2013-2014学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试卷和解析

2013-2014学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（5.00分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．3．（5.00分）函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．（5.00分）下列函数在区间（0，+∞）是增函数的是（）A．B．C．y=x2﹣x+1 D．y=ln（x+1）5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（）A．B．C．2 D．47．（5.00分）定义一种运算，则函数f（x）=（2x*2﹣x）的值域为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）8．（5.00分）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（）A． B． C． D．9．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．10．（5.00分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）函数的定义域是．12．（4.00分）计算：=．13．（4.00分）已知向量满足，且它们的夹角为60°，则=．14．（4.00分）tanθ=2，则=．15．（4.00分）函数的值域为．16．（4.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=．17．（4.00分）若函数对于R上的任意x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14.00分）已知．求sinαcosα和tanα的值．19．（14.00分）函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a=1时，求y=f（2x）在区间[﹣1，1]上的值域．20．（14.00分）已知点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，）一个周期内图象上的两点，函数f（x）的图象与y轴交于点P，满足．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数在区间[0，6]内的零点．21．（15.00分）已知向量（t为实数）．（Ⅰ）t=1时，若，求tanα；（Ⅱ）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．22．（15.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣（a∈R）．（Ⅰ）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调性并用定义证明；（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在区间x∈[1，4]的最大值的表达式M（a）．2013-2014学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，5}，∴A∩B={2}．故选：A．2．（5.00分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．3．（5.00分）函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【解答】解：∵ω=2，∴函数的周期T=．∵y=sin（2x+π）=﹣sin2x，∴函数y=sin（2x+π）为奇函数，故函数y=sin（2x+π）是周期为π的奇函数，故选：A．4．（5.00分）下列函数在区间（0，+∞）是增函数的是（）A．B．C．y=x2﹣x+1 D．y=ln（x+1）【解答】解：A中，在（1，+∞）和（﹣∞，1）上递减，故在（0，+∞）上不单调，排除A；B中，﹣1在R上单调递减，故排除B；C中，y=x2﹣x+1在（﹣]上递减，[，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除C；D中，y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也递增，故选：D．5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由分段函数可知，f（﹣1）=，f（）==﹣2，故选：D．6．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（）A．B．C．2 D．4【解答】解：因为函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）=a2﹣1+log a2；最小值为f（1）=a1﹣1+log a1，函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）=a1﹣1+log a1，最小值为f（2）=a2﹣1+log a2；故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）=a+log a2+1+log a1=a．∴log a2=﹣1⇒a=．故选：A．7．（5.00分）定义一种运算，则函数f（x）=（2x*2﹣x）的值域为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：∵，∴函数f（x）=（2x*2﹣x）=，∴又当x≤0时，0＜f（x）=2x≤1，当x＞0时，0＜f（x）=2﹣x≤1，∴f（x）的值域为（0，1]．故选：B．8．（5.00分）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，设，则=∴，∴=故选：B．9．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到的函数解析式为y=cos[2（x+φ）]=cos（2x+2φ），∵所得图象关于y轴对称，∴y=cos（2x+2φ）为偶函数，则2φ=kπ，k∈Z．即φ=，k∈Z．∵φ＞0，∴k=﹣1时，φ有最小值为．故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=﹣1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）函数的定义域是．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，∴函数的定义域为（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．12．（4.00分）计算：=﹣1．【解答】解：=lg（）﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4.00分）已知向量满足，且它们的夹角为60°，则=．【解答】解：由题意可得=====故答案为：14．（4.00分）tanθ=2，则=﹣2．【解答】解：∵sin（）=cosθ，cos（π﹣θ）=﹣cosθ，sin（π﹣θ）=sinθ∴原式=====﹣2故答案为：﹣215．（4.00分）函数的值域为[﹣1，2] ．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴y=2cos（2x+）先递增，再递减；当2x+=0，即x=﹣时，y取得最大值2，当2x+=﹣，即x=﹣时，y=，当2x+=，即x=时，y=﹣1，∴y有最小值﹣1；∴函数的值域是[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．16．（4.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=﹣7．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，b=﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22﹣4﹣（﹣1）=﹣7．故答案为：﹣7．17．（4.00分）若函数对于R上的任意x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[4，8）．【解答】解：∵对于R上的任意x1≠x2都有，则函数f（x）单调递增，∵函数，∴，即，∴4≤a＜8，故答案为：[4，8）．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14.00分）已知．求sinαcosα和tanα的值．【解答】解：由（sinα﹣cosα）2=，得1﹣2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣；又=﹣，即=﹣，整理得：tanα+=﹣，即12tan2α+25tanα+12=0，分解因式得：（4tanα+3）（3tanα+4）=0，解得：tanα=﹣或tanα=﹣．19．（14.00分）函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a=1时，求y=f（2x）在区间[﹣1，1]上的值域．【解答】解：（I）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=x2﹣（a﹣4）x+4﹣2a=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．即﹣（a﹣4）=a﹣4，解得a=4；（II）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+2，令，则y=f（2x）=f（t）=t2﹣3t+2=（t﹣）2，∴函数的值域为．20．（14.00分）已知点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，）一个周期内图象上的两点，函数f（x）的图象与y轴交于点P，满足．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数在区间[0，6]内的零点．【解答】解：（I）∵点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）一个周期内图象上的两点，∴，，；由f（1）=A，得，∴sin（φ）=1，又φ，∴；又，∴，∴，由，得，∴A=2．∴；（II）∵x∈[0，6]，∴，∴，由y=0，得，∴或，得或．∴函数在区间[0，6]内的零点为，．21．（15.00分）已知向量（t为实数）．（Ⅰ）t=1时，若，求tanα；（Ⅱ）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．【解答】解：（I）∵t=1，∴，∵，∴cosα（2﹣sinα）﹣sinα（1﹣cosα）=0，化为2cosα=sinα，可得tanα=2；（II）时，，当时，，此时，在方向上的投影．22．（15.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣（a∈R）．（Ⅰ）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调性并用定义证明；（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在区间x∈[1，4]的最大值的表达式M（a）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣，∴h（x）=f（x）﹣g（x）=x+，设x1，x2∈[1，4]，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵x1，x2∈[1，4]，且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调递增，（Ⅱ）∵F（x）=|f（x）|+g（x）=|x﹣a|+a﹣，当a≤0时，F（x）=x﹣，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=，当a≥4时，F（x）=2a﹣（x+），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a﹣2，当0＜a＜4时①a≤x≤4时，F（x）=x﹣，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=，②1≤x＜a时，F（x）=2a﹣（x+），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a﹣2，M（a）=，当2a﹣2=时，a=，∴M （a ）=。