2020-2021学年度广东省深圳市高考数学模拟试题(3)及答案

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2025年新高考数学模拟试题二带解析

2025年新高考数学模拟试题（卷二）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{}2{Z14},40A x x B x x x =∈-≤<=-≤∣∣，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．()0,42．已知复数z =z 的共轭复数为（）A ．22i-B ．22i+C ．11i44-+D ．11i44--3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时4．若π13πtan sin123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．5-C ．9D ．55．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1006．已知函数13x y m-=+（0m >且1m ≠）图像恒过的定点A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-∞-⋃+∞D ．(][),61,-∞-⋃+∞7．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，A 是E 的右支上一点，若=AF a ，OA b =，则E 的离心率为（）A ．2B ．2C D 8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，()()0f x f x +-=，对任意,()0x ∈+∞，都有()()f x f x x '>，且()12f =，则不等式22[(1)]24f x x x -<-+的解集为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．()0,2C ．()1,3D ．(,1)(3,)-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为5810．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，P 分别是线段11C D ，线段1C C ，线段1A B 上的动点，且110MC NC =≠.则下列说法正确的有（）A ．1⊥MN AB B ．直线MN 与AP 所成的最大角为90°C ．三棱锥1N D DP -的体积为定值D ．当四棱锥11P D DBB -体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为9π11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃-第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.13．过点()1,P a 作曲线ln y x x =的切线，若切线有且只有两条，则实数a 的取值范围是___________.14．已知函数()f x 定义域为(0,)+∞，(1)e f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，当21x x >时，有()()21121212e e x xf x f x x x x x ->-（e 是自然对数的底）.若(ln )2e ln f a a a >-，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=.(1)求2a ，3a ，及{}n a 的通项公式；(2)证明：12311112na a a a ++++< .16．（15分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在(]16,18的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在(]18,20的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额(),6.25X N μ ，其中μ近似为（1）中的样本平均数，根据X 的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y 为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y 的概率分布列与数学期望.参考数据：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．17．（15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为12,A BC 的面积为2(1)求点1C 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AAAB =，平面1A BC ⊥平面11A B BA ，求二面角A BD C --的正切值．18．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的右焦点F 且垂直于长轴的弦AB 的长为1，焦点F 与短轴两端点构成等边三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()P的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点E 在x 轴上且对任意直线l ，直线OE 都平分MEN ∠（O 为坐标原点）．①求点E 的坐标；②求EMN 的面积的最大值．19．（17分）已知函数()e 1xf x x =-．(1)若直线e 1=--y kx 与曲线()y f x =相切，求k 的值；(2)若()0,x ∀∈+∞，()ln f x x ax >-，求a 的取值范围．2025年新高考数学模拟试题（卷二）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析

2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。

{2,4}B。

{2,4,6}C。

{2,6}D。

{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。

42种B。

48种C。

54种D。

60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。

32π/3B。

64π/3C。

32πD。

64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。

2x+y-3=0B。

2x-y+3=0C。

x-2y-3=0D。

x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2．（1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ．得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围．【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为，又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +，当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1，由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|，即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

(完整word版)高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题 (一)一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.）1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（）A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7}B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 }C.{x|x≤-2或x＞3 }D. {x|x＜-2或x≥3}2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（）A.2-iB.-2+iC.iD.23.若，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（）A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C.向左平移个单位D. 向右平移个单位5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（）A. B.C. D.6．平面的一个充分不必要条件是（）A.存在一条直线B.存在一个平面C.存在一个平面D.存在一条直线7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则p的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B. 重心C.内心D. 垂心9.设{a n}是等差数列，从{a1,a2,a3,…,a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( )A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题11.设等比数列的公比q=2，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.12．设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．-2 C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案直接填在题中的横线上.）13. 已知，，则的最小值．14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得几何体的表面积为．15. 已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x+…+a n x n，若a1+a2+…+a n-1=29-n,则自然数n等于．16.有以下几个命题：①曲线x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲线(x+1)2-(y+3)2=1②与直线相交，所得弦长为2③设A、B为两个定点，m为常数，，则动点P的轨迹为椭圆④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M的轨迹是圆其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.18.（本小题满分12分）同时抛掷3个正方体骰子，各个面上分别标以数（1，2，3，4，5，6），出现向上的三个数的积被4整除的事件记为A.（1）求事件A发生的概率P(A)；（2）这个试验重复做3次，求事件A至少发生2次的概率；（3）这个试验反复做6次，求事件A发生次数ξ的数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面PAD⊥平面PAB；(3)求二面角P-DC-B.20. （本小题满分12分）如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.21.（本小题满分12分）已知函数的图象与直线相切，切点的横坐标为1.（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（本小题满分10分）[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：（1）∽；（2）EF＝FG.23.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）.（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值.24.【不等式选讲】解不等式：参考答案1.A2.D3.A4.A5.D6.D7.C8.B9.C 10.D 11.C 12.B13. 3 14. 12π15.4 16.④17．解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6.由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为z max=(-1-1)2+6=10，最小值为z min=(1-1)2+6=6,故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6.18.解：（1）解法1先考虑事件A的对立事件，共两种情况：①3个都是奇数；②只有一个是2或6，另两个都是奇数，.解法2 事件的发生有以下五种情况：三个整数都是4：；有两个整数是4，另一个不是4：；只有一个数是4，另两个不是4：；三个数都是2或6：；有两个数是2或6，另一个数是奇数：故得.（2）.（3）.19.解法一：（1）证明：∵PB=PC,∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD,∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC＋∠DBA=90°,即AO⊥BD.∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD.（2）证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC=BC, ∴CN⊥PB.①∴AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD.∴AB⊥平面PBC.∵AB平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.②由①、②知CN⊥平面PAB，连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD，得四边形MNCD为平行四边形，∴DM⊥平面PAB.∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，∵PC平面PBC.∴DC⊥PC.∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角.∵三角形PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°.∵DM平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.解法二：取BC的中点O，因为三角形PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz.（1）证明：∵C D=1，则在直角梯形中，AB=BC=2,在等边三角形PBC中，.（2）证明：，（3）显然所夹角等于所示二面角的平面角.20. 解：（1）设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为-k，所以直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).....所以直线EF的斜率为定值.（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1.∴直线ME的方程为：y-y0=x-y02..同理可得.设重心消去得21.解：（1）. ∴f(1)=1.∴节点为(1,1).∴1=-2×1+c.∴c=3.∴直线l的方程为y=-2x+3.（2）.（3）令，由得，在上是减函数，在上是增函数...22．解： EF//CB，∽.FG是圆的切线.故FG=EF.23.解：（Ⅰ）.为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当时，，故，为直线.M到的距离 .从而当时，d取得最小值.24.解：（1）时，得，解得，所以，；（2）时，得，解得，所以，；（3）时，得，解得，所以，无解.综上，不等式的解集为.。

2020-2021学年高考总复习数学(理)5月模拟联考试题及答案解析

普通高中最新联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z 满足()i i z 311+=+，则Z 的共轭复数对应的点位于（）A .第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 3. 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（） A ．65 B ．70 C ．130 D ．2604．给出下列四个结论，其中正确的是 ( ) A ．若11a b>，则a 05.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（）A ．32π B ．3πC ．π65 D ．6π6．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=u u u r u u u ru u u r，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+=（） A.4 B.83 C.113D.2568. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（）A.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A. -20B. 52C. -192D. -16010．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，俯视图正视图三棱锥O —ABC 的体则球O 的表面积是（）A ．64πB ．16πC ．323π D ．544π11．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（）A ．（1，2）B ．（－∞，1）C ．（1，+∞）D ．（－1，1）12.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为( )A .21B . 32C . 1 D . 34 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试题及答案 (二十套)

【答案】AC
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.
9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）
,则，，所以B正确.
对于选项C、D，，
令，即，所以 ,则令 ,
,令 ,得
由函数的图像性质可知:
时，，单调递减.
时，，单调递增.
所以时，取得极小值，
即当时取得极小值，
又 ,即
又因为在上单调递减，所以
所以时，取得极小值，
即当时取得极大值，
又，即
所以
当时，
所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.
A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析一

最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。

2020-2021高三数学上期末模拟试题(及答案)(3)

2020-2021高三数学上期末模拟试题(及答案)(3)一、选择题1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．1102．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．44．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．9．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（）A ．6-B ．5C ．10D ．10-10．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（） A ．20B ．24C ．28D ．3211．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______. 15．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________． 16．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．18．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.19．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.20．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆的面积为2，求a c +的值． 22．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 23．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 24．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }；（2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。

2021年高考数学模拟试题二理(含解析)

2021年高考数学模拟试题二理（含解析）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设集合，，若，则的值为（） A ． B ．1 C ． D ．0 【答案】D【解析】试题分析：由题意得且，则，，所以．考点：集合的运算与集合的元素．2．复数为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：，共轭复数为，对应的点为．考点：复数的运算，复平面． 3．已知命题p 、q ，“为真”是“p 为假”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当为真时为，为假，则为假，故是充分的，但当为假时，为假时它也成立，可能为真，此时为假．故不必要，因此选A ．考点：逻辑连接词，充分与必要条件． 4．设，若，则（）A ．-1B ．0C ．lD ．256 【答案】B 【解析】试题分析：00(sin cos )(cos sin )|(cos sin )(cos 0sin 0)k x x dx x x ππππ=-=--=-----⎰，令，则有880128(1)(12)1a a a a k ++++=-=-=，又令得，，故．考点：定积分，二项展开式的系数．5．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】试题分析：由题意，棱锥的高为，底面面积为，∴．考点：三视图，体积．6．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．考点：方程有解与函数的值域．7．如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（） A ．0 B ． C ． D ．【答案】C 【解析】试题分析：本题算法实质是求数列的前项和，根据余弦函数的性质，这人数列是周期为6的周期数列，且，因此20136335332cos coscos 133S S S πππ⨯+===++=- 考点：程序框图，周期数列，数列的和．211 正(主)视图侧(左)视图俯视图8．设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：作出可行域如图所示内部（含边界），再作直线，平移直线，过时，取得最大值，所以，，当过时，取得最小值．考点：线性规划．9．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【解析】试题分析：由题意，，所以，，因此从图象上可看出，只要向右平移个单位，就能得到的图象．考点：三角函数的图象．10．在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为 ( ) A．－ B．－ C．－ D．－【答案】D【解析】试题分析：22(1)(1)CA BA xCA x BA x x CA BA=⋅---+-⋅，最小值为．考点：向量的数量积，向量的线性表示．11．设是双曲线的两个焦点，是上一点，，的最小内角为，则曲线的离心率为（）xyO6π-3π1A ．B ．C ．2D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意，不妨设，又，所以有，，而，故，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos30a a c a c =+-⋅⋅⋅︒，变形得，．考点：双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率． 12．已知函数，若，且，则（）A ．2B ．4C ．8D ．随值变化【答案】A 【解析】试题分析：如图是函数的简图，其图象关于直线对称，由得：，4334log (1)log (1)log (1)(1)0a a a x x x x ⇒-+-=--=，，同理，所以．考点：函数的性质，对数的符号．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ ．【答案】144 【解析】试题分析：设甲校抽了人，乙校抽了人，则，解得，所以共抽取的试卷数为．考点：分层抽样．14．已知直线与圆交于、两点，是原点，C 是圆上一点，若，则的值为_______ ．【答案】2 【解析】试题分析：由得四边形是菱形，则，所以．考点：向量的加法法则与圆的半径．15．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8 【解析】试题分析：由已知得，22211()()822AB AC AB AD AD AC AB AC AD =⋅+⋅+⋅≤⨯++=，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．考点：球的性质．16．在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则的取值范围是_______ ．【答案】[2，] 【解析】试题分析：由三角形面积公式知，即，由余弦定理得，所以，变形得（其中），故最大值为，又，因此所求范围是．考点：三角形的面积，余弦定理，简单的三角恒等变换．评卷人得分三、解答题（题型注释）17．数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不等式就显而易见成立了．（1）∵是和的等差中项，∴ 当时，，∴ 当时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴ ，即 ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，设的公差为，，，∴ ∴ - 6分（2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵,∴ 12分考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式。

2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《立体几何》分类汇编1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A ．221h π+B ．224h π+C ．216hπ+ D ．2216h π+ 3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．226．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( )A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( )A ．43πB ．823C ．4πD ．8π8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( )A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( )A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A ．15256B ．45256C ．1564D ．456411．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A ．14-B ．164-C ．164D ．1412．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( )A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺D ．1403立方尺 13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A 7B ．3C ．27D ．614．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CG CC = )A ．12B ．13C ．23D ．1416．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是( )A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为33则正确结论的编号是( )A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．219．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．8920．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．3B ．2C ．3D ．2321．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求二面角1N AC F --的余弦值．23．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．25．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．答案解析1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+．故选：C ．2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A 221h π+B 224h π+C 216hπ+ D 2216h π+ 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a ，则42a h π=，可得：2h a π=． ∴该金字塔的侧棱长22222222162()244a h h h ππ+=+=+⨯=．故选：D ．3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设1OB =．PA PB ⊥Q ，OP OB OA ∴==，OP ⊥底面AMB ．则(0O ，0，0)，(0B ，1，0)，(1M ，0，0)，(0P ，0，1)，(0A ，1-，0)， ∴(1AM =u u u u r ，1，0)，(0PB =u u u r ，1，1)-，cos AM ∴==⨯u u u r ， AM ∴=u u u r ， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π．故选：C ．4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【解答】解：如图：还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816833-=，故选：B ．5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．22【解答】解：把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，,KL AL LM BL BC AB AD AB==，所以KL AL =，LM BL =，故22KL LM AL BL +=+=， 2()22KL LM S KL LM +=⋅=截面…，当且仅当KL LM =时成立，故选：C ．6．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【解答】解：设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，由O ACM M AOC V V --=，即111112222233323AMC AOC S d S ∆∆==g g g g g g gg g ，2ACM d S ∆∴=， 122362ACM S ∆==g g故6d =221d r +=，213r ∴=，所以截面的面积为23r ππ=，故选：A ．7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( ) A ．43πB 82C ．4πD ．8π【解答】解：底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，可知底面ABCD 的外心为AB 的中点O ，到顶点的距离为1，因为SA SB =，SA SB ⊥，2AB =，所以2SA SB ==，AB 的中点O 到S 的距离为1，所以O 是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，所以球O 的表面积是：2414ππ⨯=．故选：C ．8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( ) A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π【解答】解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． 222318AD =-=．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ．则222411810R =++=．∴球的表面积10π=．故选：A ．9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( ) A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【解答】解：设圆锥SO 的轴截面为等腰SAB ∆，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是SAB ∆ 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r ∆==++g g g ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为3439()322ππ=，故选：A．10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．15256B．45256C．1564D．4564【解答】解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得30OAE∠=︒，所以33132224AE OA R R===g，在三角形OAC中，2222cosOC OA AC OA AC OAC=+-∠g g g，即222()2cos15022R RR AC AC=+-︒g g g，整理可得：2242330AC R AC R+-=g，解得：23124831584R RAC R-++-+==，所以331515444CE AC AE R R R-+=+=+=，所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215()154464RRπ=，故选：C．11．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC-中，13PM ANPB AC==，4PA BC==，3MN=，异面直线PA与BC所成角的余弦值为()A ．14-B ．164-C ．164D ．14【解答】解：如图，过N 作//ND BC ，交AB 于D ，并连接MD ，则AN ADAC AB=， Q13PM AN PB AC ==， ∴13PM AD PB AB ==， //MD AP ∴，23MD PA =，13DN BC =， ∴84,33MD DN ==，且3MN =， MDN ∴∠为异面直线PA 与BC 所成角或其补角，∴在MDN ∆中，根据余弦定理得，64169199cos 8464233MDN +-∠==-⨯⨯，∴异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为164．故选：C ．12．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺 D ．1403立方尺【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积128075833=⨯⨯⨯=立方尺，故选：C ．13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( ) A ．7B ．3C ．27D ．6【解答】解：如图，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0M ，1-，)a ，(3N ，0，)b ，(0Q ，1，)c ，不妨设N 为直角，(3,1,)MN b a =-u u u u r ，(3,1,)QN b c =--u u u r， ∴()()20MN QN b a b c =--+=u u u u r u u u rg， 2211||||4()4()22S MN QN b a b c ==+-+-u u u u r u u u r g g 2221164[()()][()()]2b a bc b a b c =+-+-+-- 11616432++=…．故选：B ．14．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π【解答】解：正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，设它的外接球的半径为R ，球心为O ，底面ABCD 的中心为M ．设OM x =．则222(3)R x =+，3R x +=．解得：24R =．可得球的表面积为16π．故选：C ．15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC =)A ．12B ．13C ．23D ．14【解答】解：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G Q 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴，∴1113CG DE CC DD ==．故选：B ．16．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是()A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE【解答】解：Q 在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，DE AE ∴⊥，DE CE ⊥，AE CE E =Q I ，DE ∴⊥平面ACE ．故选：C ．17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为33 则正确结论的编号是( ) A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④【解答】解：对①当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足，故①正确．对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误．对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误．对④，当截面为正六边形时面积最大，为36233=故选：A ．18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =．要使三棱锥S ABC-的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=．故选：A ．19．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【解答】解：将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示．因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC =+=，即AK CK +的最小值为73．故选：B ．20．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A 3B 2C 3D 23【解答】解：设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE ∆中可得3OE =，又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ，过C 作CF AE ⊥于点F ，又BD ⊥平面AEC ，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，33sin 333CE CAE AE ∠===．故选：A ．21．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，得(0D ，0，0)，(1E ，0，2)，(0F ，72，1)，1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，1(2,0,2)DA =u u u u r ，(0DC =，4，0)，(1EF =-u u u r ，72，1)-．设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r．由122040n DA x z n DC y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r r g u u u r r g ，取1z =-，得(1,0,1)n =-r ， Q 0EF n =u u u r rg ，且EF ⊂/平面1A DC ，//EF ∴平面1A DC ；（2）解：设F 到平面1CC N 的距离为d ，则12d =． ∴111111111233226C FCN F CC N CC N V V S d --===⨯⨯⨯⨯=V g ；（3）解：由（1）知，1(2,0,2)DA =u u u u r，又1(0,,1)2CF =-u u u r ，11110cos ,||||5222DA CF DA CF DA CF ∴<>===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u uu r u u u r g ． ∴直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值10．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求二面角1N AC F --的余弦值．【解答】解：（1）证明：作1DD 的中点H ，连接EH ，FH ，又E 为11A D 的中点，EH ∴为△11A DD 的中位线，1//EH A D ∴，又F 为MC 的中点，FH ∴为梯形1D DCM 的中位线，//FH CD ∴，在平面1A DC 中，1A D CD D =I ，在平面EHF 中，EH FH H =I ，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF 在平面EHF 内， //EF ∴平面1A DC ．（2）以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则17(1,4,0),(2,0,2),(0,4,0),(0,,1)2N A C F ，设平面1A CN 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则11(,,)(1,4,2)420(,,)(2,4,2)2420m A N x y z x y z m AC x y z x y z ⎧=--=-+-=⎪⎨=--=-+-=⎪⎩u u u u r r g g u u u u rr g g ，可取(0,1,2)m =r，同理可求得平面1A FC 的一个法向量为(3,2,1)n =r，∴270cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，又二面角1N AC F --的平面角为钝角，故二面角1N AC F --的余弦值为27023．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：Q 在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==222AB AM BM ∴+=，222AD AM DM +=，AB AM ∴⊥，AD AM ⊥，AD AB A =Q I ，AM ∴⊥平面ABCD ．（2）解：AB AD ⊥Q ，AM ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AD 为x 轴，AM 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，//CD AB Q ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，2AB AM AD ===，22MB MD ==．(0E ∴，43，2)3，(2C ，0，1)，(2D ，0，0)，(0B ，0，2)，(0M ，2，0)， (2EC =u u u r ，43-，1)3，(2BD =u u u r ，0，2)-，(0BM =u u u u r ，2，2)-，设平面BDM 的法向量(m x =r，y ，)z ，则220220m BD x z m BM y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，1，1)，设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为：||159sin ||||5339m EC m EC θ===u u u r r g u u u r r g g．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ ⋂平面ABCD AB =，四边形ABCD 为为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥，因为BG ⊥面APC ，AP ⊂平面PAC ，所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，BC ，BG ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ，因为AP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --===g g g g ，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB g 的最大值．令PA m =，PB n =，由（1）知AP PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n = 即2PA PB =时，22112()3323P ABC minm n V mn -+==g …．以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(0C ，1，2)，(1P ，0，0)．设1(,,)n x y z =u u r为平面APC 的一个法向量，则110220n AP x y n BP x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ，可取1x =，则1(1,1,1)n =-u u r，因为四边形APBQ 为平行四边形，APB ∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ 为正方形，取平面BCQ 的一个法向量为2(1,1,0)n BP ==-u u r u u u r，所以1cos n ==u u r u u ru u r g u u r u u r g ，所以1sin n =u u r ，即平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值为3325．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ， BC ⊂Q 平面ABCD ，1BC D C ∴⊥，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4AB =Q ，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG =AG ∴=，因此满足22216AC BC AB +==，BC AC ∴⊥，又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =I ， BC ∴⊥平面1AD C ．（2）解：由（1）知AC ，BC ，1D C 两两垂直， 1D C ⊥Q 平面ABCD ，∴14D DC π∠=，12D C CD ∴==，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0D ，0，2)，∴(AB =-u u u r ，2，0)，1(AD =-u u u u r 0，2)，设平面11ABC D 的法向量(n x =r，y ，)z ，由12020AB n y AD n z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得n =r ，又1(0CD =u u u u r ，0，2)为平面ABCD 的一个法向量，设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，则11||cos 7||||CD n CD n θ===u u u u r rg u u u u r r g ．∴平面11ABC D 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为7．。

三校生高考数学模拟试卷3

三校生高考数学模拟试卷3三校生高考数学模拟试卷3对于许多即将参加三校生高考的同学们来说，数学是一门至关重要的科目。

而在高考前，进行模拟考试是非常必要的。

最近，我们学校组织了一次高考数学模拟试卷3的考试，旨在帮助同学们熟悉考试形式和提升应试能力。

在本文中，我将分享一些有关这次模拟试卷的看法和体会。

首先，让我们来了解一下什么是三校生高考。

三校生高考是指中等职业学校、中等技术学校和职业高中的毕业生参加的高考。

与普通高考相比，三校生高考在考试科目、考试形式和内容上都有所不同。

其中，数学科目在三校生高考中占有较大比重，对于很多同学来说也是相对较难的一门课程。

在这次模拟试卷3的考试中，我们遇到了各种类型的题目，包括计算题、应用题和证明题等。

总体来说，这次模拟试卷的难度适中，但也有一些比较有挑战性的题目。

从题型上来看，填空题和选择题的比例较大，这也符合三校生高考数学的实际考试情况。

在备考过程中，我发现自己在一些基础知识方面还需要加强。

例如，在这次模拟试卷中，有一道关于三角函数的题目，如果对相关概念掌握不够扎实，就很难顺利解答。

此外，我还需要提高自己的解题速度和准确率，特别是在做一些计算题和应用题时，需要更加细心和耐心。

为了提高自己的数学成绩，我采取了一些具体的措施。

首先，我会对每个知识点进行系统的学习和复习，确保自己对基础知识有更加深入的理解。

其次，我会通过做题来巩固自己的知识，特别是做一些历年高考数学真题和模拟试卷，这样可以更好地了解自己的薄弱环节，并针对性地进行提高。

最后，我会积极参加各种数学竞赛和辅导班，这样可以与其他同学进行交流和学习，同时也可以拓展自己的解题思路和方法。

总之，这次高考数学模拟试卷3的考试对我来说是一次非常有价值的经历。

通过这次考试，我更加清晰地了解了自身的数学水平，同时也发现了自己在备考过程中需要加强的地方。

我相信，在未来的备考过程中，我会更加努力地学习和提高自己的数学能力，争取在高考中取得优异的成绩。

2024_年高考数学模拟试题(新高考)

２０２４年高考数学模拟试题(新高考)林国红(广东省佛山市乐从中学ꎬ广东佛山５２８３１５)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００８４－１０收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:林国红(１９７７－)ꎬ男ꎬ广东省佛山人ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀说明:(１)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分１５０分.考试时间１２０分钟.(２)本试卷适用省份:(新高考Ⅰ卷)山东㊁福建㊁湖北㊁江苏㊁广东㊁湖南㊁河北等省ꎻ(新高考Ⅱ卷)海南㊁辽宁㊁重庆等省市.一㊁选择题:本题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.设集合Ａ＝ｘ(ｘ＋１)(ｘ－４)<０{}ꎬＢ＝ｘ２ｘ＋ａ<０{}ꎬ且ＡɘＢ＝ｘ－１<ｘ<３{}ꎬ则ａ＝(㊀㊀).Ａ.６㊀㊀㊀Ｂ.４㊀㊀㊀Ｃ.－４㊀㊀㊀Ｄ.－６２.已知ｉ(１＋ｚ)＝１(其中ｉ为虚数单位)ꎬ则ｚ－ｚ－＝(㊀㊀).Ａ.－２Ｂ.０Ｃ.２ｉＤ.－２ｉ３.已知２ｓｉｎα＝３＋２３ｃｏｓαꎬ则ｓｉｎ(２α－π６)＝(㊀㊀).Ａ.－１８Ｂ.－７８Ｃ.３４Ｄ.７８４.已知等比数列{ａｎ}的首项ａ１＝２ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ且ａ１ꎬ２ａ２ꎬ４ａ３成等差数列ꎬ则(㊀㊀).Ａ.Ｓｎ＋１＝３２Ｓｎ㊀㊀㊀Ｂ.Ｓｎ＋１＝１２Ｓｎ＋２Ｃ.Ｓｎ＋１＝ａｎ＋１㊀㊀㊀Ｄ.Ｓｎ＋１＝１２ａｎ＋１５.某款对战游戏ꎬ总有一定比例的玩家作弊ꎬ该游戏每１０个人组成一组对局ꎬ若一组对局中有作弊玩家ꎬ则认为这组对局不公平.现有５０名玩家ꎬ其中有２名玩家为作弊玩家ꎬ一次性将５０名玩家平均分为５组ꎬ则５组对局中ꎬ恰有一组对局为不公平对局的概率为(㊀㊀).Ａ.７２０Ｂ.１６Ｃ.９４９Ｄ.１５６.ａ>２是函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减的(㊀㊀).Ａ.充分不必要条件㊀㊀㊀㊀Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件㊀㊀㊀㊀Ｄ.既不充分也不必要７.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ关于原点对称的两点ＡꎬＢ分别在双曲线的左㊁右两支上ꎬＡＦң ＦＢң＝０ꎬ３ＢＦң＝ＦＣңꎬ且点Ｃ在双曲线上ꎬ则双曲线的离心率为(㊀㊀).Ａ.１０３㊀Ｂ.１０２㊀Ｃ.５２㊀Ｄ.２３３８.已知曲线ｙ＝－ｘ３－３ｘ２＋９ｘ＋９与曲线ｙ＝１－２ｘｘ＋１交于点Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＡ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ ꎬＡｎ(ｘｎꎬｙｎ)ꎬ则ðｎｉ＝１(ｘｉ＋ｙｉ)＝(㊀㊀).Ａ.－１６㊀Ｂ.－１２㊀Ｃ.－９㊀Ｄ.－６二㊁选择题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项符合题目要求.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分.９.袋子中有６个相同的球ꎬ分别标有数字１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ从中有放回的随机取５次ꎬ每次取一个球.记录每次取到的数字ꎬ统计后发现这５个数字的平均数为２ꎬ方差小于１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.可能取到数字４㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.中位数可能是２Ｃ.极差可能是４㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ.众数可能是２１０.如图１ꎬ正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＰ是体对角线ＡＣ１上的动点ꎬＭ是棱ＤＤ１上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１㊀第１０题图Ａ.异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角的最小值为π６Ｂ.异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角的最大值为π３Ｃ.对于任意的Ｐꎬ存在点Ｍ使得ＡＭʅＢ１ＰＤ.对于任意的Ｍꎬ存在点Ｐ使得ＡＭʅＢ１Ｐ１１.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ的准线与ｘ轴交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ点ＡꎬＢ是抛物线Ｃ上异于点Ｏ的两个动点ꎬ线段ＡＢ与ｘ轴交于点Ｔꎬ则(㊀㊀).Ａ.若Ｔ为抛物线Ｃ的焦点ꎬ则线段ＡＢ的长度的最小值为４Ｂ.若Ｔ为抛物线Ｃ的焦点ꎬ则ＯＡң ＯＢң为定值Ｃ.若әＡＯＴ与әＢＯＴ的面积之积为定值ꎬ则Ｔ为抛物线Ｃ的焦点Ｄ.若直线ＤＡ和直线ＤＢ都与抛物线Ｃ相切ꎬ则Ｔ为抛物线Ｃ的焦点１２.已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｌｎ(ｘ＋１)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(０ꎬｆ(０))处的切线方程为ｙ＝２ｘ㊀Ｂ.ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增Ｃ.对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ有ｆ(ｘ１＋ｘ２)>ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)Ｄ.对任意的ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬｘ１<ｘ２<ｘ３ꎬ则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１ɤｆ(ｘ３)－ｆ(ｘ１)ｘ３－ｘ１三㊁填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.在(ｘ＋１ｘ)６的二项展开式中ꎬ常数项为.(用数字作答)１４.已知同一平面内的单位向量ａꎬｂꎬｃꎬ满足ａ＋ｂ＋１３ｃ＝０ꎬ则ａ－ｂ＝.１５.已知圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)与圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ－２０＝０恰有两条公切线ꎬ则实数ｍ的取值范围为.１６.有ｎ个编号分别为１ꎬ２ꎬ ꎬｎ的盒子ꎬ第１个盒子中有２个白球１个黑球ꎬ其余盒子中均为１个白球１个黑球ꎬ现从第１个盒子中任取一球放入第２个盒子ꎬ再从第２个盒子中任取一球放入第３个盒子ꎬ以此类推ꎬ则从第２个盒子中取到白球的概率是ꎬ从第ｎ个盒子中取到白球的概率是.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.已知等比数列{ａｎ}的各项均为正数ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ若ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝１２ａｎ(ｎɪＮ∗)ꎬＳ５＝１２１.(１)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂｎ＝ａｎ＋ｌｎａｎꎬ求数列{ｂｎ}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.如图２ꎬ在平面内ꎬ四边形ＡＢＣＤ的对角线交点位于四边形内部ꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝７ꎬәＡＣＤ为正三角形ꎬ设øＡＢＣ＝α.图２㊀第１８题图(１)求ＡＣ的取值范围ꎻ(２)当α变化时ꎬ求四边形ＡＢＣＤ面积的最大值.１９.如图３ꎬ在梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＤʊＢＣꎬＡＤʅＡＢꎬＢＣ＝２ＡＤ＝６ꎬＡＢ＝３ꎬＡＣ与ＢＤ交于点Ｍꎬ将әＡＢＤ沿ＢＤ翻折至әＰＢＤꎬ使点Ａ到达点Ｐ的位置.图３㊀第１９题图(１)证明:ＢＤʅＰＣꎻ(２)若平面ＰＢＣ与平面ＰＢＤ的夹角的余弦值为７７ꎬ求三棱锥Ｐ－ＢＣＤ的体积.２０.已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的长轴长为２６ꎬ且其离心率小于２２ꎬＰ为椭圆Ｃ上一点ꎬＦ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ的左㊁右焦点ꎬәＦ１ＰＦ２的面积的最大值为２２.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)Ａ为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ过点Ｄ(０ꎬ－１)且斜率为ｋ的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ｌ１为过点Ｄ且与ＡＭ平行的直线ꎬ设ｌ１与直线ｙ＝－５２的交点为Ｑ.证明:直线ＱＮ过定点.２１.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中ꎬ硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的１１０ꎬ其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期ꎬ某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产ꎬ试产期同步进行产品检测ꎬ检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成ꎬ包含安全检测㊁电池检测㊁性能检测等三项指标ꎬ人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测ꎬ且仅设置一个综合指标ꎬ四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品ꎬ智能检测三项指标的达标率约为９９１００ꎬ９８９９ꎬ９７９８ꎬ设人工抽检的综合指标不达标率为ｐ(０<ｐ<１).㊀(１)求每个芯片智能检测不达标的概率ꎻ(２)人工抽检３０个芯片ꎬ记恰有１个不达标的概率为φ(ｐ)ꎬ求φ(ｐ)的极大值点ｐ０ꎻ(３)若芯片的合格率不超过９６％ꎬ则需对生产工序进行改良.以(２)中确定的ｐ０作为ｐ的值ꎬ判断该企业是否需对生产工序进行改良.２２.已知ａɪＲꎬ函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｌｎ(１－ｘ)－ｘ－ａｃｏｓｘꎬｆᶄ(ｘ)为ｆ(ｘ)的导函数.(１)当ａ＝０时ꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(２)讨论ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上的零点个数ꎻ(３)比较１１０ｃｏｓ１１０与ｌｎ１０９的大小ꎬ并说明理由.参考答案１.Ａ＝{ｘ－１<ｘ<４}ꎬＢ＝{ｘｘ<－ａ２}ꎬ由ＡɘＢ＝{ｘ－１<ｘ<３}ꎬ得－ａ２＝３ꎬ所以ａ＝－６ꎬ故选Ｄ.２.１＋ｚ＝１ｉ＝ｉｉ２＝－ｉꎬ所以ｚ＝－１－ｉꎬ从而ｚ－ｚ－＝－１－ｉ－(－１＋ｉ)＝－２ｉꎬ故选Ｄ.３.由２ｓｉｎα＝３＋２３ｃｏｓαꎬ得１２ｓｉｎα－３２ｃｏｓα＝３４.即ｓｉｎ(α－π３)＝３４.所以ｓｉｎ(２α－π６)＝ｓｉｎ[２(α－π３)＋π２]＝ｃｏｓ２(α－π３)＝１－２ｓｉｎ２(α－π３)＝１－２ˑ(３４)２＝－１８.故选Ａ.４.设等比数列{ａｎ}的公比为ｑꎬ由于ａ１ꎬ２ａ２ꎬ４ａ３成等差数列ꎬ所以４ａ２＝ａ１＋４ａ３ꎬ４ａ１ｑ＝ａ１＋４ａ１ｑ２.由于ａ１＝２ꎬ所以４ｑ２－４ｑ＋１＝(２ｑ－１)２＝０.解得ｑ＝１２.所以ａｎ＝ａ１ｑｎ－１＝２ (１２)ｎ－１＝２２－ｎ.所以Ｓｎ＝ａ１(１－ｑｎ)１－ｑ＝２(１－１/２ｎ)１－１/２＝４(１－１２ｎ)＝４－２２－ｎ.则Ｓｎ＋１＝４－２１－ｎ.所以Ｓｎ＋１＝１２Ｓｎ＋２.故选Ｂ.５.所有对局中ꎬ恰有一组对局是不公平对局的情况为:２名外挂玩家都分到了同一组对局ꎬ记该事件为事件Ａꎬ则Ｐ(Ａ)＝Ｃ１５Ｃ８４８Ｃ１０４０Ｃ１０３０Ｃ１０２０Ｃ１０１０Ｃ１０５０Ｃ１０４０Ｃ１０３０Ｃ１０２０Ｃ１０１０＝Ｃ１５Ｃ８４８Ｃ１０５０＝９４９.故选Ｃ.６.ｙ＝ｘ－ａ＝－ｘ＋ａꎬｘ<ａꎬｘ－ａꎬｘȡａꎬ{显然函数ｙ＝ｘ－ａ的单调递减区间为(－ɕꎬａ)ꎬ所以ａ>２时ꎬ函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减ꎻ若函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减ꎬ则ａȡ２ꎬ所以ａ>２是函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减的充分不必要条件ꎬ故选Ａ.７.由题设Ｆ(ｃꎬ０)ꎬ令Ａ(ｍꎬｎ)且ｍ<－ａꎬＣ(ｘꎬｙ)ꎬ则Ｂ(－ｍꎬ－ｎ)ꎬ且ｍ２ａ２－ｎ２ｂ２＝１.①由ＡＦң ＦＢң＝(ｃ－ｍꎬ－ｎ) (－ｍ－ｃꎬ－ｎ)＝ｍ２－ｃ２＋ｎ２＝０ꎬ即ｍ２＋ｎ２＝ｃ２.②由３ＢＦң＝ＦＣңꎬ得３(ｃ＋ｍꎬｎ)＝(ｘ－ｃꎬｙ).所以ｘ＝４ｃ＋３ｍꎬｙ＝３ｎ.{即Ｃ(４ｃ＋３ｍꎬ３ｎ).又Ｃ在双曲线上ꎬ则(４ｃ＋３ｍ)２ａ２－９ｎ２ｂ２＝１.③由①得ｎ２ｂ２＝ｍ２ａ２－１.代入③并整理ꎬ得２ｃ２＋３ｍｃ＋ａ２＝０.由①②及ａ２＋ｂ２＝ｃ２ꎬ得ｎ２＝ｍ２ｂ２ａ２－ｂ２＝ｃ２－ｍ２.所以ｍ２＝２ａ２－ａ４ｃ２.所以(２ｃ２＋ａ２)２＝９ｍ２ｃ２＝１８ａ２ｃ２－９ａ４.即２ｃ２－７ａ２ｃ２＋５ａ４＝(２ｃ２－５ａ２)(ｃ２－ａ２)＝０.显然ａ２ʂｃ２ꎬ则ｅ２＝ｃ２ａ２＝５２.所以ｅ＝１０２.故选Ｂ.８.令ｆ(ｘ)＝－ｘ３－３ｘ２＋９ｘ＋９ꎬ则ｆ(ｘ－１)＝－(ｘ－１)３－３(ｘ－１)２＋９(ｘ－１)＋９＝－ｘ３＋１２ｘ－２ꎬｆ(－ｘ－１)＝－(－ｘ－１)３－３(－ｘ－１)２＋９(－ｘ－１)＋９＝ｘ３－１２ｘ－２.所以ｆ(ｘ－１)＋ｆ(－ｘ－１)＝－４所以ｆ(ｘ)关于(－１ꎬ－２)中心对称.因为ｙ＝１－２ｘｘ＋１＝－２(ｘ＋１)＋３ｘ＋１＝－２＋３ｘ＋１ꎬ所以ｙ＝１－２ｘｘ＋１关于(－１ꎬ－２)中心对称.因为ｆᶄ(ｘ)＝－３ｘ２－６ｘ＋９＝－３(ｘ＋３)(ｘ－１)ꎬ所以当ｘɪ(－ɕꎬ－３)ɣ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ(－３ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０.所以ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３)ꎬ(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ在(－３ꎬ１)上单调递增.所以ｆ(ｘ)的极小值为ｆ(－３)＝２７－２７－２７＋９＝－１８ꎬ极大值为ｆ(１)＝－１－３＋９＋９＝１４.当ｘɪ(－１ꎬ＋ɕ)时ꎬｙ＝－２＋３ｘ＋１单调递减ꎬ且ｙ＝－２＋３ｘ＋１>－２.当ｘ＝１时ꎬｙ＝－２＋３１＋１＝－１２<１４.作出ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在ｘ>－１时的图象如图４所示.由图象可知:ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在(－１ꎬ＋ɕ)上有且仅有两个不同的交点.由对称性可知:ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在(－ɕꎬ－１)上有且仅有两个不同的交点.图４㊀第８题解析图所以ð４ｉ＝１(ｘｉ＋ｙｉ)＝(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４)＋(ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４)＝(－１)ˑ２ˑ２＋(－２)ˑ２ˑ２＝－１２.故选Ｂ.９.设这５个数字为ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬｘ５ꎬ对于Ａ:若取到数字４ꎬ不妨设为ｘ１＝４ꎬ则４＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５５＝２.可得ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝６.可知这４个数中至少有２个１ꎬ不妨设为ｘ２＝ｘ３＝１ꎬ则这５个数字的方差ｓ２＝１５[(ｘ１－２)２＋(ｘ２－２)２＋(ｘ３－２)２＋(ｘ４－２)２＋(ｘ５－２)２]ȡ１５[(４－２)２＋(１－２)２＋(１－２)２]＝６５>１ꎬ不合题意ꎬ故Ａ错误ꎻ对于Ｃ:因为这５个数字的平均数为２ꎬ这５个数字至少有１个１ꎬ或５个２ꎬ不妨设为ｘ１＝１ꎬ若极差是４ꎬ这最大数为５ꎬ不妨设为ｘ２＝５ꎬ则这５个数字的平均数ｘ－＝１５(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５)＝１５(１＋５＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５)＝２ꎬ则ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝４ꎬ可知这３个数有２个１ꎬ１个２ꎬ此时这５个数字的方差ｓ２＝１５[(１－２)２＋(５－２)２＋(１－２)２＋(１－２)２＋(２－２)２]＝１２５>１ꎬ不合题意ꎬ故Ｃ错误ꎻ对于ＢＤ:例如２ꎬ２ꎬ２ꎬ２ꎬ２ꎬ可知这５个数字的平均数为２ꎬ方差为０ꎬ符合题意ꎬ且中位数是２ꎬ众数是２.故选ＢＤ.１０.以Ｃ１为坐标原点ꎬ建系如图５ꎬ设正方体的边长为１ꎬ则Ａ１Ｄң＝(０ꎬ－１ꎬ１).图５㊀第１０题解析图设Ｃ１Ｐң＝λＣ１Ａң＝(λꎬλꎬλ)ꎬλɪ[０ꎬ１]ꎬ则Ｂ１Ｐң＝Ｂ１Ｃ１ң＋Ｃ１Ｐң＝(λꎬλ－１ꎬλ).设异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角为θꎬ则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ<Ｂ１ＰңꎬＡ１Ｄң>＝１２λ２＋(１－λ)２＋λ２＝１２３λ２－２λ＋１.当λ＝１３时ꎬ(ｃｏｓθ)ｍａｘ＝３２ꎬθｍｉｎ＝π６ꎬ故Ａ正确ꎻ当λ＝１时ꎬ(ｃｏｓθ)ｍｉｎ＝１２ꎬθｍａｘ＝π３ꎬ故Ｂ正确ꎻ设Ｍ(１ꎬ０ꎬｍ)ꎬｍɪ[０ꎬ１]ꎬ则ＡＭң＝(０ꎬ－１ꎬｍ－１)ꎬＡＭң Ｂ１Ｐң＝１－λ＋λ(ｍ－１)＝１＋λ(ｍ－２)ꎬ当λ＝０时ꎬＡＭң Ｂ１Ｐң＝０无解ꎬ故Ｃ错误ꎻ∀ｍɪ[０ꎬ１]ꎬ令ＡＭң Ｂ１Ｐң＝０ꎬ得λ＝１２－ｍɪ[１２ꎬ１]ꎬ即对于任意的Ｍꎬ存在点Ｐ使得ＡＭʅＢ１Ｐꎬ故Ｄ正确.故选ＡＢＤ.１１.设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔ(ｔ>０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ２ｐ＝４ꎬｐ＝２ꎬ由ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬｙ２＝４ｘ{得ｙ２－４ｍｙ－４ｔ＝０.所以ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ｔ.则ｘ１＋ｘ２＝ｍ(ｙ１＋ｙ２)＋２ｔ＝４ｍ２＋２ｔꎬｘ１ｘ２＝ｙ２１ｙ２２１６＝ｔ２.Ｔ为焦点时ꎬｔ＝１ꎬｘ１＋ｘ２＝４ｍ２＋２ꎬＡＢ＝ｘ１＋ｐ２＋ｘ２＋ｐ２＝４ｍ２＋４ꎬ显然ｍ＝０时ꎬＡＢｍｉｎ＝４ꎬＡ正确ꎻｔ＝１ꎬｘ１ｘ２＝１ꎬｙ１ｙ２＝－４ꎬＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝１－４＝－３ꎬＢ正确ꎻ由ＳәＡＯＴＳәＢＯＴ＝１２ＯＴｙ１１２ＯＴｙ２＝１４ｔ２ｙ１ｙ２＝ｔ３为定值ꎬ所以ｔ为定值ꎬ但不一定有ｔ＝１ꎬＣ错ꎻ又Ｄ(－１ꎬ０)ꎬ设过点Ｄ的切线方程是ｙ＝ｋ(ｘ＋１)ꎬｋʂ０ꎬ由ｙ＝ｋ(ｘ＋１)ꎬｙ２＝４ｘ{得ｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０ꎬә＝１－ｋ２＝０ꎬｋ＝ʃ１.当ｋ＝１时ꎬｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０的解为ｙ＝２ꎬ因此ｘ＝１ꎬ即Ａ(１ꎬ２)ꎬ当ｋ＝－１时ꎬｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０的解为ｙ＝－２ꎬ因此ｘ＝１ꎬ即Ｂ(１ꎬ－２).直线ＡＢ方程为ｘ＝１ꎬ过焦点Ｆ(１ꎬ０)ꎬＤ正确.故选ＡＢＤ.１２.由题意可知:ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ[ｌｎ(ｘ＋１)＋１ｘ＋１]ꎬｆ(０)＝０ꎬ则ｆᶄ(０)＝１ꎬ则曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(０ꎬｆ(０))处的切线方程为ｙ＝ｘꎬ故Ａ错误ꎻ令ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ[ｌｎ(ｘ＋１)＋２ｘ＋１－１(ｘ＋１)２].令ｈ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋１)＋２ｘ＋１－１(ｘ＋１)２ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ＋１－２(ｘ＋１)２＋２(ｘ＋１)３＝ｘ２＋１(ｘ＋１)３>０.则ｈ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ｈ(ｘ)ȡｈ(０)＝１>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)>０.则ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ故Ｂ正确ꎻ令ｍ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋ｘ２)－ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ２)(ｘ>０)ꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ＋ｘ２)－ｆᶄ(ｘ)>０.则ｍ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ｍ(ｘ)>ｍ(０)＝ｆ(ｘ２)－ｆ(０)－ｆ(ｘ２)＝０.则ｍ(ｘ１)>０.所以ｆ(ｘ１＋ｘ２)>ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ故Ｃ正确ꎻ令φ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ１)ｘ－ｘ１(ｘ>ｘ１)ꎬ则φᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)－ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ１)(ｘ－ｘ１)２.令ω(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)－ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ１)ꎬ则ωᶄ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)>０.则ω(ｘ)在(ｘ１ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ω(ｘ)>ω(ｘ１)＝０.则φᶄ(ｘ)>０.则φ(ｘ)在(ｘ１ꎬ＋ɕ)上单调递增.则φ(ｘ２)<φ(ｘ３).则φ(ｘ２)ɤφ(ｘ３)ꎬ故Ｄ正确.故选ＢＣＤ.１３.二项展开式通项为Ｔｒ＋１＝Ｃｒｎｘ６－ｒ２(１ｘ)ｒ＝Ｃｒｎｘ６－３ｒ２ꎬ所以当ｒ＝２时ꎬ常数项Ｔ３＝Ｃ２６＝１５.１４.由题意可知:ａ＋ｂ＝－１３ｃꎬ则(ａ＋ｂ)２＝１＋１＋２ａｂ＝１９.则２ａｂ＝－１７９.所以ａ－ｂ＝(ａ－ｂ)２＝２－２ａｂ＝３５３.１５.由ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ－２０＝０ꎬ即(ｘ－１)２＋(ｙ－２)２＝２５ꎬ可知圆Ｃ２的圆心为(１ꎬ２)ꎬ半径为５.因为圆Ｃ１与圆Ｃ２恰有两条公切线ꎬ所以圆Ｃ１与圆Ｃ２相交ꎬ则｜５－ｍ｜<｜Ｃ１Ｃ２｜<５＋ｍ.又｜Ｃ１Ｃ２｜＝(１－０)２＋(２－０)２＝５ꎬ所以５－５<ｍ<５＋５.即ｍ的取值范围是(５－５ꎬ５＋５).１６.记事件Ａｉ表示从第ｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)个盒子里取出白球ꎬ则Ｐ(Ａ１)＝２３ꎬＰ(Ａ１)＝１－Ｐ(Ａ１)＝１３.所以Ｐ(Ａ２)＝Ｐ(Ａ１Ａ２)＋Ｐ(Ａ１Ａ２)＝Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２Ａ１)＋Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２Ａ１)＝２３ˑ２３＋１３ˑ１３＝５９ꎬＰ(Ａ３)＝Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ａ３Ａ２)＋Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ａ３Ａ２)＝Ｐ(Ａ２)ˑ２３＋Ｐ(Ａ２)ˑ１３＝１３ˑＰ(Ａ２)＋１３＝１４２７ꎬＰ(Ａ４)＝Ｐ(Ａ３)Ｐ(Ａ４Ａ３)＋Ｐ(Ａ３)Ｐ(Ａ４Ａ３)＝Ｐ(Ａ３)ˑ２３＋Ｐ(Ａ３)ˑ１３＝１３Ｐ(Ａ３)＋１３ꎬ进而可得Ｐ(Ａｎ)＝１３Ｐ(Ａｎ－１)＋１３ꎬＰ(Ａｎ)－１２＝１３[Ｐ(Ａｎ－１)－１２].又Ｐ(Ａ１)－１２＝１６ꎬＰ(Ａ２)－１２＝１１８ꎬ所以Ｐ(Ａ２)－１２＝１３[Ｐ(Ａ１)－１２].所以{Ｐ(Ａｎ)－１２}是首项为１６ꎬ公比为１３的等比数列.所以Ｐ(Ａｎ)－１２＝１６ˑ(１３)ｎ－１＝１２ˑ(１３)ｎ.即Ｐ(Ａｎ)＝１２ˑ(１３)ｎ＋１２.故答案为:５９ꎻ１２ˑ(１３)ｎ＋１２.１７.(１)设{ａｎ}的公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝１２ａｎꎬ即ａｎｑ＋ａｎｑ２＝１２ａｎꎬ且ａｎʂ０ꎬ可得ｑ２＋ｑ－１２＝０ꎬ解得ｑ＝３或ｑ＝－４(舍去).又因为Ｓ５＝ａ１(１－３５)１－３＝１２１ꎬ解得ａ１＝１.所以ａｎ＝ａ１ｑｎ－１＝３ｎ－１.(２)由(１)可得:ｂｎ＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｌｎ３ꎬ所以Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋＋ｂｎ＝(３０＋３１＋３２＋＋３ｎ－１)＋[１＋２＋３＋＋(ｎ－１)]ｌｎ３＝１－３ｎ１－３＋(ｎ－１)ｎ２ｌｎ３＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｎｌｎ３２.所以Ｔｎ＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｎｌｎ３２.１８.(１)因为四边形ＡＢＣＤ的对角线交点位于四边形内部ꎬ所以øＢＡＣ＋øＣＡＤ<π.又因为әＡＣＤ为正三角形ꎬøＣＡＤ＝π３ꎬ所以０<øＢＡＣ<２π３.在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理ꎬ得ＡＢ２＋ＡＣ２－ＢＣ２２ＡＢＡＣ＝ｃｏｓøＢＡＣ.又因－１２<ｃｏｓøＢＡＣ<１ꎬ将ＡＢ＝３ꎬＢＣ＝７代入并整理ꎬ得ＡＣ２＋３ＡＣ－４０>０且ＡＣ２－６ＡＣ－４０<０.解得５<ＡＣ<１０.所以ＡＣ的取值范围是(５ꎬ１０). (２)在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理可得ꎬＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢＢＣｃｏｓα＝９＋４９－２ˑ３ˑ７ｃｏｓα＝５８－４２ｃｏｓα.由(１)知５<ＡＣ<１０ꎬ所以ｃｏｓαɪ(－１ꎬ１１１４).又因为әＡＣＤ为正三角形ꎬ所以ＳәＡＣＤ＝３４ＡＣ２＝２９３２－２１３２ｃｏｓα.又ＳәＡＢＣ＝１２ＡＢＢＣｓｉｎα＝２１２ｓｉｎαꎬ所以Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ＳәＡＢＣ＋ＳәＡＣＤ＝２１２ｓｉｎα＋２９３２－２１３２ｃｏｓα＝２１ˑ(１２ｓｉｎα－３２ｃｏｓα)＋２９３２＝２１ｓｉｎ(α－π３)＋２９３２.所以当α－π３＝π２ꎬ即α＝５π６时ꎬ且ｃｏｓ５π６＝－３２ɪ(－１ꎬ１１１４)成立.㊀四边形ＡＢＣＤ的面积取得最大值ꎬ最大值为２１＋２９３２.㊀１９.(１)因为ｔａｎøＡＤＢ＝ＡＢＡＤ＝３６/２＝２ꎬｔａｎøＣＡＢ＝ＢＣＡＢ＝６３＝２ꎬ所以øＡＤＢ＝øＣＡＢ.所以øＡＤＢ＋øＭＡＤ＝øＣＡＢ＋øＭＡＤ＝９０ʎ.所以ＡＣʅＢＤ.即ＡＭʅＢＤꎬＣＭʅＢＤ.所以ＰＭʅＢＤꎬＣＭʅＢＤ.又ＰＭɘＣＭ＝Ｍꎬ所以ＢＤʅ平面ＰＭＣ.所以ＢＤʅＰＣ.(２)在ＲｔәＡＢＣ中ꎬＡＣ＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝３ꎬ因为ＡＤʊＢＣꎬ所以ＡＭＣＭ＝ＡＤＢＣ＝１２.所以ＡＭ＝１ꎬＣＭ＝２ꎬＢＭ＝２.由(１)ＢＤʅ平面ＰＭＣꎬ以Ｍ为坐标原点建立如图６所示的空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚꎬ则Ｂ(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＣ(０ꎬ２ꎬ０)ꎬＤ(－２２ꎬ０ꎬ０)ꎬ设Ｐ(０ꎬｃｏｓθꎬｓｉｎθ)ꎬ其中０<θ<πꎬ图６㊀第１９题解析图所以ＭＢң＝(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＣＢң＝(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＢＰң＝(－２ꎬｃｏｓθꎬｓｉｎθ).设平面ＰＢＤ的一个法向量为ｎ＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ则ｎＭＢң＝２ｘ１＝０ꎬｎＢＰң＝－２ｘ１＋ｙ１ｃｏｓθ＋ｚ１ｓｉｎθ＝０. {取ｙ１＝ｓｉｎθꎬｎ＝(０ꎬｓｉｎθꎬ－ｃｏｓθ)ꎬ设平面ＰＢＣ的一个法向量为ｍ＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬ则ｍＣＢң＝２ｘ２－２ｙ２＝０ꎬｍＢＰң＝－２ｘ２＋ｙ２ｃｏｓθ＋ｚ２ｓｉｎθ＝０.{取ｙ２＝ｓｉｎθꎬ则ｍ＝(２ｓｉｎθꎬｓｉｎθꎬ２－ｃｏｓθ)ꎬｃｏｓ<ｍꎬｎ>＝ｎｍｎｍ＝１－２ｃｏｓθ３ｓｉｎ２θ＋(２－ｃｏｓθ)２＝７７ꎬ解得ｃｏｓθ＝４５ꎬｓｉｎθ＝３５或ｃｏｓθ＝０ꎬｓｉｎθ＝１.故ＶＰ－ＢＣＤ＝１３ＳәＢＣＤｚＰ＝３２１０或２２.２０.(１)由题意可知:２ａ＝２６ꎬｂｃ＝２２ꎬａ２＝ｂ２＋ｃ２.ìîíïïïï因为ｅ＝ｃａ<２２ꎬ所以ａ＝６ꎬｂ＝２ꎬｃ＝２.故椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２６＋ｙ２４＝１.(２)设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭＮ:ｙ＝ｋｘ－１ꎬ联立直线ＭＮ与椭圆Ｃ的方程可得(２＋３ｋ２)ｘ２－６ｋｘ－９＝０.则ｘ１＋ｘ２＝６ｋ２＋３ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－９２＋３ｋ２.ìîíïïïï所以２ｋｘ１ｘ２＝－３(ｘ１＋ｘ２).因为ｋＡＭ＝ｋＤＱ＝ｙ１－２ｘ１ꎬ则ｌ１:ｙ＝ｙ１－２ｘ１ｘ－１.令ｙ＝－５２ꎬ解得ｘ＝３ｘ１４－２ｙ１.所以Ｑ(３ｘ１４－２ｙ１ꎬ－５２).故直线ＱＮ的方程为ｙ－ｙ２＝－５/２－ｙ２３ｘ１/(４－２ｙ１)－ｘ２(ｘ－ｘ２).根据对称性ꎬ直线ＱＮ所过的定点在ｙ轴上ꎬ不妨令ｘ＝０ꎬ则ｙ＝ｙ２＋５ｘ２/２＋ｘ２ｙ２３ｘ１/(４－２ｙ１)－ｘ２＝１０ｘ２－５ｘ２ｙ１＋３ｘ１ｙ２３ｘ１－４ｘ２＋２ｘ２ｙ１＝１０ｘ２－５ｘ２(ｋｘ１－１)＋３ｘ１(ｋｘ２－１)３ｘ１－４ｘ２＋２ｘ２(ｋｘ１－１)＝－２ｋｘ１ｘ２＋３ｘ１－１５ｘ２２ｋｘ１ｘ２＋３ｘ１－６ｘ２＝－－１８ｘ２－９ｘ２＝－２.故直线ＱＮ过定点(０ꎬ－２).２１.(１)设每个芯片智能检测中安全检测㊁电池检测㊁性能检测三项指标达标的概率分别记为Ｐ１ꎬＰ２ꎬＰ３ꎬ并记芯片智能检测不达标为事件Ａ.视指标的达标率为任取一件新产品ꎬ该项指标达标的概率Ｐ１＝９９１００ꎬＰ２＝９８９９ꎬＰ３＝９７９８ꎬ由对立事件的性质及事件独立性的定义得:Ｐ(Ａ)＝１－Ｐ１Ｐ２Ｐ３＝１－９９１００ˑ９８９９ˑ９７９８＝３１００ꎬ所以每个芯片智能检测不达标的概率为３１００.(２)人工抽检３０个芯片恰有１个不合格品的概率为φ(ｐ)＝Ｃ１３０ｐ１(１－ｐ)２９(０<ｐ<１)ꎬ因此φᶄ(ｐ)＝Ｃ１３０[(１－ｐ)２９－２９ｐ(１－ｐ)２８]＝Ｃ１３０(１－ｐ)２８(１－３０ｐ).令φᶄ(ｐ)＝０ꎬ得ｐ＝１３０.当ｐɪ(０ꎬ１３０)时ꎬφᶄ(ｐ)>０ꎻ当ｐɪ(１３０ꎬ１)时ꎬφᶄ(ｐ)<０.则φ(ｐ)在(０ꎬ１３０)上单调递增ꎬ在(１３０ꎬ１)上单调递减ꎬ所以φ(ｐ)有唯一的极大值点ｐ０＝１３０.(３)设芯片人工抽检达标为事件Ｂꎬ工人在流水线进行人工抽检时ꎬ抽检一个芯片恰为合格品为事件Ｃꎬ由(２)得:Ｐ(Ｃ)＝Ｐ(Ｂ｜Ａ－)＝１－ｐ＝２９３０.由(１)得:Ｐ(Ａ－)＝１－Ｐ(Ａ)＝９７１００.所以Ｐ(Ａ－Ｂ)＝Ｐ(Ａ－) Ｐ(Ｂ｜Ａ－)＝２９３０ˑ９７１００ʈ９３.８％<９６％.因此ꎬ该企业需对生产工序进行改良.２２.(１)当ａ＝０时ꎬｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｌｎ(１－ｘ)－ｘꎬ其定义域为(－ɕꎬ１)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝０.当ｘɪ(－ɕꎬ０)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递增ꎻ当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ故ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的单调递增区间为(－ɕꎬ０)ꎬ单调递减区间为(０ꎬ１).(２)令ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝－１１－ｘ＋ａｃｏｓｘ＝ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).因为ｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则１－ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｃｏｓｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则(１－ｘ)ｃｏｓｘɪ(０ꎬ１).当ａɤ１时ꎬ则ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１<０ꎬ故ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ从而ｇ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.而ｇ(０)＝０ꎬ故当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ故ｇ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上无零点.即ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上无零点.当ａ>１时ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ａ[ｃｏｓｘ＋(１－ｘ)ｓｉｎｘ].因为ｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则ｃｏｓｘ＋(１－ｘ)ｓｉｎｘ>０.从而ｈᶄ(ｘ)<０.即ｈ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.而ｈ(０)＝ａ－１>０ꎬｈ(１)＝－１<０ꎬ因此存在唯一的ｘ０ɪ(０ꎬ１)ꎬ使得ｈ(ｘ０)＝０ꎬ并且当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｈ(ｘ)>０ꎻ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｈ(ｘ)<０.即当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０.故当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｇ(ｘ)单调递减.而ｇ(０)＝０ꎬ故ｇ(ｘ０)>０.取Ｎ＝１－ｅ－２ａɪ(０ꎬ１)ꎬ当ｘ>Ｎ时ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘ<ａ＋ｌｎ(ｅ－２ａ)＝ａ－２ａ＝－ａ<０.所以存在唯一的ｍɪ(ｘ０ꎬ１)ꎬ使得ｇ(ｍ)＝０ꎬ即ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上有唯一零点.综上所述ꎬ当ａ>１时ꎬｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ１)上有唯一的零点ꎻ当ａɤ１时ꎬｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ１)上没有零点. (３)由(２)可得ꎬ当ａɤ１时ꎬｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘ<０在(０ꎬ１)上恒成立.即当ａ＝１时ꎬｓｉｎｘ<ｌｎ１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).以下证明不等式:当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ有ｘ<ｔａｎｘ.令ｍ(ｘ)＝ｘ－ｔａｎｘꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝１－１ｃｏｓ２ｘ<０.故ｍ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减.则ｍ(ｘ)<ｍ(０)＝０.即ｘ<ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).即有ｘｃｏｓｘ<ｓｉｎｘ.而ｓｉｎｘ<ｌｎ１１－ｘ.故ｘｃｏｓｘ<ｌｎ１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).取ｘ＝１１０ꎬ则有１１０ｃｏｓ１１０<ｌｎ１０９.[责任编辑:李㊀璟]。

1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》

1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。

2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.33.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.256.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.227.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0]8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞)9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C 的一个焦点为F （0，1），则C 的方程可以为（） A.y 2=4x B. y =14x 2C. x 2m−1+y 2m =1(0＜m ＜1)D. x 21−m+y 2m =1(0＜m ＜1)10.（多选题，5分）已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥312.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M为对角线A'D上的动点，设过M且与A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√15213.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果的平均值得εn～N(0，1n2)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量___ 次．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．老年50 125 105 （1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.82820.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）设函数f(x)=sin(x−π4 )√2e x −x，x∈[−π4，π4]．（1）求f（x）的极大值点；（2）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求证：x1+x2＜0．2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}【正确答案】：C【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}={y|y＞0}，∴A∩B={1，2，3，4}．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.3【正确答案】：A【解析】：利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为z（1+i）=2i，则|z||1+i|=|2i|，即|z|• √2 =2，=√2．所以|z|=√2故选：A．【点评】：本题考查了复数模的求解，解题的关键是掌握复数模的运算性质，属于基础题．3.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种【正确答案】：C【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，有C42=6种分组方法，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，有A33=6种安排方法，则有6×6=36种安排方法，故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质得出圆柱的高h、底面半径r与球的半径R之间的关系，用h和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值，再计算对应圆柱的体积．【解答】：解：画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，）2+r2=R2，则（ℎ2解得h=2 √R2−r2．=2πR2，所以圆柱的侧面积为S=2πrh=4πr• √R2−r2=4π √r2(R2−r2)≤4π• √(r2+R2−r2)24R=1，高为h= √2 R=2．当且仅当r2=R2-r2时取等号，此时球内接圆柱底面半径为r= √22圆柱的体积为：V=πr2h=π•12•2=2π．故选：B．【点评】：本题考查了球与圆柱的组合体应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题．5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25【正确答案】：C【解析】：由集合原理先求出报名插花艺术且瑜伽的学员，即可求得答案．【解答】：解：由题意根据集合原理可知，报名插花艺术且瑜伽的学员有15+25-30=10名，10÷50=0.2，所以报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为0.2．故选：C．【点评】：本题考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22【正确答案】：B【解析】：把已知数据代入公式计算 E1E 2．【解答】：解：由题意2.02-1.77=2.5（lgE 2-lgE 1），可得 lg E1E 2=0.1 ，∴ E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26 ．故选：B ．【点评】：本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．7.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0] 【正确答案】：D【解析】：P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1），把 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于λ的函数求解即可．【解答】：解：因为P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1）所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）• PC⃗⃗⃗⃗⃗= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（1-λ） BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ）×2× √2 ×cos135°+λ（1-λ）×（ √2 ）² =-2（1-λ）+2λ（1-λ） =-2λ2+4λ-2=-2（λ-1）²，因为0≤λ≤1，所以-2（λ-1）²∈[-2，0]，故选：D ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想，是中档题．8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞) 【正确答案】：C【解析】：先判断函数f （x ）为偶函数，然后利用导数判断函数f （x ）的单调性，利用奇偶性以及单调性将不等式等价转化为|2x|＞|3x-2|，求解即可．【解答】：解：因为函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则f （-x ）= (−x )ln [(−x )+√1+(−x )2]=−xln 1√x 2+1+x= xln(x +√1+x 2)=f (x ) ，故函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f'（x ）= ln(x +√1+x 2)+x •1+2x 2√x 2+1x+√x 2+1＞0 ，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0，即f （2x ）＞f （3x-2），等价于f （|2x|）＞f （|3x-2|），所以|2x|＞|3x-2|，解得 25＜x ＜2 ．，所以不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为 (25，2) ．故选：C．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断与应用，函数单调性的判断与应用，含有绝对值的不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C的一个焦点为F（0，1），则C的方程可以为（）A.y2=4xB. y=14x2C. x2m−1+y2m=1(0＜m＜1)D. x21−m +y2m=1(0＜m＜1)【正确答案】：BC【解析】：由题意可得焦点在y轴上，可得A不正确，将B中的方程写成标准形式可得B正确，由m的范围，将C中的方程写成标准形式，可得C正确，D中由m的范围，如果分母相等时可得曲线为圆，所以D不正确．【解答】：解：由焦点坐标在y轴，而A中焦点在x轴上，可得A不正确，B中标准形式为x2=4y，所以可得焦点坐标为（0，1），所以B正确；C中，因为m∈（0，1），所以m-1＜0，所以双曲线的标准形式为y 2m - x21−m=1，且c2=m+1-m=1，所以可得C正确；D中，因为m∈（0，1），所以当m=1-m时，即m= 12，此时曲线为圆，所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查圆锥曲线的标准方程的写法及焦点坐标的求法和命题真假的判断，属于基础题．10.（多选题，5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【正确答案】：ABC【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】：解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象，可得A=2，14• 2πω= 5π12- π6，∴ω=2．结合五点法作图，可得2× π6+φ= π2，∴φ= π6，即 f（x）=2sin（2x+ π6）．令x= 2π3，求得f（x）=-2，为最小值，故直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；令x=- π12+kπ，求得f（x）=0，f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈Z，故B正确；在区间[−π3，π6]上，2x+ π6∈[- π2，π2']，函数f（x）单调递增，故C正确；将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到y=2sin（2x+ π3）的图象，故D错误，故选：ABC．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥3【正确答案】：ACD【解析】：利用作差法判断A ，利用二次函数的性质判断B ，利用构造函数的单调性判断C ，利用基本不等式判断D ．【解答】：解：A ：∵a ＞b ，∴（a 3+b 3）-（a 2b+ab 2）=（a-b ）2（a+b ）＞0，∴A 正确， B ：∵a+b 2=1，a ＞0，b ＞0，∴0＜b ＜1，∴a -b=-b 2-b+1∈（-1，1），∴2a-b ∈（ 12 ，2），∴B 错误， C ：由log a 2020＞log b 2020＞0，则1＜a ＜b ，设函数f （x ）= e x x ，f′（x ）= e x (x−1)x 2 ，则f （x ）在（1，+∞）单调递增，所以f （a ）＜f （b ），即 e a a ＜ e bb ，则有e a-b ＜ab ，∴C 正确，D ：若a ＞1，则a+ 1a−1 =a-1+ 1a−1 +1≥2 √1 +1=3，当且仅当a-1= 1a−1 ，即a=2时取等号，∴a+ 1a−1 ≥3，∴D 正确．故选：ACD ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，涉及到不等式的性质、函数单调性，属于中档题． 12.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M 为对角线A'D 上的动点，设过M 且与A'D 垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√152【正确答案】：ABD【解析】：利用线面垂直的判定定理即可判断选项A ，将平面AB'F'沿直线A'D 方向平移，分析变化过程中σ的形状，即可判断选项B ，C ，当截面σ为矩形时，其投影面积最大，截面σ的面积最大，求解即可判断选项D ．【解答】：解：∵四边形A'ABB'为正方形，∴AB'⊥BA'，连接BD，在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中，∠ABC=∠BCD=120°，则∠DBC=30°，∴∠ABD=90°，∴AB⊥BD，∵B'B⊥BD，AB∩B'B=B，∴BD⊥平面ABB'A'，∵AB'⊂平面ABB'A'，∴AB'⊥BD，∵BD∩BA'=B，∴AB'⊥平面A'BD，∴A'D⊥AB'，∵B'F'⊥A'D，∴A'D⊥平面AB'F'，故选项A正确；由题意可知，截面σ与平面AB'F'平行或重合，亦可视为将平面AB'F'沿直线A'D方向平移，若将平面AB'F'向点A'平移，则σ为三角形；若将平面AB'F'向点D平移，则σ的形状变化过程为：等腰三角形→六边形→矩形（四边形）→六边形→等腰三角形，故选项B正确，选项C错误；因为截面σ与底面ABCDEF所成的角相等，欲使截面σ的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大，故当截面σ为矩形时，其投影面积最大，设B'C'和E'F'的中点分别为P，Q，则矩形BPQF面积为√152，即σ的面积最大值为√152，故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．【正确答案】：[1]21【解析】：根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，即可求解．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴2a1+4d=a1+d+3，化简可得，a1+3d=3，即a4=3，∴S7=7a4=7×3=21．故答案为：21．【点评】：本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：由圆M的方程可得圆心M的坐标，由题意可得椭圆中的c的值，再由长轴长可得a的值，进而求出椭圆的离心率．【解答】：解：由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c=3，由题意2a=10，所以a=5，所以椭圆的离心率e= ca = 35，故答案为：35．【点评】：本题考查椭圆的离心率的求法及由圆的方程可得圆心坐标的方法，属于基础题．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．【正确答案】：[1]12; [2]不会【解析】：由题意画出图形，求解三角形可得台风中心距A最近时，台风中心B距A与P的距离，可得台风中心距离城市A最近的时间；进一步判断城市A是否受到台风影响．【解答】：解：如图，台风中心沿PB由P向B行驶，当台风中心距A最近时，AB⊥PB，由题意可知，∠APB=30°，又AP=200 √3 km，∴AB=200 √3 ×sin30°=100 √3 km，PB= 200√3 ×cos30°=300km，=12 h．而风速为25km/h，∴ 30025即台风中心12小时后距离城市A最近；∵台风侵袭范围为圆形区域的半径150km，且100√3＞150，∴该城市不会受到台风侵袭．故答案为：12；不会．【点评】：本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量的平均值得εn～N(0，1n2___ 次．【正确答案】：[1]10【解析】：利用正态分布的意义以及正态分布曲线的对称性进行分析求解即可．【解答】：解：由题意，正态分布的随机误差落在±3σ之外的概率只有0.27%，所以落在（-3σ，3σ）的概率为0.9973，根据正态曲线的对称性，要使误差εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，则3n≤0.3，解得n≥10．故答案为：10．【点评】：本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正态分布曲线的对称性，属于基础题．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理消去边，得到A、B两角余弦值的关系；联立条件① 或② 或③ 、内角和公式，利用三角恒等变换解出tanA；（2）利用“大角对大边“得c=4，利用正弦定理得a，b的值，再求面积．【解答】：解：（1）由b 2+c2−a2bccosB=2bccosAbccosB=4√23有3cosA=2√2cosB（*），则A、B都是锐角.........（2分）若选① sinA=√2sinB，则sinB=√2*）有cosB=2√2由1=cos2B+sin2B=(√2)2+(2√2)2 = 12sin2A+98cos2A又sin2A+cos2A=1且A是锐角，可得sinA=√55，cosA=2√55，所以tanA=12．.....................（6分）若选② tanB=13，则cosB=3√1010，又由（*）有cosA=2√55，又sin2A+cos2A=1，可得sinA=√55，所以tanA=12......................（6分）若选③ −√2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理有−√2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=−√2cosCsinC=sinC，则cosC=−√22，则C=135°，由（*）有3cosA=2√2cosB=2√2cos(180°−135°−A)=2cosA+2sinA，故tanA=12．.....................（6分）（2）由① ② ③ 都可得sinA=√55，cosA=2√55，sinB=√1010，cosB=3√1010，sinC=√22，................................（8分）因为sinA＜sinB＜sinC，所以a＜b＜c，所以最长边c=4，由正弦定理有asinA =bsinB=csinC，则a=4√105，b=4√55，......................（10分）所以△ABC的面积为12absinC=12×4√105×4√55×√22=85．..................（12分）【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、方程等思想，意在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）（解法一）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n≥2时，a n-S n-1=2，两式相减可得a n+1-a n-（S n-S n-1）=0，即a n+1=2a n，则q=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，解得a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（解法二）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，当n=2时，得a3-s2=2，即a1q2−a1q−a1=2，两式相除可得q2-2q=0，因为q≠0，所以q=2，a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（2）若在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，则a n+1=a n+（n+2-1）d n，即为2n+1-2n=（n+1）d n，整理得d n=2nn+1，所以1d n=n+12n，（解法一）T n+1=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n+1d n+1，即T n+1=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n+n+22n+1，1 2T n+1=222+323+424+⋅⋅⋅+n+12n+1+n+22n+2，两式相减，得12T n+1=1+122(1−12n)1−12−n+22n+2=32−12n+1−n+22n+2，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．（解法二）T n=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n−1+1d n，即T n=221+322+423+⋅⋅⋅+n2n−1+n+12n，1 2T n=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1，两式相减得：12T n=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1，所以T n=3−n+32n，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．【点评】：本题主要考查数列通项a n与前n项和S n的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？附表及公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．【正确答案】：【解析】：（1）求出ξ的可能取值，求出概率，再求解期望即可．（2）利用已知条件求解联列表，然后求解K2，即可判断结果．【解答】：解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为ξ千元，则ξ的可能取值为：2，6，10，依题意可得，p(ξ=2)=3001000=310，p(ξ=6)=4001000=25，p(ξ=10)=3001000=310，所以该客户的消费期望是：E(ξ)=2×310+6×25+10×310=6千元．（2）2×2列联表如下：K2=1000×(300×200−100×400)2400×600×700×300≈7.937，因为7.937＞6.635，所以有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关．【点评】：该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据．本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及独立性检验．并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．20.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，通过△AOD∽△BAD，证明AO⊥BD，MC⊥BD，推出ON || MC，证明ON⊥BD，证明BD⊥平面AON，然后证明AN⊥BD．（2）建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，说明∠AON为二面角A-BD-C的平面角，求出平面AMN的一个法向量，平面DMN的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-MN-D的余弦值即可．【解答】：（1）证明：如图1，不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，∵点M为棱BD的中点，且AM=BM，∴BA⊥AD，即∠BAD=π2，………………（1分）∵ AD BD =12=ODAD，且∠ADO=∠BDA，∴△AOD∽△BAD，∴ ∠AOD=∠BAD=π2，即AO⊥BD，………………（2分）又∵△BCD 为等边三角形，点M 为棱BD 的中点， ∴MC⊥BD ，……………………………………………（3分） ∵点O ，N 分别为MD ，CD 的中点， ∴ON || MC ，∴ON⊥BD ，…………………………………（4分） ∵AO ，ON⊂平面AON ，且AO∩ON=O ， ∴BD⊥平面AON ，…………………………（5分）又∵AN⊂平面AON ，∴AN⊥BD ． …………………………………（6分）（2）解：建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ，由（1）可知，∠AON 为二面角A-BD-C 的平面角，且 AO =NO =√3a ，若二面角A-BD-C 的大小为 2π3 ，则 ∠AON =2π3，……………………（7分）∴ A (0，−√3a2，3a 2) ，M （a ，0，0）， N(0，√3a ，0) ，……………………（8分）∴ MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，−√3a 2，3a 2) ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，√3a ，0) ，不妨设平面AMN 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则 {−x −√3y 2+3z 2=0，−x +√3y =0，解得 {x =√3y ，z =√3y ，令y=1，则 n ⃗ =(√3，1，√3) ，……………………（10分）显然 m ⃗⃗ =(0，0，1) 为平面DMN 的一个法向量， ∴ cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n|⃗⃗⃗⃗ =√31×√7=√217，……………………（11分）二面角A-MN-D 的大小即为＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞， ∴二面角A-MN-D 的余弦值为 √217．【点评】：本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考查学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是中档题．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得AB与x轴垂直，可得A的横坐标与焦点F的相同，纵坐标为2，代入抛物线的方程可得参数p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，|QB||QA|=|BF||AF|，可得k QA+k QB=0，进而求出存在这样的点Q满足条件．【解答】：解：（1）∵|AB|=4且F为线段AB中点，∴AB⊥x轴，不妨设点A在x轴上方，设A（p2，2），代入C：y2=2px（p＞0），有p2=4且p＞0，∴p=2；抛物线方程为y2=4x；（2）假设存在点Q（t，0）满足题意，设直线l AB：x=my+1，A(y124，y1)，B(y224，y2)，由{y2=4x，x=my+1，可得y2-4my-4=0，所以{y1+y2=4m，y1y2=−4．由 |QB||QA|=|BF||FA| ，得 |BF||QB|=|FA||QA| ，由抛物线定义可知∠AQF=∠BQF ，即k QA +k QB =0， k QA +k QB =y 1y 124−t +y2y 224−t =4(y 1+y 2)(y 1y 2−4t )(y 12−4t)(y 22−4t)=0 ，y 1y 2=4t=-4，t=-1，∴Q （-1，0），综上所述，存在Q （-1，0）满足题意．【点评】：本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养．属于中档题． 22.（问答题，12分）设函数 f (x )=sin(x−π4)√2ex −x ， x ∈[−π4，π4] ．（1）求f （x ）的极大值点；（2）若f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，求证：x 1+x 2＜0．【正确答案】：【解析】：（1）根据导数符号与函数单调性之间的关系求出函数f （x ）的单调性，进而可求得f （x ）的极大值点；（2）不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4 ，要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，即证f （x 2）=f （x 1）＜f （-x 2），构造性函数作差证明即可．【解答】：解：（1）因为 f′(x )=cosx e x−1 ， f″(x )=−√2sin(x+π4)e x，由 x ∈[−π4，π4] ，得 sin (x +π4)≥0 ，故f''（x ）≤0，所以f'（x ）在 x ∈(−π4，π4) 单调递减，又f'（0）=0，所以f （x ）在 [−π4，0] 单调递增，f （x ）在 (0，π4) 单调递减，所以x=0是f （x ）的极大值点，（2）证明：不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4，要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，又f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，f （x ）在 (−π4，0) 单调递增，]，即证f（x2）＜f（-x2），x2∈(0，π4令函数g（x）=f（x）-f（-x），则g'（x）=f'（x）+f'（-x）=cosx（e x+e-x）-2，记h（x）=cosx（e x+e-x）-2，则h'（x）=-sinx（e x+e-x）+cosx（e x-e-x），设m（x）=h'（x），因为m′（x）=-2sinx（e x-e-x）＜0，)上单调递减，且h'（0）=0，h'（x）在(0，π4)上单调递减，且h（0）=0，所以h'（x）＜0，h（x）在(0，π4)上单调递减，且g（0）=0，即g'（x）＜0，g'（x）在(0，π4所以g（x）＜0，即f（x）-f（-x）＜0，命题得证．【点评】：本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性．。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

(3)三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

（3）三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知cos()m αβ+=，tan tan 2αβ=，则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a =()A.-1B.12C.1D.23．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin(36y x =-的交点个数为()A.3B.4C.6D.84．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知π1cos 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.78B.78-C.38D.38-5．[2024届·山西长治·一模校考]已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，π||)2ϕ<的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A.[2,--B.(2,-C.(2,1]--D.[2,1]--6．[2024届·江西·模拟考试]在ABC △中，若sin 2cos cos A B C =，则22cos cos B C +的取值范围为()A.61,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.6,25⎛⎫⎪⎝⎭D.1,22⎫+⎪⎪⎣⎭7．[2024届·湖北·模拟考试联考]在ABC △中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=()A.23B.12C.2D.28．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]若锐角α，β满足3cos()cos cos αβαβ+=，则tan()αβ+的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题9．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]对于函数()sin 2f x x =和π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有()A.()f x 与()g x 有相同的零点B.()f x 与()g x 有相同的最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．[2024届·河北衡水·二模联考]如图，点A ，B ，C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且π3BC AB -=，π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()A.4ω=B.9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24三、填空题11．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=__________.12．[2024届·山东威海·二模]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b c +=，cos 66C =-.则sin A =________.13．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]已知函数()ππsin (01)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴为直线π4x =，则ω=__________．四、解答题14．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为3+，求c .15．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =.（1）求A ；（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC △的周长.参考答案1．答案：A解析：由cos()m αβ+=得cos cos sin sin m αβαβ-=①.由tan tan 2αβ=得sin sin 2cos cos αβαβ=②，由①②得cos cos sin sin 2mm αβαβ=-⎧⎨=-⎩，所以cos()cos cos sin sin 3m αβαβαβ-=+=-，故选A.2．答案：D解析：由题意知()()f x g x =，则2(1)1cos 2a x x ax +-=+，即()2cos 11x a x =+-.令()2()cos 11h x x a x =-++.易知()h x 为偶函数，由题意知()h x 在(1,1)-上有唯一零点，所以(0)0h =，即cos 0(01)10a -++=，得2a =，故选D.3．答案：C解析：因为函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2π3T =，所以函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与sin y x =在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.4．答案：A 解析：设π6t α+=，则π6t α=-，1cos 4t =，ππππsin 2sin 2sin 26662t t α⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2217cos22cos 12148t t ⎡⎤⎛⎫=-=--=-⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.5．答案：B解析：观察图象知，2A =，函数()f x 的周期4π2π[()]π3123T =--=，2π2Tω==，由π(212f =，得ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，而π||2ϕ<，则π3ϕ=，于是π()2sin(23f x x =+，当π[,0]2x ∈-时，π2ππ2[,]333x +∈-，当π2ππ2[,332x +∈--，即π5π[,]212x ∈--，函数()f x单调递减，函数值从减小到2-，当πππ2[,]323x +∈-，即5π[,0]12x ∈-时，函数()f x 单调递增，函数值从2-，显然函数()f x 的ππ[,]23--上的图象关于直线5π12x =-对称，方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，即直线y m =与函数()y f x =在π[,0]2-上的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是(2,-.故选：B.6．答案：B解析：由sin 2cos cos A B C =得sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=，所以tan tan 2B C +=，又2cos cos 0B C >，所以B ，C 均为锐角，即tan 0B >，tan 0C >.22222cos cos cos sin cos BB C B B+=++()()222222222222222cos 112tan tan tan tan 2sin cos 1tan 1tan tan tan tan tan 11tan 1tan C B C B C C C B C B C B C B C ++++=+==++++++++.因为()222tan tan tan tan 2tan tan 42tan tan B C B C B C B C +=+-=-，所以22cos cos B C +=2262tan tan tan tan 2tan tan 5B CB C B C --+，设3tan tan B C m -=，则()()2222cos cos 3235m B C m m +=---+2228484m m m m m==-++-，因为2tan tan tan tan 12B C B C +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当π4A B ==时等号成立，所以[)2,3m ∈，8m m ⎡⎤+∈⎣⎦，221cos cos 1,2B C ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故选B .7．答案：B解析：设AC b =，BC a =，AB c =，由2225AC BC AB +=，则2225b a c +=，tan tan cos cos tan tan tan sin sin C C A B C A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin sin()cos sin sin C A B C A B +=⋅2sin sin sin cos C A B C=22222c a b cab ab=+-⨯12=，故选：B.8．答案：D解析：23cos()cos cos 3cos cos 3sin sin cos cos tan tan 3αβαβαβαβαβαβ+=⇒-=⇒=.于是tan tan tan()3(tan tan )621tan tan αβαβαβαβ++==+≥-.选D.9．答案：BC解析：对于A ，令()0f x =，则π2k x =，k ∈Z ，又π02k g ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 与()g x 的最大值都为1，故B 正确；对于C ，()f x 与()g x 的最小正周期都为π，故C 正确；对于D ，()f x 图象的对称轴方程为π2π2x k =+，k ∈Z ，即ππ42k x =+，k ∈Z ，()g x 图象的对称轴方程为ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，即3ππ82k x =+，k ∈Z ，故()f x 与()g x 的图象的对称轴不相同，故D 错误.故选BC.10．答案：ACD解析：令()()3sin 2f x x ωϕ=+=得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，k ∈Z ，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈Z ，所以4π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，所以()44sin 42sin 4sin 4333f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++π=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，991sin 8232f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，k ∈Z ，所以ππ244k θ=+，k ∈Z ，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．答案：223-解析：由题知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==--⋅，即sin())αβαβ+=-+，又22sin ()cos ()1αβαβ+++=，可得22sin()3αβ+=±.由π2π2π2k k α<<+，k ∈Z ，3π2ππ2π2m m β+<<+，m ∈Z ，得2()ππ2()π2πk m k m αβ++<+<++，k m +∈Z .又tan()0αβ+<，所以αβ+是第四象限角，故22sin()3αβ+=-.12．答案：3解析：在ABC △中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以226(6c b -=-⨯-，所以()()62c b c b b -+=+，因为4c b +=，所以4()62c b b -=+，所以466c b -=解得1b =，3c =，由cos 66C =-，可得30sin 6C =，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin c aC A=，所以30sin 6sin 33a CA c===.故答案为：53.13．答案：23解析：ππππ()sin coscos sin cos sin 3333f x x x x x x ωωωωω=+++π2sin 4sin 3x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象的一条对称轴为直线π4x =，所以ππππ()432k k ω+=+∈Z ，解得24()3k k ω=+∈Z ．又因为0||1ω<<，所以23ω=．故答案为：23.14．答案：（1）π3B =（2）c =解析：（1）由余弦定理得2222cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，π4C ∴=.2sin 2B C ==，1cos 2B ∴=，又0πB <<，π3B ∴=.（2）由（1）得5ππ12A B C =--=，由正弦定理sin sin a cA C =22=，132a c +∴=.ABC ∴△的面积211sin 3242S ac B c +==⨯=+，得c =15．答案：（1）π6A =（2）2+解析：（1）解法一：由sin 2A A =，得13sin cos 122A A +=，所以πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以ππ32A +=，故π6A =.解法二：由sin 2A A =2sin A A =-，两边同时平方，得223cos 44sin sin A A A =-+，则()2231sin 44sin sin A A A -=-+，整理，得214sin 4sin 0A A -+=，所以2(12sin )0A -=，则1sin 2A =.因为0πA <<，所以π6A =或5π6A =.当π6A =时，sin 2A A +=成立，符合条件；当5π6A =时，sin 2A A +=不成立，不符合条件.故π6A =.解法三：由sin 2A A =，得sin 2A A =，两边同时平方，得22sin 43cos A A A =-+，则221cos 43cos A A A -=-+，整理，得234cos 0A A -+=，所以22cos )0A -=，则3cos 2A =.因为0πA <<，所以π6A =.（2sin sin 2C c B =sin 2sin cos C c B B =，2cos cb B =，所以cos 2B =，因为0πB <<，所以π4B =.7ππ()12C A B =-+=，所以7πππππππsin sinsin sin cos cos sin 12343434C ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭32126222224+=⨯+⨯=.解法一：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得π2sinsin 4πsin sin 6a Bb A ===7π2sin sin 12πsin sin 6a C c A ===所以ABC △的周长为2a b c ++=+解法二：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得24πsin sin sin sin sin 6a abc A A B C ++===++，所以14(sin sin sin )42224a b c A B C ⎛⎫++=++=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以ABC △的周长为2++。

2020-2021深圳市新华中学高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)

2020-2021深圳市新华中学高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．82．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．44．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．12-C ．32D ．3 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π 7．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（）A ．5B ．6C ．35D ．41 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+ 9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 10．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13 B ．12 C ．16 D ．112．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．14．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．15．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．18．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．23．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．24．如图，在ABC V 中AC BC ⊥且点O 为AB 的中点，矩形ABEF 所在的平面与平面ABC 互相垂直.（1）设EC 的中点为M ，求证：//OM 平面ACF ；（2）求证：AC ⊥平面CBE25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 2．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．4．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ．点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 5．D解析：D【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6．C解析：C【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．7．A解析：A【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积10．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确；对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.11．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．12．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题13．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的解析：33【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,2a a AB AC BC =====132232ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以233h =，因为球心到平面ABC 的距离为3. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力14．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.15．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角解析：5 【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离.【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得5BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 17．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法18．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值.【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ，半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V . 详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r h V V r h r h ππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==. 三、解答题21．（1）见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又ACE ∆可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明//BC 平面SAE ；（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.（1）证明：因为3AB =，1BC =，090ABC ∠=，所以2AC =，060BCA ∠=，在ACD ∆中，23AD =，2AC =，060ACD ∠=，由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE == 又060ACD ∠=，所以ACE ∆为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ，所以//BC 平面SAE .（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，()3,0,0B ，()3,1,0C ，()3,3,0D -.所以)3,0,2SB =-u u v ，()3,1,2SC =-u u u v ，()3,3,2SD =--u u u v . 设(),,n x y z =v 为平面SBC 的法向量，则·0·0n SB n SC ⎧=⎨=⎩u u v v u u u v v ，即320320x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 设1x =，则0y =，32z =，即平面SBC 的一个法向量为31,0,2n ⎛= ⎝⎭v ，所以·2321cos ,77164n SD n SD n SD -===-⨯u u u v v u u u v v u u u v v 所以直线SD 与平面SBC 21.不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题.22．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.23．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程24．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN ，可知四边形ANMO 为平行四边形，从而可知//OM AN ，由线面平行的判定定理可证//OM 平面ACF .（2）由BE AB ⊥以及平面ABEF ⊥平面ABC ，可得BE ⊥平面ABC ，从而可证BE AC ⊥，结合AC BC ⊥，即能证明AC ⊥平面CBE .【详解】证明：（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN .Q M 为CE 中点，//MN EF ∴且12MN EF =. 又在矩形ABEF 中，//AB EF 且AB EF =，//MN AB ∴且12MN AB =. O Q 为AB 中点，//MN OA ∴且MN OA =.∴四边形ANMO 为平行四边形,∴//OM AN ，且OM ⊄平面ACF ，AN ⊂平面ACF ，//OM Q 平面ACF .（2）由平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF I 平面ABC AB =，BE ⊂平面ABEF Q 矩形ABEF 中，BE AB ⊥，∴BE ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴BE AC ⊥ 又AC BC ⊥且BC BE B =I ，,BC BE ⊂平面CBE ，AC ∴⊥平面CBE .【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了面面垂直的性质.证明线线平行时，常结合三角形的中位线、平行四边形的对边、线面平行的性质.证明线线垂直时，常结合勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直、线面垂直、面面垂直的性质.25．（1）见解析（2）23 【解析】【分析】（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．【详解】解：（1）证明：连接BF ，∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，，∴四边形1BMD F 是平行四边形，∴1//D M BF ，又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ，∴1//MD 平面BEFD ．（2）解：连接ED EM DM ，，，则112122323E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=，又22221111122253BD AB BE BB B E DE D C C E ===+==+=，，，∴22210cos 2BD BE DE DBE BD BE +-∠==⋅，∴310sin DBE ∠=． ∴131022532BDE S =⨯⨯⨯=V ，设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12333M BDE V d -=⨯⨯=， ∴23d =．即M 到平面BEFD 的距离为23．【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】⊥（1）要想证明线线垂直，可以考虑线面垂直.已知底面ABCD是菱形，显然有BD AC⊥，这样就可以根据线面垂直的判定定理，，已知PA⊥平面ABCD，可以得到PA BD证明出⊥;BD⊥平面APC，进而可以证明出BD PCBC l.（2）可以先证明出线面平行，然后利用线面平行的性质定理证明出//【详解】（1）证明：连接AC，交BD于点O．⊥∵四边形ABCD为菱形，所以BD AC⊥又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD,∴PA BD⋂=, PA⊂平面PAC, AC⊂平面PAC又∵PA AC A∴BD⊥平面APC，又∵PC⊂平面APC⊥∴ BD PCBC AD（2）∵四边形ABCD为菱形，∴//∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD．BC平面PAD.∴//=.又∵BC⊂平面PBC，平面PBC⋂平面PAD lBC l．∴//【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及性质定理.关键是考查了转化思想.。