2011年全国高中数学联赛全真模拟2-清北学堂内部资料

合集下载

2011年全国高中数学联赛模拟试题七

m 2 p 1 27 t r 1 27 t 1 2r (2r 1)
7
又 127 为质数，且 127 2 1 2 1 。结论成立。
7t
m 1 （2） m (2 1)
5．若实数 x 、 y 满足条件 x 2 y 2 1 ，则
0, 2011 内至少有
二.解答题
个实根。
8．在 1、2、3、……、1000 中，不出现数码 3，且不是 3 的倍数的数共_____个。
9．设数列 {an } 满足 a1 1 ，求证：，an1 an n 1（ n N ）
O3
2α
A1
2β
O2
O
β α
A2
A3
O1
1 1 2 2 2 2 2 c a c b c ab 2c 2 a 2 b 2 c 2 ab 2 c 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a b ab a 2 b 2 2c 2 a 2 b 2 2a 2b 2
3.已知复数 z1 2 i ， 2 z 2
z1 i ．若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、∠C 依次成等差数列，且 2i 1 z1
．
u cos A 2icos 2
4．一个盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望 E =_________________．
1 1 2( 2 1) ,命题成立； a1
当 n 2 时，由 an1 an n 1，得 an an1 n ，∴ an (an1 an1 ) 1 ，
n
1 a n 1 a n 1 ， an

2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试,附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

2011北京海淀高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)

北京市海淀区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（）A (1,1)B (1,1)-C (1,1)--D (1,1)- 2 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为（）A {1}B {0,1}C {1,2}D {0,1,3 函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A 1(0,)2 B 1(,1)2C (1,2)D (2,3)4 若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（）A 45-B 35-C 35D 455 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙 9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 67 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3714根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（） A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是（）7 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（）A ．②③④B ①③④C ①②④D ①②③8 在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有（）A 0个B 1个C 2个D 3个第Ⅱ卷（共110分）二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(二) 理(广东卷)

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是（）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值X 围是（）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是（）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9）（6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是（） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为（） A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为（）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值X 围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是（）A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

清北学堂数学高联一试模拟题(11)及答案

清北学堂高联一试模拟题(十一)一、填空题1、已知函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义，则实数a 的取值范围是 .答案：),1()1,21[+∞ .解：显然0>a 且1≠a .由题意知01232>-++-a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立，即2132-->x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立. 令213)(2--=x x x g ，则222)2(623)(--+-='x x x x g ，显然，对一切]1,0(∈x ，0)(<'x g ，所以函数213)(2--=x x x g 在]1,0(上单调递减，因此，当]1,0(∈x 时，)0()()1(g x g g <≤，即21)(2<≤-x g .因此，21≥a .综合可知：实数a 的取值范围是),1(]1,21[+∞ .2、计算3tan10+= ．．解：003tan10+=()00000003sin1030103sin1020cos10cos10+-+=)0000003sin10sin 30cos10cos30sin10cos10+-==．3、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段对．答案：50．解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”．314、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y 轴上，实轴长为2sin ,[,]43ππθθ∈，又双曲线上任一点(,)p x y 到点(1,0)M 的最短距离为1sin θ，则该双曲线的离心率的取值范围是．答案：（1,7解：设双曲线方程为22221,sin y x b θ-=则22222222222sin (1)(1)sin (1)(1)21sin .x PM x y x x x b bθθθ=-+=-++=+-++因x R ∈，故22222min1sin ,sin b PMb θθ=+-+又因22mi n1,s i n PMθ=从而64224s i n s i ns i n ,1s i nb θθθθ+-=-而20b >及[,].43ππθ∈解不等式得23sin ,4θ<<又因222222422sin sin 1(),1sin 1sin sin sin c b e a θθθθθθ+====--令2sin ,t θ=则21,1e t t=-因1()1f t t t=-在34⎤⎥⎝⎦，上是递增函数，故2121,177e e <<<≤5、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是．答案：18000．解：设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则2254m n a ==，得 2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =，化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．6、四位数w 不能拆分为三个正整数的平方和，即方程w w z y x (222=++为四位数)没有正整数解，则w 的最大值为．答案：9999.解：熟知任一奇数的平方模8余1，任一偶数的平方模8余0或4，从而任意三个正整数的平方和不可能模8余7，说明9999不能表为三个正整数的平方和，显然这是具有这一性质的最大四位数。

高中数学竞赛模拟习题15

2011 年全国高中数学联赛模拟试题一一试一．填空（每小 8 分，共 64 分）1．函数 f (x)5 4x x 2 在 (,2) 上的最小是．2 x2. 函数 ysin x cos x的域是．sin x1 cos x3. 将号分 1、 2、⋯、 9 的九个小球放入一个袋中，些小球号不一样，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号 a ，放回后，乙此后袋中再摸出一个球，其号b 。

使不等式a?2b+10>0 建立的事件生的概率等于．4．数列 { a n } 的前 n 和 S n 足： S na nn1， n 1,2, L，通 a n =．n(n1)x 2 y 2 1(ab0) 与直x y 1 交于 M,N 两点 ,且 OM ON ,(O5.已知b 2a 2原点 ),当的离心率e[ 3 ,2] , 的取范是．3 26．函数 y 5 x 110 2x 的最大是．7 ．在平面直角坐系中，定点P x 1, y 1、Q x 2, y2之的“直角距离”d (P, Q) x 1x 2y 1 y 2 . 若 C x, y 到点 A1,3 、 B 6,9 的“直角距离”相等，其中数 x 、 y足 0x10、y10，所有足条件的点C 的迹的度之和．8．一个半径1 的小球在一个内壁棱4 6 的正四周体容器内可向各个方向自由运，小球永不行能接触到的容器内壁的面是．二 .解答题（共 56 分）5 9.（ 16 分）已知定在R 上的函数 f (x) 足：f (1)，且于随意数x 、y ，2有 f (x) f ( y)f ( xy)f ( xy) 建立 .（ 1）若数列 { a n } 足 a n（ 2）若于随意非零数2 f (ny ，有1) f (n)( n 1,2,3,L ) ，求数列f ( y) 2 . 有理数 x 1, x 2 足 | x 1{ a n } 的通公式； | | x 2 |，判断 f ( x 1 )和 f (x 2 ) 的大小关系，并明你的.10.（ 20 分）设b 0，数列{ a n}知足a1b， a nnba n 1(n 2) ．an 12n2（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）证明：对于全部正整数n ， a n b n 11．2n 111.（ 20 分）若a 、b、 c R，且知足kabc(a b) 2( a b4c)2，求k 的最a b c大值。

2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何(解答题),概率统计复习资料

2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）1．已知定点)0,1(-A 、)0,1(B ，动点M 满足：⋅等于点M 到点)1,0(C 距离平方的k 倍.（Ⅰ）试求动点M 的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；（Ⅱ）（文）当2=k+最大值和最小值. (理)当2=k+最大值和最小值.2．已知两个动点A 、B 和一个定点M ),(00y x 均在抛物线)0(22>=p px y 上.设F 为抛物线的焦点，Q 为对称轴上一点，若|||,||,|,0)21(FB FM FA AB AB QA 且=⋅+成等差数列. （1）求的坐标；（2）若││=3，||,2||AB FM 求=的取值范围.如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A中心O ，且0=⋅AC ，|BC |＝2|AC |．(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程； (2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使λ=． 4．5．已知在平面直角坐标系xoy 中，向量OFP ∆=),1,0(的面积为32，且t =⋅，A.3j OM +=（Ⅰ）设344<<t ，求向量与的夹角θ的取值范围；（Ⅱ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且,)13(,||2c t c -==当||取最小值时，求椭圆的方程.6．如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围. 7．8．如图，已知在坐标平面内，M 、N 是x 轴上关于原点O 对称的两点，P 是上半平面内一点，△PMN 的面积为),(),23,31(,23为常数坐标为点m m A ⋅=+.||MN OP MN =⋅（Ⅰ）求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程；（Ⅱ）过点B （－1，0）的直线l 交椭圆于C 、D 两点，交直线x =－4于点E ，点B 、E 分 1λ比分别为、2λ，求证：021=+λλ.9．如图：P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且在,0=⋅的延长线上取一点M ，使||=2||.（I ）当A 点在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（II ）已知j ki j i R k +-==∈以经过)0,1().0,1(),1,0(,为方向向量的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又点D （1，0），若∠EDF 为钝角时，求k的取值范围.10．已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0==⋅（1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.11、.||.432||2321.1方程取最小值时，求椭圆的量，当为变，以点为一个焦点的椭圆经过为中心，若以，）（设（Ⅱ）的取值范围；＞，＜，求若（Ⅰ），且的面积为如图，已知△→-→-→-→-→-→-=≥=<<=⋅OQ c Q F O c S c c OF FQ OF S FQ OF S OFQ12．2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）参考答案1．解（I ）设动点M 的坐标为),,(y x 则),1(y x AM +=→，).,1(y x BM -=→由题意.2→→→=⋅MC k BM AM 即].)y (x [k )y ,x ()y ,x (22111-+=-⋅+整理，得.12)1()1(22k ky y k x k +=+-+-………………………………………………3分即所求动点轨迹方程.10当1=k 时，方程化为1=y ，表示过（0，1）点且平行于x 轴的直线.………………………………………………………………………………………4分.20当1≠k 时，方程化为222)11()1(k k k y x -=-++，表示以（0，)1-k k 为圆心，以k-11为半径的圆.………………………………………………6分（Ⅱ）（文）当2=k 时，方程化为1)2(22=-+y x22)2()2(y x BM AM +=+→→.222y x +=………………………………………………………………………………8分342)2(1222-=+--=y y y …………………………………………………10分.6334231max=-⨯=+∴≤≤→→BMAM y.23142min=-⨯=+→→BMAM ……………………………………………………12分（理）当2=k 时，方程化为.1)2(22=-+y x =+→→BM AM 2229)13(y x +-.x y x )y (x )y x (y x x 266361634916991692222--=+--=+-+=++-=………………………………………………………………………………………8分设⎩⎨⎧+==θθsin 2cos y x R ∈θ，则.)sin(37646cos 6sin 36462ϕθθθ++=-+=+→→BM AM ………10分其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.376cos ,371sin ϕϕ.33737646237646337+=+≤+≤-=-∴→→BM AM.BMAM .BMAM minmax33723372-≤+∴+=+∴→→→→……………12分2．解：（1）设.2||,2||,2||),,(),,(2012211p x FB p x FM p x FA y x B y x A +=+=+=则…1分由|||,|,||FA 成等差数列，有.2)2()2()2(2210210x x x px p x p x +=⇒+++=+…………2分 ∵,2,2222121px y px y ==两式相减，得.2212121y y px x y y k AB +=--=…………3分设AB 的中点为,0)21(),2,(210=⋅++y y x N ∴NQ 是AB 的垂直平分线，设).0,(Q x Q …………4分∴.1202,1,0221021021-=+⋅--+-=⋅--+=y y p x x y y k k x x y y k Q AB NQ Q NQ得由…………5分∴,0p x x Q += ∴).0,(0p x Q +…………6分（2）由.2,122,3,2||,3||000==⇒=+=+==p x px p x FM 且得……7分∴抛物线为)0)(1(2:.42≠-=-=N NN y x y y y AB x y 为又直线…………8分 ∴有.0422)14(2222=-+-⇒-=-N N N N y y y y y y y y ……9分∴,16)42(4411||4222N N N ABy y y k -=--⋅+=…………10分由,0,220≠<<-⇒>∆N N y y 且…………11分 ∴||的取值范围为（0，4）.…………12分3．(1)解：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，设A (2，0)，则椭圆方程为14222=+by x 2分∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|OC |＝|OB |又∵0=⋅BC AC ，∴AC ⊥BC 又∵|BC |＝2|AC |，∴|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为(1，1) ∴点B 的坐标为(－1，－1) 4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ，则求得椭圆方程为143422=+y x6分(2)证：证：由于∠PCQ 的平分线垂直于OA (即垂直于x 轴)，不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k (x －1)+1，y ＝－k (x －1)+1由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得：(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 *8分∵点C (1，1)在椭圆上，∴x ＝1是方程(*)的一个根，∴x P •1＝131632+--k k k 即x P ＝131632+--k k k同理x Q ＝1316322+-+k k k9分∴直线PQ 的斜率为311312213)13(22)(222=+--+-=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P 11分又∵31=AB k ，∴向量PQ ∥AB ，即总存在实数λ，使AB PQ λ=成立． 12分 4．5．解：（Ⅰ）由.sin 34||||sin ||||2132θθ=⋅⋅⋅=FP OF FP OF 得……2分由.34tan ,34sin ||||cos tt FP OF ==⋅=θθθ得……4分 ],0[.3tan 1344πθθ∈<<∴<< t∴夹角θ的取值范围是).3,4(ππ…………6分（Ⅱ）（解法一）设P ),,(00y x 不妨令0,000>>y x由（I ）知，PF 所在直线的倾斜角为θ，则.)13(3434tan 2ct -==θ又.34,322100cy y c S OPF=∴=⋅⋅=∆ 又由.3.)13(34034020c x cc x c =-=--得………………………………………………8分 .623432)34()3(||222020=⋅⋅≥+=+=∴cc c c y x ∴当且仅当||,2,343c cc 时即==取最小值62，此时，).32,32(= ),3,2()1,0()32,32(33=+=∴……………………………………10分椭圆长轴.8)03()22()03()22(22222=-+++-+-=a.12,42==∴b a故所求椭圆方程为.1121622=+y x ………………………………………………12分（解法二）设P ).0,(),,(),,(0000c y c x y x =-=则.)13()()0,(),(2000c t c c x c y c x -==-=⋅-=⋅∴.30c x =∴……………………8分又.3432||||2100cy y S OFP ±=∴=⋅=∆ 以下同解法一6．解：（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分（2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则……………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,23)1()24(+=++=++-∴kk k k 整理得……………………10分 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分7．8．解：（1）设),,(),0)(0,(),0,(00y x P c c N c M >- 则,2),()0,2(000cx y x c OP MN =⋅=⋅.1,2200==x c cx 故 ① 又.23,23||)2(2100cy y c S PMN ===∆ ②…………2分 ),23,31(),,(00+=+=y c x 由已知),23,31(),(00+=+m y c x即.)31()(23,23310000y c x y m c x +=+==++故③ 将①②代入③，,23)31()1(23cc ⋅+=+ ,0)33(2=+-+c c ,0)13)(3(=++-c c .23,30==∴y c …………………………4分设椭圆方程为)23,1(,3).0(1222222P b a b a by a x +=>>=+ 在椭圆上，,4,1,143312222===++∴a b bb 故 ∴椭圆方程为：.1422=+y x ……………………6分（2）①当l 的斜率不存在时，4-=x l 与无交点，不合题意.②当l 的斜率存在时，设l 方程为)1(+=x k y ，代入椭圆方程1422=+y x 化简得：.0448)14(2222=-+++k x k x k ……8分设点),(11y x C 、),(22y x D ，则：222112112221222114,11.1444,148,0λλλλ++=-++=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+>∆x x x x k k x x k k x x ，,44,11212211+--=+--=∴x x x x λλ………10分]8)(52[)4)(1(1)4411(212122212121+++++-=+++++-=+x x x x x x x x x x λλ 而81485144428)(5222222121++-⋅++-⋅=+++k k k k x x x x 0)8324088(1412222=++--+=k k k k ， 021=+∴λλ…………12分9．解：（I ）设A （0，y 0）、Q （x 0，0）、M （x ，y ），则),(),,3(000y x y -=--= 又0200003,0))((3,0x y y y x AQ AP =∴=--+-∴=⋅ ①……3分|2||=又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==∴23,3203|,0000y y x x y y x x ② 将②代入①，有)0(42≠=x x y …………………………………………6分（II ）x y x k y l k k j ki 4),1(:),,1()0,1()1,0(2=+==+=+与则联立，得0)42(2222=+-+k x k x k)1,0()0,1(,0,1,24212221 -∈>∆=-=k x x kk x x 时 ③………………8分又0,),,1(),,1(2211<⋅∠-=-=DF DE EDF y x DF y x DE 则为钝角若……10分而⋅1)1()1()()1)(1(2121212121+++++-=+--=x k x k x x x x y y x x01))(1()1(2212212<+++-++=k x x k x x k ④…………………………12分将③代入④整理有22220242<<∴<-k k 由题知)22,0()0,22(0 -∈∴≠k k 满足题意……………………………14分10．（1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2,(),0)(2,0(),0,(y x x y P x M --=>-…………………2分040),2,1(2=+-=⋅-=y x y 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y ……4分（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y 得，不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=k x +b(k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x 得…6分由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(4212221212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x , y=k x +b 得ky 2－4y+4b=0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222++=+=∆-=-=k k k AB k k b k b ……10分因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤kk k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,21[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分11、解：分，，又由，而分，）（又分，，，＞，＜（Ⅰ）令1.34]0[.3tan 123212.tan 21sin ||||21sin ||||211cos 1||||1cos ||||1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<∴∈<<∴<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=∴=⋅=→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-πθππθθθθθπθθθS S FQ OF FQ OF S FQ OF FQ OF FQ OF FQ OF分所求椭圆方程为，）（）（，，）（由题设可设椭圆方程为分），（最小，此时时，当）（分），（）（，），（，），（又分，，且），（，则），（并令，轴建立直角坐标系如图所在直线为为原点，（Ⅱ）以3.1610.610.123254012.2325||2.2.491||1.231.1.102.23.4321022222222222222222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+∴==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==∴>>=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴≥++=∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∴+=∴=-=⋅∴-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=→-→-→-→-→-→-y x b a b a b a c b a b y a x Q OQ c c c c OQ c c Q cc m c m c FQ OF n c m FQ c OF n c S n c S c F n m Q x OF O12．第11部分:概率统计一选择题1．（宁波市理）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数7 8 994 4 6 4 7 3的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为C （A ） 84，4.84 （B ） 84，1.6 （C ） 85，1.6（D ） 85，42．（宁波市文）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有DＡ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>3．（台州市2008学年第一学期理文）用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是B A ．12B ．13C ．14D ．151．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有Ａ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 答案：D2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文）)在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A ．201 B ．151 C ．51 D ．61 答案：C3．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理)）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（A ） 84，4.84 （B ） 84，1.6 （C ） 85，1.6（D ） 85，4答案：C4．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文理）)某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）77A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 （第4题）答案：C5.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（）) 某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为A ．35 B ．125 C ．65 D ．185答案：B二、填空题1（浙江省杭州市2009年）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是；众数是 . ．23；232（温州市部分省重点中学2009）．为了解温州地区新高三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的=m ，=a 。

(专家预测卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）时间:2011-9-1122一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆D于T.(1)求证：MP·MT=NP·NT；(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1，I2.求证：Q，I1，I2，T四点共圆.证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC，PM=NC.……10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以MC=MI.同理NC=NI.于是NP=MI，PM=NI.故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式==.于是PM·MT=PN·NT.……30分(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故.……40分又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，有△I1NT∽△I2MT.故∠NTI1=∠MTI2，从而∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分二、求证不等式：，n=1，2，…证明：首先证明一个不等式：(1).事实上，令h(x)=x-ln(1+x)，.则对x＞0，. 于是h(x)＞h(0)=0，g(x)＞g(0)=0.在(1)中取得(2).……10分令，则，＜=-,因此.……30分又因为lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.从而===.……50分三、设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素.证法一：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!).我们证明(,l)=1.设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使｜k!,但k!,则｜l(k!).故由及p|k!,且k!，知|k!且k!.从而p.……50分证法二：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!)2.我们证明(,l)=1.设p是l的的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使|k!,但k!.则|(k!)2.故由及|k!,且k!，知｜k!且k!.从而p.……50分四、在非负数构成3×9数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17=x28=x39=0，x27,x37,x18,x38,x19,x39均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列(k=1,2,……,9)均存在某个i{1,2,3},使得(3)x ik≤u i=min{x i1,x i2,x i3}.求证：(i)最小值u i=min{x i1,x i2,x i3},I=1,2,3一定取自数表S的不同列.(ii)存在数表P中唯一的一列，≠1,2，3使得3×3数表仍然具有性质(O).证明：(i)假设最小值,y=1,2,3不是取自数表S的不同列，则存在一列不含任何u i.不妨设u i≠,i=1,2,3.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是i=1,2,3.另一方面，由于数表S具有性质(O)，在(3)中取k=2，则存在某个i0∈｛1,2,3｝使得.矛盾.……10分(ii)由抽屉原理知min{x11,x12},min{x21,x22},{x31,x32}中至少有两个值取在同一列.不妨设min{x21,x22}=x22,{x31,x32}=x32.由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个u i，所以只能是x11=u1.同样，第二列中也必含某个u i,I=1,2.不妨设x22=u2.于是u3=x33,即u i是数表S中的对角线上的数字：记M={1,2,…,9},令集合I={k∈M|x ik＞min{x i1,x i2},i=1,3}.显然I={k∈M|x1k＞x11,x3k＞x32}且1,2,3I.因为x18,x38≥x11,x32,所以8∈I.故I≠Φ.于是存在k*∈I使得下面证明3×3数表具有性质(O).从上面的选法可知,(I=1,3).这说明又由满足性质地(O)，在(3)中取k=k*,推得，于是下证对任意的k∈M，存在某个i=1,2,3使得假若不然，则x ik＞min{x i1,x i2},I=1,3.且这与的最大性矛盾.因此，数表S′满足性质(O).……30分下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O).不失一般性，我们假定(4)由于x32＜x31,x22＜x21及(i),有又由(i)知：或者(a)或者(b)如果(a)成立，由数表具有性质(O)，则(5)由数表满足性质(O)，则对于3∈M，至少存在一个i∈{1,2,3}, 使得又由(4)，(5)式知，.所以只能有.同样由数表S满足性质(O)，可推得x33≥x3k.于是k=3,即数表S=.……40分如果(b)成立，则(6)由数表满足性质(O)，对于k*∈M,存在某个i=1,2,3使得由k*∈I及(4)和(6)式知，于是只能有类似地，由S′满足性质(O)及k∈M可推得从而k*=k.……50分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷二(广东.理)含详解

绝密★启用前试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)数学(理科)命题高贵彩（珠海市二中）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．巳知集合221(1){,,,}i N i i i i+=，i 是虚数单位，设Z 为整数集，则集合N Z 中的元素个数是A ．3个B ．２个C ．１个D ．0个2.给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位； ④图象向左平移π3个单位；⑤图象向右平移2π3个单位； ⑥图象向左平移2π3个单位.用上述变换中的两种变换，将函数sin y x =的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么不同的方式共有 A ．8B ．4C ．2D ．13.直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切4.已知函数31()()log 5xf x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<，则1()f xA ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0（第5题）A'5.在右图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是A ．138B ．4C ．2D ．06．已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论： ①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b其中正确的是 A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线A ．不存在B ．有1条C ．有2条 D ．有无数条（第7题）8.用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 A ．3512 B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为__________ 10.在二项式101)x的展开式的所有项中，其中有项是有理项． 11.在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+B CA C ，则=+222c b a ▲ ． 12.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>、的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则双曲线的离心率为 .(第9题)13.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是__ __.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则PT =_____. （第14题） 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0r r q -=的直角坐标方程分别为与，两条曲线的交点个数为个. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l4分）A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，),0(,OP AOP +=<<=∠πθθ四边形OAQP 的面积为S⑴求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ；⑵设点,54,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．17．（本小题满分12分）庐山是我国四大名山之一，从石门涧可徒步攀登至山顶主景区，沿途风景秀丽，右图是从石门涧上山的旅游示意图，若游客在每一分支处选择哪一条路上山是等可能的（认定游客是始终沿上山路线，不往下走，例到G 后不会往E 方向走）．（l ）茌游客已到达A 处的前提下，求经过点F 的概率；（2）在旺季七月份，每天约有1200名游客需由石门涧登山，石门涧景区决定在C 、F 、G 处设售水点，若每位游客在到达C 、F 、G 处条件下买水的概率分别为12、23、45，则景区每天至少供应多少瓶水是合理的？x18．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面ABCD 为直角梯形，090CDABAD ∠=∠=，2AB =，1CD =，AD = M N 、分别为PD PB 、的中点，平面MCN 与PA 的交点为Q （Ⅰ）求PQ 的长度；（Ⅱ）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小；（Ⅲ）求四棱锥A MCNQ -的体积.19.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 过点(2,1)M ，两个焦点分别为(，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A B 、，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）试问直线MA MB 、的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB 为直径且过点M 的圆的方程；若不存在，说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数21()21ln(1)2f x mx x x =-+++（Ⅰ）当0m >时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当1m ≥时，曲线:()C y f x =在点(0,1)P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的取值的集合M .21.(本小题满分14分)已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列；（ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求1a 应满足的条件.2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．B ．【解析】由题设知{,1,,2}N i i =--，故选B2．C ．【解析】两种变换途径：32sin sin sin 323x y x y x y πππ⎛⎫⎛⎫=−−−→=+−−−−−→=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭左移横坐标变为倍或232sin sin sin 223x x y x y y ππ⎛⎫=−−−−−→=−−−→=+ ⎪⎝⎭左移横坐标变为倍，故选C3．D ．【解析】由题设知圆心到直线的距离d =而()()2222a b a b +≤+，得d ≤r =-1，-1），故选D4．A ．【解析】由指数函数与对数函数的性质知31()()log 5xf x x =-为减函数，于是有：10()()0f x f x >=，故选A5．C ．【解析】由题设知此算法是辗转相除法求最大公约数，而138222=（，），故选C6．B ．【解析】由等差数列知21232()(),a a a a d --=-3212()2a a a a d d +=++（为公差），故①③均不正确，由等比数列q （为公比）知231b b q =知④正确，当10,0b q ><时②正确，故选B7．D ．【解析】由题设知平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面11ADD A 内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与面1D EF 平行，故选D8．A ．【解析】由题设知：142(1)()(1)x f x x x <≤=>⎪⎩，3211442213221133135||12S x x x =+=+=⎰⎰，故选A 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．3π2．【解析】由题设知：该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱体， ()21232112S πππ=+⨯⨯= 10．4．【解析】由题设知：()205310111010rrrr r r xT CC x--+==，而20513372rr r --=-+，只有当r 除以3余数为1时其对应项才为有理项，故1,4,7,10r =共4项.11．3．【解析】由题设知：111tan tan tan A B C +=,即cos cos cos sin sin sin A B CA B C +=,由正弦定理与余弦定理得222222222,222b c a a c b a b c abc abc abc +-+-+-+=即2223a b c += 121．【解析】由题设知：,TF p =设双曲线的半焦距,c 另一个焦点为'F ,则2pc =,2',TF c FF ==由'TFF ∆为Rt ∆知'TF =, '1'c FF e a TF TF ====-13，2．【解析】如图1，直线与两轴的交点分别为(0,N M ，设(,)P x y 为直线上任意一点，作PQ x ⊥轴于,Q 于是有2PQ QM =，所以d OQ QP OQ QM OM =+≥+≥，即当P 与M 重合时，min d OM ==如图2，设F 为圆上任意一点，过P F 、分别作x y 、轴的垂线交于点Q ，延长FQ 交直线于点'Q ，将F 看作定点，由问题1知P F 与的最小“折线距离”为'FQ ，设F 的纵坐标为m ，则min min ''22m m d FQ FQ +===，，显然只需要考虑[0,1]m ∈，设2sin ([0,])m πθθ=∈，)'2FQ θϕ+=，其中29,3PT PA PB PT ===15．2222(1)1,(1)1x y x y +-=-+= ,2．【解析】由题设知：消参得22(1)1x y +-=化直角坐标为2220x y x +-=,即22(1)1x y -+=;,且011112=-<+=,两圆相交,故有2个公共点.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

2011年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO （1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2 如果对点集A 中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A 称为是凸的．定义3 设n M M M ,,,21 是多边形，如果12n M M M M = 并且当j i ≠时，i M 与j M 没有公共的内点，则称多边形M 剖分为多边形12,,,n M M M ．定义4 如果凸边形N 的所有顶点都在凸多边形M 的边上，则称多边形N 内接于多边性M ．定理1 两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2 三角形的内角之等于180．凸n 边形（3≥n ）的n 个内角和等于(2)180n - ；外角和为180（每一个顶点处只计算一个外角）．证明如图1，过C 作//CE AB ，则有 ECA A ∠=∠，（两直线平行，内错角相等）得 ()A B C A C B ∠+∠+∠=∠+∠+∠ （结合律）ECB B =∠+∠（等量代换）180= ．（两直线平行，同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3 三角形中大边对大角、小边对小角．证明（1）如图2，在ABC 中，已知AB AC >，可在AB 上截取AD AC =，则在等腰ACD 中有 12∠=∠．（等腰三角形的性质定理）又在BCD 中，2B ∠>∠，（外角定理）更有 12C B ∠>∠=∠>∠．（传递性）说明由上面的证明知,,,AB AC B C AB AC B C AB AC B C >⇒∠<∠⎧⎪=⇒∠=∠⎨⎪<⇒∠>∠⎩这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下：图2（2）反之，在ABC 中，若C B ∠>∠，这时,AB AC 有且只有三种关系AB AC <，AB AC =，AB AC >．若AB AC <，由上证得C B ∠<∠，与已知C B ∠>∠矛盾．若AB AC =，由等腰三角形性质定理得C B ∠=∠，与已知C B ∠>∠矛盾．所以AB AC >．定理4 在ABC 与111A B C 中，若1111,AB A B AC AC ==，则111A A BC B C ∠>∠⇔>．定理5 凸四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是：180ABC CDA ∠+∠= （或180BAD DCB ∠+∠= ）．证明当四边形ABCD 内接于圆时，由圆周角定理有1122ABC CDA ADC ABC ∠+∠=+ 1118022ADC ABC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．同理可证180BAD DCB ∠+∠=．反之，当180ABC CDA ∠+∠=时，首先过不共线的三点,,A B C 作O ，若点D 不在O 上，则有两种可能：（1）D 在O 的外部（如图3（1））．记AD 与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有ASC CDA ∠>∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠=，得180180ABC CDA ABC ASC =+∠<∠+∠=，矛盾．图3 （2）D 在O 的内部（如图3（2））．记AD 的延长线与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有ASC CDA ∠<∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠=，得 180180ABC CDA ABC ASC =+∠>∠+∠=，矛盾．定理6 凸四边形ABCD 外切于圆的充分必要条件是AD BC CD AB +=+．证明当凸四边形ABCD 外切于圆时，设各边的切点分别为,,,P Q R S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有,,,.AP AS PB BQ CR QC DR DS ====相加 AP PB CR DR AS BQ QC DS +++=+++，得 AD BC CD AB +=+．图4反之，若AD BC CD AB +=+，我们引,B C ∠∠的平分线，因为360B C ∠+∠<，所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N ，则N 到三边,,AB BC CD 的距离相等，可以以N 为圆心作N 与,,AB BC CD 同时相切，这时AD 与N 的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．（1）若AD 与N 相离（如图5（1））．过A 作切线与CD 相交于/D ，在/ADD 中，有//DD AD AD >-． ①但由上证，有//AB CD BC AD +=+，又由已知，有AD BC CD AB +=+ 相减得 //CD CD AD AD -=- ，//DD AD AD =-，与①矛盾．图5（2）若AD 与N 相交（如图5（2））．过A 作切线与CD 的延长线相交于/D ，在/ADD 中，有①//DD AD AD >-．但由上证，有//AB CD BC AD +=+，又由已知，有AD BC CD AB +=+相减得 //CD CD AD AD -=- ，即 //DD AD AD =-，与①矛盾．综上得AD 与N 的相切，即凸四边形ABCD 外切于圆．定理7 （相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8 （切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义5 从一点A 作O 的割线交O 于,B C ，则点A 到两交点,B C 的线段长度之积AB AC 称为点A 对O 的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．定理9 若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10 （三角形面积公式）在ABC ∆中，记c b a ,,为三边长，1()2p a b c =++为半周长，R 是外接圆半径，r 为内切圆半径，a h 是边BC 上的高，a r 是与边BC 及,AB AC 的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC ∆的面积S 为：111(1)222a b c S ah bh ch ===； 111(2)sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；))()(()3(c p b p a p p S ---=；2(4)2sin sin sin 4abcS R A B C R==； rp S =)5(；)(21)6(a c b r S a -+=； )2sin 2sin 2(sin 21)7(2C B A R S ++=．定理11 在ABC Rt ∆中，有（1）222a b c +=，（勾股定理的逆定理也成立）（2）1(),22cr a b c R =+-=．定理12 （角平分线定理）设AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，则．AB BDAC DC=．此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法．证明1 （相似法）如图6，延长BA 到E ，使AE AC =，连CE ，则 12BAD A ∠=∠（已知） ()12AEC ACE =∠+∠（外角定理） AEC =∠，（等腰三角形的两个底角相等）有 //AD CE ，得 BD AB ABDC AE AC==．（平行线截割定理）图6 证明2 （面积法）11sin 2211sin 22ABD ACD AB AD AS BC AB DC S ACAC AD A ∠===∠ ．定理13 （正弦定理、余弦定理）在ABC ∆中，有（1）cos cos a b B c C =+，cos cos b a A c C =+， cos cos c a A b B =+．（2）2sin sin sin a b CR A B C ===；（3）2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-， C ab b a c cos 2222-+=．（4）222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-．（2）2sin sin sin a b CR A B C===；证明1 （1）当ABC ∆为直角三角形时，命题显然成立．（2）当ABC ∆为锐角三角形时，如图7（1），作ABC ∆外接圆O ，则圆心O 在ABC ∆的内部，连BO 交O 于D ，连结DC ．因为BD 是O 的直径，所以90BCD ∠=，在直角BCD 中有2sin a R D =，但A D ∠=∠，故得2sin a R A =．同理可证2,2sin sin b c R R B C==．得2sin sin sin a b CR A B C===．（1）（2）图7（3）当ABC ∆为钝角三角形时，记A ∠为钝角，则圆心O 在ABC ∆的外部，过A作直径，仿上证可得2,2sin sin b cR R B C==．又在优弧 BC 上取一点D ，连,BD DC ，如图7（2），由于圆心O 在BCD 的内部，所以BCD 为锐角三角形，且()sin sin 180sin D A A =-=，有22sin sin a aR R D A=⇒=．综上得2sin sin sin a b CR A B C===．证明2 由余弦定理，有222222sin 1cos 12b c a A A bc ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭()()()22222222bc b c abc -+-=()()()()()22a b c a b c c a b c a b bc +++-+--+=，记t =因为 0A π<<，开方得sin 2tA bc=．同理可得sin ,sin 22t t B C ca ab ==．所以 2sin sin sin a b c abcA B C t===．证明3 如图8，在A B C ∆中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 所对的边，以三角形外接圆的圆心O 为原点，半径OA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，设外接圆的半径长为R ，于是A 点坐标为(),0R ．由三角函数的定义得B点坐标为()cos2,sin 2R C R C ，C点坐标为()()()cos 22,sin 22R B R B ππ--，即()cos2,s i n 2R B R B -．由 ()cos 2,sin 2AB R C R R C =-，有AB=2sin R C ==，得 2sin c R C =．同理可得2sin ,2sin a R A b R B ==，图8所以2sin sin sin a b cR A B C ===．（2）2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，C ab b a c cos 2222-+=．证明1 如图9（1），设CB CA AB ===a,b,c ，有=-a c b ，得()()22222cos ,c b cb A =--=+-+-a cbc b c c b b c b =即 2222cos a b c bc A +-=．同理可得 2222cos b a c ac B =+-，C ab b a c cos 2222-+=．（1）（2）图9证明2 如图9（2），以A 为原点、以直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则 ()()()0,0,,,cos ,sin A B c o C b A b A , 由两点距离公式，有BC ==得 2222cos a b c bc A +-=．（3）222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-．定理14 （梅内劳斯定理）一直线截ABC ∆的边,,BC AC AB 或其延长线于,,D E F ，（位于延长线上的点有奇数个）则1BD CE AFDCEA FB= ．图10证明1 （将三个比值转化为三个值的循环比）如图10，过C 作//CG DF 交AB 于G ，有,BD BF CE GFDC GF EA AF==，得1BD CE AF BF GF AFDC EA FB GF AF FB== ．也可以过C 作//CH AB 交DF 于H ，或过B 作//BN CA 交DF 于N 等途径来证明．证明2 （三角法）如图10，由正弦定理，在FBD 中，有sin sin BD FB αβ=，在CDE 中，有sin sin CE DC βγ=，在AEF 中，有sin sin AF EA γα=，三式相乘sin sin sin 1sin sin sin BD CE AF BD CE AF DC EA FB FB DC EA αβγβγα=== ．证明3 （面积法）如图11，联结联结,AD BE ，有面积关系DAF EAFDBF EBF S S AF FB S S ==，得D A FE A FE A DD B FE BF E B DS S S AF FB S S S -==-．又EBDECD S BD DC S =，图11ECDEADS CE EA S =，三式相乘即得．证明4 （坐标法）设ABC ∆的三顶点坐标为()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，直线DF 的方程为 0ax by c ++=．又记123,,BD CE AFDC EA FBλλλ===（i λ可正可负），有21312131,1:,1x x x D y y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入直线方程，得 21321311011x x y y a b c λλλλ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，22133ax by cax by c λ++=-++．同理33211ax by cax by c λ++=-++，11122ax by cax by cλ++=-++，相乘1BD CE AF DC EA FB=- ，即1BD CE AFDC EA FB= ．逆定理: 若,,D E F 分别为ABC ∆三边,,BC AC AB 上的点（位于延长线上的点有奇数个），且1BD CE AFDC EA FB= ．则,,D E F 三点共线．证明如图9，设EF 与BC 相交于/D ，由上证有//1BD CE AFD C EA FB=，又由已知有1BD CE AF DC EA FB= ，两相比较，有//BD BD D C DC =，合比 /BD BDBC BC=，得 /BD BD =，有/D 与D 重合，即,,DEF 三点共线．梅内劳斯定理逆定理是证明三点共线的有力工具．定理15 （塞瓦定理）设O 是ABC ∆内任意一点，,,AO BO CO 分别交对边于,,D E F ，则1BD CE AF DC EA FB= ．证明1 （将三个比值转化为三个值的循环比）如图12，由面积关系OBDABD ADC ODC S S BD DC S S ==，有A B D O B DA O BA D C O D C A O CS S S BD DC S S S -==-．同理BOCAOBS CE EA S =，图12 AOCBOCS AF FB S =，三式相乘即得．证明2 （转化为物质重心）在,,A B C 处各放一个重物，使其重心正好在O 处，记三处的质量分别为,,A B C m m m ，则,,D E F 分别为,,BC AC AB 的重心，有C B m BD DC m =． ACm CE EA m =，B A m AF FB m =，三式相乘即得．证明3 （用梅内劳斯定理）如图11，由梅内劳斯定理，ABD 被直线BOE 所截，有1BC DO AFCD OA FB = ， ADC 被直线BOE 所截，有 1CB DO AEBD OA EC= ，相除得1B D C E A F D C E A F B = ．证明4 如图13，过点A 作//MN BC 交,BE CF 的延长线于,M N ，由,B O D M O A C O D N O A，有 BD DO CD BD AMAM OA AN CD AN==⇒=，又由,BEC MEA NFA BFCCE BC EA AM =，图13 AF ANFB BC=，三式相乘即得．逆定理在ABC ∆三边（所在直线）,,AB CA BC 各取一点,,D E F ，若有1BD CE AF DC EA FB= ，则,,AD BE CF 平行或共点．（1）（2）图14证明 AD 与BE 有两种关系：或是平形或是相交．（1）若AD //BE （如图14（1）），则BC ECBD EA= 代入已知得AF DCFB BC= 有AD //CF ，从而////AD BE CF ．（2）若AD 与BE 相交（如图14（2）），记交点为O ，连CO 交AB 于/F ，由塞瓦定理，有//1BD CE AF DC EA F B= 与已知条件相比较，得//AF AF FB F B =，合比 /AF AF AB AB=，有 /AF AF =，有/F 与F 重合，即,,AD BE CF 三线共点．塞瓦定理的逆定理是证明三线共点的有力工具．定理16（三角形的特殊点）（1）三角形的三条中线相交于一点（三角形的重心）证明当,,D E F 为ABC ∆各边的中点时，有1BD CE AFDC EA FB ===，得1BD CE AF DC EA FB= ．又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠<，故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点．（2）三角形的三条角平分线相交于一点（三角形的内心）证明当,,AD BE CF 为ABC ∆各内角平分线时，由角平分线定理，有,,BD AB CE BC AF ACDC AC EA AB FB BC ===，相乘1BD CE AF AB BC ACDC EA FB AC AB BC== ．又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠<，故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点．（3）三角形的三条高线相交于一点（三角形的垂心）证明先证锐角三角形成立．如图15，当,,AD BE CF 为ABC ∆各边的高线时，有BD ABRt ABD Rt CBF BF BC ⇒= ， CE BCRt BCE Rt ACD DC AC ⇒= ，AF ACRt CAF Rt BAE AE AB ⇒= ，相乘得sin sin sin 1sin sin sin BD CE AF DC EA FB βαγαγβ== ．图15 又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠<，故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点．再证钝角三角形成立．如图16，ABC ∆中，A ∠为钝角，设高线,B E C F 延长相交于G ，则GBC 为锐角三角形，由上证，它的三条高线相交于一点，因为,BE CF 已相交于A ，所以，过G 而垂直于BC 的高线经过A ，也就是A B C ∆的三条高线,,AD BE CF 相交于点G ．图16最后，直角三角形显然成立．因而对任意三角形都有三条高线共点．（4）三角形的三条垂直平分线相交于一点（三角形的外心）证明对ABC ∆，作其中位线DEF ，由上证，DEF 的三条高线共点，得ABC ∆的三条垂直平分线相交于一点．定理17 （斯特沃尔特定理）在ABC ∆中，D 是BC 上一点，则222BD AC DC AB AD BD DC BC⋅+⋅=-⋅．证明如图17，在ABD 与ABC 中，用余弦定理，有2222cos AD AB BD AB BD B =+- ， ① 图17222cos 2AB BC AC B AB BC+-= ， ②代入消去cos B ，得222222AB BC AC AD AB BD BD BC+-=+-()()22BD AC BC BD AB BD BC BD BC +-=--22BD AC DC AB BD DC BC+=- ．也可以将余弦定理①、②2222cos AD AB BD AB BD B =+- ，2222cos AC AB BC AB BC B =+- ，看成齐次线性方程组()()2222220,0,AB BD AD x BDy AB BC AC x BCy ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，有非零解1,2cos x y AB B ==-，得系数行列式为0222222AB BD AD BD AB BC AC BC +-=+-，化简即得．推论1三角形中线长a m =．证明在斯特沃尔特定理中取BD DC =，有 222224AC AB BC AD +=-，即a m ==．推论2 三角形角平分线长a t =()12p a b c =++．证明在斯特沃尔特定理中取BD ABDC AC=，即 ,AB ACBD BC DC BC AB AC AB AC==++ ，有 ()222AB AC BC AD AB AC AB AC =-+ ()()222AB ACAB AC BC AB AC ⎡⎤=+-⎣⎦+ ()()()2AB ACAB AC BC AB AC BC AB AC =+++-+ ．令()12p a b c =++，得a t =推论3 三角形高线长a h =，其中()12p a b c =++．证明当D 为垂足时，如图17，有22222,,BD DC a AD b CD c BD +==-=-由 2222,,BD DC a BD CD c b +=⎧⎨-=-⎩可解得 222222,2,2a b c BD aa b c CD a ⎧-+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩从而 222222222a b c AD b CD b a ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭()()22222221224ab a b c ab a b c a⎡⎤⎡⎤=++--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()()()22222221414,4a b c c a b aa b c a b c c a b c a b p p c p b p a a a ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦=+++-+--+=---得a h =定理18 （西姆松定理）过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（西姆松线）．反之，若一点到三角形三边所在直线的垂足共线，则该点在三角形的外接圆上．证明如图18，ABC 外接圆上任意一点P 到三边所在直线的垂足为,,D E F ，连,DE DF 及,,PA PB PC ，由,,PD BC PE AC PF AB ⊥⊥⊥知，点,,,P B F C 与点,,,P D C E 分别共圆，有180PDF PBF ∠+∠=， ①PDE PCE ∠=∠． ②又由,,,P A B C 共圆，有PCE PBF ∠=∠． ③ 图18由①、②、③得180PDF PDE ∠+∠=． ④从而，,,D E F 三点共线．反之，若,,D E F 三点共线，由①、②、④可得③成立，于是,,,P A B C 共圆，即点P 在ABC 的外接圆上．定理19 （托勒密定理）圆内接四边形中，两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．反之，若四边形的两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积，则该四边形内接于一圆．证明如图19，在圆内接四边形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，又由ADE BDC ∠=∠，得ADE BDC = ，有AE BCAD BC AE BD AD BD=⇒= ． ① 再由,ADB EDC ABD ECD ∠=∠∠=∠，得ABD ECD = ，有AB CEAB CD CE BD BD CD=⇒= ． ②②+①得()AB CD AD BC AE EC BD AC BD +=+= ．反之，若四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD += ．图19如图20设点D 到ABC 三边所在直线的垂足为111,,A B C ，连111111,,A B AC B C ，因为11,,,A C B D 四点共圆，且AD 是直径，所以，在11ABC 中用正弦定理有1111sin sin 2BCB C AD B DC AD BAC AD R=∠=∠= ．其中，R 为ABC 的外接圆半径．同理， 1111,22AB AC A B CD AC BD R R==，这时，若D 不在ABC 的外接圆上，则由西姆松定理知111,,A B C 图20不共线，得 111111A B BC AC +>，即 222AB BC AC CD AD BD R R R+>，得 AB CD AD BC AC BD +>．与已知AB CD AD BC AC BD +=矛盾，故D 在ABC 的外接圆上，即四边形为ABCD 圆内接四边形．托勒密定理的推广：四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD +≥．证明视,,,A B C D 为复平面上的复数，由恒等式()()()()()()A B C D A D B C A C B D --+--=--，AB CDE求模得不等式()()()()()()()()()()A B C D A D B C A B C D A D B C A C B D --+--≥--+--=--即 A B C D A D B C A C B D --+--≥--，得AB CD AD BC AC BD +≥定理20（费马点）在锐角三角形所在平面上求一点，使它到三角形三顶点的距离之和为最小．证明设P 为锐角ABC 内一点，现将APB 绕点A 向外旋转60，得A Q D ，由于,60AP AQ PAQ =∠= ，所以，APQ 是等边三角形，有PQ PA =，得 PA PB PC BP PO QD BD ++=++≥.由于,60A D ABC AD =∠=，所以，D 为定点，当,,,B P Q D 共线时PA PB PC ++取最小值BD ，此时图21180120APB APQ ∠=-∠= .同样讨论可知，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=时，PA PB PC ++取最小值.定理21 （欧拉线）在任一三角形中，外心，重心和垂心共线，且垂心到重心两倍于外心到重心的距离．证明在ABC 中，设O 为外心，G 为的重心，M 为AB 的中点，连结CM ，则G 在CM 上，且有 2CG GM =.连结OM ，则OM AB ⊥.连结OG 并延长到H ，使 2HG OG =，连CH ，有CGH MGO ，得GCH GMO ∠∠ ，推出 //CH OM ，但OM AB ⊥，所以CH AB ⊥.同理，AH BC ⊥. 图22 所以，H 为三角形垂心. 三、基本方法数学竞赛中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类：综合几何法、代数法和几何变换法．1．综合几何方法：如全等法、相似法、面积法等，证逆命题时常用到同一法，反证法．2．代数方法：如代数计算法、复数法、坐标法、三角法、向量法等．另有些几何不等式经过变换（图23） ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x z c z y b y x a ,,C图23之后，就成为正数的代数不等式了，反之，也可以把代数问题转化为几何问题．3．几何变换方法：如平移、旋转、反射、位似、反演等．解几何题举例．例1 （2005、全国高中数学联赛）如图24，设AB AC >，过A 作ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ，交直线l 于E ，F ．证明：DE ，DF 通过ABC 内心和一个旁心．分析：只考虑内心．第1．题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．（1）,CAE ABC DAF ACB ∠=∠∠=∠，（2）DEF 中，1122DEF DAF ACB ∠=∠=∠， ()1122DFE DAE ABC BAC ∠=∠=∠+∠，图2490EDF ∠= ．（3）等腰ADE 中，()()111180180222ADE DAE ABC BAC ACB ∠=-∠=-∠-∠=∠（4）等腰ADF 中，()11802ADF AFD DAF ∠=∠=-∠ 1902ACB =-∠ ．第2．弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．结论成立需要什么？（1）结论有两个：,DE DF 一个通过ABC 的内心，一个通过ABC 的旁心．什么是通过，数学实质是证三线共点．①应是DE 通过ABC 的内心 ②应是DF 通过ABC 的旁心（2）放下旁心，立即想“内心”的定义，这导致我们作ABC 的内角平分线．由于B 点的信息量最少，因而优先考虑,A C ∠∠的平分线，这就出现了A ∠的平分线IA ，联结IC ，问题转化为证IC 是C ∠的平分线．即12A C I A CB ∠=∠．第3．弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．题目的条件和结论是两个信息源．从条件发出的信息，预示可知并启发解题手段，从结论出发的信息预告需知并诱导解题方向，抓住条件和结论“从何处下手、向何方前进”就有一个方向（1）由结论12ACI ACB ∠=∠的需要，联想何处能提供12ACB ∠？想到 1122ADE AED DAF ACB ∠=∠=∠=∠问题转化为证12ACI ADE ACI AED ACI DAF ∠=∠∠=∠∠=∠ 其中之一（2）由于,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，故ACI ADI = ，所以ACI ADI ∠=∠是可以实现的．证明如图25，作BAC ∠的平分线交DE 于I ，联结IC ，由,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，得 ACI ADI = ，有 ACI ADI ∠=∠．但是 ADI AED ∠=∠（等腰三角形的两个底角相等）12DAF =∠（圆周角等于同弧圆心角的一半） 12ACB =∠（弦切角定理）得 12ACI ACB ∠=∠，图25 两条角平分线的交点I 必为ABC 的内心，所以DE 通过ABC 的内心．例2 证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长,u v满足112u v +≤<．（“《数学周刊》杯”2007全国初中数学竞赛试题）讲解有两种思维水平的处理．水平1 （参考答案）设任意ABC 的三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≥≥．若结论不成立，则必有a b ≥， ①12b c ≥． 5分 ② 记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然0,0s t >>，代入①得c s t c s ++≥+，11s tc c s c++≥+ 令,s tx y c c==，则11x y x ++≥+ ③由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<．由②得1b c s x c c +==+≥④ 由③，④得()111y x ⎫≥+≥=⎪⎪⎝⎭， ⑤ 此式与1y <矛盾，从而命题得证． 15分评析这个证明写得很曲折，其实③式就是①式、④式就是②式，解题的实质性进展在两个知识的应用上．（1）三角形基本定理：三角形两边之和大于第三边．使用“增量法”，引进四个参数,,,s t x y 推出1tc<是基本定理的变形（1a b c -<），构成矛盾也是与基本定理的变形1a by c-=<矛盾．（2的性质．这表现在⑤式用到的两个运算=1 1=．抓住这两点，立即可得问题的改进解法：若结论不成立，则存在ABC ，满足a b c ≥≥，且使12a b ≥，12b c +≥ 同时成立，得5111.a b c c b b b +≤<=+≤==矛盾．故对任意三角形，一定存在两条边，它们的长,u v 满足112u v ≤<．这还只是局部上的修修补补，更关键的是抓住实质性的知识可以构造不等式0()a b c >-+ （提供不等式）11112222a b c ⎛⎫⎛++-=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ）=a b ⎛⎫⎫-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 据此可以成批得出本题的证明．另证记任意ABC 的三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≥≥，又设,a b x min b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则1,1,,a b b x x a b x c b c x≤≤≤≤⇒≥≤，代入基本定理，有 210,b a b c bx a b c b x x x <+⇒<<+<+⇒--<解得1x ≤<．说明对比这两种思维水平，所用到的知识是相同的，结论也都正确．但水平一仍然停留在浅层结构的认识上，有在外围兜圈子之嫌，而水平二则更接近问题的深层结构，思路清晰而简明．例3 （斯坦纳定理）两条角平分线相等的三角形为等腰三角形．证明如图，在ABC 中，,BD CE 为角平分线，且BD CE =. 不妨设B C ∠≥∠，在EO 上取一点M ，使O B M O C D ∠=∠，记BM 的延长线交AC 于N ，则NBD NCM ，有1NB BD BDNC CM CE=≥=，有 NB NC >. 图26 在NBC 中，由大边对大角，得NBC NCB ∠≤∠OBC OCB ⇒∠≤∠即 1122B C B C ∠≤∠⇒∠≤∠，得 B C B C B C ∠≥∠⎫⇒∠=∠⎬∠≤∠⎭. 例4 （蝴蝶定理）设AB 是圆的一根弦，过AB 的中点M 作两弦,,CD EF 设,ED CF 分别交AB 于,P Q ．求证PM MQ =．证明1 如图27，设,PM x QM y ==，AM BM a ==，有有显然的面积等式1QEM QDMCMP PFM CMP QEM PFM QDMS S S S S S S S = ，即sin sin sin sin 1sin sin sin sin CP CM QM EM FP FM QM DM PM CM EQ EM PM FM DQ DM αγβδδαγβ= ，得 22CP FP QM EQ DQ PM = .由相交弦订立又有()()22CP FP AP PB a x a x a x ==-+=-()()22EQ DQ AQ QB a y a y a y ==+-=-图27得 ()()222222a x y a y x -=-可得x y =即PM QM =.证明2 以AB 所在的直线为x 轴，以M 为原点建立直角坐标系，则圆的方程可以表示为()222x y b R +-=，（R b > ① 而,CD EF 的方程为11220,0a y b x a y b x -=-=，相乘()()11220a y b x a y b x --= ②则过,,,C D E F 四点的曲线系方程为()()()22211220x y b R a y b x a y b x λ⎡⎤+--+--=⎣⎦．这也包括退化为直线,DE CF 的情况，令0y =，可得曲线系与x 轴的交点横坐标所满足的方程图28()2221210bb x b R λ-+-=． ③ 因为,CF ED 分别交AB 于,P Q ，所以二次方程③必有两个实根12,x x ，且由方程的常数项为0知，恒有 120x x +=，（中点不变性）即 PM QM =．例6 （垂足三角形）锐角三角形的所有内接三角形中，周长最小的一个是其垂足三角形．证明设Z 是AB 边上的任意定点，作Z 关于AC 的对称点K ，再作Z 关于BC 的对称点H ，连KH 交,CA CB 于,Y X ，则X Y Z 是以Z 为定点的内接三角形中周长最短的一个.现固定,X Y ，由于CZ 与CK 关AC 对称，CZ 与CH 关于BC 对称，所以图29,,ZCA KCA ZCB HCB ∠=∠∠=∠ 得 2KCH ACB ∠=∠.所以，KCH 是顶角为定值、腰长等于CZ 的等腰三角形，当腰长最短时，KH 也最短，易知，当CZ AB ⊥（即Z 是AB 边上的垂足）时CZ 取最小值，此时XYZ 的周长最短.同样的讨论知，X 是BC 边上的垂足、Y 是AC 边上的垂足时，内接XYZ 的周长最短.所以，锐角三角形的所有内接三角形中，周长最小的一个是其垂足三角形．例8 （厄尔多斯—摩德尔定理）设P 是ABC ∆内一点，其到三边的距离分别为,,x y z ，则)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++．等号成立当且仅当ABC ∆为正三角形，且P 是ABC ∆的重心．证明如图21，过作直线 MN 交AB 于M ，交AC 于N ，使AMN ACB ∠=∠，得AMN ACB = ，有,AM AC b AN AB c MN BC a MN BC a====．又 12AMN MN AP S ≥ 1122AMP ANP S S AM z AN y =+=+ ，图30 得 AM AN b c PA z y z y MN MN a a≥+=+ ． ① 同理 c a PB x z b b≥+ ， ② a b PC y x c c≥+ ， ③ 相加 PA PB PC ++ c b a c b a x y z b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2x y z ≥++ ④其中④式取等号a b c ⇔==，①式取等号AP MN ⇔⊥，这时ABC ∆为正三角形，且P 是ABC ∆的重心．例9 （1995 536-IMO ）设ABCDEF 是凸六边形,满足CD ，BC AB ==FA ，EF DE ==060BCD EFA ∠=∠=．设G 是H 是这六边形内部的两点,使得0120=∠=∠DHE AGB ．证明如图,将六边形以BE 为轴作一对称图形,11E BDF AC 有图31.11CF F C =由于,1200=∠=∠DHE AGB 所以11,,,,,,F D H E G B C A 及切四点共圆,连1C .H F ,G C 11则 ,GB AG G C 1+= ①.HE DH HF 1+= ②从而 HE DH GH GB AG ++++1111C G GH HF C F CF =++≥=评析此例通过对称，将需比较大小的6条线段集中在一起，当中的①、②两式也可以用旋转变换来证明．例10 （1986 227-IMO ）在平面上给定点0P 和321A A A ∆，且约定当4≥S 时，3-=S S A A ．构造点列,,,,210 P P P 使得1+k P 为点k P 绕中心1+k A 顺时针旋转120所到达的位置，,,2,1,0 =k 求证，如果01986P P =，则321A A A ∆为等边三角形．证明引进复平面，以各点的字母表示各点上的复，并设())120sin(120cos -+-=i ωi 2321--= 则 01,123=++=ωωω 依题意，有（如图32）().111ω+++-=-k k k k A P A P有 ()11-+-=n n n p A P ωω ()()]1[121--+-+-=n n n P A A ωωωω()()2211--++-=n n n P A A ωωω=……()o n n n n n P A A A A ωωωωω+++++-=---][111221当n =1986时，由于,,1,1,1986233o S S P P A A =--===-ωωω有 ()()o P A A A P +++-=122319861662ωωω ()()().][166219861213P A A A A +-+--=ωω 得 ()()()60sin 60cos 122113i A A A A A A +-=-=-ω 这说明，A 1A 3可由A 1A 2绕A 1逆时针旋转60°得到，故321A A A ∆为正三角形．例11 在凸四边形ABCD 中，若AB 大于其余三边，BC 小于其余三边，则,BAD BCD ∠∠的关系为（）P k+1 P 1 图32（A ）BAD BCD ∠<∠ （B ） BAD BCD ∠=∠（C ）BAD BCD ∠>∠ （D ）不能确定解如图5，取一个平行四边形ABCD ，使C B D 为等腰直角三角形，作CBD 的外接圆O ，以D 为圆心、以DC 为半径，画弧交AB 延长线于E ，连DE 交O 于1C ，交BC 于2C ；又在线段1C E 内取点3C ，连13,BC BC ，则在四边形()1,2,3i ABC D i =中，AB 大于其余三边，i BC 小于其余三边，有2BAD BC D ∠<∠，1BAD BC D ∠=∠，3BAD BC D ∠>∠，选（D ）．图5错在哪里？四、组合几何组合几何诞生于20世纪五六十年代，是组合数学的成果来解决几何学中的问题，所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思．竞赛中的组合几何主要有四类问题：计数问题，结构问题，覆盖问题，染色问题．求解竞赛中的组合几何问题既需要一般性的常规方法、又需要特殊性的奥林匹克技巧（1）常规方法(一般性)，如探索法、构造法、反证法、数学归纳法、待定系数法、换元法、消元法、配方法等．（2）奥林匹克技巧(特殊性)，如构造、对应、递推、区分、染色、配对、极端原理、对称性分析、包含与排出、特殊化、一般化、数字化、有序化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表等．1．计数问题（数数问题． sh u ∨ `shu ）⑴ 基本含义:计算具有某种几何结构的几何对象有多少个，如满足某种性质的点、边、角、三角形、圆有多少个．有时，也会求方法数．⑵ 基本方法．求解几何中的计数问题，通常要经历两步：①进行几何结构的分析．包括所给定的图形结构分析与所计数的几何性质的结构分析，明确所给定图形的几何结构，明确所求解图形的几何结构．②根据几何结构的分析采用计数方法求出结果，可以直接计算、分类计算(加法原理)、例1 分正方形的每条边为4等分，取分点（不包括正方形的顶点）为顶点可以画出多少个三角形？解法１（1）几何结构的分析：图形是怎样组成？三角形的顶点与正方形的关系？①三点在四条边上（×）②三点在三条边上：四边取三边，每边中三点取一点4×3×3×3=108③三点在两条边上：四边取一边，这边中三点取两点，另九点取一点4×3×9=108。

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案

（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有
．
3.（50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．
证明：．
4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．
2． .提示：设，且，则
．
设，则，且，所以．
3．-1.提示：由，得．又
，
即
．
于是
．
再由不等式中等号成立的条件，得．与联立解得或
故．
4． .提示：不等式
等价于
.
又是上的增函数，所以，故
当时， C ，在C 中，同样可求得中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为，故不是整数．
因此，整数项的个数为．
9．因为，所以
，
所以或，又因为，所以，所以．
又由有意义知，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故．解得或（舍去）．
把代入解得．
8．15.提示： C ．
要使为整数，必有均为整数，从而．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．
当时， C ，在C 中，中因数2的个数为

2011年全国高中数学联赛模拟卷_二_

又 2an + bn = 1，所以对任意的 n，点 P n 都在直线 l 上． 2 3 （ 2 ）实数 k 的最大值为槡．对任意的正整数 3 n（ n ＞ 1 ），定义函数 F（ n） = （ 1 + a1 ）（ 1 + a2 ） …（ 1 + an ）槡 b2 b3 …bn +1 ， F（ n + 1 ） = （ 1 + an + 1 ）槡 bn + 2 = F（ n） 2n + 1 2n + 2 · = 2n + 1 2n + 3
y1 ）， B （ x2 ， y2 ）在椭圆 C 上，因为 A（ x1 ，将式（ 5 ），式（ 6 ）分别代入 C 的方程 x2 + 2 y2 = 4 ，整理得（ x2 + 2y2 － 4） λ2 － 4（ 2x + y － 2） λ + 14 = 0，（ 7）（ x2 + 2y2 － 4） λ2 + 4（ 2x + y － 2） λ + 14 = 0．（ 8）式（ 7 ）－式（ 8 ）得 8（ 2x + y － 2） λ = 0．又 λ ≠0 ，所以 2x + y － 2 = 0， y）总在定直线 2 x + y － 2 = 0 上．故点 Q（ x， 11 ．解（ 1 ）对任意的 n，点 P n 都在直线 l 上．
1 2 －3 = 1， b1 = = － 1， 2 －1 2 －1
图1
H， G 三点共线．设由梅涅劳斯定理的逆定理知： T， TF ， TG 与 E1 H1 分别交于点 M， N．由 E1 B ∥EF 得 E1 A = 同理可得于是因为 BA ·AM． EA AD H1 A = ·AN， AH

2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)(一试+二试,附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)第一试姓名：_____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形3．直线2kx y -=||1x -有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满足条件11aba b a b ab a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于． 8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, ||AB __ ___.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{a n }中的最大值．10．给定正实数k ，圆心为(b a ，)的圆至少与抛物线2kx y =有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（用k 表示）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 22011年全国高中数学联赛模拟卷(11)加试姓名：_____________一、（本题满分40分）在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：b a d b a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)答案1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得. 4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当z =时，满足条件，当z ≠时，2120z z +-=设22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a += 1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a -≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(二)

面ＣＧ・＝；ｌ而点Ｂ，，ＣＤ分别在凸四边形ＥＦＧＨ的边ＥＨ，－ＦＣ，，ＥＦ，。ＧⅣ 上满足ＥＦ ∥ －
，
第６期
２１０１年全国高中数学联赛模拟卷（）二
・４・７
Ｉ的Ｅ，１ｅＧＨ ∥ ，Ｅ＃ｌ．．ＥＡ＝Ａ，．ＦＣ值ＦＦ＃ｒ，。ｌＧｌ。ｉ已知１ｅ￣
Hale Waihona Puke ５等组＿－＋＿＜的数恰２，口取范是 — ．式｛ｃａ０整解有个则的值围 — 不矿ｘ：２
ｌ＋ｌａ＞ＩＺ
６将一个４ｘ棋盘中的８．４个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有２个黑色方格，则有— 染法（用数字作答）．
・
４６・
中学教研（学）数
２１全国高中数学联赛模拟卷（）１年０二
第
一
一
试
、
填空题
１知．数列｛｝已口满足口＝，＋：一， ∑ 口＝２口１则一
２，）定在上偶数且足（２）０ ≤时）２ｇ）Ｉ一）．（是义Ｒ的函，厂＋＝． ≤ １＝，（＝ ÷，设满）当又ｉ｝（
若方程）ｇ恰有２个解，ｋ的取值范围是一＝（）则
３若对一切实数，．能使函数，）＝ｓ＋ｏ＋ａｉｃｓ（ｉｎｃｓ２ｓｘｏｎｘ的取值恒非负，实数ａ的取值范围为则
４已知Ｍ＝｛ｍ，）ｎ一ｎ８一ＯｎＺ，．（ｎｌ６＋ｍ＝，∈ ｉｎ为质数｝则集合的子集的个数为一，

2011年全国高中数学联赛模拟卷(一)

分）试确定集合Ｍ＝｛，，，｝．１２ … ｌ共有多少个“ ２等和划分” ．三、桌上放着个数分别为１２ …，的后，，ｋ堆石子（ ≥３．１任选３后）第步，堆石子将它们合并成一堆，并在这
堆石子中挑出一个石子扔掉；２，第步从现在桌上的所有石子堆中选出３堆石子将它们合并成一堆，并在这堆石子中挑出２个石子扔掉．・．；．一般地，第步，在桌上选取石子总数大于的３堆将它们合并成
出相应的安排方法．
参
第一试
１８２２０３０６３ａ —ｂ．０．２６． ≤ ≤ 口一６＋Ｃ—ｄ
考
答
案
１．０解由均值不等式得
（６＋（ｂ４）ａ＋）ａ＋＋ｃ＝
４・蜘
丽丽
（＋）＋（＋ｃ＋（＋ｃ］≥ ａ６［ａ２）ｂ２）
・４３・
四、一副牌有２ｎ＋１，中有一张 “ ” ｌ２ … ，张其王，，，ｎ各２张把这２ｎ＋１张牌排成一行，得王在中间，使且对每个ｋ１ ≤ ）２个ｋ之间恰有ｋ—ｌ张牌．ｎ０时，（≤ ，当 ≤１对怎样的，述安排是可能的吗？并给上
— —
＝ — —
时，都有）＝成立？请给出结
＋）５。的小数表示中， ” 小数点后至少连续有
个０．
９是否存在一个二次函数）使得对任意的正整数ｋ当．，，＝
论，并加以证明．
．个５］｝
２ｋ个５

清北学堂数学高联一试模拟题(6)及答案

清北学堂高联一试模拟题(六)答案 1. 542.二十七倍3.25164. 2个5. (1)n a n n =+.6. 7. 1{|ln ,}3a a a R ≠∈8. 12 9.显然0x =不是方程的解，两边同除以2x 得2210a x ax b x x ++++=. 令1y x x =+得到关于y 的一元二次方程2(2)0y ay b ++-=.因为x 是模长为1的复数，故12Re y x x x=+=是[2,2]-中的实数. 反过来，如果1x x +是[2,2]-中的实数，可设12cos ([0,2))x xθθπ+=∈，则cos sin x i θθ=±是模长为1的复数.这样，问题转化成求正整数组(,)a b 使得关于y 的方程2(2)0y ay b ++-=的两个实根都在2-与2之间.令2()(2)f y y ay b =++-，则易知2(2)220(2)2202224(2)0f a b f a b a a b =++≥⎧⎪-=-++≥⎪⎪⎨-≤-≤⎪⎪∆=--≥⎪⎩. 对1,2,3,4a =分别讨论知，满足要求的正整数组有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,4),(4,6)，共6组.10. 因为22a bc =，所以：42224()a a c c =-，解得离心率e，22222a b c == ，则椭圆方程可以写为：222220x y c +-=；设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN ：()y k x c =-，与椭圆联立，消去y ，得到： 22222(21)42(1)0k x k cx c k +-+-=，所以：22212122242(1),,2121k c c k x x x x k k -+==++ 由直线MA ：11()y y x a x a =++，可得：11(2,(2))y P c c a x a++；由直线NA ：22()y y x a x a =++，可得：22(2,(2))y P c c a x a++；因此： 11(,(2))y FP c c a x a =++，22(,(2))y FQ c c a x a=++，则：221212(2)()()y y FP FQ c c a x a x a ⋅=++++ 2222121221212[()](2)()k x x c x x c c c a x x a x x a -++=+++++ 而222222222212122222(1)4[()][]212121c k k c k c k x x c x x c k c k k k ---++=-+=+++ 222222212122222(1)42()()212121c k k ca k a c x x a x x a a k k k -++++=++=+++，利用222a c =，则2222121221212[()](2)()k x x c x x c FP FQ c c a x x a x x a -++⋅=+++++ 22222222222222(2)21(2)02()2()21k c c a k c c a c c c c k a c a c k -++=++=-=-=+++ 故0FP FQ ⋅=，得到90PFQ ∠=.11. 证明: 因为21212n n n n a a a a +-=-,所以12212.nn n n n a a a a a +-=-即12212.n n n n na a a a a +-=-从而1122221211112().n nn n na a aa a a aa a +++++=-=容易计算得12341, a a a a ====352412343, 7, 47a a a a a a a a ====猜想2212 4.n n na a a +-=使用数学归纳法易证明猜想.从而由1n a a +=12221211112() 1.n n n n n a a a a a a a ++++==== 所以12111na a a +++<。

(完整word版)No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题.docx

2011年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8： 00〜9： 20,共8。

分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)2x2 bx c1、已知函数y -；—(b 0)的值域为[1,3],则b c ------------------------------A. L2、已知a R,并且J a2 2x2 x a (a 0),则a的取值范围是13、设在xOy平面上，0 y x2 , 0 x 1 所围成图形的面积为一，则集合3M ｛(x, y)j |y|卜1｝， N ｛( x, y)| | x2 1｝的交集M N所表示的图形面积为一4、f(x) Vx2 2x <2x2 3x 3 的最小值为3 .5、已知复数z cos i sin , u cos i sin ，且z u _4 — i •则tan( )=5 5X2 y2PH ( H为垂足)，延长PH到点Q,使IHQI=入6、过椭圆C：—— 1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线IPHI( X 3 22 1)。

当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为7、设[x]表示不超过x 的最大整数，则[log 3 1] [log 3 2] [log 3 3] [log 3 500] —8、设p是给定的奇质数，正整数k使得「也是一个正整数，则k= ______________二、解答题(共3题，共56分)cos A b 49、(本题16分)在AABC中，A,B,C所对边分别为a,b,C,且C 10, --------------- ― ―, P为△ ABC的内切圆上的cosB a 3动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值10、(本题20分)数列｛ an ｝中，ai 8, a4 2且满足an 2 2an 1 an (n N ) ( 1)求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设bn ------ !——,Tn bl b2 bn (n N ),是否存在最大的正整数m ,使得对于任意的n N，均有n(l2 an )一 [一T n——成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。