19版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标20三角函数的图象与性质

第20讲 三角函数的图象与性质
[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．
一、选择题 1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( C ) A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6
B ．{|x k π－π6≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z
C ．{|x 2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z
D ．R
解析 ∵cos x －
32≥0，得cos x ≥3
2
， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z .
2．(2018·浙江温州模拟)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A ) A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移 π
12
个单位
D ．向左平移π
4
个单位
解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象.
3．(2018·辽宁营口模拟)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所
得图象对应的函数( B )
A ．在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递减
B ．在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递增
C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减
D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －
2π3≤2k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k
∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B ．
4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( D )
A ．1
B ．1
2 C ．
2
2
D ．
32
解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ).
将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12
.
又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，
∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选D ．
5．(2018·河南郑州模拟)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π
6对称，则
|φ|的最小值为( A )
A ．π
6
B ．π
4
C ．π
3
D ．π2
解析 由题意，得sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2×π
6＋φ
＝±1．
所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6
.
6．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π8＝2，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( A )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
解析 由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，
① 由f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z )， ②
由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )，又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝2
3，
又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π
12
，A 项符合.
二、填空题
7．(2018·天津模拟)函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是 2 .
解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.根据正弦曲线，得当2x －π4＝－
π4时，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值为－22.
故f (x )＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为22.
8．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos (x ＋φ)的最大值为 1 . 解析 f (x )＝sin ［(x ＋φ)＋φ］－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ， 因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1．
9．把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x －12图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，
得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为！！！
π
12
###. 解析 把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图
象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.
解析 (1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，
故ω＝1．
(2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4
.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π
2
时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，
在区间⎝
⎛⎦
⎥⎤π8，π2上单调递减.
11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间.
解析 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π
4，
又－π<φ<0，所以k ＝－1，则φ＝－3π
4.
(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π
2＋2k π，k ∈Z .
可解得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z ，
因此y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .
12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4，0对称.
(1)求ω，φ的值； (2)求f (x )的单调递增区间；
(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4
，π2，求f (x )的最大值与最小值，
解析 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，且
0≤φ≤π，则φ＝π
2
，即f (x )＝cos ωx .
因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋m π，m ∈Z ，ω＝23＋4m
3，
又0<ω<1，所以ω＝2
3
.
(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π，且 k ∈Z 得，3k π－
3π
2≤x ≤3k π，k ∈Z ，
所以函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .
(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，
当2
3x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π
4
，函数f (x )的最小值为0.。