数列求和专项训练题(学生)

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小学数学《数列求和》练习题(含答案)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

希望教师能帮助孩子牢固掌握。

【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。

必修5 第二章第五节数列的求和(学生版)

教学辅导教案1. 等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；2. 设n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.3. 已知等比数列{}n a 满足32152,027a a a a a ==-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若，求证：是等差数列.3log 33+=n n a b {}n b4. 已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+*()n ∈N （1）求25,a a ；（2）若25,a a 恰好是等比数列{}n b 的第2项和第3项，求数列{}n b 的通项公式．5. 已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；1. 已知正项等比数列{}n a 满足1a ，22a ，36a +成等差数列，且24159a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log ()n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且38b =，416b =，11a b =，84a b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 设数列{}满的前n 项和为Sn ，且，·（1）求数列{}满的通项公式；（2）设，求数列｛｝的前n 项和．4. 已知数列满足，则数列的前项和___________．5. 已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则121001111a a a ++⋅⋅⋅+=【题型一：通项分析法】【例1】已知数列的各项依次为，，，求它的前项和【例1】已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++L ,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（）A ．1n n + B ．41n n + C. 31n n + D ．51n n + 【变式训练1】已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．1011001. （题型1）设n S 是数列的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2. （题型2）已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a =__________． 3. （题型3）在等差数列中，已知，，求通项公式及前项和4. （题型4）所以数列的前项和已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=．7. （题型6）已知数列{}n a 为等差数列，其中238a a +=，523a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20162017n S >成立．【查漏补缺】1. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则5S 等于（）A ．1B ．65 C ．61 D ．301 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}()2nnS n +⋅的前n 项和n T ．4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3a =24，11S =0. （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）设nS b nn =，求数列}{n b 前n 项和n T 的最大值.1. 已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==, n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,则数列(){}1nn a -的前10项的和10S = A. 220B. 110C. 99D. 552. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =,20172015120172015S S -=,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为 A.20171009 B. 20172018 C. 12017 D. 120183. 已知函数()()2cos f n n n π=,且()()1n a f n f n =++,则12100a a a ++⋯+=（）A.100- B. 0 C. 100 D. 102004. 数列满足12sin 122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则数列的前100项和为A. 5050B. 5100C. 9800D. 9850 5. 观察如下规律：1111111111111111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,333555557777777999999999L ,该组数据的前2025项和为__________． 6. 已知数列的前n 项和为n S ,且2n n S a n =-．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列,求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+,求数列{}n b 的前n 项和n T ．7. 已知数列｛a n ｝的首项a 1=23,a n +1=21n n a a + (n *N ∈).（1）证明：数列｛1na -1｝是等比数列；（2）求数列｛nna ｝的前n 项和S n .8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且252,15a S ==,数列{}n b 满足：()1111,22n n n b b b n N n+++==∈,记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和为n S ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和为n T ；9. 设各项均为正数的等比数列{}n a 中,133510,40.a a a a +=+=2log n nb a =（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若111,nn n nb c c c a +==+,求证： 3n c <；第1，2天作业1. （2015年高考新课标I 卷）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A ．B ．C ．D ．2. （2015年高考新课标Ⅱ卷）设是等差数列的前项和,若,则 A ．B ．C ．D ．3. （2014年高考福建卷）等差数列的前项和为，若，则 A ．8B ．10C ．12D ．114. （2016年高考北京卷）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则_______.5. （2016年高考江苏卷）已知{}是等差数列，是其前项和.若，{}n a n S {}n a n 844S S =10a =1721921012n S {}n a n 1353a a a ++=5S =57911{}n a n n S 132,12a S ==6a ={}n a n S 16a =350a a +=6=S n a n S n 2123a a +=-。

高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析

1 × (1 - 2) n
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,

( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+

数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解

数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *），（i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足，则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

高中数学常见数列求和的方法训练(裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项)

高中数学常见数列求和的方法训练（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项）【题组一裂项相消】1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11，则n=________。

2．（2020·河南高二月考）已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123n S S S n +++<+++L ；3．已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值。

练习1已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-。

（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；（2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ；2.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，n ∈N *．（1）判断数列{a n －2n －1}是否是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(2n －1)2n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ；【题组二错位相减】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n 。

(1)设b n ＝12n n a -.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和；2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()214n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R ；3．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且满足2d =-，476S =.等比数列{}n b 满足1310b b +=，2420b b +=。

小学六年级奥数数列求和问题专项强化训练(高难度)

小学六年级奥数数列求和问题专项强化训练（高难度）例题：已知数列 an 的通项公式为 a n = n2 + 2n，求 s10，其中 s10 表示数列前 10 项的和。

解析：我们需要先找到数列的前 10 项，然后将它们相加。

数列的通项公式为 an = n^2 + 2n，所以我们可以求出数列的前 10 项：a1 = 12 + 2×1 = 3a2 = 22 + 2×2 = 8a3 = 32 + 2×3 = 15...a10 = 102 + 2×10 = 120接下来，将这些项相加得到数列前 10 项的和 s10：s10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10s10 = 3 + 8 + 15 + ... + 120这是一个等差数列，使用求和公式可以得到：s10 = (a1 + a10) × 10 ÷ 2s10 = (3 + 120) × 10 ÷ 2s10 = 1230所以，数列前 10 项的和为 1230。

接下来是 15 道对应题型的专项练习应用题：1.已知数列 an 的通项公式为 an = n2 + 3n，求 s12。

2.2. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = 2n + 1，求 s10。

3. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = n2 - n，求 s8。

4. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = 3n + 2，求 s15。

5. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = n2 + n + 1，求 s20。

6. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = 4n + 3，求 s18。

7. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = n2 + 5n，求 s16。

8. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = 2n2 + 3n，求 s14。

9. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，an = 5n + 4，求 s13。

数列求和专题(必考必练,方法全面,有答案)

数列求和专题一.公式法（已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和）二.分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例1：求数列11111246248162n n ++L ，，，，，…的前n 项和n S ．- 23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++- ⎪⎝⎭L L ．例2：求数列5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n解：因为55…5=)110(95-n 所以 S n =5+55+555+...+55 (5)=[])110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n 110)110(1095 =815095108150--⨯n n 练习：、求数列11111,2,3,4,392781L 的前n 项和。

解：211223nn n ++-⋅三．错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例：求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）解：当x=1时，23121315171(21)1135(21)n n S n n n -=+∙+∙+∙+⋅⋅⋅+-∙=++++-=当x ≠1时， 132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………. ① ①式两边同乘以x 得n xS = 231135(23)(21)n n x x x n x n x -+++⋅⋅⋅+-+-………② （设制错位）①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+n练习： 1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 1224-+-=n n n S2. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=四．裂项相消法常见的拆项公式有：1()n n k =+111()k n n k -+=1k，1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+，等. 例1：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S. 解：∵)2(1+n n =211(21+-n n ）S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n 例2：设9)(2+=x x f ,（1）若;),2(),(,111n n n u n u f u u 求≥==-（2）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+解：（1）}{),2(9122121n n nu n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴n u u n u n n n（2）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n练习： 1、求数列2112+，2124+，2136+，2148+，…的前n 项和n S .2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.五．倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例1：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5例2：求222222222222123101102938101++++++++的和．解：设222222222222123101102938101S =++++++++ 则222222222222109811012938101S =++++++++．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．练习：设221)(xx x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(111f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解题思路】观察)(x f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的特点，发现1)1()(=+xf x f 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ cos(180)cos n n -=- （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0练习：已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=)(2)(21为正偶数为正奇数n n n n S n ）。

初一数学综合算式练习题数列求和

初一数学综合算式练习题数列求和数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列求和是数学中常见的问题，它要求我们计算数列中所有数的和。

在初一数学综合中，数列求和也是一个重要的考点。

本文将通过几个练习题来帮助初一学生加深对数列求和的理解。

练习题1：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ。

如果首项a₁=2，公差d=3，前n项和Sₙ=50，求n的值。

解析：根据等差数列的前n项和公式，可以得到Sₙ = (n/2)(2a₁+ (n−1)d)。

将已知条件代入公式，得到50 = (n/2)(2×2 + (n − 1)×3)。

化简得到50 = (n/2)(4 + 3n − 3)，进一步化简得到3n² - n - 100 = 0。

通过解一元二次方程，可以求得n的值。

练习题2：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ。

如果首项a₁=-2，公差d=5，前n项和Sₙ=-45，求n的值。

解析：同样地，我们可以根据等差数列的前n项和公式得到Sₙ =(n/2)(2a₁ + (n−1)d)。

将已知条件代入公式，得到-45 = (n/2)(2×(-2) + (n− 1)×5)。

化简得到-45 = (n/2)(-4 + 5n - 5)，进一步化简得到5n² - 11n + 90 = 0。

通过解一元二次方程，我们可以求得n的值。

练习题3：求等差数列1, 4, 7, 10, ... 的前10项和。

解析：对于这个等差数列，我们可以发现首项为1，公差为3。

我们可利用等差数列前n项和公式 Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n−1)d)，将已知条件代入公式，得到Sₙ= (10/2)(2×1 + (10 − 1)×3) = 5(2 + 27) = 145。

练习题4：求等差数列2, 5, 8, 11, ... 的前15项和。

经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)

经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。

以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。

解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。

练题2：求斐波那契数列的前20项的和。

解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。

解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。

练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。

解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。

解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。

练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。

解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。

高斯求和--小升初专项训练学生版

高斯求和第一关已知首项、末项和项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n =a 1+a n 2×n 1.计算：1+3+5+7+⋯+192.计算：110+111+112+⋯+1263.计算：4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少？5.计算：1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算：(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算：(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算：1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数，求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算：(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算：(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算：1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算：1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是多少？16.加工一架梯子，扶杆长为4米，上下横档的长分别为0.35米、0.62米，中间还有7根横档，横档平行且间距均匀．制这架梯子共需多少米的毛竹？(损耗与接头均不计，结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了100个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米．请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？18.周长不超过100(包括100)，且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少？19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟，会员们发现在一棵大树上：第1分钟飞来1只鸟，第2分钟飞来2只鸟，第3分钟飞走3只鸟，第4分钟飞来4只鸟，第5分钟飞来5只鸟，第6分钟又飞走6只鸟，⋯，照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟？20.在1-100这100个自然数中，所有不能被6整除的数的和为多少？21.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？22.求：1~999这些连续自然数所有数字之和是多少？23.数1，2，3，4，⋯，10000按下列方式排列：任取其中一数，并划去该数所在的行与列．这样做了100次以后，求所取出的100个数的和？第二关已知首项、公差及项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和．2.计算：2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算：17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算：131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？6.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排．这个剧院共有多少个座位？7.同学们做广播操，一共排了8排，第一排有4人，以后每排比前一排多1人，一共有多少人做广播操？8.一堆木料，最上面一层有4根，最下面一层有20根，每相邻两层之间相差2根，这堆木料共有多少根？9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树，三年级时植了2棵，以后每年都比前一年多植树2棵．那么，果果高中毕业时一共植树多少棵？10.有一串数：1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55，⋯它前2004个数的和是多少？11.1995003这个数，最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和？第三关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.计算：1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声，凌晨1时敲1下，凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下，下午1时敲1下，下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下，那么一昼夜该时钟共要敲多少下？3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个，其中正中间那一个最贵，从某一端算起，后一个珠子比前一个贵3元．直至到中间那个为止；若从另一端算起，后一个珠子比前一个贵4元，直至到中间那个为止．这串珠子总价值为2260元，那么中间的那一颗珠子价值多少元？5.张教授连续做实验若干小时．开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合．已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下，如下午1点敲1下)，整个实验过程中挂钟共敲了39下．问：(1)张教授的实验一共做了多少小时？(2)他做完实验时，挂钟敲了多少下？第四关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？2.小明读一本书．第一天读了8页，第二天读了11页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天他读了32页，正好读完．这本书有多少页？3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支．这个V形架上共放了多少支铅笔？4.一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依此类推，后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果，最后，每只小猴分得8个野果，这群小猴一共有多少只？5.小明往一个大池里扔石子，第一次扔1个石子，第二次扔2个石子，第三次扔3个石子，第四次扔4个石子⋯，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔多少次？第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是多少？2.王涛将连续的自然数1，2，3，⋯逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是多少？3.小强练习加法计算，他从1加到某个数时，和是1993，但他发现计算时少加了一个数，小强少加了的那个数是多少？4.从15开始的若干个连续自然数，如果去掉其中一个，剩下的数的平均数是311217，则去掉的自然数是多少？第六关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米，第10个小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？2.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是多少？。

千题百炼- 数列求和综合必刷100题(原卷版)

专题14 数列求和综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（）A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．404120223．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为（） A ．2100－101 B ．299－101C ．2100－99D ．299－994．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n N ∈.则使得20T 的值为（） A ．1939B ．2041C ．3839D ．40415．已知数列{a n }满足：a n +1=a n -a n -1（n ≥2，n ∈N *），a 1=1，a 2=2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2021=（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．正项数列{}n a 满足11a =，211(2)30(1,)nn n n a a a a n n N ---+--=>∈，则133520192021111a a a a a a +++=（）A ．12003534B ．10106061C ．12202021D ．202054617．化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+的结果是（）A ．122n n ++-B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--8．已知数列{}n a 中，*111,34(,2)n n a a a n N n -==+∈≥，求数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．13232n n n S +--=B ．13232n n n S ++-=C ．13432n n n S +--=D ．1332n n S +-=9．等比数列{}n a 中，12a =，2q ，数列()()111nn n n a b a a +=--，{}n b的前n 项和为n T ，则10T 的值为（） A ．40944095B ．20462047C ．10221023D ．51051110．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得2041n T <成立的n 的最大值为（） A ．17 B ．18C ．19D ．20第II 卷（非选择题）二、填空题11．数列{}n a 是首项和公差都为1的等差数列，其前n 项和为n S ，若n T 是数列12n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则99T =______12．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.13．已知数列{}n a 满足()*2n n a a n n N ++=∈，则{}n a 的前20项和20S =________．14．已知正项数列{}n a 满足11a =，2+11(2)30,(2,)n n n n a a a a n n N ---+--=≥∈，则122320002021111a a a a a a +++=___________.15．设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +=++，*n ∈N ，12a =，则数列{}(1)nn a -的前50项和是________．16．设4()42xx f x =+，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且341,1S S ==-，且()*32n n a a n N +=∈，则2017S =___________.18．在数列{}n a 中，12a =，且1n 1n 2(2)n n n a a n a a --+=+≥-，则数列21242n n a a ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前2021项和为__________.19．已知数列1111,,,121231234++++++，……，则该数列的前10项和为__________．20．已知数列{}n a 满足11a =且()1231111123n n a a a a a n N n*+++++=-∈，数列{}2n n a 的前n 项为n S ，则不等式30n n S a ≥最小整数解为________.三、解答题21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点()1,n n S S +在直线()11n y x n n N n*+=++∈上. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若数列{}n b 满足122n a n b n -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，公差10,5d a ≠=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.23．在等差数列{}n a 中，2414a a +=，135736a a a a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n n b a =-，求数列{}2n n b b +的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 满足316a =，121nn n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若，求数列{}n b 的前n 项和n T . 在（①1n n n b a a +=；②()1nnnb a =-；③113nan n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =.数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1231111++++≥nb b b b26．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．27．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足35a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <．28．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．30．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1122,,,n n n a a a a ++=-成等差数列．等差数列{n b }满足121b a =+，523233b b a -=-．（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式;（2）设数列1(21)n n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为Tn ，证明： 16n T <任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（）A ．32B ．43C ．34D ．352．数列{}n a 满足143a =，()2*11n n n a a a n N +-=-∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则（） A ．202112S << B ．202123S << C ．202134S << D ．202145S <<3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（） A ．3 B ．13C ．2D ．124．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()112n n n na S S +-=，则2021S =（） A ．1009132+ B ．1009132- C ．1010132+D ．1010132-5．数列{}n a 是正项等比数列，满足14+=nn n a a ，则数列2211log log n n a a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．421nn + B ．421nn - C ．21nn + D ．21nn -6．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510087．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭8．已知函数4()42xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为（）A ．20192B ．1010C ．20212D ．10119．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且112a =，1112122n n n n S S +++-=-．若2log n nb T =-，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 为（） A ．21nn + B ．2n n + C ．12nn + D ．132n +10．数列{}n b 满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则{}n b 的前n 项和为（） A ．1212n n ++- B ．1112n n ++- C ．222nn +-D ．13322n n ++-11．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（） A ．13λ≥ B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>12．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N +=-+∈，设12111n n S a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（） A ．23B ．1C ．32D ．213．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（） A ．20192020- B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.若21(1)2n n nn b S +=-，则数列{}n b 的前2021项和为___________.16．已知数列{}n a 的各项均为正数，13a =，()2*116n n n na a a n a ++=+∈N ，()()1211n n n n ab a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n S λμ<<对任意正整数n 都成立，则λμ-的取值范围是___________.17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n nS S n +=+，其中*n N ∈，数列{}n S 的前n 项和为n T ，则20T =___________.18．已知正项数列{}n a 满足12a =且221120n n n n a a a a ++--=，令()2527n n b n a =+-，则数列{}n b 的前7项的和等于___________.19．已知21n a n =+，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*n N ∈，11n n a T t +≤，则实数t 的最大值是________.20．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.21．用()T n 表示正整数n 所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则()99T =，10的因数有1，2，5，10，则()105T =．计算()2021(1)(2)(3)21T T T T ++++-=________．22．已知数列{}n a 满足()232113521n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+-，则n a =___________；若1n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n S =___________.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．若()1nn n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20n T ≤的n 的最大值为________．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．26．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q，令1,,n n nn a c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n c 的前n 项和2n S =___________.27．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n *>=+∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，则6T =________．三、解答题28．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()21n n S n a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()11611n n n n n c a a ++-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .29．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()()()*1112n n n n nS n S n ++=++∈N .（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足112b =，()*12n n n n b b b n a +=+∈N .设数列{}n c 满足2n n n b c S +=，证明：1212n c c c ++⋅⋅⋅+<.30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，28b =，1334b b -=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）在①420S =，②332S a =，③3423a a b -=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知14a b =，___________，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和1516k T >？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）31．在①39S =，520S =；②公差为2，且1S ，2S ，4S 成等比数列；③238n S n n =+；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前项和为n S ，______．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．32．在∈21,323;n n n a n b T =-=+∈222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{}n a 前n 项和是,n S 数列{}n b 的前n 项和是n T ，__________．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设,nn na cb =证明：123 1.nc c c c ++++<33．在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．34．已知数列{}n a 中，11a =，131n n a a +=+.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()1312n n n n n b a +=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式(1)2nn n n T λ-<+对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.35．已知{}n a 为等比数列，124a a +=，记数列{}n b 满足31log n n b a +=，且11n n b b +-=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设(1)()n bn n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项的和n S .36．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2144n n a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令124n n n n b a a a ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：4110515n T ≤<.37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，且*1)n a n N +∈ （1）求n S ；（2）设()*24n n n nb n N S S +=∈⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：32n T <.38．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3117,143a S ==．（1）求{}n a 的通项公式以及n S ；（2）求使不等式121112542n S S S +++≥成立的最小值n ．39．设数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +-=（n *∈N ）. （1）求出{}n a 通项公式；（2）若()11,?2,? n n n n n b n n a +⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .40．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,1n n a S a +=-=-. （1）求{}n a 通项公式；（2）对任意的正整数n ，设 212321221,log log log 2,n n n n n n k k N a a c a n k k N a +++++⎧=-∈⎪⋅⎪=⎨⎪=∈⎪⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-2．已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和2234n n n a a S +-=，数列{}n b 满足()1111n n n n n b a a +++=-，其前n 项和为n T ，若2n T nλ>对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．1,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．4,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．4,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞4．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()x x x 0,n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列n 1a 2n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有( ) （1）3a 4=（2）190是数列{}n a 中的项（3）105S 6=（4）当n 7=时，n a 21n+取最小值 A ．1个B ．2个C ．3个D ．45．设数列{}n a 的前n 项积()1n n T a n *=-∈N ，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求1n n S a +-的取值范围是（）．A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．51,123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A．B ．4C．D ．20187．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．49508．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（）A ．1009B ．1010C ．2019D ．20209．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是 A ．1(,) 4+∞B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列，设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20181S +等于A ．2018B ．2019C ．20182D ．2019211．已知1x =是函数3212()1n n n f x a x a x a x ++=--+()*n ∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，记21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a a a +=+，若1212[]100111nn a a aa a a +++=+++，则整数n = A ．99 B ．100 C ．101 D ．102第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q ，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =___________.14．各项均为正数的等比数列{}n a ，满足234lg lg lg a a a +=，且2a ，31a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-的前n 项和2n S n =，则n b =______.15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a ，2a ，5a 成等比数列，253S a =，数列{}n b 满足()()11211n n n n n a b a a +++=-，前n 项和为n T ，则510T T +=_________.16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为______________17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________．18．已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.19．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+()N n +∈，则122019111m a a a =++⋯+的整数部分是___________.20．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P n P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x=++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________.21．已知正项数列{}n a 满足()()22112120n n n n n a n a a na +++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．22．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.23．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n nS a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____.24．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，318a a -=，当4a 取最小值时，则数列2{}n na 的前n 项和为__________．三、解答题25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和*1,N 2n n n S b n +=∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,21(N ),2(N )n n nb n k kc a n k k **⎧=-∈=⎨=∈⎩，求数列{}n c 的前n 项和n P .26．已知数列{}n a 是正项．．等差数列，11a =，且12a a ≠.数列{}n b满足)n b n +∈N ，数列{}n b 前n 项和记为n S ，且()111124n n n S S n b +++⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N .（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n c 满足11n n nc a a +=⋅，其前n 项和记为n T ，试比较n S 与n T 的大小.27．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+ b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N =∈122n c c c <+++<.28．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（3）设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．29．已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）证明：2222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+.30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2(21)2n n S n a n n N =+-∈，数列{}n b 满足11b a =，1n n n nb a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足：14c =，()*1n n n n a c c n N b +=-∈，若不等式()*392n n n c n N λ++≥∈恒成立，求实数λ的取值范围.。

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题（含答案解析）一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1A [因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1a n＝4(n ≥2)，所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44.]2．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( ) A ．2B ．12C ．3D ．13C [∵在等差数列中，S 2n －1＝(2n －1)a n ，∴S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3，∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，即a 2＝3.]3．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047A [当n 为偶数时，b n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2＝b n ＋1，有b n ＋2－b n ＝1，即偶数项成等差数列，所以b 2＋b 4＋…＋b 22＝11b 2＋11×102×1＝99.当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，即奇数项成等比数列，所以b 1＋b 3＋…＋b 23＝b 11－2121－2＝212－1＝4 095.所以该数列的前23项的和为99＋4 095＝4 194，故选A ．]4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0192 019＝( )A ．1 010B ．1 009C ．2 020D ．2 019A [S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)，＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 018＋1)，＝1＋2×2 018＋11 0102＝2 019×1 010，∴S 2 0192 019＝1 010，故选A ．]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，则S 5＝( ) A ．27 B ．5327C ．3116D ．31C [∵S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，∴S 1＝2＋λa 1，即λ＝－1，∴S n ＝2－a n ，当n ≥2时，S n ＝2－(S n －S n －1)，∴2S n ＝2＋S n －1，即S n ＝12S n －1＋1，∴S n －2＝12(S n －1－2)，∴S n －2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.当n ＝1时也满足．∴S 5＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3116.故选C ．]6．设曲线y ＝2 018x n ＋1(n ∈N *)在点(1,2 018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝log 2 018x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值为( )A ．2 018B ．2 017C ．1D ．－1D [因为y ′＝2 018(n ＋1)x n ，所以切线方程是y －2 018＝2 018(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018＝log 2 01812 018＝－1.]7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( )A ．1403B ．60C ．80D ．160C [法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a1q 2×1q 3291－q 3＝q 21＋q ＋q 2×a 11－q 871－q ＝47×140＝80.故选C ．法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80.故选C ．]8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和的最大值为( )A ．49B ．1C ．4181D ．151315A [a 1＝9，a 2为整数，可知：等差数列{a n }的公差d 为整数，由S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，则9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95，d 为整数，d ＝－2.∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n . 1a n ·a n ＋1＝111－2n9－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和为 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19，令b n ＝19－2n ，由于函数f (x )＝19－2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0对称及其单调性，可知：0＜b 1＜b 2＜b 3＜b 4，b 5＜b 6＜b 7＜…＜0，∴b n ≤b 4＝1.∴最大值为49.故选A ．]二、填空题 9．已知a n ＝2n ，b n ＝3n －1，c n ＝b n a n，则数列{c n }的前n 项和S n 为________．5－3n ＋52n [由题设知，c n ＝3n －12n ，所以S n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， ①2S n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，②由②－①得，S n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n .故所求S n ＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .]10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，a n ＋1a n＝n ＋1n，b n a n＝sin 2n π3－cos 2n π3，n ∈N *，则数列{b n }的前47项和等于________．1 120 [依题意得a n ＋1n ＋1＝a nn ，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是常数列，于是有a n n ＝1，a n ＝n 2，b n ＝－n 2cos 2n π3，b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝3k －223k －122－(3k )2＝－9k ＋52(k ∈N *)，因此数列{b n }的前47项和为S 47＝S 48－b 48＝－9×161＋162＋52×16＋482＝1 120.]11．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.2 [由S nS 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n 2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d 4k －10，2k －12－d0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.∴数列{a n }的公差为2.]12．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 4－2S 2＝3，则S 6－S 4的最小值为________．12 [由题可知数列{a n }的公比q ＞0，a n ＞0，则3＝(a 4－a 2)＋(a 3－a 1)＝a 1(q ＋1)·(q 2－1)，则有q ＞1，所以3S 6－S 4＝3a 6＋a 5＝3a 1q ＋1q 4＝a 1q ＋1q 2－1a 1q ＋1q 4＝1q 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 22＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2－122≤14(当且仅当q ＝2时，取等号)，所以S 6－S 4≥12，即S 6－S 4的最小值为12.]三、解答题13．(2018·黔东南州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝43(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n ，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n －1b n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12.[解] (1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝43(a 1－1)，解得a 1＝4.当n ≥2时，有S n －1＝43(a n －1－1)，则a n ＝S n －S n －1＝43(a n －1)－43(a n －1－1)，整理得：a na n －1＝4，∴数列{a n }是以q ＝4为公比，以a 1＝4为首项的等比数列．∴a n ＝4×4n －1＝4n (n ∈N *)即数列{a n }的通项公式为：a n ＝4n (n ∈N *)． (2)由(1)有b n ＝log 2a n ＝log 2 4n ＝2n ，则1b n ＋1b n －1＝12n ＋12n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. 易知数列{T n }为递增数列， ∴T 1≤T n ＜12，即13≤T n ＜12.14．(2018·邯郸市一模)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2.(1)求T n －S n ； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .[解] (1)依题意可得b 1－a 1＝3，b 2－a 2＝5，…，b n －a n ＝2n ＋1， ∴T n －S n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n ＋(2＋22＋…＋2n )＝2n ＋1＋n －2. (2)∵2S n ＝S n ＋T n －(T n －S n )＝n 2－n ， ∴S n ＝n 2－n2，∴a n ＝n －1. 又b n －a n ＝2n ＋1， ∴b n ＝2n ＋n .∴b n2n ＝1＋n2n ， ∴R n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ，则12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1，∴12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1，故R n ＝n ＋2×12－12n ＋11－12－n 2n ＝n ＋2－n ＋22n .。

数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

数列求和综合练习题(含答案)

数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）求数列}{n b 的通项n b ；（3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。

【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2nB. an = 2n + 1C. an = n + 1D. an = n^22. 等差数列{an}的前5项和为35，第5项为15，则数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列的前10项和为（）A. 85B. 95C. 105D. 1154. 等比数列{an}的首项为2，公比为3，前4项和为（）A. 80B. 81C. 82D. 835. 数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列的前5项和为（）A. 30B. 31C. 32D. 336. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + n，则数列的前6项和为（）A. 126B. 136C. 146D. 1567. 等差数列{an}的公差为2，第7项为17，则数列的前7项和为（）A. 84B. 88C. 92D. 968. 等比数列{an}的首项为3，公比为1/2，前5项和为（）A. 15/2B. 17/2C. 19/2D. 21/29. 数列{an}的通项公式为an = n(n+1)，则数列的前4项和为（）A. 20B. 24C. 28D. 3210. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^3 + n^2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n^2 + 2nB. an = 3n^2 + 3nC. an = 2n^2 + 3nD. an = 2n^2 + 2n二、判断题：1. 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。

（）2. 等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 q^n)/(1 q)，其中q为公比。

（）3. 数列{an}的通项公式为an = 2n，则数列的前n项和为n^2。

数列求和经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169．解法三利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63．解法三取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。

小学数学《数列求和》练习题(含答案)(1)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）1、3、5、7、……、87、89、91（3）3、4、5、6、……、76、77、78（4）4、7、10、13、……、40、43、46（5）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）配组：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1—92有92项，每组2项，那么可以得到92÷2=46组，所以原数列有46项。

（3）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（4）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（5）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

高三数学数列求和试题

高三数学数列求和试题1.数列{an }的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400【答案】B【解析】S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3) －…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.函数f(x)对任意x∈R都有.（1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。

【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.4.已知数列中,, ,,则= .【答案】1275【解析】，，∴，【考点】数列求和。

5.数列{an }的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为________．【答案】624【解析】an ＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.6.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．7.已知，其导函数为，设，则数列自第2项到第项的和_____________.【答案】【解析】已知，则有，所以，，所以，所以.【考点】1、数列的函数特性及其与函数的综合运用；2、简单复合函数的导数；3、累加法求数列的和.8.数列的通项公式，其前项和为，则．【答案】1006【解析】所以，于是.【考点】数列前n项和.9.已知数列的前项和为，数列的首项，且点在直线上．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据求出，根据已知条件和等比数列定义求出；（2）应用错项相减法求差比数列的前项和.试题解析：（1）由得， 1分∴ 2分当=1时，， 3分综上． 4分∵点在直线上，∴，又， 5分∴是以2为首项2为公比的等比数列，． 7分（2）由（1）知，当时，； 8分当时，， 9分所以当时，；当时，①则② 10分②①得： 12分即， 13分显然，当时，，所以． 14分.【考点】等差数列，等比数列的通项求法，差·比数列前项和求法.10.设数列｛an ｝是集合｛3s＋3t| 0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝4，a2＝10，a3＝12，a4＝28，a5＝30，a6＝36，…，将数列｛an｝中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…= （用3s＋3t形式表示）．【答案】【解析】根据，且，，观察题目的结构：第一行：第二行：第三行：根据前面数据的规则可知，第n行的数据依次为：，总共有个数。

数列求和练习题(供参考)

数列求和1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－153．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )． A ．11B ．99C ．120D ．1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定 7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )．A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n二、填空题8．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．9．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.11．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．三、解答题13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .14．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 15．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.。

数列求和专项复习答案

数列求和专项复习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列各项为正，，，记，，则
A． B．
C． D．
2．已知数列满足，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
3．已知数列中，，，前n项和为 .若，则数列的前15项和为______.
①当为偶数时，；
由得：，又，；
②当为奇数时，；
综上所述：满足的最小正整数的值为 .
10．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由题知，进而结合得数列是等差数列，进而得答案；
（2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可.
（1）
解：（），
当时，，∴ ，
当时，由，得 ①
（2）结合（1）写出的表达式，利用裂项相消的方法求出，即可证明结论.
（1）
(i）证明：∵数列均为正项数列，其中，
且满足成等比数列，成等差数列，
∴ ， ,
∴ ， ,
∴ ，，即，
∴ ，，
∴{ }是等差数列．
（ii）∵ ，，∴ ，
∴ ，
∴ ．
．
（2）
证明：∵
，
∴
，
∴ ．
12．答案见解析
若补充条件②：，
由，即，又，
所以，
所以，
由于该数列是递减数列，所以不存在k，使得取最小值，故实数λ不存在．
若补充条件③：，
由，得，
又，所以，
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，则，

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