河南省郑州市九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程(第2课时)教案(新版)北师大版
近年九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教案
2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教学目标（一）教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导。
2．会用求根公式解一元二次方程。
（二）能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2—4ac≥0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张:复习练习(记作投影片§2．3 A）第二张：试一试(记作投影片§2．3B）第三张:小亮的推导过程（记作投影片§2．3 C）第四张:求根公式(记作投影片§2．3 D)第五张：例题（记作投影片§2．3 E ） 教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入课题［师]我们前面学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．（出示投影片§2．3 A ）1．用配方法解方程2x 2-7x+3＝0．[生甲]解：2x 2-7x+3＝0，两边都除以2，得x 227-x+23＝0．移项,得;x 2—27x=—23．配方，得x 2—27x+(-47）2＝-23+（-47）2．两边分别开平方,得x-47＝±45即x —47=45或x-47=—45．∴x 1=3，x 2=21．［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．（出示投影片§2．3 B ）试一试，肯定行：1．用配方法解下列关于x 的方程： (1）x 2+ax ＝1；(2）x 2+2bx+4ac ＝0． [生乙]（1)解x 2+ax ＝1，配方得x 2+ax+（2a ）2＝1+(2a）2,(x+2a ）2=442a ．两边都开平方，得x+2a ＝±242a +，即x+2a ＝242a +，x+2a =-242a +。
用公式法求解一元二次方程(第2课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教学目标1.会用公式法解决一元二次方程的实际问题.2.通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法.3.通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.教学重难点重点：能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握利用面积法建立一元二次方程的数学模型.教学过程导入新课1.用公式法解下列方程： （1）2x 2-3x -1＝0； （2）3x 2-7x +2＝0.2.一元二次方程x 2－x －2＝0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定3.一元二次方程x 2+2x +a ＝0有实根，则a 的取值范围是 _______.4.关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞﹣1B.k ＞1C.k ≠0D.k ＞﹣1且k ≠0答案：1.（1）x 1＝3+√174，x 2＝3−√174（2）x 1＝13，x 2＝2 2.A 3.a ≤1 4.D5.现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决.在一块长为16 m ，宽为12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园占地面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种.（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）教学反思通过征集设计方案，激发学生的内在动力.学生先独立思考、独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者.探究新知思考如何具体解决上面问题： 1.如何设未知数？怎样列方程？ 2.分组解答图(5)(6)所列的方程. 图(5)的解答：解：设两个矩形所夹区域的宽为x m ， 由题意得(16－2x )(12－2x )＝16×12×12，整理，得x 2－14x ＋24＝0，x 2－14x ＋49＝－24＋49，(x －7)2＝25， 即x 1＝12（舍去），x 2＝2.问题：你认为小路的宽为12 m 和2 m 都符合实际意义吗？ 不都符合. 图(6)的解答：解：设扇形的半径为x m ，由题意得πx 2＝16×12×12，πx 2＝96，x ＝±√96π≈±5.5， 即x 1≈5.5，x 2≈－5.5(舍去).例1 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料（材料恰好无剩余），当矩形花园的面积为300 m 2时，求AB 的长.解：设AB 的长为x m ，则BC 的长为(50－2x )m. 根据题意，得x (50－2x )＝300， 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，AD ＝BC ＝50－2x ＝30>25，不合题意， 所以x ＝10应该舍去.当x ＝15时，AD ＝BC ＝50－2x ＝20<25， 所以x ＝15满足条件. 答：AB 的长为15 m.注意：解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.课堂练习1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A.x (x －10)＝900B. x (x ＋10)＝900C.10(x ＋10)＝900D.2[x ＋(x ＋10)]＝900教学反思2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m ，则可列方程为( )A.(x ＋1)(x ＋2)＝18B.x 2－3x ＋16＝0C.(x －1)(x －2)＝18D.x 2＋3x ＋16＝03.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2，则它的两条直角边长分别为 .4.在一幅长50 cm 、宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色边，制成一幅矩形 挂画，如图所示.如果要使整个矩形挂画（包括边）的面积是1 800 cm 2，设金色边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为 .5.如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2，求小路的宽度.参考答案1.B2.C3.2 cm,7 cm4.x 2+40x -75＝05.解：设小路的宽度为x m,可列方程（40-2x ）(26-x )＝144×6， 化简得x 2-46x +88＝0， 解得x 1＝2,x 2＝44(舍去). 答：小路的宽度为2 m.课堂小结教学反思解决几何图形问题，要注意寻求其中的等量关系转化为一元二次方程问题.教学反思布置作业课本习题2.6 问题解决1，2，3 联系拓广 4板书设计3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程学案
2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程【学习目标】知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；(2)会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。
能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。
情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。
【学习重点】用求根公式解简单数字系数的一元二次方程【学习过程】一、前置准备：1.利用配方法快速解下列两个方程：x2+2x-35=0 5x2-15x-10=02.通过对配方法解一元二次方程的学习，你认为利用配方法解方程的关键是什么？步骤呢？。
二、自学探究：利用配方法推导一元二次方程的求根公式若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），你觉得应如何利用配方法求解？（1）ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到：。
（2）把上式中的常数项移项可得：（3）如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？。
（4）配方后可得：。
（5）思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当时，它的根是：x= 。
式子称为求根公式，用解一元二次方程的方法称为公式法．．．。
三、合作交流：1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法：。
2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么？与同学交流一下的想法。
3、利用公式法解方程的一般步骤：（1）（2）（3）（4）。
四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、例题解析：例1 利用公式法解方程x2-7x-18=01分析：此方程中哪些数字相当于ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的a 、b 、c ？试写出解方程的完整过程。
六、当堂训练：1、用公式法解下列方程：（1）x 2+2x-35=0 （2）5x 2-15x-10=0(3)9x 2+6x+1=0 (4)16x 2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
初中数学九年级上册第二章 一元二次方程用配方法求解一元二次方程
第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。
学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。
二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。
这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程
(2)3x2－1＝8x；
解：∵a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴b2－4ac＝64－4×3×(－1)＝76.
∴x＝82±×736＝4±3 19，
即
x1＝4＋3
19，x2＝4－3
19 .
第十六页，共二十六页。
(3)(2x＋1)(x－3)＝－6x； 解：原方程化简为 2x2＋x－3＝0. ∵a＝2，b＝1，c＝－3， ∴b2－4ac＝1－4×2×(－3)＝25， ∴x＝－1±4 25＝－14±5， ∴x1＝－23，x2＝1.
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归类探究
类型之一 用公式法解一元二次方程
解方程：
(1)x2－2x－2＝0；
(2)2x2－4x－5＝0.
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解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12>0，
∴x＝22±×112，即 x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3.
第三页，共二十六页。
知识管理
1．一元二次方程的求根公式
公
式 ： 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的 求 根 公 式 为
__x_＝__－__b_±__2_ba2_－__4_a_c_(_b_2－__4_a_c_≥__0_)____．
注 意：(1)b2－4ac≥0.(2)只要确定了系数 a，b，c，代入公式即可求出
第十七页，共二十六页。
(4)x＝0.4－0.6x2. 解：原方程可化为 0.6x2＋x－0.4＝0. ∵a＝0.6，b＝1，c＝－0.4， ∴b2－4ac＝1－4×0.6×(－0.4)＝1.96， ∴x＝－21×± 01.6.96＝－11±.21.4， ∴x1＝－2，x2＝31.
3 用公式法求解一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
栏目索引
例 用公式法解方程2x2+3x=4.
解析 移项,得2x2+3x-4=0.
因为a=2,b=3,c=-4,
所以b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0,
所以x= b b2 4ac = 3 41 = 3 41 ,
2a
22
4
所以原方程的解为x1= 3 41 ,x2= 3 41 .
栏目索引
题型一 利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围
例1 已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.
(1)当k
时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当k
时,方程有两个相等的实数根;
(3)当k
时,方程没有实数根.
解析 (1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0,即(-4)2-4×2k>0, ∴k<2. (2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,即(-4)2-4×2k=0,∴k=2. (3)当方程无实数根时,b2-4ac<0,即(-4)2-4×2k<0,∴k>2.
∴x= (2 3)
21
0=
3 ,∴x1=x2=
3.
(2)在方程的两边同乘8,得4x2-4x+1=0.
a=4,b=-4,c=1, ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
∴x= (4) 0 = 4 = 1 ,∴x1=x2= 1 .
24 8 2
2
(3)将原方程化为一元二次方程的一般形式为 2 x2- 3 x- 2 =0.a= 2 ,b=
根的判别式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
初中数学九年级上册《一元二次方程的解法3公式法
x1=9,x2=－2
注意：符号
这里a=1，b=―7，c=―18
例：解方程：2x2+7x=4
解：移项，得2x2+7x―4=0
这里，a=1 , b=7 , c=―4
∵b2－4ac=72―4×1×(―4)=81>0
∴x= =
即:x1= ,x2=―4
三、巩固练习：
随堂练习：1、2
四、小结：
（1）求根公式：x= （b2－4ac≥0）
当b2－4ac≥0时，它的根是 x=
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例题讲析：
例：解方程：x2―7x―18=0
解：这里a=1，b=―7，c=―18
∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0
∴x解一元二次方程的步骤
五、当堂检测：
5、7x2x1 = 0
六、布置作业：
习题2.6 1、2
七、板书设计：
学生小结
步骤: (1)指出a、b、c
（2）求出b2－4ac
(3)求x
（4）求x1, x2
看课本，然后小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法――公式法。
（1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。对于a 0，知4a >0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。
（2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b －4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
初中数学_用公式法求解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
九年级上第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】多媒体出示问题：1、我们把__ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数．2、把下列方程化为一般形式，并填表方程 a b c处理方式：教师用多媒体出示问题，引导学生阅读后填空，然后让学生说一说用配方法解方程的步骤．针对学生的基本学情，从一元二次方程的基本概念引入，复习abc的取值，并回忆归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.活动二：实践探究交流新知活动内容2：(多媒体出示)教师：提出问题：用配方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．解：移项，得ax2＋bx＝－c.二次项系数化为1，得x2＋ba x＝－ca.配方，得x2＋ba x＋⎝⎛⎭⎫b2a2＝－ca＋⎝⎛⎭⎫b2a2，即⎝⎛⎭⎫x＋b2a2＝b2－4ac4a2.(提示：这时能不能开方解方程？为什么？进而引导学生讨论b2－4ac的值对解方程的影响)当b2－4ac＞0时，直接开平方，得x＋b2a＝±b2－4ac2a，即x＝－b±b2－4ac2a，∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．处理方式：由学生在练习本上独立完成，对于个别有困难的学生教师指导点拨．然后教师点评并在黑板上展示推导把握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，掌握推导过程的关键是掌握配方法．让学生自主探索一元二次方程的求根公式，一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过教师引导，学生将会印象深刻，有助于理解求根公式．只有亲身经历公式的推导过程，才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识．才能在集体交流的时候，有感而发．通过例题的练习和讲解，使学生在使用公式法解一【直击中考】1、（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定2、（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0C．x2﹣1=0D．x2﹣2x﹣1=03、（2016•营口）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k＞﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.拓展提升，最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标.活动四：课堂总结反思通过这节课的学习，你有哪些收获？1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何判断一元二次方程根的情况3.公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？学生畅谈自己的收获！师生共同总结公式法求解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，进而确定a，b，c的值；(注意符号)(2)求出b2－4ac的值；(先判别方程是否有根)(3)在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出－b±b2－4ac2a的值，最后写出方程的根．当b2－4ac<0时，方程没有实数根．【当堂检测】1.不解方程，判断方程根的情况2.用公式法解方程课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.当堂检测，及时反馈学习效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.学情分析：1、学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.利用配方法解方程时，有不少题计算起来非常麻烦，已经有学生迫切的想学习更为简洁的解方程的方法。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教
3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．重点用公式法解一元二次方程．难点用配方法推导求根公式的过程．一、复习导入用配方法解下列方程：(1)2x 2＋3＝7x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0.学生独立完成，指名板演．(1)2x 2＋3＝7x.解：将方程化成一般形式2x 2－7x ＋3＝0. 两边都除以一次项系数2，得x 2－72x ＋32＝0. 配方，得x 2－72x ＋(74)2－4916＋32＝0， 即(x －74)2－2516＝0. 移项，得(x －74)2＝2516. 两边开平方，得x －74＝±54， 即x ＝74±54.所以x 1＝3，x 2＝12. (2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：两边都除以一次项系数3，得x 2＋23x ＋13＝0. 配方，得x 2＋23x ＋(13)2－19＋13＝0， 即(x ＋13)2＋29＝0. 移项，得(x ＋13)2＝－29. 因为－29<0， 所以原方程无解．二、探究新知1．一元二次方程的求根公式课件出示：用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小X 围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．解：两边都除以一次项系数a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0. 教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?学生：因为a≠0.配方，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2－b 24a 2＋c a ＝0， 即(x ＋b 2a )2－b 2－4ac 4a 2＝0. 移项，得(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2. 教师：现在可以两边开平方吗？学生：不可以，因为不能保证b 2－4ac 4a 2≥0. 教师：什么情况下可以两边开平方？学生讨论后回答：因为a≠0，所以4a 2>0.要使b 2－4ac 4a 2≥0，只要 b 2－4ac≥0即可．所以当b 2－4ac≥0时，两边开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 4a 2. 所以x ＝－b 2a ±b 2－4ac 2a， x ＝－b ±b 2－4ac 2a. 归纳：x ＝－b ±b 2－4ac 2a称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．2．一元二次方程的判别式教师：如果b 2－4ac<0时，会出现什么问题？学生：方程无解．教师：如果b 2－4ac ＝0呢？学生：方程有两个相等的实数根．归纳：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac<0时，方程没有实数根．教师：由以上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．三、举例分析例1 解方程：(1)x 2－7x －18＝0；(2)4x 2＋1＝4x.引导学生根据以下步骤解方程：①确定a ，b ，c 的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．例2 判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋3＝7x ；(2)x 2－7x ＝20；(3)3x 2＋2x ＋1＝0；(4)9x 2＋6x ＋1＝0；(5)16x 2＋8x ＝3；(6) 2x 2－9x ＋8＝0.学生迅速演算或口算出b 2－4ac ，从而判断出根的情况．教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？教师：上述方程如果有解，请求出方程的解．学生独立完成，教师板书第(1)题．解方程：2x 2＋3＝7x.先将方程化成一般形式，得2x 2－7x ＋3＝0.确定a ，b ，c 的值 a ＝2, b ＝－7, c ＝3.判断方程是否有根 ∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×3＝25>0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±252×2＝7±54. 写出方程的根 即x 1＝3，x 2＝12. 教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？四、练习巩固教材第43页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是什么？2．如何判断一元二次方程的根的情况？3．用公式法解方程应注意的问题是什么？4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？六、课外作业1．教材第43页习题2.5第1～4题．2．一X 桌子长4 m ，宽2 m ，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽．教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度．。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程
12/11/2021
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（口答）填空(tiánkòng)：用公式法解方程3x2+5x-2=0
【解析(jiě xī)】3 a= ，5b= ，c-2=
b2-4ac=
= 49 .
52-4×3×(-2)
x=
=
即 x1= , x2= . -2
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【解析(jiě xī)】去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里(zhèlǐ) a=3, b=-7, c=8.
∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程(fāngchéng)没有实数根.
12/11/2021
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【规律方法】用公式(gōngshì)法解一元二次方程的一般步骤：
a、b、c （1）把方程化成(huà chénɡ)一般形式，并写出
的值
（2）求出 b2 4a的c值，
特别注意:当 b2 4ac时0无解
（3）代入求根公式(gōngshxì): b b2 4ac
2a
（4）写出方程的解：
x
、
1
x
2
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【例2】解方程： 4x 214x
【解】化简为一般(yībān)式得
42 x4x10
这里(zhèlǐ) a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( -4 )2 - 4×4×1=0,
x（ - -2 4） 4 02021
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【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6．
No wéi)公式法．。【例1】解方程：x2-7x-18=0．。即：x1= x2=。【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6。化简为
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
x1
9
6
57
或
x2
9 57 6
与用配方法求的方程的结果是一样！
探究1
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
公式法
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求 根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
总结
对于一元二次方程：ax2 bx c 0（ a 0 ）
①当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根；
③当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 所以 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 即： b2 4ac
探究2 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园, 并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
你能给出设计方案吗?
12m
探究2 我—小明,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都 相等.通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
16m
你认为小明的结果对吗?为什么? 你能将小明解答的过程重现吗?
牛刀小试
用公式法解下列方程
2、 解：化简为一般式得 这里 a=4, b= -4 , c= 1. ∵b2 - 4ac= - 4×4×1=0,
即：x1= x2=
其他练习
课堂小结 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2(
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2（新版）新人教版◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米D 、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ B C A Q P解:◆课下作业 ●拓展提高1、矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ） A、4+ B、12+、2+ D、212++3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ． （1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？4、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？图② 图①A DC EB（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m.)●体验中考1、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A 、213014000x x +-=B 、2653500x x +-=C 、213014000x x --=D 、2653500x x --=2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程2
解（1）∵a=1，b=3，c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
∴ x 3 1 21
∴x1=-1，x2=-2 第八页，共十七页。
典型 例题 (diǎnxíng)
例 用公式(gōngshì)法解下列方程：
(2) 2x2－7x = 4
(3) x2=3x-8
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根
公式求解。
解（2）移项(yíxiànɡ)，得2x2-7x-4=0 ∵a=2，b=-7，c=-4
b2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0
∴
x 7 81
22
1
∴，x1=4， x 2 2
第九页，共十七页。
典型 例题 (diǎnxíng)
例
用公式(gōngshì)法解下列方程：
(3) x2=3x-8
什么条件(tiáojiàn)下就能用直接开平方解？
当 b2 4ac0,且a≠0时，可以开平方
得 x b b2 4ac
2a
2a
所以 x b b2 4ac 2a 2a
即 x b b2 4ac
2a 第四页，共十七页。
你能得出(dé chū)什么结论？
概括 总结 (gàikuò)
一般(yībān)地，对于一般(yībān)形式的一元二次方程
（1）2 x 2 7x 2 0
（2）2x24x50
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比 较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
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3.如何用配方法解一般形式(xíngshì)的一元二次
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为(yīn a wèi) ≠0 ，所以方程两边都除以a，得
九年级数学上册第二章一元二次方程《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》知识讲解及例题演
2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》知识讲解及例题演练（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》知识讲解及例题演练（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一元二次方程的解法（三）——公式法，因式分解法—知识讲解【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念,能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程,当时,.2。
一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式:．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值(要注意符号）；③求出的值；④若,则利用公式求出原方程的解；若,则原方程无实根.要点诠释:（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
初中数学九年级上册一元二次方程03 公式法
22.2.2一元二次方程——公式法学习目标：会用公式法解简单系数的一元二次方程。
学习内容1、一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)(042422≥--±-=ac b aac b b x2、用公式法解一元二次方程的一般步骤是：（1） 一化：将方程化为一元二次方程的一般形式； （2） 二定：确定ac b c b a 42-的值及,,的值； （3） 三代：代入求根公式； （4） 四写：写出原方程的解。
3.根据判别式判断根的情况b 2－4ac ＞0；有两个不相等的实数根 b 2－4ac = 0；有两个相等的实数根； b 2－4ac ＜0；没有实数根.【探究】用配方法解方程：ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）解：移项，得：ax 2+bx ＝-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a 得： x 2+bax ＝-c a配方，得：x 2+b ax+（2b a ）2＝-c a +（2ba）2 即（x+2b a）2＝2244b ac a -∵a ≠0 ∴4a 2>0 当 b 2-4ac ≥0时， 224b ac-≥0∴x+2b＝±2a 即x ＝2b a -±∴x 1 x 2概念题学习内容1.一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是. 利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.2. 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2－4ac＞0；b2－4ac = 0；b2－4ac＜0；22.2.2一元二次方程——公式法一、探索求知【探究】用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 解：移项，得：ax 2＋bx ＝ 因为a ≠0，所以方程两边同除以a 得： x 2 ＋ x ＝－配方，得：x 2＋b a x ＋（ ）2＝－c a＋（ ）2即（x ＋ ）2＝2244b aca -∵a ≠0 ∴4a 2>0 当 b 2－4ac ≥0时， ≥0 ∴x ＋2ba＝± 即x ＝ ∴x 1＝ ，x 2＝由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c ＝0，当b 2-4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子就可求出方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：⑴将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程课件(b层)
内容(nèiróng)总结
第二章 一元二次方程。2.3 用公式法求解(qiú jiě)一元二次方程。第1课时 用公式法求解(qiú jiě)一元二次方 程。1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.。2.会用公式法解一元二次方程.（重点）。②将常数项移到方程的
No 右边，是左边只有二次项和一次项.。因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.。1.变形： 化已知方
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个(liǎnɡ ɡè)不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.
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第六页，共二十一页。
2 用公式法解一元二次方程
例1 解方程： （1）x2 - 7x –18 = 0； 解：这里(zhèlǐ) a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴x7 121711.
21
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边(liǎngbiān)都是非负数.可以开方,得
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x+ b= 2a
b2 4ac 4a2 .
x = b b2 4ac. 2a
第五页，共二十一页。
对于(duìyú)一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程 一元二次方程求根公式的推导素材
九年级数学上册第二章一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程一元二次方程求根公式的推导素材(新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二章一元二次方程３用公式法求解一元二次方程一元二次方程求根公式的推导素材(新版）北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一元二次方程求根公式的推导创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不断提高的不竭动力.因此,同学们在数学学习的过程中，要 怀疑权威——书本和老师,不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径，探求问题的存在规律,只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高.比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的,即:对于方程ax 2＋bx+c=0（a≠０）(１)方程两边同除以a 得：x 2+a b ｘ＋a c=0(2）将常数项移到方程的右边得:x 2+a b x ＝﹣a c（3)方程两边同时加上(a b2）2得:x ２+a bx+（a b2)2＝(a b 2)2﹣a c（4）左边写成完全平方式，右边通分得:(x +a b 2）2=2244a acb -由ａ≠0得，4 a 2＞0，所以，当ｂ2-4ac≥0时,2244a acb -≥0,所以,x=a acb b 242-±-除了上述推导方法外，不知道同学们是否思考过:还有其他方法吗？多思出智慧,多练出成绩.我们也可以这样推导:方法1：ax 2＋bx+c ＝０（a≠0)方程两边同乘以4a 得：4 a 2x 2+４abx+4a ｃ＝０方程两边同时加上b 2得：4 a 2x 2+4abx+4ac+b ２＝b 2把4ac 移到方程的右边得:４ a 2x 2+4abx ＋ b ２=ｂ2-4ａc将左边写成完全平方式得:(2ａx+b)2= b 2-4a ｃ当b 2-4a ｃ≥0时,有: 2ax+b=±ac b 42-所以,2a ｘ=﹣b±ac b 42-因为，a≠0所以,ｘ＝aac b b 242-±- 方法2：a ｘ2＋b ｘ+c ＝０（ａ≠0)移项得：ax 2+bx=﹣c方程两边同乘以ａ得:a 2x 2＋abx=﹣ac方程两边同时加上(2b )2得：a 2ｘ2+a ｂx ＋(2b ）２＝(2b ）2﹣ａc整理得:(ax ＋2b )2=42b ﹣ac 即:（a ｘ+2b )2=442ac b - 当b ２－4ac≥0时，ａx ＋2b ＝±242ac b - 即:x=aac b b 242-±- 同学们,没有做不到,只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想:这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
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整理，得：x 2 -14x+24=0
x 2 -14x+49=-24+49
(x-7) 2 =25
2
2
x1=12 ,x2=2 答：（略）
问题：你认为小路的宽为 12m 和 2m 都符合实际意义吗？
图（6）的解答：
解：设扇形的半径为 xm,由题意得：
π x 2 =16×12× 1 2
π x 2 =96
x1≈5、5
x=± 9≈6 ±5、5
，x2≈-5、5（ 舍去）
3、集体解答图（7）：根据学生所列的方程进行解答。
活动目的：通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际
问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法
解一元二次方程。
教学效果：
由于时间关系，分组解答图（5）和（6），部分同学忽视了验证
现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提
出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合
上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并
进。
2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。
金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？
解：设金边的宽为 xm,由题意得：
3
3
（90+2x ）(40+2x) ×72%=90 ×40 活动目的：增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。
课堂小结: 通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
（修改人：
）
板书设计：
例题板演区 教学反思：
目标 1，2 目标 2, 3 支架式教学法，教师引导 希沃白板，课件
课前作业
你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？ 怎样用配方法解一元二次方程？ 怎样用公式法解一元二次方程？
1
1
教学 环节
教学过程 课堂合作交流
二次备课
（修改人：
）
问题引入： 在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，
4
4
2.3 用公式法求解一元二次方程（2）
1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学
生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时，提出了这样的问题：在一块长为１６m，宽为１２m 的
矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实
解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可。
课中作业
组内检查过关 ，规范格式
学以致用
活动内容：在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度
相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个1)
(2)
(3)
出示图（2）和图（3）做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的
环 并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若 节 可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 一
学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。
课中作业： 小组讨论、交流展示
环
如何设未知数？怎样列方程？
节
分组解答图（5）、（6）所列的方程。
二 图（5）的解答：
解：设小路的宽为 xm,由题意得：
用公式法求解一元二次方程
课题 课程标准
用公式法求解一元二次方程 课标 P28 能用公式法解数字系数的一元二次方程。
课时安排
共（2）课时
学习目标
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义; 增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法； 通过设计方案培养学生创新思维能力.
教学重点 教学难点 教学方法 教学准备