安庆一中高一数学测试卷

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安庆一中高一数学期末数学试题

安庆一中高一数学试题（必修4模块检测）命题教师吴显上一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．0tan 600的值是（） A．-．2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.tan α·tan β=13. 下列命题正确的是（）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（）5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（）A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（）（A ）y x ≤（B ）y x >（C ）y x <（D ）y x ≥7．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4π）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。

2022-2023学年安徽省合肥一中、安庆一中等六校高一上数学期末考试试题含解析

14．已知函数，则 __________
15．若，，且，则的最小值为________
三、明过程或演算步骤.）
16．已知函数 .
（1）求的定义域；
（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.
17．已知函数 .
（1）请用“五点法”画出函数在上的图象（先列表，再画图）；
1．已知函数且，则函数恒过定点（）
A. B.
C. D.
2．“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（）
A.1B.
C. D.3
4．在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是
A. B.
【详解】令，解得，，
所以函数恒过定点，
故选：D
2、A
【解析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.
【详解】，时，，
，时，，
所以“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件，
故选: .
3、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
（Ⅱ）利用两角和的余弦公式化函数为一个角的余弦型函数，利用余弦函数的性质得最值
【详解】解：（Ⅰ），
所以要得到的图象只需要把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可.
（Ⅱ） .
当2x+ =2k ＋时，h（x）取得最小值 .
取得最小值时，对应的x的集合为 .
19、（1）；（2）或 .
【解析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；

安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题含解析

安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列关于四棱柱的说法： ①四条侧棱互相平行且相等； ②两对相对的侧面互相平行； ③侧棱必与底面垂直； ④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（）A ．32B C D ．3．已知x y z >>，2x y z ++=，则（） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >4．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=，α∈R ，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（）. A ．1-B ．1C ．3D ．76．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形7．已知向量||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b -=（）8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.39．已知等差数列{}n a 中，若341092a a a =-+=-，，则n S 取最小值时的n =（） A ．9 B ．8C ．7D ．610．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简：OP OA PB BC -++=（）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.【详解】OP OA PB BC AP PB BC AB BC AC -++=++=+=. 故选：D2．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（）A．1 B ．2 C D 【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ b =故选：D.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（） A．1 B C ．2D ．3【答案】D【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，利用|2i |1z -=推出z 对应复平面上的点的轨迹，||z 的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|2i |1z -=，1，则22(2)1x y +-=，于是(,)A x y 可看成以(0,2)为圆心，半径为1的圆上运动，||z 意为A 到(0,0)的距离，距离最大值为3，所以max ||=3z . 故选：D.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )A ．22B ．1C 2D ．(212【答案】A【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB 2=2 所以原图形的面积为：1×2=2 故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 5．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（） A ．12 B ．11.5C ．11D ．7【答案】A【分析】将数据排序，根据百分位数的求法求60%分位数. 【详解】将数据从小到大排序为5,7,11,12,15,30，所以660% 3.6⨯=，故该组数据的60%分位数是12. 故选：A6．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为（） A ．322 B ．311C ．422D ．511【答案】A【分析】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，G 为1CC 中点，连接1B G ，利用长方体性质及线面平行的判定证1//A N 面1B GE 、//DM 面1B GE ，即面1B GE 为平面α，再延长EG 交DC 于F ，连接AF ，利用线线、线面的性质确定面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，最后延长1,AF B G 分别交BC 于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及1134AFGB AHB S S =求截面面积即可.【详解】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，则11112C ED C =，若G 为1CC 中点，连接1B G ，而M 为1AA 的中点，在长方体中1//B G DM ，而111B G B E B ⋂=且11,B G B E ⊂面1B GE ，由1A N ⊄面1B GE ，则1//A N 面1B GE ，由DM ⊄面1B GE ，则//DM 面1B GE ，所以面1B GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F ，易知：F 为DC 中点，则1//EF C D 且1EF C D =，又11//C D B A 且11C D B A =，故1AFEB 为平行四边形，则1//EF B A 且1EF B A =，故1,,,,A F E G B 共面，连接AF ，即面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，延长1,AF B G 分别交BC 于一点，而在1,ABH B BH 中,CF CG 都为中位线，由14AB AA ==，3BC =，则1CG CFB B AB=，故1,AF B G 交BC 于同一点H ，易知：△1AHB 为等腰三角形且1213AH B H ==142AB =，则1104329cos 25213AHB -∠==⨯，可得1sin AHB ∠=，又113315244213AFGB AHB S S ==⨯⨯⨯=故选：A【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面α，再根据平面的基本性质找到平面α截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.8．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】A【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 二、多选题9．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（）A ．z 的实部为2B ．zC ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以||z =z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误．故选：AB10．已知O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（） A ．若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形B ．若0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的外心 C ．若0AB BC ⋅>，则ABC 为钝角三角形D ．若0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，则0OC AB ⋅= 【答案】ACD【分析】由数量积的运算判断A ，根据向量的夹角公式判断C ，由垂直的向量表示判断D ，根据向量线性运算判断B ．【详解】由()()0AB AC AB AC +⋅-=，得22AB AC =，即AB AC =，故A 对；由0OA OB OC ++=，取BC 中点D ，连接OD ，则2OB OC OD OA +==-，所以,OA OD 共线，且O 在线段AD 上，21OA OD =，即O 为重心，故B 错；由0AB BC ⋅>，得B π-为锐角，B 为钝角故C 对；由0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，得,OA BC OB AC ⊥⊥，知O 为ABC 的垂心，所以0OC AB ⋅=，故D 对.故选：ACD.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为233cmC 373πD ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm 【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.【详解】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为3cm ，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确；将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=，即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.12．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（）A ．MB 是定值 B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 【答案】ABD【分析】取CD 的中点N ，先证平面MBN ∥平面A 1DE ，再得MB ∥平面A 1DE ；根据余弦定理计算BM 为定值；再根据BM 为定值，可得点M 在圆上运动；若DE ⊥A 1C ，根据条件推出DE ⊥A 1E ,与题意矛盾【详解】解：取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，因为MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以平面MNB ∥平面A 1DE ，因为MB ⊂平面MNB ，所以MB ∥平面A 1DE ，D 正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，A 正确；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，B 正确；在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，所以DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，可得DE ⊥平面A 1CE ,即得DE ⊥A 1E ,与∠DEA 1为45︒矛盾，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，C 不正确. 故选： ABD. 三、填空题13．一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为_____. 【答案】16【详解】两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为61366= 故答案为1614．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，26PA =P ABCD -外接球的体积是______. 【答案】36π【分析】画出图形，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，可得正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，然后利用勾股定理求解即可.【详解】连接AC BD ，交于O '点，连接PO '，所以PO '⊥底面ABCD ，从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，连接OD ，正方形ABCD 的边长为4，可得22O D '=26PA PD ==224O P PD O D -'='，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222R O D O O O P O O =+=-''''，即()22284R O O O O =+='-'，解得1'=O O ，所以3R =，故四棱锥P ABCD -外接球的体积是34π336π3⨯=. 故答案为：36π.15．安排5名志愿者完成,,A B C 三项工作，其中A 项工作需3人，,B C 两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A 项工作，然后其他两人完成,B C 即可.【详解】A 项工作安排3人有35C 10=，然后安排,B C 有22A 2=，则所安排的方式共10220⨯=种. 故答案为：20.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，解得3y =3)C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭，所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．四、解答题17．已知复数()i ,R,0z a b a b ab =+∈<满足z =2z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)设z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．【答案】(1)1i z =-或1i z =-+； (2)1.【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.（2）利用（1）的结论，求出点A ，B ，C 的坐标，求出三角形面积作答. 【详解】(1)设i z a b =+（a ，R b ∈），则2222i z a b ab =-+，依题意，222a b +=且220a b -=，而0ab <，解得a =1，b =-1或a =-1，b =1，所以1i z =-或1i z =-+.(2)当1i z =-时，22i z =-，21i z z -=+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,1C ，2AC =，点B 到边AC 距离为1，则1ABC S =△，当1i z =-+时，22i z =-，213i z z -=-+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,3C -，2AC =，点B 到边AC 距离为1，1ABC S =△，所以△ABC 的面积是1.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若向量(1,sin )m C =，向量(sin(),1)n B A =-，且3sin 2m n A ⋅=，π3C =(1)求b a(2)若边c =ABC 的周长【答案】(1)3或1 2(2)4【分析】（1）由已知条件分类讨论即可求得ba的值；（2）分类讨论求得a b 、的值，即可求得ABC 的周长.【详解】(1)sin()sin sin cos cos sin sin()2sin cos m n B A C B A B A B A B A ⋅=-+=-++= 则2sin cos 3sin26sin cos B A A A A ==，即()3sin sin cos 0A B A -=当cos 0A =时，πππ,,236A C B ===，则πsin sin 16πsin 2sin 2b B a A === 当cos 0A ≠时，3sin sin 0A B -=，即sin 3sin B A =，则sin 3sin b B a A == (2)①当πππ,,236A C B ===时，由7c =，可得213b =，2213a = 则ABC 的周长为22121721733a+b+c =++=+； ②当ππ,32C A =≠，3b a =时，由7c =，可得()()222π7323cos 3a a a a =+-⋅，整理得21a =，则1a =，3b = 则ABC 的周长为13747a+b+c =++=+.19．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召a 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[25,30)内的人数为35．(1)求m 和a 的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到0.1）；(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率．【答案】(1)0.07m =，100a =，31.7(2)35【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出m 的值，然后再根据[25,30)段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在[35,40)内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=，解得0.07m = … 因为年龄在[25,30)内的人数为35，所以35(0.075)100a =÷⨯=设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x ，则[30,35)x ∈内，且满足0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23131.73x =≈ (2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的人数之比为3:2:1，故抽取的6名志愿者中，在区间[30,35),[35,40),[40,45]中分别抽取了3人，2人，1人记[30,35)中的3名志愿者为123,,A A A ，[35,40)中的2名志愿者为12,B B ，[40,45]中的1名志愿者为C ，则从6人中再随机抽取2人的所有可能有121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ；共15种，至少有1人年龄在[35,40)内的情形有9种，故所求概率为93155P == 20．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】53(2)E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x ∈，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG π=⨯⨯，再利用基本不等式计算可得；【详解】(1)解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为3．因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1534231333πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯=． (2)解：设DG x =，()0,2x ∈，则2CG x =-，()32FG x =-，此时()223223S DG FG x x πππ=⨯⨯=-≤，．当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM ；（2）求OD DM；（3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．【答案】(1)2233OM OA OC =+；(2)3；(3)3[0,]4. 【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P 设出1(0)2CP xOA x =≤≤，结合平面向量基本定理，λμ⋅建立为x 的函数求解.【详解】(1)依题意12CB OA =，23AM AB =， 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+-=+； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知2222()3333t t OD tOM t OA OC OD OA OC ==+==+，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，22133t t +=，则3t 4=，3OD DM =，||3||OD DM =； (3)由已知12OB OC CB OC OA =+=+，因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤， ()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++-，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=-=--在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=，故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. 【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，()0PF FC λλ=>.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）是否存在点F ，使得58B PAE D PFB V V --=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（3）若平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面PBE 内确定一点H ，使CH FH +的值最小，并求此时BH BP的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，4λ=；（3）点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，BH 2BP 3=. 【分析】（1）先证明AD ⊥平面PBE .，然后得BC ⊥平面PBE ，再得面面垂直；（2）利用棱锥体积之间的关系111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===，D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=，可得λ的关系，求得λ；（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，得C '是点C 关于面PBE 的对称点，在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，然后计算出长度即得．【详解】解：（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为ABCD 是菱形，所以AD AB =.因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，,BE PE ⊂平面PBE ，所以AD ⊥平面PBE .又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE .因为BC ⊂平面PBC所以平面PBC ⊥平面PBE .（2）由PF FC λ=，知()1PC PF FC FC λ=+=+. 所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=. 因此，58B PAE D PFB V V --=的充要条件是1528λλ+=，所以，4λ=.即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得58B PAE D PFB V V --=，此时4λ=. （3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，CB PB ⊥，则C '是点C 关于面PBE 的对称点，.在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点设2BC a =，则3PE BE a ==，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABCD ，所以PE BE ⊥，所以6PB a =，所以2tan tan 6BC BC H BPC PB '∠=∠==，所以4tan 6BH BC BC H a ''=∠=，所以BH 2BP 3=．。

安徽省安庆一中、安师大附中2024届高三3月模拟检测试题数学试题

安徽省安庆一中、安师大附中2024届高三3月模拟检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．10515 2．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．1±3．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（）A ．58B ．57C ．56D ．554．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A ．12B ．1C ．3πD ．2π5．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（）A ．33B ．233C ．3D ．23 6．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e-=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（） A ．1ln 22+ B ．2e - C ．1ln 22- D ．12e - 7．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（）A ．30B ．31C ．32D ．338．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π 9．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（）A ．12B ．10C ．8D ．610．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x = 12．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安庆一中高一下学期数学期末考试试卷(含答案)-(1)

安庆一中高一下学期数学期末考试试卷一：选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm 3 Ｂ．4000 3cm Ｃ．32000cm D ． 38000cm 33. 已知点(1,,5),(2,7,2)A a B a ---,则AB 的最小值为 ()A B C D 4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥所在的12条直线中,异面直线有( )A.12对B.24对C.36对D.48对5.E 、F 、G 、H 分别是空间四边形的四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,已知对角线AC=BD=4,则EG 2+HF 2等于 ( ) A.16 B.22 C. 8 D.126．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y xＢ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x7. a 、b 为异面直线, a ⊂α,b ⊂β若α∩β=l,则直线l 必定 ( )A.与a 、b 都相交B.至少与a 、b 中的一条相交C.与a 、b 都不相交D.至多与a 、b 中的一条相交 8．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化9.若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直,则a 的值为 ( )正视图侧视图俯视图10. 已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°11.过点P 作圆1)2()1(22=-++y x 的切线，切点为M ，若|PM|=|PO|（O 为坐标原点），则|PM|的最小值是（） A ．1 B ．25 C ．1553- D ．552 12．由直线2+=x y ,4+-=x y 及x 轴围成的三角形的内切圆的圆心是（）A. ()232 , 1+-B.()323 , 1--C.()232 , 1+D. ()323 , 1-二：填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 14.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是15.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m )2+(y-4m )2=5(m+4)相切，则m 的范围是 16．ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，EF//BC 且AE=2EB ，G 为BC 中点，K 为△ADF 的外心。

安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

安徽省安庆市第一中学 2023-2024 学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集是x | x 2 或 x 3 ，则 a b （）
7 2
三、填空题
13．已知 f x 4 x 8 x ，则 f x
.
14．若 f x 的定义域为0,9 ，则函数 g x f 3x 3x 的定义域为
．
3x
15．设 a,b > 0, a + b = 5,则 a +1+ b+3 的最大值为
．
16．若规定 E= a1,a2...a10 的子集 ak1ak2 ...,akn 为 E 的第 k 个子集，其中
0 ，则关于
a
的不等式
f
a2 2a 3
4 3
的解集为（）
试卷第 1页，共 4页
A． ,1 5 1 5,
C． 1 5,1 5
B． 1 5, 1 3,1 5
D． 1 5, 1 3,1 5
二、多选题
9．已知 a,b, c R ，则（）
A．若 a
b
0 ，则 1 1 ab
C．若a b 0 ，则 a ab b
4．命题“ a 2 ， f x x2 ax 是奇函数”的否定是（）
A． a 2 ， f x x2 ax 是偶函数
B． a 2 ， f x x2 ax 不是奇函数
C． a 2 ， f x x2 ax 是偶函数
D． a 2 ， f x x2 ax 不是奇函数
5．已知1 a b 2 ， 2 a b 4 ，则 3a 2b 的取值范围是（）

安庆市第一中学数学高一上期末经典题(培优提高)

一、选择题1．(0分)[ID ：12117]设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．(0分)[ID ：12091]已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12BC．2D ．25．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-9．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．(0分)[ID ：12084]对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33xx f x -=+的“上界值”为（）A ．2B ．－2C ．1D ．－111．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．(0分)[ID ：12053]函数ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+14．(0分)[ID ：12063]将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．515．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 17．(0分)[ID ：12206]已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12196]已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．19．(0分)[ID ：12188]若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．20．(0分)[ID ：12183]设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．21．(0分)[ID ：12180]设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y+-的最小值为__________.22．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e e e ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.23．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．24．(0分)[ID ：12129]已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 25．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________.三、解答题26．(0分)[ID ：12328]已知函数132()log 2ax f x x-=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）若当(7,)x ∈+∞时，13()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围.27．(0分)[ID ：12324]已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）求()f x 的值域.28．(0分)[ID ：12281]已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.29．(0分)[ID ：12249]已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂；（2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围． 30．(0分)[ID ：12236]记关于x 的不等式x−a−1x+1<0的解集为P ，不等式(x −1)2≤1的解集为Q ．（1）若a =3，求集合P ；（2）若a >0且Q ∩P =Q ，求a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．A5．B6．D7．C8．A9．C10．C11．C12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函17．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇18．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x＜2时f(x)＜0即f(x)＜20．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上21．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题22．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 23．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为24．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B=三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.6．D解析：D 【解析】【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=，所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-；当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．8．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行9．C解析：C 【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.10．C解析：C 【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域.11．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 12．C解析：C 【解析】分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故排除A,D ，故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．13．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.14．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一理科实验班上学期第三次数学周考试卷

安庆一中理科实验班2022-2023学年高一上学期第三次周考一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．已知函数y1＝m（x﹣2m）（x+m+3），y2＝x﹣1，若它们同时满足条件：①∀x∈R，y1＜0或y2＜0；②∃x∈{x|x＜﹣4}，y1y2＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣4，﹣2）2．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a﹣b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A．p1、p2中仅p1是q的充分条件B．p1、p2中仅p2是q的充分条件C．p1、p2都不是q的充分条件D．p1、p2都是q的充分条件3．使“a＜b”成立的必要不充分条件是“（）”A．∀x＞0，a≤b+x B．∃x≥0，a+x＜bC．∀x≥0，a＜b+x D．∃x＞0，a+x≤b4．已知a，b均为正实数，且4a+b（1﹣a）＝0，则下列不等式正确的是（）①ab≥16；②；③a﹣b＜0；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④5．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x）的图象关于点（1，0）对称，当x∈[0，1]时，f （x）＝2﹣2x，则f（1）+f（2）+⋯+f（2023）的值为（）A．﹣2B．1C．﹣1D．27．已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f （x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝g（x）是偶函数C．2是y＝f（x）一个周期 D. y＝g（x）关于直线x＝2对称8．已知定义在[0，10）的函数f（x），满足：f（x+2）＝f（x）+a，f（x）在[0，2）上的解析式为f（x）＝，设f（x）的值域为A．若存在实数b，使得A⊆[b，b+3]，则a的可能取值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案

安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}1B x x =∈>R ，则A B = （）A.{}3,4 B.(]1,4 C.{}2,3,4 D.{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】{|1B x x =<-或1}x >，故{}2,3,4A B = ，故选：C ．2.函数()()ln 24f x x x =-+-的零点所在区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可.【详解】由条件知函数()f x 在()2,∞+上单调递增，又()310f =-<，()4ln 20f =>，根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为()3,4，故选：B3.lg323log 3log 410⋅-=（）A.2B.1C.1- D.0【答案】C 【解析】【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】lg323lg 3lg 42lg 2log 3log 41033231lg 2lg 3lg 2⋅-=⋅-=-=-=-，故选：C ．4.命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.(],2-∞ D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】求解出函数25x y x =+-在区间[]1,2上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.【详解】解：因为命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，所以()min25xx a +-≥，因为函数25x y x =+-在区间[]1,2上单调递增，所以当1x =时，()min252xx +-=-，所以只需2a ≤-.故选：A ．5.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A.4π3B.8π3C.10π3D.16π3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.【详解】依题意，该扇面的面积为22128(31)233ππ-⨯=.故选：B6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A7.已知233log 3,log 5,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b a c>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.【详解】由条件知223log 3log 2a c =>==，333log 5log 2b c =<=，因此a c b >>.故选：B ．8.已知关于x 的不等式()()14280xx ax b +--+≥（其中0a ≠）在R 上恒成立，则有（）A.0a <B.0b > C.0a b +> D.20a b ->【答案】D 【解析】【分析】将已知不等式化为()()()22240xxax b +-+≥，结合函数()24x f x =-在R 上单调性，即可判断各选项的正误.【详解】由题意得原不等式可化为()()()22240xxax b +-+≥，因220x +>，所以()()240xax b -+≥在R 上恒成立，又函数()24xf x =-在R 上单调递增，且()20f =，当2x >时，()0f x >；当2x <时，()0f x <．于是20a b +=且0a >，于是0b <，0a b a +=-<，250a b a -=>，故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数,a b 满足0a b >>，则（）A.lg lg a b >B.22a b > C.33a b > D.11a b<【答案】BC 【解析】【分析】A 由对数的真数大于0可以排除；B 由二次函数的性质可得；C 由简单幂函数的性质可得；D 可通过简单例子进行排除.【详解】因为0a b >>，所以b 的正负无法判断，所以A 可能无意义；2220a b b >=>，故B 正确；由于3y x =为定义域R 上的单调递增函数，又因为0a b >>，所以a b >，所以33a b >，故C 正确；当2,1a b ==-时，0a b >>，但是11112a b=>=-，故D 错误；故选：BC.10.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.45ω=B.9π10ϕ=C.点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D.直线7π4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB 可解；将π4x =代入函数()f x 的解析式即可验证C 选项；将7π4x =-代入函数()f x 的解析式即可验证D 选项.【详解】根据图象和题目条件可知1A =，3π5π2π244T =-=，所以5π2π2T ω==，解得45ω=，A 正确；将3π4x =代入，可得43π3π542ϕ⨯+=，解得9π10ϕ=，B 正确；所以()49πsin 510f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令π4x =得，π4π911πsin sin 04541010f π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误，令7π4x =-得，7π47π9ππsin sin 1454102f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故7π4x =-是函数()f x 的一条对称轴，D 正确，故选：ABD ．11.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数()22sin sin cos cos f x x x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦的判断，其中正确的是（）A.函数()f x 是以π为周期的周期函数 B.函数()f x C.函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()1f x =【答案】AD 【解析】【分析】根据周期函数的定义判断选项A 的正确与否；取特殊值可判断出选项B 的正确与否；根据函数定义可判断出选项C 的正确与否；由函数的周期和选项C 的结论得出选项D 的正确性.【详解】选项A ：因()22sinπsin x x +=，()22cos πcos x x +=，所以()()πf x f x +=，于是函数()f x 是以π为周期的周期函数，选项A 正确；选项B ：由函数周期可得，只需考虑[)0,πx ∈的情况，而ππsin1cos 0sin11sin 126f ⎛⎫=+=+>+>⎪⎝⎭B 错误；选项C ：当ππ2x <<时，()()sin 0,1,cos 1,0x x ∈∈-，所以22sin cos 0x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则()sin 0cos 01f x =+=，此时函数()f x 是常数函数，所以选项C 错误；选项D ：根据周期性以及选项C 的结论，可知当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x =，所以选项D 正确．故选：AD.12.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）A.()sinh x 为奇函数，()cosh x 为偶函数B.()()()sinh 2sinh cosh x x x =⋅C.函数()cosh x 在R 上的最小值为1D.函数()()()cosh 2cosh g x x x =-在R 上只有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】由函数的奇偶性即可验证A ；由题干给的定义式进行化简即可验证B ；由基本不等式即可验证C ；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.【详解】()e e sin h 2x x x --=，定义域为R ，()()e e e e sin h sin h 22x x x xx x -----==-=-，所以()sin h x 为奇函数，()e e cos h 2x x x -+=，定义域为R ，()()e e cos h cos h 2x x x x -+-==-，所以()cos h x 为偶函数，故A 正确；()()22e e e e e e e +e e e sinh(2)22sinh()cosh()2222x x x x x x x x x xx x x -----+---===⨯⨯=，B 错误；因为()e e cosh 12x xx -+=≥=，当且仅当0x =时，函数()f x 在R 上的最小值为1，C 正确；由题意得：()()()()222e e 2e e e e e e cosh 2cosh 2222xxxxx xx xg x x x ----+-+++=-=-=-令e e x x t -+=，结合C 选项可得2t ≥，于是由()0g x =，得21022t t--=，解得2t =或1t =-（舍去），于是0x =，因此函数()g x 在R 上只有一个零点0x =，D 正确，故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()24,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦______．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数性质，直接代入计算即可.【详解】因()()2224f -=-=，所以()()424log 41f f f -===⎡⎤⎣⎦，故答案为：1.14.已知关于x 的不等式()22ax bx c x +>-的解集为{}13x x <<，则关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为______．【答案】()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意首先得出,,a b c 的关系，进一步结合a<0即可求解.【详解】由已知，不等式()220ax b c x c +-+>的解集为{}13x x <<，故a<0，且11x =，23x =为方程()220ax b c x c +-+=的两根，所以423b c a c a-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5232b a c a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故不等式20ax bx c ++<为253022ax ax a -+<，即253022x x -+>，解得1x <或32x >.故答案为：()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭．15.若函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】[]0,πx ∈时,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，结合正弦函数的图像和性质，确定ππ6ω+的范围，由不等式求解ω的取值范围.【详解】因0πx ≤≤，0ω>，所以ππππ666x ωω≤+≤+，因函数()f x 在[]0,π上有且仅有三个零点，所以π3ππ4π6ω≤+<，解得172366ω≤<．则ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.已知,R x y ∈且22221x y xy +=+，则22x y +的最大值为______，最小值为______．【答案】①.23②.25##0.4【解析】【分析】直接利用基本不等式可得222222112x y x y xy ++=+≤+，即可求得22x y +的最大值，将22221x y xy +=+化为22221()x y x y +=--，再利用基本基本不等式，即可求得22x y +的最小值.【详解】由,R x y ∈,222222112x y x y xy ++=+≤+可得2223x y +≤，当且仅当22221x y x y xy =⎧⎨+=+⎩，即3x y ==±时取到等号,即22xy +的最大值为23；2222221()12x y x y x y ++=--≥-，可得2225x y +≥，当且仅当22221x y x y xy -=⎧⎨+=+⎩，即,55x y ==-或,55x y =-=时取到等号，即22xy +的最小值为25；故答案为：23；25四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合(){}225400A x x ax a a =-+<≠，集合(){}ln 2B x y x ==-．（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(),4A B =-∞ （2）()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，解集合A 中的不等式，求集合B 中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求A B ⋃；（2）由题意，集合A 是集合B 的真子集，分类讨论解集合A 中的不等式，由包含关系求实数a 的取值范围．【小问1详解】当1a =时，{}2|540A x x x =-+<=()1,4，(){}{}|ln 2|20B x y x x x ==-=->(),2=-∞，所以(),4A B =-∞ ．【小问2详解】因“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集．当0a >时，(),4A a a =，所以只需42a ≤，解得102a <≤；当a<0时，()4,A a a =是集合B 的真子集，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦．18.已知()0,πα∈，且3cos210cos 10αα--=．（1）求sin α的值；（2）求ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）3（2）3-【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，()232cos 110cos 10αα---=，展开整理可得23cos 5cos 20αα--=，即()()3cos 1cos 20αα+-=，解得1cos 3α=-（cos 2α=舍去）.因为()0,πα∈，所以sin 3α===．【小问2详解】ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos())233αα=+--ππsin()33αα=----ππ2sin()2sin 333αα=--+=-=-．19.已知幂函数()()()25mf x m m xm =+-⋅∈R 是定义在R 上的偶函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的最值，并求对应的自变量x 的值．【答案】（1）()2f x x =（2）当9x =时，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，函数()g x 的最大值为7【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出m 的值，得函数解析式；（2）求出函数()g x 的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.【小问1详解】根据题意可得251m m +-=，即260m m +-=，所以()()320m m +-=，解得32m m =-=或，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()22,m f x x ==，即函数()f x 的解析式为()2f x x =．【小问2详解】由（1）可知()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦()()2223333log 2log 2log 4log 2x x x x =-+=-+()23log 22x =--因1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]3log 1,4x ∈-，所以当3log 2x =，即19,813x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，3log 1x =-，函数()g x 的最大值为7．20.将函数()cos2(0)f x x ωω=>的图象向右平移π6ω个单位得到函数()g x 的图象，且使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2．（1）求函数()g x 的单调递减区间；（2）设函数()()2sin f x h x x =+，求函数()h x 的最大值．【答案】20.()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21.8-【解析】【分析】（1）由图象平移得()g x 的解析式，根据已知得函数周期求出ω，整体代入法求单调递减区间；（2）由()h x 解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.【小问1详解】由题意可知()ππcos 2cos 263g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是函数()g x 最大值为1，最小值为1-，根据使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2，则12,x x 是相邻的最大值点和最小值点，函数()g x 的最小正周期T 满足π22T =，解得πT =，所以2ππ2ω=，解得1ω=，所以()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是()π2π22ππZ 3k x k k ≤-≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，因此函数()g x 的单调递减区间()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由（1）知()2cos 212sin 2sin 2sin x x h x x x-==++，令2sin t x =+，则[]1,3t ∈，于是()()22212212sin 2877282sin t x t t h x t x t t t ----+-⎛⎫====-++ ⎪+⎝⎭88≤-+=-，所以当且仅当72t t =，即[]1,32t =∈时，函数()h x 的最大值为8-21.茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y （单位：℃）随经过的时间t （单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①t y a b c =⋅+（,,a b c 为常数，0,0a b ≠>且1b ≠）；②2y pt qt r =++（,,p q r 为常数，0p ≠）．（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）【答案】21.38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭22.2.5分钟【解析】【分析】（1）分别代入0,1,2t t t ===得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.【小问1详解】若选用①，根据条件可得012100,80,65,a b c a b c a b c ⎧⋅+=⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得803420a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．此时，y 随着t 的增大而减小，符合生活实际；若选用②，根据条件可得100,80,4265,r p q r p q r =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得10052452r p q ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以2545100,022y t t t =-+≥．又225455939510022228y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当92t ≥时，y 随着t 的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．所以该函数模型为38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1），令38020604t y ⎛⎫=⨯+≤ ⎪⎝⎭，于是3142t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得31lg lg 42t ≤，又3lg lg104<=，故1lglg 2lg 20.302 2.53lg 3lg 42lg 2lg 320.300.48lg 4t -≥==≈=--⨯-，所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．22.已知函数()1(03x f x a a =>+且1)a ≠过点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）判断()()2f x f x +-是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；（2）若方程()()41f x mf x -=有两不等实数根()1221,x x x x >，且213022log 2x x <-<-，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2f x f x +-是定值，定值为13（2）1(0,)2【解析】【分析】（1）代入点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出()()2f x f x +-；（2）由题意可转化为31xm -=有两不等实数根()1221,x x x x >，结合绝对值进行分类讨论可得2213(1)2log 1m x x m+-=-，结合题意计算即可得m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知()3113330f a ==+，所以327a =，解得3a =，故()133x f x =+，则()()2f x f x +-2113333x x -=+++()213331333333333x x x x x +=+==++⋅+，所以()()2f x f x +-是定值，定值为13．【小问2详解】由4()1()f x mf x -=，即413333x x m -=++，即有433x m --=，即31x m -=，令31,0()3131,0x xx x g x x ⎧-+<=-=⎨-≥⎩，因为()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0)+∞，上单调递增，方程31xm -=有两不等实数根，所以120,0x x <>且01m <<，于是：11331log (1)x m x m -+=⇒=-，22331log (1)x m x m -=⇒=+，所以，2213(1)2log 1m x x m+-=-，由213022log 2x x <-<-得2(1)9112m m +<<-，又01m <<，解得102m <<，。

安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

D．
1 sin2
x
1 cos2
x
12．已知 f x 和 g x 都是定义在 R 上的函数，则（）
A．若 f x 1 f 1 x 2 ，则 f x 的图象关于点 1,1 中心对称
B．函数 y f x 1 与 y f 1 x 的图象关于 y 轴对称
C．若 g x 1 g x ，则函数 g x 是周期函数，其中一个周期T 2
20．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯 AC AC 5米的 C 点的上方悬挂竖直高
度为 5 米的广告牌 DE．如图所示，广告牌底部点 E 正好为 DC 的中点，电梯 AC 的坡度 CAB 30o．某人在扶梯上点 P 处(异于点 C)观察广告牌的视角 DPE= ．当人在 A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为 3 ．
安徽省安庆市第一中学 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1． sin 600 （）
A． 3
2
B． 1 2
C． 1
2
2．函数 f (x) log2(1 x) 的定义域是（）
0) 两个相邻的最值点，则
等于
（
）
A．2
B． 3 2
C．1
D． 1
2
5．函数
f
x
1 ex 1 ex
cos x
的图象大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
6．“关于 x 的不等式 ax2 2x 1 0 对 x R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）
A． a 0
B． a 1

安徽省安庆市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)

安庆市2022-2023学年度第一学期期末教学质量调研监测高一数学试题满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上．第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．集合{}5215A x N x =∈-<-<的子集个数为（）． A ．4B ．7C ．8D ．162．命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是（）． A ．5x ∀>，5log 1x ≤ B ．5x ∃>，5log 1x ≤ C ．5x ∀≤，5log 1x ≤ D ．5x ∃≤，5log 1x ≤3．下列各式中，与5πsin3的值相等的是（）． A ．πcos6 B ．2πsin3C ．4πsin3D ．7πsin34．“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知函数()11cos 33xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知tan 2a =，31log 3b =，20.99c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）与3log 100x成正比，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s ．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s ，则它的耗氧量的单位数是原来的（）倍． A ．4B ．8C ．9D ．278．已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为0x ，则下列说法错误的是（）． A ．()01,2x ∈B ．020x x ee =C ．()0021x x -<D ．0201x x -<二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列各式中，其中运算结果正确的是（）．A π4=-B ．()233log 937⨯=C ．lg 4lg 252+=D ．42log 9log 3=10．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）． A ．函数()f x 的图象关于点π4⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．函数()y f x =的最小正周期为π2D ．函数()y f x =是偶函数11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象 D ．若方程()()f x m m R =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列关于函数()y f x =的判断中，其中正确的判断是（）． A ．函数()y f x =的最小正周期为4 B ．11124f ⎛⎫=⎪⎝⎭ C ．函数()y f x =在[]2,4上单调递增D ．不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42k k k Z +∈．第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知23x =，则2222xx -+=________．14．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．15．已知幂函数()23my m x =-在()0,+∞上单调递增，则实数m =________；函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为________．（第1空2分，第2空3分） 16．已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b +=，则3241ac c b ab c +++的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知集合{}25,A x x x a a R =-≤∈，集合{}2log 1B x x =≤．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数()2f x x bx c =++（b ，c R ∈）是定义在R 上的偶函数，且满足()104f f ⎡⎤=-⎣⎦．（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断函数()()()023axg x a f x =>+在[)1,+∞上的单调性并证明．19．（本题满分12分）在△ABC 中，3tan 4A =-．（1）求()sinBC +，()cos B C +的值；（2）求sincos 22sin cos 22A A A A +-的值． 20．（本题满分12分）已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，其中e 是自然对数的底数．（1）求证：()()()222g x f x g x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎦；（2）求函数()()()722h x g x g x =-的零点． 21．（本题满分12分）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y （单位：万元）随销售收入x （单位：万元）的变化情况如下表所示：（1）根据表中数据，分别用模型()log a y x m b =++（0a >且1a ≠）与y d =建立y 关于x 的函数解析式；（2）已知当9x =时， 3.3y =，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．7.55≈）22．（本题满分12分）已知函数()()2sin 2f x x x a a R =-+∈，且满足________．从①函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 的图象经过点π3⎛ ⎝．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：（1）求实数a 的值并求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知函数()()22lg lg g x x m x mm R =--∈，若对任意的1ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]21,100x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数m 的取值范围．安庆市2022－2023学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1．【答案】C【解析】由已知得{}{}{}5215230,1,2A x N x x N x =∈-<-<=∈-<<=，所以其子集的个数为328=，故选C ． 2．【答案】BB ． 3．【答案】C【解析】因5ππsin sin 332=-=-，πcos 62=，2πsin 32=，4πsin 32=-7πsin 32=，故选C ． 4．【答案】A【解析】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，充分性成立；反之，当sin tan 0αα⋅<时，角α是第二或第三象限角，必要性不成立，故选A ．5．【答案】A【解析】由条件知()ππ1111πcos π03333f ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 符合，其它均不符合，故选A ．6．【答案】A【解析】因23πtan 2tan 10.990.98014a b c =<=-=<=-=-，故选A ． 7．【答案】C【解析】根据条件设3log 100x v k =，当2700x =时， 1.5v =，代入得327001.5log 3100k k ==，解得12k =，所以31l o g 2100xv =，设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，则2123331111l o g l o g l o g 1210021002x x x x -==，所以22139x x ==，故选C ． 8．【答案】D【解析】由条件知函数()f x 在其定义域内单调递增，所以其最多有一个零点，又()110f =-<，()2ln 20f =>，于是()01,2x ∈，A 正确；所以00ln 20x x +-=，整理得()0000ln ln ln 2x x x e x e +==，所以020x x ee =，B 正确；因()01,2x ∈，所以()020,1x -∈，于是()0021xx -<，0201x x ->，C 正确，D 错误，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9．【答案】BCD【解析】A4π=-，A 错误；B 选项：()23733log 93log 37⨯==，B 正确；C 选项：lg 4lg 25lg1002+==，C 选项正确；D 选项：22422log 9log 3log 3==，D 正确．故选BCD ．10．【答案】AB【解析】由条件知AB 正确，函数()y f x =的最小正周期是π，是非奇非偶函数，C ，D 均不正确，故选AB ． 11．【答案】AB【解析】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2ϕπ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12πcos cos 62x x +==，故D 错误；故选AB ． 12．【答案】ABD 【解析】由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，于是()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，所以函数()y f x =的最小正周期为4，A 正确；211311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；作出函数()y f x =的大致图象，发现函数()y f x =在[]2,3上单调递减，在[]3,4上单调递增，C 错误；结合函数()y f x =的大致图象，得到不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42k k k Z +∈，D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】982【解析】由已知得()()22221822222999xxx x --+=+=+=． 14．【答案】52-【解析】由条件知()1,2P -，于是sin 5α===cos 5α=，所以2sin cos 555αα⎛=⨯-=- ⎝⎭． 15．【答案】2，[)1,2（或()1,2）【解析】根据已知得231m -=，解得2m =±，又()23my m x =-在()0,+∞上单调递增，所以2m =；于是()()221122log log 2y x mx x x =-+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，又()2221x x x μ=-+=--，其对称轴为1x =，其在[)1,2（或()1,2）上单调递减，12log y μ=在其定义域内单调递减，于是得到函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为[)1,2（或()1,2）． 16．【答案】18【解析】由条件知()232432411a b ac c a c b ab c b ab c ⎡⎤+++=++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()4242424242266161111a b c c c c b a c c c c ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭618≥=，当且仅当4a b b a =，()24611c c +=+，1a b +=即13a =，23b =，1c =时，3241ac c b ab c +++的最小值为18．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）解：（1）当4a =-时，2540x x -+≤，解得14x ≤≤，所以[]1,4A = {}(]2l o g 10,2B x x =≤=，所以[]1,2AB =．（2）由AB A =得B A ⊆，又(]0,2B =，所以25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2252556,024x x x ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭．所以0a ≥，于是实数a 的取值范围为[)0,a ∈+∞．18．（本题满分12分）解：（1）由条件可知()()f x f x -=，即()()22x b x c x bx c -+-+=++对任意的x R∈恒成立，所以0b =．于是()2f x x c =+，所以()()2104f f f c c c ⎡⎤==+=-⎣⎦，解得12c =-，所以函数()f x 的解析式为()212f x x =-．（2）由（1）可知()()22322ax axg x f x x ==++，当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．证明如下：设1x ∀，[)21,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()()()()221221211212122222221212121112222211211a x x x x a x x x x ax ax g x g x x x x x x x ⎡⎤+-+--⎣⎦-=-==++++++，因121x x ≤<，所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x++>，又0a >，所以()()120g x g x ->即()()12g x g x >，因此当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减． 19．（本题满分12分）解：（1）由3tan 04A =-<知角A 为针角，所以sin 0A >，cos 0A < 因sin 3tan cos 4A A A ==-，22sin cos 1A A +=，解得3sin 5A =，4cos 5A =-，于是()()3sin sin πsin 5BC A A +=-==，()()4cos cos πcos 5B C A A +=-=-=．（2）法1：因231sincos 1sin 522431sin sin cos 1225A A A A A A ⎛⎫++ ⎪+===⎪- ⎪--⎝⎭，因角A 为钝角，即ππ2A <<，所以ππ422A <<，所以sin cos 022A A +>，sin cos 022A A ->，所以sincos 222sin cos 22A AA A +=-．法2：因3sin 5tan 3421cos 15A AA ===+-，（或由22tan32tan 41tan 2A A A ==--，整理得23tan 8tan 3022A A --=，解得tan 32A =或1tan 23A =-，因ππ422A <<，所以tan 32A=．）所以sincos tan 131222231sin cos tan 1222A A A A A A +++===---． 20．（本题满分12分）解：（1）由条件知()2222x xe e g x -+=，()()22222222222222442x x x x x x x x x xe e e e e e e e e ef xg x -----⎛⎫⎛⎫-+-++++⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()()222g x f x g x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦．（2）因()()()()22222222221222x xx xe e g x e eg x g x --+-⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤====-⎣⎦，令()0h x =，则()()272102g x g x ⎡⎤--=⎣⎦即()()24720g x g x ⎡⎤--=⎣⎦，即()()2410g x g x ⎡⎤⎡⎤-⋅+=⎣⎦⎣⎦，解得()2g x =或()14g x =-，又()12x x e e g x -+=≥=，所以()2g x =，于是22x x e e -+=整理得2410xx ee -+=，于是2x e =+或2x e =解得(ln 2x =+或(ln 2x =-，所以函数()()()722h x g x g x =-的零点为(ln 2+，(ln 2． 21．（本题满分12分）解：（1）若选用()log a y x m b =++，则依题意可得()()()1log 245log 349log 54aa am b m b m b ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得2a =，1m =-，14b =，则()()21log 124y x x =-+≥．若选用y d =，则依题意可得145494d d d ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得c =158n =-，14d =-，则()124y x =≥．（2）对于函数()21log 14y x =-+，当9x =时，13 3.254y ==（万元）；对于函数14y =，当9x =时，1 3.5254y =-≈（万元）；因3.525 3.3 3.25 3.3->-，所以选用模型()()21log 124y x x =-+≥更合理． 22．（本题满分12分）解：（1）由条件知())2sin 22cos 1f x x x a =--+sin 2x x a =+π2sin 23x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭若选①，则π06f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选②，则函数()f x的最大值为22a +-=，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选③，则πππ2sin 2333f a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a =，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意可知只需()()max max f x g x ⎡⎤⎡⎤≤⎣⎦⎣⎦即可．当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此函数()f x 的最大值为1．令lg x t =，则[]0,2t ∈，则()22g x t mt m =-- 当12m ≤即2m ≤时，函数()g x 的最大值为242m m --，于是2421m m --≥，整理得2230m m +-≤，解得31m -≤≤，均满足2m ≤，所以31m -≤≤；当12m >即2m >时，函数()g x 的最大值为2m -，于是21m -≥，无实解；综上所述，实数m 的取值范围为[]3,1-．。

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(学生用卷)

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边上的中线AD 的长是( ) A. 2B.C. 3D.2. 在△ABC 中,设O 是△ABC 的外心,且AO⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠BAC 等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A.B. 2C.D. 104. 已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( ) A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 不确定 5. 已知四边形ABCD 中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F 为BD 与AE 的交点，则||＝( ) A.B. 2C. 2D. 26. 已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A. [－1，＋1]B. [－1，＋2]C. [1，＋1]D. [1，＋2]7. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为(15－15) m ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )A. 20 mB. 30 mC. 20 mD. 30 m8. 已知M 是边长为1的正三角形ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则·的取值范围是( ) A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省安庆市2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题含答案

桐城2023～2024学年度下学期高一开学检测数学试题（答案在最后）（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是A.1B.3C.5D.9【答案】C 【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个．故选C ．2.已知实数集A 满足条件:若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积为（）A.1B.1- C.1± D.与a 的取值有关【答案】A 【解析】【分析】根据题意，递推出集合A 中所有元素，可得答案．【详解】由题意，若a A ∈，11aA a+∈-，1111111aa A a a a ++-∴=-∈+--，111111a a A a a ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭∴=∈+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，111111a a a A a a -++∴=∈--+，综上，集合111,,,11a a A a a a a -+⎧⎫=-⎨⎬+-⎩⎭.所以集合A 中所有元素的乘积为111111a aa a a a-+⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪+-⎝⎭.故选：A.3.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A.25-B.25C.10-D.10【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式求出tan α，再由两角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函数函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为tan tan 2ππ3tan tan tan 44π1tan tan4ααααα==-⎛⎫++ ⎪⎝⎭-，解得tan 2α=或1tan 3α=-，又πππsin 2sin2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2sin2cos 22αα=+()2222sin cos cos sin 2αααα=+-22222sin cos cos sin 2cos sin αααααα+-=⨯+222tan 1tan 21tan ααα+-=⨯+，当tan 2α=时22222tan 1tan 221221tan 21210ααα+-⨯+-⨯=⨯=++；当1tan 3α=-时2222112122tan 1tan 223321tan 210113ααα⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭；综上可得πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D4.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为10{10x x +>->，解得11x -<<，又()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，所以函数()f x 的奇函数，由1()ln(1)ln(1)ln1x f x x x x +=+--=-，令()11xg x x+=-，又由1201x x <<<，则()()2121212121112()011(1)(1)x x x x g x g x x x x x ++--=-=>----，即，所以函数()11xg x x+=-为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--在(0,1)上增函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.5.已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A.50-B.0C.2D.50【答案】C【解析】【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()2f x g x g x =--+，对任意的1x ，2(1,1)x ∈-，12x x ≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(31)()4++>f x f x 的解集为（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭C.1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.2,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()2()()h x f x g x g x =-=--，由题设及单调性和奇偶性的知识易得()h x 为奇函数，且在(1,1)-上为增函数，不等式(31)()4++>f x f x 等价于(31)2()20f x f x +-+->，即(31)()0h x h x ++>，最后利用()h x 的单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.【详解】设()()2()()h x f x g x g x =-=--，因为对任意的1x ，2(1,1)x ∈-，12x x ≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在(1,1)-上为增函数，则()h x 在(1,1)-上为增函数，又()()()h x g x g x -=--，而()()()h x g x g x =--，所以()()0h x h x +-=，所以()h x 为奇函数，综上，()h x 为奇函数，且在(1,1)-上为增函数，所以不等式(31)()4++>f x f x 等价于(31)2()20f x f x +-+->，即(31)()0h x h x ++>，亦即(31)()()h x h x h x +>-=-，可得1311,11,31,x x x x -<+<⎧⎪-<<⎨⎪+>-⎩，解得104x -<<.故选：B ．【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数()()2()()h x f x g x g x =-=--，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.7.设34:02x x p x-≤，()22:210q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为A.[]2,1- B.[]3,1- C.[)(]2,00,1-⋃ D.[)(]2,10,1--⋃【答案】D 【解析】【详解】设p ：3402x xx-≤的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010012 1.122m m m m m m >+<⎧⎧⇒<≤⇒-≤<-⎨⎨+≤≥-⎩⎩或综合得m∈[)(]2,10,1--⋃，故选D.8.对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()xf x e =；②()f x =()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】对于①，即1xa be e ≤-对一切x ∈R恒成立，不存在满足条件的正常数a 、b ，所以，函数()x f x e =不是“控制增长函数”；对于②，22x a x b +≤++x ∈R 恒成立，当2a b <时，不等式恒成立，所以，函数()f x =为“控制增长函数”；对于③，当2b ≥且a 为任意正实数时，()()f x a f x b +≤+恒成立，所以，函数()()2sin f x x =是“控制增长函数”；对于④，()()sin sin x a x a x x b +⋅+≤+恒成立，即a b ≤，所以，函数()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”.【详解】对于①，()()f x a f x b +≤+可化为x a x e e b +≤+，即1xabe e ≤-对一切x ∈R 恒成立，由函数()y f x =的定义域为R 可知，不存在满足条件的正常数a 、b ，所以，函数()xf x e =不是“控制增长函数”；对于②，若函数()f x =为“控制增长函数”，则()()f x a f x b +≤+b ≤+，∴22x a x b +≤++x ∈R 恒成立，又x a x a +≤+，若22x a x b +≤++22a b a-≥，显然，当2a b <时，不等式恒成立，所以，函数()f x =“控制增长函数”；对于③，∵()21sin 1x-≤≤，∴()()2f x a f x +-≤，当2b ≥且a 为任意正实数时，()()f x a f x b +≤+恒成立，所以，函数()()2sin f x x=是“控制增长函数”；对于④，若函数()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”，则()()sin sin x a x a x x b +⋅+≤+恒成立，∵()()sin x a x a x a +⋅+≤+，若sin x a x x b x b +≤+≤+，即a b ≤，所以，函数()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.【点睛】方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（）A.1112x y z+= B.346x y z >> C.22xy z>D.32x y z+>⎝【答案】ACD 【解析】【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461xyzt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确；对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =，∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∴34x y <，∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∴46y z <，∴346x y z <<，故B 错误；对于C，由1112z x y =+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确；对于D ，由22xy z >，可得2x y z ⎛+>>> ⎝⎭（x y ≠），故D 正确．故选：ACD10.若“()00,2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（）A.1B. C.3D.【答案】AB 【解析】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围，由此可得结果.【详解】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”，所以，221x x λ≤+，可得12x xλ≤+，当()0,2x ∈时，由基本不等式可得12x x +≥=当且仅当2x =时，等号成立，所以，λ≤故选：AB.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（）A.点P 第一次达到最高点，需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D.点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】先根据题意求出点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC 选项.【详解】如图所示，过点O 作OC ⊥水面于点C ，作OA 平行于水面交圆于点A ，过点P 作PB ⊥OA 于点B ，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为2ππ6030=（rad /s ），且点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，t （秒）后，可知0π30POP t ∠=，又水轮半径为4米，水轮中心O 距离水面2米，即2OC =m ，04OP =m ，所以00π6OP C AOP ∠=∠=，所以ππ306POA t ∠=-，因为4OP =m ，所以ππ4sin 306t PB ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，故ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，D 选项正确；点P 第一次达到最高点，此时ππsin 1306t ⎛⎫-=⎪⎝⎭，令ππ02π36t -=，解得：20t =（s ），A 正确；令ππ4sin 22306t ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得：530t k =+，Z k ∈，当5k =时，155t =（s ），B 选项正确；ππ4sin 22306t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，令ππ0π306t <-<，解得：535t <<，故有30s 的时间点P 距水面超过2米，C 选项错误；故答案为：ABD12.已知函数)3()ln2f x x x =++，()(1)g x f x =-．若实数a ，b （a ，b 均大于1）满足(32)g b a -+(2)0g a ->，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 在R 上单调递减B.函数()g x 的图像关于(1,0)中心对称C.ea bb a->D.log (1)log (1)a b a b +>+【答案】BD 【解析】【分析】A ：求f (x )定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f (x )单调性；B ：f (x )向右平移一个单位得到g (x )，据此即可判断g (x )对称中心；C ：根据g (x )关于()1,0对称化简()()3220g b a g a -+->，再结合g (x )单调性得a 与b 的大小关系和范围，由此可判断e a b -和ba 的大小关系；D ：构造函数()()ln 1(1)ln x h x x x+=>，利用导数判断其单调性即可判断．【详解】对于A ，2x >=，20x >在R 上恒成立，()f x \定义域为R ，即()f x 的定义域关于原点对称，()())ln 22ln10f x f x xx ⎡⎤+-===⎢⎥⎣⎦，()f x \为奇函数，∴函数()f x 的图像关于点()0,0中心对称，()3p x x =，()2q x x =，()ln r x x =在()0,∞+上单调递增，∴函数()()()f x r q x p x ⎡⎤=+⎣⎦在()0,∞+上单调递增，∴函数()f x 在R 上单调递增，故A 错误；对于B ，()()1g x f x =- ，()()()()()()211011x g x g x f x f f x f x ⎡⎤∴+-+=-+=---+-=⎣⎦，∴函数()g x 的图像关于点()1,0中心对称，故B 正确；对于C ，函数()g x 的图像关于点()1,0中心对称，()()20g a g a ∴+-=，()()2g a g a ∴--=，()()3220g b a g a -+->Q ，()()()322g b a g a g a ∴->--=，()g x 相当于()f x 向右平移1个单位，()g x ∴和()f x 单调性相同，∴函数()g x 在R 上单调递增，32b a a ∴->，1b a ∴>>，0e e 1a b ba -∴<=<，故C 错误；对于D ，令()()ln 1(1)ln x h x x x+=>，()()()()2ln 1ln 1(1)1ln x x x x h x x x x x-++=>+'∴，令()()ln 1s x x x x =>，则()ln 10s x x '=+>，()s x ∴在()1,+∞上单调递增，()()ln 1ln 1x x x x ∴<++，()()()()2ln 1ln 101ln x x x x h x x x x-++='∴<+，()h x ∴在()1,+∞上单调递减，1b a >> ，()()h a h b ∴>，()()log 1log 1a b a b ∴+>+，故D 正确．故选:BD.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.若函数()21xf -的定义域为[]1,1-，则函数()2log 1f x -的定义域为________【答案】4⎤⎦【解析】【分析】由x 的取值范围求出21x -的取值范围，再令21log 112x -≤-≤，求出x 的范围即可.【详解】当[]1,1x ∈-时1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以121,12x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以21log 1,12x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即21log 112x -≤-≤，则21log 22x ≤≤，即22log log log 4x ≤≤4x ≤≤，所以函数()2log 1f x -的定义域为4⎤⎦.故答案为：4⎤⎦14.已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【答案】143【解析】【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得()32432k k πππωπ+=+∈Z ，由此求得ω的值．【详解】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω-≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=.故答案为：14315.已知实数a ，b ，c 满足2221a b c ++=，则2ab bc ca ++的最大值为________【答案】312【解析】【分析】设01m <<，则()()222222111122ma b b mc m a c ⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式计算可得.【详解】设01m <<，因为2221a b c ++=，所以()()222222222111122a b c ma b b mc m a c ⎛⎫⎛⎫=++=++++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21m ac ≥++-，令1m =-，解得2m =2m =+（舍去），因此)()121ab bc ca -++≤，即122ab bc ca +++≤，当)1b a =且c a =时取等号，故2ab bc ca ++的最大值为12+.故答案为：12+16.已知函数()()1,f x x ax b a b R x =+--∈,当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为__________．【答案】14【解析】【详解】设max ()M f x =，则1max (),(1),(2)2M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于15111(25,(1)2,(2)42522222M f a b a b M f a b M f a b ≥=--=+-≥=--≥=+-，则22111112,()25,(2)4253323336M a b M f a b M f a b ≥--≥=+-≥=+-，所以将以上三式两边相加可得1155222542523636M a b a b a b ≥--++-++-≤--，即11224M M ≥⇒≥，应填答案14．点睛：解答本题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个就是如何构造绝对值不等式使得问题成立．求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在1(),(1),(2)2f f f 中产生，如果直接求其最大值则很难奏效，这里是运用绝对值不等式的性质及不等式取等号的条件，也就是等且仅当15522222a b a b a b --=+-=+-时取等号，即90,4a b ==取等号，这是解答本题的关键，也是解答本题的难点．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求U A ð和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）U A ð={x ∣x ≤−3或x ≥5}；B =∅；（2）−1≤a 【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A 、B ,利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围．【详解】（1）若1a =，则集合2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<，{|3U A x x ∴=- ð或5}x ，若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅，（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，①当B =∅时，221a a =-，解1a =，②当B ≠∅时，即1a ≠时，2{|21}B x a x a =-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩，解得1a - 1a ≠，综上所求，实数a的取值范围为：1a - 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．18.（1）已知函数()()π2sin 2cos 02y x x x ⎛⎫=--≤≤⎪⎝⎭，求函数的值域.（2）已知函数1sin cos y θθ-=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数的值域.【答案】（1）922⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()0,1.【解析】【分析】（1）令sin cos t x x =+，利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）将函数变形为4πtan 2y θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合θ的范围及正切函数的性质计算可得.【详解】（1）()()()2sin 2cos sin cos 2sin cos 4y x x x x x x =--=-++，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ3π444x ≤+≤，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，且21sin cos 2t x x -=，令()22117242222t f t t t t -=-+=-+，t ⎡∈⎣，显然()f t在⎡⎣上单调递减，又()12f =，92f=-，所以函数()()2sin 2cos y x x =--在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为922⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π0,24θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,244θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ1cos 112sin 1sin π22tan πππcos 2sin 2sin cos 2244424y θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭====- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为ππ0,244θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()πtan 0,142θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以函数1sin cos y θθ-=在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为()0,1.19.（1）已知,0x y >，求222x yx y x y+++的最大值.（2）已知11,2x y >>且222241(21)(1)x y a y a x +≥--，求a 的最大值.【答案】（1）23-；（2）【解析】【分析】（1）令2020x y a x y b +=>⎧⎨+=>⎩，把不等式转化为2122()223x y b a x y x y a b +=-⨯+++，结合基本不等式，即可求解；（2）令21010y u x v -=>⎧⎨-=>⎩，转化为()()22211v u a u v+++≥，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【详解】解：（1）由题意，令2020x y a x y b +=>⎧⎨+=>⎩，解得22,33b a a by x --==，则222(2)12122()222233333x y a b b a b a x y x y a b a b --+=+=-⨯≤-⨯-++，当且仅当2b a a b=时，即b =时，等号成立，所以222x y x y x y +++的最大值为23-.（2）由题意，令21010y u x v -=>⎧⎨-=>⎩，可得11,2u x v y +=+=，因为222241(21)(1)x y a y a x +≥--，可得2224211x y a y x +≥--，即()()22211v u a u v+++≥，又由柯西不等式，可得()()22211[]()[(1)(1)]v u u v v u uv++++≥+++，所以()()22211[(1)(1)]4()448v u v u u v uvu v u v ++++++≥=+++≥≥++，当且仅当4u v u v+=+，即2u v +=时，等号成立，所以28a ≤，解得a -≤≤a 的最大值为.20.已知函数()2sin sin cos 633f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()1242g x f x πϕ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，()0,ϕπ∈且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）()75,2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）,252⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()21sin 22122f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解不等式()2222122k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可得出函数()f x 的单调递增区间；（2）求得()()sin 222g x x ϕ=+，求得sin ϕ、cos ϕ的值，由[]0,x π∈可求得22x ϕ+的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【详解】解：（1）由题意可得sin sin cos 6323x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()2sin cos cos 333f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121212121sin 2cos 21sin 2cos 2232323232x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+=--+-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111sin 2cos 2sin 2cos 22323223232x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11sin 2223422122x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222122k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()752424k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()75,2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题意及（1）可知()()sin 222g x x ϕ=+，因为02x π≤≤，2222x ϕϕπϕ≤+≤+，又()0,ϕπ∈，且22sin 3tan cos 4sin cos 1sin 0ϕϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，所以3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，则04πϕ<<，则022πϕ<<，322πππϕ<+<，所以()24sin 2sin 22sin cos 25πϕϕϕϕ+=-=-=-，所以()24sin 22125x ϕ-≤+≤，则()1222252g x -≤≤，即()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1222,252⎡-⎢⎣⎦.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin +0y A x B ωϕω=+>或()()cos +0y A x B ωϕω=+>的形式；（2）将x ωϕ+看成一个整体；（3）借助正弦函数sin y x =或余弦函数cos y x =的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.21.定义在()1,1-上的函数()f x 满足对任意的x ，()1,1y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当()0,1x ∈时，()0f x <．（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）求证：()f x 在()1,1-上是减函数；（3）若112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()221f x t at ≤--对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(),11⎡-∞-⋃++∞⎣.【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令0x =，0y =，得()()()000f f f +=，所以()00f =．令y x =-，得()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x =--，所以函数()f x 是奇函数．【小问2详解】设1211x x -<<<，则()11,1x -∈-，所以()()()()212121121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-=⎪-⎝⎭．因为210x x ->，11x <，21x <，所以121x x <，即1211x x -<<，所以211201x x x x ->-．又()()12211212111011x x x x x x x x +---=<--，所以2112011x x x x -<<-，所以211201x x f x x ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭，所以()()210f x f x -<，即()()12f x f x >．所以()f x 在()1,1-上是减函数．【小问3详解】由（2）知函数()f x 在()1,1-上是减函数，所以当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()221f x t at ≤--对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,1a ∈-恒成立等价于2121t at ≤--对任意[]1,1a ∈-恒成立，即2220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．设()222222g a t at ta t =--=-+-，是关于a 的一次函数，[]1,1a ∈-，要使()2220g a ta t =-+-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，所以(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，即22220220t t t t ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得1t ≤--1t ≥+，所以实数t的取值范围是(),11⎡-∞-⋃++∞⎣．22.已知函数()1122f x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，a 为常数且0a >．若0x 满足()()00f f x x =，但()00f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点，12x x ，，试确定a 的取值范围．【答案】12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】【分析】首先函数()f x 写成分段函数的形式，分102a <<，12a =和12a >三种情况求解()()f f x ，根据函数的二阶周期点，求实数a 的取值范围.【详解】()()1212122a x x f x ax x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，，．当102a <<时，()()22214422142a x a a x f f x a x x ⎧-+>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，，，．由()()f f x x =可解得0x =，而()00f =，故0x =不是二阶周期点，所以102a <<不合题意．当12a =时，()()11212x x f f x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，，，．由()()f f x x =得解集为12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，而当12x ≤时，()f x x =恒成立，故12a =不合题意．当12a >时，()()2222241444141421224112442144a a a x x a a a x a a x af f x a a x x a a x x a -⎧->⎪⎪-⎪+-<≤⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-<≤⎪⎪⎪≤⎩，，，，，．由()()f f x x =解得0x =或2214a x a =+或212a x a =+或22414ax a =+．又()2222220014141212a a a a f f f a a a a⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，，2222441414a a f a a⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭所以()f x 恰有两个二阶周期点．综上，a 的取值范围是12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，．。

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．若复数(2)(21)i()z a a a =-+-∈R 为纯虚数，则复数z a -在复平面上的对应点的位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知单位向量a r 与b r 的夹角为()π,3a ka b ⊥+r r r ，则k =（）A ．12BC ．12-D ．3．设,a b 为两条直线,,αβ为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（） A ．若a αP ,b α⊂,则a b PB ．若a αP ,b β∥,αβ∥,则a b PC ．若a α⊂,b β⊂,a b P ,则αβ∥D ．若a α⊥,b β⊥,αβ⊥,则a b ⊥r r4．在平行四边形ABCD 中，15,,56BE BC DF DC M ==u u u r u u u r u u u r u u u r 是线段EF 的中点，则AM =u u u u r （） A ．1325AB AD +u u u r u u u r B ．1223AB AD +u u u r u u u r C ．112123AB AD +u u u r u u u r D ．113125AB AD +u u u r u u u r 5．已知圆台的上､下底面圆的半径之比为12，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O ，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球O 的表面积为（）A ．3πB ．5πC ．8πD ．9π6．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s b C c B b +=，且co s a c B =，则ABC V 是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件且1137(),(),()22424P A P B P AB AB ==+=，则()P AB =（）A ．18B ．1148C ．211D ．7138．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是11C D ，BC ，11A D 的中点，有下列四个结论：①AP 与CM 是异面直线；②AP ，CM ，1DD 相交于一点；③1//MN BD ；④//MN 平面11BB D D ．其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②④C ．①③④D ．②③④二、多选题9．若z 是非零复数，则下列说法正确的是（）A ．若0z z +=，则i z z =B ．若2z z z ⋅=，则2z =C ．若1z z =，则1z z =D ．若10z z +=，则210z z z ⋅+= 10．若数据1210,,,x x x L 的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A ．数据121041,41,,41x x x +++L 的平均数为13B ．数据12103,3,,3x x x L 的方差为12C ．10130i i x ==∑D ．1021130i i x ==∑11．如图，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF PE ⊥时，则（）A ．:2:1AF FD =B ．:1:1AF FD =C ．若P A =1，则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若P A =1，则直线PE 与平面ABCD 所成角为30o三、填空题12．已知复数z 满足:22024(1i)42i z -=+，则z =.13．已知如图边长为a 的正方形ABCD 外有一点P 且PA ⊥平面ABCD ，PA a =，二面角P BD A --的大小的正切值．14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC交于点D .若5AB =，3sin 5CAB ∠=，3sin 4DCE ∠=，则ABE V 的面积是.四、解答题15．已知复数i()z b b R =∈，i 是虚数单位.（1）若2i1z -+是实数，求b 的值；（2）在①点P 在实轴上，②点P 在虚轴上，③点P 在一､三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：若12b =-，复数2()m z +在复平面内对应的点为P ，且___________，求实数m 的值. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.16．已知向量,a b r r 满足()()24,6,23,8a b a b -=-+=r r r r .(1)求sin ,a b r r ；(2)若()0a c c ≠r r r ∥，求b c +r r 的最小值.17．某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[)50,70和[)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2．名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[)50,70内的概率．18．如图，在平面四边形ABCD 中，2DC AD ==2BAD π∠=，6BDC π∠=．(1)若cos ABD ∠ABD △的面积； (2)若C ADC ∠=∠，求BC ．19．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，Q 是棱P A 上一点，且3AQ QP =.(1)求证://NQ 平面MCD ;(2)14,8,AB BC PB PD PA PC ======P A 与平面PBC 所成角的正弦值.。

安庆市一中2020-2021学年高一数学上学期期中试卷附答案解析

安庆市一中2020-2021学年高一数学上学期期中试卷一、单选题1．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12．设命题p ：所有矩形都是平行四边形，则p ⌝为（） A ．所有矩形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是矩形C ．有的矩形不是平行四边形D ．不是矩形的四边形不是平行四边形 3．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是（） A ．22a b ->-B ．c a c b ->-C ．a c b c +>+D ．22a b >时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 4．函数()31f x x x=-的图象可能为（） A ．B ．C ．D ．5．若1)f x =+()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =- B ．2()(0)f x x x x =-≥ C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+6．已知函数(2)f x 的定义域是[0,2]，则函数(1)(1)y f x f x =-++的定义域是（） A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]7．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(),0-∞B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A ．y x =与y =B ．1y t =-与y =C ．2yx 与2y x =D ．211x y x +=-与11y x =-10．下列命题正确的有（） A ．,a b R ∃∈，22(1)0a b -++≤B ．若0a b >>，则11a ba b>++ C ．函数()1(),02f x x x x =+>-的最小值为4 D ．0ab =是220a b +=的充要条件11．已知全集U 和集合A ，B ，C ，若A ⊆B ⊆∁U C ，则下列关系一定成立的有（） A ．A ∩B =AB ．B ∪C =BC ．C ⊆∁U AD ．(∁U A )∪(∁U C )=U12．若函数()f x 满足对∀x 1，x 2∈(1，+∞)，当x 1≠x 2时，不等式122212()()1f x f x x x ->-恒成立，则称()f x 在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数()f x 中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（） A ．()41f x x =- B ．21()f x x x x=++C ．2()221f x x x =-+D ．2()21f x x x =-+三、填空题13．已知函数()f x 为奇函数，当x >0时，21()2f x x x=+，则()1f -=_________. 14．已知幂函数()f x 的图象过点(2)，则()f x 的单调递增区间为_________.15．已知集合{}12A x x =<<，{}2,B y y x x A ==∈，{},C y y x a x A ==+∈，若BC =∅，则实数a 的取值范围是_________. 16．已知实数x ，y 满足x ，y >0的最大值为_________.四、解答题17．已知集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若a =3，求A ∩B 和A ∪B ；（2）设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数2()3f x ax bx =++(a ，b ∈R ).（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(-1，3)，求a +b 的值；（2）若b =-a -5，解关于x 的不等式()42f x x >-+.19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （万元）的专项补贴（补贴资金不超过20万元），并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1564t x =-+（万件），A 公司生产t （万件）防护服还需要投入成本60+3x +50t （万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府贴x 万元计入公司收入）；（2）政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出利润的最大值.20．已知实数x >0，y >0，且222()xy x y a x y =+++(a ∈R ). （1）当a =0时，求x +4y 的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值；（2）当12a =时，求x +y 的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值.21．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5. （1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数()y f u =的定义域为A ，值域为B .如果存在函数()u g x =，使得函数[]()y f g x =的值域仍为B ，则称()u g x =是函数()y f u =的一个“等值域变换”.（1）若函数2()1y f u u ==+，1()u g x x x==+(x >0)，请判断()u g x =是不是函数()y f u =的一个“等值域变换”？并说明理由；（2）已知单调函数()y f u =的定义域为{}12A u u =≤≤，若221()1x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”，求实数a 的取值范围.解析安庆市一中2020-2021学年高一数学上学期期中试卷一、单选题1．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（） A ．2 B ．1或－1C ．1D ．－1【答案】D 【分析】分别令212a +=，12a +=，求出a 值，代入检验．【详解】当212a +=时，1a =±，当1a =时，2112a a +=+=，不满足互异性，舍去，当1a =-时，集合为{1,2,0}，满足；当12a +=时，1a =，不满足互异性，舍去. 综上1a =-．故选：D ．【点睛】本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论． 2．设命题p ：所有矩形都是平行四边形，则p ⌝为（） A ．所有矩形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是矩形C ．有的矩形不是平行四边形D ．不是矩形的四边形不是平行四边形【答案】C【分析】根据全称量词命题p 的否定是存在量词命题，判断即可. 【详解】解：命题p ：所有矩形都是平行四边形，则p ⌝为：有的矩形不是平行四边形. 故选：C .【点睛】本题考查了全称量词命题的否定命题应用问题，是基础题. 3．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是（） A ．22a b ->- B ．c a c b ->-C ．a c b c +>+D ．22a b >【答案】C【解析】分析：根据题目中所给的条件，结合不等式的性质得到大小关系. 详解：a b >，22a b -<-,故A 不正确；c a c b -<-,B 也不正确；a cbc +>+，C 正确；D 22a b >不一定正确，当a,b 为负数时，不等式不成立.故答案为C.点睛：这个题目考查了根据已知条件得到不等式的大小关系；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.4．函数()31f x x x=-的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用排除法即可得出正确选项. 【详解】由()31f x x x=-可知：该函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ､C . 又()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D ，故选：A.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数图象，考查了函数的奇偶性、和单调性，属于中档题5．若1)f x =+()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =- B ．2()(0)f x x x x =-≥ C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+【答案】C【分析】令1t =，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.【详解】f +1）＝x设1=t ，t ≥1，则x ＝（t ﹣1）2，∴f （t ）＝（t ﹣1）2+t ﹣1＝t 2﹣t ，t ≥1， ∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣x （x ≥1）．故选：C .【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.6．已知函数(2)f x 的定义域是[0,2]，则函数(1)(1)y f x f x =-++的定义域是（） A ．{1} B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]【答案】C【分析】由复合函数的定义域可得函数()f x 的定义域，再解不等式组即可得解. 【详解】因为函数(2)f x 的定义域是[]0,2，所以函数()f x 的定义域为[]0,4，若要使(1)(1)y f x f x =-++有意义，则014014x x ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，解得[]1,3x ∈.所以函数(1)(1)y f x f x =-++的定义域是[]1,3.7．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.8．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(),0-∞B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞，则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意；综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.二、多选题9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A ．y x =与y =B ．1y t =-与y =C ．2yx 与2y x =D ．211x y x +=-与11y x =-【分析】可判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为相同函数，否则为不相同函数.【详解】A 中y x =的定义域为R ，y =的定义域为{|0}x x ，定义域不同，不是相同函数；B 中|1|y t =-的定义域为R ，|1|y x =-的定义域为R ，定义域和对应关系都相同，是相同函数；C 中2yx 的定义域为R ，22||y x x ==的定义域为R ，定义域和对应关系都相同，是相同函数；D 中211x y x +=-的定义域为{|1}x x ≠±，11y x =-的定义域为{|1}x x ≠，定义域不同，不是相同函数．故选：BC ．10．下列命题正确的有（） A ．,a b R ∃∈，22(1)0a b -++≤B ．若0a b >>，则11a ba b>++ C ．函数()1(),02f x x x x =+>-的最小值为4 D ．0ab =是220a b +=的充要条件【答案】AB【分析】举出例子可判断A 、C ，作差可判断B ，由充分条件、必要条件的定义可判断D. 【详解】对于A ，当2,1a b ==-时，满足22(1)0a b -++≤，故A 正确；对于B ，若0a b >>，则()()()()()()110111111a b b a a b a ba b a b a b +-+--==>++++++，所以11a ba b>++，故B 正确；对于C ，1(1)1012f =+=-，故C 错误；对于D ，当2,0a b ==时，满足0ab =，但不满足220a b +=，故0ab =不是220a b +=的充分条件，故D 错误. 故选：AB.11．已知全集U 和集合A ，B ，C ，若A ⊆B ⊆∁U C ，则下列关系一定成立的有（） A ．A ∩B =A B ．B ∪C =B C ．C ⊆∁U A D ．(∁U A )∪(∁U C )=U【答案】ACD【分析】根据集合的关系，以及集合的交并补即可判断. 【详解】根据条件A ⊆B ⊆∁U C ，作出维恩图如下，由图可知，A ∩B =A ，C ⊆∁U A ，(∁U A )∪(∁U C )=U 正确；B ∪C =B 错误. 故选：ACD12．若函数()f x 满足对∀x 1，x 2∈(1，+∞)，当x 1≠x 2时，不等式122212()()1f x f x x x ->-恒成立，则称()f x 在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数()f x 中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（） A ．()41f x x =- B ．21()f x x x x=++C ．2()221f x x x =-+D ．2()21f x x x =-+【答案】BC【分析】令2()()g x f x x =-，问题转化为判断()g x 在(1,)+∞上是增函数，分别对各个选项判断即可．【详解】若函数()f x 满足对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，当12x x ≠时，不等式122212()()1f x f x x x ->-恒成立，则2212112222121212()()[()][()]10()()f x f x f x x f x x x x x x x x -----=>--+，令2()()g x f x x =-，则1212()()0g x g x x x ->-，1x ∀，2(1,)x ∈+∞，且12x x ≠，()g x ∴在(1,)+∞上是增函数，对于,()41A f x x =-，则22()()41g x f x x x x =-=-+-，对称轴是2x =，故()g x 在(1,2)递增，在(2,)+∞递减，故A 错误；对于21,()B f x x x x =++，则21()()g x f x x x x=-=+，是对勾函数，故()g x 在(1,)+∞递增，故B 正确；对于2,()221C f x x x =-+，故22()()21g x f x x x x =-=-+，对称轴是1x =，故()g x 在(1,)+∞递增，故C 正确；对于2,()21D f x x x =-+，则2()()21g x f x x x =-=-+，故()g x 在(1,)+∞递减，故D 错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于122212()()1f x f x x x ->-恒成立可转化为新函数2()()g x f x x =-满足1212()()0g x g x x x ->-上恒成立，即()g x 在(1,)+∞上是增函数，属于中档题．三、填空题13．已知函数()f x 为奇函数，当x >0时，21()2f x x x=+，则()1f -=_________. 【答案】3-【分析】根据奇函数的定义，先求(1)f ，即可得结果. 【详解】因为当x >0时，21()2f x x x=+，所以(1)213f =+=，又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f -=-=-，故答案为：3-14．已知幂函数()f x 的图象过点(2)，则()f x 的单调递增区间为_________.【答案】[0,)+∞ 【分析】由已知可设()f x x α=,由题意知(2)f =α,再结合函数()f x 的单调性可得解.【详解】因为()f x 为幂函数, 设()f x x α=,由函数()f x的图象过点，则2α=,即12α=, 即12()f x x =,故()f x 的单调增区间为[0,)+∞, 故答案为 [0,)+∞. 15．已知集合{}12A x x =<<，{}2,B y y x x A ==∈，{},C y y x a x A ==+∈，若BC =∅，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤-或3a ≥【分析】转化条件为()1,4B =、()1,2C a a =++，再由交集的结果即可得解.【详解】因为{}12A x x =<<，所以{}()2,1,4B y y x x A ==∈=，{}(),1,2C y y x a x A a a ==+∈=++，又B C =∅，所以21a +≤或14a +≥，解得1a ≤-或3a ≥，所以实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥. 故答案为：1a ≤-或3a ≥. 16．已知实数x ，y 满足x ，y >0的最大值为_________.【分析】平方后结合基本不等式可得22≤，即可得解.【详解】由题意，241124x yx y +==≤+=+，当且仅当4x y =时，等号成立，所以.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题17．已知集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若a =3，求A ∩B 和A ∪B ；（2）设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|32}AB x x =-<<-，{}41A B x x ⋃=-<<（2）02a ≤≤【分析】（1）化简集合A ，当a =3时，化简集合B ，根据交集、并集运算即可；（2）化简集合,A B ，得到集合B 是集合A 的真子集，解不等式组1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩即得解.【详解】（1）{}{}223031A x xx x x =+-<=-<<. 因为3a =，所以{}{}3142B xx x x =+<=-<<-，因此{|32}AB x x =-<<-，{}41A B x x ⋃=-<<；（2）{}31A x x =-<<，{}{}111B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，等号不同时成立，解得02a ≤≤.18．已知函数2()3f x ax bx =++(a ，b ∈R ).（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(-1，3)，求a +b 的值；（2）若b =-a -5，解关于x 的不等式()42f x x >-+. 【答案】(1)1 (2)答案见解析【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a 、b 的值，再求+a b ; （2）不等式化为(1)(1)0x ax -->，讨论a 的取值，即可求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式()0f x >等价于230ax bx ++>，它的解集是(1,3)-，所以1-和3是一元二次方程230ax bx ++=的两实数根，由一元二次方程根与系数关系，得13313b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1a =-，2b =，所以1a b +=．（2）将不等式()42f x x >-+化为2(1)10ax a x -++>，即(1)(1)0x ax -->1︒当0a =时，由原不等式可得10x -<，解得1x <；2︒当0a >时，由原不等式可化为1(1)()0x x a-->，①当01a <<，即11a >时，解不等式得1x <或1x a>；②当1a =，即11a=时，不等式的解为1x ≠； ③当1a >，即11a<时，解不等式得1x a <或1x >；3︒当0a <时，由原不等式可化为1(1)()0x x a--<，且11a <，解此不等式得11x a <<；综上，当0a <时，不等式的解集为1{|1}x x a<<；当0a =时，不等式的解集为{|1}<x x ；当01a <<时，不等式为{|1x x <或1}x a>；当1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当1a >时，不等式的解集为1{|x x a<或1}x >．【点睛】关键点点睛：解含参二次不等式时，首先考虑能否分解因式，当能分解因式时，综合考虑对应二次函数的开口方向及零点的大小关系，分类求解，注意要不重不漏，结果最后写成解集的形式，本题运算较为复杂，属于中档题.19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （万元）的专项补贴（补贴资金不超过20万元），并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1564t x =-+（万件），A 公司生产t （万件）防护服还需要投入成本60+3x +50t （万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府贴x 万元计入公司收入）；（2）政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1）4502120,0204y x x x =--+≤≤+；（2）当政府补贴11万元时，A 公司的防护服利润达到最大，最大值为68万.【分析】（1）由题目等量关系运算即可得解；（2）转化条件为()225241284y x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意，该公司的收入为()80t x +万元，投入为60350x t ++，所以该公司的利润()()6035031580620604x x t y t x x ++=⋅⎛⎫=+---- ⎪+⎝⎭4502120,0204x x x =--+≤≤+；（2）由（1）得()45022521202412844y x x x x ⎡⎤=--+=-+++⎢⎥++⎣⎦12868≤-=，当且仅当22544x x +=+即11x =时，等号成立，所以当政府补贴11万元时，A 公司的防护服利润达到最大，最大值为68万. 20．已知实数x >0，y >0，且222()xy x y a x y =+++(a ∈R ). （1）当a =0时，求x +4y 的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值；（2）当12a =时，求x +y 的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值. 【答案】（1）92（2）4 【分析】(1) 当a =0时，由已知可得112x y+=，然后利用乘1法，结合基本不等式可求解； (2)当12a =时，222112()()22xy x y x y x y x y xy =+++=+++-，然后结合基本不等式可求解.【详解】（1）当a =0时，2xy x y =+，112x y∴+=，11114194(4)()(5)(5,2222y x y x x y x y x y +=++⨯=++≥+=∴当且仅当4y x x y =且112x y +=，即 33,42y x ==时取等号，此时x +4y 的最小值为92，（2）当12a =时，222112()()22xy x y x y x y x y xy =+++=+++-，()2213322x y xy x y x y +⎛⎫∴=+++≤ ⎪⎝⎭，解得4x y +≥，当且仅当x =y 即2212()2xy x y x y =+++，即 x =y =2时取等号，故x y +的最小值4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5. （1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <.【分析】（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ；（2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-；令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2()(21)12f kx f x +-+<，所以()()2211f kx x f +-<，因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<，所以222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，令[]12,3t x =∈，则221122222t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当2t =即12x =时，222t t -取最小值4，所以4k<.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，再转化为求222x x-的最小值即可得解. 22．已知函数()y f u =的定义域为A ，值域为B .如果存在函数()u g x =，使得函数[]()y f g x =的值域仍为B ，则称()u g x =是函数()y f u =的一个“等值域变换”.（1）若函数2()1y f u u ==+，1()u g x x x==+(x >0)，请判断()u g x =是不是函数()y f u =的一个“等值域变换”？并说明理由；（2）已知单调函数()y f u =的定义域为{}12A u u =≤≤，若221()1x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）不是；证明见详解.（2）∅ 【分析】（1）求出2()1y f u u ==+的值域以及[]()y f g x =的值域，根据题中定义即可判断.（2）根据题意可得221()1x ax g x x x ++=++的值域与u 的取值范围相同，转化为()2211x ax u x x ++=++，从而可得0∆≥，再由12u ≤≤，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）1()u g x x x==+(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”，证明如下：2()11y f u u ==+≥，()f u ∴的值域为[)1,+∞，又[]22211()13y f g x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，2212x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， []221()35y f g x x x +∴==+≥，即[]()y f g x =的值域为[)5,+∞，两函数的值域不同，∴1()u g x x x==+(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”. （2）()y f u =在定义域[]1,2上为单调函数，∴()y f u =在两端点处取得最值，又221()1x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”， ∴[]()y f g x =与()y f u =值域相同，()12g x ∴≤≤，即()g x 的值域与u 的取值范围相同，由2211x ax u x x ++=++得()2211x ax u x x ++=++，()()2110u x a u x u ∴-+-+-=有根，()()22410a u u ∴∆=---≥，即()2232840u a u a +-+-≤，又12u ≤≤，1,2∴是方程()2232840u a u a +-+-=的两个根，228121324123a a a a a -⎧+=-⎧⎪=-⎪⎪∴⇒⇒∈∅⎨⎨-⎪⎪∈∅⨯=⎩⎪⎩，所以实数a 的取值范围是∅.【点睛】方法点睛：本题考查了函数的值域求法，常见方法如下：（1）利用函数的单调性求值域.（2）对于分式型的值域利用分离常数法. （3）换元法. （4）数形结合法. （5）判别式法.。