2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期5.6、二元一次方程与一次函数教学案2

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北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》优秀教学设计

北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》优秀教学设计一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版八年级数学上册的教学内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二元一次方程的定义、解法，以及一次函数的图像和性质。

这部分内容是学生学习函数和方程的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初一、初二数学的基础知识，包括一元一次方程、不等式等。

但是，对于二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的基本概念和方法，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二元一次方程的定义和解法；2.掌握一次函数的图像和性质；3.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程的解法，一次函数的图像和性质。

2.难点：如何引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索和解决问题；2.使用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质；3.注重实践操作，让学生通过动手操作，加深对二元一次方程和一次函数的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.PPT课件；3.练习题和答案；4.教学用具（如黑板、粉笔等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引出二元一次方程和一次函数的概念。

2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现二元一次方程和一次函数的定义、解法和图像。

通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质。

3.操练（15分钟）让学生动手操作，解决一些简单的二元一次方程和一次函数问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》精品教案

《二元一次方程与一次函数》精品教案合方程x＋y＝5吗？4、以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x 的图象相同吗？总结：方程x+y=5的解有无数个.以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x 的图象相同，是同一条直线.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.活动探究二：想一想，回答下面的问题1.在同一个直角坐标系内分别作出一次函数y＝5－x 和y＝2x－1的图象,这两个图象有交点吗?2.交点的坐标与方程组的解有什么关系？总结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.活动探究三：想一想，回答下面的问题在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图像有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？变式1：直线y=7x+m 与x 轴的交点坐标是（5，0），则关于x 的方程7x+m=0的解是x=______。

变式2:一次函数y=4x+8与y=6x+n 图像交点为m （-4，-8），试确定方程组的解和n 的值.拓展提高：如图，一次函数l1:y=2x+3与一次函数l2:y=px+q 相交于点m（ 1.5，5），则关于x 的不等式2x+3≥px+q 的解集为______.通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．学生分小组讨论，并相互补充交流生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过例2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．作业布置：必做题：习题5.6第2、3题．选做题：习题5.6第4题．课堂小结1、二元一次方程的解是一次函数上点的坐标;一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2、从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；3、解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.4、两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．板书7.6二元一次方程与一次函数1．二元一次方程与一次函数的图像的关系2．方程组和对应的两条线的关系3．解二元一次方程组的新方法图像法。

期八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数教案 (

6 二元一次方程与一次函数【知识与技能】1.理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系.2.会用画图象的方法解二元一次方程组.【过程与方法】通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决,学会用函数的观点去认识问题的方法.【情感态度】通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索,培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神;通过从函数的角度看问题,让学生体会数学的价值.【教学重点】探索一次函数与二元一次方程（组）的关系.【教学难点】综合运用方程（组）和函数的知识解决实际问题.一、创设情境，导入新课边做边思考:（1）方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.（2）在直角坐标系内分别找出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗?（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?【教学说明】一方面,帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系;另一方面让学生感受一次函数图象上的点与二元一次方程的解的对应关系,为探究二元一次方程组的解与直线的交点坐标的关系做好铺垫.【归纳结论】一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.二、思考探究，获取新知二元一次方程（组）与一次函数的关系.问题1:在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?交点的坐标与方程组521x yx y+=-=⎧⎨⎩的解有什么关系?【教学说明】让学生通过画图去思考探索从形的角度去认识一次函数与解二元一次方程组的关系.【归纳结论】一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.问题2:在同一直角坐标系内,一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程组12x yx y-=--=⎧⎨⎩解的情况如何?你发现了什么?【教学说明】利用图象进一步证明一次函数与二元一次方程（组）之间的密切关系,让学生明白平行的两条直线没有交点,并且以它们为方程组是无解的.三、运用新知，深化理解1.如图,已知数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x、y的二元一次方程组y ax b,y kx=+=⎧⎨⎩的解是 .2.如图,直线l1和l2的交点坐标为（）A.（4,-2）B.（2,-4）C.（-4,2）D.（3,-1）3.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P（1,b）.（1）求b的值.（2）不解关于x,y的方程组1y xy mx n,=+=+⎧⎨⎩请你直接写出它的解.（3）直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.4.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月租费20元外再从每分0.05元的价格按上网时间计费,何时两种计费方式所收费用相等?【教学说明】学生自主完成,加深对所学知识的理解,及时反映学生掌握情况,根据情况有针对性地点拨并加强训练.【答案】1.42xy=-=-⎧⎨⎩；2.A;3.解：（1）由题意得当x=1时,y=b,把x=1代入l1:y=x+1,得y=1+1=2,∴b=2; （2）∵l1与l2相交于点P（1, b）,又∵b=2,∴l1与l2相交于点（1,2）,∴方程组的解为12 x,y==⎧⎨⎩;（3）直线l3:y=nx+m经过点P.理由如下:把（1,2）代入直线l2:y=mx+n中，得2=1×m+n,2=m+n.再把（1，2）代入直线l3:y=nx+m中，得2=1×n+m,2=m+n,∵直线l2经过点P,又∵m+n=2,∴直线l3经过点P.4.略.四、师生互动，课堂小结你对本节课的内容有哪些认识?学习的过程中遇到哪些困难.请大家互相交流.【教学说明】通过归纳总结,加深对本节课主要内容的理解,领悟学习过程中所用的思想与方法,培养学生反思的好习惯.1.布置作业：习题5.7中的第1、2、3题.2.完成中本课时练习部分.利用一次函数与二元一次方程（组）之间的对应关系,让学生体会它们之间是相互联系的.通过综合运用它们解决实际问题,从中学会根据具体情况灵活地选择数学模型将它们有机地结合起来.。

2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.6二元一次方程与一次函数

{
{
ｘ＝２
ｙ＝－ｘ＋１
的解是
ｙ＝－１
.
探求二元一次方程组与一次函数的对应 ʌ 例２ɔ 已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２与ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像如图所示ꎬ 且方程组关系
{
７
ｙ＝ａｘ＋２ｘ＝２的解为 ꎬ 点Ｂ的坐标ｙ＝ｋｘ＋ｂｙ＝１为(０ꎬ －１) ꎬ你能确定这两个一次函
( 第１题)
一. 选择题
Ａ组㊀夯实基础
１. 下面四条直线ꎬ其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程ｘ－２ｙ＝２的解的是 ( ㊀Ｃ㊀ )
２. 小亮用作图像的方法解二元一次方程组时ꎬ 在同一直如图所示ꎬ他解的这个方程组是ｙ＝－２ｘ＋２ｙ＝－２ｘ＋２Ａ. Ｂ. １＝－ｙｘ１ｙ＝－ｘ２ｙ＝３ｘ－８ｙ＝－２ｘ＋２Ｃ. ( ㊀Ｄ㊀ )
ʑ ４ｋ－６＝０ꎬ即ｋ＝３ ꎻ ２
三. 解答题
若这一交点坐标适合方程ａｘ＋ｙ＝６ꎬ则ａ＝㊀－２３㊀ .
( 第２题) ( －２ꎬ４) ㊀ .
二. 填空题
３. 如图ꎬ已知函数ｙ＝ａｘ＋ｂ和ｙ＝ｃｘ＋ｄ的图像交于点Ｍ ꎬ 则根据图像可知ꎬ 关于ｘꎬ ｙ的二元一次方程组ｙ＝ａｘ＋ｂｘ＝－２的解为㊀㊀ . ｙ＝３ｙ＝ｃｘ＋ｄ４ｘ＋ｙ＝７ｘ＝２４. 二元一次方程组的解是 ꎬ则一次函数ｙｘ＋ｙ＝１ｙ＝－１＝１－ｘ和ｙ＝７－４ｘ的图像的交点为㊀ ( ２ꎬ－１) ㊀ .

北师大版八年级上册数学 5.6 二元一次方程与一次函数优秀教案

5．6 二元一次方程与一次函数1．理解二元一次方程(组)与一次函数的关系；(重点) 2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．(难点) 一、情境导入 1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＋y ＝5有________个解；2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x ＋2y ＝6有________个解；3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，2x －y ＝5有________个解．两条直线互相平行，有________个交点，两条直线重合，有________个交点；两条直线相交，有________个交点．二、合作探究探究点一：二元一次方程与一次函数的关系以方程12x ＋3y ＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y ＝________的图象上．解析：因为以方程12x ＋3y ＝2的所有的解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象，将方程12x ＋3y ＝2用含x 的代数式表示y ，得y ＝2－12x3＝－16x ＋23.故填－16x ＋23.方法总结：y ＝kx ＋b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程，也可以看做是一个一次函数的表达式；y －kx ＝b 与y ＝kx ＋b 虽然只是形式不同，但却只能表示二元一次方程，而不能表示一次函数的表达式．因此对于一个二元一次方程，只有把它写成用一个未知数表示另一个未知数的形式时，才能看做是一个一次函数的表达式．探究点二：二元一次方程组与一次函数的关系【类型一】利用交点的坐标确定二元一次方程组的解一次函数y ＝5－x 与y ＝2x －1的图象的交点为(2，3)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为________．解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解就是直线y ＝5－x 与直线y ＝2x －1的交点坐标，又∵两直线的交点坐标为(2，3)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故填⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方程的图象都是一条直线．两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．【类型二】利用二元一次方程组的解确定交点的坐标已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝6，2x －3y ＝m 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，确定一次函数y ＝34x ＋32与y ＝23x－13m 图象交点的坐标．解析：可以根据方程组的解，得出m 的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标．解：将y ＝34x ＋32变为－3x ＋4y ＝6，y＝23x －13m 变为2x －3y ＝m ，所以直线y ＝34x ＋32与y ＝23x －13m 交点的坐标即是原方程组的解中x ，y 的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标即是(2，3)．方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的，即是“整体思想”的灵活运用．【类型三】用图象法解二元一次方程组用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，①2x －3y ＝－2.② 解析：先将两个方程变形为y ＝kx ＋b(k≠0)的形式，再在同一直角坐标系中作出其图象，交点的坐标即为方程的解．解：由①得y ＝3x －4. 由②得y ＝23x ＋23.在同一直角坐标系中分别作出一次函数y ＝3x －4和y ＝23x ＋23的图象．如右图，由图可知，它们的图象的交点坐标为(2，2)．所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，2x －3y ＝－2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 方法总结：用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但不是很准确．三、板书设计1．二元一次方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；2．用图象法解二元一次方程组的步骤： (1)变形：把两个方程化为一次函数的形式；(2)作图：在同一坐标系中作出两个函数的图象；(3)观察图象，找出交点的坐标；(4)写出方程组的解．通过引导学生自主学习探索，进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识，充分提高学生数形结合的能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法．。

《二元一次方程与一次函数》教学设计

5.6二元一次方程与一次函数教学设计深圳市龙岗中学姚颖妍一、教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容。

该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。

本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。

二、学情分析在八年级上册第四章第3节学生已经学习了如何根据已知条件准确画出一次函数的图象，初步掌握了一次函数及其图象的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。

同时，在本章中的第二节“求解二元一次方程组”中学生已经能够正确解方程（组），能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换。

在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验。

三、教学目标1、知识目标：（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系。

（2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。

（3）掌握二元一次方程组的图象解法。

2、能力目标：（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。

（2）通过自主探究，进一步发展学生数形结合的意识和能力。

3、情感态度和价值观目标;（1）让学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。

（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力。

四、教学重难点1、教学重点：（1）二元一次方程和一次函数的关系。

2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期5.6、二元一次方程与一次函数教案4

二元一次方程与一次函数教学目标知识与技能1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.3.进一步理解方程与函数的联系. 过程与方法：1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力. 情感态度与价值观：1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验. 教学重点利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 教学难点建立数形结合的思想．教学过程一复习引入内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系? (2) 二元一次方程组有哪些解法？二设计情境，导入新课内容：教材议一议A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时）的一次函数．1小时后乙距离A 地80千米；2小时后甲距离A 地30千米.问经过多长时间两人将相遇？三典型例题，探究一次函数解析式的确定内容：例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x (千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．写出y 与x 之间的函数表达式；旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：（1）设b kx y +=，根据题意，可得方程组⎩⎨⎧+=+=.9010,605b k b k 解该方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.5,61b k所以.561-=x y（2）当x =30时，y =0．所以旅客最多可免费携带30千克的行李．例某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x （千克）的一次函数。

北师大版数学八年级上册(教案)：5.6二元一次方程与一次函数

1.教学重点
（1）二元一次方程与一次函数的关系：重点讲解如何从二元一次方程推导出一次函数，以及如何通过一次函数图像来理解二元一次方程的解。
举例：从方程ax + by = c推导出一次函数y = (-a/b)x + c/b的过程，以及如何从一次函数图像中看出方程的解集。
（2）一次函数图像的绘制与分析：强调一次函数图像的绘制方法及其在坐标平面内的变化规律，如何通过图像分析来解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了二元一次方程与一次函数的关系，我注意到学生们在理解这两个概念之间的联系时，有些同学能够很快抓住关键，而有些同学则显得有些吃力。这让我意识到，在教授这部分内容时，需要更加细致和具体地解释它们之间的内在联系。
我发现，通过实际案例的引入，学生们对一次函数的应用场景有了更直观的认识。在案例分析环节，他们能够积极地参与到讨论中，这让我感到很欣慰。然而，我也注意到，在将实际问题抽象成数学模型的过程中，部分学生仍然感到困难。这提示我在未来的教学中，需要更多地将实际问题与数学模型结合起来，让学生们更好地理解数学知识在实际中的应用。
在实践活动和小组讨论中，我看到了学生们的积极性和创造力。他们能够将所学的知识应用到解决问题中，并且在小组内部分享自己的观点。不过，我也观察到，有些小组在讨论时，个别成员参与度不高，这可能是因为他们对问题的理解不够深入或者是对讨论的主题不够感兴趣。为此，我需要思考如何更好地激发每一个学生的参与热情，让每个人都有机会发表自己的见解。
北师大版数学八年级上册（教案）：5.6二元一次方程与一次函数
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第五章第六节“二元一次方程与一次函数”。教学内容主要包括以下几部分：
1.理解二元一次方程与一次函数的关系；

北师大版数学八年级上册教学设计：5.6二元一次方程与一次函数

-鼓励学生在遇到难题时，积极寻求帮助，可以与同学讨论，也可以向老师咨询。
-作业的批改和反馈将作为学生知识掌握情况的重要依据，我会及时给予学生反馈，帮助他们发现并改正错误。
2.培养学生的团队协作意识，提高学生的沟通能力。
通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生团队协作意识，提高学生在解决问题过程中的沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的数学应用能力。
教学过程中，强调数学知识在实际生活中的应用，使学生认识到数学学习的实用价值，提高学生的数学应用能力。
4.团队合作题：
-分组进行一次小组讨论，每组选择一个较复杂的实际问题，共同探讨解决方案，并在课堂上进行分享。
作业布置的目的是为了让学生在课后能够自主复习和深化理解，同时也是为了培养学生的独立思考和团队协作能力。在布置作业时，我会强调以下几点：
-作业完成过程中，要求学生保持良好的学习习惯，书写工整，步骤清晰。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我将组织学生进行小组讨论。首先，将学生分成若干小组，每组选定一个组长，确保每个小组成员都能积极参与讨论。
然后，给出几个实际问题，让学生运用二元一次方程和一次函数进行分析和求解。例如：“某商店进行打折活动，原价为100元，打八折后的价格为80元。请问打几折时，价格最低？”
在此基础上，教师应关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，提供有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难，从而提高学生的数学素养和应用能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二元一次方程的解法及其与一次函数的关系。
学生需要掌握代入法、消元法等解二元一次方程的方法，并理解一次函数图像与二元一次方程解的关系。

北师大版八年级数学上册：56二元一次方程与一次函数教学设计

（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
2.答疑解难：针对学生在练习中遇到的问题，进行个别辅导或集中讲解。
3.评价反馈：对学生完成练习的情况进行评价，了解学生的学习效果，为后续教学提供依据。
（五）总结归纳
1.知识梳理：带领学生回顾本节课所学内容，梳理二元一次方程、一次函数的知识点。
3.培养学生的团队协作精神，使其学会倾听、尊重他人意见，共同完成任务。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
5.引导学生体验数学的简洁美和逻辑美，培养学生的审美情趣。
二、学情分析
八年级学生在学习本章节之前，已经掌握了线性方程、不等式等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。然而，二元一次方程与一次函数对学生而言，知识跨度较大，学生可能会在以下几个方面遇到困难：
（5）总结反馈：对学生的学习效果进行评价，及时发现问题，给予针对性的指导。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，提高全体学生的数学素养。
（2）注重启发式教学，引导学生主动思考、提出问题、解决问题。
（3）加强与实际生活的联系，让学生在实际问题中感受数学的价值，提高数学应用能力。
（4）注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续数学学习打下基础。
要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性，家长签字确认，以巩固课堂所学知识。
2.实践应用：选取生活中的实际问题，运用二元一次方程或一次函数的知识解决问题，并撰写解题报告。
要求：问题选择具有实际意义，解题过程清晰，体现出数学模型在实际问题中的应用。
3.提高拓展：完成课本第57页的拓展题4、5，培养学生解题技巧和思维能力。

北师大版八年级数学上册教学设计：5.6 二元一次方程与一次函数

二元一次方程和一次函数图像的关系：
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
探究方程与函数的相互转化
1．解方程组
2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和 ,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像
课题
第7课时
时间11月11日
课型
新知探究课
教具
教材、课件学习目标Fra bibliotek知识与能力
初步理解二元一次方程和一次函数的关系。
过程与方法
掌握方程和直线的关系，发展学生数形结合的意识和能力。
情感态度价值观
在自主探索中学会知识间可以互相转化的数学思想和方法。
教学重点
理解二元一次方程和一次函数的关系。
教学难点
掌握二元一次方程和直线的关系，发展学生数形结合的意识和能力。
3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？
二元一次方程的解和相应的两条直线的关系１。
通过设置问题情景，让学生感受方程和一次函数相互转化。
启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系。
以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程。
培养了学生数学转化的思想意识。
巩固训练
归纳小结
（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的坐标。
（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解。
（3）解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种。
想一想
在同一直角坐标系内，一次函数y = x + 1和y = x - 2的图象有怎样的位置关系？

北师大版八年级数学上册教学教案 5.6二元一次方程与一次函数(1)教案

5.6二元一次方程与一次函数（1）教学目标知识与技能1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3、掌握二元一次方程组的图像解法．过程与方法1、教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；2、通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．情感态度与价值观1、在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．2、在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．教学重点（1）二元一次方程和一次函数的关系；（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．教学难点数形结合和数学转化的思想意识．．教学过程一、设置问题情境：1．方程x+y=5的解有多少个？是这个方程的解吗？2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？3．在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=的图像相同吗？由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；（2）一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．二、自主探索方程组的解与图像之间的关系内容：1．解方程组2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y=和y=2x,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像．3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法；1、求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；2、求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．3、解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．三、练习探究方程与函数的相互转化1、用作图像的方法解方程组2、如图，直线与的交点坐标是．3、已知一次函数与的图像的交点为,则．4、已知一次函数与的图像都经过点A（—2，0），且与轴分别交于B，C两点，则的面积为（）．（A）4 （B）5 （C）6 （D）75、求两条直线与和轴所围成的三角形面积．6、如图，两条直线与的交点坐标可以看作哪个方程组的解？五、课堂小结1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．2．方程组和对应的两条直线的关系：方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；3．解二元一次方程组的方法有3种：（1）代入消元法；（2）加减消元法；（3）图像法．要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解．六、作业布置习题5．7 1、2题块，可根据科目，自主处理。

八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数教案 (新版)北师大版

课题：5.6 二元一次方程和一次函数教学目标1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3.掌握二元一次方程组的图像解法．教学重点与难点重点：掌握二元一次方程和一次函数的关系以及二元一次方程组和对应的两条直线的关系．难点：数形结合和数学转化的思想意识．课前准备：三角板、多媒体投影；铅笔、直尺、练习本、坐标纸.教学过程：一、创设问题，引入新课【知识链接】蜘蛛给笛卡尔的启示：十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系.师板书课题：5.6二元一次方程和一次函数.【处理方式】多媒体展示.【设计意图】以蜘蛛和笛卡尔的小故事引入，引起学生的学习兴趣和探索欲望.感受数学来源于生活，服务于生活，自然引入新课．二、自主交流、合作探究【合作探究一】探究一次函数与二元一次方程的关系：【问题情境】y=-x+5这是什么？师归纳：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数．【呈现问题】：（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.（2）在直角坐标系中描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？(5)方程x+y=5与函数y=5-x有何关系？方程a x +b y =c 的解在一次函数y =k x +b 的图象上【处理方式】学生分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组学生分别独立作答.【设计意图】通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5x -+相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.【知识提炼】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上．反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．即:【小试身手】１．方程x+y =4的解有________个，以方程x+y =4的解为坐标的点组成一次函数________的图象.2、一次函数y ＝3x ＋7的图象与y 轴的交点坐标是________，若该点的横纵坐标是二元一次方程2x ＋by ＝18的解，则b ＝________.【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．【设计意图】让学生通过题目，感受一次函数和二元一次方程之间的联系和转化.【合作探究二】做一做：【呈现问题】探究一次函数与二元一次方程组的关系：（1）把下列二元一次方程改写成形如y=kx+b 的一次函数的形式．已知x+y=5，改写为y=_____．已知2x-y=1，改写为y=______．（2）在同一坐标系内作出这两个函数的图象．.（3）观察图象，指出它们的交点坐标．（4）解方程组：5,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩（5）观察这个方程组的解与这两个函数图象的交点坐标之间有何关系？（6）根据以上过程，你有什么发现？【知识提炼】每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.【小试身手】1．一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组5,21y xy x=-⎧⎨=-⎩的解为 .2.若二元一次方程组22,22x yx y-=-⎧⎨-=⎩的解为2,2.xy=⎧⎨=⎩则函数112y x=+与22y x=-的图象的交点坐标为【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．【设计意图】通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础；由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．三、实际应用，升华新知1．例题解析例1 用作图象的方法解方程组:22, 2 2. x yx y-=-⎧⎨-=⎩【思路导航】上述方程移项变形转化为两个一次函数112y x=+和22y x=-，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像，求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；解：由22x y-=-可得112y x=+.同理，由22x y-=可得2 2.y x=-在同一直角坐标系中作出一次函数112y x=+的图象l1和22y x=-的图象l2，如右图所示，观察图象得l1与l2的交点为（2，-2），所以方程组22,22x yx y-=-⎧⎨-=⎩的解为2,2.xy=⎧⎨=⎩2．知识探究同学们你从本题中感悟到什么？师生共同总结：原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：（1）把二元一次方程化成一次函数的形式（2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点.（3）交点坐标就是方程组的解.【处理方式】让学生自己动脑总结，记忆深刻.老师适时补充完整.【设计意图】设计本例进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．充分展示了数形结合的思想方法，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.3．想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y=x +1和y=x -2的图像有怎样的位置关系？方程组1,2x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解的情况如何？你发现了什么？【处理方式】让学生自己观察讨论回答. 老师适时补充完整.【设计意图】设计本例让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现：一次函数的图象平行对应的二元一次方程组无解.一次函数的图象相交对应的二元一次方程组有一个解.4、学以致用从函数的角度解释（1）方程组2,5x y x y +=⎧⎨+=⎩的解有几个？（2）方程组3,226x y x y +=⎧⎨+=⎩的解有几个？（3）方程组37,25x y x y -=⎧⎨-=⎩的解有几个？【设计意图】加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．四、诱导反思，归纳总结通过本节课的学习：你们有哪些收获呢？【处理方式】学生归纳总结，教师补充升华.【设计意图】旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．五、达标测试，反馈矫正1.二元一次方程y+x =8可以转化为y =2、一次函数y =3x -5与y =2x+b 图像交点为P （1，-2），试确定方程组⎩⎨⎧-=-=-by x y x 253的解和b的值.3、若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点为 (m,8)，则a+b= .4、如果直线y=2x+m和y=x+n的交点是（１、３）则m=____、n=______5、已知：直线5x+by=1,2x+y=５,ax+5y=4,2x–3y=１相交于一点，则a=_____，b=______。

秋八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数教案2 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级

二元一次方程与一次函数教学目标知识与技能1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.3.进一步理解方程与函数的联系.过程与方法：1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.情感态度与价值观：1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验.教学重点利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.教学难点建立数形结合的思想．教学过程一复习引入内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系?(2) 二元一次方程组有哪些解法？二设计情境，导入新课内容：教材议一议A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？三典型例题，探究一次函数解析式的确定内容：例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x 60千克的行李，交了行李费5元，X 华带了90千克的行李，交了行李费10元．写出y 与x 之间的函数表达式；旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：（1）设b kx y +=，根据题意，可得方程组⎩⎨⎧+=+=.9010,605b k b k 解该方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.5,61b k所以.561-=x y （2）当x =30时，y =0．所以旅客最多可免费携带30千克的行李．例某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x （千克）的一次函数。