2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.1 归纳与类比1.1.2
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IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 由“若直角三角形两条直角边的长分别为 a,b, 将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外
接圆的半径为 r=
������2+������2 2
”,
对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,
侧棱长分别为������, ������, ������”, 类比上述处理方法,
分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形, 故可联想到立体几何中的长方体.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
解:如图①,在矩形 ABCD 中,cos2α+cos2β=
������ ������
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 解析几何中的类比推理
【例 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径.
定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.类比推理
(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们
把这种推理过程称为类比推理.
答案:
������8 ������4
������12 ������8
题型一 题型二 题型三
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型二 平面几何与空间几何之间的类比
【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分 别为α,β,则cos2α+cos2β=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想 并证明.
>
0)中的推广;
你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)
的一般性结论吗? 请写出你的结论.
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题型一 题型二 题型三
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆
������2 ������2
12345
2
已知扇形的弧长为
l,半径为
r,类比三角形的面积公式
S=
底×高 2
,
可推知扇形面积公式������扇等于( )
A.
������2 2
B.
������2 2
C.
������������ 2
D.
不可类比
解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则扇形的半径 r 类比为
三角形的高,所以
S扇
=
1 2
1.2 类比推理
-1-
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
故结论成立.
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,两者在很多 方面可以进行类比,例如,等差数列中项的加、减运算与等比数列 中的乘、除运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到 可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结 合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
典例透析
IANLITOUXI
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12345
1下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是
()
A.三角形
B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
答案:C
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IANLITOUXI
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题型一 题型二 题型三
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典例透析
IANLITOUXI
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【变式训练1】 若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-
S积8,为S16T-nS,1则2成T4等, 差数列,类比, 以上结论有,:������若������11等62 成比等数比列数{b列n}的. 前n项之
即
������8 ������4
2 = ������������182·T4,
������12 ������8
2
=
������8 ������4
·������������1162,
故
T4,
������8 ������4
,
������12 ������8
,
������16 ������12
成等比数列.
>
0,
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 ������������22. 在有心圆锥曲线中的推广:过有心圆锥曲线 Ax2+By2=1(AB≠0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 − ������������.
可得该三棱锥的外接球半径������ =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
������2+������2+������2
2.
答案:
������2+������2+������2 2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值
−
������2 ������2
.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
T16= ������116������1 + 2 + ⋯+15= ������116������120,
所以
������8 ������4
=
������14������22,
������12 ������8
=
������14�����wenku.baidu.com38,
������16 ������12
=
������14������54,
=
������2 ������2
=
1.
������ ������
2
+
������ ������
2
+
������ ������
2
=
图①
(答案不唯一)
图②
题型一 题型二 题型三
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思1.类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行 对比、归纳,提出猜想.
������������.
答案:C
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IANLITOUXI
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3 若数列{an}(n∈N+)是等差数列,则通项公式为 bn=
������1+������2
+������3+…+������������ ������
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IANLITOUXI
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题型一
题型二 题型三
题型一 等差数列与等比数列之间的类比
���������3���
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=������ 13qm+n+p-3=������13q3r-3=(b1qr-1)3=���������3��� ,
积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
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2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)+2.因为 f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,…,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(n∈N+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在 空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n>100时,f(n)≠2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一
2.此题也可类比为:长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所 成的角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1.但这个结论是不对的, 实际上此时cos2α+cos2β+cos2γ=2.由此可知,类比的结论不是唯一 的,也不一定正确.
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典例透析
解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差 有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等 差数列时,类比等比数列为依次每4项之积成等比数列.下面证明该 结论的正确性:
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答案:过椭圆
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0)上一点(������0,
������0)
的椭圆的切线方程为
������0������ ������2
+
������0������ ������2
=
1
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(������∈N+)的数列{bn}也是等差数列.
类比上述性质,相应地,若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且 cn>0,则通
(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.
(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们
的面积比为1∶4;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
1∶2,则它们的体积比为
.
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是
相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体
题型一 题型二 题型三
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典例透析
IANLITOUXI
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【变式训练3】 圆与椭圆都是有心二次曲线,在圆中有性质“过
圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”,类比上述性 质可得椭圆的一个性质为 .
题型一 题型二 题型三
设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1,
则 T4= ������14������6, ������8 = ������18������1 + 2 + ⋯+7= ������18������28,
T12= ������112������1 + 2 + ⋯+11= ������112������66,
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)中的推广;
(2)写出定理在双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
2
+
������ ������
2
=
������2+������2 ������2
=
������2 ������2
=
1.
于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成
的角分别为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
证明如下:如图②,cos2α+cos2β+cos2γ=
������2+������2+������2 ������2
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【变式训练 2】 由“若直角三角形两条直角边的长分别为 a,b, 将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外
接圆的半径为 r=
������2+������2 2
”,
对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,
侧棱长分别为������, ������, ������”, 类比上述处理方法,
分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形, 故可联想到立体几何中的长方体.
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解:如图①,在矩形 ABCD 中,cos2α+cos2β=
������ ������
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题型三 解析几何中的类比推理
【例 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径.
定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
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1.类比推理
(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们
把这种推理过程称为类比推理.
答案:
������8 ������4
������12 ������8
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题型二 平面几何与空间几何之间的类比
【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分 别为α,β,则cos2α+cos2β=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想 并证明.
>
0)中的推广;
你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)
的一般性结论吗? 请写出你的结论.
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解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆
������2 ������2
12345
2
已知扇形的弧长为
l,半径为
r,类比三角形的面积公式
S=
底×高 2
,
可推知扇形面积公式������扇等于( )
A.
������2 2
B.
������2 2
C.
������������ 2
D.
不可类比
解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则扇形的半径 r 类比为
三角形的高,所以
S扇
=
1 2
1.2 类比推理
-1-
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
故结论成立.
题型一 题型二 题型三
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反思1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,两者在很多 方面可以进行类比,例如,等差数列中项的加、减运算与等比数列 中的乘、除运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到 可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结 合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
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1下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是
()
A.三角形
B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
答案:C
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【变式训练1】 若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-
S积8,为S16T-nS,1则2成T4等, 差数列,类比, 以上结论有,:������若������11等62 成比等数比列数{b列n}的. 前n项之
即
������8 ������4
2 = ������������182·T4,
������12 ������8
2
=
������8 ������4
·������������1162,
故
T4,
������8 ������4
,
������12 ������8
,
������16 ������12
成等比数列.
>
0,
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 ������������22. 在有心圆锥曲线中的推广:过有心圆锥曲线 Ax2+By2=1(AB≠0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 − ������������.
可得该三棱锥的外接球半径������ =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
������2+������2+������2
2.
答案:
������2+������2+������2 2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值
−
������2 ������2
.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
T16= ������116������1 + 2 + ⋯+15= ������116������120,
所以
������8 ������4
=
������14������22,
������12 ������8
=
������14�����wenku.baidu.com38,
������16 ������12
=
������14������54,
=
������2 ������2
=
1.
������ ������
2
+
������ ������
2
+
������ ������
2
=
图①
(答案不唯一)
图②
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反思1.类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行 对比、归纳,提出猜想.
������������.
答案:C
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3 若数列{an}(n∈N+)是等差数列,则通项公式为 bn=
������1+������2
+������3+…+������������ ������
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题型一
题型二 题型三
题型一 等差数列与等比数列之间的类比
���������3���
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=������ 13qm+n+p-3=������13q3r-3=(b1qr-1)3=���������3��� ,
积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
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2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)+2.因为 f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,…,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(n∈N+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在 空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n>100时,f(n)≠2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一
2.此题也可类比为:长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所 成的角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1.但这个结论是不对的, 实际上此时cos2α+cos2β+cos2γ=2.由此可知,类比的结论不是唯一 的,也不一定正确.
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解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差 有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等 差数列时,类比等比数列为依次每4项之积成等比数列.下面证明该 结论的正确性:
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答案:过椭圆
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0)上一点(������0,
������0)
的椭圆的切线方程为
������0������ ������2
+
������0������ ������2
=
1
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(������∈N+)的数列{bn}也是等差数列.
类比上述性质,相应地,若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且 cn>0,则通
(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.
(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们
的面积比为1∶4;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
1∶2,则它们的体积比为
.
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是
相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体
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【变式训练3】 圆与椭圆都是有心二次曲线,在圆中有性质“过
圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”,类比上述性 质可得椭圆的一个性质为 .
题型一 题型二 题型三
设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1,
则 T4= ������14������6, ������8 = ������18������1 + 2 + ⋯+7= ������18������28,
T12= ������112������1 + 2 + ⋯+11= ������112������66,
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)中的推广;
(2)写出定理在双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
2
+
������ ������
2
=
������2+������2 ������2
=
������2 ������2
=
1.
于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成
的角分别为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
证明如下:如图②,cos2α+cos2β+cos2γ=
������2+������2+������2 ������2