百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第六模拟) Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 文科数学含精品解析
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷文 科 数 学注意事项:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知a ∈R ,ia 的值为( ) A .1- B .0C .1D .2【答案】C【解析】则10a -=,即1a =,故选C . 2,则sin 2a 的值为()ABC.9D.9【答案】A【解析】 又因为sin 0α<,所以A . 3.某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了下图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[]17530.,,样本数据分组为[]17520.,,(]20225,.,(]22525.,,(]25275,.,(]27530.,.根据直方图,这320名学生中每周的自习时间不足225.小时的人数是( ) A .68 B .72C .76D .80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得,320名学生中每周的自习时间不足225.小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=...人.选B .4.正方形ABCD 中,点E ,F 分别是DC ,BC 的中点,那么EF =( )A .11+22AB ADB .1122AB AD --C .1122AB AD -+D .1122AB AD - 【答案】 D【解析】因为点E 是CD 的中点,所以12EC AB =,点F 是BC 的中点,所以1122CF CB AD ==-, 所以1122EF EC CF AB AD =+=-,故选D . 5.已知双曲线()222210,0x ya b a b-=>>F ,过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ,N ,若O M N △的面积为20,其中O 是坐标原点,则该双曲线的标准方程为( )A .22128x y -=B .22148x y -=C .22182x y -=D .22184x y -=此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A 【解析】由c a=225c a =,∴2225a b a +=,故224ba =.∴双曲线的渐近线方程为2y x =±,由题意得(),2M c c -,(),2N c c --, ∴14202OMN S c c =⋅⋅=△,解得210c =,∴22a =,28b =, ∴双曲线的方程为22128x y -=.选A . 6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .42π+B .26π+C .4π+D .24π+【答案】D【解析】由三视图可得,该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示), 其体积2π21224πV =⨯+⨯=+.7.执行如下图的程序框图,若输入a 的值为2,则输出S 的值为( )A .3.2B .3.6C .3.9D .4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得 ①1k =,2122S =+=,不满足条件,继续运行; ②2k =,282=33S =+,不满足条件,继续运行; ③3k =,8219+=346S =,不满足条件,继续运行; ④4k =,1921076530S =+=,不满足条件,继续运行; ⑤=5k ,1072117=+==3930630S .,满足条件,停止运行,输出=39S ..选C . 8.函数3y =)A .B .C .D .【答案】A【解析】由题意,函数满足()()33x f x f x --===-,所以函数()f x 为奇函数,图象关于原点对称,排除C ,又由102f ⎛⎫<⎪⎝⎭且()20f >,排除B 、D ,故选A . 9.已知函数()()πcos 20,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π,将其图象向右平移π6个单位后得函数()cos2g x x =的图象,则函数()f x 的图象( )A .关于直线2π3x =对称 B .关于直线π6x =对称 C .关于点2π03⎛⎫- ⎪⎝⎭,对称 D .关于点5π012⎛⎫-⎪⎝⎭,对称 【答案】D【解析】由题意得2ππ2ω=,故1ω=,∴()()cos 2f x x ϕ=+, ∴()ππcos 2cos 2cos 263g x x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,∴π3ϕ=,∴()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵2π2ππ5π1cos 2cos 133332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,πππ2π1cos 2cos 166332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴选项A ,B 不正确. 又()2π2ππcos 2cos π10333f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=-≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 5π5πππcos 2cos 0121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴选项C 不正确,选项D 正确.选D .10.若m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,①m n ∥,m α⊥n α⇒⊥;②αβ∥,m α⊂,n β⊂//m n ⇒; ③αβ∥,m n ∥,m α⊥n β⇒⊥;④若m αγ=,n βγ=,m n ∥,则αβ∥;则以上说法中正确的有( )个. A .1 B .2C .3D .4【答案】B【解析】由m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知:对于①,m n ∥,m α⊥,由线面垂直的判定定理得n α⊥,故①正确;对于②,αβ∥,m α⊂,n β⊂,则m 与n 平行或异面,故②错误;对于③,αβ∥,m n ∥,m α⊥,由线面垂直的判定定理得n β⊥,故③正确;对于④,若m αγ=,n βγ=,m n ∥,则α与β相交或平行,故④错误.故选B .11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为B ,1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点,且1F AB △的面积为22-,点P 为椭圆上的任意一点,则1211PF PF +的取值范围为( ) A .[]12,B.C .⎤⎦D .[]14,【答案】D【解析】由已知得22b =,故1b =;∵1F AB △的面积为22-∴()12ac b -=,∴2a c -=-()()2221a c a c a c b -=-+==,∴2a =,c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+,又122PF ≤≤,∴211144PFPF ≤-+≤,∴121114PF PF ≤+≤.即1211PF PF +的取值范围为[]14,.选D . 12.已知函数()()()211e 2x f x ax x a =--∈R 若对区间[]01,内的任意实数1x、2x 、3x ,都有()()()123f x f x f x +≥,则实数a 的取值范围是( )A .[]1,2B .[]e,4C .[]1,4D .[)[]1,2e,4【答案】C【解析】由题得()()()e 1e e e x x x xf x ax x ax x x a '⎡⎤=-+-=-=-⎣⎦, 当1a <时,()0f x '<,所以函数()f x 在[]0,1单调递减,因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ,都有()()()123f x f x f x +≥,所以()()()110f f f +≥,所以11122a a +≥,故1a ≥,与1a <矛盾,故1a <不成立. 当1e a ≤<时,函数()f x 在[]0,ln a 单调递增,在(]ln ,1a 单调递减.所以()()2max 1ln ln ln 2f x f a a a a a a ==-+, 因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ,都有()()()123f x f x f x +≥,所以()()()01ln f f f a +≥,所以2111ln ln 22a a a a a a +≥-+,即211ln ln 1022a a a a a -+-≤, 令()211ln ln 122g a a a a a a =-+-,()1e a ≤<,所以()()21ln 102g a a '=-<,所以函数()g a 在()1,e 上单调递减,所以()()max 10ga g ==,所以当1e a ≤<时,满足题意.当e a ≥时,函数()f x 在()0,1单调递增,因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ,都有()()()123f x f x f x +≥,所以()()()001f f f+≥,故1112a +≥,所以4a ≤,故e 4a ≤≤;综上所述,[]1,4a ∈;故选C .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷1,参考解析)
高考衣食住用行衣:高考前这段时间,提醒同学们出门一定要看天气,否则淋雨感冒,就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服,可以让人在紧张时产生亲切感和安全感,并能有效防止不良情绪产生。
食:清淡的饮食最适合考试,切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话,每天吃一两个水果,补充维生素。
另外,进考场前一定要少喝水!住:考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉,根据以往考生的经验,太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了,但最迟不要超过十点半。
用:出门考试之前,一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全,应该带的证件是否都在,不要到了考场才想起来有什么工具没带,或者什么工具用着不顺手。
行:看考场的时候同学们要多留心,要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车?有几种方式可以到达?大概要花多长时间?去考场的路上有没有修路堵车的情况?考试当天,应该保证至少提前20分钟到达考场。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页,满分150分。
考生注意:1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B .A I B =∅C .A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D .A U B=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <,所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<,选A. 2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值D .x 1,x 2,…,x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A .i(1+i)2 B .i 2(1-i) C .(1+i)2 D .i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C.4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8C .12D .π 4【答案】B5.已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF 的面积为A.13B.12C.23D.32【答案】D【解析】由2224c a b=+=得2c=,所以(2,0)F,将2x=代入2213yx-=,得3y=±,所以3PF=,又A的坐标是(1,3),故APF的面积为133(21)22⨯⨯-=,选D.6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是【答案】A【解析】由B,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;由C,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;由D,AB ∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.故A不满足,选A.7.设x,y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】如图,目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大,故max 303z =+=,故选D.8..函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为【答案】C【解析】由题意知,函数sin 21cos xy x=-为奇函数,故排除B ;当x π=时,0y =,排除D ;当1x =时,sin 201cos 2y =>-,排除A.故选C.9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则 A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .y =()f x 的图像关于直线x =1对称D .y =()f x 的图像关于点(1,0)对称【答案】C10.如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1000和n =n +1B .A >1000和n =n +2C .A ≤1000和n =n +1D .A ≤1000和n =n +2【答案】D【解析】由题意选择321000n n->,则判定框内填1000A ≤,由因为选择偶数,所以矩形框内填2n n =+,故选D.11.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2017届高三最后一考试卷
2017年高考模拟试卷数学卷1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题:1、已知集合{}(){}02ln |,086|2>-=<+-=x x B x x x A ,则=⋂B A ( )A 、()4,3B 、()3,2C 、(]3,2D 、()+∞,22、已知复数z 满足()521=+⋅i z ,则=z ( )A 、3B 、3C 、5D 、53、已知θ是ABC ∆的一个内角,2cos 1cos :,20:>+<<θθπθq p ,则p 是q 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、函数x x x y sin cos -=的图像大致为( )5、若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤-+0420601223y x y x y x ,则31+-x y 的最大值为( )A 、7B 、37 C 、35 D 、16、在一次公益活动中,某学校需要安排五名学生去甲乙丙丁四个地点进行活动,每个地点至少安排一个学生且每个学生只能安排一个地点,甲地受地方限制只能安排一人,A 同学因离乙地较远而不安排去乙地,则不同的分配方案的种数为( ) A 、96 B 、120 C 、132 D 、2407、已知2()3,f x x x =+若||1x a -≤,则下列不等式一定成立的是( )A .|()()|3||3f x f a a -≤+B .|()()|2||4f x f a a -≤+C .|()()|||5f x f a a -≤+D .2|()()|2(||1)f x f a a -≤+ 843==,向量()+=--的最大值是( )A 、5B 、25C 、10D 、2109、已知1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点,过点1F 作直线l 切圆222()x c y r -+=于点P ,l 分别交Γ右支于A 、B 两点(A 、B 位于线段1F P 上),若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率的值为( )A .5 B.5C. D. 10、已知()()21-=x kx x f ,()1-=x x g ,若()x f y =与()x g y =的函数图像有四个不同的交点,则四个交点的横坐标之和的范围为A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+225,2 B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+225,3C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224,2 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2225,3非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7 小题,多空题每小题6 分,单空题每小题4分,共36分。
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第四模拟) Word版含解析
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第四模拟)一、选择题:共12题1.已知=1+n i,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+n i=A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】C【解析】本题考查复数的运算、复数相等的定义等,属于基础题.将已知化简可得m=(1+n)+(n-1)i,或直接将等式左边的复数标准化,利用复数相等可得答案.通解由已知可得m=(1+n i)(1-i)=(1+n)+(n-1)i,因为m,n是实数,所以,故,即m+n i=2+i,故选C. 优解+i=1+n i,故,即,故m+n i=2+i.2.若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},则M∩P=A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}【答案】C【解析】本题考查集合的运算及函数的值域,属于基础题.先求得集合M,P,然后利用交集的定义求解.因为集合M={y|y>0},P={y|y≥0},所以M∩P={y|y>0},故选C.3.已知命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0,则¬p为A.∀x∈R,x2+5x+8<0B.∃x0∈R,+5x0+8≤0C.∃x0∈R,+5x0+8<0D.∀x∈R,x2+5x+8≤0【答案】B【解析】本题考查特称命题与全称命题、命题的否定等知识,意在考查考生对基础知识的掌握情况.由全称命题的否定为特称命题可知,命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0的否定为:∃x0∈R,+5x0+8≤0,故选B.4.从自然数1,2,3,4,5中任意取出两个数组成两位的自然数,则在两位自然数中个位数字与十位数字恰好是相邻数字的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查古典概型的相关知识,考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况. 从自然数1,2,3,4,5中任意取出两个数组成两位的自然数,有12,21,13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54,共20种情况,记“在两位自然数中个位数字与十位数字恰好是相邻数字”为事件A,则事件A所包含的情况有12,21,23,32,34,43,45,54,共8种情况,所以所求概率为P(A)=,故选A.5.已知有限等差数列{a n}共9项,其中前4项的和为3,后3项的和为4,则第5项为A. B. C. D.1【答案】A【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,意在考查考生的理解能力与运算求解能力.设等差数列{a n}的公差为d,则由题意可知,解得a1=,d=,∴a5=+4×,故选A.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,设a=f(-),b=f(-),c=f(),则a,b,c 的大小关系是A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用.由已知得函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,而a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),c=f(),所以只需比较,,的大小即可.∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),又c=f(),且0<,∴c>a>b,故选B.7.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.8-log38B.9-log38C.8-log340D.10-log340【答案】B【解析】本题考查程序框图的理解与应用,考查考生的运算求解能力.依次执行程序即可确定输出的S的值.运行该程序,S=10+sin+lo1=11,n=2;S=11+sin π+lo2=11+lo2,n=3;S=11+lo2+sin+lo3=10+lo6,n=4;S=10+lo6+sin 2π+lo4=10+lo24=9+lo8,n=5.故输出的S=9-log38,故选B.8.已知实数x,y满足则当2x-y取得最小值时,x2+y2的值为A.13B.C.5D.9【答案】C【解析】本题主要考查线性规划的知识,意在考查考生的作图与用图能力、运算求解能力.通解由题意作出所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,作出直线2x-y=0并进行平移,可知当经过点A(1,2)时,2x-y取得最小值,此时x2+y2的值为5.优解由可得平面区域的顶点坐标分别为A(1,2),C(2,3),B(,),分别代入2x-y,可知在点A(1,2)处,2x-y取得最小值,此时x2+y2的值为5.9.设函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<)的图象关于直线x=0对称,则y=f(x)在[,]上的值域为A.[-,0] B.[-2,0] C.(-,0) D.(-2,0)【答案】A【解析】本题考查函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象与性质.根据其图象关于直线x=0对称以及φ的范围,可得φ=,即可求解.由题意得函数f(x)=2sin(2x++φ),因为其图象关于直线x=0对称,所以2×0++φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,f(x)=2sin(2x++)=2cos 2x.当≤x≤时,≤2x≤,所以y=f(x)在[,]上的值域为[-,0].10.若某几何体的正视图和俯视图(正六边形)如图所示,则该几何体的体积是A.+πB.3+πC.9+πD.3+π【答案】C【解析】本题考查三视图和简单组合体的体积,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知,该几何体是一个上面是一个圆柱,下面是一个正六棱柱的组合体,进而利用圆柱、六棱柱的体积计算公式求解.由三视图可知,该几何体是一个简单组合体,上面是一个圆柱,圆柱的底面直径是,高是2,故圆柱的体积是π×()2×2=π,下面是一个正六棱柱,六棱柱的高是,底面是边长是2的正六边形,故六棱柱的体积是6××2×2×=9,因此该几何体的体积是9+π.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F1(-2,0),双曲线的离心率为2,经过F2的直线l的斜率为-m,直线l与双曲线的右支交于不同的两点A,B,若∠AOB(O为坐标原点)不是锐角,则实数m的取值范围为A.(-∞,-]∪[,+∞)B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-∞,-]∪[,+∞)【答案】C【解析】本题考查双曲线的方程、几何性质,直线与双曲线的位置关系,考查考生的运算求解能力和数形结合能力,属于较难题.因为F1(-2,0),双曲线的离心率为2,所以c=2,a=1,b2=c2-a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-=1.因为经过F2的直线l的斜率为-m,所以直线l的方程为y=-m(x-2),将其与双曲线的标准方程联立,化简整理得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0,由Δ>0,得4m4+(3-m2)(4m2+3)>0,即m2+1>0恒成立.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2>0,x1x2>0,即>0,>0,所以m2>3.因为∠AOB不是锐角,所以·≤0,即x1x2+y1y2≤0,又y1y2=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2≤0,整理得-5m2+3≤0,解得m2≥.综上,m2>3,即实数m的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).12.已知数列{a n}满足a1=1,a n=log n(n+1)(n≥2,n∈N*),令T k=a1·a2·…·a k,则当k∈[1,2 016]时,T k 的整数值的个数为A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】本题考查对数运算、累乘法等知识,其综合性、技巧性较强,属于中高档题.解题时首先运用对数换底公式将已知通项公式化为a n=,然后运用累乘法把乘积a1·a2·…·a k化为log2(k+1),最后根据T k为整数需满足的条件,得到k=2m-1,进而求出T k的整数值个数.因为a n=log n(n+1)=(n≥2,n∈N*),所以T k=a1·a2·…·a k=1××…×=log2(k+1).又T k为整数,所以k+1必须是2的m次幂(m∈N*),即k=2m-1,又k∈[1,2 016],所以1≤2m-1≤2 016,解得1≤m≤10,故T k的整数值共有10个.二、填空题:共4题13.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质,考查考生的数形结合能力与简单的运算能力.解题的关键是由抛物线的定义得方程.设该点的横坐标为x0,则由抛物线的定义得x0+=2x0,解得x0=.14.已知点A(-1,0),B(3,2),向量a=,a+2b=(4,5),则b=.【答案】(1,2)【解析】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.由题意得,向量a==(2,1),又a+2b=(4,5),则2b=(2,4),所以b=(1,2).15.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是.【答案】18【解析】根据已知可得球的半径等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,即底面三角形的高等于3,边长等于2,所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2+2××2×3=18.16.设函数f(x)=e x+(x≠0,m≠0)在x=1处的切线与(e-1)x-y+2 016=0平行,kf(s)≥t ln t+1在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,则实数k的取值范围为.【答案】[,+∞)【解析】本题考查导数在解决函数性质与不等式恒成立问题中的应用,考查考生综合分析问题与解决问题的能力、等价转化能力及计算能力.由题意可得f'(1)=e-m=e-1,所以m=1.当s∈(0,+∞),t∈(1,e]时,f(s)>0,g(t)=t ln t+1>0 ,由kf(s)≥t ln t+1可得k≥在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,即k≥[]max,故只需求出f(x)在(0,+∞)上的最小值和g(x)在(1,e]上的最大值即可.由f(x)=e x+可得f'(x)=e-.由f'(x)>0可得x>或x<-,由f'(x)<0可得-<x<0或0<x<, 所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,0),(0,)上单调递减,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=2.由g(x)=x ln x+1可得g'(x)=ln x+1>0在(1,e]上恒成立,所以g(x)在(1,e]上的最大值为g(e)=eln e+1=e+1,所以k≥,所以实数k的取值范围是[,+∞).三、解答题:共8题17.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2c sin.(1)求角C的大小;(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a+b的值.【答案】(1)由题意得=sin A,由正弦定理得=sin A,又sin A≠0,∴sin C=,又0°<C<90°,∴C=60°.(2)∵S△ABC=ab sin60°=,∴ab=4.又c=2,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°,即4=a2+b2-2ab·,即4=(a+b)2-2ab-ab,∴(a+b)2=4+3ab=16,∴a+b=4 .【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识,考查考生对基础知识的掌握情况与计算能力,属于基础题.(1)由正弦定理化简a=2c sin A,从而得到角C的大小;(2)由余弦定理得到关于a,b的方程,由三角形面积公式得到关于a,b的方程,进而求解a+b的值.【备注】解决此类问题的关键在于能够正确地使用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式等,往往还会涉及最值或者是取值范围的求解,如本题中需要利用面积公式S△ABC=ab sin 60°与余弦定理,得到ab和a+b的关系.18.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)求多面体ABCDEF的体积.【答案】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)取AC的中点H,连接DH,由题意知DH⊥AC,∴DH⊥平面ACFE,且DH=,故V多面体ABCDEF=V B-ACFE+V D-ACFE=(DH+BC)·S矩形ACFE=(+1)×1×.【解析】本题考查直线与平面垂直的证明、多面体体积的求法等知识,考查考生的空间想象能力.对于(1),先证明BC⊥AC,由此即可证明BC⊥平面ACFE;对于(2),先把多面体分解成四棱锥B-ACFE和D-ACFE,分别求出两个四棱锥的体积,再求和即可.【备注】证明线面垂直的关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定定理与性质定理,注意平面图形中一些线线垂直关系的灵活运用,由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程应围绕着线面垂直这个核心展开,这是求解空间垂直关系的关键.求锥体体积的关键在于确定其高,即确定线面垂直.19.退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,按1%的比例从年龄在20~80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)岁的人为“中年人”, [60,80]岁的人为“老年人”.(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数,若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)根据频率分布直方图估计该城市“中年人”的概率,你认为20年后该城市老龄化严重吗? 【答案】(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0.01+0.01)×10=0.2,故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0.2=120,故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%=12 000.所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁).(2)根据频率分布直方图可估计该城市“中年人”的概率为0.03×10+0.02×10=0.5,20年之后这批“中年人”将变成“老年人”,从而使“老年人”的概率明显增大,所以20年后该城市人口老龄化较严重.【解析】本题考查频率分布直方图及其应用,考查考生的数据处理能力、运算求解能力和应用意识.对于(1),从频率分布直方图可求出该城市60岁以上(含60岁)的人数,平均年龄等于频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和;对于(2),根据小长方形的面积等于频率得到“中年人”的概率,分析可知20年之后这批“中年人”将变成“老年人”,从而使“老年人”的概率明显增大,故人口老龄化较严重.【备注】解决有关频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的关系,这些数据中,比较明显的有组距、,隐含的有频率(小长方形的面积),注意小长方形的高是,而不是频率.解题时要注意合理使用这些数据,同时要注意两个等量关系:(1)小长方形的面积等于频率,且小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1;(2)频率分布直方图中,中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.20.已知圆O:x2+y2=25,圆O1的圆心为O1(m,0)(m≠0),且与圆O交于点P(3,4),过点P且斜率为k(k≠0)的直线l分别交圆O,O1于点A,.(1)若k=1,且|BP|=7,求圆O1的方程;(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,.当m为常数时,试判断|AB|2+|CD|2是否为定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由.【答案】(1)当k=1时,直线l:y-4=x-3,即x-y+1=0,由题意得()2+()2=(m-3)2+42,整理得m2-14m=0,解得m=14或m=0(舍去),所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).直线l:y-4=k(x-3),即y=kx-(3k-4),由,消去y得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0,由一元二次方程根与系数的关系,得3·x1=,所以x1=.由消去y得,(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0,由一元二次方程根与系数的关系,得3·x2=,所以x2=.所以x1-x2=-.|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)·()2=.同理可得,|CD|2=,所以|AB|2+|CD|2=+=4m2为定值.【解析】无21.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+bx(a≠0).(1)若当a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,求实数b的取值范围;(2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x+b e x,x∈[0,ln 2],求函数φ(x)的最小值.【答案】(1)依题意h(x)=ln x+x2-bx.∵h(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数,∴h'(x)=+2x-b≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴b≤+2x在(0,+∞)上恒成立.∵x>0,∴+2x≥2,当且仅当=2x,即x=时等号成立.∴b的取值范围为(-∞,2].(2)设t=e x,则函数φ(x)可化为y=t2+bt,t∈[1,2],即y=(t+)2-,∴当-≤1,即-2≤b≤2时,函数y=t2+bt在[1,2]上为增函数,当t=1时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=b+1.当1<-<2,即-4<b<-2时,当t=-时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=-.当-≥2,即b≤-4时,函数y=t2+bt在[1,2]上为减函数,当t=2时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=4+2b.综上所述,当-2≤b≤2时,φ(x)的最小值为b+1;当-4<b<-2时,φ(x)的最小值为-;当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.对于(1),根据函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,知h'(x)在其定义域上大于等于零,得到一个关于b的不等式,解此不等式即得b的取值范围;(2)先设t=e x,将函数φ(x)化为关于t的二次函数,再将函数φ(x)的最小值问题转化成二次函数在闭区间上的最值问题即可.【备注】对于导数、函数、不等式相结合的综合题,解答的第一步是求函数f(x)的导函数f'(x),然后根据不同的问题进行求解.(1)若解决切线问题,将切点的横坐标代入f'(x)得切线的斜率;(2)若解决单调性、极值(最值)问题,由f'(x)≥0或f'(x)≤0确定其单调区间,再处理相关问题;(3)若解决与不等式相关的问题,则通常需要构造新函数,并利用导数研究其性质.22.在△ABC中,已知AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E,延长AD交BC的延长线于.(1)求证:∠CDF=∠EDF;(2)求证:AB·AC·DF=AD·FC·F.【答案】(1)∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CDF=∠ABC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∠ADB=∠ACB,∴∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF.(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,又∠BAD=∠FAB,∴△BAD∽△FAB,∴,∴AB2=AD·AF.又AB=AC,∴AB·AC=AD·AF,∴AB·AC·DF=AD·AF·DF.根据割线定理得DF·AF=FC·FB,∴AB·AC·DF=AD·FC·FB.【解析】本题考查圆周角定理、割线定理、三角形相似等知识.(1)根据A、B、C、D四点共圆,可得∠CDF=∠ABC,由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,进而可得结论;(2)证明△BAD∽△FAB,可得AB2=AD·AF,根据AB=AC,得AB·AC=AD·AF,再利用割线定理即可得到结论.23.直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),T为直线l与曲线C的公共点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点T的极坐标;(2)将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线W,过点T作直线m,若直线m被曲线W截得的线段长为2,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为+=1,将(t为参数)代入上式整理得t2-4t+4=0,解得t=2.故点T的坐标为(,1),其极坐标为(2,).(2)依题意知,坐标变换式为,故W的方程为+=1,即x2+y2=6.当直线m的斜率不存在时,其方程为x=,显然成立.当直线m的斜率存在时,设其方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0,由已知,圆心(0,0)到直线m的距离为,故,解得k=-.此时,直线m的方程为y=-x+2.故直线m的极坐标方程为ρcosθ=或ρsinθ+ρcosθ=2.【解析】无24.已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m.(1)已知常数a<2,解关于x的不等式f(x)+a-2>0;(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围. 【答案】(1)由f(x)+a-2>0得|x-3|>2-a,∴x-3>2-a或x-3<a-2.∴x>5-a或x<a+1,故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞).(2) ∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,∴f(x)>g(x)恒成立,则m<|x-3|+|x+4|恒成立,∵|x-3|+|x+4|≥|(x-3)-(x+4)|=7,∴m的取值范围为m<7.【解析】无。
2017-2018届新课标1高考压轴卷文科数学试题及答案
2017-2018新课标1高考压轴卷文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则∁U(M∪N)=()2. 复数的共轭复数是a+bi(a,b∈R),i是虛数单位,则点(a,b)为()3. 的值为()4. 函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),则f(x)﹣g(x)是()5. 某市有400家超市,其中大型超市有40家,中型超市有120家,小型超市有240家.为了掌握各超市的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型超市数是()A.4B.6C.7D.126.一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为1的圆,且这个几何体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象(部分)如图所示,则ω,φ分别为()B.D.8. “”是“数列{a n}为等比数列”的()D9. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,如果cos(2B+C)+2sinAsinB<0,那么三边长a、b、c之间满足的关系是().10. 等腰Rt△ACB,AB=2,.以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥,D为圆锥底面一点,BD⊥CD,CH⊥AD于点H,M为AB中点,则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为()B[11.定义域为R的偶函数f(x)满足∀x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f (1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18.若函数y=f(x)﹣log a(x+1)至少有三个零点,则a的取值范围是(),,,,)12. 设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为()B.C.题卡的相应位置. 13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________.15.已知平行四边形ABCD 中,点E 为CD 的中点,=m ,=n (m•n ≠0),若∥,则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ,不等式组表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点,这个点在N内的概率的最大值是________________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17.已知(3,cos())a x ω=- ,(sin(b x ω= ,其中0ω>,函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .且()2Af =,a =,求角A 、B 、C 的大小.18. 下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料(单位:厘米):(1)在这个问题中,总体是什么?并求出x 与y 的值;(2)求表中x 与y 的值,画出频率分布直方图及频率分布折线图;(3)试计算身高在146~154cm 的总人数约有多少?19.在四棱锥P -ABCD 中,AB ∥DC ,AB ⊥平面PAD , PD =AD ,AB =2DC ,E 是PB 的中点.求证:(1)CE ∥平面PAD ; (2)平面PBC ⊥平面PAB .20.在平面直角坐标系xOy 中,从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为N M ,,点)0,(),0,(a B a A -(a a ,0>为常数),且02=+⋅λ(0≠λ)(1)求曲线C 的轨迹方程,并说明曲线C 是什么图形;(2)当0>λ且1≠λ时,将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ,曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,,且点D 在一象限 ①证明:四边形DEFG 为正方形; ②若D F AD ⊥,求λ值.21. 设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. (1)若函数)(x f 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围; (2)当a =1时,求函数)(x f 在区间[t ,t +3]上的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,CD ⊥AB 于点D ,弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ,且MN = MC(1)求证:MN = MB ;(2)求证:OC ⊥MN 。
百所百年名校2018届高三押题卷数学试卷(文科)
百所百年名校2018届高三押题卷数学试卷(文科)本试题卷共10页,23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=的定义域为A,则∁U A为()A.(0,e]B.(0,e) C.(e,+∞)D.[e,+∞)2.设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=()A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i3.已知A(1,﹣2),B(4,2),则与反方向的单位向量为()A.(﹣,) B.(,﹣)C.(﹣,﹣)D.(,)4.若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则()A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m5.执行如图所示的程序框图,输出n的值为()A.19 B.20 C.21 D.226.已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)7.一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为()A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,1068.若直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A. B.C.D.9.如果实数x,y满足约束条件,则z=的最大值为()A.B.C.2 D.310.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是()A.a>1 B.a≤﹣C.a≥1或a<﹣D.a>1或a≤﹣二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为.12.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为.13.在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为.14.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线﹣=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为.15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是.三、解答题(共6小题,满分75分)16.已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),函数f(x)=(+)•.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g()=,sinB=cosA,求b的值.17.某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.附:x2=.18.在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC ⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.(1)求证:PA⊥平面CMN;(2)求证:AM∥平面PBC.19.已知等差数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,等比数列{b n}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)数列{c n}满足c n=b n+(﹣1)n a n,记数列{c n}的前n项和为T n,求T n.20.已知函数f(x)=e x﹣1﹣,a∈R.(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.21.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率是,点P(1,)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(x Q,y Q)(点Q异于点P),若0<x Q<1,求直线l斜率k的取值范围;(3)若以点P为圆心作n个圆P i(i=1,2,…,n),设圆P i交x轴于点A i、B i,且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i(M i、N i皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.百所百年名校2018届高三押题卷数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=的定义域为A,则∁U A为()A.(0,e]B.(0,e) C.(e,+∞)D.[e,+∞)【考点】1F:补集及其运算.【分析】先求出集合A,由此能求出C U A.【解答】解:∵全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=的定义域为A,∴A={x|x>e},∴∁U A={x|0<x≤e}=(0,e].故选:A.2.设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=()A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解:(1+i)z=﹣2i,则z===﹣i﹣1.故选:B.3.已知A(1,﹣2),B(4,2),则与反方向的单位向量为()A.(﹣,) B.(,﹣)C.(﹣,﹣)D.(,)【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】与反方向的单位向量=﹣,即可得出.【解答】解:=(3,4).∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=.故选:C.4.若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则()A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m 【考点】4M:对数值大小的比较.【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出.【解答】解:m=0.52=,n=20.5=>1,p=log20.5=﹣1,则n>m>p.故选:A.5.执行如图所示的程序框图,输出n的值为()A.19 B.20 C.21 D.22【考点】EF:程序框图.【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,求出即可.【解答】解:模拟执行如图所示的程序框图知,该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,由S=≥210,解得n≥20,∴输出n的值为20.故选:B.6.已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出.【解答】解:q:(x﹣1)(x+2)>0,解得x>1或x<﹣2.又p:x≥k,p是q的充分不必要条件,则实数k>1.故选:C.7.一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为()A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,106【考点】B4:系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的方法的要求,先随机抽取第一数,再确定间隔.【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到006号,以后每隔=25个号抽到一个人,则以6为首项,25为公差的等差数列,即所抽取的编号为6,31,56,81,106,故选:D.8.若直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A. B.C.D.【考点】H2:正弦函数的图象.【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,可得周期T,利用x=π时,函数y取得最大值,即可求出φ的取值.【解答】解:由题意,函数y的周期T==2π.∴函数y=sin(x+φ).当x=π时,函数y取得最大值或者最小值,即sin(+φ)=±1,可得:φ=.∴φ=kπ,k∈Z.当k=1时,可得φ=.故选:D.9.如果实数x,y满足约束条件,则z=的最大值为()A.B.C.2 D.3【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,z=的几何意义是区域内的点到定点(﹣1,﹣1)的斜率,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影),z=的几何意义是区域内的点到定点P(﹣1,﹣1)的斜率,由图象知可知PA的斜率最大,由,得A(1,3),则z==2,即z的最大值为2,故选:C.10.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是()A.a>1 B.a≤﹣C.a≥1或a<﹣D.a>1或a≤﹣【考点】4N:对数函数的图象与性质.【分析】作出f(x)的图象和g(x)的图象,它们恰有一个交点,求出g(x)的恒过定点坐标,数形结合可得答案.【解答】解:函数f(x)=与函数g(x)的图象它们恰有一个交点,f(x)图象过点(1,1)和(1,﹣2),而,g(x)的图象恒过定点坐标为(1﹣a,0).从图象不难看出:到g(x)过(1,1)和(1,﹣2),它们恰有一个交点,当g(x)过(1,1)时,可得a=1,恒过定点坐标为(0,0),往左走图象只有一个交点.当g(x)过(1,﹣2)时,可得a=,恒过定点坐标为(,0),往右走图象只有一个交点.∴a>1或a≤﹣.故选:D.二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.【考点】J1:圆的标准方程.【分析】根据题意,求出直线与坐标轴的交点坐标,分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,求出圆的半径与圆心,代入圆的标准方程即可得答案.【解答】解:根据题意,直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于(4,0)、(0,4)两点,即A、B的坐标为(4,0)、(0,4),经过O、A、B三点的圆,即△AOB的外接圆,而△AOB为等腰直角三角形,则其外接圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,则有2r=|AB|=4,即r=2,圆心坐标为(2,2),其该圆的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8,故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.12.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.∴该几何体的体积V==.故答案为:.13.在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为4.【考点】CF:几何概型.【分析】求解分式不等式得到x的范围,再由测度比为测度比得答案.【解答】解:由<0,得﹣1<x<2.又x≥0,∴0≤x<2.∴满足0≤x<2的概率为,得a=4.故答案为:4.14.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线﹣=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为2.【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】设M点到抛物线准线的距离为d,由已知可得p值,由双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则=,解得实数a的值.【解答】解:设M点到抛物线准线的距离为d,则丨MF丨=d=1+=5,则p=8,所以抛物线方程为y2=16x,M的坐标为(1,4);又双曲线的左顶点为A(﹣a,0),渐近线为y=±,直线AM的斜率k==,由=,解得a=3.∴a的值为3,故答案为:3.15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是[] .【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性,解出奇函数f(x)和偶函数g(x)的表达式,将等式af(x)+g(2x)=0,令t=2x﹣2﹣x,则t>0,通过变形可得a=t+,讨论出右边在x∈[1,2]的最大值,可以得出实数a的取值范围.【解答】解:解:∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),又∵由f(x)+g(x)=2﹣x,结合f(﹣x)+g(﹣x)=﹣f(x)+g(x)=2x,∴f(x)=﹣(2x﹣2﹣x),g(x)=(2x+2﹣x).等式af(x)+g(2x)=0,化简为﹣(2x﹣2﹣x)+(22x+2﹣2x)=0.∵x∈[1,2],∴≤2x﹣2﹣x≤,令t=2x﹣2﹣x,则t>0,因此将上面等式整理,得:a=t+,函数h(t)=t+在[]递增,≤t+≤,则实数a的取值范围是[],故答案为:[].三、解答题(共6小题,满分75分)16.已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),函数f(x)=(+)•.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g()=,sinB=cosA,求b的值.【考点】9R:平面向量数量积的运算;GL:三角函数中的恒等变换应用;HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】(1)运用向量的加减运算和数量积的坐标表示,以及二倍角公式和正弦公式,由正弦函数的增区间,解不等式即可得到所求;(2)运用图象变换,可得g(x)的解析式,由条件可得sinA,cosA,sinB的值,运用正弦定理计算即可得到所求值.【解答】解:(1)向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),函数f(x)=(+)•=(sinx+cosx,)•(sinx,﹣1)=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣(1﹣2sin2x)=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣),由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,即有函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;(2)由题意可得g(x)=sin(2(x+)﹣)=sin2x,g()=sinA=,即sinA=,cosA=±=±,在△ABC中,sinB=cosA>0,可得sinB=,由正弦定理=,可得b===3.17.某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.附:x2=.【考点】BO:独立性检验的应用;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(1)根据表中数据,计算观测值X2,对照临界值得出结论;(2)分别计算选取的数学及格与不及格的人数,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值.【解答】解:(1)根据表中数据,计算X2==≈8.416>6.635,因此,有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;(2)选取的数学及格的人数为7×=2人,选取的数学不及格的人数为7×=5人,设数学及格的学生为A、B,不及格的学生为c、d、e、f、g,则基本事件为:AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个,其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个,故所求的概率为P=.18.在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC ⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.(1)求证:PA⊥平面CMN;(2)求证:AM∥平面PBC.【考点】LS:直线与平面平行的判定;LW:直线与平面垂直的判定.【分析】(1)推导出MN∥AD,PC⊥AD,AD⊥AC,从而AD⊥平面PAC,进而AD ⊥PA,MN⊥PA,再由CN⊥PA,能证明PA⊥平面CMN.(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQ∥PC,从而MQ∥平面PBC,再求出AQ∥平面,从而平面AMQ∥平面PCB,由此能证明AM∥平面PBC.【解答】证明:(1)∵M,N分别为PD、PA的中点,∴MN为△PAD的中位线,∴MN∥AD,∵PC⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PC⊥AD,又∵AD⊥AC,PC∩AC=C,∴AD⊥平面PAC,∴AD⊥PA,∴MN⊥PA,又∵PC=AC,N为PA的中点,∴CN⊥PA,∵MN∩CN=N,MN⊂平面CMN,CM⊂平面CMN,∴PA⊥平面CMN.解(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,∵MQ是△PCD的中位线,∴MQ∥PC,又∵PC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC,∵AD⊥AC,∠ACD=60°,∴∠ADC=30°.∴∠DAQ=∠ADC=30°,∴∠QAC=∠ACQ=60°,∴∠ACB=60°,∴AQ∥BC,∵AQ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AQ∥平面PBC,∵MQ∩AQ=Q,∴平面AMQ∥平面PCB,∵AM⊂平面AMQ,∴AM∥平面PBC.19.已知等差数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,等比数列{b n}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)数列{c n}满足c n=b n+(﹣1)n a n,记数列{c n}的前n项和为T n,求T n.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.根据a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.可得2+d=q2,3×2+=6q,联立解得d,q.即可得出..(2)c n=b n+(﹣1)n a n=2n﹣1+(﹣1)n•2n.可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+ (2)﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n].对n分类讨论即可得出.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.∵a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.∴2+d=q2,3×2+=6q,联立解得d=q=2.∴a n=2+2(n﹣1)=2n,b n=2n﹣1.(2)c n=b n+(﹣1)n a n=2n﹣1+(﹣1)n•2n.∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n].∴n为偶数时,T n=2n﹣1+[(﹣2+4)+(﹣6+8)+…+(﹣2n+2+2n)].=2n﹣1+n.n为奇数时,T n=2n﹣1+﹣2n.=2n﹣2﹣n.∴T n=.20.已知函数f(x)=e x﹣1﹣,a∈R.(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出导函数,由题意可知f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,相当于导函数有一个零点;(2)问题可转换为(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax>0恒成立,构造函数G(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,通过二次求导,得出结论.【解答】解:(1)g(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,g'(x)=xe x﹣a﹣1,g''(x)=e x(x+1)>0,∵f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,∴g'(0)=﹣a﹣1<0,g'(1)=e﹣a﹣1>0,∴﹣a<a<e﹣1;(2)当a≤﹣1时,f(x)<0,∴(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax>0恒成立,令G(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,G'(x)=xe x﹣a﹣1,G''(x)=e x(x+1)>0,∴G'(x)在(0,1)单调递增,∴G'(x)≥G'(0)=﹣a﹣1≥0,∴G(x)在(0,1)单调递增,∴G(x)≥G(0)=0,∴(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax≥0,∴当a≤﹣1时,f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.21.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率是,点P(1,)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(x Q,y Q)(点Q异于点P),若0<x Q<1,求直线l斜率k的取值范围;(3)若以点P为圆心作n个圆P i(i=1,2,…,n),设圆P i交x轴于点A i、B i,且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i(M i、N i皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据椭圆的离心率求得a2=4b2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求得x Q,由0<x Q<1,即可求得k的取值范围;(3)由题意可知:故直线PA i,PB i的斜率互为相反数,分别设直线方程,代入椭圆方程,即可求得x i,x i′,根据直线的斜率公式,即可求得=,==…=,则M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.【解答】解:(1)由椭圆的离心率e===,则a2=4b2,将P(1,)代入椭圆方程:,解得:b2=1,则a2=4,∴椭圆的标准方程:;(2)设直线l的方程y﹣=k(x﹣1),则,消去y,整理得:(1+4k2)x2+(4k﹣8k2)x+(4k2﹣4k﹣1)=0,由x0•1=,由0<x0<1,则0<<1,解得:﹣<k<,或k>,经验证,满足题意,直线l斜率k的取值范围(﹣,)∪(,+∞);(3)动圆P的半径为PA i,PB i,故PA i=PB i,△PA i B i为等腰三角形,故直线PA i,PB i的斜率互为相反数,设PA i的斜率k i,则直线PB i的斜率为﹣k i,设直线PA i的方程:y﹣=k i(x﹣1),则直线PB i的方程:y﹣=﹣k i(x﹣1),,消去y,整理得:(1+4k i2)x2+(4k i﹣8k i2)x+(4k i2﹣4k i﹣1)=0,设M i(x i,y i),N i(x i′,y i′),则x i•1=,则x i=,21 将﹣k i 代替k i ,则x i ′=,则x i +x i ′=,x i ﹣x i ′=﹣,y i ﹣y i ′=k i (x i ﹣1)++k i (x i ﹣1)﹣=k i (x i +x i ′)﹣2k i ,=k i ×﹣2k i ,=,则==,故==…=,∴M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n .。
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第二模拟) Word版含解析
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第二模拟)一、选择题:共12题1.关于复数z=(i是虚数单位),下列结论正确的为A.在复平面内,复数z所对应的点在第一象限B.复数z的共轭复数为=1-iC.若复数ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则b=1D.复数z的模为2【答案】C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案.由已知z==-1+i,因而z在复平面内对应的点位于第二象限,A错误,=-1-i,B错误,|z|=,D错误,若ω=-1+b+i为纯虚数,则-1+b=0,即b=1,故选C.2.已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为A.-1或2B.2C.-1D.-2【答案】A【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题.f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.3.已知集合A={x|<1},集合B={y|y=t-2},则A∩B=A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)【答案】B【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.由<1,得>0,因而x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞),设m=≥0,则t=m2+3,因而y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以B=[2,+∞),从而A∩B=(3,+∞),故选B.4.在数列{a n}中,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a2 016的值为A.3B.1C.D.32 015【答案】C【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现,得到{a n}为周期数列,进而求解.由已知,a1=1,a2=3,且a n+1a n-1=a n(n≥2),则a1a3=a2,从而a3=3,又a2a4=a3,∴a4=1,同理a5=,a6=,a7=1,a8=3,那么数列{a n}为周期数列,且周期为6,∴a2 016=a6=,故选C.5.对于三个不同的平面α,β,γ和四条不同的直线a,b,m,n,下列中为真的是A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥αB.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥bD.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α【答案】C【解析】本题考查考生对空间直线、平面间的位置关系的判断,考查考生分析问题、解决问题的能力.对于A,只有m,n相交时结论才成立;对于B,还有可能a⊂α;对于D,只有当a,b相交时结论才成立;对于C,该结论是两平面平行的性质定理,是真.故选C.6.将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.通解将y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=sin2(x+φ)+1的图象,此时y=sin 2(x+φ)+1=2cos2x,即sin 2(x+φ)=cos 2x,因而2φ=+2kπ,k∈Z,那么,由选项可知φ可以取的值为,故选C.优解由已知,可以将y=2cos2x的图象作相应的逆变换,先向下平移1个单位长度得到函数y=2cos2x-1的图象,即y=cos 2x的图象,而y=cos 2x=sin(2x+),因而将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin 2x的图象,因而φ可以取的值为,故选C.7.已知x,y满足不等式组,则目标函数z=()x×4y的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了创新,要求考生具有一定的转化意识.通过不等式组作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),B(0,),求z=()x×4y=22y-x 的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=()x×4y的最小值为1,故选A.8.执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为A.f(x)=sin xB.f(x)=e xC.f(x)=ln x+x+2D.f(x)=x2【答案】C【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键.当输入f(x)=sin x时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入f(x)=e x时,f(x)=e x不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入f(x)=ln x+x+2时,f(x)=ln x+x+2既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入f(x)=x2时,由于f(x)=x2是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选C.9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=×π×12×2=π,故选C.10.已知函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为A.-B.C.1D.e【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=-.11.已知A1,A2分别为双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:x=1与x 轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活变通能力.通解由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为y=k(x+2),由已知k>0,则由得(9-4k2)y2-36ky=0,易知9-4k2≠0,因而P(,),所以,则直线PA2的方程为y=(x-2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,-),因而×3×3k=×1×,得k=,故选B.优解由已知,P为双曲线-=1上的点,则,又直线PA1的方程为y=(x+2),交直线l于B1(1,3),直线PA2的方程为y=(x-2),交直线l于B2(1,-),由于P为第一象限内的点,因而>0,则×3×3×1×,即92=,从而,故选B.12.在等差数列{a n}中,a3=-2,a5=4,若存在正整数m,使得为数列{a n}中的项,则所有满足条件的m的值的和为A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,考查考生的推理论证能力.由条件可先求出{a n}的通项公式,然后由为数列{a n}中的项,可得出a m=1或a m=-2,从而求出m的值.在等差数列{a n}中,由a3=-2,a5=4,得公差d=3,所以a n=a3+(n-3)d=3n-11.因为=a m+9+,且a n=3n-11=3(n-4)+1, 所以要使为数列{a n}中的项,必须是3的倍数,于是a m在±1,±2,±3,±6中取值,但由于a m-1是3的倍数,所以a m=1或a m=-2.由a m=1得m=4;由a m=-2得m=3.当m=4时,=a13;当m=3时,=a3.所以所求m的值的和为7.二、填空题:共4题13.如图是某样本的频率分布直方图,已知数据不超过10的频数为10,则根据频率分布直方图可知该样本的容量为.【答案】50【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考对于统计知识的考查以基础知识为主,往往比较简单,但覆盖面比较广,复习时要注意全面到位.由已知的频率分布直方图,可得数据不超过10时对应的矩形的高为0.04,而组距为5,因而对应的频率为0.2,因而样本容量为=50.14.若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数学思想.解题时,根据题意求出椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2.由已知得,a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4.15.已知菱形ABCD的边长为,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使A,C两点间的距离为,则所得三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积或体积的运算,复习时注意把握难度.由已知,∠BAD=60°,菱形ABCD的边长为,且折起后AC=,设△BCD的外接圆圆O1的半径为r,则由正弦定理得,2r==2,因而圆O1的半径r=1,则三棱锥的高h=,设外接球半径为R,则R2=(h-R)2+r2,即R2=2-2R+R2+1,得R=,则该球的表面积为4πR2=4π×.16.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P是以C为圆心,且与BD相切的圆上的动点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为.【答案】2【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算是解题的关键.由已知分别以AD,AB所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,1),B(0,2),D(1,0),直线BD的方程为2x+y-2=0,圆C的半径为R=,则圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=,由=λ+μ,得=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆C上,因而,(λ-1)2+(2μ-1)2=,设λ=1+cosθ,2μ=1+sinθ,则λ+μ=+cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时λ+μ取得最大值2.三、解答题:共8题17.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b,1),n=(2a-c,cos C),且m∥n.(1)若b2=ac,试判断△ABC的形状;(2)求y=1-的值域.【答案】(1)由已知,m∥n,则2b cos C=2a-c,由正弦定理, 得2sin B cos C=2sin(B+C)-sin C,即2sin B cos C=2sin B cos C+2cos B sin C-sin C,在△ABC中,sin C≠0,因而2cos B=1,则B=.又b2=ac,b2=a2+c2-2ac cos B,因而ac=a2+c2-2ac cos,即(a-c)2=0,所以a=c,△ABC为等边三角形.(2)y=1-=1-=1-2cos A(cos A-sin A)=sin 2A-cos 2A=sin(2A-),其中A∈(0,).因而所求函数的值域为(-1,].【解析】本题考查解三角形的基础知识.第(1)问通过向量平行,结合正、余弦定理,利用两角和的正弦公式进行求解;第(2)问是关于角A的三角函数的值域问题,利用二倍角公式,将函数化为常见的y=M sin(ωx+φ)的形式,再求函数的值域.【备注】判断三角形的形状,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个定理,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.18.甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品,现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:(1)根据表中数据,估计甲、乙两种产品的合格率;(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,再从这5件甲产品中随机抽取2件,求这2件产品全是合格品的概率.【答案】(1)甲产品的合格率为P1=.乙产品的合格率为P2=.(2)由题意,若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,则其中恰有1 件次品,4 件合格品,因而可设这5件甲产品分别为a,b,c,d,E,其中小写字母代表合格品,E代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10种,设“这2件产品全是合格品”为事件M,则事件M所包含的情况为ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.由古典概型的概率计算公式,得P(M)=.【解析】本题考查统计的基础知识,考查古典概型概率的求解方法.【备注】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点,但是在解题中需要提醒的是:①认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频率分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;②分清所求概率的类型,是古典概型、还是几何概型等;③将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并加强知识整合能力,特别是加强知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.19.如图,异面直线AB,CD互相垂直,CF是它们的公垂线段,且F为AB的中点,作DE//CF,连接AC,BD,G为BD的中点,AB=AC=AE=BE=2.(1)在平面ABE内是否存在一点H,使得AC∥GH?若存在,求出点H所在的位置,若不存在,请说明理由;(2)求三棱锥G-ACD的体积.【答案】(1)取BE的中点M,连接GM,EF,作MH∥AB交EF于H,则点H为FE的中点,MH∥BF∥FA.连接GH,则GM∥DE∥CF,易知∠GMH=∠CFA=,从而△GHM∽△CAF,从而AC∥GH,即存在点H满足题设要求,且点H为FE的中点.(2)由于G为BD的中点,∴点G到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的一半,∴V G-ACD=V B-AC D.又V B-ACD=V D-ABC,由题意知CD⊥平面ABC,AB=AC=AE=BE=2,∴CD=CF=,S△ABC=×2×,V D-ABC==1.∴V G-ACD=V D-ABC=.【解析】本题脱离开以常规的几何体为载体的考查方式,考查立体几何中线线平行的位置关系及几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性,切忌推证过程过于简略,推理条件列举不全面.【备注】求解立体几何题时,要求“四会”:①会画图——根据题设条件画出符合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),且所作图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系;③会分析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补,从而求得答案.20.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m:x+y-2=0上的动点,且点P的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时,圆心在抛物线C上,与直线l相切,且过点P的圆的个数.【答案】(1)直线AB的方程是y=2(x-),代入y2=2px,得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=,∴p=2,∴抛物线C的方程是y2=4x.(2)解法一由题意知l:x=-1,F(1,0).∵所求圆的圆心在抛物线上,且与直线l相切,则圆过焦点F,又圆过点P,∴圆心在线段PF的中垂线上,设P(a,2-a),则线段PF中点的坐标为(,),当a≠1,a≠2时,k PF=,∴线段PF的中垂线方程为y=(x-)+,化简得y=x+①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数,将x=代入①得y2-y+=0,判别式Δ=1-4··=1+,∴当a=-1时,交点有1个,圆有1个;当a<-1时,交点有0个,圆有0个;当a>-1,且a≠1,a≠2时,交点有2个,圆有2个.而当a=2时,易验证有2个交点,圆有2个;当a=1时,易知交点有1个,圆有1个.综上所述:当a<-1时, 圆有0个;当a=±1时, 圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.解法二设圆心Q(x0,y0)(=4x0),P(a,2-a),由于准线l:x=-1,故若存在圆Q满足条件,则r=|PQ|=,且r=|x0+1|,∴(x0-a)2+(y0+a-2)2=(x0+1)2,即a2++2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a)+1,整理得(1-a)+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0(*),当a=1时,(*)式即-4y0+2=0,有1个解.当a≠1时,(*)式中Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),∵2a2-6a+5=2(a-)2+>0,∴当a>-1时,Δ>0,(*)式有2个解;当a=-1时,Δ=0,(*)式有1个解;当a<-1时,Δ<0,(*)式无解.综上,当a<-1时,圆有0个;当a=±1时,圆有1个;当a>-1,且a≠1时,圆有2个.【解析】本题主要考查抛物线的概念、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力、运算求解能力.第(1)问通过抛物线的几何性质直接求解;第(2)问是探究性问题,将圆的个数转化为方程根的个数进行求解.【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查椭圆和抛物线的方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与定点、定值等有关的综合问题.一般地,第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.21.已知函数f(x)=x ln x+x,g(x)=-(x>0).(1)讨论f(x)在区间[t,t+e](t>0)上的单调性;(2)是否存在直线y=b(b∈R),使得函数f(x)与g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)?若存在,请求出实数b的值(或取值范围);若不存在,请说明理由.【答案】(1)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<t<时,在[t,)上,f'(x)<0,在(,t+e]上,f'(x)>0,因此f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增.当t≥时,在[t,t+e]上,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在[t,t+e]上单调递增.综上所述,当0<t<时,f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增;当t≥时,f(x)在[t,t+e]上单调递增.(2)f(x)=x ln x+x,f'(x)=ln x+2,由f'(x)=0得x=.当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故f(x)min=f()=-.而g(x)=-(x>0),g'(x)=,当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=-.所以f(x)≥-≥g(x),故函数f(x)与函数g(x)的图象恒在直线y=-的两侧(相切),所以b=-.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,同时对分类讨论、化归与转化等思想进行了深入考查.(1)由于f'(x)=0的根与t的大小关系不确定,故需要分类讨论;(2)注意抓住直线y=b(b∈R)的特殊性(是水平线),所以题目的本质是探究是否存在水平直线,使得f(x)与g(x)的图象一个在上一个在下,故将问题转化为研究两个函数的最大值和最小值即可.【备注】函数与导数解答题的基本特点是人人能入手,但很少人能够走到最后,设问模式一般有并列小问研究不同侧面和层层递进型两种,研究类型主要有:(1)利用导数研究函数的单调性、极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数研究函数零点的个数、图象的位置关系等.在解决这些问题时,恰当构造函数是关键.22.如图,等腰三角形ABC内接于☉O,AB=AC,MN为☉O在点C处的切线,过点B作MN的平行线,交AC于点E,交☉O于点.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6,BC=4,求EC的长.【答案】(1)由已知BD∥MN,MN为☉O在点C处的切线,∴,∴∠CDB=∠CBD,又同弧所对的圆周角相等,∴∠CAD=∠CBD,∠CAB=∠CDB,即∠CAD=∠CAB=∠BAE,又∠ACD=∠ABE,且AB=AC,因而△ABE≌△ACD.(2)在△ABC与△BCE中,由(1)知∠CAB=∠CBE,且∠BCE=∠ABC,∴△ABC∽△BCE,则,因而EC=.【解析】本题考查三角形全等的证明、三角形相似等知识,对考生能力的要求比较高.23.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-3,-),曲线C的极坐标方程为ρ=5,直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=8,求直线l的直角坐标方程.【答案】(1)由ρ=5⇒ρ2=25,得x2+y2=25,即曲线C的直角坐标方程为x2+y2=25.(2)设直线l的参数方程为(t为参数),①将参数方程①代入圆的方程x2+y2=25,得4t2-12(2cosα+sinα)t-55=0,∴Δ=16[9(2cosα+sinα)2+55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为t1、t2,∴|AB|=|t1-t2|==8,化简有3cos2α+4sinαcosα=0,解得cosα=0或tanα=-,从而可得直线l的直角坐标方程为x+3=0或3x+4y+15=0.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用极坐标与直角坐标之间的互化公式即可产生结论;第(2)问利用直线的参数方程中参数的几何意义产生结论.24.已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式|f(x)-1|<ax+;(2)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤.【答案】(1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为|-x2+x|<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-<x<0;②当0≤x≤1时,不等式化为-x2+x<-x+,∴0≤x<.综上,原不等式的解集为{x|-<x<}.(2)由已知x∈[-1,1],∴|x|≤1,又|a|≤1,则|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-(|x|-)2+≤ .【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解及证明,求解过程中,分类讨论思想的运用很关键.。
2017-2018学年河南省最后一次模拟高三数学考试卷文科(含答案)
高三数学考试卷(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}P x x x =-≥,{|633}Q x x =-<≤,则()R C P Q =( )A .(2,0)-B .(]0,2C .(]0,1D .[0,1]2. 已知复数2(1i)z =-,z 是它的共轭复数,则z z ⋅=( ) A .4B .4-C .2-D .23. 已知函数3()51f x og x =-,(]3,27x ∈,则()f x 的值域是( ) A .(]2,4B .[)2,4C .[)4,4-D .(]6,94. 如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .12B .25C.35D .5125. 已知点(0,23),(,0)6A B π是函数()4sin()f x x ωϕ=+ (06,)2πωϕπ<<<<的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为( ) A .12x π= B .6x π= C. 3x π= D .512x π=6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =( )A .4.5B .5C. 6 D .6.57. 如图为一个半圆柱, ADE ∆是等腰直角三角形, F 是线段CD 的中点, 4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为( )A .3311B .31111 C. 2211 D .238. 函数22(1)sin 6()1x xf x x -=+的部分图象大致是( )A .B .C. D .9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .3442+B .3422+ C. 3242+ D .3622+10. 已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b =( ) A .1 B .2 C. 3 D .6211. 在平面直角坐标系中,已知三点(,1),(3,),(4,5)A a B b C ,O 为坐标原点若向量OA 与OC 在向量OB 方向上的投影相等,则22a b +的最小值为( ) A .125B .14425C.12 D .14412. 已知函数2()4f x x =的图象在点200(,4)x x 处的切线为l ,若l 也与函数g()1n x x =(01)x <<的图象相切,则0x 必满足( ) A .01222x << B .0102x <<C.0212x << D .012x <<第Ⅱ卷二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知(0,)2x π∈,3tan 4x =,则2sin()sin 21cos x x xπ-+=+ . 14. 设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为 .15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++2sin sin ,b A c C =2,22a b ==,则sin B = .16. 设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点, AB 为过焦点1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),且(31)||AB +=22||||AF BF +.若4||3AB b =,则双曲线的离心率为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-,数列{}n b 满足31og 2nn a b =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:(1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量;(2)公司在2017年年终总结时准备从该年8~12月份这5个月中抽取3个月的数据进行重点分析,求没有抽到9月份数据的概率. 参考数据:81347i ii x y==∑,8211308i i x ==∑.参考公式:对于一组数据1122(,),(,)x y x y ,(,)n n x y ,其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑,a y bx =-.19. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形, 11AB B C ⊥,平面1A BC ⊥平面11AB C .(1)证明: 1AA AB =;(2)若113,4B C AB ==, 160,ABB D ∠=是线段1A C 上的一点,且三棱锥B ACD -的体积为3,求1A DCD的值. 20. 设O 是坐标原点, F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点, C 是该抛物线上的任意一点,当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, ||21OC =.(1)求抛物线的方程;(2)已知(0,)A p ,设B 是该抛物线上的任意一点, ,M N 是x 轴上的两个动点,且||2MN p =,||||BM BN =,当||||||||AM AN AN AM +计取得最大大值时,求BMN ∆的面积. 21. 已知函数()1n 2af x x x=--. (1)试讨论()f x 的单调区间; (2)当1a e =-时,存在x 使得21|()|2f x e +- 21n 3x x b-+≤成立立求b 的取值范围. (二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 .22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -.以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin 3p p θ+=. (1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ,求||||AM AN +的取值范围. 23.选修4-5:不等式选讲 知函数()|24||2|f x x x a =++-. (1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知22,()a g x x >-=724ax ++,若对于[1,]2ax ∈-,都有()()f x g x ≥成立,求a 的取值范围.高三数学考试卷参考答案(文科)1.C 【解析】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力. 因为{|02}R C P x x =<<,{|21}Q x x =-<≤,所以(){|01}R C P Q x x =<≤.2.A 【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力. 因为2(1i)2i z =-=-,所以2i 2i 4z z ⋅=-⋅=. 3.B 【解析】本題考查函数的值域,考查运算求解能力. 因为327x <≤,所以3113og x <≤. 2()4f x ≤<.4.D 【解析】本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,AC 与BE 的交点为G ,易知21AB BG ==,,3,2AG CG CD ===,所以,所求的概率为113235212(24)3⨯⨯+⨯=+⨯. 5.A 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力. 因为(0)4sin 23f ϕ==,2πϕπ<<,所以23πϕ=.由2()4sin()0663f πππω=+=,得263k ππωπ+=,64(Z)k k ω=-∈,所以2ω=.又()4sin[2(g x x =-2)]4sin(2)633x πππ+=+,将选项代入验证可知12x π=是一条对称轴方程.6.D 【解析】本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力.3,7.54; 3.5,85;i i =≠=≠4,8.56; 4.5,97;i i =≠=≠5,9.58; 5.5,109;i i =≠=≠6,10.510;i =≠ 6.5,1111i ==.输出 6.5i =.7.B 【解析】本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力. 设上底半圆的半径为r ,由24182r ππ⨯=,得3r =.因为32,2DE DF ==,所以22EF =.又异面直线AB 与EF 所成的角为EFD ∠所以311sin 11EFD ∠=. 8.C 【解析】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力. 因为()()f x f x -=-,所以()f x -是奇函数,排除,A D .当06x π<<时, 201,sin 60x x <<>,所以()0f x >;当64x ππ<<时, 22116x π<<,sin60x <,所以()0f x <.9.A 【解析】本题考查三视图以及简单几何体的体积与表面积,考查空间想象能力和运算求解能力. 该几何体的形状如图所示,于是,=(22)2S ⨯⨯=左右 18,=422S ⨯-⨯上下(21214⨯⨯)=, 428,=S S =⨯=后前 (122(22)⨯⨯+⨯) 2442⨯=+,所以表面积8148(4S =++++42)3442=+.10.B 【解析】本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设1122(,),(,)A x y B x y ,M 00(,)M x y ,则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式作差得1212()()4x x x x -++12122()()0y y y y b-+=. 因为12121y y x x -=--,所以00204x y b -=.即2004y b x =. 由200142y b x ==,解得22b =,即2b =. 1l.B 【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量OA 与OC 在向量OB 市方向上的投影相同,所以OA OB OB OC ⋅=⋅,3125a b b +=+,即点(,)a b 在直线34120x y --=上22a b +的最小值为原点到直线34120x y --=的距离d 的平方,因为221212534d ==+,所以22a b +的最小值为14425. 12.C 【解析】本題考查导数与切线问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论能力.由于00()8,()8f x x f x x ''==,所以直线l 的方程为008()y x x x =-+22000484x x x x =-.因为l 也与函数()1n (01)g x x x =<<的图象相切,令切点为1(,1,),()m n m g x x '=,所以l 的方程为11n 1y x m m=+-,因此有02018411n x m x m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,,又因为01m <<,所以2001,42x x >011n 1n8x =++,令2()41n h x x x =-- 11n81()2x ->,2181()80x h x x x x -'=-=>,所以2()41n 1n81h x x x =---是1(,)2+∞上的增函数.因为2()11n(42)02h =-<, (1)=3(11n 2)0h ->,所以02(,1)2x ∈. 13.【解析】本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力.因为3(0,),tan 24x x π∈=,所以3sin 5x =.又2sin()sin 21cos x x x π-+=+ 2sin (1cos )2sin 1cos x x x x +=+,所以2sin()sin 261cos 5x x x π-=+.14. 11【解析】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 作出约束条件表示的可行域,当直线2z x y =+过点(5,3)时, z 取得最大值11.15.55【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 因为sin sin 2sin a A b B b ++ sin A c C =,所以2222a b ab c ++=.由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-= 22=-,又0C π<<,所以34C π=.2222cos c a b ab =+-222(22)2C =+-2222()202⨯⨯⨯-=,所以25c =. 由正弦定理得sin sin c b C B =,即2522sin 22B=,解得5sin 5B =. 16. 2【解析】本題考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想. 因为(31)||3||AB AB +=||3||AB AB +=+11(||||)AF BF +, 所以223||(||||)AB AF BF =+11(||||)4AF BF a -+=, 由此可得44,33bb a a ==,所以21()2c b e a a ==+= .17.解:(1)在2n S n n =-中,令1n =,得10a =,当2n ≥时, 21(1)(1)n S n n -=---,所以1n n n a S S -=-=22(n 2)n -≥.由于10a =满足22n a n =-,所以22n a n =-. 因为31(1)n og b n =--,所以113n n b -=. (2)由(1)知1223n n n n a b --=,所以012024333nT =++1223n n --++,① 则1230243333n T =++ 223nn -++.② ①-②得01220223333n T =+++122233n nn --+- 121(1)22331313n n n ---=--1122133n n n --=-- 2113n n +=-,所以1321223n n n T -+=-⨯. 18.解:(1)(i)因为11,3x y ==,所以1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-==-∑∑347811313088121-⨯⨯=-⨯830.244340≈,833340a y bx =-=-110.315⨯≈, 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.315y x =+. (ii)当25x =时, 0.24425y =⨯+0.315 6.415= (万台).(注:若30.24411a =-⨯=0.316,0.2440.316y x =+,当25x =时, 0.24425y =⨯0.136 6.416+= (万台). (2)记812月份这5个月的数据分别为,,,,a A b c d ,从中抽取3个月的所有基本事件有: (,,)(,,)(,,)a A b a A c a A d 、、、 (,,)a b c (,,)(,,)(,,)a b d a c d A b c 、、、、(,,)(,,)(,,)A b d A c d b c d 、,共10种基本事件, 没有抽到9月份的有(,,)(,,)a b c a b d 、(,,)(,,)a c d b c d 、、共4种基本事件, 所以概率42105P ==. 19.(1)证明:在三棱柱111ABC A B C -中,1111,BC B C AB B C ⊥∥,AB BC ∴⊥.又11,BC BB AB BB B ⊥=.BC ∴⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1A C 相交于点F ,连接EF , 四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形,EF BC ∴∥,EF ⊥平面11AA B B ,1EF AB ∴⊥,又平面1A BC ⊥平面11AB C ,且相交于EF ,1AB ∴⊥平面1A BC ,11AB A B ∴⊥, ∴四边形11AA B B 是菱形,从而1AA AB =.(2)解:由(1)可知1AB ⊥平面1A BC ,在1Rt A BC ∆中, 14sin 602A B =⨯⨯43,3BC ==,111(32A A BC V -∴=⨯⨯433)243⨯⨯=,3B ACD A BCD V V --==, 114343A A BC A BCDV AC V CD --∴===, 13A CCD∴=. 20.解:(1)设0(,)o C x y ,则由抛物线的定义得0||2p FC y =+. 当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, 002()22p p y y -=+,即032py =. 又2200||OC x y =+=2002122py y +=21p =, 所以2p =,抛物线的方程为24x y =.(2)因为||||BM BN =,所以点B 在线段MN 的中垂线上, 设11(,)B x y ,则11(2,0),(2,0)M x N x -+,所以221||(2)2AM x =-+,221||(2)2AN x =++, 22||||||||||||||||AM AN AM AN AN AM AM AN ++=⋅214116264x x +==+1122111682(2)64164y y y y ++=++, 所以||||2||||AM AN AN AM +=211214424y y y ++⋅≤⋅+21212(4)224y y +=+.当且仅当12y =时等号成立,此时122x =±. 所以12BMN S ∆=1||4AM y ⋅=. 21.解:(1)因为()1n 2a f x x x=--,定义域为(0,)+∞, 所以21()a f x x x =-=2x a x +-. 当0a ≥时, ()0f x '<,()f x 在(0,)+∞上单调递减;当0a <时,由()0f x '>得0x a <<-,由()0f x '<得x a >-,所以()f x 在(0,)a -上单调递增,在(,)a -+∞上单调递减.(2)当1a e =时,由(1)知, ()f x 在1(0,)e 上单调递增,在1(,)e+∞上单调递减, 所以max 1()()2f x f e ==-,所以, 1|()|()2f x f e ≥-=,当1x e=时取等号. 令21n ()3x x b g x -+=,则2()(1n 1)3g x x '=-+, 当10x e <<时, ()0g x '>;当1x e>时, ()0g x '<, 从而()g x 在1(0,)e 上单调递增,在1(,)e +∞上单调递减,所以max 1()()g x g e =233b e =+, 所以存在x 使得21|()|2f x e +-≤21n 3x x b -+成立,只需2122233b e e +-≤+, 解得232e b e -≥,232[,)e b e -∈+∞. 22.解:(1)由12sin 3p p θ+=得22sin 3p p θ+=. 将222sin p x y y p θ⎧=+⎨=⎩,代入上式中,得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=.(2)将l 的参数方程2cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)代入C 的方程22230x y y ++-=, 整理得24(cos sin )t αα--40t +=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点,所以224(cos sin )αα∆=-240->,化简得cos sin 0αα<. 又0απ≤<,所以2παπ<<,且cos 0,sin 0αα<>.设方程的两根为12,t t ,则124(cos sin )0t t αα+=-<,1240t t =>,所以120,0t t <<,所以12||||()AM AN t t +=-+4(sin cos )αα=-=42sin()4πα-. 由2παπ<<,得3444πππα<<<, 所以2sin()124πα<-≤,从而442sin <()424πα-≤, 即||||AM AN +的取值范围是(4,42].23.解:当6a =时()|24|f x x =++|26|,()12x f x -≥等价于|2||3|6x x ++-≥,因为|2||3|x x ++-=21,35,2321,2x x x x x ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-+<-⎩,所以3216x x >⎧⎨-≥⎩或2356x -≤≤⎧⎨≥⎩,或2216x x <-⎧⎨-+≥⎩, 解得72x ≥或52x ≤-, 所以解集为5{|2x x ≤-或7}2x ≥. (2)当2a >-,且[1,]2a x ∈-时, ()24f x x =+-(2)4x a a -=+, 所以()()f x g x ≥,即4()a g x +≥. 又27()24g x x ax =++的最大值必为(1),()2a g g -之一,所以21142457444a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩,即253459044a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩, 解得59125a -≤≤, 所以a 的取值范围为59[,]125-.。
2018届全国统一招生高考押题卷文科数学(一)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(一)注意事项:1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数132i z =+,121i z z +=+,则复数12z z ⋅=( ) A .47i -- B .2i --C .1+iD .14+5i【答案】A【解析】根据题意可得,21i 32i 2i z =+--=--,所以()()1232i 2i 47i z z ⋅=+⋅--=--. 2.集合{}|A x x a =<,{}3log 1B x x =<,若{}3A B x x =<U ,则a 的取值范围是( )A .[]0,3B .(]0,3C .(],3-∞D .(),3-∞【答案】B【解析】根据题意可得{}{}3log 103x B x x x <=<<=,因为{}3A B x x =<U ,所以03a <≤. 3.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”(如下图),四个全等的直角三角形(朱实),可以围成一个大的正方形,中空部分为一个小正方形(黄实).若直角三角形中一条较长的直角边为8,直角三角形的面积为24,若在上面扔一颗玻璃小球,则小球落在“黄实”区域的概率为( )A .14B .13C .125D .2573【答案】C【解析】根据题意可得,另外一条直角边长为6,所以“黄实”区域的面积为()286=4-,大正方形的面积是228+6=100,所以小球落在“黄实”区域的概率是4110025=. 4.若双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于其实轴长,则双曲线C 的离心率为( ) A .2 B .3C .5D .22【答案】C【解析】由题意可知:2b a =,224ba =,2224c a a -=,5e =.5.将函数215log cos π262x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位,得到曲线为( )A .1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- B .1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- C .1sin 2y x =-D .1sin2y x = 【答案】D【解析】因为215log cos π26152cos π26x y x ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭==-,所以沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位,得到曲线为1251151π1cos ππcos ππcos sin 236236222y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.如图的程序框图,则输出y 的最大值是( ) A .3B .0C .15D .8此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C【解析】当3x =-时,3y =;当2x =-时,0y =;当1x =-时,1y =-;当0x =时,0y =;当1x =时,3y=;当2x =时,8y =;当3x =时,15y =,所以y 的最大值为15.7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )正视图侧视图A .2π+B .1+πC .2+2πD .12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成,21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+.8.已知某函数图象如图所示,则图象所对应的函数可能是( )A .2x x y =B .22xy =-C .e xy x =-D .|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ,函数()2x x xf =,当0x >时,0y >,0x <时,0y <,不满足题意;对于B ,当0x ≥时,()f x 递增,不满足题意;对于C ,当0x ≥时,()0f x >,不满足题意.故选D .9.在平面直角坐标系中,已知直线l的方程为:20x y -=,圆C 的方程为()222423100x y ax y a a +--++=>,动点P 在圆C 上运动,且动点P 到直线l 的最大距离为2,则圆C 的面积为( ) A .π或(201π- B .πC.(201π+D .π或(201π+【答案】B【解析】因为()()2222224231210x y ax y a x a y a +--++=-+--=,所以()()22221x a y a -+-=,圆C 的圆心为(2,1)a ,半径为a .因为点P 在圆C 上的动点,所以P 到直线l的最大距离为2a +=,当a ≥时,解得11a =-2112-当0a <<1a =,符合题意,所以1a =,2S a =π=π圆. 10.已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调函数,函数()()5g x f x =-;数列{}n a 为等差数列,且公差不为0,若()()190g a g a +=,则129a a a +++=L ( )A .45B .15C .10D .0【答案】A【解析】由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调函数,可知()()5g x f x =-关于()5,0对称,且在R 上是单调函数, 由()()190g a g a +=,所以1910a a +=,即55a =, 根据等差数列的性质,1295945a a a a +++==L .11.若x =()()22e x f x x ax =-的极值点,则函数()y f x =的最小值为( )A.(2e +B .0C.(2-D .e -【答案】C【解析】()()22e x f x x ax =-,∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-,由已知得,0f '=,∴220a +-=,解得1a =.∴()()22e x f x x x =-,∴()()22e x f x x '-=,所以函数的极值点为,当(x ∈时,()0f x '<,所以函数()y f x =是减函数,当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时,()0f x '>,函数()y f x =是增函数.又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时,220x x ->,()0f x >,当()0,2x ∈时,220x x -<,()0f x <,∴()min f x 在()0,2x ∈上,又当(x ∈时,函数()y f x =递减,当)x ∈时,函数()y f x =递增,∴()(min 2f x f==-.12.已知0b a >>,函数()2log 21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],a b 上的值域为132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,则ab =( ) A .14B .12C .2D【答案】D【解析】()2log 2211log log 2xf x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()a x b ≤≤,又()2110ln2f x x x '=--<,所以()y f x =在[],a b 上递减,∴()()312f a f b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,即2213log 11log 2a a b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①,由1y t x =+与2log y x =的图象只有唯一交点可知方程21log t x x +=只有唯一解,经检验122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩是方程组①的唯一解,所以ab =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
江西省百校联盟2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(9月份) Word版含解析
2017-2018学年江西省百校联盟高考数学模拟试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i 是虚数单位,复数(a ∈R )的实部与虚部相等,则a=( )A .﹣1B .0C .1D .2 2.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试,其中高三有学生900人,已知高一与高二共抽取了14人,则全校学生的人数为( ) A .2400 B .2700 C .3000 D .36003.已知集合A={y |y=2x ﹣1,x ∈R },B={x |y=lg (x ﹣2)},则下列结论正确的是( ) A .﹣1∈A B .3∉B C .A ∪B=B D .A ∩B=B 4.已知f (x )=为奇函数,则a 的值为( )A .﹣2B .﹣C .D .25.等差数列{a n }的通项为a n =2n ﹣1,其前n 项和为S n ,若S m 是a m ,a m+1的等差中项,则m 的值为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 6.已知双曲线﹣=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0),过F 且垂直于x 轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A ,B ,若A 为BF 的中点,则双曲线的离心率为( )A .B .C .2D .37.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的a=( )A .2B .C .﹣1D .以上都不正确8.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 为线段B 1C 的中点,若三棱锥E ﹣ADD 1的外接球的体积为36π,则正方体的棱长为( )A .2B .2C .3D .49.已知变量x,y满足约束条件Ω:,若Ω表示的区域面积为4,则z=3x﹣y的最大值为()A.﹣5 B.3 C.5 D.710.已知函数数f(x)=sin(ωx﹣)+,x∈R,且f(α)=﹣,f(β)=,若|α﹣β|的最小值为,则函数的单调递增区为()A.[﹣+2kπ,π+2kπ],k∈Z B.[﹣+3kπ,π+3kπ],k∈ZC.[π+2kπ,π+2kπ],k∈Z D.[π+3kπ,π+3kπ],k∈Z11.如图所示为某几何体的三视图,其体积为48π,则该几何体的表面积为()A.24πB.36πC.60πD.78π12.已知函数f(x)=x3﹣bx2﹣4,x∈R,则下列正确的是()A.当b>0时,∃x0<0,使得f(x0)=0B.当b<0时,∀x<0,都有f(x)<0C.f(x)有三个零点的充要条件是b<﹣3D.f(x)在区间(0.+∞)上有最小值的充要条件是b<0二、填空题:本题共4小题,每小题5分=2.1x+0.85,则m的值为.14.已知向量=(x,1)在=(1,)方向上的投影为,则x=.15.已知抛物线C:y2=6x,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A,交抛物线的准线于点B,若=3,则点A到原点的距离为.16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bcosC﹣ccosB=4,≤C≤,则tanA的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知数列{a n}满足a n+1=2a n+n﹣1,且a1=1.(Ⅰ)求证:{a n+n}为等比数列;(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n.18.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,点E在A1D上.(1)证明:AA1⊥面ABCD.(2)当为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.19.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的50“”99%的把握认为1人不赞成“使用微信交流”的概率参考公式:K2=,(n=a+b+c+d).20.已知曲线E上的点M(x,y)到点F(2,0)的距离与到定直线x=的距离之比为.(I)求曲线E的轨迹方程;(Ⅱ)若点F关于原点的对称点为F′,则是否存在经过点F的直线l交曲线E于A、B两点,且三角形F′AB的面积为,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.21.已知函数g(x)=alnx+x2+(1﹣b)x.(Ⅰ)若g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0,求a,b的值;(Ⅱ)若b=a+1,x1,x2是函数g(x)的两个极值点,求证:g(x1)+g(x2)+4<0.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,等边三角形ABC内接于圆O,以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D,AD 交圆O于点E.(Ⅰ)证明:四边形ABDC为菱形;(Ⅱ)若DE=2,求等边三角形ABC的面积.[选修4-4:坐标系与参数方程].23.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(I)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;(Ⅱ)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值.[选修4-5:不等式选讲].24.设函数f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R.(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根,求a的取值范围.2016年江西省百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第九模拟) Word版含解析
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第九模拟)一、选择题:共12题1.设直角坐标系xOy内的一点P(m,n),且满足(i是虚数单位),则点P的坐标是A.(1,-3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(1,3)【答案】D【解析】本题主要考查考生对相关概念的理解和复数的运算.因为==,所以m=1,n=3.选择D.2.函数f(x)=(x-2)·的定义域是A.(-1,-)B.(-,)C.(-∞,-1]∪(2,+∞)D.[-1,2)【答案】C【解析】本题考查函数定义域的求解及不等式的解法,考查考生对基础知识的掌握情况.因为≥0,所以(x-2)(x+1)≥0,且x-2≠0,解得x≤-1或x>2.3.椭圆+=1的焦点坐标是A.(0,±)B.(±,0)C.(0,±)D.(±,0)【答案】A【解析】本题考查了椭圆的标准方程的简单应用.解题时注意确定焦点所在的坐标轴.由题意知,a=3,b=2,故c=,易知椭圆+=1的焦点在y轴上,所以椭圆+=1的焦点坐标是(0,±),故选A.4.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查向量数量积的运算和投影的概念与求法,考查考生的运算能力,属于基础题.先运用向量的数量积得e1·e2=|e1|·|e2|·cos,进而得a·b=5,再由向量投影的概念可得向量a在b 方向上的投影为,即可得到所求值.由e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,可得e1·e2=|e1|·|e2|·cos.若a=e1+3e2,b=2e1,则a·b=2+6e1·e2=2+6×=5,|b|=2,所以向量a在b方向上的投影为.5.在区间[-2,4]上随机抽取实数x,若x满足x2≤m的概率为,则实数m的值为A.2B.3C.4D.9【答案】D【解析】本题考查几何概型的相关知识,画出数轴是求解本题的关键.画出数轴,利用x满足x2≤m的概率为,直接求出m的值即可.如图,区间[-2,4]的区间长度是6,因为在区间[-2,4]上随机抽取实数x,x满足x2≤m的概率为,所以m=9.故选D.6.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是A.57B.34C.32D.29【答案】D【解析】本题主要考查程序框图,考查考生的识图能力,属于中档题.执行题图中的程序框图,列表如下:7.已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<|φ|<π)的部分图象如图所示,则满足|f(x)|<1的f(x)的单调递减区间是A.(3+4kπ,4+4kπ),k∈ZB.(1+2k,2+2k),k∈ZC.(3+4k,4+4k),k∈ZD.(1+2kπ,2+2kπ),k∈Z【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查考生灵活应用知识的能力.-=1,∴T=4,ω=,又+φ=kπ(k∈Z),<|φ|<π,∴φ=-,又A sin(0-)=-1,∴A=,∴f(x)=sin(x-).易知满足题意的条件为π+2kπ<x-π<+2kπ,k∈Z,化简得3+4k<x<4+4k,k∈Z,故选择C.8.设实数x,y满足,定义:max{a,b}=.记z=max{x+2y+2,2x+3y-1},且z=x+2y+2,则z的最大值是A.8 B.5 C.9 D.4【答案】A【解析】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域,考查考生分析和处理问题的能力.∵z=max{x+2y+2,2x+3y-1}=x+2y+2,∴x+2y+2≥2x+3y-1,即x+y≤3,此时,x,y所满足的条件是,作出约束条件所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,则C(0,3)是z的最大值的最优解,且z max=0+2×3+2=8,选择A.9.已知在数列{a n}中,a1=,当n∈N*,且n≥2时,a n=3a n-1+2n-1,则a6=A.544B.211C.322D.431【答案】D【解析】本题考查递推数列和等比数列的通项公式的求法,考查考生的运算求解能力.因为a n=3a n-1+2n-1,所以a n=3a n-1+(3-2)·2n-1,得a n+2n=3a n-1+3·2n-1=3(a n-1+2n-1),所以数列{a n+2n}是首项为,公比为3的等比数列,因此a n+2n=·3n-1,从而得a n=55×3n-4-2n,a6=55×32-26=431.10.设p:∃x0∈R,=mx0,q:∀x>0,2x+≥m,若p∨(¬q)是假,则实数m的取值范围是A.[,e)B.(e,]C.[0,e)D.[0,]【答案】D【解析】本题考查的真假判断和不等式的知识,考查考生分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力.因为p∨(¬q)是假,所以p是假,q是真.当m=0时,=mx0不成立;当m>0时,设直线y=mx与y=e x 相切时的切点为T(t,e t),则m=e t=,得t=1,m=e,当0<m<e时,直线y=mx与y=e x相离,=mx0不成立,则0≤m<e.由q是真,知m≤2x+在(0,+∞)上恒成立,即m≤(2x+)min=,当且仅当2x=,即x=时等号成立.综上,0≤m≤.11.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,则此球的体积等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三棱柱的结构特征、球的体积的计算及勾股定理等,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,侧棱垂直于底面,所以△ABC、△A1B1C1都是边长为4的等边三角形,如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,O1、O2分别是△A1B1C1、△ABC的中心,O 是O1O2的中点,D是AB的中点,所以O1O2=4,O2C=CD=×4=4.因为三棱柱各顶点都在同一球面上,所以外接球的半径R=OC,在Rt△OO2C中,由勾股定理可得R=OC==2,故外接球的体积V=π·R3=.12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若△ABC的面积为2,AB边上的中线长为,且b=a cos C+c sin A,则a=A.2B.C.或2D.2【答案】C【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,考查了考生的推理能力与计算能力.由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C),展开化简可得tan A=1,结合A∈(0,π),可得A=,利用S△ABC=bc sin A=2,可得bc=4,在△ACD中,由余弦定理解得b,c,进而在△ABC 中利用余弦定理得出结果.如图所示,设D为AB的中点.∵b=a cos C+c sin A,∴由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin C sin A=cos A sin C,∵sin C≠0,∴tan A=1,又A∈(0,π),∴A=.∵S△ABC=bc sin A=2,∴bc=4.在△ACD中,由余弦定理可得()2=b2+()2-2b×cos,化简得4b2+c2=24,与bc=4联立可得b=,c=4或b=2,c=2.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos,解得a=或2.二、填空题:共4题13.已知集合A={y|y=,x∈(0,2)},B={x|y=lg(2x+1)},则A∪B=.【答案】(-1,+∞)【解析】本题主要考查函数的定义域、值域,集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,属于容易题.因为y==1-在(0,2)上是增函数,所以y∈(-1,),即A=(-1,),由已知得B=(-,+∞),所以A∪B=(-1,+∞). 14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【答案】6+(+)【解析】本题考查由三视图还原直观图的方法、三棱锥的表面积计算,考查考生的空间想象能力与计算能力.由题意知,该几何体的直观图如图所示,则其表面积为×4×3+×4×+×5×+×3×3=6+(+).15.定义运算:x▽y=,例如:3▽4=3,(-2)▽4=4,则函数f(x)=x2▽(2x-x2)的最大值为.【答案】4【解析】本题考查考生对新定义函数的理解和运用,考查二次函数的最值的求法,考查考生的运算能力,属于中档题.由题意可得f(x)=x2▽(2x-x2)=,当0≤x≤2时,f(x)∈[0,4];当x>2或x<0时,f(x)∈(-∞,0).综上可得f(x)的最大值为4.16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2p,则双曲线的离心率为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义,双曲线、抛物线的性质.先根据条件及抛物线的定义求点M 的坐标,再根据抛物线的准线经过双曲线的左焦点,求得双曲线的半焦距c与p的关系,最后将点M的坐标代入双曲线的方程,并结合b2=c2-a2,e=求得双曲线的离心率.设点M的坐标为(x,y),由抛物线的定义可得|MF|=x+=2p, 解得x=,将x=代入抛物线的方程得y2=2p·=3p2,解得y=±p,因此点M的坐标为(,±p).由于抛物线的准线x=-经过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,因此有-=-c,即c=,因此双曲线的方程为-=1,不妨取M(,p),将点M的坐标代入双曲线的方程得-=1,整理得4b4+20p2b2-3p4=0,解得b2=,所以a2=,即a=,所以e=.三、解答题:共8题17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和T n.【答案】(1)因为S n=n2+n,所以S n-1=n2-n(n≥2).所以a n=S n-S n-1=2n(n≥2),当n=1时,a1=S1=2也满足上式,所以a n=2n.(2)由(1)知S n=n(n+1),所以,所以T n=+++…+,所以T n=+++…+,两式相减得T n=+++…+-,所以T n=-,所以T n=2-.【解析】本题主要考查a n与S n的关系、错位相减法求和等,考查考生的运算求解能力,属于基础题.(1)由a n与S n的关系求出a n;(2)利用错位相减法求和.【备注】数列是高考的热点内容,但是无论怎样,肯定少不了考查数列(包括等差数列与等比数列)的基本概念、基本公式,如通项公式、前n项和公式(公式法、错位相减法、裂项相消法)的理解与记忆,与函数、不等式、方程等知识交汇仍然是这类问题的常见规律,万变不离其宗,考生在复习备考中只要把数列部分的基础知识落实好,就能在高考中游刃有余,解题时得心应手.18.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为,点P,Q,R分别在棱AA1,BB1,BC上,Q是BB1的中点,且PQ∥AB,C1Q⊥QR.(1)求证:C1Q⊥平面PQR;(2)若C1Q=,求四面体C1PQR的体积.【答案】(1)∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,∴AB⊥平面B1BCC1,又PQ∥AB,∴PQ⊥平面B1BCC1,∴C1Q⊥PQ,又C1Q⊥QR,且QR∩PQ=Q,∴C1Q⊥平面PQR.(2)∵B1C1=,C1Q=,∴B1Q=1,∴BQ=1.∵Q是BB1的中点,C1Q⊥QR,∴∠B1C1Q=∠BQR,∠C1B1Q=∠QBR,∴Rt△B1C1Q∽Rt△BQR,∴BR=,∴QR=.由(1)可知C1Q、QR、QP两两垂直,∴四面体C1PQR的体积V=×C1Q×QR×QP=.【解析】本题主要考查空间线面垂直的证明、几何体的体积等知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1)利用线面垂直的判定定理进行证明;(2)由(1)得C1Q、QR、QP两两垂直,分别求出C1Q、QR、QP的长即可求出四面体C1PQR的体积.【备注】高考立体几何部分的题目难度不会太大,其考查方向主要有以下几点:(1)直接结合给出的几何体的直观图,考查线线、线面、面面的位置关系(平行、垂直为主),考查几何体的表面积或体积;(2)以三视图为背景,要求考生先还原几何体的直观图,再考查第(1)点的内容;(3)将立体几何知识与实际问题相结合,利用数学知识解答实际问题.19.某地高考分数的分布呈双峰分布,从2015年高考文科考生中随机抽取了2 000人,把他们的历史成绩绘制成频率分布直方图,如图所示.(1)求他们的历史成绩的众数,并估算中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)按分层抽样的方法分别从成绩低于60分和不低于60分的两个层次的学生中抽取若干人的试卷进行分析,其中不低于60分的样本中抽取了2份,然后从这若干份中抽取2份进行详细分析,求这2份试卷来自同一层次的概率.【答案】(1)由图可知,众数是35,75.因为0.025+0.050+0.10+0.20+0.125=0.5,所以中位数估算为50,平均数约为=5×+15×+25×+35×+45×+55×+65×+75×+85×+95×=(95+5)×+15×+(25+55+65)×+45×+(35+ 75)×+85×=51.75.(2)依题意,各层次抽取的比例为3∶2,故从成绩低于60分的层次中抽取3份,分别记为a,b,c,从成绩不低于60分的层次中抽取2份,分别记为x,y,设事件A为“这2份试卷来自同一层次”,所有的基本事件有ab,ac,ax,ay,bc,bx,by,cx,cy,xy,共10个,其中事件A包含的基本事件有ab,ac,bc,xy,共4个,因此P(A)=.【解析】本题考查众数、中位数、平均数的求解及分层抽样和古典概型的知识,考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.(1)利用众数、中位数、平均数的求解方法求解即可;(2)利用分层抽样和古典概型的知识求解.【备注】概率与统计解答题常以统计图表为载体考查用样本估计总体的方法和古典概型概率的计算,概率计算的关键是画数表或树状图写全所有的基本事件和满足特殊条件的基本事件,凸显逻辑划分和构建有序实数对的能力.20.已知点M到两个定点O(0,0),D(0,-3)的距离之比为.(1)求点M的坐标满足的方程;(2)记点M的坐标满足的方程为曲线C,过点D作斜率存在的直线l交曲线C于P,Q两点,设曲线C与y轴相交于A,B两点,求证:直线AP,BQ的交点在某条定直线上.【答案】(1)设点M(x,y),则,化简得点M的坐标满足的方程是x2+(y-1)2=4.(2)设直线l:y=kx-3(|k|>),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2),联立⇒(1+k2)x2-8kx+12=0,于是x1+x2=,x1x2=,观察得,3(x1+x2)=2kx1x2.不妨设A(0,-1),B(0,3),则k AP=,直线AP的方程是y+1=·x,同理,直线BQ的方程是y-3=·x,联立可得,y=1+=1+.所以y=1+=0,故直线AP,BQ的交点在定直线y=0上.【解析】本题考查圆的方程的求解及直线与圆的位置关系,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.(1)设出点M的坐标,根据已知条件运算即可求解;(2)设出直线的方程,联立直线与圆的方程,利用根与系数的关系及直线的相关知识求解.【备注】高考对解析几何的考查主要集中在以下几个类型:①求圆锥曲线的方程;②直线与圆锥曲线的交点问题和切线问题; ③与圆锥曲线有关的最值问题;④与圆锥曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);⑤探求圆锥曲线方程中几何量及参数间的数量特征.21.设函数f(x)=cos x-1+mx2(x∈R,m∈R).(1)当m=时,讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当m≥时,f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.【答案】(1)当m=时,f(x)=cos x-1+x2,则f'(x)=-sin x+x,设g(x)=-sin x+x,因为g'(x)=-cos x+1≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(0)=0,所以当x≥0时,f'(x)=g(x)≥g(0)=0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数;当x<0时,f'(x)=g(x)<g(0)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,sin x≤x,又m≥,于是f'(x)=-sin x+2mx≥-x+x=0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,因此当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,故当m≥时,f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等.(1)求导,利用导函数的符号确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论及m的取值范围即可证明.【备注】利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法是转化,把问题转化为研究函数的单调性或最值问题,通过单调性或最值得出结论.本题就是本着这种思想命制的,其背景选自2012年辽宁卷中选择题的选项x≥0,cos x≥1-x2的结论,并且结合了考试中心的风格.22.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆O与BC交于点E.(1)求证:CE·CB=AD·DB;(2)若BE=4,点N在线段BE上移动,∠ONF=90°,NF与☉O相交于点F,求NF长度的最大值. 【答案】(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴CD2=AD·DB.∵CD是圆O的切线,由切割线定理得CD2=CE·CB,∴CE·CB=AD·DB.(2)连接OF,∵ON⊥NF,∴NF=,∵线段OF的长度为定值,∴需求线段ON长度的最小值,易知弦中点到圆心的距离最短,此时N为BE的中点,点F与点B或点E重合,∴(NF)max=BE=2.【解析】本题考查两组线段乘积相等的证明、线段长度最大值的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.(1)由∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,得到CD2=AD·DB,由此利用切割线定理即可证明CE·CB=AD·DB;(2)由NF=,线段OF的长度为定值,知需求线段ON长度的最小值,由此即可求出结果.23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由. 【答案】(1)对于曲线C1有x+y=1,对于曲线C2有+y2=1.(2)显然曲线C1:x+y=1为直线,则其参数方程可写为(α为参数),与曲线C2:+y2=1联立,可得5α2-12α+8=0,可知Δ>0,所以C1与C2存在两个交点,由α1+α2=,α1α2=,得两交点间的距离d=|α2-α1|=【解析】无24.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+x.(1)解不等式f(x)-g(x)≥|x+1|;(2)若存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)依题意,得g(x)=-f(-x)=-x2+x,则f(x)-g(x)=2x2,于是原不等式为2x2≥|x+1|,等价于或, 解得x<-1或-1≤x≤-或x≥1,因此原不等式的解集为(-∞,-]∪[1,+∞).(2)存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,等价于a≥[f(x)-g(x)-|x+1|]min,令h(x)=f(x)-g(x)-|x+1|=2x2-|x+1|,则h(x)=,所以h(x)min=h()=-.所以a≥-,即实数a的取值范围是[-,+∞).【解析】本题考查绝对值不等式的求解及不等式的存在性问题,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.(1)分类讨论求解;(2)转化为函数的最值求解.。
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第七模拟) Word版含解析
百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第七模拟)一、选择题:共12题1.已知集合A={x|-1<x<4},B={x∈Z|x2-6x<0},则A∩B=A.{1,2}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{2,3,4}【答案】C【解析】本题考查不等式的解法、集合的基本运算,考查考生基本的运算能力,属于基础题.通解解题时,先求出集合B,再求解交集;优解由排除法得出正确选项.通解由x2-6x<0可得0<x<6,所以B={1,2,3,4,5},所以A∩B={1,2,3}.优解因为求的是交集,先排除D,又元素1,2,3均符合集合A和B,故选C.2.已知tanα<0,且sinα=-,则sin 2α=A. B.- C. D.-【答案】B【解析】本题考查三角函数求值,考查考生基本的运算能力和对基础知识的掌握情况.解题的关键在于由tanα<0,sinα<0分析出α为第四象限角,从而求出cosα=.由条件可得α为第四象限角,cosα=,则sin 2α=2sinαcosα=-.3.已知复数z=(3+2i7)(4-5i6)(i为虚数单位),则在复平面内复数z所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题考查复数的乘法、几何意义,考查考生基本的运算能力和对基础知识的掌握情况.解题时,先将复数z化简为a+b i(a,b∈R)的形式,再确定其所对应的点所在的象限.依题意,z=(3+2i7)(4-5i6)=9(3-2i)=27-18i,故在复平面内,复数z所对应的点的坐标为(27,-18),位于第四象限,故选D.4.已知x,y满足不等式组,则z=x-4y的最小值为A.-1B.-C.D.1【答案】A【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的数形结合能力、基本运算能力.通解作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,从而可得点A(,0),B(0,),C(0,),作出直线x-4y=0并平移,易知当z=x-4y经过点B(0,)时,目标函数取得最小值,且最小值为z min=-1,故选A.优解易知顶点坐标分别为(,0),(0,),(0,),分别代入z=x-4y,得,-1,-,所以目标函数的最小值为z min=-1,故选A.5.直线l1:2x-y-1=0与直线l2:ax+4y+2=0平行的充要条件是A.a=-8B.a=-C.a=8D.a=2【答案】A【解析】本题考查两直线平行、充要关系的判定等知识,考查考生对基础知识的掌握情况与逻辑思维能力.若直线l1:2x-y-1=0与直线l2:ax+4y+2=0互相平行,则-=2,解得a=-8;当a=-8时,≠,此时直线l1:2x-y-1=0与直线l2:ax+4y+2=0互相平行.所以a=-8是直线l1:2x-y-1=0与直线l2:ax+4y+2=0互相平行的充要条件.6.运行如图所示的程序框图,当输入x的值为5时,输出y的值恰好是,则处的关系式可以是A.y=x5B.y=5-xC.y=5xD.y=【答案】C【解析】本题考查考生对程序框图的理解与应用,考查考生的识图与用图能力、运算求解能力.当x=5时,因为x>0,所以x=x-2=3;当x=3时,因为x>0,所以x=x-2=1;当x=1时,因为x>0,所以x=x-2=-1;当x=-1时,y=,则处的关系式可以是y=5x.7.已知对数函数y=f(x)的图象过点P(81,-4),则在(0,10]内任取一个实数x,使得f(x)<2成立的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查对数函数的定义、图象与性质以及几何概型的概率求解,考查基本的逻辑推理与计算能力等.首先设出对数函数的解析式,根据函数图象上的点的坐标确定解析式中的参数,进而利用对数函数的单调性解不等式,得到实数x的取值范围,最后代入几何概型的概率计算公式求解.由题意可设f(x)=log a x(a>0,a≠1).由点P(81,-4)在函数图象上可得,log a81=-4,即a=,所以f(x)=x.由f(x)<2,即x<2,解得x>.又x∈(0,10],所以f(x)<2的解集为(,10].所以所求事件的概率P=,故选A.8.已知正项等差数列{a n}单调递增,其前n项和为S n,且a1+a2=(a3+a4+a5),若a1,a2,a3,a4,a5均为正整数,则数列{a n}的前5项和S5可以是A.119B.120C.121D.122【答案】B【解析】本题考查等差数列的相关知识,涉及等差数列的通项公式与前n项和公式,考查考生的运算求解能力和简单的分析能力.设公差为d,由a1+a2=(a3+a4+a5),得2a1+d=(3a1+9d),整理可得d=a1,若a1,a2,a3,a4,a5均为正整数,只需a1是2的倍数,则d是11的倍数,根据条件,若a1=2,则d=11,可得数列{a n}的前5项和S5为5×2+×11=120.9.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,若A,B,C,D四点共圆,则AC的长为A.5 kmB.6 kmC.7 kmD.8 km【答案】C【解析】本题考查解三角形的知识.根据A,B,C,D四点共圆,可得∠D+∠B=π,再由余弦定理可得cos ∠D=-,代入余弦定理可得AC的长.因为A,B,C,D四点共圆,所以∠D+∠B=π,在△ABC和△ADC中,由余弦定理可得,82+52-2×8×5×cos(π-∠D)=32+52-2×3×5×cos ∠D,cos ∠D=-,可得AC2=32+52-2×3×5×(-)=49,故AC的长为7 km.10.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为A. B.5 C.3 D.3【答案】D【解析】本题考查三视图与空间几何量的计算,重点考查考生的空间想象能力.准确还原出几何体的直观图是关键.由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,其中AD,AB,AG两两垂直,平面AEFG⊥平面ABCE,BC∥AE∥GF,AB=AD=AG=BC=GF=3,DE=1,根据几何体的结构特征可得AC=AF=3,GC=BF==3,GE=BE==5,BG=CF=3,AE=4,EF=,CE=,故该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为3.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=λ|PF2|(λ>1),·=0,双曲线的离心率为,则λ=A. B.2+ C.2+ D.2【答案】B【解析】本题考查双曲线的定义、离心率,考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力和数形结合思想.由·=0可知⊥,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,即λ|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=,|PF1|=,由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为|F1F2|=2a,在△PF1F2中,由勾股定理可得()2+()2=(2a)2,得λ=2+.12.若关于x的不等式≥6-4x在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围为A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【答案】D【解析】本题考查导数与函数的单调性、最值,考查考生的数形结合能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.解题时,先分离参数,再构造函数,将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解.因为x∈(0,+∞),故≥6-4x⇔m e x≥6x-4x2⇔m≥.令f(x)=,则f'(x)=,故函数f(x)在(0,)和(3,+∞)上单调递增,在(,3)上单调递减,且当x趋近于+∞时,f(x)趋近于0,故f(x)max=f()==2,故m≥2,故选D.二、填空题:共4题13.已知平面向量a=(1,2),b=(2,x),若a⊥b,且a-2b与a+b所成的角为θ,则cosθ=.【答案】-【解析】本题考查平面向量垂直的充要条件、向量夹角的求解,考查考生的运算能力,属于基础题.由a⊥b可得2+2x=0,所以x=-1,则a-2b=(-3,4),a+b=(3,1),所以cosθ==-.14.已知函数f(x)=sin x++a,x∈[-5π,0)∪(0,5π].记函数f(x)的最大值为M,最小值为m,若M+m=20,则实数a的值为.【答案】10【解析】本题考查函数的奇偶性、函数的最值等知识,考查考生的数形结合能力、运算求解能力和分析问题与解决问题的能力.令函数g(x)=sin x+,因为x∈[-5π,0)∪(0,5π],且g(-x)=-g(x),故函数g(x)为奇函数,故g(x)max+g(x)min=0,故M+m=g(x)max+a+g(x)min+a=20,解得a=10.15.已知球O的半径为R,过球O的半径的中点作垂直于此半径的截面,该截面的面积为3π,若一个直四棱柱的底面是边长为1的正方形,且八个顶点都在球O的表面上,则该四棱柱的表面积为.【答案】4+2【解析】本题考查棱柱的表面积、棱柱的外接球,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.解题的关键是得到球的半径与四棱柱的高.由条件可得球O的截面圆的半径为,根据球的性质可得()2+3=R2,故R=2,设该四棱柱的高为h,则2×12+h2=42=16,故h=,故该四棱柱的表面积为2+4×1×=4+2.16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义、几何性质,利用基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识.先画出图象、作出辅助线,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义得2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,再根据基本不等式,求得|AB|2的取值范围,代入化简即可得到答案.如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,则由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2ab cos 120°=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,因为ab≤()2(当且仅当a=b时等号成立),所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,所以≥=3,则≥,即所求的最小值是.三、解答题:共8题17.已知数列{a n}满足a1=2,前n项和为S n,若S n=2(a n-1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(log2a n+1)2-(log2a n)2,若c n=a n b n,求{c n}的前n项和T n.【答案】(1)由条件可知,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2(a n-a n-1),即a n=2a n-1,又a1=2,∴{a n}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a n=2n.(2)由(1)可得b n=(n+1)2-n2=2n+1,则c n=(2n+1)×2n,∴T n=3×2+5×22+…+(2n+1)×2n①,∴2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)×2n+1②,-②可得-T n=6+2(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1=6+2×-(2n+1)×2n+1=(-2n+1)×2n+1-2,∴T n=(2n-1)×2n+1+2.【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式与错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用S n与a n的关系求解;(2)由数列{c n}的特征利用错位相减法求{c n}的前n项和T n.【备注】数列类解答题主要考查数列的通项公式、前n项和以及求和的方法:裂项相消法、错位相减法等.因此有关数列的问题,在掌握数列的题型后,对数列的通项公式、前n项和公式要掌握好,尤其是等比数列的前n项和,一定要对公比进行讨论.18.农历正月十五是中国的传统节日——元宵节,元宵节吃汤圆是一个古老的汉族传统节日习俗,随着人们生活水平的提高,现如今汤圆的种类也越来越多.在元宵节到来之际,小枫去超市为家里选购3袋汤圆,已知该超市有黑芝麻馅、巧克力馅两种传统口味的汤圆,同时今年又新进了菠萝味、草莓味两种水果馅的汤圆.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,求小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆的概率;(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,求小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆的概率.【答案】记黑芝麻馅的汤圆为A,巧克力馅的汤圆为B,菠萝馅的汤圆为C,草莓馅的汤圆为D.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAA,AAB,AAC,AAD,ABB,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,共10种.记“小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆”为事件M,则事件M包含的情况有AAA,AAB,ABB,共3种,由古典概型的概率计算公式可知P(M)=.(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAC,AAD,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,BBC,BBD,BCC,BCD,BDD,共12种,记“小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆”为事件N,则事件N包含的情况有AAC,ABC,ACC,ACD,BBC,BCC,BCD,共7种,由古典概型的概率计算公式可知P(N)=.【解析】本题主要考查古典概型概率的计算,考查考生的应用意识和分析问题、解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,熟练掌握古典概型的有关知识.【备注】古典概型是高考考查的核心考点,解题思路是先使用列举法求得基本事件的总数,再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,最后按照古典概型的概率计算公式计算.频率分布直方图、抽样方法、回归直线方程、独立性检验、几何概型也经常一起考查,复习的时候应全面.19.已知四棱锥P-ABCD如图所示,其中四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,三角形PAD是等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,点M为棱PC上的点,且PM=P.(1)求证:△PBC是直角三角形;(2)若CD=2,求四棱锥M-ABCD的体积.【答案】(1)取AD的中点O,连接OP,OC,AC,因为∠ABC=60°,四边形ABCD为菱形,所以△ACD为正三角形,所以OC⊥AD,又三角形PAD是等边三角形,所以OP⊥AD,又OP∩OC=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,所以AD⊥平面PO C.又PC⊂平面POC,所以AD⊥P C.因为BC∥AD,故BC⊥PC,即△PBC是直角三角形.(2)由题意知,菱形ABCD的面积S=2,PO=,故V M-ABCD=×2.【解析】本题考查线线垂直的证明、锥体体积的求解,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.(1)实质上是证明线线垂直,应由线面垂直来证线线垂直;(2)解题的关键是熟记锥体的体积公式,并能够灵活应用.【备注】高考中,立体几何试题主要考查空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系及几何体的体积等.证明平行常和三角形的中位线或平行四边形有关;证明垂直的桥梁是线面垂直,要证线线垂直或面面垂直常先证线面垂直.20.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程;(2)试问:△TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意得,b=1,又a2=b2+c2,所以a=,c=1,椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由得,3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,Δ=16m2-24(m2-1)>0,即m2-3<0,所以-<m<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|AB|===.又由题意得,T(1,1)到直线y=x+m的距离d=.假设△TAB的面积存在最大值,则m≠0,S△TAB=|AB|d=.由基本不等式得,S△TAB≤·,当且仅当m=±∈(-,0)∪(0,)时取等号,所以△TAB面积的最大值为.故△TAB的面积存在最大值,且当m=±时,△TAB的面积取得最大值.【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、简单的几何性质,直线和椭圆的位置关系,点到直线的距离,最值问题等,考查了考生的分析推理能力、综合运算能力.对(1),直接由题意求出参数a,b,c,即可求得椭圆的标准方程;对(2),先联立方程,结合题意确定m的取值范围,再由条件求得△TAB的边AB的长及点T到AB的距离,最后即可建立△TAB面积的函数关系式,并利用基本不等式求其最大值.【备注】高考对解析几何的考查往往是以椭圆为载体,有时也考查抛物线与圆的知识,圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质等内容是支撑解析几何的基石,通过解方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系是高考最关键的着眼点,解题时,要注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧.21.设函数f(x)=e x ln x(e是自然对数的底数).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)令Q(x)=1-,证明:当x>0时,f(x)>Q(x)恒成立.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=e x ln x+,所以f(1)=0,f'(1)=e,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1).(2)当x>0时,f(x)>Q(x)恒成立,等价于当x>0时,x ln x>-恒成立.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x,所以当x∈(0,)时,g'(x)<0;当x∈(,+∞)时,g'(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=-.设函数h(x)=-,则h'(x)=,所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.因为g(x)min=g()=h(1)=h(x)max,所以当x>0时,g(x)>h(x),所以当x>0时,f(x)>Q(x)恒成立.【解析】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质中的应用与不等式的证明,考查考生综合分析问题的能力、数形结合能力、等价转化能力及计算能力.(1)考查利用导数求切线,比较基础,容易得分;(2)利用导数研究函数的单调性,将不等式f(x)>Q(x)等价变形为x ln x>-是解题的关键,构造新函数g(x)=x ln x和h(x)=-是难点,然后分别求g(x)=x ln x的最小值和h(x)=-的最大值是技巧,难度比较大.【备注】高考对导数的考查通常是利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式的恒成立问题(处理方法是:分离参数,将问题转化为求函数的最大值或最小值)与不等式的证明(处理方法是:构造函数,利用函数的单调性,将不等式转化为函数值大小的比较).利用导数研究函数的性质有如下特点:重视分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想的考查;重视推理论证能力的考查,把对函数的概念、性质、图象及导数等知识的考查融入到所设计的问题中.22.如图,AB为圆O的一条切线,B为切点,ACD为过圆心O的割线,AB=4,AO=7.求:(1)圆O的直径;(2)∠ABC的正弦值.【答案】(1)设圆O的半径为R,由切割线定理得,AB2=AC·AD=(AO-R)(AO+R),即48=(7-R)(7+R).因为R>0,解得R=1,故圆O的直径为2.(2)连接BD,因为AB为圆O的一条切线,故∠ABC=∠CDB,又∠A=∠A,故△ABC∽△ADB,故.因为CD为圆O的直径,故∠CBD=90°,设BC=k,BD=2k,故CD=k,故sin ∠ABC=sin ∠CDB=.【解析】本题考查切割线定理、三角形相似等知识,考查考生的运算能力和对平面几何的基础知识的掌握情况.(1)利用切割线定理列出等式,求解即可;(2)关键是证明三角形相似,从而得到对应线段的比例关系.23.已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ+).(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为2,求实数m的取值范围.【答案】(1)由ρ=4cos(θ+)可得ρ=4(cosθcos-sinθsin),即ρ-4cosθ+4sinθ=0,所以ρ2-4ρcosθ+4ρsinθ=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-4x+4y=0,即(x-2)2+(y+2)2=8,曲线C对应的图形是以C(2,-2)为圆心,以2为半径的圆.(2)l的参数方程化为普通方程可得x-y-m=0,由条件可知,圆C上的点到直线l的距离的最小值不大于2,即-2≤2,所以0≤≤4,解得-4≤m≤12,即实数m的取值范围是[-4,12].【解析】本题考查将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程、将直线的参数方程转化为普通方程、点到直线的距离公式等知识,考查考生分析问题的能力及转化与化归思想的应用.【备注】求解坐标系与参数方程的试题,通常情况下是将参数方程转化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程,将所要解决的问题统一到直角坐标系中进行处理,但在转化过程中必须注意以下两点:(1)参数的取值范围;(2)弄清曲线与直线的位置关系,采用数形结合的方法,解题将更加简捷.24.已知函数f(x)=|x+a|(a∈R).(1)若a=1,解不等式f(x)+|x-3|≤2x;(2)若不等式f(x)+|x-1|≥3在R上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)依题意,|x+1|+|x-3|≤2x.当x<-1时,原不等式化为-1-x+3-x≤2x,解得x≥,故无解;当-1≤x≤3时,原不等式化为x+1+3-x≤2x,解得x≥2,故2≤x≤3;当x>3时,原不等式化为x+1+x-3≤2x,即-2≤0恒成立.综上所述,不等式f(x)+|x-3|≤2x的解集为[2,+∞).(2)f(x)+|x-1|≥3⇔|x+a|+|x-1|≥3恒成立,由|x+a|+|x-1|≥|a+1|可知,只需|a+1|≥3即可,故a≥2或a≤-4,即实数a的取值范围为{a|a≥2或a≤-4}.【解析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题,考查考生的运算能力及分类讨论思想的应用.【备注】解含绝对值不等式的指导思想是通过等价变形去掉绝对值符号,常用的方法是: ①由定义分类讨论,如零点分段讨论法;②利用绝对值不等式的性质;③平方.。
2017届全国高三最后一次模拟(I卷)文科数学试题及答案
2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明:一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部分.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案.四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.(1)设集合{}{}21,0,1,|M N x x x=-==,则M N⋂=(A){}1,0,1-(B){}0,1(C){}1(D){}0(2)复数z=1-3i1+2i,则(A)|z|=2 (B)z的实部为1(C)z的虚部为-i (D)z的共轭复数为-1+i(3)不等式x -1x 2-4>0的解集是(A )(-2,1)∪(2,+∞) (B )(2,+∞)(C )(-2,1) (D )(-∞,-2)∪(1,+∞)(4)执行右面的程序框图,若输出的k =2,则输入x 的取值范围是(A )(21,41) (B )[21,41] (C )(21,41] (D )[21,41)(5)已知p : x ∈R,ax 2-ax +1≥0,q :(a -1)2≤1;则p 是q成立的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (6)函数f (x )=(x +2)3-( 1 2)x的零点所在区间是(A )(-2,-1) (B )(-1,0) (C )(0,1) (D )(1,2)(7)已知向量a=(1, 2),b=(2,3)若(c +a )∥b ,c ⊥(b +a ),则c=开始 是x ≤81?否 输入x x =2x -1 结束k =0输出k k =k +1(A )( 79 , 73 ) (B )( 73,79) (C )( 73 , 79 ) (D )(- 79 ,- 73) (8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A )1136 (B ) 3(C )533 (D )433(9)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , a 1+a 3= 52,且a 2+a 4= 5 4,则S n a n=(A )4n -1(B )4n-1 (C )2n -1(D )2n-1(10)已知函数f (x )=cos (2x + π 3),g (x )=sin (2x +2π3),将f (x )的图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合(A )向右平移 π 12 (B )向左平移 π6(C )向左平移 π 12 (D )向右平移 π6俯视图(11)过双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为(A) 2 (B)2 (C) 5 (D) 3(12)函数,其图像的对称中心是(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(0,1)(D)(0,-1)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.(13)在等差数列{a n}中,a7=8,前7项和S7=42,则其公差是为_________.(14)四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形,侧棱长都等于45,则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________.(15)点P在△ABC内部(包含边界),|AC|=3, |AB|=4,|BC|=5,点P到三边的距离分别是d1, d2 , d3 ,则d1+d2+d3的取值范围是_________.(16)△ABC的顶点A在圆O:x2+y2=1上,B,C两点在直线3 x+y+3=0上,若|-AC |=4,则△ABC面积的最小值为_____.三、解答题:本大题共70分,其中(17)—(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a≥b,sin A +3cos A=2sin B.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求a+bc的最大值.(18)(本小题满分12分)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:(Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析,求抽到恰好有1场得分不足10分的概率.(19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形,侧面BB 1C 1C 为菱形,∠CBB 1=60 ,AB ⊥B 1C .(Ⅰ)求证:平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ;(Ⅱ)若AB =2,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积.BBCOBAA 1C1A 1(20)(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M (-2,-1),离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)试判断直线PQ 的斜率是否为定值,证明你的结论.(21)(本小题满分12分)已知函数 x 轴是函数图象的一条切线.(Ⅰ)求a ; (Ⅱ)已知.请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲BC ︵的如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为中点,E 为BC 的中点.O(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P 的轨迹为C2.(Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程;(Ⅱ)求曲线C2上的点到直线ρcos(θ+4)=2距离的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设f(x)=|x-3|+|x-4|.(Ⅰ)解不等式f(x)≤2;(Ⅱ)若存在实数x满足f(x)≤ax-1,试求实数a的取值范围.2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标I卷)参考答案一、选择题:BDACB B DCDA AC二、填空题:(13) 23;(14)100 ;(15)[125,4];(16)1.三、解答题:(17)解:(Ⅰ)sin A+3cos A=2sin B即2sin(A+3)=2sin B,则sin(A+3)=sin B.…3分因为0<A,B< ,又a≥b进而A≥B,所以A+3= -B,故A+B=23,C=3.……………………………6分(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得a+bc=sin A+sin Bsin C=23[sin A+sin(A+3)]=3sin A+cos A=2sin(A+6).…10分当A=3时,a+bc取最大值2.……………………………12分(18)解:(Ⅰ)x-甲= 18(7+9+11+13+13+16+23+28)=15,x-乙= 18(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,s2甲= 18[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,s2乙= 18[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小).…4分(Ⅱ)题设所述的6个场次乙得分为:7,8,10,15,17,19.……………………………7分从中随机抽取2场,这2场比赛的得分如下:(7,8),(7,10),(7,15),(7,17),(7,19),(8,10),(8,15),(8,17),(8,19),(10,15),(10,17),(10,19),(15,17),(15,19),(17,19),共15种可能,……………………………9分其中恰好有1场得分在10分以下的情形是:(7,10),(7,15),(7,17),(7,19),(8,10),(8,15),(8,17),(8,19),共8种可能,所求概率P=8 15.……………………………12分(19)解:(Ⅰ)由侧面ABB1A1为正方形,知AB⊥BB1.又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,又AB 平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥BB1C1C.…4分B1B(Ⅱ)设O是BB1的中点,连结CO,则CO⊥BB1.由(Ⅰ)知,CO⊥平面ABB1A1,且CO=32BC=32AB=3.连结AB1,则V C-ABB1=13S△ABB1·CO=16AB2·CO=233.…8分因V B1-ABC=V C-ABB1=13V ABC-A1B1C1=233,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V ABC-A1B1C1=23.………………………12分(20)解:(Ⅰ)由题设,得4a2+1b2=1,①且a2-b2a=22,②由①、②解得a2=6,b2=3,椭圆C的方程为x26+y23=1.………………………………………………5分(Ⅱ)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,-2,x1是该方程的两根,则-2x1=8k2-8k-41+2k2,x1=-4k2+4k+21+2k2.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=-4k2-4k+21+2k2.………………………………………………9分因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),故k PQ=y1-y2x1-x2=k(x1+2)+k(x2+2)x1-x2=k(x1+x2+4)x1-x2=8k1+2k28k1+2k2=1,因此直线PQ的斜率为定值.……………………………………………12分(21)解:(Ⅰ)f (x)=当x∈(0,a)时,f (x)<0,f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f (x)>0,f(x)单调递增.…………………………2分∵ x轴是函数图象的一条切线,∴切点为(a,0).f(a)=lna+1=0,可知a =1. ……………………………5分(Ⅱ)令1+,由x>0得知t>1,,于是原不等式等价于:. ……………………………7分取,由(Ⅰ)知: 当t ∈(0,1)时,g (t )<0,g (t )单调递减, 当t ∈(1,+∞)时,g (t )>0,g (t )单调递增. ∴ g (t )> g (1)=0,也就是.∴. (12)分(22)证明:(Ⅰ)连接OE ,因为D 为BC ︵的中点,E 为BC 的中点,所以OED 三点共线.因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点,所以OE ∥AB ,故DE ∥AB .(Ⅱ)因为D 为BC ︵的中点,所以∠BAD =∠DAC ,又∠BAD =∠DCB ∠DAC =∠DCB . 又因为AD ⊥DC ,ADE ⊥CE △DAC ∽△ECD .AC CD =ADCEAD ·CD =AC ·CE 2AD ·CD =AC ·2CE 2AD ·CD =AC ·BC . (23)解:(Ⅰ)设P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有ρ1sin θ=2,ρρ1=4.……………………………3分消去ρ1,得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. ………………………5分(Ⅱ)将C 2,C 3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C 2:x 2+(y -1)2=1,C 3:x -y =2.………………………… …7分C 2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C 3的距离d =322,故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1+322.………………………10分(24)(Ⅰ)f (x )=|x -3|+|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧7-2x ,x <3,1,3≤x ≤4,2x -7,x >4.………………………2分作函数y =f (x )的图象,它与直线y =2交点的横坐标为52和 9 2,由图象知不等式f (x )≤2的解集为[ 5 2, 92].………………………5分(Ⅱ)函数y =ax -1的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数y =f (x )与直线y =ax -1有公共点时,存在题设的x .由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪[ 1 2,+∞).…………………10分= 1 2。
2017全国卷Ⅰ高考压轴卷(数学文)
绝密★启封前2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分.考试时间为120分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合{|21,}x A y y x R ==-∈,2{|20}B x x x =--<,则()A .1A -∈B .3B ∉ C .()R A C B A = D .A B A =2.已知复数的共轭复数为,若||=4,则·=( )(A )4 (B )2 (C )16(D )±23.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列,点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上,则数列{}n a 的前项和为()A .22n- B .122n +- C .21n - D .121n +-4齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为( ) (A )31(B )41(C )51(D )615.已知函数()212()lg 12sin ,()()0f x x x x x f x f x =+++++>,则下列不等式中正确的是()A .12x x >B .12x x <C .120x x +<D .120x x +>6.执行如下图所示的程序框图,如果输入t =0.1,则输出的n =()A .2B .3C .4D .57.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD 为正方形,E ,F 分别为PA ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE 与直线CF 异面;②直线BE 与直线AF 异面; ③直线EF ∥平面PBC ;④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的选项是( )A .①③B.②③ C.②③④ D ①③④8.设变量x ,y 满足1,0,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则点(,)P x y x y +-所在区域的面积为()A .2B .1C .12D .149.锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为,,,且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-,若3a =,则22b c +的取值范围是()A .(]3,6B .()3,5 C.(]5,6 D .[]5,610.P 为双曲线221916x y -=的右支上一点,M ,N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为( )A .B .C .D .11. 设数列{}n a 的前项和为n S ,且11a =,{}n n S na +为常数列,则n a = A. 113n - B.523n- C. 6(1)(2)n n ++ D.2(1)n n +12.已知函数f (x )=x e -ax 有两个零点x 1<x 2,则下列说法错误的是 A .a >e B .x 1+x 2>2C .x 1x 2>1D .有极小值点0x ,且x 1+x 2<2x 0第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上)13已知||2a = ,(2a b a -⊥),则在方向上的投影为14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x 为15已知抛物线:C 28x y =的焦点为F ,动点Q 在C 上,圆Q 的半径为,过点F 的直线与圆Q 切于点P ,则FP FQ ⋅的最小值为.16设直线与曲线3()21f x x x =++有三个不同的交点A 、B 、C, 且|AB|=|BC|=10 ,则直线的方程为三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2017年高考押题卷文科数学(一)含解析
文 科 数 学(一)本试题卷共6页,23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}|13A x x =<<,集合{}|2,B y y x x A ==-∈,则集合A B =( )A .{}|13x x <<B .{}|13x x -<<C .{}|11x x -<<D .∅2.已知复数在复平面对应点为()1,1-,则z =( ) A .1B .-1CD .03.sin2040°=( )A .12-B.C .12D4.世界最大单口径射电望远镜FAST 于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用,它被誉为“中国天眼”,从选址到启用历经22年.FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查,最后敲定三个地方:贵州省黔南州、黔西南州和安顺市境内.现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况,则贵州省黔南州被选中的概率为( ) A .1B .12C .13D .235.《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),则该几何体的容积为( )立方寸.(π≈3.14) A .12.656B .13.667C .11.414D .14.3546.在等差数列{}n a 中,若35791145a a a a a ++++=,33S =-,那么5a 等于( ) A .4B .5C .9D .187.已知函数()2ln f x x x =-,则函数()y f x =的大致图象是( )A BC D 8.根据右边流程图输出的值是( ) A .11 B .31 C .51D .799.已知单位向量,a b 满足a b ⊥,向量21,m a t b n ta b =--=+,(t 为正实数),则m n ⋅的最小值为( )A .158B .52C .154D .010.若,y 满足约束条件13030x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤,设224x y x ++的最大值点为A ,则经过点A 和B (2,3)--的直线方程为( )A .3590x y --=B .30x y +-=C .30x y --=D .5390x y -+=11.已知双曲线C 的中心在原点O ,焦点()F -,点A 为左支上一点,满足|OA |=|OF |且|AF |=4,则双曲线C 的方程为( )A .221164x y -= B .2213616x y -= C .221416x y -= D .2211636x y -= 12.已知函数()2ln xf x x x=-,有下列四个命题, ①函数()f x 是奇函数; ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数;③当0x >时,函数()0f x >恒成立; ④当0x <时,函数()f x 有一个零点, 其中正确的个数是( ) A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018全国I卷高考压轴卷 文科数学 Word版含答案
2018全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷共23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合{}1,2lg<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x N x x y x M ,则=⋂N C M R (A ))2,0( (B )(]2,0 (C )[)2,1 (D )()+∞,0 2. 若a R ∈,则“1=a ”是“()10a a -=”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件3. 若复数z 满足(1﹣i )z=2+3i (i 为虚数单位),则复数z 对应点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+,则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为( )A .215 B .415 C.511D .1011 5. 在区间[-1,1]上任选两个数x y 和,则221x y +≥的概率为( ) A .14π-B .128π- C. 18π- D .124π- 6. 过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线,则切线长的最小值为( )A.[] 7. 已知1x ,2x (12x x <)是函数x x x f ln 11)(--=的两个零点, 若()1,1a x ∈,()21,b x ∈,则A .()0f a <,()0f b <B .()0f a <,()0f b >C .()0f a >,()0f b >D .()0f a >,()0f b <8. F 1,F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若△ABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为 (A )2 (B )3 (C )5 (D )79. 若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( )A .5B .6 C.7 D .810. 在ABC △中,60A ∠=,3AB AC ==,D 是ABC △所在平面上的一点. 若3BC DC =,则DB AD ⋅=A. 1-B. 2-C. 5D.9211. 有人发现,多看手机容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:附:K 2=附表:P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 k 03.841 6.635则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为A. %99B. %5.97C. %95D. %9012. 已知函数2||33()()(3)(3)3x x f x g x b f x x x -≤⎧⎪==--⎨-->⎪⎩,,函数,,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围是( )A. 11(,)4-+∞ B. 11(3,)4--C. 11(,)4-∞-D. (3,0)-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第六模拟)一、选择题:共12题1.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2 015=i4×503+3=i3=-i,∴z=-i,∴+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.2.设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|x2+y2=1},则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为A.0B.1C.2D.4【答案】D【解析】本题考查集合的关系、集合的子集个数的求法.求解本题的关键是确定集合A∩B中元素的个数.通解解方程组得,,所以A∩B={(0,1),(-1,0)},即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C 的个数是4,故选D.优解在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4.3.已知向量a=(9,m2),b=(1,-1),则“m=-3”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查向量垂直的条件及充要关系的判断,属于基础题.当m=-3时,a=(9,9),∴a·b=9×1+9×(-1)=0,所以a⊥b;当a⊥b时,由a·b=9-m2=0,得m=±3,故“m=-3”是“a⊥b”的充分不必要条件.4.为了丰富学生的课余生活,某校举办了“你来比划,我来猜”的猜成语活动,若甲、乙两个班级各10个小组参加了此项活动,对其猜对成语的个数进行统计,得到如茎叶图所示的两组数据,对这两个班级10个小组猜对成语的个数的平均数,和中位数y甲,y乙进行比较,正确的结论是A.,y甲>y乙B.,y甲>y乙C.,y甲<y乙D.,y甲<y乙【答案】D【解析】本题主要考查考生对统计数据的处理能力,解题时对茎叶图要能够正确读数,掌握中位数及平均数的计算方法.由茎叶图得=28,=35,y甲==27,y乙==35.5,∴,y甲<y乙,故选D.5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为A.15B.14C.7D.6【答案】A【解析】本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生的运算求解能力.对于循环结构的程序框图,应特别注意循环结束时的条件.第一次循环,得a=2,S=1+2=3<10;第二次循环,得a=4,S=3+4=7<10;第三次循环,得a=8,S=7+8=15>10,输出S的值为15.故选A.6.已知双曲线-=1(a>0,b>0) 的一条渐近线的方程是y=x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上,则双曲线的方程为A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质以及考生分析问题、解决问题的能力.双曲线的渐近线方程是y=±x,所以,抛物线的准线方程为x=-,所以c=,由a2+b2=c2,可得a2=4,b2=3,故选B.7.设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴为A.x=-B.x=C.x=D.x=【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题时,先依据最小正周期得到函数f(x)的解析式,再利用平移法则得到g(x),即可求出g(x)的一条对称轴.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由T=π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+),所以g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)=-2cos 2x,代入验证得g(x)的一条对称轴为x=,故选C.8.已知实数x,y满足不等式组,则z=的取值范围为A.[-2,3]B.[-,3]C.[-,]D.[,3]【答案】B【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于中档题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由题意可知,z==2·,它表示平面区域内的点(x,y)与定点M(1,-)的连线的斜率的2倍.由图可知,当点(x,y)位于点C时,直线的斜率取得最小值-;当点(x,y)位于点A时,直线的斜率取得最大值.故z=的取值范围是[-,3],选B.9.在等差数列{a n}中,a1=-2 014,其前n项和为S n,若-=2 005,则S2 016的值等于A.2 015B.-2 016C.2 016D.-2 015【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的运用,考查考生分析问题、解决问题的能力.通解设等差数列{a n}的公差为d,在等差数列{a n}中,因为S n=na1+d,=a1+(n-1),由-=2 005,得[-2 014+(2 015-1)]-[-2 014+(10-1)]=2 005,化简得d=2 005,所以d=2,所以S2 016=2 016×(-2 014)+×2=2 016,故选C.优解设等差数列{a n}的公差为d,在等差数列{a n}中,S n=na1+d,=a1+(n-1),即数列{}是首项为a1=-2 014,公差为的等差数列.因为-=2 005,所以(2 015-10)=2 005,=1,所以+(2 016-1)×1=-2 014+2 015=1,所以S2 016=2 016,故选C.10.一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示,若M,N分别为A1B,B1C1的中点,则下列选项中错误的是A.MN与A1C异面B.⊥C.MN∥平面ACC1A1D.三棱锥N-A1BC的体积为a3【答案】D【解析】本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征,意在考查考生的空间想象能力和运算能力.取A1B1的中点D,连接DM、DN.由于M、N分别是A1B、B1C1的中点,所以可得DN∥A1C1,又DN⊄平面A1ACC1,A1C1⊂平面A1ACC1,所以DN∥平面A1ACC1.同理可证DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN=D,所以平面DMN∥平面A1ACC1,所以MN∥平面ACC1A1,直线MN与A1C异面,A,C正确.由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1,所以DN⊥平面BCC1B1,所以DN⊥BC,又易知DM⊥BC,所以BC⊥平面DMN,所以BC⊥MN,B正确.因为(a2)a=a3,所以D错误.故选D.11.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若·=0,且△F1PF2的三边|PF2|,|PF1|,|F1F2|依次成等差数列,则椭圆C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及等差数列的应用,考查考生的运算能力和灵活运用知识的能力.不妨假设|PF1|>|PF2|,|PF1|=m,所以|PF2|=2a-m.因为|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,所以2m=2a-m+2c,即m=.因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以m2+(2a-m)2=(2c)2,将m=代入化简得7c2+2ac-5a2=0,即7e2+2e-5=0,得e=,故选A.12.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)-f(x)<0,且f(2-x)=f(2+x),f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为A.(-∞,e4)B.(e4,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)【答案】D【解析】本题以导数为背景,考查函数的单调性以及不等式性质的应用,正确构造出新函数是解决本题的关键.构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,∴g(x)是R上的减函数.∵f(2-x)=f(2+x),令x=2,得f(0)=f(4)=1,不等式f(x)<e x等价于<1等价于,∵g(x)在R上是减函数,∴x>0,∴不等式f(x)<e x的解集为(0,+∞),故选D.二、填空题:共4题13.已知函数f(x)=,则f(f())=.【答案】【解析】本题主要考查分段函数的运算,解题时由内到外计算即可得出结果.f()=ln=-1,所以f(f())=f(-1)=e-1=.14.若α是锐角,且cos(α+)=-,则sinα的值为.【答案】【解析】本题考查三角恒等变换、同角三角函数间的基本关系,考查转化与运算能力.通解由cos(α+)=-,得cosα-sinα=-,∴cosα=(sinα-),代入sin2α+cos2α=1,得4sin2α-sinα-=0,解得sinα=,∵α是锐角,∴sinα=.优解∵α是锐角,∴<α+,又cos(α+)=-,∴sin(α+)=,∴sinα=sin[(α+)-]=sin(α+)×cos-cos(α+)×sin-(-)×.15.已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,若三棱锥O-ABC 的体积为,则球的表面积为.【答案】16π【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力.解题时,先根据正弦定理求出等边三角形外接圆的半径,再利用三棱锥O-ABC的体积求出球的半径,从而得出球的表面积.设三角形ABC的外接圆的半径为r,圆心为O1,由正弦定理得2r==2,r=.∵O1O⊥平面ABC,∴V O-ABC=×32|O1O|=,∴|O1O|=1,∴球O的半径R==2,∴S球=4πR2=16π.16.已知函数f(x)=[x]为取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.1]=2,[-1.3]=-2.若a n=,n∈N*,S n为数列{a n}的前n项和,则S100=.【答案】3 775【解析】本题主要考查数列的分组求和、新定义取整函数的应用,考查考生的审题能力、推理能力、归纳能力以及分析问题和解决问题的综合能力.n为奇数时,a1=f()=[]=0,a3=f()=[]=1,……a99=f()=[]=49,a101=f()=[]=50.n为偶数时,a2=2a3=2,a4=2a5=4,……a100=2a101=100.所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=(0+1+...+49)+(2+4+ (100)=3 775.三、解答题:共8题17.已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-)sin B+(c-)sin C-a sin A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求b+c的取值范围.【答案】(1)因为(b-)sin B+(c-)sin C-a sin A=0,由正弦定理得(b-)b+(c-)c-a2=0,化简得b2+c2-a2-bc=0,即cos A=,A=.(2)由正弦定理可得=2,所以b=2sin B,c=2sin C,b+c=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(-B)]=2(sin B+cos B+sin B)=3sin B+cos B=2sin(B+).因为0<B<,所以<B+,即<sin(B+)≤1,所以b+c∈(,2].【解析】本题主要考查三角恒等变换,正、余弦定理的应用.(1)先利用正弦定理将已知等式转化为三角形中三边之间的关系,再结合余弦定理求解;(2)先将b+c用关于B的正弦函数表示出来,再利用正弦函数的图象与性质求解.【备注】高考对三角函数与解三角形的考查主要以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在研究三角函数的图象和性质问题时,一般先用三角恒等变换将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于解三角形的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等实现边角互化,求出相关的边和角.18.某超市为了促销,举行了抽奖活动:在一个不透明的抽奖箱中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)顾客甲从抽奖箱中一次性随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)顾客甲从抽奖箱中随机取一个球,记下编号后放回,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号放回.设这两次取出的球的编号之和为M.超市奖项设置:若M=8,则为一等奖;若M=7,则为二等奖;若5≤M≤6,则为三等奖;其他情况无奖.求顾客甲中奖的概率.【答案】(1)从抽奖箱中一次性随机取出两个球,其基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.设“从抽奖箱中一次性随机取出两个球的编号之和不大于4”为事件A,则事件A包含的事件有(1,2),(1,3),共2个.因此P(A)=.(2)先从抽奖箱中随机取一个球,记下编号为a,放回后,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号为b,其所有可能的结果(a,b)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.设“顾客甲中奖”为事件B,则事件B包含的事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共10个.所以P(B)=.【解析】本题主要考查古典概型概率的求解,考查考生分析问题、解决问题的能力.熟练掌握列举法和古典概型的概率计算公式是解题的关键.【备注】求解概率与统计解答题需要注意:(1)认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频数分布表、样本数据等,将其转化为解题的必备信息;(2)分清所求概率的类型,是古典概型还是其他类型;(3)将基本事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件的个数,避免由于思维不严谨造成不必要的失分.19.如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.(1)证明:无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;(2)当EC=1时,求几何体A-EFD1D的体积.【答案】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1∥CC1,∵EF∥CC1,∴EF∥DD1,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面EFD1D=ED,平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1,∴ED∥FD1,∴四边形EFD1D为平行四边形.∵侧棱DD1⊥底面ABCD,又DE⊂平面ABCD,∴DD1⊥DE,∴四边形EFD1D为矩形.(2)连接AE,∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,∴侧棱DD1⊥底面ABCD,又AE⊂平面ABCD,∴DD1⊥AE,在Rt△ABE中,AB=2,BE=2,则AE=2,在Rt△CDE中,EC=1,CD=1,则DE=,在直角梯形ABCD中,AD=,∴AE2+DE2=AD2,即AE⊥ED,又ED∩DD1=D,∴AE⊥平面EFD1D.由(1)可知,四边形EFD1D为矩形,且DE=,DD1=1,∴矩形EFD1D的面积=DE·DD1=,∴几何体A-EFD1D的体积·AE=×2.【解析】本题考查考生的空间想象能力.(1)利用面面平行的性质定理以及空间线面位置关系证明;(2)利用四棱锥的体积公式求解.【备注】高考在考查立体几何问题时,往往分两步,一是证明线面位置关系,二是体积、距离的计算.第(1)问往往可以运用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理进行平行、垂直的转化;第(2)问往往在证明线面垂直的基础上求解几何体的体积或表面积.20.已知抛物线y2=2px(p>0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,2=4,p=2,y2=4x.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),联立,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16,所以=4p2x1x2=64p2,y1y2=-8p,由·=0,得x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知,M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n,显然直线CD不过点M.联立,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则,由题意MC,MD两直线关于直线x=1对称等价于直线MC,MD的倾斜角互补,即k MC+k MD=0,即+=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将和代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.①当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率为-1.②当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD 过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解此类试题通常是将直线与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系求解.【备注】直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是解析几何的基石,也是高考命题的重点和热点内容,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时,要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和取值范围问题时,常把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.21.已知f n(x)=ax n-nbx+c,g(x)=ln x,h(x)=f n(x)+kg(x).(1)当n=2,k=1时,若h(x)的单调递减区间是(,1),求实数a+b的值;(2)当b=c=1时,若f3(x)≥0对于区间[-1,1]内的任意实数x恒成立,求实数a的值.【答案】(1)当n=2,k=1时,h(x)=ax2-2bx+ln x+c(x>0),则h'(x)=(x>0).要使h(x)的单调递减区间是(,1),则h'(1)=h'()=0,得,解之得.另一方面当a=1,b=时,h'(x)=(x>0),由h'(x)<0得x∈(,1),即h(x)的单调递减区间是(,1).所以a+b=.(2)由题意得f'3(x)=3ax2-3,当a≤0时,f'3(x)=3ax2-3<0,所以f3(x)在[-1,1]上为减函数,所以f3(x)min=f3(1)=a-2≥0,解得a≥2(与a≤0矛盾,舍去).当a>0时,令f'3(x)=0可得x=±,当x∈(-,)时,f'3(x)<0,f3(x)为减函数;当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f'3(x)>0,f3(x)为增函数.由f3(-1)=4-a≥0且f3(1)=a-2≥0,可得2≤a≤4,又由f3()=a×-+1=1-≥0,可得a≥4.综上可知a=4.另一方面,当a=4时,f3(x)=4x3-3x+1,f'3(x)=12x2-3,当x∈(-,)时,f'3(x)<0,f3(x)为减函数;当x∈(-1,-)和(,1)时,f'3(x)>0,f3(x)为增函数.所以f3(x)min=f3(-1)=f3()=0,所以f3(x)≥0对于[-1,1]内的任意实数x恒成立.所以a=4.【解析】本题考查不等式恒成立以及利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,考查函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想,考查考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.对于(1),首先求出h'(x),由h(x)的单调递减区间是(,1)得,1是方程h'(x)=0的两根,从而确定实数a和b的值;(2)运用分类讨论的思想求解.【备注】导数作为解决函数问题的工具在每年的高考试题中从不缺席,运用导数可以研究函数的单调性、最值和极值,讨论函数的零点,证明不等式等,应用十分广泛.运用导数解决问题一定要有定义域优先的意识,在解决恒成立问题时,要先分离参变量,再转化为最值来处理或者用分类讨论的思想方法处理.22.如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q.(1)求证:QC·AC=QC2-QA2;(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.【答案】(1)∵PQ与☉O相切于点A,∴∠PAC=∠CBA,∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,∴AC=B C.由切割线定理得,QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,∴QC·BC=QC2-QA2,∴QC·AC=QC2-QA2.(2) 由AC=5,AQ=6 及(1), 知QC=9,由∠QAB=∠ACQ,∠AQB=∠CQA,知△QAB∽△QCA,∴,∴AB=.【解析】本题主要考查切割线定理、三角形的相似等知识,考查考生的推理能力、运算能力.灵活应用圆的有关性质是解题的关键.23.已知圆O:x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标变为原来的,得到曲线.(1)写出曲线C的参数方程;(2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)设曲线C上任意一点为M(x,y),则点P(x,2y)在圆O上,即x2+(2y)2=4,即+y2=1,所以曲线C的参数方程为(φ为参数).(2)联立,解得或,不妨设A(-2,0),B(0,1),则AB的中点为N(-1,),因为直线l的斜率为,设直线l的倾斜角为α,则tanα=,所以tan 2α=,所以直线m的方程为y-(x+1),即8x-6y+11=0,于是直线m的极坐标方程为8ρcosθ-6ρsinθ+11=0.【解析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等,属于中档题.24.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.【答案】(1)设f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a,∴a≥3.设h(x)=|x+1|+|2-x|=,则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a,∴a≤3.∴a=3.(2)由(1)知a=3.∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+≥3=3,∴2m+≥2n+a.【解析】本题考查绝对值函数以及绝对值不等式的解法,考查考生的运算能力.。