判断多元函数条件极值的几种方法_侯亚红

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函数的极值与最值的判定

函数的极值与最值的判定在数学中，函数的极值和最值是研究函数性质时非常重要的概念。

判定一个函数的极值和最值可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。

本文将介绍如何确定函数的极值和最值，并给出相应的判定步骤和示例。

一、函数的极值函数的极值指的是函数在某一特定点上取得的最大值或最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

要判定函数的极值，我们需要依据下面的步骤进行操作：1. 求取函数的导函数。

导函数可以用来描述函数的变化趋势，它表示函数在某一点上的斜率。

2. 求取导函数的零点。

导函数的零点对应着函数的极值点，因为函数在极值点处的导数为零。

3. 分析导函数的零点的符号变化。

若导函数的零点从正变为负，那么函数在该点上取得极大值；若导函数的零点从负变为正，那么函数在该点上取得极小值。

4. 验证极值点。

通过计算函数在极值点处的取值，确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指在特定的定义域范围内，函数所能取得的最大值和最小值。

要确定函数的最值，我们需要按照以下步骤进行：1. 求取函数的定义域。

定义域是函数能够取值的范围。

2. 分析函数的变化趋势。

通过观察函数的图像、导函数的符号、一阶导数和二阶导数的正负性等信息，推测函数可能存在的最值点。

3. 确定最值点。

通过计算函数在最值点处的取值，确定最值。

三、示例分析现在我们来看一个具体的示例，以帮助更好地理解函数的极值和最值的判定过程。

假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5。

我们将按照上述步骤来判定函数的极值和最值。

1. 求取导函数。

导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

2. 求取导函数的零点。

令f'(x) = 0，解得x = -1, 3。

3. 分析导函数的符号变化。

当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。

大学数学多元函数的极值与最值

大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。

在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。

对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。

二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。

该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。

2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。

其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。

3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。

该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。

三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。

以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。

2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。

3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。

通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。

四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。

多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。

因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。

多元函数极值和条件极值的一般判定方法

2006年4月皖西学院学报Apr.,2006
第22卷第2期Journal of West Anhui University Vol.22 NO.2
多元函数极值和条件极值的一般判定方法*
李安东
(安徽理工大学计算机系,安徽淮南232000)
摘要:本文较为完整地探讨了多元函数极值和条件极值的一般判定方法和求法。通过研究多元微分与一元微分之间的关
向的n阶方向导数,g(n)(t)不妨称为z = f(x,y)沿L方向且过P0点的n阶方向导函数。
30
*收稿日期:2006-01-24
作者简介:李安东(1958-),男,安徽理工大学计算机系04级硕士研究生,高级程序员。研究方向:计算机软件工程。按上述讨论,就可以把一元函数中的很多方法和结论,应用到多元函数中来(当然也包括极值问题),从而使问题更加直观和
“最值”的方法来推测其极值的类型(极大、极小和是否存在)。本文对如何解决此类问题进行初步的分析和探讨。
1 多元微分与一元微分的关系
首先探讨一下多元函数微分与一元函数微分之间的关系,以下以二元函数为例进行分析。
众所周知,对于二元函数z = f(x,y),(x,y)∈D在点P0(x0,y0)处的微分定义为:
一个二次型,故当其正定时,P0是f的极小点。
同理当2f(x0,y0)k2负定时,P0为f的极大点。
当该二次型不定时,显然P0不是f的极值点。
当2f(x0,y0)k2半正定或半负定时,情况比较复杂。这时要针对使2f(x0,y0)k2=0的每一组k1, k2值,分别考察
3f(x0,y0)
下面着重讨论对于极值点的判定问题,可采用以下二种方法之一。
2.1 正定、负定判定法

简述多元函数条件极值的求法

2021.16科学技术创新作者简介:辛小青(1980-),女,籍贯:内蒙古呼和浩特,理学硕士,职称:讲师,主要研究方向:图论、数学教育。

简述多元函数条件极值的求法辛小青(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030)在实际生活中,我们会遇到附加条件的多元函数的最值问题,即函数的自变量除了要满足在定义域内的条件还需满足相应的某一条件,例如:容积一定的长方体箱子材料最省的问题,设长方体的长、宽、高分别为x ,y ,h ,容积V =abh 一定,确定长方体的长、宽、高,使得在体积V =abh 一定的情况下表面积S=2xy+2xh+2yh 材料最省,这种另加条件的极值就叫做条件极值。

下面给出条件极值的两种基本求法:方法(一):是利用在数学分析中学到的知识想办法将条件极值转化为无条件极值进行求解,即先由条件φ(x ,y )=0求出y=ψ(x ),然后将其带入到z =f (x ,y )中得到z =f [x ,ψ(x )],再去求无条件极值。

方法(二):是利用拉格朗日乘数法求条件极值的问题,即把条件极值问题,归结为对于拉格朗日函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y )求无条件极值的问题(拉格朗日乘数法求极值在下文中会进行详细论述)。

特别注意:由于拉格朗日乘数法是条件极值存在的必要条件,因此我们求到的点是可能存在极值的点,然后我们要继续依据定义或实际意义来判断所求得的点是不是条件极值点。

1代入消元法我们可以用一个量替换另一个量来达到降元的效果,这种替换变量的方法在数学领域内称之为代入消元法,例如上面提出的问题就可以用消元法来解答。

代入消元法能够实现降元的目的,而且我们能够把条件极值变成求解无条件极值,这样相对来说就能够让解题更为顺畅和简便。

不过这种办法也是有局限性的,我们应该看到这种方法更合适那些简单的约束函数,而且要求能够进行替代,但很多时候是不能够替代的。

例1求函数f (x ,y ,z )=xyz 在x-y+z =0条件下的一切驻点和驻点处的函数值,如果有极值,然后继续判断是哪种极值。

条件极值问题的讨论

摘要条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用.本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用.关键词：条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法AbstractConditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions.In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induction and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean Value Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary quadratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale plan and other practical problems through examples.Key words:Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (4)第1章基础知识 (5)1.1 隐函数的概念 (5)1.2隐函数定理 (5)1.3极值 (6)1.3.1 无条件极值 (6)1.3.2 条件极值 (7)第2章条件极值的解法 (8)2.1拉格朗日乘数法 (8)2.2 不等式法 (14)2.2.1 均值不等式 (14)2.2.2 柯西不等式 (15)2.3 梯度法 (16)2.4 三角函数法 (18)2.5 对称函数法 (19)2.6 数形结合法 (20)2.7 比较法 (21)第3章条件极值的应用 (23)3.1 在物理学中的应用 (23)3.2 在不等式证明中的应用 (24)3.3 在渠道设计中的应用 (24)3.4 在生产销售中的应用 (25)3.4.1 生产成本最小化方案 (26)3.4.2 利润最大化方案 (26)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)绪论条件极值问题是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究. 拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一种重要方法，对拉格朗日乘数法的研究可以为相关理论应用到集值分析、优化等领域奠定理论基础. 另一方面，对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.国内外，有许多学者在研究条件极值，取得了丰硕的成果. 在国内，2000年，王延源[1]阐述了解决条件极值问题的几种有效方法. 2003年，查中伟[2]介绍了在生产中利用条件极值理论的经济意义. 2009年，侯亚红[3]通过例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法. 2010年，赵德勤、殷明[4]讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式. 2011年，孙海元、孙永妃[5]结合具体实例介绍了几种特殊的求解条件极值问题的方法，并给出了各方法的适用范围.在国外，2000年，E.M.Safro[6]介绍了条件极值理论在最优化方面的相关应用. 2007年，Karamzin与D.Yu[7]讨论了条件极值的必要条件在优化领域中的应用. 2008年，Tikhomirov[8]简单地叙述了解决条件极值问题的几种常见方法. 2011年，V.A.Samgin[9]阐述了如何求解在一定条件下的极值问题.本文主要研究条件极值及其应用. 第一章对条件极值的理论作简单的介绍，为下文奠定理论基础. 第二章重点对条件极值的解法进行探讨，本部分将结合具体实例，采用由易到难，归纳总结的方法. 针对不同问题的特点给出求不同类型条件极值问题的常用方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并通过对方法的比较研究，总结各方法的优缺点与适用范围. 第三章主要阐述如何应用函数的条件极值理论解决一些实际问题，分别介绍条件极值在数学、物理学等学科中的应用，及在优化方面的实际应用.第1章基础知识1.1 隐函数的概念隐函数是表示函数f 变量间对应关系的一种方法，它与我们平时接触的函数有所区别，也就是对应关系不明显地隐含在方程中. 由于隐函数在条件极值问题中占有非常重要的地位，因此，这一节将简略地介绍隐函数的相关概念.定义 1.1[10] 设有两个非空数集A 与B . 若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写成)(x f y =）是二元方程0),(=y x F 确定的隐函数.例如，二元方程448),(+-=y x y x F 在R 上确定一个隐函数.类似地将二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数推广到含1+n 个变量y x x x n ,,,,21 的方程0),,,,(21=y x x x F n中.若存在点),,,(002010n x x x Q =的邻域N ，N x x x Q n ∈∀),,,(21 ，通过上面的方程存在唯一一个y 与之对应，假设),,,(21n x x x f y =，则有0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F就可称n 元函数),,,(21n x x x f y =是由方程0),,,,(21=y x x x F n 确定的隐函数.1.2 隐函数定理在上一节中介绍了隐函数的概念，那么给定一个方程0),(=y x F ，满足什么条件时，此方程才存在隐函数呢？在本节我们将继续讨论隐函数的存在性.定理 1.1[11] 若二元函数),(y x F z =在以点),(00y x 为心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1) ),(y x F x 与),(y x F y 在D 连续(从而),(y x F 在D 连续)，2) 0),(00=y x F ，3) 0),(00≠y x F y ，则 ⅰ) 0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =(隐函数)，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且ββ+<<-00)(y x f yⅱ) )(x f y =在区间∆连续.ⅲ) )(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()(y x F y x F x f y x -=' 其中，我们用),(y x F x 、),(y x F y 表示),(y x F 关于x 、y 的偏导数，也可简记为x F 、y F .类似地，我们可以推出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的含有1+n 个自变量的隐函数.定理 1.2[11] 若函数),,,,(21y x x x F z n =在以点),,,,(000201y x x x P n 为心的矩形区域G 满足下列条件：ⅰ) 1x F ,2x F ,…,n x F ,y F 在G 连续(从而F 在G 连续)，ⅱ) 0),,,,(000201=y x x x F n ， ⅲ) 0),,,,(000201≠y x x x F n y ，则存在点),,,(00201n x x x Q 的邻域U ，在U 内存在唯一一个有连续偏导数的n 元(隐)函数),,,(21n x x x f y =，使0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F),,,(002010n x x x f y =且yx k F F x y k -=∂∂ ),,2,1(n k =1.3 极值极值的概念源自于日常生活中的最值问题，可根据自变量是否受到其它条件的限制，把条件极值问题分为无条件极值与条件极值两类. 本节我们将分别介绍无条件极值与条件极值的基础知识.1.3.1 无条件极值定义 1.2[12] 设n 元数值函数),,,()(21n x x x f x f =在点),,,(21n a a a a =邻域有定义. 如果存在0>η，使得)()(a f x f ≥,))()((a f x f ≤, ),(ηa U x ∈∀那么我们就说函数f 在点a 取得极小值(极大值). 极小值和极大值统称极值.1.3.2 条件极值然而在计算函数的极值时，所求函数的自变量往往要受到一些条件的限制. 如求曲面0),,(=z y x F 与原点的距离时，就可转化为求函数222),,(z y x z y x f ++=的最小值，而其中的自变量x 、y 、z 并不是独立存在的，要满足0),,(=z y x F 这一条件，这种问题称为条件极值问题.定义1.3[13] 实值函数),,,()(21n x x x f x f y ==在满足以下函数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(...),,,(),,,(21212211n m n n x x x x x x x x x ϕϕϕ n m ≤ (1-1) 的极值称为条件极值. 式(1-1)称为函数f 的约束条件，函数f 常称为约束条件下极值问题的目标函数.第2章条件极值的解法条件极值的求解方法有很多种，本章采用结合具体例子的方法，归纳总结出几种求解条件极值的方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并比较得出各方法的难易程度、适用条件以及注意事项.2.1 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题时常用的方法. 我们先从最简形式的二元函数说起，即求目标函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下取得极值，如果目标函数),(y x f g =在),(00y x 取到极值，那么就应该满足0),(00=y x ϕ. 若),(y x f 、),(y x ϕ在),(00y x 的某领域内都有一阶连续偏导数，且0),(≠y x y ϕ，根据满足隐函数存在的条件,可设由方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数是)(x q y =，则点0x 成为函数))(,(x q x f g =的极限点，因此有0)(),(),(000000='+==x q y x f y x f dxdgy x x x 根据隐函数的求导公式可得 ),(),()(00000y x y x x q y x ϕϕ-=' 则有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ 即0=-x y y x f f ϕϕ，故 0),(),(=-⋅x y y x f f ϕϕ由此可见，向量),(y x f f 与向量),(x y ϕϕ-正交，而向量),(y x ϕϕ与向量),(x y ϕϕ-也正交，可得向量),(y x f f 与向量),(y x ϕϕ相性相关，故可知存在实数λ，使得0),(),(=+y x y x f f ϕϕλ即⎩⎨⎧=+=+00y y x x f f λϕλϕ由以上的讨论我们可以得出，函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下的条件极值点是以下方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.由上述讨论产生一个重要的思想：通过引入辅助函数的方法，把条件极值的相关问题转化为关于所构建函数的一般极值问题.对目标函数),,,(21n x x x f y =和约束函数).,,2,1)(,,,(21n m m k x x x n k <= ϕ，我们可以引入辅助函数∑=+=mk n k k n m n x x x x x x f x x x G 121212121),,,(),,,(),,,,,,,( ϕλλλλ上述函数称为拉格朗日函数，m λλλ,,,21 称为拉格朗日乘数.定理 2.1[14] 设),,,(21n x x x f y =，),,,(21n k x x x ϕ).,,2,1(n m m k <= ，在以点),,,(00201n x x x P 为内点的区域D 内连续可微，P 是满足条件)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ且使函数),,,(21n x x x f 取得极值的点，若矩阵p x x x x x x x x x n m m mn n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ212221212111 的秩为m ，则存在m 个常数01λ，02λ，…，0m λ，可使),,,,,,,(0020100201n n x x x λλλ 是拉格朗日函数G 的稳定点，则),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 为以下m n +个方程组的解⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x fx x x f ϕϕϕλϕλϕλϕλ (2-1) 以上求解条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，用它求解条件极值问题的一般步骤是：1) 根据上述拉格朗日乘数法，构建辅助函数m m f G ϕλϕλϕλ++++= 22112) 求辅助函数的稳定点，即方程(2-1)的解. 设解是),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ，在求解的过程中可以消去k λ，从而求得满足方程组的稳定点),,,(00201n x x x . 3) 根据问题的实际意义，如果条件极值存在，且方程组只有唯一的一个稳定点，则该点一定是函数的极值点.例2.1抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离.解本问题实际为求函数222),,(z y x z y x f ++=在约束条件z y x z y x -+=22),,(ϕ，1),,(-++=z y x z y x γ下的最值问题.根据拉格朗日乘数法，构建函数)()1(2221222z y x z y x z y x G -++-+++++=λλ其中1λ、2λ为参数，令函数G 的每个一阶导数均为0. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-++=∂∂=-+=∂∂=++=∂∂=++=∂∂001020220222221212121z y x G z y x G z z G y y yG x x x G λλλλλλλλ 前两个方程作差，可求得0)1)((2=+-λy x ，那么y x =或12-=λ. 如果12-=λ，则可知01=λ，21-=z ，不满足方程组. 所以y x =，把y x =代入方程组中，得 ⎩⎨⎧=+=1222z x x z 解出两个稳定点为)32,231,231(+----和)32,231,231(-+-+-. 根据本题的实际意义可知，必存在最短距离与最长距离，所以上述两点即为所求的极值点，从而求得距离函数222z y x d ++=的最小值359-和最大值359+.在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取得条件极值的必要条件. 上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点. 那么在求解没有赋予实际意义的函数的条件极值时，应该如何来判断稳定点的极值性，是一个需要解决的问题. 下面就来给出证明条件极值的一个充分条件，方便我们快速、有效地处理在做题过程中所遇到的各种问题.定理2.2[15] 设)(x f 与),,,(21n k x x x ϕ，)(,,2,1n m m k <= 都在),,,(00201n x x x 的某邻域)(0x U 内有二阶连续偏导数，记)),,,()(()(),(121∑==+=mk m k k x x f x G λλλλϕλλ ，如果ⅰ) ),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 是方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x f x x x fϕϕϕλϕλϕλϕλ的解；ⅱ) 函数)()()(10x x f x k mk k ϕλ∑=+=Φ关于n x x x ,,,21 在0x 处的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂=n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x H )()()(.........)()()()()()()(0220210220222021202102210211020其中j i ji ij x x x x x ∂∂Φ∂=Φ=Φ)()()(0200，则有：(1) 当)(0x H 正定时，)(0x f 为条件极小值； (2) 当)(0x H 负定时，)(0x f 为条件极大值； (3) 当)(0x H 不定时，)(0x f 非极值.证明 )(),...,,()(002021010x U g x g x g x g x n n ∈+++=+∀)),...,,((21n g g g g =，根据多元函数的泰勒公式可知∑∑∑===+Φ+Φ+Φ=+Φnj n i nj j i ij j j g g g x g x x g x 1110000)(!21)()()(θ)10(<<θ (2-2)由ⅰ)可知∑==mk kk x 1000)(ϕλ，0),()(000==Φλx G x j j因此可以得到)()()()(001000x f x x f x k m k k =+=Φ∑=ϕλ，0)(01=Φ∑=j nj j g x然后，把(2-2)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x )(!21)()(01100θ+Φ+=+Φ∑∑== (2-3)如果g x +0满足方程0)(=x k ϕ，根据ⅱ)可知)()()()(001000g x f g x g x f g x mk k k +=+++=+Φ∑=ϕλ把(2-3)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x f )(!21)()(01100θ+Φ+=+∑∑== (2-4)因为函数)(x f 、)(x k ϕ在)(0x U 均存在二阶连续偏导数，所以函数j i ni nj ij g g x x Q )()(11∑∑==Φ=在)(0x U 内连续.(1) 当)(0x H 正定时，0≠∀g ，有0)(0>x Q 恒成立，根据连续函数的性质，知0x ∃的某邻域)()(001x U x U ⊆，使得在满足)(01x U x ∈且0≠g 的条件下，有0)(>x Q 恒成立. 对于满足约束方程的任意一点)0)(()(010≠∈+g x U g x ，根据(2-4)可得0)(!21)()(000>+=-+g x Q x f g x f θ 所以)()(00x f g x f >+. 根据条件极值的定义，得出)(0x f 为)(x f 的极小值.(2) 当)(0x H 负定时，同理可证.(3) 当)(0x H 不定时，j i ni nj ij g g x x Q )()(0110∑∑==Φ=即为不定，所以在0x 的某邻域内)(0g x Q θ+内的符号不能确定，即)()(00x f g x f -+的符号不能确定，因此)(0x f 不是极值. 证毕.根据条件极值的必要条件与充分条件，可总结下列求解条件极值的步骤：1) 求拉格朗日函数的稳定点),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ；2) 构建函数∑=+=Φmk k k x x f x 10)()()(ϕλ，求出)(x G 在0x 处的Hessian 矩阵)(0x H ；3) 利用定理2.2判断函数的极值，当)(0x H 为半定时，采用其它方法.例 2.2 求函数z y x z y x u 22),,(-+=在约束条件36),,(222-++=z y x z y x ϕ下的极值.解构建拉格朗日函数)36(22),,,(222-+++-+=z y x z y x z y x G λλ令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=+=∂∂036022021022222z y x G z zGy y Gx x Gλλλλ解得两个稳定点)41,4,2,4(1--=P ，)41,4,2,4(2--=P ，),,(λy x G 的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ20020002),,(y x H 因为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21000210021)(1p H 是负定的，所以),4,2,4(1-=P 为条件极大值点，且最大值为18；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=210002100021)(2p H 是正定的，所以)4,2,4(2--=P 为条件极小值点，且最小值为18-；2.2 不等式法不等式的应用非常广泛，灵活运用不等式的相关知识，可以解决一些比较困难的问题. 下面就均值不等式、柯西不等式来说明它在条件极值问题中的应用.2.2.1 均值不等式定理 2.3[16] 设n a a a ,,,21 是n 个正数，我们把na a a n+++ 21和n n a a a 21分别叫做这n 个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为)(a A n ，)(a G n . 对于上述n 个正数n a a a ,,,21 ，有nn n a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时，等号成立.这个不等式称为均值不等式.证明证明均值不等式的方法有很多种，下面我们以逐次调整法来加以说明.n a a a ,,,21 中一定存在最小值与最大值，那么设1a 、2a 分别为n 个正数中的最小值与最大值. 易得21221)2(a a a a ≥+，用221a a +，221a a +取代1a ，2a . 可以发现)(a A n 不变，但)(a G n 增大，也就是∑==++++++ni i n a n a a a a a a n 1321211)22(1 nn nn a a a a a a a a a 321212122+⋅+≤ 对于每个n ，最多进行1-n 次有限次的代换. 即n n n n n n n n n n A A A A a a a a a a a a G =≤≤+≤= ...)2()(322121 故)()(a A a G n n ≤，当且仅当n a a a === 21时，等号成立. 证毕.在利用均值不等式求解函数的条件极值时，有时需要把函数进行变形，然后再利用“和定”求积的极大值或“积定”求和的极小值来求解. 也就是要满足条件“一正二定三相等”.例2.3 已知71111=++z y x )0,0,0(>>>z y x ，求z y x z y x f ++=),,(的极小值. 解因为0,0,0>>>z y x ，所以71)(7),,(⋅++=++=z y x z y x z y x f)111()(7z y x z y x ++⋅++=)3(7xz z x y z z y x y y x ++++++= 63)2223(7=+++≥当且仅当21===z y x ，等号成立，所以z y x z y x f ++=),,(的最小值为63.2.2.2 柯西不等式数学家柯西在研究“流数”问题时，得到了非常重要的柯西不等式，它对一些函数的最值、极值问题有更简便的解决方法.定理2.4[17] 如果n a a a ,,,21 ，n b b b ,,,21 为两组实数，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++当且仅当k b a b a b a nn ==== 2211(常数)时，等号成立，这个不等式称为柯西不等式.可以简述为“方和积不小于积和方”.证明采用数学归纳法证明当1=n 时，结论显然成立. 当2=n 时，))((2)(22212221222221222221212122222211212122211b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++=+++≤++=+当且仅当1221b a b a =时等号成立.假设当k n =时，等式成立，即∑∑∑===≤ki ki ki iii i bab a 111222)(，当且仅当i j j i b a b a =等号成立，这里k j i ,,2,1, =.因此，当1+=k n 时，))((21122112112112+=+=+=+=++=∑∑∑∑k ki i k ki i k i ik i ib b aa ba∑∑∑∑=+++=+==+++=ki k k i k ki ik ki iki ib a baabba1212122112211212212112121112122++==++==++≥∑∑∑∑k k ki i ki i k k ki iki lb a ba b a ba211212111121)(2)(∑∑∑+=++=++==++≥k i i i k k ki i i k k ki i i b a ba b a b a b a当且仅当jji i b a b a =，k j i ,,2,1, =时，等号成立. 即定理2.4成立. 证毕.例2.4 已知9)1()2()4(222=-+-++z y x ，求z y x z y x f 22),,(-+=的最值. 解将z y x z y x f 22),,(-+=变形为2)1(2)2(2)4(),,(----++=z y x z y x f设)1(2)2(2)4(),,(---++=z y x z y x q根据上述柯西不等式和已知条件，有81])1()2()4][()2(21[)]1(2)2(2)4[(2222222=-+-++-++≤---++z y x z y x即9)1(2)2(2)4(9≤---++≤-z y x当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-+-++=--=-=+9)1()2()4(212214222z y x k z y x 时，等号成立. 解当1,4,3,1-==-==z y x k 时，),,(z y x q 取得最大值9；当3,0,5,1==-=-=z y x k 时，),,(z y x q 取得最小值9-.所以),,(z y x f 的最大值为7，最小值为11-.2.3 梯度法定义2.1[18] 设2R D ⊂为开集，D y x ⊂),(00为定点. 如果函数),(y x f z =在),(00y x 点可偏导，则称向量)),(),,((0000y x f y x f y x 为f 在点),(00y x 的梯度，记为j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=采用梯度法求解目标函数),,,(21n x x x f y =在约束条件0),,,(21=n k x x x ϕ限制下的条件极值，其中n m m k ≤=,,,2,1 .首先，应求出目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量),,,(21nx f x f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 假设m m ϕλϕλϕλϕ+++= 2111是m 个约束条件相交部分的方程，这样就可以把多个条件转化为一个条件. 曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的法向量是),,,(21nx x x n ∂∂∂∂∂∂=→ϕϕϕ 其中im m i i i x x x x ∂∂++∂∂+∂∂=∂∂ϕλϕλϕλϕ2211再设曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的切平面的切向量是),,,(21n p p p p =→则02211=∂∂++∂∂+∂∂=⋅→→nn x p x p x p n p ϕϕϕ 然后令0132====-n p p p ，得n m mnmm nn p x x x x x x p 112211122111∂∂++∂∂+∂∂∂∂++∂∂+∂∂-=ϕλϕλϕλϕλϕλϕλ 从而得到一个向量),,0,(1n n n p x p x ∂∂∂∂-ϕϕ 消去n p ，于是得到),,0,(1x x n ∂∂∂∂-ϕϕ 类似地，可得到另外2-n 个向量，),0,,0,,0(2x x n ∂∂∂∂-ϕϕ ，…，),,0,,0,0(1-∂∂∂∂-n n x x ϕϕ 最后，把这1-n 个向量与),,,(21nx fx f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 作内积，就可得到如下1-n 个方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂--n n nn n n nn x x x f x f x x x f x f xx x f x f ////////////112211ϕϕϕϕϕϕ 再将上述方程与m 个约束条件联立，通过解该方程组，就可以求出稳定点.例2.5 求平面0=++c b a 与椭球面142222=++=c b a ϕ相交的椭圆的面积. 解椭圆的面积是mn π，这里m 、n 是椭圆上的点与原点的最小与最大距离. 所以本题可转化为求222),,(c b a c b a f ++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++140222c b a c b a下的最小值与最大值.令c b a ++=1ϕ，142222-++=c b a ϕa a f 2=∂∂，b b f 2=∂∂，c c f 2=∂∂ 11=∂∂a ϕ，11=∂∂b ϕ，11=∂∂c ϕa a 22=∂∂ϕ，b b 22=∂∂ϕ，c c82=∂∂ϕ代入方程组可以得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=++⋅+⋅+=⋅+⋅+=01408222822222221212121c b a c b a cbc b cac a λλλλλλλλ 解方程组得)32,62,62(),,(111-=c b a ，)32,62,62(),,(222--=c b a )0,21,21(),,(333-=c b a ，)0,21,21(),,(444-=c b a容易得出f 在前两个点的值均为31，在后两个点的值均为1，因此可知31=m ，1=n . 所以求得的椭圆面积为3ππ=mn .2.4 三角函数法三角函数法，即是用三角函数或三角函数式代替原函数解析式中的变量，进而借助三角函数求出极值的一种方法.在作代换时，应从函数解析式中变量的允许值与解题的需要去考虑，选择最恰当的三角函数或三角函数式去替换.例2.6 已知实数x 、y 满足方程9922=+y x ，求函数y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值.解设t x cos 3=，t y sin =，其中t 为参数且π20≤≤t ，代入),(y x f 的表达式中，得t t t t t t t f sin 3cos 3sin 9cos sin 9cos 9)(22++++=即t t t t t t t f sin cos 9)sin (cos 3)sin (cos 9)(2-+++=因为]1)sin [(cos 29sin cos 92-+=t t t t所以有29)sin (cos 29)sin (cos 3)sin (cos 9)(22++-+++=t t t t t t t f即29)sin (cos 3)sin (cos 29)(2++++=t t t t t f 又由于2)4sin(2sin cos ≤+=+πt t t所以232272923)2(29)(2+=+⨯+⨯≤t f 即y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值为23227+.2.5 对称函数法定义2.2[19] n 元函数),,,(21n x x x f u =，若存在),(n j n i j i ≤≤≠，使),,,,,,(),,,,,,(11n i j n j i x x x x f x x x x f =则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量i x 与j x 的对称函数.定义 2.3[19] 若对任意的),(n j n i j i ≤≤≠，n 元函数),,,(21n x x x f u =都是关于自变量i x 与j x 的对称函数，则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量n x x x ,,,21 的对称函数(简称对称函数).在求解多元函数的条件极值时，只要所求的目标函数),,,(21n x x x f u =与其约束函数),,,(21n x x x ϕ都是对称函数，则可通过解方程组⎩⎨⎧====n n x x x x x x 21210),,,(ϕ 求出可能的极值点，从而求出极值.例2.7 求函数)(2yz xz xy f ++=在条件xyz =ϕ下的最小值.解很明显能够看出约束条件xyz =ϕ是对称函数，而目标函数)(2yz xz xy f ++=仅是关于x 、y 对称，令z g 2=，那么目标函数与约束条件分别为yg xg xy f ++=，xyg =ϕ2f 与ϕ2均是对称函数，则可解方程组⎩⎨⎧===g y x xygϕ2 得32ϕ===g y x223ϕ=z 即当x 、y 、z 分别为32ϕ、32ϕ、223ϕ时，函数f 取到最小值为32256ϕ.2.6 数形结合法数形结合法是借助于函数图像的性质解决实际问题的一种方法，因此，我们可以依据所求目标函数的几何意义，如点到直线的距离、圆的直径等性质来求得目标函数的极值.例2.8 求22y x +在922=++y xy x 下的最值. 解设n m x +=，n m y -=，则932222=+=++n m y xy x故13)3(2222=+n m 由于)(22222n m y x +=+所表示的是坐标原点到椭圆上点的距离平方的2倍，所以最小值为短轴长平图 2-1 转化图方的2倍6，最大值为长轴长平方的2倍18.m2.7 比较法在给出了几种求条件极值的方法后，能够选择最恰当的方法解决问题是关键，下面我们将依次用朗格朗日乘数法、均值不等式法、梯度法、三角函数法求解例 2.8，以说明这一问题.解法一拉格朗日乘数法设拉格朗日函数)9(),,(2222-++++=y xy x y x y x G λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=++=∂∂=++=∂∂090)2(20)2(222y xy x G x y y yG y x x x G λλλ 解得22y x =，当y x =时，3±==y x ，此时22y x +取到最小值6；当yx -=时，3=-=y x 或3==-y x ，此时22y x +取到最大值18.解法二均值不等式法(1) 当0>x ，0>y 时，有222y x xy +≤，当且仅当y x =时，等号成立. 所以有 9290222222-+++≤-++=y x y x y xy x 即9)(2322≥+y x ，所以622≥+y x ，当取到最小值6时，3==y x . (2) 当0>x ，0<y 时，设m y -=，此问题则可转化为求在条件922=+-m xm x 下22y x +的最值，因为222m x xm +≤，所以有 2222222222m x m m x x m xm x +=++-≥+- 所以18)(22222=+-=+m xm x m x ，即最大值是18，此时3=x ，3-=y .(3) 当0<x ，0<y 时，设m x -=，n y -=，问题转化为(1)进行求解.(4) 0<x ，0>y 时，问题转化为(2)进行求解.解法三梯度法令22y xy x ++=ϕ，22y x f +=x xf 2=∂∂，y y f 2=∂∂ y x x+=∂∂2ϕ，x y y +=∂∂2ϕ 代入方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=9)2()2(2222y xy x x y y x y x λλ解得22y x =，以下同拉格朗日乘数法.解法四三角函数法设t a x cos =，t a y sin =，则有9)2sin 211(222=+=++t a y xy x t a y x 2sin 2119222+==+ 所以当12sin =t 时，即3±==y x 时，22y x +取到最小值6；当12sin -=t 时，即3=-=y x ，3==-y x 时，22y x +取到最大值18.通过对该题的分析，我们发现采用拉格朗日乘数法、均值不等式法与梯度法解题时，其过程都比较复杂，而用三角函数法与数形结合法可以很快速的求出结果，所以说每一种方法都不是万能的，都有属于自己的适用条件.拉格朗日乘数法是求解条件极值的一种通用方法，同时也是众多方法中最常用的一种方法，特别是在遇到约束条件比较多的问题时，采用拉格朗日乘数法更为方便.除了拉格朗日乘数法与梯度法，其它几种为初等数学的方法，在运用的过程中技巧性比较强，同时也存在一定的局限性. 但是掌握好初等数学的几种方法，对于求解条件极值问题有时会更加方便，所以在求解条件极值问题时，要根据题目的特点选择最优的解决方法，从而达到快速解决问题的目的.第3章条件极值的应用条件极值在科学研究、工程设计、经济管理、工农业生产等领域都有广泛的应用，下面着重介绍条件极值在物理、不等式证明、渠道设计、生产销售方面的应用.3.1 在物理学中的应用条件极值问题在物理学中有很大的作用，以光的折射定律的证明为例.例 3.1 假设定点M 和N 在以平面分开的两种不同的光介质中，从M 点射出的一条光线通过折射到达N 点，光在两种介质中的传播速度为u 与v ，问怎样使传播的时间最短？解设M 点与平面的距离为m ，N 点与平面的距离为n ，如下图所示令l AB =，光线从M 射到O 点需要的时间是au m cos ，同理，从N 到O 点的时间是βcos v n ，且BO AO l +=，所以可以得到l n m =+βαtan tan ，可将问题转化为关于α，β的一个函数βαβαcos cos ),(v n u m g += 在约束条件l n m =+βαtan tan 下的最小值. 图 3-1 光的折射图构建拉格朗日函数)tan tan (cos cos ),,(l n m v n u m G -+++=βαλβαλβα，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0tan tan 0cos cos sin 0cos cos sin 2222l n m G n v n G m u m G βαλβλβββαλααα 解得vu βαλsin sin -=-= βαA O M B N所以光线入射角和折射角需要满足条件：vu =βαsin sin 时，光线的传播时间为最短. 此公式即为光的折射定律.3.2 在不等式证明中的应用对于不等式的证明，有时采用常规的方法，其证明过程很复杂，而且不容易推导出结果. 但在证明过程中，如果能利用条件极值的知识，找到适当的目标函数与约束条件，利用最优化的原理去证明不等式，则可使问题变得简单易证.例3.2 3216333=++c b a ，其中0>a ，0>b ，0>c ，证明：8222≤++c b a . 证明本题可转化为求函数222),,(c b a c b a g ++=在约束条件3216333=++c b a 下的最大值问题，可采用拉格朗日乘数法进行求解.首先，构造辅助函数：)3216(),,(333222-+++++=c b a c b a c b a G λ 令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂03216032032032333222c b a G c c c G b b b G a a a G λλλλ 解得唯一的稳定点38000===c b a ，因为222),,(c b a c b a g ++=在约束条件下有最大值，所以8)38(32222=≤++c b a ，因此不等式成立. 3.3 在渠道设计中的应用在渠道设计中，对水力最佳断面的研究是很重要的. 水力最佳断面为渠道过水断面面积、糙率、底坡确定时，通过流量最大的断面；或是渠道的底坡、流量、糙率确定时，过水断面面积最小的断面[19].例 3.3 如图所示，h 表示水的深度，a 表示底的宽度，b 表示边坡系数，A 表示湿周，S 表示过水断面的面积，G 表示流量，R 表示水力半径，i 表示糙率，d 表示底坡.分析明渠均匀流的公式为21322132)(d A S i S d R i S G ==，由上述公式可知，渠道的底坡d 、过水断面的面积S 、糙率i 确定时，在使过水断面的湿周A 为最小值时，渠道通过的流量G 为最大. 过水断面的面积h bh a S )(+=，梯形的断面湿周212b h a A ++=.解此问题即是求212b h a A ++=在条件h bh a S )(+=下取最小值时a 、h 、b 所要满足的条件.根据h bh a S )(+=得出，bh h S a -=，代入212b h a A ++=中，有212b h bh h S A ++-= 要保证A 取到最小值，则有图 3-2 最佳断面示意图012)(122222=++-+-=++--=b b hh bh a b b h S dh dA 整理可得宽深比为b b ha 2122-+= 同时有02322>=hS dh A d 因此渠道水力的最佳断面的宽深比即是满足断面最小湿周的条件，宽深比为b b ha 2122-+=3.4 在生产销售中的应用生产与销售是厂商常讨论的问题，销售价格的上涨，虽然能够增加单品上的利润，但同时可使消费者的购买欲望大大降低，造成销量减少，最终致使厂家的产量减少. 在生产过程中，单品的生产成本是随着产量的增加而降低的，所以，在生产销售中成本、销售量、售价是相互关联的，因此选择合理的销售方案对获得最大利润是至关重要的. 下面就利用条件极值理论设计生产销售中的最优方案.3.4.1 生产成本最小化方案例 3.4 设某地某家工厂一件商品的生产函数是21214K L P =，及相应地成本函数是K L K Q L Q D K L 82+=+=，若产量64=P 时，请设计使成本最低的投入组合以及最低成本是多少？解本题属于在使成本最低的情况下，如何投入两种生产要素的问题，即成本函数作为目标函数，生产函数作为约束条件的条件极值问题.首先，构造拉格朗日函数)464(82),,(2121K L K L K L G -++=λλ 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂=-=∂∂--0464028022212121212121K L G K L K G K L L G λλλ 解得32=L ，8=K ，因为所求的稳定点是唯一的，且根据本题的实际意义，可以得出此稳定点即为极值点.因此，当32=L ，8=K 时，可使成本最低，最低成本为12888322=⨯+⨯=D .3.4.2 利润最大化方案例 3.5 某家工厂想在两个不同的市场销售同种产品，已知两个市场对产品的需求可用以下两个函数表示11218P C -=，2212P C -=，并且生产该产品的成本函数可表示为52+=P D ，其中1P 与2P 表示产品在两个市场的需求量，1C 与2C 表示两种商品的价格，且销售总量为21P P P +=.(1) 如果企业实行销售价格有差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的售价与销量.(2) 如果实行销售价格无差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的统一售价与销量.并比较两种策略中哪个能使利润最大.解 (1) 根据题意，利润D P C P C G -+=2211整理得521016222121---+=P P P P G令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂021*******11P P G P P G 解得唯一的稳定点为)5,4(，又由于4212-=∂∂P G ，2222-=∂∂P G ，0212=∂∂∂P P G ，由此可知08)(2222122212<-=∂∂⋅∂∂-∂∂∂P G P G P P G ，且04212<-=∂∂P G ，所以)5,4(为极大值点，此时两种商品的价格101=C ，72=C ，最大利润52)5,4(=G .(2) 实行无差别价格策略，即21C C =，则有6221=-P P .于是构造拉格朗日函数)62(521016),,(2122212121--+---+==P P P P P P P P Q λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂=+-=∂∂062021002416212211P P Q P P Q P P Q λλλ 得51=P ，42=P ，2=λ，由于)5,4(是唯一的可能极值点，由问题的实际意义，最大值一定存在，)5,4(即为所求的最大值点，此时821==C C ，总利润达到最大，且利润最大值为49)4,5(=G .综上所述，该企业实行有差别价格策略利润最大.例3.6 某地一家电冰箱厂要根据下面的数据确定某种电冰箱的价格.(1) 根据对市场的调查，当地对这种电冰箱的年需求量是400万台；(2) 在去年该厂一共销售40万台，每台的售价是3000元；(3) 只生产一台电冰箱时的成本是3000元，但是在生产1万台以上时，成本降为每台1500元.解根据题意可建立如下函数：设这种电冰箱的总销量是x ，销售价格是a ，生产每台的成本是b ，那么利润可表示为x b a x a b g )(),,(-=依据市场的相关分析，销售量和销售价格存在如下关系ra Qe x -=，0>Q ，0>r其中Q 表示市场的最大需求量，r 价格系数，从公式中可以看出，销售量随着销售价格。

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。

多元函数的极值与最值的求法

解：因为
所以设目标函数为 (1)
限制条件为 (2)
(3)
由(1)(2)(3)知即求
在限制条件下的极值
因为
所以即 (4)
由(1)(2)(3)解得
由题意知最长距离为，最短距离为 .
1.3.2 在满足条件下的最值
基本过程（1）在满足条件下的可能极值点。
（2）求一元函数的最值。
例1.3.3求内接于椭球的体积最大的长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面.
To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multipliermethod to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum;(6)Using directional derivative to identify the extremumof multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum.
1.4通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值
1.4.1问题的提出

多元函数极值最值条件极值

因 x 0, y 0, z 0, 由(2)- (1) 得
(x y)(z 2) 0,
若 z 2 0 则由（1）可得 0或者y 0 矛盾。于是有 x y
同理，y z 于是 x y z.
2x x 2x x 2x x a2 0.
6x2 a2,
解得
x y z 6 a, 6
先构造函数（其中1, 2 均为常数） F ( x, y, z, t) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
求解方程组
Fx ( x, y, z, t) 0,
F
y
(
x,
y,
z
,
t
)
0,
Fz ( x, y, z, t ) 0, Ft ( x, y, z, t ) 0,
x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
( x, y, z, t) 0, ( x, y, z, t) 0.
解出 x, y, z, t 即得可能极值点的坐标.
例7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2xy 2 yz 2xz a2 0 下，求函数 V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.

多元函数的极值

多元函数的极值
多元函数在多元无穷大法则、常微分法则以及数学期望中扮演着重要的角色，它是一个复杂的、有很多特点的数学模型，其主要的作用是求解函数的极值。

在找极值的求解程序中，需要对多元函数的定义域进行分析，确定极值可能出现的位置，其极值类型一般有局部极大值、局部极小值和全局极值，且根据定义域不同而有多种优化算法可供选择。

为了确保极值点的正确性，可以通过内点多项式和外点多项式来检验多元函数的极值点，内点多项式是指多元函数的极值点恰好位于定义域内的点，而外点多项式则是指多元函数的极值点出现在定义域的边界上的点。

另外，在求解多元函数极值时还需要充分考虑其曲面特性，为了求解多元函数不同梯度平行场方向上的最大极值，我们可以应用海森堡法论来进行求解，该论法着重解决函数曲线的变化方向问题，它的核心思想是在经验空间中发掘出最优的方向以便获得最优理论结果，这是一种有效的多元函数极值点优化算法。

总之，求多元函数的极值是一件比较复杂的过程，需要充分利用内点多项式、外点多项式以及海森堡论等分析计算技术来完成。

在数学建模等领域，多元函数极值求解可帮助我们更好地分析数据，判断模型的可行性以及计算出最优的结果，是学术和数学研究的重要工具和手段。

多元函数极值存在的条件

多元函数极值存在的条件哎，今天咱们聊聊多元函数的极值问题。

这个话题听起来有点儿严肃，但其实没那么复杂。

你想想，极值就像是人生的高光时刻，大家都想抓住那一瞬间，对吧？想当年，咱们都希望能在某个地方找到一个“最好”的点。

比如，选饭店时总想找个口味最赞的，选择玩耍时总想找个最有趣的，数学里也有这么一回事，尤其是多元函数，嘿，感觉挺有意思的。

首先啊，咱们得了解，什么叫多元函数。

简单说，就是那种输入不止一个变量的函数，比如说f(x, y)这种。

哎呀，想象一下，咱们在大海边捡贝壳，水面上波光粼粼，阳光照射下的每个角度都可能闪现出不同的美丽。

而多元函数就像是这片海洋，里边的每一滴水都代表着一个可能的值。

极值，就像在这片海中找到了最闪亮的那颗贝壳，哦，那种感觉，真是美好得不得了。

不过，想找到这颗闪亮的贝壳，咱们得有点儿本事，哈哈。

首先得明白，极值存在的条件可不是随随便便就能满足的。

咱们得先找到这个函数的偏导数。

偏导数，听上去很高大上的样子，实际上就是对某一个变量求导数。

想象一下，你在一条小路上走，周围有很多岔路口，你得专心致志地注意哪条路上坡最陡，哪条路最平。

这个过程就像在计算偏导数。

再说了，偏导数得等于零。

哎，这里可得小心了，偏导数等于零的地方就是所谓的临界点，像是你在海边捡贝壳时，突然发现一处沙滩上有特别多的贝壳，可能是极值，也可能不是。

这个时候，咱们可不能草率。

得进一步检查，看看这个地方到底是个极大值，还是个极小值。

别小看这个步骤，检查一下可有学问呢。

有个很重要的概念叫做二阶偏导数。

这个东西好比是在沙滩上查找贝壳的过程，只有细心的人才能发现潜藏的真相。

通过计算二阶偏导数，我们可以判断临界点的性质。

如果二阶偏导数大于零，哎，那恭喜你，找到了个极小值，就像是捡到了一枚稀有的贝壳；如果小于零，那就是极大值，嘿，你的运气真不错；如果等于零，那就有点麻烦了，可能得再找别的办法看看。

还有哦，极值存在的条件可不仅仅是这些，咱们还得考虑函数的连续性。

判断多元函数条件极值的几种方法_侯亚红

在点
Ｐ２
处，
Δ２＝
４３
×４３
－（－
２３
）２＝４３
＞０，
又Ａ＝４＞０，３
所以Ｐ２为极小值点，因而，函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在相应点
（２，－２，２）处有极小值，极小值为ｆ（２，－２，
３３３
３３
２）＝－８．３２７
２．拉格朗日乘数法
（１）利用全微分判断
Ｖｏｌ．２６ＳｕｐｐｌｅｍｅｎｔＪｕｎ．２００８
数学元认知在数学直觉思维产生中的作用
任洁
（太原大学教育学院，山西太原０３０００１）
〔摘要〕《普通高中数学课程标准（实验）》在吸取近几年中学数学教学研究成果的基础上将培养学生的三大能力之一 “逻辑思维能力”改为 “思维能力”，这一叙述上的改变虽然只是去掉两个字，但是不仅扩大和丰富了思维能力的内涵，而且对中学数学的课堂教学提出了更新、更高的要求，同时也说明 “逻辑思维能力”不再是中学数学教学所培养和高考所要考查的唯一的能力目标，与其并重的还有包括直觉思维能力在内的非逻辑思维能力。更说明了人们在教育的实践中实现了认识上的转变：在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。
当
λ＝

多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值求解方法摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。

关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution.Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。

下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。

1.消元法对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。

例1 求函数在条件x－y+z=2下的极值.解：由x－y+z=2 解得将上式代入函数，得解方程组得驻点，，在点处，，所以不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处，，又，所以为极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理1.2.1（充分条件）设点及个常数满足方程组，则当方阵为正定（负定）矩阵时，满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例2.求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解：此椭球在点处的切平面为化简,得此平面在三个坐标轴上的截距分别为：则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目标函数在条件下的最大值，其中，拉格朗日函数为由解得;3. 标准量代换法求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3.设,求的最小值.解：取为标准量,令,则(为任意实数),从而有等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为.4.不等式法4.1 利用均值不等式将目标函数配凑成均值不等式左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：，求解多元函数条件极值。

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法*齐新社包敬民杨东升(西安通信学院数理教研室西安 710106)摘要研究多元函数的条件极值问题.针对稳定点的各种不同情形,结合具体实例,给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法.关键词高阶微分;条件极值;拉格朗日乘数法;稳定点.中图分类号 O172多元函数条件极植的求解,一般是利用拉格朗日乘数法,而问题的难点在于求得稳定点后,如何判断函数究竟在该点是否取得了极值,尤其当稳定点不唯一时难度更大.本文就针对多元函数的条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴.1 借助多元函数取得极值的充分条件来判断例1 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件1x +1y +1z =1r(x ,y ,z ,r >0)下的极值.解设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=xy z +K (1x +1y +1z -1r),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =yz -K x 2=0,L y =zx -K y 2=0,L z =xy -K z2=0,L K =1x+1y +1z -1r =0.易得函数L 的稳定点为x =y =z =3r,K =(3r )4,为了判断f (3r ,3r ,3r )=(3r )3是否为所求极值,我们可以把条件1x +1y +1z =1r看作隐函数z =z (x ,y )(满足隐函数存在定理的条件),并把目标函数f (x ,y ,z )=x y z (x ,y )=F(x ,y )看作函数f =x y z 与z =z (x ,y)的复合函数.这样就可以应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下:z x =-z 2x 2, z y =-z 2y2, F x =yz -yz 2x , F y =xz -xz 2y,F xx=2yz 3x 3, F xy =z -z 2y -z 2x +2z 3xy , F yy =2xz 3y 3.当x =y =z =3r 时,54高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol.12,N o.2M a r.,2009*收稿日期:2008-04-29.F xx =6r =F yy , F xy =3r , F xx F yy -F 2xy =36r 2-9r 2=27r 2>0,由此可见所求的稳定点为极小值点.评价当约束条件的方程个数超过一个时,这种方法的使用受到了限制.2 借助二阶微分在稳定点处的符号来判断例2 求函数u =x -2y +2z 在条件x 2+y 2+z 2=1下的极值.解设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=x -2y +2z +K (x 2+y 2+z 2-1),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =2K x +1=0,L y =2K y -2=, L z =2K z +2=0, L K =x 2+y 2+z 2-1.可得P 1(-13,23,-23),K 1=32或者P 2(13,-23,23),K 2=-32,下面借助于二阶微分判断稳定点是否是极值点.先对函数L 求一阶微分d L (x ,y ,z )=d x -2d y +2d z +2K x d x +2K y d y +2K z d z ,二阶微分为d 2L (x ,y ,z )=2K [(d x )2+(d y )2+(d z )2],其符号完全由K 确定,在P 1点,K 1=32>0,故d 2L(x ,y,z )>0,所以P 1为极小值点,对应的极小值为u =-3;在P 2点,K 2=-32<0,故d 2L(x ,y,z )<0,所以P 2为极大值点,对应的极大值为u =3.评价这种方法具有较强的通用性,但需要熟练掌握高阶微分的知识,在求二阶微分时,特别要注意变量x 和d x 是相互独立的,d x 在第二次微分时相当于常量.3 借助于一些基本不等式来判断例3 求函数f (x ,y,z,t)=x +y +z +t 在条件xyz t =c 4下的极值,其中x,y,z ,t >0,c >0.解由基本不等式可知,当n 个正数的乘积一定时,这n 个正数的和必有最小值f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t \44xy z t ,当且仅当这n 个正数相等时取到极小值,即函数f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t 在点(c,c,c,c)处取得最小值也是极小值f (c,c,c,c)=4c.评价这种方法对满足基本不等式结构的特定题目才能起到良好的效果.4 借助于闭区域上连续函数的性质来判断例4 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件x 2+y 2+z 2=1,x +y +z =0下的极值.解设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K ,L )=xy z +K (x 2+y 2+z 2-1)+L (x +y +z ),解方程组L =0,L =0,L =0,z 2-1=0,=0,55第12卷第2期齐新社,包敬民,杨东升:多元函数条件极值的几种求解方法可得六个可能的条件极值点P1(16,16,-26),P2(16,-26,16),P3(-26,16,16),P4(-16,-16,26),P5(-16,26,-16),P6(26,-16,-16),又f(x,y,z)=xy z在有界闭集{(x,y,z)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续,故函数必有最值且最值只可能在这六个可能的极值点处达到,因此函数的极(最)小值为f(P1)=f(P2)=f(P3)=-1 36,极(最)大值为f(P4)=f(P5)=f(P6)=136.评价利用了闭区域上连续函数的性质巧妙的解决了极值判定问题.5将条件极值化为无条件极值借助一元函数求极值的方法加以判断例5求函数f(x,y,z)=xy z在条件x+y=1及x-y+z2=1下的极值.解由两个条件可得x=2-z 22,y=z22,将其带入目标函数f(x,y,z)=xy z中消去变量x和y可得4f(z)=2z3-z5,两边求导可得4f c(z)=6z2-5z4,可得稳定点z1=0,z2=65,z3=-65,由于f d(0)=0,而fÊ(0)=12X0,即z1点的奇数阶导数不为零,所以z1不是函数的极值点;又显然4f d(65)=-1265<0,故函数在z2=65处取得极大值:f(65)=62565;而4f d(-65)=1265>0,故函数z3=-65处取得极小值:f(-65)=-62565.评价将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单,缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决.总之,条件极值的判断问题是比较复杂的,只有通过一定经验的积累才能很好的把握此类问题的求解方法.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出版社.1991.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1978.56高等数学研究2009年3月。

多元函数条件极值的几种判别方法

多元函数条件极值的几种判别方法
侯亚红
【期刊名称】《山西经济管理干部学院学报》
【年(卷),期】2009(17)2
【摘要】本文通过例题详细介绍了判断多元函数条件极值的几种方法.
【总页数】2页(P119-120)
【作者】侯亚红
【作者单位】山西省财政税务专科学校,山西,太原,030024
【正文语种】中文
【中图分类】C420
【相关文献】
1.多元函数条件极值的几种求解方法 [J], 齐新社;包敬民;杨东升
2.判断多元函数条件极值的几种方法 [J], 侯亚红
3.几种多元函数条件极值的解法之比较 [J], 朱江红;孙兰香
4.二元函数条件极值的一个简便判别方法 [J], 曹恒
5.一种多元函数无条件极值的求解方法 [J], 马国栋;赖婷
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