基于非线性ECM模型的贝叶斯门限协整研究_李素芳
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* 本文获国家 自 然 科学 基金项 目 （ NSFC71031004 ，71171075 ， 70771038 ） 、 教育部长江学者和创新团队发展计划项目（ IRT0916 ） 、 2010］ 609 ） 、 教育部留学回国人员科研启动基金项目（ 教外司留［ 湖 南省研究生创新项目（ CX2011B134 ） 资助。
第 30 卷第 1 期 2013 年 1 月
统计研究 Statistical Research
Vol． 30 ，No. 1 Jan． 2013
wk.baidu.com
基于非线性 ECM 模型的贝叶斯 门限协整研究
*
李素芳
朱慧明
内容提要： 现有门限协整检验方法由于模型似然函数具有多峰 、 不连续特征， 导致冗余参数识别存在困难， 最 优化计算相对复杂。本文提出基于非线性误差修正模型的贝叶斯门限协整分析， 结合参数的后验条件分布设计 MCMC 抽样方案， 进行贝叶斯门限协整检验； 并利用 Monte Carlo 仿真研究了贝叶斯门限协整检验的有限样本性质， 发现贝叶斯门限协整检验方法具有良好的有限样本性质 。 同时， 利用不同期限的美国利率序列进行了实证研究， 3 个月与 6 个月利率之间以及 3 个月与 1 年利率之间均存在门限协整关系 。 结果发现 1 个月与 3 个月利率之间、 研究结果表明： 贝叶斯门限协整检验方法解决了冗余参数识别的难题， 使计算变得相对简单， 并提高了估计的精确 度和检验的准确性。 关键词： 门限协整； 非线性； MCMC； 贝叶斯分析； ECM 中图分类号： F222. 3 文献标识码： A 文章编号： 1002 － 4565 （ 2013 ） 01 － 0096 － 00
二、 门限协整模型
x2t ， …， x kt ） ＇之间 若要考察变量 y t 和 X t = （ x1t ， 的长期均衡关系， 通常采用基于残差的 EG 协整检 验法， 该方法一般基于变量 y t 和 X t 的如下线性回 归关系进行： y t = α＇ X t + u t （ 1）
y t 是一个 I（ 1 ） 变量， X t 是由 k 个 I （ 1 ） 变 其中， 量构成的 k 维向量， 且 X t 的各个元素之间不存在协 （ ut ， 整关系， ΔX t ' ） ' 服从广义平稳过程。 假设 u t 服 AR ， 从 过程 即：
Testing for Bayesian Threshold Cointegration in Nonlinear Error Correction Model
Li Sufang ＆ Zhu Huiming
Abstract： In the existing threshold cointegration methods， the jagged and potentially multimodal nature of the likelihood function of threshold model complicates optimization and also makes the identification of unknown nuisance parameters more difficult． This paper proposes nonlinear threshold ECM and conducts Bayesian inference． Based on the posterior conditional distributions of the parameters，MCMC samplers are designed． The finite sample property is studied via a combination of Monte Carlo simulation． Finally，through the empirical application of the US interest rates with various maturities，we find there are threshold cointegration relationships between interest rates with maturities of 1 month and 3 month， 3 month and 6 month，3 month and 1 year，respectively． Therefore，the usefulness of this Bayesian method is demonstrated． It shows that Bayesian threshold cointegration solves the problem in complicated optimization and improves the precision of cointegration test． Key words： Threshold Cointegration； Nonlinear； MCMC； Bayesian Analysis； ECM
［6 ］ ［5 ］
似然函数不可导、 二阶导不存在等问题， 使得计算变 得相对简单。因此， 从贝叶斯角度研究门限协整模 型和门限协整问题具有现实和理论意义。 近年来， Koop （ 2003 ） ［11］ 对 内 生 延 迟 门 限 自 回 归 模 型 （ Endogenous Delay Threshold Autoregressive Models， EDTAR） 进 行 了 贝 叶 斯 分 析。 Geweke 和 Terui （ 2008 ） ［12］对时间序列门限自回归模型进行了贝叶 斯推断， 得到了延迟、 门限参数和多步预测密度函数 。 ， 的后验分布 但是 贝叶斯方法在门限协整中的应 且主要是基于残差的贝叶 用目前尚处于初始阶段， 斯协整分析； 而基于残差的协整方法， 由于其检验过 程中强加了一个隐含的共同因素限制， 会导致检验 水平和检验势都受到影响。 因此， 贝叶斯门限协整 检验的研究还有待进一步完善， 以获得更有效的门 限协整检验方法， 提高检验的准确性。 本文结合贝叶斯方法和非线性 ECM 模型构建 贝叶斯门限 误 差 修 正 模 型 ， 据此研究贝叶斯门限 协整检验方法 。 通过 Monte Carlo 仿真比较分析贝 叶斯门限协整检验方法与 EG 协整检验的有限样 发现 贝 叶 斯 门 限 协 整 检 验 具 有 良 好 的 有 本性质 ， 限样本性质 。 同时 ， 结 合 MCMC 抽 样 对 不 同 期 限 的美国 利 率 序 列 进 行 贝 叶 斯 门 限 协 整 的 实 证 研 究， 验证贝叶 斯 方 法 在 门 限 协 整 检 验 应 用 中 的 可 行性与有效性 。
备择假设 H1 ： ρ ＜ 0 进行 ADF 检验， 如果不能拒绝原 yt 假设则表示 y t 和 X t 之间没有线性协整关系； 否则，
·98·
统计研究
2013 年 1 月
EG 两步检验法在检 和 X t 之间存在协整关系。但是， 容易导致 验过程中强加了一个隐含的共同因素限制， 其检验势偏低， 而利用如下 ECM 模型：
·97·
非对称特征。 门限协整主要研究经济金融变量间的非线性长 期均衡关系以及短期动态向长期均衡的非对称调 节。自 Balke 和 Fomby 提出双变量门限协整模型以 来， 门限协整的理论与应用研究受到了很多学者的 ［3 ］ 关注。Tsay （ 1998 ） 提出了一种对多变量门限模 型进行估计的方法， 并应用期货与现货价格的门限 协整模型进行了套利分析。他的这种估计方法已经 成 为 当 前 估 计 门 限 协 整 模 型 的 主 要 方 法 之 一。 Gooijer（ 2004 ） ［4］定义了三种评价预测效果的准则， 结合 Bootstrap 和 Monte Carlo 模拟， 检测了两种门限 协整模型即水平门限向量误差修正模型 （ LTVECM ） 和门限误差修正模型 （ TVECM ） 的预测效果， 发现 LTVECM 模型比 TVECM 模型和线性协整模型的预 Kapetanios 等 （ 2006 ） 测效果更好。 另一方面， 假 提出了平滑转移自回归 设协整向量已知的条件下， 模型的门限协整检验。 欧阳志刚 （ 2010 ） 则运用 完全修正最小二乘法 （ FMOLS ） 研究了平滑转移回 归 模 型 下 的 协 整 检 验。 而 刘 金 全 和 刘 志 刚 （ 2006 ） ［7］利用具有 Markov 机制转换 VECM 模型进 行检验， 发现我国经济增长率与通货膨胀率之间的 “门限性质” 。 影响与替代关系具有依赖经济周期的 在进行门限效应检验时， 门限参数在线性协整 原假设下是不可识别的， 因此， 检验统计量的渐进分 布中包 含 门 限 参 数 等 未 知 的 冗 余 参 数 。 Hansen （ 1996 ） ［8］以及 Hansen 和 Seo （ 2002 ） ［9］ 提出 SupLM 检验统计量， 解决了门限效应检验的参数识别问题 ， 并应用极大似然估计进行门限模型的参数估计 。但 是， 迄今为止， 门限模型理论与方法还很不成熟， 满 足参数可识别条件的检验统计量的统计性质还没有 得到确切的论证； Hansen 和 Seo 提出的门限模型的 参数估计方法只能应用于简单的双变量情形 ， 对于 更高维的情形则很难进行推广使用； 门限模型的似 然函数往往具有多峰、 不连续的特征， 从而导致似然 ， 函数不可导 最优化计算变得相对复杂。 利用贝叶 斯方法进行门限模型的估计和门限协整检验则避免 了以上几个方面的问题。首先， 在贝叶斯框架下， 参 数空间中即使某些点存在不可识别参数， 也并不影 响后验分布的构建 （ Bauwens，Lubrano，and Richard （ 1999 ） ［10］） ， 所以参数识别问题迎刃而解； 其次， 运 用贝叶斯方法估计门限模型不要求似然函数满足可 导的条件， 从而避免了极大似然估计中门限模型的
一、 引言
［1 ］ 协整最初由 Engle 和 Granger （ 1987 ） 教授提 出， 主要用来解释变量间的长期均衡关系 ， 其相应的
满足上述假定， 当现实经济中的变量间的关系呈现 出非线性特征时， 利用线性协整进行研究很可能得 Balke 和 Fomby （ 1997 ） ［2］ 提 出错误的结论。 因此， 出了一种非线性协整， 即门限协整， 它能够弥补线性 协整的缺陷， 有效地刻画变量之间的非线性关系和
p
Δy t = α＇ΔX t + ρu t － 1 + ∑φ i Δu t － i + ε t
i =1
（ 3）
进行的协整检验能够克服 EG 检验的缺陷， 更 准确地判断变量间的长期线性协整关系。 同样， 若 要研究变量之间的非线性协整关系， 则要考察如下 广义 ECM 模型： （ 4） Δy t = F （ u t － 1 ） + α ＇ ΔX t + ε t F（ · ） 可以取不同函数形式， 其中， 包括各种非 线性函数； 进而检验在备择假设 H1 ： ρ ＜ 0 条件下是 否存在误差修正机制的非线性调整。 特别地， 令F （· ） 是双机制或三机制广义门限自回归 （ generalized threshold autoregressive，GTAR） 函数形式：
误差修正模型 （ ECM ） 将影响因素有效地分解成长 期静态关系和短期动态关系之和， 从而能够有效地 分析变量间的动态响应及预测关系 。线性协整检验 方法通常假定长期均衡是线性的， 且向长期均衡的 调节速度是对称稳定的。 但是， 经济实践一般很难
第 30 卷第 1 期
李素芳
朱慧明： 基于非线性 ECM 模型的贝叶斯门限协整研究
p
Δu t = ρu t － 1 + ∑φ i Δu t － i + ε t
i =1
（ 2）
p 为滞后阶数， 此处， φi 是滞后系数， ε t 是均值为
2 0、 X t 是 ε t 的弱外 有限方差为 σε 的独立同分布过程， 生变量。Engle 和 Granger 提出对原假设 H0 ： ρ = 0 和
第 30 卷第 1 期 2013 年 1 月
统计研究 Statistical Research
Vol． 30 ，No. 1 Jan． 2013
wk.baidu.com
基于非线性 ECM 模型的贝叶斯 门限协整研究
*
李素芳
朱慧明
内容提要： 现有门限协整检验方法由于模型似然函数具有多峰 、 不连续特征， 导致冗余参数识别存在困难， 最 优化计算相对复杂。本文提出基于非线性误差修正模型的贝叶斯门限协整分析， 结合参数的后验条件分布设计 MCMC 抽样方案， 进行贝叶斯门限协整检验； 并利用 Monte Carlo 仿真研究了贝叶斯门限协整检验的有限样本性质， 发现贝叶斯门限协整检验方法具有良好的有限样本性质 。 同时， 利用不同期限的美国利率序列进行了实证研究， 3 个月与 6 个月利率之间以及 3 个月与 1 年利率之间均存在门限协整关系 。 结果发现 1 个月与 3 个月利率之间、 研究结果表明： 贝叶斯门限协整检验方法解决了冗余参数识别的难题， 使计算变得相对简单， 并提高了估计的精确 度和检验的准确性。 关键词： 门限协整； 非线性； MCMC； 贝叶斯分析； ECM 中图分类号： F222. 3 文献标识码： A 文章编号： 1002 － 4565 （ 2013 ） 01 － 0096 － 00
二、 门限协整模型
x2t ， …， x kt ） ＇之间 若要考察变量 y t 和 X t = （ x1t ， 的长期均衡关系， 通常采用基于残差的 EG 协整检 验法， 该方法一般基于变量 y t 和 X t 的如下线性回 归关系进行： y t = α＇ X t + u t （ 1）
y t 是一个 I（ 1 ） 变量， X t 是由 k 个 I （ 1 ） 变 其中， 量构成的 k 维向量， 且 X t 的各个元素之间不存在协 （ ut ， 整关系， ΔX t ' ） ' 服从广义平稳过程。 假设 u t 服 AR ， 从 过程 即：
Testing for Bayesian Threshold Cointegration in Nonlinear Error Correction Model
Li Sufang ＆ Zhu Huiming
Abstract： In the existing threshold cointegration methods， the jagged and potentially multimodal nature of the likelihood function of threshold model complicates optimization and also makes the identification of unknown nuisance parameters more difficult． This paper proposes nonlinear threshold ECM and conducts Bayesian inference． Based on the posterior conditional distributions of the parameters，MCMC samplers are designed． The finite sample property is studied via a combination of Monte Carlo simulation． Finally，through the empirical application of the US interest rates with various maturities，we find there are threshold cointegration relationships between interest rates with maturities of 1 month and 3 month， 3 month and 6 month，3 month and 1 year，respectively． Therefore，the usefulness of this Bayesian method is demonstrated． It shows that Bayesian threshold cointegration solves the problem in complicated optimization and improves the precision of cointegration test． Key words： Threshold Cointegration； Nonlinear； MCMC； Bayesian Analysis； ECM
［6 ］ ［5 ］
似然函数不可导、 二阶导不存在等问题， 使得计算变 得相对简单。因此， 从贝叶斯角度研究门限协整模 型和门限协整问题具有现实和理论意义。 近年来， Koop （ 2003 ） ［11］ 对 内 生 延 迟 门 限 自 回 归 模 型 （ Endogenous Delay Threshold Autoregressive Models， EDTAR） 进 行 了 贝 叶 斯 分 析。 Geweke 和 Terui （ 2008 ） ［12］对时间序列门限自回归模型进行了贝叶 斯推断， 得到了延迟、 门限参数和多步预测密度函数 。 ， 的后验分布 但是 贝叶斯方法在门限协整中的应 且主要是基于残差的贝叶 用目前尚处于初始阶段， 斯协整分析； 而基于残差的协整方法， 由于其检验过 程中强加了一个隐含的共同因素限制， 会导致检验 水平和检验势都受到影响。 因此， 贝叶斯门限协整 检验的研究还有待进一步完善， 以获得更有效的门 限协整检验方法， 提高检验的准确性。 本文结合贝叶斯方法和非线性 ECM 模型构建 贝叶斯门限 误 差 修 正 模 型 ， 据此研究贝叶斯门限 协整检验方法 。 通过 Monte Carlo 仿真比较分析贝 叶斯门限协整检验方法与 EG 协整检验的有限样 发现 贝 叶 斯 门 限 协 整 检 验 具 有 良 好 的 有 本性质 ， 限样本性质 。 同时 ， 结 合 MCMC 抽 样 对 不 同 期 限 的美国 利 率 序 列 进 行 贝 叶 斯 门 限 协 整 的 实 证 研 究， 验证贝叶 斯 方 法 在 门 限 协 整 检 验 应 用 中 的 可 行性与有效性 。
备择假设 H1 ： ρ ＜ 0 进行 ADF 检验， 如果不能拒绝原 yt 假设则表示 y t 和 X t 之间没有线性协整关系； 否则，
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统计研究
2013 年 1 月
EG 两步检验法在检 和 X t 之间存在协整关系。但是， 容易导致 验过程中强加了一个隐含的共同因素限制， 其检验势偏低， 而利用如下 ECM 模型：
·97·
非对称特征。 门限协整主要研究经济金融变量间的非线性长 期均衡关系以及短期动态向长期均衡的非对称调 节。自 Balke 和 Fomby 提出双变量门限协整模型以 来， 门限协整的理论与应用研究受到了很多学者的 ［3 ］ 关注。Tsay （ 1998 ） 提出了一种对多变量门限模 型进行估计的方法， 并应用期货与现货价格的门限 协整模型进行了套利分析。他的这种估计方法已经 成 为 当 前 估 计 门 限 协 整 模 型 的 主 要 方 法 之 一。 Gooijer（ 2004 ） ［4］定义了三种评价预测效果的准则， 结合 Bootstrap 和 Monte Carlo 模拟， 检测了两种门限 协整模型即水平门限向量误差修正模型 （ LTVECM ） 和门限误差修正模型 （ TVECM ） 的预测效果， 发现 LTVECM 模型比 TVECM 模型和线性协整模型的预 Kapetanios 等 （ 2006 ） 测效果更好。 另一方面， 假 提出了平滑转移自回归 设协整向量已知的条件下， 模型的门限协整检验。 欧阳志刚 （ 2010 ） 则运用 完全修正最小二乘法 （ FMOLS ） 研究了平滑转移回 归 模 型 下 的 协 整 检 验。 而 刘 金 全 和 刘 志 刚 （ 2006 ） ［7］利用具有 Markov 机制转换 VECM 模型进 行检验， 发现我国经济增长率与通货膨胀率之间的 “门限性质” 。 影响与替代关系具有依赖经济周期的 在进行门限效应检验时， 门限参数在线性协整 原假设下是不可识别的， 因此， 检验统计量的渐进分 布中包 含 门 限 参 数 等 未 知 的 冗 余 参 数 。 Hansen （ 1996 ） ［8］以及 Hansen 和 Seo （ 2002 ） ［9］ 提出 SupLM 检验统计量， 解决了门限效应检验的参数识别问题 ， 并应用极大似然估计进行门限模型的参数估计 。但 是， 迄今为止， 门限模型理论与方法还很不成熟， 满 足参数可识别条件的检验统计量的统计性质还没有 得到确切的论证； Hansen 和 Seo 提出的门限模型的 参数估计方法只能应用于简单的双变量情形 ， 对于 更高维的情形则很难进行推广使用； 门限模型的似 然函数往往具有多峰、 不连续的特征， 从而导致似然 ， 函数不可导 最优化计算变得相对复杂。 利用贝叶 斯方法进行门限模型的估计和门限协整检验则避免 了以上几个方面的问题。首先， 在贝叶斯框架下， 参 数空间中即使某些点存在不可识别参数， 也并不影 响后验分布的构建 （ Bauwens，Lubrano，and Richard （ 1999 ） ［10］） ， 所以参数识别问题迎刃而解； 其次， 运 用贝叶斯方法估计门限模型不要求似然函数满足可 导的条件， 从而避免了极大似然估计中门限模型的
一、 引言
［1 ］ 协整最初由 Engle 和 Granger （ 1987 ） 教授提 出， 主要用来解释变量间的长期均衡关系 ， 其相应的
满足上述假定， 当现实经济中的变量间的关系呈现 出非线性特征时， 利用线性协整进行研究很可能得 Balke 和 Fomby （ 1997 ） ［2］ 提 出错误的结论。 因此， 出了一种非线性协整， 即门限协整， 它能够弥补线性 协整的缺陷， 有效地刻画变量之间的非线性关系和
p
Δy t = α＇ΔX t + ρu t － 1 + ∑φ i Δu t － i + ε t
i =1
（ 3）
进行的协整检验能够克服 EG 检验的缺陷， 更 准确地判断变量间的长期线性协整关系。 同样， 若 要研究变量之间的非线性协整关系， 则要考察如下 广义 ECM 模型： （ 4） Δy t = F （ u t － 1 ） + α ＇ ΔX t + ε t F（ · ） 可以取不同函数形式， 其中， 包括各种非 线性函数； 进而检验在备择假设 H1 ： ρ ＜ 0 条件下是 否存在误差修正机制的非线性调整。 特别地， 令F （· ） 是双机制或三机制广义门限自回归 （ generalized threshold autoregressive，GTAR） 函数形式：
误差修正模型 （ ECM ） 将影响因素有效地分解成长 期静态关系和短期动态关系之和， 从而能够有效地 分析变量间的动态响应及预测关系 。线性协整检验 方法通常假定长期均衡是线性的， 且向长期均衡的 调节速度是对称稳定的。 但是， 经济实践一般很难
第 30 卷第 1 期
李素芳
朱慧明： 基于非线性 ECM 模型的贝叶斯门限协整研究
p
Δu t = ρu t － 1 + ∑φ i Δu t － i + ε t
i =1
（ 2）
p 为滞后阶数， 此处， φi 是滞后系数， ε t 是均值为
2 0、 X t 是 ε t 的弱外 有限方差为 σε 的独立同分布过程， 生变量。Engle 和 Granger 提出对原假设 H0 ： ρ = 0 和