2020年高中数学4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性练习北师大版必修4

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与

周期性

课后拔高提能练

一、选择题

1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆(以坐标原点为圆心)逆时针方向运动2π

3弧长到达Q 点，

则Q 的坐标为( )

A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，32 B ．⎝ ⎛

⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，－32

D ．⎝

⎛⎭

⎪⎫－

32，12 解析：选A

2．已知P (3，y )在角α的终边上，且满足y <0，cos α＝3

5，则sin α的值为( )

A ．45

B ．－45

C ．－35

D ．35

解析：选B 由题意知3

32＋y 2＝35，得y ＝±4，又y <0，∴y ＝－4，∴sin α＝－432＋(－4)

2

＝－45

.

3．设α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α

2的终边落在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选C ∵α是第二象限角， ∴2k π＋π

2<α<2k π＋π，k ∈Z ，

∴k π＋π4<α2

2，k ∈Z ，

∴α

2是第一或第三象限角． 又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α

2<0，

∴α

2

是第三象限角．

4．给出以下命题：

①存在函数f (x )，对于其定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；

②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；

③周期函数的周期是唯一的；

④周期函数f (x )的定义域可以为(a ，b )，其中a ，b 均为实常数． 其中正确的个数有 ( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3 解析：选A 由周期函数定义知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，故①错误；又T 是非零实数，故②错误；若T 为周期，则kT (k ∈Z )也是周期，故③错误；由于T 不为零，又当x 属于f (x )的定义域时，x ＋T ，x ＋2T ，…，x ＋kT (k ∈Z )也属于定义域，故周期函数f (x )的定义域没有上、下界，只能是R ，故④错误．

二、填空题

5．若点(a,9)在函数y ＝3x

的图像上，则sin

a π

6

＝________.

解析：∵(a,9)在y ＝3x

的图像上，∴3a

＝9，a ＝2.sin a π

6＝sin π3＝32

. 答案：

32

6．如图，动点从A (1,0)出发，逆时针旋转到P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

－33，－63，则以OP 为终边的角α的余弦值为________．

解析：由三角函数的定义可知cos α＝x ＝－33

. 答案：－

3

3

7．已知角α的终边经过点P (－3，y )(y ≠0)，且sin α＝

2

4

y ，则cos α＝________.

解析：r ＝3＋y 2

，sin α＝y r ＝

2

4

y ，∵y ≠0，∴y 2＝5， ∴r ＝22，∴cos α＝x r ＝－322＝－6

4

.

答案：－

6

4

三、解答题

8．(1)已知角α的终边过点P (1,2)，求5sin α＋

5

2

cos α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α的值． 解：(1)∵角α的终边上有一点P (1,2)， ∴OP ＝12

＋22

＝5，sin α＝

25

，cos α＝

15

，

5sin α＋

52cos α＝25·5＋52×15＝52

. (2)在角α的终边上任取一点(a,2a )(a ≠0)， 则|OP |＝a 2

＋(2a )2

＝5|a |. 当a >0时，sin α＝

2a

5|a |＝25

5，

cos α＝

a

5|a |＝5

5

； 当a <0时，sin α＝

2a

5|a |＝－255，

cos α＝

a

5|a |

＝－5

5.

9．设θ为锐角，利用三角函数的定义证明：1

y x 2＋y

2

，cos θ＝x x 2＋y 2

，

∵θ为锐角，∴x >0，y >0.

于是sin θ＋cos θ＝x ＋y

x 2＋y

2＝

(x ＋y )

2

x 2＋y 2

＝2－(x －y )2

x 2＋y 2≤ 2.

又∵sin θ＋cos θ＝

x 2＋y 2＋2xy

x 2＋y 2

＝

1＋

2xy

x 2＋y 2

>1， ∴1