复变函数2.2,2.3
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数教案2.2
第二章教学课题：第二节 初等解析函数教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；教学重点：指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。
教学过程：1、指数函数定义2.4对于任何复数iy x z +=我们用关系式),sin (cos y i y e e e x iy x z +==+来规定指数函数z e指数函数z e 它有如下性质：（1）当z=x 时（y=0）我们的定义与实指数函数是一致的。
（2）0;arg ,0≠=>=z z x z e z y e e e 平面上在（3）z e 在z 平面上解析，且z z e e =')(（4）2121z z z z e e e +（5）z e 是以i π2为基本周期的周期函数。
（6）极限z z e ∞→lim 不存在，既无意义。
2、三角函数与双曲函数：由于Euler 公式，对任何实数x ，我们有：x i x e x i x e ix ix sin cos ,sin cos -=+=-，所以有,2sin ,2cos ie e x e e x ixix ix ix ---=+= 因此，对任何复数z ，定义余弦函数和正弦函数如下：,2sin ,2cos ie e z e e z iziz iz iz ---=+=则对任何复数z ，Euler 公式也成立：,sin cos z i z e iz +=关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cos z 和sin z 是单值函数；2、cos z 是偶函数，sin z 是奇函数:,cos 22)cos()()(z e e e e z iziz z i z i =+=+=----- ,sin 22)sin()()(z ie e i e e z iziz z i z i -=-=-=----- 3、cos z 和sin z 是以π2为周期的周期函数:,cos 2)2cos()2()2(z e e z z i z i =+=++-+πππ ,sin 2)2sin()2()2(z ie e z z i z i =-=++-+πππ 4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±； 证明：)(4122sin cos )()()()(21212121212211z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e i i e e e e z z +-+--+---+-=-+=，)(4122sin cos )()()()(12212112211122z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e ii e e e e z z +---+---+-=-+= 所以)sin()(21sin cos cos sin 21)()(21212121z z e e iz z z z z z i z z i ±=-=±±-± 5、;1cos sin 22=+z z12242)2()2(sin cos 22222222=-+-++=-++=+----z i z i z i z i iz iz iz iz e e e e i e e e e z z 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到1|sin |,1|cos |≤≤z z ，例如z=2i 时，有,22sin ,122cos 2222ie e i e e i -=≥+=-- 6、cos z 和sin z 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=证明：,sin 222cos z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz -=--=-=+=---z e e i ie ie i e e dz d z dz d iz iz iziz iz iz cos 222sin =+=+=-=--- 7、cos z 和sin z 在复平面的零点：cos z 在复平面的零点是，)(2Z k k z ∈+=ππ，sin z在复平面的零点是，)(Z k k z ∈=π。
华南理工大学 复变函数2.2(3)初等函数
因此，对同一个 z 0, w z 的不同数值 a2 k i 的个数等于不同数值的因子 e (k Z ) 个数 。
幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是
整个复平面上的多值函 (不同数值的个数等于 数
e 不同因子的个数)。 2、当是正整数n时, n nLnz n[ ln| z| i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 (n是正整数)时, n
幂函数的定义:
w z e
a aLnz
( z 0)
a
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
0.
幂函数的基本性质：
当是正整数n时, 是一个单值函数；
3、当 1 (n是正整数)时, 是一个n值函数； n
等于n次方根.
幂函数的基本性质：
当是0时, z 1;
0
当 是有理数时，即 ( p与q为互素
幂函数的基本性质:
而且，由
a
z e
a
aLnz
及复合函数求导法则得
a
dz 1 z aL n z a 1 e a a az dz z z
其中 z 应当理解为某个分支， Lnz理解为相应的分支。
a
双曲函数
e z e z e z e z e z e z ch z , sh z , th z z z 2 2 e e
6、当是无理数或非实数的复数时，幂函数是无穷 多值函数；
事实上，当是无理数时，有
z e
Lnz
当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数最大模原理_概述及说明解释
复变函数最大模原理概述及说明解释1. 引言1.1 概述复变函数是数学中一个重要的概念，它在多个领域中有着广泛的应用。
复函数最大模原理是复变函数理论中的一个基本定理，它对于理解和分析复变函数的性质起到了重要作用。
本文将从概述、定义与性质及应用示例等方面来详细阐述复变函数最大模原理。
1.2 文章结构本文主要包括五个部分：引言、复变函数基础知识、复变函数最大模原理概述、解释最大模原理相关问题以及结论与总结。
接下来将逐一介绍每个部分的内容。
1.3 目的本文旨在系统地介绍和说明复变函数最大模原理的概念、表述及其证明思路，并通过具体的应用示例展示其在实际问题中的作用。
此外，本文还将解释为何最大值只能在边界上取到、探讨最大模原理的几何解释以及与调和函数之间的关系。
通过深入研究和分析，我们可以更好地认识到复变函数最大模原理在数学领域中的价值以及其在实际问题中的应用潜力。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，主要包括概述、文章结构和目的三个方面，并简要介绍了整篇文章所涵盖的内容。
2. 复变函数基础知识:2.1 复数及复平面:复数是由实部和虚部组成的数字，可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复平面是由实轴和虚轴组成的二维坐标系，在复平面中，实轴对应着实数部分，虚轴对应着虚数部分。
通过将复数在复平面上进行表示，我们可以更直观地理解复数之间的运算以及它们的性质。
2.2 复变函数定义与性质:复变函数是将一个或多个复数作为输入，并输出一个或多个复数的函数。
与实变函数类似，我们可以定义并研究复变函数的连续性、可导性、解析性等性质。
相比于实变函数，复变函数有一些特殊的性质，例如保角映射、全纯等。
2.3 基本解析函数:基本解析函数是指一些最基本且重要的具有解析性质的函数，它们在求解许多数学问题中扮演了重要角色。
常见的基本解析函数包括指数函数、三角函数、对数函数以及幂函数等。
这些基本解析函数具有良好的性质，在许多领域都有广泛的应用。
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐随着数学的发展，复变函数的应用也日趋广泛。
复变函数可以应用于重力学、物理、植物学、物理化学、生物、动物学和其他科学等各个学科，它也在工程和技术领域中有重要应用。
复变函数的学习也在数学学科中起到至关重要的作用，所以推荐一些质量良好的教材十分必要。
2材简介2.1 《复变函数》（第五版）《复变函数》（第五版）由李爱国编著，陕西教育出版社出版，它是以复变函数为主题的一本综合性教材，既有简单易懂的教学章节，也有复杂深入的解题技巧。
该书前面部分介绍了复变函数的基本概念，让读者具备基本的数学函数知识，然后进入具体的复变函数分析方法，及其应用，在最后部分还有一些习题和参考答案，全书配有详细的图表和图示，有助于读者的理解。
2.2 《复变函数与微积分》（第三版）《复变函数与微积分》（第三版）是由罗正平编著，山东教育出版社出版的教材，全书以复变函数和微积分为主题，从学习入门开始，浅显易懂，突出实用性，以分析论述的形式解释复变函数的基本概念和运用，重点介绍了复变函数的几何意义、极值的求法、导数的计算算法等，全书以及里面的例题、习题都以实际问题为出发点，内容着重于实用性，并附有例题、习题及参考答案，可以帮助读者加深对复变函数的理解。
2.3 《复变函数与积分学》《复变函数与积分学》是由余士林编著，湖北教育出版社出版的教材，该书全面系统地论述了复变函数的基本概念及其应用，从数学方法复变函数的定义和性质，到复变函数的性质，再到复变函数积分的求法及其应用，最后也涉及到单变量函数的根和多变量函数的极值，展示了复变函数在分析几何中的应用。
全书内容丰富，里面的例题、习题及参考答案对于学习者理解复变函数的原理有很大帮助。
3 优缺点从上面介绍的三本教材中可以发现，它们都具有良好的质量。
比较而言，《复变函数》（第五版）有着较为丰富的图表和图示，引导读者从熟悉的概念入手，把握其中的技巧，也有详细的例题和习题让学习者加深对复变函数知识的理解；《复变函数与微积分》（第三版）以实用性为特点，以分析论述的形式解释复变函数的基本概念和运用，全书中的例题也均以实际问题出发；《复变函数与积分学》主要以复变函数和积分学为主题，从定义和性质到复变函数积分的求法及其应用，它把复变函数与积分学有机结合起来，可以更全面地帮助读者了解复变函数。
考研数学复变函数考点详解与习题训练
考研数学复变函数考点详解与习题训练复变函数是数学中的一个重要分支，也是考研数学中的必考内容之一。
掌握复变函数的考点和解题技巧对于顺利通过考研数学是至关重要的。
本文将详解考研数学复变函数的考点，并给出相应的习题训练，帮助考生更好地准备复变函数这一部分的考试。
一、复数与复变函数基础知识复数是由实数与虚数构成的数，可表示为 z=a+bi，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
在复变函数中，我们需要掌握复数的运算、复数平面的表示以及复数的共轭等内容。
1.1 复数的运算复数的运算包括加减乘除四则运算。
加法运算遵循交换律和结合律，乘法运算遵循交换律和分配律，除法运算需要进行分母的共轭处理。
掌握这些运算法则对于后续复变函数的计算是非常重要的。
1.2 复数的表示复数可以用复平面上的点表示，实部 a 对应于复平面的 x 坐标，虚部 b 对应于复平面的 y 坐标。
我们可以通过绝对值和辐角表示复数，也可以通过复数的指数形式来表示。
1.3 复数的共轭复数的共轭是指将复数 z=a+bi 中的虚部 b 变为其相反数 -b 的操作。
记作 z*=a-bi。
复数和它的共轭在复平面上是关于实轴对称的。
二、复变函数的解析性与全纯函数2.1 复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 分别表示实部和虚部的函数。
复变函数可以进行加减乘除以及求导等运算。
2.2 解析函数解析函数是指在某个区域内处处可导的复变函数。
解析函数具有连续性和光滑性，满足柯西—黎曼方程。
掌握解析函数的求导规则和解析函数的特性对于解题非常重要。
2.3 全纯函数全纯函数是指在某个区域内解析且无奇点的复变函数。
全纯函数具有更高的光滑性和可微性，常用的全纯函数有指数函数、三角函数和多项式函数等。
全纯函数的研究是复变函数理论的重要内容。
三、复变函数的积分与级数3.1 复变函数的积分复变函数的积分主要研究复积分和沿曲线的曲线积分。
复变函数2.2 初等解析函数
§2 初等解析函数例2.3 及例2.4已经指出了多项式及有理分式函数的解析性。
这一节和下一节将进一步讲复变数的初等函数，这些函数是数学分析中通常的初等函数在复数域中的自然推广。
经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质。
例如，复指数函数z e 是有周期的，函数z z cos sin 及已不在是有界的，等等。
1. 指数函数由例2.9，我们知)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析，且)()('z f z f =。
进一步，还易验证).()()(2121z f z f z z f =+因此，我们有理由给出下面定义。
定义2.4 对于任何复数iy x z +=，我们用关系式 ()y i y e e e x iy x z sin cos +==+ 来规定指数函数z e对于复指数函数z e ，我们指出它具有如下的性质：(1) 对于实数()0==y x z 来说，我们的定义与通常实指数函数的定义是一致的。
(2) ;arg ,0y e e e z x z =>=在z 平面上0≠z e (3) Z e 在z 平面上解析，且e zZ e =')((4) 加法定理成立，即e e e z z z z 2121=+(5) Z e 是以i π2为基本周期的周期函数（注（1）） 因对任一整数k ，e eee zik zik z ==+ππ22这里12=eik π（6）极限lim zz e →∞不存在，即e ∞无意义因当z 沿实轴 趋于∞+时，∞→e z；当z 沿实轴趋于-∞时，0→e z注:（1）如一函数)(z f 当z 增加一个定值ω时其值不变 ，即)()(z f z f =+ω，则称)(z f 为周期函数，ω称为z 的周期。
如)(z f 的所有周期都是某一周期ω的整倍数，则称ω为)(z f 的基本周期。
（2）（2.9）式中，当 z 的实部0=x 时，就得到欧拉公式y i y eiysin cos +=所以（2.9）是欧拉公式的推广（3）因10==-e e e zz ，从而ee z z 1=-；e e e z z zz2121-=（4）e z仅仅是一个记号，其意义如定义2.4，它没有幂的意义（5）虽然在z 平面上，ee ik z z π2+=（k 为整数），但0)(≠='e e zz即不满足罗尔（Rolle ）定理，故数学分析中的微分中的微分中值定理不能直接推广到复平面上来。
复变函数课件第二章
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
复变函数可微-概述说明以及解释
复变函数可微-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：复变函数是数学中一个重要的概念，它在复数域上定义并取值于复数。
复数由实部和虚部组成，而复变函数则是对复数域上的函数进行研究和求解。
在实际应用中，复变函数在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用价值。
本文将主要讨论复变函数的可微性质，即函数在某点处是否具有导数。
可微性是复变函数的一个重要属性，也是复变函数分析中的重要概念之一。
通过研究复变函数的可微性质，我们能够更好地理解复变函数的性质和特点，为进一步的研究和应用奠定基础。
1.2 文章结构文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
在本文中，引言部分主要介绍了复变函数可微的重要性和意义，为读者引入主题。
在正文部分，将介绍复变函数的定义、可微的概念以及复变函数可微的条件，帮助读者了解这一概念的基本知识。
在结论部分，将总结复变函数可微的重要性，探讨其在应用领域中的作用，并展望未来的研究方向。
通过这样的文章结构，读者可以系统地了解复变函数可微这一概念的相关知识，并对其应用和未来发展有所了解。
1.3 目的本文的主要目的是探讨复变函数可微的概念和条件，深入了解复变函数的特性以及可微性在数学和物理领域中的重要性。
通过对复变函数可微的条件进行详细分析，我们希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念，在实际问题中更加灵活地运用复变函数进行分析和计算。
此外，我们也将探讨复变函数可微的应用领域，展望未来在这一领域中的研究方向，为读者提供更多启发和思路。
通过本文的阐述，我们希望读者能够深入了解复变函数可微的重要性，并在相关领域中取得更多的研究成果和应用价值。
2.正文2.1 复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，即函数的自变量和值域都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为复数变量，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数，通常称为复数函数的分离。
在复变函数中，实部与虚部通常写为u(x,y)和v(x,y)，其中u和v是关于自变量x和y的实函数。
复变函数在坐标轴上的表示
复变函数在坐标轴上的表示1.引言1.1 概述概述部分的内容：复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及到复数及其运算规则。
在数学的应用领域中，复变函数在描述和解决一些复杂问题时发挥着重要的作用。
而在现实生活中，我们经常会遇到一些需要用到复变函数的情况，比如电路分析、流体力学、信号处理等领域。
本文将围绕复变函数在坐标轴上的表示展开讨论。
复变函数在坐标轴上的表示是指将复变函数的实部和虚部分别投影到实轴和虚轴上，通过这种方式来可视化复变函数的属性和特征。
文章将首先介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数的定义、复数的运算规则、复变函数的定义和复变函数的性质等。
然后，重点讨论复变函数在坐标轴上的表示方法，包括复变函数在实轴上的表示和复变函数在虚轴上的表示。
通过具体的示例和图表，我们将展示如何将复变函数的实部和虚部分别绘制在实轴和虚轴上，从而得到复变函数在坐标轴上的完整表示。
最后，我们将对本文的内容进行总结，并展望复变函数在坐标轴上的表示在未来的研究和应用中的潜力和发展方向。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解复变函数在坐标轴上的表示的基本原理和方法，以及其在实际问题中的应用。
期望本文能够对相关领域的研究人员和学生有所启发和帮助。
文章结构部分的内容如下:本文分为引言、正文和结论三个部分。
具体结构如下：1. 引言1.1 概述在引言部分，我们首先介绍了复变函数在数学中的重要性和应用背景，以及为什么复变函数能够在坐标轴上表示。
1.2 文章结构在文章结构部分，我们将详细解释本文的组织架构和每个部分的内容。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
在正文部分，主要涵盖了坐标轴上的复变函数和复变函数在实轴上的表示。
在结论部分，我们将对本文的研究进行总结，并给出未来研究的展望。
1.3 目的本文的目的是通过对复变函数在坐标轴上的表示进行研究，进一步探索其数学特性和应用价值。
通过本文的阐述，读者能够更好地理解复变函数的概念和性质，并了解到复变函数在实轴上的表示方法。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ₁ θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n=(z k-z k-1)=∆z k记∆z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={∆S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即ξk 的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=∆z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则∑1= (z k-z k-1)有可设ξk=z k，则∑2= (z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π)例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t==(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)==(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
复变函数2.2
lnz的实部 lnz的虚部
4. 幂函数 设 定义： 不难看出： (1) 如果 则 是有理数，其既约分数表示是 是 n 值的。 是 整数时， 是单 是无穷 是 任何实数或复数，对于
值的。 (2) 如果 是无理数或虚数，则 多值的。
5. 三角函数
定义：
性质： （1） 在复平面上解析．
（2） （3） （4）
故
是多值函数
任何不是零的复数有无穷多个对数。 记 则 Ln z 称为 Ln z 的主值。 例
Ln z的简单性质：
相应于Arg z的单值连续分支，Ln z可以分为 对应 是两个连续分支。
Ln z的单值连续分支 f (z) 是解析的，称 为解析分支，且
的映射性质： 把 映射成
2.1 初等函数 1. 指数函数 设 定义
则 取 得 Euler 公式
复数
可写成指数形式：
例如
对任何 对任何 在全复平面上解析，且
因为 所以 设 则 因此 有周期
e 的映射性质：
把区域 原点及正实轴的区域。 映射成：除去
z
模
：
辐角 y：
2. 多值函数：辐角函数
主值： 是单值函数，在 去掉原点和负实轴的区域 内连续。 割线
有周期 是奇函数， 是偶函数
（5） 时
不是有界函数
求使 sin z 和 cos z 为零的点：
同样的方法可得：
k 固定时，Arg z 就是单值函数，称为Arg z 的单值连续分支。 去掉从原点出发的任意一条射线，都可得到 Arg z的单值连续分支。
例如规定
则 arg z 是单值连续函数， k 固定时 Arg z 是单值连 续分支。
3. 对数函数 对于 满足
的复数 w 称为 z 的对数，记作 Ln z. 设 则
复变函数2.2
注意
1 在复数域内， Lnz nLnz, Ln z Lnz n
n n
例如： Lni 2 Ln 1 2k i
k 0, 1, 2,
2 Lni 2 2m i 4m i 2
m 0, 1, 2,
即 但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，
e e
z
Ln e z
z Ln e e . ?
三、幂函数
e
n2 ki
1
n n Ln z e n ln z . (单值) 讨论 (1) 当 a 为正整数时, z e
a a 1 a z ( z ) a z . 此时， 处处解析，且
Ln z 的主值 ln z ln x 就是实对数函数。
分支(枝) 对于任意一个固定的 k，称 ln z 2kπ i 为 Ln z 的 一个分支(枝)。
通常， 记wk Lnz k ln z i arg z 2k k 0, 1,
为w Lnz 的第k个单值分支，k 0为主值分支
综上 z e 在区域 v arg z 内反函数
w
w lnz是单值连续函数
dlnz 1 1 w 且由求导法则 de dz z dw
z 0及负实轴上点
从而 lnz在除z 0及负实轴上点外处处解析
类似可得：Lnz 的各分支 Lnz k 在除z 0及负实轴
第三节
初等函数
本节将把实变量函数中一些常用的初等函数推 广到复变量函数中，研究这些函数的性质，特别是 解析性.
初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数 六、双曲函数与反双曲函数
复变函数2.2,2.3
1 n 1 Lna n
(因子 n 个) (因子 n 个)
e
1 ln a n
arg a 2k arg a 2k i sin cos n n
24
arg a 2k n arg a 2k a cos i sin a, n n
e z 是一个周期函数，即多 对一函数。
10
(5) lim e 不存在. ( z lim e , z lim e 0 ) x x
z
z
z
z
这些性质表明复变函数的指数函数保留了实的指数
函数的全部优点. 证明 (1) 当x 为实数时，e x 0, 故当 z x iy 时，
因为 Ln2 ln 2 2ki ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln( 1) ln 1 iArg ( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln( 1) 的主值就是 i .
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
x
顾
2 n
x x 1 x 2! n!
3 5 2 m 1
x x x m 1 sin x x (1) 3! 5! (2m 1)!
x x 2m x cos x 1 (1) 2! 4! (2m)!
8
2
4
2m
e
x
即 a b e bLna .
b
注意:
由于 Lna ln a i (arg a 2k) 是多值的, 因而 a b 也是多值的.
(1) 当 b 为整数时, a e
b bLna
e
复变函数第三讲
w z2仅在z 0处可导，但处处不。解析
例2 求证函数
x
y
wu(x,y)iv(x,y)x2y2ix2y2
在 zxiy0处 解 析d， w . 并 求 dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
uv x y
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全平面不可导，不 析解 。
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u ex cosy x v ex siny x
u ex siny u v
y v
证明
f'(z)ux
i
vx
1
i
uy
vy
0
ux vx uy vy 0 uC1 vC2 f(z)C1iC2 C(复常数）
例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，
且f (z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.
若沿平行于实轴 z的 z 方z(式 y0)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
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例2 求 Ln 2, Ln( −1) 以及与它们相应的主值 . 解
因为 Ln 2 = ln 2 + 2kπi , π
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( −1) = ln 1 + iArg( −1)
= ( 2k + 1)πi ( k为整数 ) 所以 Ln( −1) 的主值就是 πi .
e
x
x x = 1 + x + + L + + L n! 2!
2
n
−1 x3 x5 x 2 m−1 m −1 sin x = x − + + L + (−1) +L 3! 5! (2m − 1)!
2 4 2m
x x 2m x cos x = 1 − + + L + ( − 1) +L 2! 4! ( 2 m )!
e z = e x ≠ 0, 因此 e z ≠ 0. z x x (2) e = e (cos y + i sin y ), u = e cos y ,
v = e sin y
x
在全平面可微 , 又 ∂u ∂ v ∂u ∂v x x = e cos y = , = − e sin y = − , ∂y ∂y ∂x ∂x
=e
p p ln a + i ( arga + 2 kπ ) q q
一对多
p ln a q
p p cos q (arga + 2kπ ) + i sin q (arga + 2kπ )
a b具有 q 个值, 即取 k = 0,1,2,L, (q − 1)时相应的值 .
23
特殊情况: 特殊情况 1) 当 b = n (正整数 )时,
则e z 解析且(e z )' = e3; iy1 , z2 = x2 + iy2 , 则 e z1 e z2 = e x1 (cos y1 + i sin y1 ) ⋅ e x2 (cos y2 + i sin y2 )
= e x1 + x2 [cos( y1 + y2 ) + i sin( y1 + y2 )]
若 推论 ： u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R方程,
则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
6
2.2 初等函数及其解析性
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
回 顾
e z 是一个周期函数，即多对一函数。
10
(5)lime 不存在 ( lim e = +∞ , lim e = 0 ) .
z
z
z
z→∞
z = x →+∞
z = x →−∞
这些性质表明复变函数 的指数函数保留了实的 指数 函数的全部优点 . 证明 (1) 当x 为实数时，e x ≠ 0, 故当 z = x + iy 时，
Lnz = Ln ( e w ) = Ln ( e x ) + Ln ( e i ( y + 2 k π ) ) = x + i ( y + 2 k π ) = ln z + iArgz
一对多
1. 定义
满足方程 e w = z ( z ≠ 0) 的函数 w = f ( z ) 称为对数函数, 记为 w = Lnz , 易见:Lnz = ln z + iArgz.
z2
( x + iy )2
x2 − y2
=e
x 2 − y 2 + 2 xyi
,
e
z2
=e
;
−y x +i 2 2 x2 + y2 x + y
( 3) e = e
1 z
1 z
1 x + yi
=e
,
Re(e ) = e
x x2 + y2
y cos 2 . 2 x +y
13
二、对数函数
设z = ew
多对一
1 即 (ln z )' = z
∴ ω = ln z除原点及负实轴外是解 析的 .
19
Lnz 的每个分支除了原点和 负实轴外均是解析的， 负实轴外均是解析的， 1 且( Lnz )' = z
例 2 ：解方程 （1）e = i , （2）e = e
z z
i
1 解：(1） z = Lni = ln1 + ( + 2 k π )i = ( + 2 k )π i 2 2
由于 Arg z 为多值函数 , 所以对数函数 w = f ( z ) 也是多值函数 , 并且每两值相差 2 πi的整数倍 .
14
如果将 Lnz = ln z + iArgz 中 Argz 取主值 arg z ,
为一单值函数， 那末 Lnz 为一单值函数， 记为 ln z， 称为 Lnz 的主值 .
a n = e nLna = e Lna +Lna +L+ Lna = e Lna ⋅ e Lna ⋅ L ⋅ e Lna = a ⋅ a ⋅L⋅ a. 1 2) 当 b = (分数 )时, n
(2) 注意到 e z 为周期函数，故有 z = i + 2 k π i
或者
π
z = Lnei = Ln(cos1 + i sin1)
= ln 1 + i (1 + 2kπ ) = i (1 + 2kπ )
20
注解
1、对数函数w = Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z 2 ) = Lnz1 + Lnz 2 Ln( z1 / z 2 ) = Lnz1 − Lnz 2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
(4) e 2π i
= e ( x1 + x2 )+ i ( y1 + y2 ) = e z1 + z2 . = cos 2π + i sin 2π = 1, 由(3)知
e z + 2π i = e z ⋅ e 2π i = e z . 例1 证明 e z = e z .
证 设z = x + iy , 则 e z = e x + iy = e x cos y + ie x sin y = e x cos y − ie x sin y = e [cos( − y ) + ie sin( − y )] = e
z1 Ln( ) = Ln z1 − Ln z2 z2
17
一般地 Ln z n ≠ n Ln z; 1 n Ln z ≠ Ln z , n 其中n为大于1的正整数。
2)连续性 : ln z在除去原点与负实轴外 处处连续 .
主值 : ln z = ln z + i arg z ,
其中 ln z 除原点外在其它点均连 续;
复习与回顾
1
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义 导数的定义: 导数的定义
设函数 w = f ( z ) 定义于区域 D , z0 为D 中的一 点, 点 z0 + ∆z 不出 D 的范围,
f ( z0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 如果极限 lim 存在, ∆z → 0 ∆z 那末就称 f ( z ) 在z0可导 .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
的导数 ,
记作
f ′( z0 ) =
dw f ( z0 + ∆ z ) − f ( z 0 ) . = lim dz z = z0 ∆z → 0 ∆z
2 2
评论：
1. 与实函数的可导定义形式相同。 与实函数的可导定义形式相同。 2. 复杂性在于
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
3. f(z) 在点可导则 在此点连续 反之不对 在点可导则f(z)在此点连续 反之不对. 在此点连续,
3
f ( z ) 在一点解析 f ( z ) 在一点可导
此点和其某领域内点点满足 导数定义 ·
仅在此点满足导数定义
·
·
一点可导， 一点解析 ⇒ 一点可导，反之不对
4
因为区域为开集， 因为区域为开集，故点点可导
b
设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个 复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna ,
注意: 注意:
即 a b = e bLna .
由于 Lna = ln a + i (arga + 2kπ) 是多值的, 因而 a 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 , a = e
b bLna
b
=e
欧拉公式
e
iπ
+1 = 0
9
一、 指数函数
定义复变函数的指数函 数 e z = exp z = e x + iy = e x (cos y + i sin y )
这时 e z = e x , Arge z = y + 2kπ ( k ∈ Z )
( 2.1)
( 2.2)
定理1 指数函数e z具有下述性质 : (1) e z ≠ 0; (2) e z 在全平面解析且( e z )′ = e z ; (3) e z1 ⋅ e z2 = e z1 + z2 ; (4) e 2π i = 1, e z + 2π i = e z ,即e z是以2π i为周期的周期函数.