2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时作业

第二节 空间几何体的表面积与体积

课时作业 A 组——基础对点练

1．(2018·合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )

A ．π B.3π2

C ．2π

D ．3π

解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r ，易

知轴截面三角形边AB 上的高为22，因此22－r 3＝r 1，解得r ＝2

2，所

以圆锥内切球的表面积为4π×(22

)2

＝2π，故选C. 答案：C

2．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π C ．46π

D ．63π

解析：设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝ 2 2＋12

＝3，所以球的体积V ＝43πR

3＝43π. 答案：B

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.323 B ．163

C.83

D ．43

解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，

V ＝V 柱＋V 锥＝12×(1＋1)×1×2＋13×12×(1＋1)×1×2＝83

，故选C.

答案：C

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为( )

A ．24π

B ．29π

C ．48π

D ．58π

解析：如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A BCD )，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR 2

＝π(32

＋22

＋42

)＝29π.

答案：B

5．(2018·合肥市质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A ．3

B ．3 2

C ．9

D ．9 2

解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S ＝12×(2＋4)×1＝3，高h ＝3，故其体积V ＝1

3Sh ＝3，故选A.

答案：A

6．若三棱锥P ABC 的最长的棱PA ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________．

解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12PA ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13

＝43

π.

答案：4

3

π

7．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝3，过点D 作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于E ，则棱锥E ABCD 的体积为________． 解析：如图所示，BE 过球心O ， ∴DE ＝42

－32

－ 3 2

＝2，

∴V E －ABCD ＝1

3×3×3×2＝2 3.

答案：2 3

8．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

解析：如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝1

3R .由

勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋(13R )2，即R 2

＝98

.由

球的表面积公式，得S ＝4πR 2

＝9π2

.

答案：9π2

9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．

(1)证明：AC ⊥HD ′；

(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5

4，OD ′＝22，求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．

解析：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD

，故AC ∥EF . 由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.

(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1

4

.

由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2

－AO 2

＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.

于是OD ′2

＋OH 2

＝(22)2

＋12

＝9＝D ′H 2

， 故OD ′⊥OH .

由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.

又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .

又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92

.

五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝69

4.

所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝232

2

.

10．(2018·莆田质检)如图，在四棱锥S ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，

SA ＝SB ＝2，AB ＝23，BC ＝3.

(1)证明：SC ∥平面BDE ；

(2)若BC ⊥SB ，求三棱锥C BDE 的体积． 解析：(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ， ∵四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点． 在△ASC 中，E 为AS 的中点，∴SC ∥OE ， 又OE ⊂平面BDE ，SC ⊄平面BDE ， ∴SC ∥平面BDE .

(2)∵BC ⊥AB ，BC ⊥SB ，AB ∩SB ＝B ， ∴BC ⊥平面SAB ，又BC ∥AD ， ∴AD ⊥平面SAB . ∵SC ∥平面BDE ，

∴点C 与点S 到平面BDE 的距离相等， ∴V C BDE ＝V S BDE ＝V D SBE ，

在△ABS 中，SA ＝SB ＝2，AB ＝23， ∴S △ABS ＝1

2×23×1＝ 3.

又∵E 为AS 的中点， ∴S △BES ＝12S △ABS ＝3

2

.