =P B 1⋅B 3=P B 1 P B 3=1,P X =1 =1−P X =0 −P X =2=1−18−14=5, 故EX =0⋅P X =0 +1⋅P X =1 +2⋅P X =2=98.21. （1）由题设知ca =3，即a 2+b 2a 2=9,故b2=8a2．所以C的方程为8x2−y2=8a2.将y=2代入上式，求得x=±a2+1 .由题设知，2 a2+12=6，解得a2=1．所以a=1,b=2 2.（2）由（1）知，F1−3,0，F23,0，C的方程为8x2−y2=8. ⋯⋯①由题意可设l的方程为y=k x−3, k <22,代入①并化简得k2−8x2−6k2x+9k2+8=0.设A x1,y1，B x2,y2，则x1≤−1，x2≥1，x1+x2=6k2 k2−8,x1⋅x2=9k2+82.于是AF1= x1212= x1+32+8x12−8=−3x1+1,BF1= x2+32+y22=2222=3x2+1.由AF1=BF1，得−3x1+1=3x2+1，即x1+x2=−2 3 ,故6k2 2=−2,解得k2=45，从而x1⋅x2=−199．由于AF2= x1−32+y12= x1212=1−3x1,BF2= x2222= x2−32+8x22−8=3x2−1,普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 故AB = AF 2 − BF 2 =2−3 x 1+x 2 =4, AF 2 ⋅ BF 2 =3 x 1+x 2 −9x 1x 2−1=16.因而AF 2 ⋅ BF 2 = AB 2,所以 AF 2 ， AB ， BF 2 成等比数列．22. （1）由已知f 0 =0,fʹ x = 1−2λ x −λx 22,fʹ 0 =0.若λ≤0，则在 0,+∞ 上，fʹ x >0，f x 单调递增，f x >f 0 =0，不符题意； 若0<λ<12，则当0<x <1−2λλ时，fʹ x >0，所以f x >0． 若λ≥12，则当x >0时，fʹ x <0，f x 单调递减，所以当x >0时，f x <0．综上，λ的最小值是12． （2）令λ=12．由（1）知，当x >0时，f x <0，即x 2+x 2+2x>ln 1+x . 取x =1k ，则2k +12k k +1 >ln k +1k. 于是a 2n −a n +1= 1+1 2n−1k =n =2k +1 2n−1k =n > lnk +1k 2n−1k =n =ln2n −ln n =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.。

2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章__直线和圆的方程

2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章__直线和圆的方程

2013高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课 直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】1. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角范围是50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320-+=-=或x y x y3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m 1⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，11k m =+， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1211y x m -=++. （3）①当m =－1时，2πα=；②当m ≠－1时，∵(1,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭∴2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故综合①、②得，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦例2.直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|PA|²|PB|取最小值时,求直线l 的方程.分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l 的方程.解 （1）设直线l 的方程为y -1=k (x -2),则点A(2-1k ,0),B(0,1-2k ),且2-1k>0, 1-2k >0,即k <0. △AOB 的面积S=12(1-2k )(2-1k )=12[(-4k )+1k -+4]≥4,当-4k =1k -,即k =12-时, △AOB 的面积有最小值4,则所求直线方程是x +2y -4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l 为y -1=k (x -2). 分别令y =0和x =0,得A(2-1k,0),B(0,1-2k ), ∴|PA|²4=,当且仅当k 2=1,即k =±1时, |PA|²|PB|取得最小值4.又k <0, ∴k =-1,这是直线l 的方程是x +y -3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,2π),且|PA|²|PB|=||||44sin cos sin 2PE PF θθθ⋅=≥ 当且仅当θ=4π时, |PA|²|PB|取得最小值4,此时直线l 的斜率为-1, 直线l 的方程是x +y -3=0.点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.例3.直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程.分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一 设直线l 交l 1于A （a ，b ），则点（－2－a ，4－b ）必在l 2，所以有4303(2)5(4)50a b a b ++=⎧⎨-----=⎩，解得25a b =-⎧⎨=⎩ 直线l 过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x ＋y ＋1＝0.解法二 由已知可设直线l 与l 1的交点为A （－1＋m ，2＋n ），则直线l 与l 2的交点为B （－1－m ，2－n ），例2图且l 的斜率k ＝nm ，∵A,B 两点分别l 1和l 2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50m n m n -++++=⎧⎨-----=⎩，消去常数项得－3m ＝n ，所以k ＝－3，从而直线l 的方程为3x ＋y ＋1＝0.解法三 设l 1、l 2与l 的交点分别为A,B ，则l 1关于点P （－1，2）对称的直线m 过点B ，利用对称关系可求得m 的方程为4x ＋y ＋1＝0，因为直线l 过点B ，故直线l 的方程可设为3x －5y －5＋λ（4x ＋y ＋1）＝0.由于直线l 点P （－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l 的方程为3x －5y －5－18（4x ＋y ＋1）＝0，即3x ＋y ＋1＝0.点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l 的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解30---子数列问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解30---子数列问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第30讲子数列问题子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．考点一 奇数项、偶数项例1(2022·淄博模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数，n ∈N *.设b n ＝a 2n －1.(1)证明：数列{b n ＋2}为等比数列，并求出{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前2n 项和． (1)证明 由题意可知b 1＝a 1＝1， b n ＋1＝a 2n ＋1＝2a 2n ＝2(a 2n －1＋1) ＝2a 2n －1＋2＝2b n ＋2， 故b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)， 即b n ＋1＋2b n ＋2＝2， 故{b n ＋2}是以b 1＋2＝3为首项，以q ＝2为公比的等比数列， 所以b n ＋2＝3×2n －1，n ∈N *，故b n ＝3×2n －1－2，n ∈N *.(2)解 由(1)知，b n ＝3×2n －1－2，n ∈N *，即a 2n －1＝3×2n －1－2，n ∈N *，由题意知a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n ＝2k －1，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，故a 2n ＝a 2n －1＋1，n ∈N *，故数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋n ＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n －1)－2n ]＋n＝6×1－2n1－2－3n ＝6(2n －1)－3n .规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))； ②含有(－1)n 的类型； ③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .跟踪演练1 (2022·山东学期联考)已知数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n －a n ＋1(n ≥2)，且a 1＝1，a 7＝13；数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n －12.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， 则数列{a n }为等差数列，设其公差为d ， 由a 7＝a 1＋6d ＝13，解得d ＝2， ∴a n ＝2n －1，在数列{b n }中，当n ＝1时，b 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝3n －12－3n －1－12＝3n －1，当n ＝1时，满足上式，∴b n ＝3n －1.(2)因为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，则当n 为偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1＋5＋…＋2n －3＋3＋…＋3n －1＝n2(1＋2n －3)2＋3－3n ＋11－9＝n 2－n 2＋3n ＋1－38，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋c n ＝n 2＋n 2＋3n －38(n >2)，当n ＝1时，上式也成立．综上，T n＝⎩⎨⎧n 2－n 2＋3n ＋1－38，n 为偶数，n 2＋n 2＋3n－38，n 为奇数.考点二 两数列的公共项例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋n2，{b n }的前n 项之积T n ＝()122n n +(n ∈N *)．(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)把数列{a n }和{b n }的公共项由小到大排成的数列记为{c n }，求c 1＋c 2＋…＋c 20的值． 解 (1)由S n ＝3n 2＋n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1， 当n ＝1时，上式也成立， 所以a n ＝3n －1，由T n ＝()122n n +，当n ＝1时，b 1＝T 1＝2，当n ≥2时，b n ＝T nT n －1＝2n ，当n ＝1时，上式也成立，所以b n ＝2n .(2)数列{a n }和{b n }的公共项依次为21，23，25，27，…，∴21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴c n ＝2×4n －1，则c 1＋c 2＋…＋c 20＝2×(1－420)1－4＝2(420－1)3.规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．跟踪演练2 (2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 答案 3n 2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…； 数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法)令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数． 令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1,2,3，…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5. 以下同方法一．考点三 分段数列例3 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍)，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)方法一 由题意知，2n ≤m ，即n ≤log 2m ， 当m ＝1时，b 1＝0.当m ∈[2k ，2k ＋1－1)时，b m ＝k ，k ∈N *，则S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋…＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100) ＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37 ＝480.方法二 由题意知b m ＝k ，m ∈[2k ，2k ＋1)，因此，当m ＝1时，b 1＝0； 当m ∈[2,4)时，b m ＝1； 当m ∈[4,8)时，b m ＝2； 当m ∈[8,16)时，b m ＝3； 当m ∈[16,32)时，b m ＝4； 当m ∈[32,64)时，b m ＝5； 当m ∈[64,128)时，b m ＝6.所以S 100＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 100＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋...＋(6＋6＋ (6)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37 ＝480.所以数列{b n }的前100项和S 100＝480.规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等．跟踪演练3 (2022·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝13(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ·sin n π2，求数列{b n }的前100项的和T 100.解 (1)由S n ＝13(a n －1)，得S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝13(a 1－1)，解得a 1＝－12，所以{a n }是以－12为首项，－12为公比的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n . (2)由(1)可知b n＝a n·sin n π2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n，n ＝4k ＋1，0，n ＝4k ＋2，－a n，n ＝4k ＋3，0，n ＝4k ＋4，k ∈N ，所以b 1，b 3，b 5，b 7，…，b 97，b 99是首项为－12，公比为－14的等比数列，共有50项，所以T 100＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋…＋a 97－a 99 ＝－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－14501－⎝⎛⎭⎫－14＝－25＋15×1299.专题强化练1．(2022·青岛模拟)已知{a n }为等比数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列，{b n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝b 3－2b 1，S 7＝7a 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝[lg b n ]，其中[x ]是高斯函数(表示不超过x 的最大整数)，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{c n }的前100项的和T 100.解 (1)由题意知a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8， 所以等比数列{a n }的公比q ＝2，a n ＝a 1q n －1＝2n ，设等差数列{b n }的公差为d ， 则2＝b 3－2b 1＝2d －b 1， S 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7a 3，所以b 4＝8＝b 1＋3d ， 所以b 1＝2，d ＝2，b n ＝2n .(2)由(1)知c n ＝[lg (2n )]，则T 100＝c 1＋c 2＋…＋c 100＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.2．(2022·济宁模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，求数列{b n }的前100项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝9，S 7＝7a 1＋7×6d 2＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，所以数列{b n }的前100项和为(b 1＋b 2＋…＋b 10)＋(b 11＋b 12＋…＋b 20)＋(b 21＋b 22＋…＋b 30)＋…＋(b 91＋b 92＋…＋b 100) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋22(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋…＋29(a 1＋a 2＋…＋a 10) ＝(1＋2＋22＋…＋29)(a 1＋a 2＋…＋a 10) ＝1－2101－2×10×(1＋19)2＝102 300.3．已知等比数列{b n }和递增的等差数列{a n }满足a 1＝12，b 1＝1，a 2＝5b 2，a 3＝2b 3. (1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)数列{a n }和数列{b n }中的所有项分别构成集合A 和B ，将A ∪B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的前63项和S 63.解 (1)设等比数列{b n }和递增的等差数列{a n }的公比和公差分别为q ，d (d >0)， 故由a 1＝12，b 1＝1，a 2＝5b 2，a 3＝2b 3，可得⎩⎪⎨⎪⎧12＋d ＝5q ，12＋2d ＝2q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，q ＝2(舍去)，故a n ＝12＋3(n －1)＝3n ＋9，b n ＝3n －1.(2)b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，b 4＝27，b 5＝81，b 6＝243， ∴b 4＝a 6，b 5＝a 24，b 6＝a 78， ∴b 4，b 5是公共项，∴S 63＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)＋(a 1＋…＋a 60)－(b 4＋b 5) ＝1＋3＋9＋12×60＋60×592×3＝6 043.4．(2022·山东联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝ka n (k ≠1)，n ∈N *，a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求k 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ，n 为奇数，log 2a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列， 所以2(a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5， 得a 5－a 3＝a 4－a 2， 得(k －1)a 2＝(k －1)a 3， 因为k ≠1，所以a 2＝a 3＝2，所以k ＝a 3a 1＝2，得a n ＝1222,2n n n n -⎧⎪⎨⎪.⎩，，为奇数为偶数(2)由(1)知，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，n 2，n 为偶数，当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，可得S n ＝S 2k ＝b 1＋b 3＋…＋b 2k －1＋b 2＋b 4＋…＋b 2k ＝20＋22＋…＋22k －2＋12(2＋4＋…＋2k )＝1－4k 1－4＋12×(2＋2k )k 2＝4k －13＋(k ＋1)k 2，即S n ＝2n －13＋n 2＋2n8；当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 可得S n ＝S 2k －1＝b 1＋b 3＋…＋b 2k －1＋b 2＋b 4＋…＋b 2k －2 ＝20＋22＋…＋22k －2＋12(2＋4＋…＋2k －2)＝1－4k 1－4＋12×(2＋2k －2)(k －1)2＝4k －13＋k (k －1)2，即S n ＝2n ＋1－13＋n 2－18.综上所述，S n＝⎩⎨⎧2n －13＋n 2＋2n8，n 为偶数，2n ＋1－13＋n 2－18，n 为奇数.。

高考数学二轮复习重点难点题型讲解第30讲 排列组合12种题型归纳

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故选：B．
3.2021 年 4 月 15 日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高
校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲
结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有
（
）
A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．44 种
故选：C．
【题型三】 人坐座位模型 3：染色（空间）:
【典例分析】 如图所示的几何体由三棱锥 P − ABC 与三棱柱 ABC − A1B1C1 组合而成，现用 3 种不同颜色对这个 几何体的表面涂色(底面 A1B1C1 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有
（
）
A． 6种 B． 9种 C．12 种 D． 36种
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当 AC 不同时：染色方案为 5× 4×3× 2× 2 = 240 不同的染色方案为： 420 种 故答案为 A 2.在如图所示的十一面体 ABCDEFGHI 中，用 3 种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶 点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．
）
A．144B．120C．72D．48
【答案】B
【分析】先求出只有 3 个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出 3 个歌舞类节目不相邻且 2 个小
品类节目相邻的排法，相减可得．
【详解】 先考虑只有 3 个歌舞类节目不相邻，排法有 A33A43 = 144 种， 再考虑 3 个歌舞类节目不相邻，2 个小品类节目相邻的排法有： A22 A22 A33 = 24 ， 因此同类节目不相邻的排法种数是144 − 24 = 120 ．

2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题四 第二讲 冲刺直击高考含答案

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限时：60分钟满分：90分1．(满分15分）如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA＝AD＝1,AB＝2，∠PAB＝120°，∠PBC＝90°。

(1）求证：平面PAD⊥平面PAB；（2)求三棱锥D－PAC的体积;（3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．解：(1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB且AD∥BC，∵BC⊥PB，∴DA⊥PB,且AB∩PB＝B，∴DA⊥平面PAB，又∵DA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.（2）由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC，∴BC⊥平面PAB.∴V D－PAC＝V P－DAC＝V P－ABC＝V C－PAB＝错误!S△PAB·BC＝错误!·错误!PA·AB·sin∠PAB·BC＝错误!×1×2×错误!×1＝错误!.（3）由(1)知DA⊥平面PAB，∵AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB.在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD ，连接EC ,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角，在Rt △PEA 中，∵∠PAE ＝60°，PA ＝1，∴PE ＝错误!，在△PAB 中，∵PB 2＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB cos 120°＝7，∴PC ＝错误!＝2错误!。

在Rt △PEC 中，sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为错误!.2．（满分15分）在直角梯形A 1A 2A 3D 中,A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2,A 2A 3上的一点，沿线段BC ,CD ，DB 分别将△BCA 2,△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2,A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ;（2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：（1）证明:由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2， 故BA ⊥平面ACD ,所以AB ⊥CD .(2）由题意得，A1D＝A3D＝10A1B＝A2B＝4A2C＝A3C＝8作点A在平面BCD内的射影点O,由V A－BCD＝V B－ACD得，S△BCD·AO＝S△ACD·AB又S△ACD＝错误!×8×8＝32，S△BCD＝错误!(8＋10)×8－错误!×4×10－错误!×8×4＝36,所以AO＝错误!＝错误!设AC与平面BCD所成角为α，则sin α＝错误!＝错误!＝错误!.3．（满分15分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB＝2,AA1＝BC＝4,∠ABC＝60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（2）设二面角A1－ED－A的大小为α,直线AD与平面A1ED 所成的角为β,求sin（α＋β）的值．解：(1)证明：∵AB＝BE＝2且∠ABC＝60°，∴∠AEB＝60°.∵CE＝CD＝2且∠BCD＝120°，∴∠CED＝30°，∴∠AED＝90°,∴AE⊥ED.∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，∴ED⊥面A1AEF,∴平面A1ED⊥平面A1AEF.（2)∵ED⊥面A1AEF,∴A1E⊥ED，AE⊥ED,∴∠A1EA为二面角A1－ED－A的平面角，即∠A1EA＝α.sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!。

2013年高考新课标全国Ⅱ卷数学(理)试题精解精析(解析版)

2013年高考新课标全国Ⅱ卷数学(理)试题精解精析(解析版)

本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则 （ ）（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s= （A）1+ + +…+（B）1+ + +…+（C）1+ + +…+（D）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(A) (B) (C)(D)（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识，属中低档题，熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.（9）已知a＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) (B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（A ）∃0x R ∈, f(0x )=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减（D ）若0x 是f （x ）的极值点，则 'f (0x )=0（11）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x =（C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =（12）已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3 (D)[13,12）本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答. 本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅u u u r u u u r =_______.及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1 14，则n=________.（15）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=12，则sinθ+cosθ=_________.（16）等差数列{a n}的前n项和为S n ，已知S10=0，S15 =25，则nS n 的最小值为________.本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（18）如图，直棱柱ABC-111A B C 中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，1AA =AC=CB=22AB.（Ⅰ）证明：1BC //平面1A CD ；（Ⅱ）求二面角D-1A C -E 的正弦值.们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力. （19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.（Ⅰ）将T表示为x的函数（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作,则取x=105，且x=105的概率等于需求量为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x[100,110)落入[100，110)，求T的数学期望.(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：22221(0)x ya ba b+=>>右焦点的直线30x y+-=交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(Ι)求M的方程；（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=x e-ln(x+m).(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC⋅AE=DC⋅AF,B、E、F、C四点共圆.（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxyββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为β=α与α=2π（0＜α＜2π），M为PQ的中点.（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤13；（Ⅱ）2221a b cb c a++≥。

2013突破卷高考数学应用题真题解析

2013突破卷高考数学应用题真题解析

2013突破卷高考数学应用题真题解析一、Introduction在高考数学中，应用题一直是考生们备受关注的部分。

2013年的高考数学应用题突破卷是其中一道经典题目。

本文将对这道题目进行解析，帮助考生们更好地理解应用题的解题思路和方法。

二、题目描述题目：某天，小明和小华都到公园散步。

两人开始时分别站在一座高大的喷泉的两侧。

喷泉的高度为10米，水流以每秒2米的速度向上喷出。

小明和小华同时宣布：“我们只要在两个相邻的整秒钟，同时喷水高度差最多为1米，我们就认为见面了！”假设小明和小华都以1米/秒的速度向对方走去，求小明和小华相遇所需要的时间。

三、解题过程首先，我们需要找到小明和小华相遇的条件，即在两个相邻的整秒钟内，两人喷水高度差最多为1米。

考虑喷水高度的变化规律，我们可以将喷水高度表示为一个函数。

假设t表示时间（秒），h(t)表示喷水高度（米）。

由于喷水高度每秒上升2米，我们可以得到喷水高度函数为h(t) = 2t + 10。

其中，10是喷水的起始高度。

小明和小华相遇的条件可以表示为：|h(t1) - h(t2)| ≤ 1，其中t1和t2为相邻的整秒钟。

接下来，我们需要解方程|h(t1) - h(t2)| ≤ 1，求出两人相遇所需的时间。

根据喷水高度函数h(t) = 2t + 10，我们可以将|h(t1) - h(t2)| ≤ 1改写为|2t1 + 10 - (2t2 + 10)| ≤ 1。

化简后可得|2(t1 - t2)| ≤ 1。

由于t1和t2为相邻的整数秒，所以t1 - t2 = 1。

将其代入上式，得到|2| ≤ 1，显然不符合要求。

因此，我们需要再找到两个相邻整秒钟的组合，使得|h(t1) - h(t2)| ≤ 1。

通过尝试不同的组合，我们可以得到以下结果：1) 当t1 = 1秒，t2 = 0秒时，有|h(1) - h(0)| = |2(1) + 10 - (2(0) + 10)| = |2| = 2，不符合要求。

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第1讲1．C 阴影部分表示N ∩∁U M ，易知选C.2．C 因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，故(綈p )∧q 为真命题． 3．C4．－3 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2. 故a ＋b ＝－3.5．必要不充分 f (x )＝mx ＋1在R 上是增函数⇒m >0⇒/ 3m －4≥0；而3m －4≥0⇒m ≥43⇒f (x )＝mx ＋1在R 上是增函数，故应填“必要不充分”．6．存在非零实数x ，使得x ＋1x<2 真当x ＝－2时，x ∈R 且x ≠0，x ＋1x<2.7．(1)A ＝{x |－1<x ≤5}．当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则(∁R B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{3≤x ≤5}．(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， 所以有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时，B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 8．(1)若f (x )为奇函数，则对任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0恒成立， 即13x 3－(a －1)x 2＋b 2x －13x 3－(a －1)x 2－b 2x ＝0， 即2(a －1)x 2＝0恒成立，所以a ＝1.又当a ＝1时，f (x )＝13x 3＋b 2x ，则f (－x )＝－13x 3－b 2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故f (x )为奇函数的充要条件是a ＝1. (2)因为f ′(x )＝x 2－2(a －1)x ＋b 2， 若f (x )在R 上是增函数，则对任意x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立， 所以Δ＝4(a －1)2－4b 2≤0，即|a －1|≤|b |. 设“f (x )在R 上是增函数”为事件A ， 则事件A 对应的区域为 {(a ，b )||a －1|≤|b |}．又全部试验结果是Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤4,0≤b ≤3}，如图．所以P (A )＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712. 故f (x )在R 上是增函数的概率是712.第2讲10＝lg10＝1，所以f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. 1．B因为10＞1，所以f()2．D 函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而选项中只有y ＝sin xx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选D.3．A 因为f (0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ a >1－1<log a b <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1log a a －1<log a b <log a 1， 所以0<a －1<b <1，故选A.4．B f (1)＝a ，f (2)＝2a .若2a >1，即a >12，f (3)＝1－12a ，f (4)＝2－1a＝f (1)＝a ，所以a ＝1；若2a ≤1，即0<a ≤12，f (3)＝4a >1，(若4a ≤1，则f (4)＝8a ＝a ，又a ∈(0,1]，无解)f (4)＝1－14a ＝f (1)＝a ，所以a ＝12，故选B.5．①②③④ ①sin(π6＋π3)＝1，故正确；②f (x )的图象关于直线x ＝6对称，画折线图易知正确；③正确；④正确，故①②③④都正确．6．(1－316，0) 由定义运算“*”可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1＞x －1 ＝⎩⎨⎧2(x －14)2－18，x ≤0－(x －12)2＋14，x ＞0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是(1－316，0)．7．令x ＝y ＝0，知f (0)＝0.又令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， 所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即f (x 2)<f (x 1)，故f (x )在R 上是减函数．因此，f (x )在[－6,6]上存在最大值和最小值， 且f (x )min ＝f (6)＝f (4)＋f (2)＝3f (2)＝－3， f (x )max ＝f (－6)＝－f (6)＝3.8．(1)因为f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3＝(x －8)2＋q －61， 所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．若f (x )在区间[－1,1]上存在零点，所以f (－1)·f (1)≤0， 即(1＋16＋q ＋3)·(1－16＋q ＋3)≤0， 解得－20≤q ≤12.所以实数q 的取值范围是[－20,12]．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧t <88－t ≥10－8t ≥0时，即0≤t ≤6时，f (x )的值域为D ＝[f (8)，f (t )]＝[q －61，t 2－16t ＋q ＋3]，所以t 2－16t ＋q ＋3－q ＋61＝t 2－16t ＋64＝12－t ， 所以t 2－15t ＋52＝0，所以t ＝15±172∉[0,6]，舍去．②当⎩⎪⎨⎪⎧t <88－t ≤10－8t ≥0，即6≤t <8时，f (x )的值域为D ＝[f (8)，f (10)]＝[q －61，q －57]， 所以q －57－(q －61)＝4＝12－t ， 所以t ＝8∉[6,8)，舍去．③当t ≥8时，f (x )的值域为[f (t )，f (10)]， 即[t 2－16t ＋q ＋3，q －57]，所以q －57－(t 2－16t ＋q ＋3)＝－t 2＋16t －60＝12－t ， 所以t 2－17t ＋72＝0，所以t ＝8或t ＝9，符合题意．所以存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且D 的长度为12－t .第3讲1．B2．B 因为x >0，所以y ′＝x ＋1x≥2.当x ＝1时，曲线C 上斜率最小的一条切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.圆心到直线的距离d ＝55<1，所以选B.3．C f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f (x )在(1,3)上为减函数，所以x ∈(2,4)时，f (x －1)单调递减，对照答案只有C 是(2,4)的真子集，故选C.4.49 由题可知⎠⎛0a xdx ＝a 2，即23x 32|a 0＝a 2，即23a 32＝a 2，解得a ＝49. 5．2x ＋y －1＝0 由f (x )＝x 3－x ＋3，得f ′(x )＝3x 2－1， 切线的斜率为f ′(1)＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，得2x －y ＋1＝0.6.n n ＋1 因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ， 1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，易求得其和为n n ＋1. 7．(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0. (2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，2(x ＋1)·1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)2＝2＋x ＋12(x ＋1)－54(x ＋6)2＜x ＋64(x ＋1)－54(x ＋6)2 ＝(x ＋6)3－216(x ＋1)4(x ＋1)(x ＋6)2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数，又由g (0)＝0，得g (x )＜0，所以h ′(x )＜0. 因此h (x )在(0,2)内是减函数，又h (0)＝0，得h (x )＜0，于是当0＜x ＜2时，f (x )＜9xx ＋6.证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式，当x ＞0时，2(x ＋1)·1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x2＋1.①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1＜0.故当0＜x ＜2时，k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x .②由①②得，当x ＞0时，f (x )＜32x .记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时，h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9 ＜32x ＋(x ＋6)(1x ＋1＋12x ＋1)－9 ＝12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)] ＜12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋x 2)－18(x ＋1)]＝x 4(x ＋1)(7x －18)＜0. 因此h (x )在(0,2)内单调递减，又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即f (x )＜9xx ＋6.8．(1)当a ＝3时，f (x )＝x 2＋ln x －3x (x >0)，f ′(x )＝2x ＋1x －3＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.由f ′(x )<0及x >0，得12<x <1，所以f (x )的单调减区间为(12，1)．(2)因为f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x(x >0)，若函数f (x )在(0,1)上为增函数，则2x 2－ax ＋1≥0在x ∈(0,1)时恒成立，即a ≤2x ＋1x 在x ∈(0,1)时恒成立．而2x ＋1x≥22，所以a ≤2 2.故a 的取值范围是(－∞，22]． (3)因为x ∈[0，ln3]，所以e ∈[1,3]． 1°当a ≤1时，g (x )＝e 2x ＋e x －a ＝(e x ＋12)2－a －14，所以g (x )min ＝2－a . 2°当1<a ≤22时， 若e x ≥a ，g (x )＝e 2x ＋e x －a ＝(e x ＋12)2－a －14，e x ∈[a,3]，所以g (x )min ＝a 2. 若e x <a ，g (x )＝e 2x ＋a －e x ＝(e x －12)2＋a －14，e x ∈[1，a )，所以g (x )min ＝a .又1<a ≤22，所以a 2>a ， 故当1<a ≤22时，g (x )min ＝a .所以g (x )min ＝⎩⎨⎧2－a (a ≤1)a (1<a ≤22).第4讲1．C 因为f(－1)＝e －1－1－2＜0，f(0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)．故选C .2. C 由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C .3．C 设银行在两个项目上的总投资量为s ，按题设条件，在M 、N 上的投资所得的年利润为P M 、P N 分别满足：P M ＝40%s ×10%＝0.04s ，P N ＝60%s ×35%＝0.21s ； 银行的年利润P 满足：10%s ≤P ≤15%s ；这样，银行给客户的回报率为P M ＋P N －Ps×100%，而10%≤P M ＋P N －Ps≤15%，选C .4．a<c<b 由方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，x 3＝－x 及函数图象的交点位置可知a<c<b. 5．赔14元 设盈利的一套服装的成本价为x 元， 则x(1＋20%)＝168，得x ＝140(元)， 赚：168－140＝28(元)．设亏损的一套服装的成本价为y 元， 则y(1－20%)＝168元，得y ＝210(元)， 赔：210－168＝42(元)，所以两者比较共赔42－28＝14(元)． 6．y ＝162－3x(0≤x ≤54) 42根据已知数据描出散点图，由图可知x 、y 共线于y ＝ax ＋b. 将点(35,57)，(40,42)代入得a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝162－3x.由y ≥0得0≤x ≤54，所以函数关系式为y ＝162－3x(0≤x ≤54)．设日利润为p ，则p ＝y(x －30)＝－3(x －42)2＋432， 所以，当x ＝42时，p 有最大值432元． 7. (1)依题意(100－x)·6000·(1＋5x%)≥100×6000，即x 2－80x ≤0，解得0≤x ≤80，又x>0，故0<x ≤80. (2)设这100万农民的人均年收入为f(x)元．则y ＝(100－x )×6000×(1＋5x%)＋6000ax 100＝－3x 2＋60(4＋a)x ＋6000，其中0<x ≤80.当0<10(4＋a)≤80，即0<a ≤4时，当x ＝10(4＋a)时，f(x)取最大值．当10(4＋a)>80，即a>4时，函数f(x)在(0,80]上单调递增，当x ＝80时，f(x)取最大值． 即0<a ≤4时，安排10(4＋a)人进入工业园工作，当a>4时，安排80万人进入工业园工作．8．(1)f ′(x)＝－ax 2＋2x －1x(x>0)．依题意f ′(x)≥0在x>0时恒成立， 即ax 2＋2x －1≤0在x>0时恒成立．则a ≤1－2x x 2＝(1x －1)2－1在x>0时恒成立，即a ≤[(1x－1)2－1]min (x>0)．当x ＝1时，(1x－1)2－1取最小值－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f(x)＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g(x)＝14x 2－32x ＋ln x －b(x>0)，则g ′(x)＝(x －2)(x －1)2x.g极小值g(x)极大值＝g(1)＝－b －54，又g(4)＝2ln 2－b －2，又因为方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根． 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0g (2)<0g (4)≥0，得ln 2－2<b ≤－54.(3)设h(x)＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x)＝1x－1≤0，h(x)在[1，＋∞)为减函数，且h(x)max ＝h(1)＝0， 故当x ≥1时有ln x ≤x －1.因为a 1＝1.假设a k ≥1(k ∈N *)，则a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≥3>1，故a n ≥1(n ∈N *)， 从而a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2≤2a n ＋1，所以1＋a n ＋1≤2(1＋a n )≤…≤2n (1＋a 1)， 即1＋a n ≤2n ，所以a n ≤2n －1.第5讲1．C 由图知T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2πT＝2.又x ＝π6时，y ＝2.故选C. 2.D 因为y ＝sin(2x －π6)＝cos(2x －π6－π2)＝cos2(x －π3)，所以将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度，即得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，故选D.3．B f (0)＝f (10π3)，所以a ＝－32－a 2，所以a ＝－33，g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin(x ＋2π3)，所以g (x )max ＝233，故选B.4．D 当a >1时，函数y ＝sin ax 的周期T ＝2πa <2π，排除A 、C ；当0<a <1时，函数y ＝sin ax 的周期T ＝2πa >2π，排除B ，故选D.5．－π6 由2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，得x 0＝k π－π32(k ∈Z )．而x 0∈[－π2，0]，所以x 0＝－π6.6．③④ 如图，该函数的最小正周期为2π，①错；当x ＝2k π＋3π2或x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－1，②错；③④正确．7．(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin 2x 2＋sin x ＋b ＝sin x －cos x ＋b ＋1＝2sin(x －π4)＋1＋b .由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间是[2k π＋3π4，2k π＋7π4](k ∈Z )．(2)f (x )＝2a sin(x －π4)＋a ＋b .因为x ∈[0，π]，所以－π4≤x －π4≤3π4，所以－22≤sin(x －π4)≤1.因为a <0，所以2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .因为f (x )的值域是[2,3]，所以2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3， 所以a ＝1－2，b ＝3.8．(1)由已知可得：f (x )＝6cos 2ωx 2＋3cos ωx －3＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin(ωx ＋π3)(ω＞0)．又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以，函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4，所以，函数f (x )的值域为[－23，23]．(2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin(πx 04＋π3)＝835，即sin(πx 04＋π3)＋45，由x 0∈(－103，23)，得(πx 04＋π3)∈(－π2，π2)，所以cos(πx 04＋π3)＝1－(45)2＝35，故f (x 0＋1)＝23sin(πx 04＋π4＋π3)＝23sin[(πx 04＋π3)＋π4]＝23[sin(πx 04＋π3)cos π4＋cos(πx 04＋π3)sin π4＝23(45×22＋35×22)＝765.第6讲1．C 因为sin2α＝2sin αcos α＝14，所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－14＝34.又α∈(π4，π2)，所以cos α－sin α＝－32，故选C.2．D 因为tan α＝2，所以2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，故选D.3．B 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，即c 2＝a 2＋b 2－ab .又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以cos C ＝12，得C ＝π3.故选B.4．4 因为b a ＋ab＝6cos C ，则b 2＋a 2＝6ab cos C ＝6ab ·a 2＋b 2－c 22ab，得2b 2＋2a 2＝3c 2.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C (cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C (cos A sin B ＋sin A cos B sin A sin B) ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B . 由正弦定理，得原式＝c a 2＋b 2－c 22ab·c ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2.由2b 2＋2a 2＝3c 2，所以原式＝2c 232c 2－c 2＝4，则tan C tan A ＋tan C tan B 的值是4. 5．－79 cos(2π3＋2α)＝cos[π－2(π6－α)]＝－cos2(π6－α)＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.6．22 因为BA →·BC →＝32，所以ac cos B ＝32.又cos B ＝34，故ac ＝2.所以a ＋c ≥2ac ＝22，当且仅当a ＝c 时取“＝”号． 7．由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π－(A ＋C )， 由正弦定理及a ＝2c 可得sin A ＝2sin C ， 所以cos(A －C )＋cos B＝cos(A －C )＋cos[π－(A ＋C )] ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，故由cos(A －C )＋cos B ＝1与sin A ＝2sin C 可得2sin A sin C ＝1⇒4sin 2C ＝1，而C 为三角形的内角且a ＝2c ＞c ，故0＜C ＜π2，所以sin C ＝12，故C ＝π6.8．(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a 及正弦定理得：sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，即sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22，整理得：sin B cos C －cos B sin C ＝1，所以sin(B －C )＝1，又0＜B ，C ＜3π4，所以B －C ＝π2.(2)由(1)及B ＋C ＝3π4可得B ＝5π8，C ＝π8，又A ＝π4，a ＝ 2.所以b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2sin π8cos π8＝22sin π4＝12.第7讲1．A 令x ＝π6，得y ＝0，排除C 、D ；令x ＝0，得y ＝－32，排除B.故选A.2．A 由题意得f (4π3)＝2sin(4π3＋φ)＝2，则4π3＋φ＝2k π＋π2， 得φ＝2k π＋π2－4π3＝2k π－5π6，其中k ∈Z .因此f (2011π3)＝2sin(2011π3＋2k π－5π6)＝2sin(2k π＋669π＋4π3－5π6)＝－2sin π2＝－2(k ∈Z )．3．C 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里．在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5海里，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)．4．2034033如右图所示．依题意，甲楼的高度AB ＝20·tan60°＝203(米)． 又CM ＝DB ＝20米，∠CAM ＝60°， 所以AM ＝CM ·tan30° ＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)．5.73由余弦定理得 CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB ·cos120° ＝100＋400＋200 ＝700，则CB ＝107(海里)，故甲船需要的时间为10730＝73(小时)．6．B 在Rt △ACD 中，AC ＝CDsin ∠CAD.Rt △ABC 中，AC ＝BCsin ∠BAC.所以CD sin ∠CAD ＝BCsin ∠BAC.所以BC ＝CD ·sin ∠BAC sin ∠CAD＝3sin30°sin π180≈3×12×180π≈86(m)，故选B.7．设月份x ，由条件可得，出厂价格函数为y 1＝2sin(π4x －π4)＋6，销售价格函数为y 2＝2sin(π4x －3π4)＋8，则每期的利润函数为 y ＝m (y 2－y 1)＝m [2sin(π4x －3π4)＋8－2sin(π4x －π4)－6]＝m (2－22sin π4x )．所以，当x ＝6时，y max ＝(2＋22)m ，即6月份盈利最大． 8．(1)作MC ⊥AB ，垂足为C .由已知，α＝60°，β＝30°， 所以∠ABM ＝120°，∠AMB ＝30°， 所以BM ＝AB ＝4，∠MBC ＝60°， 则MC ＝BM ·sin60°＝23<3.5， 故该船有触礁危险．设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险， 则MD ＝3.5.在△MBC 中，BM ＝4，BC ＝2，MC ＝23，所以CD ＝ 3.52－(23)2＝0.5，故BD ＝1.5，即该船自B 向东航行1.5 km 有触礁危险． (2)设CM ＝x . 在△MAB 中，由正弦定理得AB sin ∠AMB ＝BMsin ∠MAB，即4sin (α－β)＝BM cos α，得BM ＝4cos αsin (α－β). 而x ＝BM ·sin ∠MBC ＝BM ·cos β＝4cos α·cos βsin (α－β)，故当x >3.5，即4cos α·cos βsin (α－β)>72，即cos αcos βsin (α－β)>78时，该船没有触礁危险．第8讲1. D5－6ii＝－6－5i.选D. 2．A CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.3．C m a ＋b ＝(2m,3m )＋(－1,2)＝(2m －1,3m ＋2)， a －2b ＝(2＋2，－1)． 因为(m a ＋b )∥(a －2b )， 所以(2m －1)·(－1)＝(2＋2)·(3m ＋2)，所以m ＝－12，故选C.4．A 由已知得CB →·(AB →＋AC →)＝0，得CB 与CB 边的中线互相垂直，故△ABC 为以AB 、AC 为腰的等腰三角形．5．2 －52过点O 作OD ⊥AC 于D ，则AO →·AC →＝|AC →|·|AO →|cos ∠OAC ＝|AC →||AD →| ＝12|AC →|2＝2. 同理可得AO →·AB →＝12|AB →|2＝92，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →＝－52.6.6 如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，作平行四边形OBDC ， 则|OD →|sin60°＝|BD →|sin45°＝|OC →|sin45°，解得|OD →|＝6，即|a |＝ 6.7．(1)因为AB →·AC →＝3BA →·BC →， 所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，所以sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0, cos B ＞0.所以sin B cos B ＝3·sin A cos A，即tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，所以tan C ＝2.所以tan []π－()A ＋B ＝2，即tan ()A ＋B ＝－2.所以tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－2.由(1)，得4tan A 1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1, tan A ＝－13. 因为cos A ＞0，所以tan A ＝1.所以A ＝π4.8．(1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝cos x －sin x . 所以F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4)．所以当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋2，最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝2f ′(x )，所以sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，所以cos x ＝3sin x ，即tan x ＝13.所以1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x＝11923＝116.第9讲1. C 等式右边的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加等于后面的项，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以可推出a 10＝123，选C.2．A 由log 2(x －1)<1⇔1<x <3，x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，可知p ⇒q ，但q ⇒/ p ．所以选A.3. A 作出可行域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点E (2,0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 取最大值6，当直线经过C 点时，直线截3距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－12x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，所以z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]，选A.4．C 因为2ab ≤(a ＋b )22，所以a ＋b ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab≥(a ＋b )2－(a ＋b )22＝12(a ＋b )2， 即(a ＋b )2≤2(a ＋b )．又a >0，b >0，所以a ＋b >0，所以a ＋b ≤2，故选C.5．B 因为a >0，b >0，所以可取a ＝2，b ＝3代入四个选项验证，发现B 错误，所以应选B.6．1＋122＋132＋142＋152＋162＜1167．(1)当n ＝1时，有a 21＝13(4×13－1)＝1， 又a n >0，所以a 1＝1. 当n ≥2时，a 2n ＝(a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )－(a 21＋a 22＋a 23＋…a 2n －1) ＝13(4n 3－n )－13[4(n －1)3－(n －1)] ＝4n 2－4n ＋1＝(2n －1)2.所以a n ＝2n －1，且当n ＝1时，a 1＝2×1－1＝1. 又a n －a n －1＝(2n －1)－[2(n －1)－1]＝2，因此数列{a n }是以1为首项且公差为2的等差数列，所以S n ＝n ＋12×n ×(n －1)×2＝n 2.(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1×1＝1,1×S 1＝1×1＝1，关系成立． ②假设n ＝k 时，关系成立，即T k ≤kS k ， 则1×1＋2×a 2＋…＋ka k ≤k 3.那么T k ＋1＝1×1＋2×a 2＋…＋ka k ＋(k ＋1)a k ＋1 ≤k 3＋(k ＋1)(2k ＋1)＝k 3＋2k 2＋3k ＋1<k 3＋3k 2＋3k ＋1 ＝(k ＋1)3，即当n ＝k ＋1时关系也成立．根据①和②知，关系式T n ≤nS n 对任意n ∈N *都成立．8．(1)当x ∈R 时，函数f (x )＝x 2＋bx ＋2的图象是开口向上，且对称轴为x ＝－b2的抛物线，f (x )的值域为[8－b24，＋∞)，所以F (x )＝f [f (x )]的值域也为[8－b 24，＋∞)的充要条件是8－b 24≤－b2，即b 2－2b －8≥0，所以b ≤－2或b ≥4，即b 的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞)． (2)f (x )＋|x 2－1|＝2，即x 2＋bx ＋|x 2－1|＝0， 不妨设0<x 1<x 2<2.令H (x )＝x 2＋bx ＋|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋1，|x |≤12x 2＋bx ＋1，|x |>1，因为H (x )在(0,1]上是单调函数， 所以H (x )＝0在(0,1]上至多一个解．若x 1，x 2∈(1,2)，则x 1，x 2就是2x 2＋bx －1＝0的解，x 1x 2＝－12<0，与题设矛盾，因此，x 1∈(0,1]，x 2∈(1,2)．由H (x 1)＝0得b ＝－1x 1，所以b ≤－1；由H (x 2)＝0得b ＝1x 2－2x 2，所以－72<b <－1.故当－72<b <－1时，方程f (x )＋|x 2－1|＝2在(0,2)上有两个解．由b ＝－1x 1和b ＝1x 2－2x 2消去b 得1x 1＋1x 2＝2x 2，因为x 2∈(1,2)，所以1x 1＋1x 2<4.第10讲1. B 因为a 1＋a 5＝10⇒2a 1＋4d ＝10，而a 4＝a 1＋3d ＝7，解得d ＝2.2. B ：a 3a 11＝16⇒a 27＝16⇒a 7＝4⇒a 16＝a 7×q 9＝32⇒log 2a 16＝5.3．D 由a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1，可得1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n ，所以数列{1a n }是以12为首项和公差的等差数列，则1a 12＝12＋112＝6，a 12＝16.故选D. 4．13 由等差数列的性质有a 2＋a 6＝a 3＋a 5， 则a 6＝a 3＋a 5－a 2＝7＋6＝13.5．－9 由a n ＝b n －1，且数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断知{a n }的四项应为－24,36，－54,81.又|q |>1，所以数列{a n }的公比为q ＝－32，则6q ＝－9.6．5 S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝10×12＝5.7．因为{a n }为等差数列，且a 1＋a 9＝－28， 所以a 1＋a 9＝2a 5＝－28，所以a 5＝－14. 设{a n }的公差为d ，则a 5＝a 2＋3d ，又a 2＝－20，所以d ＝2，所以a n ＝2n －24. (2)因为a n ＝log 2b n ，所以b n ＝2a n ， 所以T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . 当a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝0时，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝1，即na 1＋n (n －1)2d ＝0.因为a 1＝－22，d ＝2，所以n ＝23，即当n ＝23时，T n ＝1. 8．(1)由b n ＝2－2S n ， 令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.由b 2＝2－2(b 1＋b 2)，得b 2＝29；由b 3＝2－2(b 1＋b 2＋b 3)，得b 3＝227.(2)当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13.所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .又b 1＝23也适合上式，所以b n ＝2·13n .(3)数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)(13)n .T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…＋(3n －1)·13n ]，所以13T n ＝2[2·132＋5·133＋…＋(3n －4)·13n ＋(3n －1)·13n ＋1]，所以23T n ＝2[3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·13n ＋1]，所以T n ＝72－72(13)n －n ·(13)n －1.第11讲1．A a 100＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 100－a 99)＝1＋2＋…＋100＝5050，故选A.2．C 易求得数列{a n }的公比为2，所以数列{1a n }的首项为1，公比为12，所以{1a n}的前5项和为3116.3．B 由S n ＝n 2－9n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由于5<a m <8，则5<2m －10<8，解得7.5<m <9. 又m ∈N *，所以m ＝8，故选B.4．1600 m 由题设知，温度变化值为等差数列{a n }，且a 1＝26，d ＝－0.7， 所以a n ＝a 1＋(n －1)(－0.7)＝14.8 ℃， 得n ＝17，故(17－1)×100＝1600(m)， 所以山顶相对于山脚的高度为1600 m.5.992 注意到f (x )＋f (－x )＝3x3x ＋1＋3－x 3－x ＋1＝3x3x ＋1＋3x ·3－x 3x (3－x ＋1) ＝3x 3x ＋1＋13x ＋1 ＝1， a 1a 99＝a 250，ln a 1＋ln a 99＝0，f (ln a 1)＋f (ln a 99)＝1，同理有f (ln a 2)＋f (ln a 98)＝1，…，f (ln a 49)＋f (ln a 51)＝1，f (ln a 50)＝f (0)＝12，因此所求的和等于49＋12＝992.6．7 设报到第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数， 可得规律，a 4m (m ∈N *)为3的倍数．是当第30个数被报出时，报的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.7．记a n 表示第n 年年底比上一年年底的新增沙漠面积． (1)由题设a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝16，从而a m ＝2m ， 则到第m 年年底，该地区沙漠的总面积S m ＝1000＋a 1＋a 2＋...＋a m ＝1000＋2＋22＋23＋ (2)＝1000＋2(2m －1)2－1＝998＋2m＋1(万公顷)．(2)由(1)知，到第5年年底该地区沙漠总面积为S 5＝998＋26＝1062万公顷，且a 6，a 7，a 8，…，a n 是以a 6＝a 5－8＝32－8＝24为首项，以－8为公差的等差数列，则a n ＝a 6＋(n －6)·d ＝24＋(n －6)·(－8)＝72－8n ＝0，得n ＝9，即到第9年底，沙漠扩大化趋势停止，此时沙漠总面积为1062＋(24＋16＋8)＝1110万公顷．设绿化x 年，该地区沙漠面积减少到948万公顷， 则18x ＝1110－948，求得x ＝9.故当沙漠扩大化趋势停止后，经过9年绿化，沙漠面积能减少到948万公顷． 8．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知d >0，因为a 2－1，a 3＋1，a 8－1成等比数列，所以(a 3＋1)2＝(a 2－1)(a 8－1)， 即(4＋2d )2＝(2＋d )(2＋7d )，求得d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)得b n ＝1S n ＝1n 2＋2n ＝12(1n －1n ＋2)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) <12×32＝34.第12讲1．A a 2＝a 1＋ln(1＋11)，a 3＝a 2＋ln(1＋12)，…，a n ＝a n －1＋ln(1＋1n －1)，迭加得a n ＝a 1＋ln(21×32×43×…×n n －1)＝2＋ln n .选A.2．B 点(a n ，a n －1)在直线x －2y ＝0上，所以a n ＝2×a n －1，即a na n －1＝2，当n ≥2时，a n ＝2n ，当n ＝1时，也成立，所以S n ＝2n ＋1－2.故选B.3．C 当a ＝1时，y ＝2x 2－3x ＋1，方程2x 2－3x ＋1＝0的根为1与12，所以d 1＝12.故选C.4．－6 依题意，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8，所以f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝3a 1＋a 2＋…＋a 10＝3－6，从而log 3[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝－6.5．10 因为OB →＝a 1OA →＋a 20OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 20＝1，故S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10.6．S n ＝2n ＋1－2 因为y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，当x ＝2时，切线的斜率k ＝－(n ＋2)2n －1，所以在x ＝2处的切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n －1(x －2)，令x ＝0可得a n ＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，即得数列{a nn ＋1}的前n 项和公式为S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.7．(1)过C ：y ＝1x 上一点A n (x n ，y n )作斜率为k n 的直线交C 于另一点A n ＋1，则k n ＝y n ＋1－y n x n ＋1－x n ＝1x n ＋1－1x n x n ＋1－x n ＝－1x n ＋1·x n ＝－1x n ＋2.于是有x n x n ＋1＝x n ＋2，即x n ＋1＝1＋2x n.(2)证明：记a n ＝1x n －2＋13，则a n ＋1＝1x n ＋1－2＋13＝1x n ＋2x n－2＋13＝－2(1x n －2＋13)＝－2a n .因为x 1＝117，而a 1＝1x 1－2＋13＝－2≠0.因此数列{1x n －2＋13}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．8．(1)易知A n (n,2n )，A n ＋1(n ＋1,2n ＋1)，A n ＋2(n ＋2,2n ＋2)，所以直线A n A n ＋1的斜率kA n A n ＋1＝2n ＋1－2n(n ＋1)－n＝2n .同理，直线A n ＋1A n ＋2的斜率kA n ＋1A n ＋2＝2n ＋1， 所以kA n ＋1A n ＋2≠kA n A n ＋1，所以A n ，A n ＋1，A n ＋2三点不共线．(2)记直线x ＝n ，x ＝n ＋1，x ＝n ＋2与x 轴的交点分别为B n ，B n ＋1，B n ＋2.S n ＝S 梯形A n B n B n ＋2A n ＋2－S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1－S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2＝(2n ＋2n ＋2)－12(2n ＋2n ＋1)－12(2n ＋1＋2n ＋2)＝2n －1，所以n S n ＝n (12)n －1(n ∈N *)．记T n ＝1S 1＋2S 2＋3S 3＋…＋nS n，所以T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ·(12)n －1，①则12T n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ·(12)n .② 由①－②得， 12T n ＝1＋(12)1＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ，所以12T n <2，所以T n <4.所以1S 1＋2S 2＋3S 3＋…＋nS n<4(n ∈N *)．第13讲1. B 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个底面圆的半径为1，高为6的圆柱体的一半，故体积为3π.选B.2. D 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3×4＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2π＝38.3．D 该几何体是一个等边圆锥．它和其外接球的轴截面如右图． 设外接球的半径为R ，圆锥的高为3， 所以球心到圆锥底面的距离为3－R .由勾股定理得R 2＝(3－R )2＋1⇒R ＝23.所以S ＝4πR 2＝163π，故选D.4.45π81 圆锥的侧面展开图是扇形，它的弧长即为底面圆的周长，等于4π3·1＝4π3，于是若设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝4π3，所以r ＝23，于是圆锥的高为h ＝12－(23)2＝53，故圆锥的体积为V ＝13·π(23)2·53＝45π81.5.4π3 因为正六边形的周长为3，得边长为12，故其主对角线为1，而体积V ＝6×12×(12)2·32h ＝98，故h ＝ 3.从而球的直径为2R ＝(3)2＋12＝2，所以R ＝1.所以球的体积V ＝4π3. 6．A 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143.7．由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底面边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图．(1)几何体的体积为V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5，左、右侧面的底边上的高为h 2＝42＋42＝42， 故几何体的侧面面积为S ＝2·(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.8．(1)取A 1D 1的中点P ，D 1P 的中点H ，连接DP 、EH ，则易得DP ∥B 1G ，EH ∥DP ，所以EH ∥B 1G ， 又B 1G ⊂平面FGB 1，EH ⊄平面FGB 1， 所以EH ∥平面FGB 1.即H 在A 1D 1上，且HD 1＝14A 1D 1时，EH ∥平面FGB 1.(2)因为EH ∥平面FGB 1，所以VE －FGB 1＝VH －FGB 1，而VH －FGB 1＝VG －HFB 1＝13×1×S △HFB 1，S △HFB 1＝S 梯形B 1C 1D 1H －S △B 1C 1F －S △D 1HF ＝58，所以VE －FGB 1＝VH －FGB 1＝13×1×58＝524.第14讲1．B2．C 由α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n 或m 、n 异面，所以②错；由m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，所以③错，故选C.3. A α⊥β，b ⊥m ⇒b ⊥α⇒b ⊥a ，充分性成立．若a ⊥b ，当a ∥m 时，有α⊥β；当a 与m 相交时，b 不一定垂直m ，故α不一定垂直于β，即必要性不成立．选A.4.2393如图所示，在△ABC 中， 由余弦定理知BC ＝39，因为BC ∥α，α∩平面ABC ＝MN ， 所以MN ∥BC .又G 是△ABC 的重心，所以MN ＝23BC ＝2393.5．②④ ①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a ，b 垂直时可以作出满足要求的平面．6．①②③ 由于A ′E ＝A ′D ，所以动点A ′在平面ABC 上的射影必在中线AF 上，故①成立；因为AF ⊥DE ，且A ′G ⊥DE ，故DE ⊥平面A ′GF .又因为DE ⊂平面BCED ，故恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ，故②正确；当A ′G ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－FED 的高最大，此时体积有最大值，故③正确； 由题知EF ∥AB ，显然，异面直线A ′E 与BD 所成的角为∠A ′EF ，此角可能为直角，故④错误．7．(1)连接AC 交BD 于O 点，连接OF ， 可得OF 是△ACE 的中位线，OF ∥AE . 又AE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ， 所以EA ∥平面BDF .(2)连接DE ，计算可得DE ＝DC ＝2， 又F 是CE 的中点，所以DF ⊥CE . 又BC ⊥平面CDD 1C 1，所以DF ⊥BC . 又BC ∩CE ＝C ，所以DF ⊥平面BCE ，又DF ⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCE . 8．(1)证明：取A ′C 的中点M ，连接MF 、MB ，则FM ∥DC ，且FM ＝12DC .又EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而有FM 綊EB ，所以四边形EBMF 为平行四边形，故有EF ∥MB .又EF⊄平面A′BC，MB⊂平面A′BC，所以EF∥平面A′BC.(2)连接CE，则CE⊥DE.因为平面A′DE⊥平面BCDE，且交线为DE，所以∠CA′E是直线A′C与平面A′DE所成角．因为在矩形ABCD中，AB＝2AD.设AD＝a，则AB＝2a，所以CE＝2a，又A′E＝a，tan∠CA′E＝CEA′E＝2aa＝2，故直线A′C与平面A′DE所成的角的正切值为 2.第15讲1．C 延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，则四边形ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又三角形A 1DB 为等边三角形，所以∠DA 1B ＝60°，选C.2．A 依题意知|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝a 2＋a 2＋4a 2＋2CA →·BD →＝6a 2－2a 2＝4a 2， 则|CD →|＝2a ，故选A.3．A 取AB 的中点D ，连接CD ，C 1D ， 则∠CDC 1是二面角C －AB －C 1的平面角．因为AB ＝1，所以CD ＝32，所以在Rt △DCC 1中，CC 1＝CD ·tan60°＝32×3＝32，C 1D ＝CDcos ∠CDC 1＝ 3.设点C 到平面C 1AB 的距离为h ，则VC －C 1AB ＝VC 1－ABC ， 得13×12×1×3h ＝13×12×1×32×32， 解得h ＝34，选A.4.12a ＋14b ＋14c OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .5.64设正方形ABCD 的中心为O ， 则BD ⊥平面AOC .三棱锥B －AOC 与D －AOC 体积相等． 因为V C －ABD ＝V B －AOC ＋V D －AOC ＝2V D －AOC ＝2×13×S △AOC ×OD ＝2×13×12×OC 2sin ∠COA ×OD ＝624⇒sin ∠COA ＝32⇒∠COA ＝60°或120°.当∠COA ＝60°时，又因为CO ＝AO ，所以△AOC 是正三角形． 又因为平面AOC ⊥平面AOB . 过C 作CE ⊥AO 于E ，连接BE ，则∠CBE 就是BC 与平面ABD 所成角，BC ＝1，CE ＝CO ×sin60°＝22×32＝64，所以sin ∠CBE ＝CE BC ＝64.当∠COA ＝120°时，类似可得sin ∠CBE ＝64.6．(1)12 (2)3 (1)由△ABC 的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过A ，B ，C 三点小圆的直径即为10，即半径是5.设球心到小圆的距离是d ，则由d 2＋52＝132，可得d ＝12.(2)设过A 、B 、C 三点的截面圆的圆心是O 1，AB 的中点是D ，球心是O ，则连接O 1D ，OO 1，OD ，易知∠ODO 1就是所求的二面角的平面角．因为O 1D ＝BC2＝4，所以tan ∠ODO 1＝OO 1O 1D ＝124＝3，即正切值是3. 7．(1)证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，又F A ⊥AD ，则F A ⊥平面ABCD ， 从而F A ⊥AC ，又BF ⊥AC ，且F A ∩BF ＝F ， 故AC ⊥平面ABF .(2)方法1：由平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ， 则ED ⊥平面ABCD ，所以平面EDC ⊥平面ABCD . 过A 作AH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接EH ， 则AH ⊥平面EDC ，故∠AEH 为AE 与平面CDE 所成的角． 由已知，∠ABC ＝∠ADH ＝60°，AD ＝2，则AH ＝AD ×sin60°＝3， 又DH ＝AD ·cos60°＝1，DE ＝1，则EH ＝DH 2＋DE 2＝2，又AE ＝AD 2＋DE 2＝5，所以sin ∠AEH ＝AH AE ＝35＝155.即直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为155.方法2：由(1)可知AC ⊥AB ，以A 为原点，AB 、AC 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形ABCD 中，由AD ＝2，∠ABC ＝60°，可得AB ＝AD ＝2，即B (2,0,0)，又D (－1，3，0)，E (－1，3，1)．由(1)同理可得BD ⊥平面EDC ，即平面EDC 的法向量为BD →＝(－3，3，0)， 又AE →＝(－1，3，1)，cos 〈BD →，AE →〉＝BD →·AE →|BD →||AE →|＝－3×(－1)＋3×3＋0×123×5＝155.故直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为155.8．(1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OM ， 因为底面ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点，因为M 、N 为侧棱PC 的三等分点，所以CM ＝MN ，所以OM ∥AN . 因为OM ⊂平面MBD ，AN ⊄平面MBD ， 所以AN ∥平面MBD .(2)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (3,0,0)，C (3,6,0)，D (0,6,0)， P (0,0,3)，M (2,4,1)，N (1,2,2)，因为AN →＝(1,2,2)，PD →＝(0,6，－3)，所以cos 〈AN →，PD →〉＝AN →·PD →|AN →||PD →|＝0＋12－63×35＝2515，所以异面直线AN 与PD 所成角的余弦值为2515.(3)因为侧棱P A ⊥底面ABCD ，所以平面BCD 的一个法向量为AP →＝(0,0,3)， 设平面MBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，因为BD →＝(－3,6,0)，BM →＝(－1,4,1)，并且m ⊥BD →，m ⊥BM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6y ＝0－x ＋4y ＋z ＝0，令y ＝1，得x ＝2，z ＝－2.所以平面MBD 的一个法向量为m ＝(2,1，－2)．cos 〈AP →，m 〉＝AP →·m |AP →||m |＝－23，由图可知二面角M －BD －C 的大小是锐角，所以二面角M －BD －C 的余弦值为23.。

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