河南省南阳市14—15学年下学期高二期中质量评估数学(理)试题(扫描版)(附答案)

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河南省南阳一中2014-2015学年高二下学期阶段测试数学理试题 Word版含答案

南阳一中2015年高二春期阶段测试高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.函数()lg(1)(1)lg(1)(2)f x x x x x =+--+-的定义域为A. (,1)(2,)-∞+∞ B. (1,1)- C. 1,2-⎡⎤⎣⎦ D. (1,2)-2.在△ABC 中,若222cos cos 1cos A B C +=+,则△ABC 的形状为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形3.已知圆C 1：()2244x y ++=，圆C 2：()2241x y -+=,若动圆C 与圆C 1相内切且与圆C 2相内切，则圆心C 的轨迹是A ．椭圆B ．椭圆在y 轴上及其右侧部分C ．双曲线D ．双曲线左支 4.四边形ABCD 中，30,45,CD 2,ADB BDC DCA ACB ∠=∠=∠=∠==则AB =A. 5-B. 5+C.D. 5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且412S 2,S 14,==则8S = A.-4或 6B.-4C.6D.-66.已知a ＝(－2，1, －2)，b ＝(4,4,2)，则a 在b 方向上的投影为A.43 B.43- C. 83- D.837.双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦点，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C 的标准方程为A ．2214x y -=B ．22221144x x y y -=-=或 C ．22221144y x x y -=-=或 D ．2214x y -= 8.下面命题中，正确命题的个数为①命题：“平行四边形一定是矩形”的否定为:“平行四边形一定不是矩形”; ②命题：“若x 1,y 2,≠≠则x y 3+≠”的逆否命题是“若x y 3+=，则x 1,y 2==” ；③“点M 在曲线24y x =上”是“点M的坐标满足方程y =-”的必要不充分条件; ④“数列{}n a 既是等比数列又是等差数列”是“数列{}n a 是常数列”的充要条件。

河南南阳市14-15学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题 (扫描版含答案)

2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或，即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分）（Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分）故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分）由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分）于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分）（Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a 而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--，设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3，所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分）令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分）令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>，所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。

河南省南阳市2014-2015学年高二上期期末质量评估数学(理)试题(word版)

2014年秋期期终质量评估高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.不等式2x-1≤1x+1的解集为 A. (-∞⎤⎦,2 B. ()(,11,2-∞--⎤⎦ C. 1,2-⎡⎤⎣⎦ D.(1,2-⎤⎦ 2.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b 2ccosA,c 2bcosA ==,则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知圆C 1：()2244x y ++=，圆C 2：()2241x y -+=,若动圆C 与圆C 1相外切且与圆C 2相内切，则圆心C 的轨迹是A ．椭圆B ．椭圆在y 轴上及其右侧部分C ．双曲线D ．双曲线右支4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B 两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为B.(30+15错误！未找到引用源。

)mC.(15+30错误！未找到引用源。

)mD.(15+15错误！未找到引用源。

)m5.已知等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,且396S ,S ,S 成等差数列,则3q 等于 A.-1或错误！未找到引用源。

B.1或-错误！未找到引用源。

C.1D.-错误！未找到引用源。

6.已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积是B.2C. 4D. 87.双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C 的标准方程为A ．2214x y -=B ．22221144x x y y -=-=或 C ．22221144y x x y -=-=或 D ．2214x y -= 8.下面命题中，正确命题的个数为①命题：“若2230x x --=,则3x =”的逆否命题为:“若3x ≠,则2230x x --≠”; ②命题：,2lg x R x x ∈->“存在使”的否定是,2lg x R x x ∈-≤“任意”; ③“点M 在曲线24y x =上”是“点M的坐标满足方程y =-”的必要不充分条件; ④设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充要条件;A.1个B.2个C.3个D.4个9.若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,当且仅当3x y ==时,z ax y =-取最小值,则实数a 的取值范围是A ．32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,45⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知直二面角l αβ--,A ,AC C l α∈⊥点于，B ,BD D l β∈⊥于.若2AB ＝，1AC ＝BD ＝，则D 到平面ABC 的距离等于D.111.若数列{a n }满足111(n N*,d )n nd a a +-=∈为常数,则称数列{a n }为“调和数列”.已知正项数列错误！未找到引用源。

南阳市2014年秋期期终质量评估高二理数

2014年秋期期终质量评估高二理科数学参考答案一．选择题 DCDAD ABDCC BB二．填空题 13. 90 14. 错误！未找到引用源。

三．解答题17.解：命题p:{}{}x 1x 5x 1x a ,5a ≤≤⊂≤≤>即. ……………3分命题q:6sin306,36a a <<<<即 ……………6分因为⌝p ∧q 是真命题，所以p 假，q 真. ……………8分所以实数a 的取值范围是{}{}(]a 5a 3a<63,5a ≤<=.……10分18.解：(1)由题意得()sinAcosB sin A B ,=+可得错误！未找到引用源。

sinBsinA=cosAsinB,所以tanA=错误！未找到引用源。

,即A=错误！未找到引用源。

. ……………6分(2)由AB AC 3∙=,得cbcos 错误！未找到引用源。

=3, 即cb= 又a=1,从而1=b 2+c 2-2bccos 错误！未找到引用源。

,②由①②可得(b+c)2=错误！未找到引用源。

,所以b+c=2. ……………12分19.解：(1)取DC 的中点O ，由△PDC 是正三角形，有PO ⊥DC.又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O.连接OA,则OA 是PA 在底面上的射影,∴∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角.∵∠ADC=60°,由已知△PCD 和△ACD 是全等的正三角形，从而求得OA=OP=∴∠PAO=45°,∴PA 与底面ABCD 所成角的大小为45°. ……………4分(2)由底面ABCD 为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,得OA ⊥DC.建立空间直角坐标系如图，则由M 为PB 中点,∴),∴DM =(2,2,2)，PA 0，DC =(0,2,0),∴3DM PA 20(0,=⨯⨯=DC PA 0200(0,=⨯⨯+⨯=∴PA ⊥DM,PA ⊥DC.又DM ∩DC=D,∴P A ⊥平面CDM. ……………8分(3)CM =(2,0,2)，CB 1，0). 设平面BMC 的法向量n =(x,y,z),则n ²CM =0，从而x+z=0;①n ²CB =0,②由①②，取x=-1，则∴可取n ,1).由(2)知平面CDM 的法向量可取PA∴PA cos ,PA 55PA ===-〈〉n n n∴所求二面角的余弦值为5-. ……………12分 20.解：(1)因为抛物线y 2=4x 焦点为F(1,0),T(-1,0).当l x ⊥轴时,A(1,2),B(1,-2),此时TA TB 0∙=错误！未找到引用源。

河南省南阳市部分示范高中(八校)14—15学年下学期高二期末联考数学(理)试题(扫描版)(附答案)

高二联考数学参考答案（理科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，总计60分）.二填空题（本大题共4小题，每小题5分，总计20分）.13 1-2P14 5 15 1/140 16 ②④ 三、解答题（共70分）17（本题满分10分）(1)解：由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，得2C 2n =C 1n +C 3n解之得n = 7 .由二项式系数的性质知，766)1(xx +的展开式中第4项和第5项二项式系数最大，即.354737==C C 所以，61364637435)1()(x x x C T =⋅= 和 61-463647535)1()(x x x C T =⋅= 5分 (2)由）（7r 0)1()(627767671≤≤=⋅=--+rr r r r r x C x x C T 令7-2r 6 =0得r=72,（舍去）所以无常数项 10分18.（本题满分12分）证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c c c a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b +≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b ≥． ①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立． 12分19（本题满分12分）解：(1) 列联表补充如下： 6分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 12分20. （本题满分12分）解：函数)(x f 的导函数为b a c bx ax x f 2323)(2'--++=（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d 3分（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f 7分（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫⎝⎛164,273．当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，276816<<-m 为所求 12分21．（本题满分12分）解: （Ⅰ）抽取一次抽到红球的概率为25所以抽取3次恰好抽到2次为红球的概率为223233655125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5分（Ⅱ）2,3,4,5ξ=101)2(522===A A P ξ,51)3(5221312===A A C C P ξ,103)4(45332312===A A C C P ξ,52)5(55443312===A A C C P ξ．ξ的分布列为所以()4E ξ=. 12分22（本题满分12分）解：(Ⅰ)()2af x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-.∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1 3分 (Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数. 则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是 1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤ 7分 (Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立, 则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=. ∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1x x x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+, 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0. ∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴()00g x '≠ 12。

河南省南阳市14—15学年下学期高二期中质量评估政治试题( 扫描版)(附答案)

南阳市2014—2015学年下学期期中考试试题高二政治参考答案第I卷选择题（共60分）第I卷选择题（每小题2分，共60分）第II卷非选择题（共40分）31.①文化对人的影响，来自于特定的文化环境，来自于各种形式的文化活动。

H省通过创设道德墙、举办道德讲堂活动营造了良好的文化氛围。

（2分）②文化影响人们的交往行为和交往方式。

通过对优秀传统道德等的学习，推动了和谐人际关系的建立。

（2分）③文化对人的影响潜移默化、深远持久。

人们受优秀传统道德教育环境与活动的影响，思想和行为有了新的变化。

（2分）④文化塑造人生，促进人的全面发展。

H省通过弘扬优秀传统文化，促进了本省群众思想道德素质的提高。

（2分）32.⑴①有利于我国面向世界博采众长，促进中华文化的创新和发展；（2分）②有利于中华文化走出去，增强中华文化的国际影响力，促进世界文化的繁荣；（3分）③有利于促进沿线国家经济合作、政治互信，促进区域和平与发展。

（3分）⑵①要尊重文化的多样性，既要尊重本民族文化，又要尊重其他民族文化。

②要坚持各民族文化一律平等的原则，平等对话与交流。

③要重视经济、政治与文化的相互渗透与融合，借助经济政治交流推进文化交流与发展。

④要重视在文化交流中积极借鉴其他民族优秀文化，以我为主，为我所用，推进民族文化发展与创新。

⑤要积极推动中华文化走出去，增强中华文化的竞争力与影响力。

⑥要反对封闭主义和民族虚无主义，以开放的姿态积极参与文化交流与合作。

（每点3分，答对任意四点即可得满分）33.①坚持正确方向，立足实践进行创新。

该剧团深入基层，关注群众需求，创作出群众喜闻乐见的作品。

（4分）②继承传统，推陈出新。

该剧团在整理抢救传统优秀剧目的基础上，取其精华、去其糟粕，进行再创作。

（4分）③面向世界、博采众长。

该剧团借鉴其他剧种，增加渔鼓戏原本没有的女腔伴唱和西洋乐器伴奏。

（4分）（以上主观试题，答案只要言之有理，均可酌情给分）。

河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题_Word版含答案

南阳市2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）一．选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数2(1)1ii++的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设A ．三个内角都不大于60oB ．三个内角都大于60oC ．三个内角至多有一个大于60oD ．三个内角至多有两个大于60o3. 用数学归纳法证明aa a a a n n --=++++++111322Λ（*,1N n a ∈≠），在验证当1n =时，等式左边应为A ． 1B ．1+aC ．21+a a +D ．231+a a a ++ 4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f ' A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e 5．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为A B C D ．36．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为 A ． 1 B ． 12-C ． 1-D ．2 8．将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为第1列第2列第3列第4列 ……第1行： 1第2行： 3 5第3行： 7 9 11第4行： 13 15 17 19 ……A.16B.17C.18D.199.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是10．已知函数3()()f x x x m =-在x=2处取得极小值，则常数m 的值为 A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ．以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R，'()f x >2，则()f x >2x+4的解集为A ．(-l ，1)B ．(-1，+∞)C ．(- ∞，-1)D ．(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 0或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ，则数列{nnS }为等差数列，公差为d 2.类似地，若正项等比数列{b n }的公比为q,前n 项积为T n ，则数列为等比数列，公比为_________. 14.由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 15．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是16．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知复数22(232)(32)i z m m m m =--+-+．（Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当0m =时，化简252iz z ++．A ．B ．C ．D ．18.( 本小题满分12分)已知函数()22()xf x e x x R =-+∈. (Ⅰ)求()f x 的最小值；(Ⅱ)求证：0x >时，221x e x x >-+.19( 本小题满分12分）已知点P 在曲线21y x =-上，它的横坐标为(0)a a >，过点P 作曲线2y x =的切线.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求证：由上述切线与2y x =所围成图形的面积S 与a 无关20．( 本小题满分12分) 设()111123n a n N n*=++++∈L ，是否存在一次函数()g x ，使得 ()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 对2n ≥的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.21．（本小题满分12分）设函数3221(),()243f x x ax axg x x x c =--=++. （Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，求c 的取值范围.22．( 本小题满分12分)已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，求k 的最大值.2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或，即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分）（Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分）故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分）由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分）于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ，221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分）（Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=Q 即22k b +=……①. 当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++Q()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-L 对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++L L()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++Q L ，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭L ，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-L 都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--，设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3，所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分）令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分）令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>，所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x > 故函数()ln 1x x x g x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。

河南省南阳市14—15学年下学期高二期中质量评估历史试题(扫描版)(附答案)

2015年春期期中考试高二历史答案一、选择题（每小题2分，共60分）1—5 ACACC 6—10 DCBAC 11—15 BCBDB 16—20 ACCBD 21—25 BCBCB26—30 ABBBA31．（16分）(1)先秦时期的“宰相”既执掌国政，又掌管家务，是一个官职的通称，而不是一个正式官名；（2分）秦朝的丞相是正式官职名称，地位很高，负责全国的行政事务。

（2分）(2)制约：皇权受到大臣（或中书、门下或丞相）和法律的制约。

（2分）特点：唐代在君主专制政体下形成了集体决策的局面，君臣关系、中央各部门之间的关系比较协调，具有一定的民主性。

（2分）(3)不同：唐太宗认为设置丞相有利于提高中央的行政效率，可避免因君主决策失误而亡国；（2分）明太祖认为设置丞相是政治动乱的根源，应集中权力于皇帝一人。

（2分）(4)不同：三省六部制完善了专制主义中央集权制，有利于国家统一，社会稳定，促进了经济文化的发展，唐朝处于中国封建社会繁荣时期；而明朝以来废除丞相，强化专制主义，阻碍经济文化的发展，不利于社会进步，中国封建制度日益衰落。

（4分）32.（14分）（1）男耕女织，自给自足，农业与手工业相结合。

（2分）（2）新变化：私营手工业迅速发展，取代官办工场、作坊，占据了主导地位；纺织业出现资本主义萌芽；形成了包括新型地主、手工场主，包买商等早期“资本家”。

(3分)（3）目的：以宣扬国威的政治目的为主。

（1分）影响：逐渐形成以中华帝国为核心的东亚文化圈（1分）原因：自给自足的自然经济占主导地位；统治者加强与周边民族和国家政治联系；儒家礼治思想的影响。

（4分，答出2点即可）（4）新变化：出现民族资本主义工业。

（1分）政治变化：民族资产阶级产生发展；维新运动、辛亥革命运动发展。

（2分）33.（10分）(1)认识：中国居于宇宙的中心，居于世界中心。

理念：夷夏观念下的朝贡外交。

(2分)(2)原因：中国处于东亚大陆相对封闭的地理环境下，对外交了解较少；精耕细作的小农经济创造了长期领先世界的物质文明；中国古代科技与文化长期领先世界，统治者产生盲目自大的心理。

2014-2015学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估化学试题扫描版

2014-2015学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估化学试题试题答案一、选择题（每小题只有一个符合题意的选项，每小题3分，共48分）1-5CBBAC 6-10 DBCAB 11-16DDCABC二、填空题（本题共4道小题，52分）17、（共18分）（1）（每空2分，共6分）(CH3)2C=C(CH3)2;2-乙基-1-丁烯；（2）（每空2分，共4分）①HO —CH2CHO ②C8H8O（3）HCHO+4Cu(OH)2 △CO2+ 2Cu2O↓+5H2O 或HCHO+2NaOH+4Cu(OH)2 △ Na2CO3+2Cu2O↓+6H2O （2分）（4）（每小题2分，共6分）①(CH3)2C=CHCH2CH2CHO+2Ag(NH3)2OH △2Ag ↓+3NH3+(CH3)2C=CHCH2CH2COONH4+H2O ；（2分）②(CH3)2C=CHCH2CH2COOH+Br2→(CH3)2C(Br)CH(Br)CH2CH2COOH 或(CH3)2C=CHCH2CH2COONH4 Br2→(CH3)2C(Br)CH(Br)CH2CH2COONH4（2分）（写(CH3)2C=CHCH2CH2CHO 与溴水反应的方程式不给分）③醛基；因为醛基和碳碳双键都能使溴水 (或酸性KMnO4溶液)褪色。

（各1分）18、（共13分）（1）（每个方程式2分，共4分）（方程式没有示踪原子的不给分） a （1分）（2）打开分水器下面的活塞（或开关）使水流出，（1分）使平衡正向移动，提高反应产率；（1分）（3）除去硫酸、乙酸及少量的正丁醇；（1分）除去产品中含有的乙酸等杂质。

（1分）干燥（或吸水、除水均可以）（1分）（4）126.1℃（125-127之间均可以）（1分） 80% （2分）19、（8分）（1）（各1分）、（2）（2分）①④（3）（2分不注明反应条件扣1分）（4）（2分）的水解产物不能经氧化反应⑥而得到产品（或a中的水解产物中的—OH不在链端，不能氧化成—CHO）（其他合理答案均可给分）20、（13分）（1）酯基；溴原子；羧基；（或-COO-、-Br、-COOH均可）（3分）（2）（2分），消去反应（1分）（2分），水解反应（或取代反应）（1分）（3）（2分）（4）、、等中的任意一种．（2分）。

南阳市年高二下期中质量评估数学试题(理)有答案-精选

2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或，即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分）（Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(x f x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20x f x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分）故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22x g x e x '=-+，………（7分）由(Ⅰ) 知()22x g x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分）于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221x e x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ，2201PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分）（Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22k b +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+，()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--，设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =.随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分）22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3，所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分）令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分）令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10xh x x x -=-=>，所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分）()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。

南阳市高二下期中数学试卷(理科)及答案【推荐】

2015-河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．36．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫ f（x）dx，∫ |f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫ |f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.. 22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解： =，则复数的虚部是1，故选：C2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法．【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B．3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．0【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．故选：A．4．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|=﹣=x=m解得 m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=﹣1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×1×1=．故选：A．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D．8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；故选：C．9．已知b＞a，下列值：∫ f（x）dx，∫ |f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫ |f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线下包围的面积，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x 轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；②当x＞0时，只考虑k＞即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当＜k＜1时，0＜＜1，g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：xg（x）+ 0 ﹣g′（x）单调递增绝对值单调递减由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．故选：B．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，故答案为：．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】数列递推式．【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0 ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故答案为：a＜﹣1或a＞016．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．【考点】类比推理．【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．【解答】解：设=x，则1+=x，∴2x2﹣2x﹣1=0∴x=，∵x＞0，∴x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（ I）．∴=﹣1﹣i．（ II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b 的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…由条件②式…由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣319．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ）由（1）得．类似的，，又；∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx（另证：x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，三式相加）．∴=20．是否存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？【考点】数学归纳法．【分析】假设存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立．取n=1，2可得，解得a ，b ．再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：若存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立．取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则=对于一切n ∈N *都成立．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k （k ∈N *）时，等式成立，即…+=．则当n=k+1时，…++=+=== =．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n ∈N *都成立．21．设函数f （x ）=+xlnx ，g （x ）=x 3﹣x 2﹣3．（I ）如果存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；（II ）如果对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立，求实数a 的取值范围..【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M；（II ）对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立等价于f （x ）≥g（x ）max ，进一步利用分离参数法，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M ∵g（x ）=x 3﹣x 2﹣3，∴∴g（x ）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增 ∴g（x ）min =g （）=﹣，g （x ）max =g （2）=1 ∴g（x ）max ﹣g （x ）min =∴满足的最大整数M 为4；（II ）对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立等价于f （x ）≥g（x ）max ．由（I ）知，在[，2]上，g （x ）max =g （2）=1∴在[，2]上，f （x ）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx 恒成立记h （x ）=x ﹣x 2lnx ，则h′（x ）=1﹣2xlnx ﹣x 且h′（1）=0 ∴当时，h′（x ）＞0；当1＜x ＜2时，h′（x ）＜0∴函数h （x ）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减， ∴h（x ）max =h （1）=1 ∴a≥122．已知函数．（I ）当a=1时，求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：（n ∈N *）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I ）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x ），可得，若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解．通过对a 分 a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时， ⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I ），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x ）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f （x ）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f （x ）存在单调递减区间，∴f′（x ）＜0有正数解．即ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解． ①当a=0时，明显成立．②当a ＜0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 为开口向下的抛物线，ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0总有x ＞0的解； ③当a ＞0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 开口向上的抛物线，即方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有正根．因为x 1x 2=1＞0，所以方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，，即．令，则有，∴． ∵，∴．（法二）当n=1时，ln （n+1）=ln2． ∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k 时，命题成立，即． ∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．6月14日。

2023-2024学年河南省南阳市高二下学期期终质量评估数学试题

2023-2024学年河南省南阳市高二下学期期终质量评估数学试题1.已知直线与直线平行，则实数（）A．-4B．1C．-4或1D．2.已知数列中，，且，则数列前10项的和（）A．19B．20C．90D．1003.某电子设备制造厂所用元件来自两个不同的元件制造厂甲和乙，统计出2万个元件的情况如下表：正品次品甲9400600乙9600400从中任取1件，设事件“取出的产品为正品”，则（）A．0.93B．0.94C．0.95D．0.964.在的二项展开式中，常数项为（）A．-160B．-20C．20D．1605.在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．6.某商店记录了某种产品近5个月的月销售量（千台）如下表，样本中心点为.由于保管不善，记录的5个数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是（）第个月12345月销售量 2.545A．在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大B．在确定的条件下，样本的相关系数C．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则D．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台7.已知为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（）A．1B．C．D．9.下列说法中，正确的是（）A．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法B．分别抛掷两枚质地均匀的硬市，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有C．若随机变量，则D．若随机变量，且，则10.已知数列的前项和为，则下列说法中正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，则11.已知函数，则下列说法中正确的是（）A．函数的最大值是B．在上单调递减C．对任意两个正实数，且，若，则D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是12.已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程：__________.13.已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是__________.14.我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：因为，则，两式相减得：，所以，类比以上方法求数列的前项和__________.15.2024年世界人工智能大会（WAIC）将于7月4日至6日在上海世博中心举办.AI时代，用“光”替代“电”作为信息处理载体的光计算技术已经成为人工智能芯片的重要技术核心.为了研究学生对人工智能的了解情况，某学校随机抽取了100名学生进行调查，男生与女生的人数之比为，其中男生有30名对人工智能了解，女生有35名对人工智能不了解.了解不了解总计男生30女生35合计100(1)完成列联表，依据表中数据，判断是否有的把握认为“对人工智能是否了解与性别有关”；(2)从被调查对人工智能了解的学生中，利用分层抽样抽取5名学生.在这5名学生中抽取3名学生做人工智能知识普及小讲堂的主讲人，其中抽取男生的人数为.求出的分布列及数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 16.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17.已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.18.已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)求证：．（参考数据：）19.意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列.(1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明.(2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；(3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和.。

河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题

一.选择题：1.复数212ii+-的虚部为 A ．i B ．-1 C ．i - D ．12.如果命题p (n )对n ＝k 成立(n ∈N *)，则它对n ＝k ＋2也成立，若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )．A ．p (n )对一切正整数n 都成立B ．p (n )对任何正偶数n 都成立 C. p (n )对任何正奇数n 都成立 D ．p (n )对所有大于1的正整数n 都成立 3．已知函数f (x )=3x +1，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim的值为A ．31- B ．31 C ．32 D ．04．直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为 A ．－2 B ．1 C ．－12D ．－1 5.已知复数z 的模等于2，则||i z -的最大值等于A.1B.2C.5D.36.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个奇数”正确的反设为Ａ．a b c ，，都是奇数Ｂ．a b c ，，都是偶数Ｃ．a b c，，中至少有两个奇数Ｄ．a b c，，中至少有两个奇数或都是偶数8. 已知函数()33f x x x c=-+有两个不同零点，且有一个零点恰为()f x的极大值点，则c的值为A. 0B. 2C. 2-D. 2-或29.已知，下列值：，，||的大小关系为A．||≥≥B ．≥||≥C ．= ||=D ．= ||≥10.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是D11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=)0)(1(In)0(21)(2xxx＜xxxf，若函数kxxfy-=)(有3个零点，则实数k的取值范围为A ．(0, )B ．(1,2)C ．(12,1) D ．(2, ＋∞) 二.填空题：13.⎰=++11-2)sin dx x x x （ ____________________ 14.若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是____________________．15.函数)(x f 的导函数),)(1()(a x x a x f -+='若)(x f 在x=a 处取到极小值，则a 的取值范围是____________________16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令＝x ，则有＝x ，从而解得x ＝(负值已舍去)”；运用类比的方法，计算：＝ .三.解答题：17.（本小题满分10分）已知复数21i z i=-，若21z az b i ++=-. （I ）求z ；（II ）求实数,a b 的值.18.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2的图象经过点M （1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）在区间[m ，m+1]上单调递增，求m 的取值范围．19.（本小题满分12分）设（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20.（本小题满分12分）是否存在常数，使等式对于一切都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？(提示:可先令n=1,2探求出a,b 的值再证明) 答案一.选择题： DBADD ADCBD DC二.填空题：13. 2314. f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)215. a<1-或a>0 16.三。

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期4月期中质量评估数学试题(含答案)

南阳市2023-2024学年高二下学期4月期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.第I 卷选择题（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数()πln cos3f x x =+的导数()f x '=（）A.1x B.1πsin 3x + C.1πsin 3x - D.πsin 3x -2.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若123796,16a a a a a ++=+=，则9S =（）A.43B.44C.45D.463.函数()y f x =的图象如图所示，下列关系正确的是（）A.()()()()04554f f f f '<'<<-B.()()()()04545f f f f <<-<''C.()()()()05544f f f f <<-<''D.()()()()05454f f f f <'<'-<4.在一组样本数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （1232,,,,,n n x x x x …不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为（）A.-1B.12-C.12D.15.已知数列{}n a 为等比数列，若24624611118,2a a a a a a ++=++=，则4a =（）A.3±B.-3C.36.若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（）A.22B.24C.26D.287.刚考入大学的小明准备向银行贷款a 元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t .则小明每个月所要还款的钱数为（）元A.12(1)a t + B.12(1)12a t + C.1212(1)12(1)1at t t +⎡⎤+-⎣⎦D.1212(1)(1)1at t t ++-8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数(1)p p >满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11n n S a n++的最小值为（）A.16B.22C.23D.25二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若数列{}n a 是等比数列，且()*0n a n >∈N ，则下列结论正确的是（）A.数列{}2n a 是等比数列 B.数列{}1n n a a +-是等比数列C.数列{}2n a 是等比数列D.数列{}lg n a 是等比数列10.小明研究函数()f x 的图象与导函数，经查阅资料，发现()f x 具有下面的性质：若函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，且()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x =''.若在区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凹函数”.请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（）A.()21f x x =+B.()3f x x=C.()21f x x =+D.()lg f x x=-11.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，且1199,a b a b ==，则下列结论正确的是（）A.33a b <B.55a b >C.若19a a >则1010a b <D.若19a a <则1010a b <12.设数列{}()*n a n ∈N 为正项等比数列，q 为公比，nT 为前n 项的积，且151616171718,,TT T T T T <>=则下列结论正确的是（）A.01q <<B.171a =C.1915T T >D.16T 与17T 均为n T 的最大值第II 卷非选择题（共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知数列{}n a 的前5项依次为11325,,,,32537，则{}n a 的一个通项公式为n a =__________.14.已知()()21220242024ln 2f x x xf x '=+-，则()2024f '=__________.15.垃圾分类是保护环境､改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.620.68yx =+，则下列正确说法的序号是__________.x 2345y22.33.4m①变量,x y 之间呈正相关关系；②可以预测当10x =时，y 的值为6.88；③表中m 的值为3.9；④样本中心点为()3.5,2.85.16.已知数列{}n a 满足2(1)21nn n a a n ++-=-，且前12项和为134，则1a =__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知曲线3:2C y x x =+-.（1）求与直线41y x =-平行，且与曲线C 相切的直线方程；（2）设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和220n S n n =-.（1）求证：{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，且11a =，__________.现有条件：①525S =；②823a a a =；③523a a =.请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）20.（本小题满分12分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间x （分钟/每天）和他们的数学成绩y （分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108（1）经分析，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩.（参考数据：551122820,435,i ii i i i x yy x ====∑∑的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到22⨯列联表（表二）.依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关.表二没有进步有进步合计参与周末自主学习35130165末参与周末自主学习253055合计60160220附()()()22121()ˆˆˆ:,,()()()()niii ni i x x y y n ad bc bay bx K a b c d a c b d x x ==---==-=++++-∑∑()2P K k …0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82821.（本小题满分12分）设函数()22f x x =，过点()11,0C 作x 轴的垂线1l 交函数()f x 图象于点1A ，以1A 为切点作函数()f x 图象的切线交x 轴于点2C ，再过2C 作x 轴的垂线2l 交函数()f x 图象于点2,A ，以此类推得点n A ，记n A 的横坐标为()*n a n ∈N.（1）证明数列{}n a 为等比数列并求出通项公式；（2）设直线n l 与函数()12log g x x =的图象相交于点n B ，记n n nb OA OB =⋅ （其中O 为坐标原点），求数列{}n b 的前n 项和n S .22.（本小题满分12分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1,3,2，第2次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2.设数列,,a b c 经过第n 次“和扩充”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S .（1）求12P P ､；（2）若2024n P …，求n 的最小值；（3）是否存在实数a b c ､､，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求出a b c ､､满足的条件；若不存在，说明理由.南阳市2023-2024学年高二下学期4月期中质量评估数学试题参考答案评分说明：本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.一､单选题1-4.ACCA5-8.CBDB二､多选题9.AC10.CD11.BCD12.ABD三､填空题13.2nn +（答案不唯一，其他答案正确也给分） 14.-2023 15.①②④ 16.1四､解答题17.解：（1）因为32y x x =+-，所以231y x '=+.设切点为()00,x y .因为切线与直线41y x =-平行，所以()04f x '=，解得：01x =±.当01x =时，00y =，所以切线方程为()41y x =-，即44y x =-；当01x =-时，04y =-，所以切线方程为()441y x +=+，即4y x =.综上所述，所求的切线方程为：44y x =-或4y x =.（2）因为()2311f x x =+≥'，即tan 1α≥，又因为0πα≤<，所以，ππ42α≤<，故α的取值范围是ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.解：（1）证明：220n S n n=-∴当1n =时，211120119a S ==-⨯=-；当2n ≥时，()()22120(1)201221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦；经验证当1n =时上式成立，所以221n a n =-.因为()()122121212n n a a n n -⎡⎤-=----=⎣⎦（常数）所以数列{}n a 是等差数列.（2）由（1）知：221n a n =-.令0n a >，则212n >.所以当110n ≤≤时，21220n n n T a a a S n n =----=-=- ；当10n >时，12101112n nT a a a a a a =----++++ 1010n S S S =-+-220200n n =-+；综上所得：2*2*20,110,N 20200,10,Nn n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+>∈⎩19.解：（1）设等差数列的公差为d .选条件①：由525S =可得：51545252S a d ⨯=+=，又11a =，解得：2d =，所以21n a n =-.选条件②：由823a a a =可得：()()11172a d a d a d +=++，又11a =，解得：2d =（0d =舍去），所以21n a n =-.选条件③：由523a a =可得：()1143a d a d +=+，又11a =，解得：2d =，所以21n a n =-.（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭.所以12n nT b b b =+++ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭20.解：（1）304050607043550,8755x y ++++====，又()1,2,3,,5i x i = 的方差为()52112005i i x x =-=∑，所以()()()551152152282055087ˆ 1.0752001000iiiii i ii x x y y x y x ybx x ===-⋅-⋅-⋅-⨯⨯====⨯-∑∑∑，ˆˆ87 1.075033.5ay bx =-=-⨯=，故ˆ 1.0733.5yx =+.当100x =时，140.5y =，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.（2）根据数据，计算得到：()()()()222()220(251303530)11012.22216555601609n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为12.22210.828>，所以有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关.21.解：（1）证明：函数()()22,4f x x f x x '=∴=，∴以点()()2111,22n n n A a a n ---≥为切点的切线方程为：()211124n n n y a a x a ----=-，当0y =时，112n x a -=，即()1122n n a a n -=≥，又11,a =∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭.（2）解：由题意得：11,12n n B n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111112221444n n n n n n b OA OB n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0122111111135232144444n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.①则()()1231111111352321444444n nn S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②①-②得：()1121111443111111222(21)1221144444414n n n n n S n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .5512334n n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭2082019394n n n S ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭22.解：（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -，所以()1121n n n n P P P P +=+-=-，所以()112221n n n P P P +-=-=-，由（1）得11114,1422n n n P P -+-=-=⋅=，所以121n n P +=+，由1212024n n P +=+≥，即122023n +≥，解得10n …，所以n 的最小值为10；（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ⋯，所以123n m S a a a a a c =++++++ ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以()()()()11112223n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++ ，即11223332n m S a a a a c +=+++++ ，所以()13n n S S a c +=-+，所以1322n n a c a c S S +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得11322n n a c a c S S -++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，由1232S a b c =++，则322n n a c a c S b ++⎛⎫=++⎪⎝⎭，若使n S 为等比数列，则0202a c a c b +⎧=⎪⎪⎨+⎪+≠⎪⎩或0202a cb ac +⎧+=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，所以a b c ､､满足的条件为00a c b +=⎧⎨≠⎩或20b ac b ++=⎧⎨≠⎩.。

2023-2024学年河南省南阳市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．若πsin 3y =，则y '=（）A ．0B ．12C ．12-D 【正确答案】A【分析】由常数的导数为0即可得解.【详解】∵πsin 3y ==0y '=.故选：A.2．数列π(1)cos 4nn ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的第5项为（）A ．0B ．1-C ．2D ．【正确答案】C【分析】取5n =，直接计算即可.【详解】数列π(1)cos 4nn ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的第5项为55ππ(1)cos 1cos 442⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：C3．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（）尺．A ．12B ．518C ．1631D ．1629【正确答案】D【分析】设第2天比前一天多织布d 尺，然后根据题意结合等差数列的求和公式列方程可求得结果.【详解】设第2天比前一天多织布d 尺，根据题意得30295303902d ⨯⨯+=，解得1629d =，所以第2天比前一天多织布1629尺，故选：D4．设等比数列{}n a 的前n 项和为10，前2n 项和为60，则该数列的前4n 项和为（）A ．360B ．720C ．1560D ．1800【正确答案】C【分析】运用等比数列依次n 项的和仍为等比数列求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -，L 成等比数列，公比为n q ，因为10n S =，260n S =，所以250n n S S -=所以5n q =，所以32505250n n S S -=⨯=，所以4325051250n n S S -=⨯=，所以46025012501560n S =++=.故选：C.5．设曲线()1*n y x n +=∈N 在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则数列{}nx 的前2023项的积．为（）A ．20242023B ．20232024C ．12023D ．12024【正确答案】D【分析】根据导数几何意义得切线方程，进而得1n nx n =+，再求乘积即可.【详解】解：因为()()*1n y n x n '=+∈N ，所以，曲线()1*n y x n +=∈N 在点()1,1处的切线斜率为()*1k n n =+∈N ，所以，曲线()1*n y xn +=∈N 在点()1,1处的切线方程为()()()*111y n x n -=+-∈N ，所以，曲线()1*n y xn +=∈N 在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为1111nn xn n =-=++，所以，数列{}n x 的前n 项的积为121212311n x n n n x x ⋅⋅=⨯⋅⨯++ ，所以，数列{}n x 的前2023项的积为12024.故选：D6．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如()21101表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数 15111 位转换成十进制数的形式是（）A ．1722-B ．1621-C ．1622-D ．1521-【正确答案】D【分析】根据题意利用等比数列求和公式直接计算得到答案.【详解】二进制数 15111 位转换成十进制数的形式是：151413115121212*********-⨯+⨯++⨯+⨯=⨯=-- .故选：D7．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C必要性显然成立；由()12n n n a a S +=，()111(1)2n n n a a S ---+=，得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案.【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件.故选：C.本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.8．现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】B【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形，所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，又因为每段的长度尽可能小，所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35，这时n 达到最大为9.故选：B.二、多选题9．已知递增数列{}n a 满足2818a a =，379a a +=，则下列说法正确的有（）A ．若数列{}n a 为等差数列，则149a =B ．若数列{}n a 为等差数列，则119a =C ．若数列{}n a 为等比数列，则1112a =D ．若数列{}n a 为等比数列，则149a =【正确答案】AC【分析】考虑数列{}n a 为等差数列和等比数列两种情况，分别计算首项和公差公比，再依次带入每个选项计算得到答案.【详解】若数列{}n a 为等差数列，则37289a a a a =++=，2818a a =，解得2836a a =⎧⎨=⎩或2863a a =⎧⎨=⎩（舍去），故213a a d =+=，8176a a d =+=，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若数列{}n a 为等比数列，327818a a a a ==，379a a +=，解得3736a a =⎧⎨=⎩或7363a a =⎧⎨=⎩（舍去），2313a a q ==，6716a a q ==，解得11422a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对选项A ：11451313292a d a =+=+=，正确；对选项B ：1115101021522a a d ++===，错误；对选项C：101104111212a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，正确；对选项D：1313134414121222a a q ⎛⎫==⨯=⋅ ⎪⎝⎭，错误；故选：AC10．若()πcos 26f x x xf '⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．π162f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭B ．π162f ⎛⎫=⎪⎭'⎝C．π132f ⎛⎫=⎪⎭'-⎝D．π132f ⎛⎫=⎪⎭'+⎝【正确答案】BC【分析】对()f x 求导，令π6x =即可求出π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值可判断A ，B ；将π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值代入()f x '可得()sin 1f x x '=-+，再令π3x =可求出π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭值可判断C ，D.【详解】由()πcos 26f x x xf '⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：()πsin 26f x x f ⎛⎫=-''+ ⎪⎝⎭，令π6x =，则πππsin 2666f f ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，解得：ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭，故B 正确，A 不正确；所以()sin 1f x x '=-+，令π3x =，则ππsin 1133f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭'，故C 正确，D 不正确故选：BC.11．若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56S S <，67S S =，78S S >，则下列说法正确的有（）A ．公差0d <B ．120S >C ．95S S >D ．使0n S <的最小整数n 为14【正确答案】ABD【分析】根据题设得到60a >，70a =，80a <，再根据等差数列求和公式和等差数列性质依次判断每个选项得到答案.【详解】56S S <，则6560S S a -=>；67S S =，则7670S S a -==；78S S >，则8780S S a -=<，对选项A ：67a a >，故0d <，正确；对选项B ：()()11212676126620S a a a a a +==+>=，正确；对选项C ：()678978958220a a a a a S a a S =+++=+=<-，故95S S <，错误；对选项D ：()()11414788147802a a S a a a +==+=<，()113137141402a a S a +===，正确.故选：ABD12．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A ．50B ．45C ．40D ．35【正确答案】AB【分析】可设男生有x 人，依题意填写列联表，计算2K ，对照临界值列出不等式求得x 的取值情况．【详解】可设男生有x 人，依题意得女生有x 人，填写列联表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生45x 15x x女生35x 25x x总计75x 35x 2x若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则2 3.841K >，即224213225555 3.841732155x x x x x K x x x x x ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得40.3305x >，由题意知0x >，且x 是5的整数倍，所以50,45x =满足题意．故选：AB ．三、填空题13．若()2f x x x=+，则()2f '=________．【正确答案】12/0.5【分析】求出导函数，代入2x =可得．【详解】由已知22()1f x x '=-，所以21(2)142f '=-=．故12．14．一个等比数列的公比1q ≠，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比q =________．【正确答案】2-【分析】确定122n n n a a a +++=，得到22q q +=，解得答案.【详解】122n n n a a a +++=，故22n n n a q a q a +=，0n a ≠，则22q q +=，解得2q =-，1q =（舍）故2-15．已知数列{}n a 满足：na ∈Z ，32a =，1,,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1a =________．【正确答案】1或8.【分析】通过3a ，结合1n a +的表达式，依次求得21,a a ，即可得出答案.【详解】因为1,,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，32a =，若2a 为奇数，则32312a a =+=，解得：213a =，不合题意；若2a 为偶数，则2322a a ==，解得：24a =，符合题意；若1a 为奇数，则21314a a =+=，解得：11a =，符合题意；若1a 为偶数，则1242a a ==，解得：18a =，符合题意；故1或8.四、双空题16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足242n n n a a S +=，且0n a >，则n S =________，10a =________．【正确答案】2n /【分析】利用通项和求和公式的关系得到2214n n S S --=，确定数列{}2n S 是首项为4，公差为4的等差数列，计算得到n S n =，再计算10109a S S =-得到答案.【详解】242n n n a a S +=，则112142a a S +=，解得112a S ==，（舍去负值），当2n ≥时，()()21142n n n n n S S S S S ---+=-，整理得到2214n n S S --=，故数列{}2n S 是首项为4，公差为4的等差数列，故()24144n S n n =+-⨯=，0n S >，故n S n =，验证1n =时满足，故n S n =；10109210292106a S S =-==.故2n 2106.五、解答题17．（1）求函数()e cos x xf x x=的导函数；（2）求曲线()2ln f x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程．【正确答案】（1）()2e cos e sin e cos x x x x x x x xf x x--'=；（2）1y x =+.【分析】（1）利用导数的运算法则可求得()f x '；（2）求出()1f 、()1f '，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】解：（1）因为()e cos x x f x x=，则()()22e cos e cos e cos e sin e cos x x x x xx x x x x x x x f x x x '---'==；（2）因为()2ln f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，所以，()12f =，()11f '=，所以，曲线()2ln f x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+.18．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【正确答案】证明过程见解析,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二]：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+- ⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na n a -=+==，)1n +-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43ab =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===，因为也为等差数列，所以公差1d =()11n d n =-=，故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a1d =11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.19．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =⋅⋅⋅，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得20180i i x ==∑，2014000i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20218000ii yy=-=∑，()()201700i ii x xy y =--=∑.（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y 关于x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.【正确答案】（1）答案见解析；（2）252.5吨.【分析】（1）利用相关系数()()niix x yyr --=∑0.875r =，相关系数绝对值越大，相关性越强即可判断.（2）由()()()121ni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$，代入系数即可求出回归直线方程，再将10x =代入即可求解.【详解】（1）由题意知，相关系数()()2070.8758iix x yyr --==∑.因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.（2）由题意可得，()()()20120217008.7580iii i i x x yybx x==--===-∑∑ ， 4000808.752008.7541652020ay bx =-⨯=-⨯==- ，所以 8.75165y x =+.当10x =时， 8.7510165252.5y =⨯+=，所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.20．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，其前n 项和为n S ，若10110S =，且2a 是1a 和4a 的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【正确答案】(1)2n a n =(2)1n n T n =+【分析】（1）利用等差数列前n 项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列{}n a 的通项公式；（2）求出(1)n S n n =+，从而()111111n S n n n n ==-++，由此利用裂项相消求和法可求得n T ．【详解】（1）根据题意，可得()()121111091011023a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解之得122a d =⎧⎨=⎩，1(1)2,n a a n d n ∴=+-=∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =．（2）由（1）可知，(22)(1)2n n n S n n +==+，1111(1)1n S n n n n ∴==-++，1111111111.22334111n nT n n n n ∴=-+-+++-=-=+++ ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和1n nT n =+．21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 满足*12121···1,N 2n n n b b b n a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)21n a n =-；(2)2332n nn T +=-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由基本量法列方程组解得1,a d ，得通项公式；（2）求出通项公式n b ，用错位相减法求和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由424S S =，221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)21n a n n =+-=-；（2）由*12121···1,N 2n n n b b b n a a a +++=-∈可得当1n =时，1112b a =，当2n ≥时，111111,222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以*1,N 2n n n b n a =∈，*121,N 22n n n n n b a n -=⨯=∈，又2313521 (2222)n n n T -=++++，234111352321 (222222)n n n n n T +--=+++++两式相减得234111112222213121...,2222222222n n n n n n n T +-+--⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭所以233.2n nn T +=-22．已知数列{}n a 中，11a =，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3,n = (1)令11n n n b a a +--=，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在实数λ，使得数列{}n n a T λ+为等差数列?若存在，试求出λ，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)42.2n na n =+-(3)存在，2λ=-【分析】（1）先由题意得到12n n a a n +=+，再由11n n n b a a +--=，得到12111211++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得1111122n n n b --⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，推出11112n nn a a +---=-，利用累加法，即可求出数列{}n a 的通项；（3）求得数列{}n b 的前n 项和n T ，把 ,n n a T 代入n n a T λ+，进而推断当且仅当2λ=-时，数列{}n n a T λ+是等差数列．【详解】（1）由已知得12+-=n n a a n ，即12n n a a n +=+，又11a =，21211,11111,a b a a ∴==--=--=-又11211,1,n n n n n n b a a b a a ++++=--=--11121111(1)1111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++------∴====------∴数列{}n b 是以－1为首项，以12为公比的等比数列.（2）由（1）知，1111122n n n b --⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，1111,2n n n a a +-∴--=-213210121111,1,,1,222n n n a a a a a a --∴--=---=---=- 将以上各式相加得：1012111(1)222n n a a n -⎛⎫---=-+++ ⎪⎝⎭ ，212111142211(1)2 2.12212n n n n a a n n n ---⋅⎛⎫∴=+--=+---=+- ⎪⎝⎭-42.2n na n ∴=+-（3）存在2λ=-，使数列{}n n a T λ+是等差数列．由（1）可知：12112221212n n n n T b b b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+++==-- ．424222222 22n n n n n a T n n λλλλ+⎛⎫+=+-+-=+-- ⎪⎝⎭，∴当且仅当420λ+=，即2λ=-时，2n n a T n λ+=+，数列{}n n a T λ+为等差数列．。

2023-2024学年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数f(x)=lnx+cosπ3的导数f′(x)=( )A. 1x B. 1x+sinπ3C. 1x−sinπ3D. x−sinπ32.S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3=6，a7+a9=16，则S9=( )A. 43B. 44C. 45D. 463.函数y=f(x)的图象如图所示，下列关系正确的是( )A. 0<f′(4)<f′(5)<f(5)−f(4)B. 0<f′(4)<f(5)−f(4)<f′(5)C. 0<f′(5)<f(5)−f(4)<f′(4)D. 0<f(5)−f(4)<f′(5)<f′(4)4.在一组样本数据(x1,y1)，( x2,y2)，…，( x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i,y i)( i=1,2,…,n)都在直线y=−12x+1上，则这组数据的样本相关系数为( )A. −1B. 1C. −12D. 125.已知数列{a n}为等比数列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，则a4=( )A. 22B. ±22C. 2D. ±26.若正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S8−2S4=6，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )A. 22B. 24C. 26D. 287.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为元．( )A. a(1+t)12B. a(1+t)1212C. at(1+t)1212[(1+t)12−1]D. at(1+t)12(1+t)12−18.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p>1)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记数列{a n}的前n项和为S n，则S n+a n+11n的最小值为( )A. 16B. 22C. 23D. 25二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学试题及参考答案

2023年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学试题及参考答案一、选择题1.若3sin π=y ，则='y （）A.0B.21 C.21-D.232.数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4cos 1πn n的第5项为（）A.0B.1- C.22D.22-3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题.若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第二天比前一天多织布（）尺.A.21 B.185 C.3116 D.29164.设等比数列{}n a 的前n 项和为10，前n 2项和为60，则该数列的前n 4项和为（）A.360B.720C.1560D.18005.设曲线()*+∈=N n xy n 1在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx，则数列{}n x 的前2023项的积为（）A.20232024 B.20242023 C.20231 D.202416.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如()21011表示二进制的数，将它装换成十进制的形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制数位15111转换成十进制数的形式是（）A.2217- B.1216- C.2216- D.1215-7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()21n n a a n S +=”是“数列{}n a 为等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.现有长为89cm的铁丝，要截成n 小段()2>n ，每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（）A.8B.9C.10D.11二、选择题9.已知递增数列{}n a 满足1882=a a ，973=+a a ，则下列说法正确的是（）A.若数列{}n a 为等差数列，则914=aB.若数列{}n a 为等差数列，则911=aC.若数列{}n a 为等比数列，则1211=aD.若数列{}n a 为等比数列，则914=a 10.若()⎪⎭⎫⎝⎛'+=62cos πf x x x f ，则（）A.216-=⎪⎭⎫⎝⎛'πf B.216=⎪⎭⎫⎝⎛'πf C.2313-=⎪⎭⎫⎝⎛'πf D.2313+=⎪⎭⎫⎝⎛'πf 11.若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，65S S <，76S S =，87S S >，则下列说法正确的有（）A.公差0<dB.012>S C.59S S > D.使0<n S 的最小整数n 为1412.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的54，女生喜欢抖音的人数占女生人数的53，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）A.50B.45C.40D.35附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22()k K P ≥20.1000.0500.010k2.7063.8416.635三、填空题13.若()xx x f 2+=，则()='2f .14.一个等比数列的公比1≠q ，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比=q .15.已知数列{}n a 满足：Z a n ∈，23=a ，⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n nn nn a a a a a ,13,21，则=1a .16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足n n n S a a a 22=+，且0>n a ，则=n S ，=10a .四、解答题17.（1）求函数()xxe xf x cos =的导函数；（2）求曲线()x x x f ln 2+=在点()()11f ，处的切线方程.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①数列{}n a 是等差数列；②数列{}nS 是等差数列；③123a a=.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()i i y x ,()20,,2,1 =i ，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得80201=∑=i ix，4000201=∑=i iy，()802012=-∑=i i x x ，()80002012=-∑=i i y y ，()()700201=--∑=i i i y y x x .（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量.参考公式：相关系数：()()()()∑∑∑===----=ni ni iini i iy yx xy y x xr 11221对于一组具有线性相关关系的数据()i i y x ,()n i ,,2,1 =，其回归直线a x by ˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb121ˆ，x b y aˆˆ-=.20.已知等差数列{}n a 的公差为()0≠d d ，其前n 项和为n S ，若11010=S ，且2a 是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和n T .21.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =，122+=n n a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n n n a b a b a b 2112211-=+++ ，求{}n b 的前n 项和n T .22.已知数列{}n a 中，11=a ，点()n n a a n -+12,在直线x y =上，其中 3,2,1=n （1）令11--=+n n n a a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n b 的前n 项和n T ，是否存在实数λ，使得数列{}n n T a λ+为等差数列？若存在，试求出λ，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.C3.D4.C5.D6.D7.C8.B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给5分，部分选对的给2分,有选错的给0分.9.AC10.BC11.ABD12.AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.2-15．1或816.6(第一空3分，第二空2分)四、解答题：共70分.17.解：（1）22cos )sin (cos cos )cos (x xe x x x e x x e x x e y x x x x --=-'='2)cos sin cos (x x x x x x e x --=..................................................................5分（2）x x f y ln 1)(+='=',1)1(='=∴f k ,又2)1(=f 故切线方程为：12-=-x y ，即1+=x y ...................................................10分18解：选①②作条件证明③：..............................................................................................1分(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，............................................................3分当1n =时，()211a S a b ==+；..................................................................................4分当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；.......8分因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；.............10分所以()221n aa n =-，.....................................................................................11分所以213a a =......................................................................................................12分选①③作条件证明②：..................................................................................................1分因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，.......................................................................................3分所以()21112n n n S na d n a -=+==，.............................................8分因为)1n =+-=，.....................................................11分所以是等差数列............................................................................................12分选②③作条件证明①：.................................................................................................1分(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，..........................................................2分当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；..............................5分因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43ab =-；................7分当0b =时，()221,21n a a a an ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；.............9分当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.........11分综上可知{}n a 为等差数列...........................................................................................12分19.解：(1)由题意知，相关系数.875.087800080700)()()((20122012201==⨯=----=∑∑∑===i ii ii iiy yx x y yx x r ....................................3分因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．.....................................................................................................4分(2)由题意可得，,75.880700)()((ˆ2012201==---=∑∑==i ii ii x x y yx x b........................................6分a ^＝y －－b ^x －＝400020－8.75×8020＝200－8.75×4＝165，..........................................8分所以y ^＝8.75x ＋165...............................................................................................9分当x ＝10时，y ^＝8.75×10＋165＝252.5...............................................................11分所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．................................12分20.解：(1)根据题意，可得()()12111109101102,3a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩...............................................2分解之，得12,2a d =⎧⎨=⎩....................................................................................................4分()112,n a a n d n ∴=+-=∴数列}{n a 的通项公式为2.n a n =.......................................................................6分（2）由(1)可知，()()221,2n n n S n n +==+()1111,11n S n n n n ∴==-++..................................................................................8分11111111,223341n T n n ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++...................................................................................11分∴数列}1{nS 的前n 项和.1n n T n =+.......................................................................12分21.解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，1n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1，.......................................................2分1＝1，＝2，....................................................................................................3分因此a n ＝2n －1.....................................................................................................4分(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，当n ＝1时，b 1a 1＝12；............................................5分当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －＝12n 所以b n a n ＝12n ...................................................7分由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝2n －12n，...............................................................8分所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.......................................................9分两式相减，得12T n ＝12＋＋223＋…－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，...........................................................11分所以T n ＝3－2n ＋32n .......................................................................................12分22．解：（1）由已知得111,2,n n a a a n +==+21211,11111,a b a a ∴==--=--=-又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--...................................................2分11121111(1)1111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++------∴===------{}n b ∴数列是以1-为首项，以12为公比的等比数列...................................4分（2）由（I ）知，11111(),22n n n b --=-⨯=-..................................................5分1111,2n n n a a +-∴--=-.....................................................................................6分21011,2a a ∴--=-32111,2a a --=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅1211,2n n n a a --∴--=-将以上各式相加得：1012111(1)(),222n n a a n ----=-++⋅⋅⋅+212111142211(1)(2) 2.12212n n n na a n n n ---⋅∴=+--=+---=+--42.2n na n ∴=+-...........................................................................................8分（3）存在2λ=-，使数列{}n n a T λ+是等差数列.......................................................9分由（1）可知：121(122 2.1212nn n nT b b b --=++⋅⋅⋅+==--....................................10分422(2)22n n n n a T n λλ+=+-+-42222nn λλ+=+--........................................................................11分∴当且仅当420λ+=，即2λ=-时，数列{}n n a T λ+为等差数列.................12分。