「精品」创新方案2017届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课后作业理(1)

【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 定

积分与微积分基本定理课后作业 理

[全盘巩固]

一、选择题

1．∫π20sin 2x

2

d x ＝( )

A ．0 B.π4－12

C.π4－14

D.π

2－1

2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

，x∈[0，1]，1

x

，，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0

e f(x)d x 的值为( )

A.43 B ．2 C ．1 D.2

3

3．曲线y ＝2

x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )

A ．2ln 2

B ．2－ln 2

C ．4－ln 2

D ．4－2ln 2

4．若S 1＝⎠⎛1

21

x d x ，S 2＝⎠⎛1

2(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠

⎛1

2x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )

A ．S 1

B ．S 2

C ．S 1

D ．S 3

5．曲线y ＝x 2

＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积为( ) A.12 B.13 C.16 D.1

9

二、填空题

6．已知函数f(x)＝3x 2

＋2x ＋1，若⎠

⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)(a>0)成立，则a ＝________.

8．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2

，则a ＝________.

三、解答题 9．求下列定积分．

10．已知函数f(x)＝x 3

－x 2

＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x 2

围成的图形的面积．

[冲击名校]

1.如图，由曲线y ＝x 2

和直线y ＝t 2

(0

A.14

B.12 C ．1 D ．2

2．若函数f(x)，g(x)满足⎠

⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交

函数．给出三组函数：

①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；

②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2

.

其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x

，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．

4.

如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成的图形的面积为________．

5.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．

(1)求a，b，c的值；

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．

答案

[全盘巩固]

一、选择题

1．

2．

3．

解析：选D 由曲线y ＝2

x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x ＝2，如图所示，故所求图形的

面积为S ＝⎠

⎛2

4（x －1－2

x ）d x ＝

＝4－2ln 2.

4．解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A .

5．

二、填空题

6．解析：∵⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠

⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x) ＝4，∴2(3a 2

＋2a ＋1)＝4，

即3a 2

＋2a －1＝0，解得a ＝13或a ＝－1(舍去)，所以a ＝13

.

答案：1

3

7.

答案：π2

8．解析：由题意知⎠⎛0

a x d x ＝a 2

，又

⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭

⎪⎫23x 32′＝x ，则23x 32a

0＝a 2， 即23a 32＝a 2，所以a ＝4

9. 答案：49

三、解答题 9．

10．

解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x 3

－x 2

＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f′(1)＝ (3x 2

－2x ＋1)| x ＝1＝2，

∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，

即y ＝2x.

y ＝2x 与函数g(x)＝x 2

围成的图形如图：

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x 2

，y ＝2x 可得交点A(2,4)．

∴y＝2x 与函数g(x)＝x 2

围成的图形的面积 S ＝∫20(2x －x 2

)d x ＝⎝

⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.

[冲击名校]

1.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)dx ＋∫1t (x 2－t 2

)dx ＝43t 3－

t 2

＋13.由S′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝12为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14

.

2．

3．解析：由题意得，所求面积为∫e 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

x ＋2x ＋2e 2x dx ＝

∫e 11x dx ＋∫e 12xdx ＋∫e 12e 2x dx ＝ln x |e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e

. 答案：e 2e

4.解析：由题意，知抛物线y ＝－x 2

＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.

设两切线相交于点M ，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝4x －3，

y ＝－2x ＋6，

消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为3

2

.

在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上，直线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2

＋4x －3的上方；在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤32，3上，直线y ＝－

2x ＋6在曲线y ＝－x 2

＋4x －3的上方．

因此，所求的图形的面积是