A023=高一数学(2.3.3-4平面向量的基本定理及坐标表示)

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新人教版高考数学大一轮复习《平面向量的基本定理及向量坐标运算》

2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若 AC AE AF，其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =________.
【解析】选择 AB，AD 作为平面向量的一组基底,
则 AC AB AD，AE 1 AB AD，AF AB 1 AD，
2
2
又 AC AE AF (1 )AB ( 1 )AD，于是得
C.- 1 a- 5 b
3 12
B. 1 a- 13 b
3 12
D.- 1 a+ 13 b
3 12
【解析】选C. DE DC CE
1 BC 3 CA 34
1 (AC AB) 3 AC
3
4
1 AB 5 AC 1 a 5 b.
3 12
3 12
【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法: 选C.不妨设∠BAC=90°,取直角坐标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1), 则a=(1,0),b=(0,1)，
【题组练透】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 a- 3 b
22
=()
A.(-2,-1) C.(-1,0)
B.(-2,1) D.(-1,2)
【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 1 a- 3 b
22
=
1 2
(1,1)-
3 (1,-1)=
2
(1 , 1) (3 , 3) =(-1,2).
3
3
【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得
2x+3y=3,又因为x,y均为正数,
所以 3 2 = ( 3 2) 1(2x+3y)

第二章§2.3.1平面向量基本定理

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第．零向量不能作为基底，二 1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作章为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量为平面向量的一组基底．平．平面内不共线的两个向量可以作为基底，面 2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．向个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．量 3．证明三点共线，应结合题目条件，把e1与e2看作一组．证明三点共线，应结合题目条件，基底，选择适当的任两点确定向量，基底，选择适当的任两点确定向量，依据向量共线的条件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，可证三点共线．共线．
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第二章平面向量
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例1 如图所示，已知，e ，作向量＝e ＋2e ，如图所示，已知e1 2 作向量a＝ 1 2 b＝e2＋2e1，并作出向量－b. 并作出向量a－＝分析】【分析】本题主要考察平面向量基本定理的作图问题．作图问题．
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第二章平面向量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
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第二章平面向量
情境设疑
为了在直立的墙面上固定一幅画，为了在直立的墙面上固定一幅画，有时用一个钉，有时用多个钉，有时用一个钉，有时用多个钉，你能否用向量的有关知识来解释其中的道理？向量的有关知识来解释其中的道理？

平面向量基本定理及坐标表示知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案－36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三平面向量共线的坐标表示角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3).法二设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。

2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理

2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角为 180°.
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(1)对基底的理解 ①基底的特征基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
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平面向量基本定理及坐标表示教案

2．3．4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线．教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一． λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a =其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=．2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则),(2121y y x x ++=，),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ，求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则-2= ．3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，如何求证：四边形ABCD 是梯形．？二、讲解新课：1．思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x 1， y 1) ，=(x 2， y 2) 其中≠．由=λ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0∥ (≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？（不能。

2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示 ●温故知新1.（1）式子12（2）如果基底的两个向量1e 、2e ________，则这个基底为正交基底.2.在直角坐标系中建立一个________{},i j ，对于平面内任一向量a 可分解为x y =+a i j ，则有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作_________.3.设OA x y =+i j ，则向量OA 的坐标______就是_________的坐标；反过来，_________的坐标______也就是向量OA 的坐标.4.向量的加法法则：两向量首尾相接，则和向量为首向量的______指向末向量的______. ●课题引入在直角坐标平面中，（1）画出()2,4OA =，如何画()2,4=a ？（2）若()2,4=a ，()3,1=b ，画出+a b ，如何求+a b 的坐标？●教材新知1.2.（1）若向量的起点是坐标原点，则向量的坐标等于___________；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =_________.即一个向量的坐标等于表示此有向线段的___________减去___________.3.将一个向量的始点平移到坐标原点，则向量的坐标和平移后向量的______是相同的.4.设()11,x y =a ，()22,x y =b ，其中≠0b ，则a ‖b ⇔________1212,x x y y λλ=⎧⇔⇔⎨=⎩___________. 5.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，只要证明________，便可证得A、B 、C 三点共线. 6.设()111,P x y ，()222,P x y ，(),P x y ，()121PP PP λλ=≠-时，x =_______，y =_______. （1）当1λ=，即点P 为12P P 的______，此时x =_______，y =_______.（2）ABC ∆中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，重心(),G x y ，则x =_______，y =_______.●题组集训（1）若点P 的坐标为()11,x y ，向量PQ 的坐标为()22,x y ，则点Q 的坐标为（）A.()1212,x x y y --B.()2121,x x y y --C.()1212,x x y y ++D.()1212,x x y y -+ （2）()3,2=a ，()0,1=-b ，则向量2-b a 的坐标是（）A.()3,4-B.()3,4-C.()3,4D.()3,4-- （3）设()2,3AB =，(),BC m n =，()1,4CD =-，则DA =（）A.()1,7m n ++B.()1,7m n ----C.()1,7m n --D.()1,7m n -+-+ （4）若()0,0O ，()1,1A 且'2OA OA =，则点'A 的坐标为_______.（5）已知点()3,2M -，()5,1N --，若12MP MN =，则点P 的坐标是_______.●课堂精讲【例1】已知点A 、B 、C 的坐标分别为()2,4A -、()0,6B 、()8,10C -.求向量122AB BC AC +-的坐标.【例2】已知()1,2=a ，()3,2=-b ，当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？【变式训练】已知点()4,0A ，()5,5B ，()2,6C ，O 为坐标原点，求直线AC 与OB 的交点P 的坐标.【例3】已知点()6,3A ，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且12OP PA =，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标.【变式训练1】在ABC ∆中，已知点()3,7A 、()2,5B -.若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标.【变式训练2】如图，已知三点()0,8A ，()4,0B -，()5,3C -，D 点在线段AB 上，且13AD DB=， E 点在线段BC 上，若BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求向量AE 的坐标.●课后反馈（1）若三点()1,1P ，()2,4A -，(),9B x -共线，则（）A.1x =-B.3x =C.92x =D.51x = （2）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则BD =（）A.()2,4--B.()3,5--C.()3,5D.()2,4 （3）已知两点()2,1A -，()3,1B ，与AB 平行且方向相反的向量a 是（）A.()1,2=-aB.()9,3=aC.()1,2=-aD.()4,8=--a （4）已知()5,2=-a ，()4,3=--b ，(),x y =c ，若23-+=0a b c ，则c 等于（） A.81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.134,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭（5）设1,tan 3α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，3cos ,2α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且a 与b 共线，则锐角α的值为（）A.12πB.6πC.4πD.3π（6）若ABC ∆的三条边得中点分别为()2,1和()3,4-，()1,1--，则ABC ∆的重心坐标为______.（7）设向量()1,2=a ，()2,3=b ，若向量λ+a b 与向量()4,7=--c 共线，则λ=______. （8）若()3,4=a ，b ‖a 且b 的起点为()1,2，终点为(),3x x ，则=b ________. （9）若()4,3=-a ，(),5x =b ，()1,y =-c ，若+=a b c ，则(),x y =_______.（10）已知()5,1A ，()1,3B ，113OA OA =，113OB OB =，求11A B .（11）设向量()1,3=-a ，()2,4=-b ，()1,2=--c .若表示向量4a 、42-b c 、()2-a c 、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .（12）已知O 是坐标原点，()2,1A -，()4,8B -，且3AB BC +=0，求OC 的坐标.（13）平面内给定三个向量()3,2=a ，()1,2=-b ，()4,1=c ，回答下列问题： ①求32+-a b c ；②求满足m n =+a b c 的实数m ，n ； ③若()k +a c ‖()2-b a ，求实数k .（14）如图所示，已知()4,5A ，()1,2B ，()12,1C ，()11,6D ，AC 与BD 相交于点P ，求BP 的坐标及点P 的坐标.（15）已知平行四边形ABCD 的一个顶点坐标为()2,1A -，一组对边AB 、 CD 的中点分别为()3,0M 、()1,2N --，求平行四边形的各个顶点的坐标.。

人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)

互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中，与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6，即 A 2 3,6 ，所以

OA＝ 2 3,6 .

【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计【教学目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】复习引入： 1．实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a|；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=0. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb.3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=.例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB的坐标.例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=，得D 1=(2，2).当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6，0). 例4 已知三个力1F (3，4)， 2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)，即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩ ∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标.解：设点D 的坐标为（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以顶点D 的坐标为（2，2）.(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--另解：由平行四边形法则可得例7 经过点(2,3)M -的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM =，求点,A B的坐标.解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM =，设(,0),(0,)A x B y ， ①点M 在,A B 之间，则有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--.解之得：3,3x y =-=，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-.②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM =- ，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3(,0)2-，(0,9)-.综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-. 例8. 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，试求实数λ的取值范围，使M 落在第四象限.解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-，要使M 落在第四象限，则330,40x y λλ=->=-<，解之得14λ<<.例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC =+=----+---=- (1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴满足条件的实数111,,236x y z ===. 课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业见同步练习拓展提升1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e+22e 和21e +2e D. 1e +2e 和2e3. 已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是（）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.设=a +5b ，=-2a +8b ，=3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ５．下列说法中，正确的是（）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（） ①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，则1λ＝2λ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝a，＝b ，则＝（）Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－21（ a － b ）Ｃ．－21（ a ＋b ）Ｄ．21（ a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a，AE ＝b ，则BC ＝（）Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－21（ a － b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（ a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则1e＝，2e＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且＝２1e +ｋ2e ，＝1e+３2e ，＝２1e－2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 .１１．当ｋ为何值时，向量a ＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a ＝ｋ1e +2e与b ＝1e ＋ｋ2e共线？参考答案1．C 2.B 3.B 4.C5．C 6.C 7.D 8.D 9.7923,44a b a b+-－ 10.－811．②③⑤ 12.k=2。

平面向量的基本定理和坐标表

04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速度可以用向量表示，从而描述物体在平面或空间中的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对物体转动效果的量度，可以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$，这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质

DL教育最新高考高中数学课件(可改)课件2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2-3课时)

思考3
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量
→ AB
的坐标是什么？
一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标
有何区别？答 A→B＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)， (4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标. 解不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则 A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. (1)当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b；
解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)
填要点·记疑点
1.平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数x，y使得a＝ xi＋yj，则有序数对(x，y) 叫做向量a的坐标，a＝(x，y) 叫做向量a的坐标表示.
＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).

平面向量的坐标与基本定理

平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。

一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。

例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。

那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。

2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。

（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。

二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。

即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。

2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。

即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。

设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。

三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。

如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。

2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。

【高中数学必修四】2.3.4平面向量共线的坐标表示

( x1, y1 ),( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y

解：（2）
若 P1 P 2 PP2 ，同理可得， x1 2 x 2 y1 2 y 2 P , 3 3

P P1
P2
O
x
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
( x1, y1 ),( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y
思考.
若P1P:PP2＝如何求点P的坐标?
P1
P
P2
O
x
课堂小结
向量共线的两个等价条件

y P
P2
1 P1 OP OP P 1 P 1 P OP 1 1P 2 3 1 OP OP2 OP 1 1 3 2 x1 x2 2 y1 y2 2 1 , OP1 OP2 3 3 3 3

复习
平面向量的坐标运算
若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则
AB ( x2 x1 , y2 y1 ).
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
复习两个向量共线的充要条件是什么?
设 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 其中 b 0 . a 与 b 共线，当且仅当存在实数，使 a b .
a b a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 .

高一数学(2.3.3-4平面向量的基本定理及坐标表示)

AB
y
B o x
＝ (x － x ， y － y ). 2 1 2 1 AB
任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
A
y B
o
x
P(x2-x1,y2-y1) 思考5：在上图中，如何确定坐标为 (x2－x1，y2－y1)的点P的位置？
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 AB 如何计算？
2.3.3 2.3.4
平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)， a－b＝(5，－3)， 3a＋4b＝(－6，19).
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.
B A o y
思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？
A
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

90°
，则称 a 与 b 垂直，
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理中，实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．

)．
1 C.4

1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝＋＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四共线向量与平面向量基本定理的综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分【例 4】如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3，＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝，∴ ＝＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b，解如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b，则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示【最新考纲】 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e1＋λ2e2．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x、y，使ɑ＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝(x，y)．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，ɑ－b＝(x1－x2，y1－y2)，λɑ＝(λx1，λy1)，|ɑ|(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝4．平面向量共线的坐标表示设ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.ɑ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，AB→，AC →可以作为基底．( ) (2)在△ABC 中，设AB →＝ɑ，BC →＝b ，则向量ɑ与b 的夹角为∠ABC.( )(3)若ɑ，b 不共线，且λ1ɑ＋μ1b ＝λ2ɑ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2015·四川卷)设向量ɑ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵ɑ∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.答案：B3．已知平面向量ɑ＝(2，－1)，b＝(1，3)，那么|ɑ＋b|等于() A．5 B.13 C.17 D．13解析：因为ɑ＋b＝(2，－1)＋(1，3)＝(3，2)，所以|ɑ＋b|＝32＋22＝13.答案：B4．已知向量ɑ＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2ɑ－b＝()A．(5，7) B．(5，9)C．(3，7) D．(3，9)解析：2ɑ－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．答案：A5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝(3，2)表示出来的是() A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，ɑ＝(3，2)＝2e1＋e2)．答案：B一个区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝ɑ，点A 的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A 的坐标与ɑ的坐标统一为(x ，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x ，y)，向量ɑ＝OA →＝(x ，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．两点提醒1．若ɑ，b 为非零向量，当ɑ∥b 时，ɑ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．2．若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.三个结论1．若ɑ与b 不共线，λɑ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．平面向量的基底中一定不含零向量．一、选择题1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A2．已知向量ɑ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足ɑ＋2b ＝kc ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3)解析：∵ɑ＋2b ＝kc ，∴(3，1)＋2(0，－2)＝kc ，则c ＝1k (3，－3)．答案：D3．(2017·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM→＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 的中点，∴AN→＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.答案：A4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量α在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则ɑ在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：∵ɑ在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即ɑ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令ɑ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴ɑ在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．答案：D5．(2017·大连模拟)已知平面向量ɑ＝(1，x)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，y －1，若ɑ与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3解析：因为ɑ与b 共线，所以y －1－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3＝0，则y ＝12x 2－3x ＋1＝12(x －3)2－72，所以当x ＝3时，y min ＝－72.答案：C6．已知ɑ，b 是不共线的向量，AB→＝λɑ＋b ，AC →＝ɑ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，即λɑ＋b ＝t ɑ＋μtb ，又ɑ，b 是不共线的向量，∴⎩⎨⎧λ＝t1＝μt，∴λμ＝1. 答案：D二、填空题7．已知两点A(－1，0)，B(1，3)，向量ɑ＝(2k －1，2)，若AB →∥ɑ，则实数k 的值为________．解析：因为A(－1，0)，B(1，3)，所以AB →＝(2，3)．又因为AB →∥ɑ，所以2k －12＝23，故k ＝76.答案：768．(2015·江苏卷)已知向量ɑ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m ɑ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m ɑ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－39．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量ɑ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m ɑ＋nb. 因为ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.即e 1＋e 2＝23ɑ－13b.答案：23ɑ－13b三、解答题10．(2016·郑州一中月考)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝ɑ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b. (1)求3ɑ＋b －3c ；(2)求满足ɑ＝mb ＋nc 的实数m 、n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标．解：由已知得ɑ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3ɑ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝(5，－5)，∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM→＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M(0，20)．又∵CN→＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2)， ∴MN→＝(9，－18)．。