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6．（2015•海淀区一模）在菱形 ABCD 中，∠ADC=120°，点 E 是对角线 AC 上一点， 连接 DE，∠DEC=50°，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 50°并延长得到射线 BF，交
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C15 级 旋转综合练习
姓名：
ED 的延长线于点 G． （1）依题意补全图形； （2）求证：EG=BC； （3）用等式表示线段 AE，EG，BG 之间的数量关系： AE+BG= EG ．
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C15 级 旋转综合练习
姓名：
∴EB=ED=BD，
∴△EBD 是等边三角形；
（2）①证明：如图 2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点 C 与点 F 关于 BD 对称，
∴四边形 BCDF 为正方形，
∴∠FDC=90°，CD=FD，
∵∠CDC′=α=30°，
∴∠FDC′=60°，
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C15 级 旋转综合练习
姓名：
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判 定．
5．（2015•东城区一模）已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC 重合，∠A′C′B=∠ ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将 Rt△A′BC′绕点 B 按逆时针方向旋转角 α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线 C′C 和线段 AA′相交于点 D，连接 BD． （1）当 α=60°时，A’B 过点 C，如图 1 所示，判断 BD 和 A′A 之间的位置关系， 不必证明； （2）当 α=90°时，在图 2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成 立，不必证明； （3）如图 3，对旋转角 α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立； 若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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C15 级 旋转综合练习
姓名：
【分析】（1）当 α=60°时，根据旋转的性质和角的和差得出∠A′DB=90°，得出 BD 和 A′A 垂直； （2）根据 α=90°补全图形即可； （3）根据旋转的性质和全等三角形的判定得出△AEC≌△A'FC'、△AED≌△A'FD， 再根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【解答】解：（1）当 α=60°时，BD⊥A'A．
∵OE=A′O，OF⊥A′B′， ∴A′E=2EF=2× = （等腰三角形三线合一），
∴B′E=A′B′﹣A′E=3 ﹣ = ．
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姓名：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质， 以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小 是解题的关键．
（2）∵四边形 ABCD 为矩形，
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姓名：
∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°， ∵BC=BC′， ∴BC′=AD′， ∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′， ∴AD=AD′， ∴BC′=AD′， 在△AD′E 与△C′BE 中，
，
7．（2015•房山区一模）如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是 点 D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接 DE，BE． （1）依题意补全图 1，并证明：△BDE 为等边三角形； （2）若∠ACB=45°，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、FB．将△CDE 绕点 D 顺时针旋转 α 度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，点 E 的对应点为 E′， 点 C 的对应点为点 C′． ①如图 2，当 α=30°时，连接 BC′．证明：EF=BC′； ②如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段 C′E′上的任意一点，试探究：在此旋 转过程中，线段 PM 长度的取值范围？
（2）证明：连接 BE，如图 2：
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姓名：
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，∠ADC=120°， ∴∠DCB=60°． ∵AC 是菱形 ABCD 的对角线， ∴∠DCA= ∠DCB=30°，
又∠DEC=50°，∠EDC=100°， 由菱形的对称性可知， ∠EBC=100°， ∠BEC=50°，则∠GEB=100°， ∴∠GEB=∠CBE． ∵∠FBC=50°，∴∠GBE=50°， ∴∠EBG=∠BEC．
（2）补全图形如图 2，BD⊥A'A 仍然成立；
（3）猜想 BD⊥A'A 仍然成立． 证明：作 AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点 E，F，如图 3，
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C15 级 旋转综合练习
姓名：
则∠AEC=∠A'FC'=90°． ∵BC=BC'， ∴∠BCC'=∠BC'C． ∵∠ACB=∠A'C'B=90°， ∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°． ∴∠ACE=∠A'C'F．
【分析】根据翻折的性质，可得 B′E 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据 等腰三角形的判定，可得答案． 【解答】解：（i）当 B′D=B′C 时， 过 B′点作 GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当 B′C=B′D 时，AG=DH= DC=8，
由 AE=3，AB=16，得 BE=13．
由翻折的性质，得 B′E=BE=13．
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姓名：
1．如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕点 O 逆时针旋转到△ A′OB′处，此时线段 A′B′与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，求线段 B′E 的值．
【分析】利用勾股定理列式求出 AB，根据旋转的性质可得 AO=A′O，A′B′=AB，
∵△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3 ， ∵点 E 为 BO 的中点， ∴OE= BO= ×6=3，
∴OE=A′O， 过点 O 作 OF⊥A′B′于 F， S△A′OB′= ×3 •OF=×3×6，
解得 OF= ，
在 Rt△EOF 中，EF=
=，
【点评】此题主要考查了图形的旋转、中心对称以及勾股定理，得出旋转后对应 点位置是解题关键．
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姓名：
4．（2015•河南）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若 △CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 16 或 4 ．
【分析】（1）根据题画图，易证 AC 是 BD 的垂直平分线，得到 ED=EB=BD，即可 证明△BDE 为等边三角形； （2）①易证∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又 DE=DB，DF=DC′于是△EDF ≌△DBC′，得出结论； ②当 E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C 共线时，PM 有最小值．当点 P 与点 E′重合，且 P、D、M、C 共线时，PM 有最大值． 【解答】解：（1）补全图形，如图 1 所示； 证明：由题意可知：射线 CA 垂直平分 BD， ∴EB=ED， 又∵ED=BD，
再求出 OE，从而得到 OE=A′O，过点 O 作 OF⊥A′B′于 F，利用三角形的面积
求出 OF，利用勾股定理列式求出 EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得
A′E=2EF，然后根据 B′E=A′B′﹣A′E 代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=
=3 ，
∴△AD′E≌△C′BE， ∴BE=D′E， 设 AE=x，则 D′E=2﹣x， 在 Rt△AD′E 中，∠D′=90°， 由勾股定理，得 x2﹣（2﹣x）2=1， 解得 x= ，
∴AE=Fra Baidu bibliotek．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等， 熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点的坐标分别为 A（6，3），B （0，5）． （1）画出△OAB 绕原点 O 逆时针方向旋转 90°后得到的△OA1B1； （2）画出△OAB 关于原点 O 的中心对称图形△OA2B2； （3）猜想：∠OAB 的度数为多少？并说明理由．
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G=
=
=12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′=
=
=4
（ii）当 DB′=CD 时，则 DB′=16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）． （iii）当 CB′=CD 时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点 E、C 在 BB′的垂直平分线上， ∴EC 垂直平分 BB′， 由折叠可知点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为 16 或 4 ． 故答案为：16 或 4 ．
在△AEC 和△A'FC'中，
∴△AEC≌△A'FC'． ∴AE=A'F．
在△AED 和△A'FD 中，
∴△AED≌△A'FD． ∴AD=A'D． ∵AB=A'B， ∴△ABA'为等腰三角形． ∴BD⊥A'A． 【点评】此题考查几何变换问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等 腰三角形的性质，关键是根据旋转的前后图形全等、全等三角形的判定以及等腰 三角形的性质进行分析．
2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，点 C 的对应 点 C′恰好落在 CB 的延长线上，边 AB 交边 C′D′于点 E． （1）求证：BC=BC′； （2）若 AB=2，BC=1，求 AE 的长．
【分析】（1）连结 AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，即 AB⊥CC′， 根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到 AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根据旋转的性质得到 BC′=AD′，AD=AD′，证得 BC′=AD′，根据全等三角形的性质得到 BE=D′E， 设 AE=x，则 D′E=2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）连结 AC、AC′， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ABC=90°，即 AB⊥CC′， ∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′， ∴AC=AC′， ∴BC=BC′；
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姓名：
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据中心对称的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）∠OAB=45°，根据 A1（﹣3，6），A（6，3），可根据勾股定理求出 OA=OA1=3
，又∠AOA1=90°，易证△A1AO 为等腰直角三角形，得∠OAB=45°． 【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1 即为所求； （2）如图所示△OA2B2 即为所求； （3）∠OAB=45°， 理由：∵A1（﹣3，6），A（6，3） ∴OA=OA1=3 ， 又∵∠AOA1=90°， ∴△A1AO 为等腰直角三角形， ∴∠OAB=45°．
由（1）△BDE 为等边三角形，
∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
∴∠EDF=∠BDC′，
又∵△E′DC′是由△EDC 旋转得到的，
∴C′D=CD=FD，
∴△EDF≌△DBC′（SAS），
∴EF=BC′；
②线段 PM 的取值范围是：
．
设射线 CA 交 BD 于点 O，
在△GEB 与△CBE 中，
∴△GEB≌△CBE． ∴EG=BC． （3）由（2）得，EC=BG，EG=BC， ∴AE+BG=AC， 在三角形 ABC 中，BA=BC，∠BAC=30°， ∴AC= BC， ∴AE+BG= EG．
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姓名：
【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解 答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰 三角形的知识进行解答．
【分析】（1）根据题意可以补全图形； （2）连接 BE，根据已知条件和图形可以证明△GEB≌△CBE，得到答案； （3）根据△GEB≌△CBE，得到 EC=BG，EG=BC，根据等腰三角形的性质和∠ BAC=30°，求出 AB 和 BC 的关系，得到答案． 【解答】解：（1）补全图形，如图 1 所示：
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姓名：
ED 的延长线于点 G． （1）依题意补全图形； （2）求证：EG=BC； （3）用等式表示线段 AE，EG，BG 之间的数量关系： AE+BG= EG ．
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姓名：
∴EB=ED=BD，
∴△EBD 是等边三角形；
（2）①证明：如图 2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点 C 与点 F 关于 BD 对称，
∴四边形 BCDF 为正方形，
∴∠FDC=90°，CD=FD，
∵∠CDC′=α=30°，
∴∠FDC′=60°，
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姓名：
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判 定．
5．（2015•东城区一模）已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC 重合，∠A′C′B=∠ ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将 Rt△A′BC′绕点 B 按逆时针方向旋转角 α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线 C′C 和线段 AA′相交于点 D，连接 BD． （1）当 α=60°时，A’B 过点 C，如图 1 所示，判断 BD 和 A′A 之间的位置关系， 不必证明； （2）当 α=90°时，在图 2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成 立，不必证明； （3）如图 3，对旋转角 α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立； 若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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【分析】（1）当 α=60°时，根据旋转的性质和角的和差得出∠A′DB=90°，得出 BD 和 A′A 垂直； （2）根据 α=90°补全图形即可； （3）根据旋转的性质和全等三角形的判定得出△AEC≌△A'FC'、△AED≌△A'FD， 再根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【解答】解：（1）当 α=60°时，BD⊥A'A．
∵OE=A′O，OF⊥A′B′， ∴A′E=2EF=2× = （等腰三角形三线合一），
∴B′E=A′B′﹣A′E=3 ﹣ = ．
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姓名：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质， 以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小 是解题的关键．
（2）∵四边形 ABCD 为矩形，
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姓名：
∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°， ∵BC=BC′， ∴BC′=AD′， ∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′， ∴AD=AD′， ∴BC′=AD′， 在△AD′E 与△C′BE 中，
，
7．（2015•房山区一模）如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是 点 D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接 DE，BE． （1）依题意补全图 1，并证明：△BDE 为等边三角形； （2）若∠ACB=45°，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、FB．将△CDE 绕点 D 顺时针旋转 α 度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，点 E 的对应点为 E′， 点 C 的对应点为点 C′． ①如图 2，当 α=30°时，连接 BC′．证明：EF=BC′； ②如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段 C′E′上的任意一点，试探究：在此旋 转过程中，线段 PM 长度的取值范围？
（2）证明：连接 BE，如图 2：
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姓名：
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，∠ADC=120°， ∴∠DCB=60°． ∵AC 是菱形 ABCD 的对角线， ∴∠DCA= ∠DCB=30°，
又∠DEC=50°，∠EDC=100°， 由菱形的对称性可知， ∠EBC=100°， ∠BEC=50°，则∠GEB=100°， ∴∠GEB=∠CBE． ∵∠FBC=50°，∴∠GBE=50°， ∴∠EBG=∠BEC．
（2）补全图形如图 2，BD⊥A'A 仍然成立；
（3）猜想 BD⊥A'A 仍然成立． 证明：作 AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点 E，F，如图 3，
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姓名：
则∠AEC=∠A'FC'=90°． ∵BC=BC'， ∴∠BCC'=∠BC'C． ∵∠ACB=∠A'C'B=90°， ∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°． ∴∠ACE=∠A'C'F．
【分析】根据翻折的性质，可得 B′E 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据 等腰三角形的判定，可得答案． 【解答】解：（i）当 B′D=B′C 时， 过 B′点作 GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当 B′C=B′D 时，AG=DH= DC=8，
由 AE=3，AB=16，得 BE=13．
由翻折的性质，得 B′E=BE=13．
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姓名：
1．如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕点 O 逆时针旋转到△ A′OB′处，此时线段 A′B′与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，求线段 B′E 的值．
【分析】利用勾股定理列式求出 AB，根据旋转的性质可得 AO=A′O，A′B′=AB，
∵△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3 ， ∵点 E 为 BO 的中点， ∴OE= BO= ×6=3，
∴OE=A′O， 过点 O 作 OF⊥A′B′于 F， S△A′OB′= ×3 •OF=×3×6，
解得 OF= ，
在 Rt△EOF 中，EF=
=，
【点评】此题主要考查了图形的旋转、中心对称以及勾股定理，得出旋转后对应 点位置是解题关键．
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姓名：
4．（2015•河南）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若 △CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 16 或 4 ．
【分析】（1）根据题画图，易证 AC 是 BD 的垂直平分线，得到 ED=EB=BD，即可 证明△BDE 为等边三角形； （2）①易证∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又 DE=DB，DF=DC′于是△EDF ≌△DBC′，得出结论； ②当 E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C 共线时，PM 有最小值．当点 P 与点 E′重合，且 P、D、M、C 共线时，PM 有最大值． 【解答】解：（1）补全图形，如图 1 所示； 证明：由题意可知：射线 CA 垂直平分 BD， ∴EB=ED， 又∵ED=BD，
再求出 OE，从而得到 OE=A′O，过点 O 作 OF⊥A′B′于 F，利用三角形的面积
求出 OF，利用勾股定理列式求出 EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得
A′E=2EF，然后根据 B′E=A′B′﹣A′E 代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=
=3 ，
∴△AD′E≌△C′BE， ∴BE=D′E， 设 AE=x，则 D′E=2﹣x， 在 Rt△AD′E 中，∠D′=90°， 由勾股定理，得 x2﹣（2﹣x）2=1， 解得 x= ，
∴AE=Fra Baidu bibliotek．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等， 熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点的坐标分别为 A（6，3），B （0，5）． （1）画出△OAB 绕原点 O 逆时针方向旋转 90°后得到的△OA1B1； （2）画出△OAB 关于原点 O 的中心对称图形△OA2B2； （3）猜想：∠OAB 的度数为多少？并说明理由．
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G=
=
=12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′=
=
=4
（ii）当 DB′=CD 时，则 DB′=16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）． （iii）当 CB′=CD 时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点 E、C 在 BB′的垂直平分线上， ∴EC 垂直平分 BB′， 由折叠可知点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为 16 或 4 ． 故答案为：16 或 4 ．
在△AEC 和△A'FC'中，
∴△AEC≌△A'FC'． ∴AE=A'F．
在△AED 和△A'FD 中，
∴△AED≌△A'FD． ∴AD=A'D． ∵AB=A'B， ∴△ABA'为等腰三角形． ∴BD⊥A'A． 【点评】此题考查几何变换问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等 腰三角形的性质，关键是根据旋转的前后图形全等、全等三角形的判定以及等腰 三角形的性质进行分析．
2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，点 C 的对应 点 C′恰好落在 CB 的延长线上，边 AB 交边 C′D′于点 E． （1）求证：BC=BC′； （2）若 AB=2，BC=1，求 AE 的长．
【分析】（1）连结 AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，即 AB⊥CC′， 根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到 AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根据旋转的性质得到 BC′=AD′，AD=AD′，证得 BC′=AD′，根据全等三角形的性质得到 BE=D′E， 设 AE=x，则 D′E=2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）连结 AC、AC′， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ABC=90°，即 AB⊥CC′， ∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′， ∴AC=AC′， ∴BC=BC′；
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姓名：
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据中心对称的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）∠OAB=45°，根据 A1（﹣3，6），A（6，3），可根据勾股定理求出 OA=OA1=3
，又∠AOA1=90°，易证△A1AO 为等腰直角三角形，得∠OAB=45°． 【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1 即为所求； （2）如图所示△OA2B2 即为所求； （3）∠OAB=45°， 理由：∵A1（﹣3，6），A（6，3） ∴OA=OA1=3 ， 又∵∠AOA1=90°， ∴△A1AO 为等腰直角三角形， ∴∠OAB=45°．
由（1）△BDE 为等边三角形，
∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
∴∠EDF=∠BDC′，
又∵△E′DC′是由△EDC 旋转得到的，
∴C′D=CD=FD，
∴△EDF≌△DBC′（SAS），
∴EF=BC′；
②线段 PM 的取值范围是：
．
设射线 CA 交 BD 于点 O，
在△GEB 与△CBE 中，
∴△GEB≌△CBE． ∴EG=BC． （3）由（2）得，EC=BG，EG=BC， ∴AE+BG=AC， 在三角形 ABC 中，BA=BC，∠BAC=30°， ∴AC= BC， ∴AE+BG= EG．
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姓名：
【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解 答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰 三角形的知识进行解答．
【分析】（1）根据题意可以补全图形； （2）连接 BE，根据已知条件和图形可以证明△GEB≌△CBE，得到答案； （3）根据△GEB≌△CBE，得到 EC=BG，EG=BC，根据等腰三角形的性质和∠ BAC=30°，求出 AB 和 BC 的关系，得到答案． 【解答】解：（1）补全图形，如图 1 所示：