《高等数学》第七版课后测习题
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(不定积分)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第四章不定积分习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：解：2．求下列不定积分：（g是常数）；解：3．含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程，其中为未知函数的导数，f（x）为已知函数．如果将函数y＝φ（x）代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数y＝φ（x）就称为这个微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：解：（1）因为，得C＝0，所以所求的解为，因为，得C1＝2，因此因为，得C2＝－2，所以所求的解为4．汽车以20m／s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度．可执行下列步骤：（1）求微分方程满足条件及的解；（2）求使的t值；（3）求使s＝50的k值．解：（1），因为，得C1＝20，因此因为，得C2＝0，所以所求的解为（2）令，解得（3）根据题意，当时，s＝50，即解得k＝4，即得刹车加速度为－4m／s2．5．一曲线通过点（e2，3），且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为y＝f（x），则点（x，y）处的切线斜率为f＇（x），由条件得因此f（x）为的一个原函数，得又根据条件曲线过点（e2，3），有f（e2）＝3解得C＝1，即得所求曲线方程为y＝lnx＋16．一物体因为静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m／s），问（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360m需要多少时间？解：（1）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，位移函数为s＝s（t），则由假设可知s（0）＝0，因此s（t）＝t3，所以所求距离为s（3）＝27（m）．（2）因为t3＝360，得7．证明函数arcsin（2x－1），arccos（1－2x）和都是的原函数．证：因此结论成立．习题4-2换元积分法1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（例如：。
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v .解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ）=5a -11b +7c .2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知AM =MC ，MB DM =.故DC DM MC MB AM AB =+=+=.即DC AB //且|AB |=|DC |，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点A 连接.试以AB =c ,BC =a 表向量A D 1,A D 2,A D 3,A D4.证如图8-2，根据题意知511=BD a,5121=D D a,5132=D D a,5143=D D a,故A D 1=-（1BD AB +）=-51a -cA D 2=-（2BD AB +）=-52a -c A D 3=-（3BD AB +）=-53a -c A D 4=-（4BD AB +）=-54a -c.4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量21M M 及-221M M .解21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量.解向量a 的单位向量为a a ，故平行向量a 的单位向量为±a a =111±（6，7，-6）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-±116,117,116，其中11)6(76222=-++=a .6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （2，3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3，1）.解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （3，4，0），B （0，4，3），C （3，0，0），D （0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x 0，y 0，0），xOz 面上的点的坐标为（x 0，0，z 0），yOz 面上的点的坐标为（0，y 0，z 0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x 0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y 0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z 0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点（a ，b ，-c ），为关于yOz 面的对称点为（-a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，-b ，c ）.（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点为（a ，-b ，-c ），关于y 轴的对称点为（-a ，b ，-c ），关于z 轴的对称点为（-a ，-b ，c ）.（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（-a ，-b ，-c ）.9.自点P 0），，（000z y x 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P 0F 为点P 0关于xOz面的垂线，垂足F 坐标为），，000(z x ；P 0D 为点P 0关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为），，0(00y x ；P 0E 为点P 0关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为)0(0o z y ，，.P 0A 为点P 0关于x 轴的垂线，垂足A 坐标为），0,0(o x ；P 0B 为点P 0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为)0,,0(0y ；P 0C 为点P 0关于z 轴的垂线，垂足C 坐标为),0,0(0z .10.过点P 0），，（000z y x 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P 0且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P 0且平行于xOy 面的平面 上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11.一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.解如图8-5，已知AB=a ，故OA=OB=a 22，于是各顶点的坐标分别为A )0022(，，a ，B （），022,0(a ），C （-a 22，0，0），D （0，-a 22，0），E （a 22，0，a ），F （0，a 22，a ），G （-a 22，0，a ），H （0，-a 22，a ）.12.求点M （4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d 1=345)3(22=+-，点M 到y 轴的距离为d 2=415422=+，点M 到z 轴的距离为d 3=525)3(422==-+.13.在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，-2，-2），C （0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ），点P 与三点A ，B ，C,)2()1(3222-+-+=z y,)2()2(4222++++=z y.)1()5(22-+-=z y==222222)2()2(4)2()1(3++++=-+-+z y z y 22)1()5(-+-=z y ，即.)1()5()2()1(9,)2()2(16)2()1(922222222-+-=-+-+++++=-+-+z y z y z y z y 解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由2798)63()14()102(,7)93()14()42(,7)96()11()410(222222222==-+++-==-+-+-==-+--+-=.+==故△ABC 为等腰直角三角形.15.设已知两点为M 1（4，2，1），M 2（3，0，2），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解向量21M M =（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），2412-1-222==++=）（）（.其方向余弦分别为cos α=-21，cos β=-22，cos γ=21.方向角分别为3,43,32πγπβπα===.16.设向量的方向余弦分别满足（1）cos α=0；（2）cos β=1；（3）cos α=cos β=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos α=0得知2πα=，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.（2）由cos β=1得知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.（3）由cos α=cos β=0知2πβα==，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂直于xOy 面.17.设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角为3π，求r 在u 轴上的投影.解已知|r |=4，则Prj u r=|r |cos θ=4∙cos 3π=4×21=2.18.一向量的终点在点B （2，-1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解设A 点坐标为（x ，y ，z ），则AB =（2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A 点坐标为（-2，-3，0）.19.设m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k .求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设k j i b k j i a -+=--=2,23，求（1）b a b a ⨯⋅及；（2）b a 2b 3a 2-⨯⋅及）（；（3）b a ,的夹角的余弦.解（1）），（），，（1-2,12-1-3⋅=⋅b a ，）（）（）（31-2-21-13=⨯+⨯+⨯==⨯b a 121213---kj i =（5,1,7）.（2）1836)(63)2(-=⨯-=⋅-=⋅-b a b a )14,2,10()7,1,5(2)(22==⨯=⨯b a b a （3222222)1(21)2()1(33),cos(-++-+-+=⋅=b a b a b a 21236143==2.设c b a ,,为单位向量，满足.,0a c c b b a cb a ⋅+⋅+⋅=++求解已知,0,1=++===c b a c b a 故0=++⋅++）（）（c b a c b a .即0222222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a .因此23-21222=++-=⋅+⋅+⋅）（c b a a c c b b a 3.已知M 1（1，-1，2），M 2（3,3,1）M 3（3,1,3）.求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.解21M M =（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）32M M =（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于3221M M M M ⨯与3221,M M M M 同时垂直，故所求向量可取为M M M M a =）（由3221M M M M ⨯=220142--k j i=（6，-4，-4），17268)4()4(6222==-+-+=⨯知).172,172,173()4,4,6(1721--±=--±=a 4.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.解21M M =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F ∙21M M =（0,0，-980）∙（-2,3，-6）=5880（J）.5.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处，有一与1OP 成角1θ的力F 1作用着；在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处，有一与2OP 成角2θ的力F 2作用着（图8-6），问1θ，2θ，x 1，x 2，21,F F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为0sin sin 222111=-θθx F x F ，即222111sin sin θθx F x F =.6.求向量），（4,3-4=a在向量）（1,2,2=b 上的投影.解236122)1,2,2()4,3,4(Pr 222==++⋅-=⋅=b b a a j b .7.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a，问μλ与有怎样的关系，能使b a μλ+与z 轴垂直？解b a μλ+=λ（3,5，-2）+μ（2,1,4）=（μλμλμλ42,5,23+-++）.要b a μλ+与z 轴垂直，即要（b a μλ+）⊥（0,0,1），即（b a μλ+）∙（0，0,1）=0，亦即（μλμλμλ42,5,23+-++）∙（0,0,1）=0，故（μλ42+-）=0，因此μλ2=时能使b a μλ+与z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7，设AB 是圆O 的直径，C 点在圆周上，要证∠ACB=2π，只要证明0=⋅BCAC 即可.由BC AC ⋅=)()(OC BO OC AO +⋅+=BO OC OC AO BO AO ⋅+⋅+⋅=0=+⋅-⋅+OC AO OC AO .故BC AC⊥,∠ACB为直角.9.已知向量j i c k j i b k j i a 23,32-=+-=+-=和，计算：（1）b c a c b a )()(⋅-⋅（2）)()(c b b a +⨯+（3）cb a ⋅⨯)(解（1）8)3,1,1()1,3,2(=-⋅-=⋅ba ，8)0,2,1()1,3,2(=-⋅-=⋅c a ，b c a c b a )()(⋅-⋅)24,8,0()3,1,1(8)0,2,1(8--=---=k i 248--=.（2）b a +=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），c b +=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），)()(c b b a +⨯+332443--=kj i k j --=--=)1,1,0(.（3）c b a ⋅⨯)(.2021311132=---=10.已知k j OBk i OA 3,3+=+=，求△OAB 的面积.解由向量积的几何意义知S △OAB⨯)1,3,3(310301--==⨯kj i OB OA，⨯191)3()3(22=+-+-=S △OAB219=11.已知),,(),,,(),,,(z y x z y x z y x c c c c b b b b a a a a ===，试利用行列式的性质证明：ba c a cbc b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(证因为,)(z yxz y xz y xc c c b b b a a a cb a =⋅⨯zyxz y x z y x a a a c c c b b b a c b =⋅⨯)(=⋅⨯b a c )(zyxz yxz y xb b b a a ac c c ，而由行列式的性质知z yxz y x z y x c c c b b b a a a z yx z y x z y x a a a c c c b b b ==zyxz y x z y x b b b a a a c c c ，故b ac a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(.12.试用向量证明不等式：332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，其中321321,,,,,b b b a a a 为任意实数.并指出等号成立的条件.证设向量=a （321,,a a a ），=b （321,,b b b ）.由),cos(b a b a ba =⋅b a ≤，从而232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++，当321,,a a a 与321,,b b b 成比例，即332211b a b a b a ==时，上述等式成立.1.求过点（3,0，-1）且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.解所求平面与已知平面012573=-+-z y x 平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为0573=++-D z y x .将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为04573=-+-z y x .2.求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解.6,9,2(0）-=OM 所求平面与0OM 垂直，可取n=0OM ，设所求平面方程为0692=+-+D z y x .将点M 0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为0121692=--+z y x .3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.解由0121111121212111=+---+----+--z y x ，得023=--z y x ，即为所求平面方程.注设M （x,y,z ）为平面上任意一点，)3,2,1)(,,(==i z y x M i i i i 为平面上已知点.由,0)(31211=⨯⋅M M M M MM 即,0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 它就表示过已知三点M i （i=1,2,3）的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;（5）y+z=1;（6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a ）—（g ）.（1）x=0表示yOz 坐标面.（2）3y-1=0表示过点（0,31,0）且与y 轴垂直的平面.（3）2x-3y-6=0表示与z 轴平行的平面.（4）x-3y=0表示过z 轴的平面.（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面.（6）x-2z=0表示过y 轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5.求平面0522=++-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为321,,θθθ.则根据平面的方向余弦知,3111)2(2)1,0,0()1,2,2(cos cos 2221=⋅+-+⋅-=⋅==k n k n γθ,3213)0,0,1()1,2,2(cos cos 2=⋅⋅-=⋅==i n i n αθ3213)0,1,0()1,2,2(cos cos 3-=⋅⋅-=⋅==j n j n βθ.6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量)1,1,2(=a 和)0,1,1(-=b ，试求这个平面方程.解所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量)3,1,1(011112-=-=⨯=kj i b a n .故所求平面为0)1(3)0(1)1(1=+--⋅+-⋅z y x ，即043=--+z y x .7.求三平面322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 的交点.解联立三平面方程.322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 解此方程组得.3,1,1=-==z y x故所求交点为（1，-1，3）.8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz 面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为0=+D By .将点（2，-5，3）代入，得05=+-D B ，即B D 5=.因此所求平面方程为05=+B By ，即05=+y .（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为0=+By Ax .将点（-3，1，-2）代入，得03=+-B A ，即A B 3=.因此所求平面方程为03=+Ay Ax ，即03=+y x .（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By .将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2=+-D C 及07=++D C B .D B D C 29,2-==.因此，所求平面方程为0229=++-D z DDy ，即029=--z y .9.求点（1,2,1）到平面01022=-++zy x 的距离.解利用点),,(00o o z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式222000C B A DCz By Ax d +++++=.1332211012221222=-=++-⋅+⋅+=1.求过点（4，-1，3）且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量)5,1,2(=s ，直线方程即为531124-=+=-z y x .2.求过两点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程.解取所求直线的方向向量)1,2,4()12),2(0,31(21-=-----==M M s ，因此所求直线方程为112243-=+=--z y x .3.用对称式方程及参数方程表示直线.42,1=++=+-z y x z y x 解根据题意可知已知直线的方向向量112111-=kj i s ).3,1,2(-=取x=0，代入直线方程得.4,1=+=+-z y z y 解得.25,23==z y 这样就得到直线经过的一点（25,23,0）.因此直线的对称式方程为.32512320-=-=--z y x 参数方程为.325,23,2t z t y t x +=+=-=注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4.求过点（2，0，-3）且与直线1253,0742=+-+=-+-z y x z y x 垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即),11,14,16(253421-=--==kj i s n 故所求平面方程为.0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x 即.065111416=---z y x 5.求直线0123,09335=-+-=-+-z y x z y x 与直线01883,02322=-++=+-+z y x z y x 的夹角的余弦.解两已知直线的方向向量分别为),1,4,3(1233351-=--=k j i s ),10,5,10(1831222-=-=kj i s 因此，两直线的夹角的余弦212121),(cos cos s s s s s s ⋅== .010)5(10)1(4310154103222222=+-+-++⨯-⨯-⨯=6.证明直线72,72=++-=-+z y x z y x 与直线02,8363=--=-+z y x z y x 平行.证已知直线的方向向量分别是),15,3,9(112363),5,1,3(11212121---=---==--=kj i s k j i s 由123s s -=知两直线互相平行.7.求过点（0,2,4）且与两平面12=+zx 和23=-z y 平行的直线方程.解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取),1,3,2(31020121-=-=⨯=kj i n n s 故所求直线方程为.143220-=-=-z y x 注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为.3,2b z y a z x=-=+将点（0，2，4）代入上式，得.10,8-==b a 故所求直线为.103,82-=-=+z y z x 8.求过点（3，1，-2）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程.解利用平面束方程，过直线12354z y x =+=-的平面束方程为,0)23(2354=-+=+=-z y y x λ将点（3，1，-2）代入上式得.2011=λ因此所求平面方程为,0)23(20112354=-+=+=-z y y x即.0592298=---z y x 9.求直线0,03=--=++z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.解已知直线的方向向量),2,4,2(111311-=--=k j is 平面的法向量).1,1,1(--=n 设直线与平面的夹角为,ϕ则,0)1()1(1)2(42)1()2()1(412),cos(sin 222222=-+-+-++-⋅-+-⋅+⋅=⋅==n s n s s n ϕ即.0=ϕ10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）37423z y x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和.3=++z y x 解设直线的方向向量为s ，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为,ϕ且ns n s s n ⋅==),cos(sin ϕ.（1）),2,2,4(),3,7,2(--=--=ns,0)2()2(43)7()2()2(3)2()7(4)2(sin 222222=-+-+⋅+-+--⋅+-⋅-+⋅-=ϕ则.0=ϕ故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A （-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）),7,2,3(),7,2,3(-=-=n s 由于n s =或,17)2(37)2(377)2()2(33sin 222222=+-+⋅+-+⋅+-⋅-+⋅=ϕ知2πϕ=，故直线与平面垂直.（3）),1,1,1(),4,1,3(=-=n s 由于0=⋅n s 或,0111)4(131)4(1113sin 222222=++⋅-++⋅-+⋅+⋅=ϕ知,0=ϕ将直线上的点A （2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线1,012=-+-=+-+z y x z y x 和0,02=+-=+-z y x z y x 平行的平面的方程.解两直线的方向向量为),1,1,0(111112),3,2,1(11112121--=--=--=--=kj i s k j is取),1,1,1(11032121--=----=⨯=k j i s s n 则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为,0)1(1)2(1)1(1=-⋅--⋅+-⋅-z y x 即.0=+-z y x 12.求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面012=+-+z y x 垂直的直线为,102211--=-=+z y x 将它化为参数方程,,22,1t z t y t x -=+=+-=代入平面方程得,01)()22(21=+--+++-t t t 整理得32-=t .从而所求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影为（32,32,35-）.13.求点P （3，-1，2）到直线042,01=-+-=+-+z y x z y x 的距离.解直线的方向向量).3,3,0(112111--=--=kj i s 在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式.3,32,1t z t y x -=--==（1）又，过点P （3，-1，2），以)3,3,0(--=s 为法向量的平面方程为,0)2(3)1(3=--+-z y 即.01=-+z y （2）将式（1）代入式（2）得21-=t ，于是直线与平面的交点为（23,21,1-），故所求距离为.223)232()211()13(222=-++-+-=d 14.设M 0是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点M 0到直线L的距离d =.证如图8-9，点M 0到直线L 的距离为d.由向量积的几何意义知s ⨯表示以M M 0，s 为邻边的平行四边形的面积.而表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0到直线L 的距离.于是d =15.求直线0923,042=---=+-z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线0923,042=---=+-z y x z y x 的平面束方程为,0)923(42=---++-z y x z y x λ经整理得.09)21()4()32(=--+--++λλλλz y x 由,01)21()1()4(4)32(=⋅-+-⋅--+⋅+λλλ得1113-=λ.代入平面束方程，得.0117373117=--+z y x 因此所求投影直线的方程为.14,0117373117=+-=--+z y x z y x 16.画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）;012243,1,2,0,0,0=-++=====z y x y x z y x（2）.4,2,1,0,0yz y x z x =====解（1）如图8-10（a ）；（2）如图8-10（b ）.1.一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.解设所求球面的方程为2222)()()(R c z b y a x =-+-+-，将已知点的坐标代入上式，得,2222R c b a =++（1）,)4(2222R c b a =++-（2）,)3()1(2222R c b a =+-+-（3）2222)4(R c b a =+++，（4）联立（1）（2）得,2=a 联立（1）（4）得,2-=c 将2=a 代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为,9)2()1()2(222=++-+-z y x 其中球心坐标为),2,1,2(-半径为3.2.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（1，3，-2）为球心，R 为半径的球面方程为,)2()3()1(2222R z y x =++-+-球面经过原点，故,14)20()30()10(2222=++-+-=R 从而所求球面方程为.14)2()3()1(222=++-+-z y x 3.方程0242222=++-++z y x z y x 表示什么曲面？解将已知方程整理成,)6()1()2()1(2222=++++-z y x所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面.4.求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（z y x ,,），根据题意有,21)4()3()2()0()0()0(222222=-+-+--+-+-z y x z y x 化简整理得.)2932()34()1()32(2222=+++++z y x 它表示以（34,1,32---）为球心，以2932为半径的球面.5.将xOz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22z y +±代替抛物线方程x z 52=中的z ，得222)(z y +±x 5=，即x z y 522=+.注xOz 面上的曲线0),(=z x F 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为0),(22=+±z y x F .6.将xOz 坐标面上的圆922=+z x 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22y x +±代替圆方程922=+z x 中的x ，得,9)(2222=++±z y x 即.9222=++z y x7.将xOy 坐标面上的双曲线369422=-y x分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22zy +±代替双曲线方程369422=-y x中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,36)(942222=+±-z y x 即.36)(94222=+-z y x 以22zx +±代替双曲线方程369422=-y x中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,369)(42222=-+±y z x 即.369)(4222=-+y z x 8.画出下列各方程所表示的曲面：（1）;)2()2(222a y a x =+-（2）;19422=+-y x （3）;14922=+z x （4）;02=-z y （5）22x z-=.解（1）如图8-11（a ）；（2）如图8-11（b ）；（3）如图8-11（c ）；（4）如图8-11（d ）；（5）如图8-11（e ）.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;2=x （2）;1+=x y （3）;422=+y x（4）.122=-y x解（1）2=x 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz 面平行的平面.（2）1+=x y在平面解析几何中表示斜率为1，y 轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴的平面.（3）422=+y x在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为0,422==+z y x 的圆柱面.（4）122=-y x在平面解析几何中表示以x 轴为实轴，y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为,122==-z y x 的双曲柱面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）;1994222=++z y x （2）;14222=+-z y x （3）;1222=--z y x （4）.)(222y x a z+=-解（1）1994222=++z y x 表示xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（2）14222=+-z y x 表示xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（3）1222=--z y x表示xOy 面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的双曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（4）222)(y x a z+=-表示xOz 面上的直线a x z +=或a x z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的直线a y z+=或a y z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11.画出下列方程所表示的曲面：（1）;44222=++z y x（2）;44222=--z y x（3）.94322y x z +=解（1）如图8-12（a ）；（2）如图8-12（b ）；（3）如图8-12（c ）；12.画出下列各曲面所围立体的图形：（1）1,03,0,3,022=+=-=-==y x y x y x z z（在第一卦限内）；（2）222222,,0,0,0R z y R y x z y x =+=+===（在第一卦限内）.解（1）如图8-13所示；（2）如图8-14所示.1.画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）;2,1==y x （2）;0,422=---=yxyx z（3）.,222222a z x a y x =+=+解（1）如图8-15（a ）；（2）如图8-15（b ）；（3）如图8-15（c ）.2.指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;32,15-=+=x y x y （2）.3,19422==+y y x 解（1）32,15-=+=x y x y 在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.（2）3,19422==+y y x 在平面解析几何中表示椭圆19422=+y x 与其切线3=y 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面3=y 的交线，即空间直线.3.分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线0,162222222=-+=++y z x z y x 的柱面方程.解在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去x ，得,16322=-z y 即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去y ，得,162322=+z x 即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4.求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影的方程.解在1,9222=+=++z x z y x 中消去z ，得,9)1(222=-++x y x 即,82222=+-y x x它表示母线平行于z轴的柱面，故0,82222==+-z y x x 表示已知交线在xOy 面上的投影的方程.5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）;,9222x y z y x ==++（2）.0,4)1()1(222==+++-z z y x解（1）将x y=代入,9222=++z y x 得,9222=+z x 取,cos 23t x =则,sin 3t z =从而可得该曲线的参数方程tz t y t x sin 3,cos 23,cos 23===（t ≤0˂π2）（2）将z=0代入,4)1()1(222=+++-z y x 得,3)1(22=+-y x 取,cos 31t x =-则,sin 3t y =从而可得该曲线的参数方程0,sin 3,cos 31==+=z t y t x （t ≤0˂π2）6.求螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解由θθsin ,cos a y a x==得,222a y x =+故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为,222==+z a y x 由θθb z a y ==,sin 得bza y sin =，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为0,sin ==x bza y 由θθb z a x ==,cos 得,cos b za x =故故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为.0,cos ==y bza x 7.求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体a ax y x (22≤+>0)的公共部分在xOy 面和xOz 面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为ax y x ≤+22，而由axy x y x a z =+--=22222,得.2ax a z -=故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线ax a z-=2所围成的区域.8.求旋转抛物面)40(22≤≤+=z y x z在三坐标面上的投影解联立422=+=z y x z ，得422=+y x.故旋转抛物面在xOy面上的投影为.0,422=≤+z y x 如图8-17.联立0,22=+=x y x z 得,2y z=故旋转抛物面在yOz 面上的投影为2y z=及4=z 所围成的区域.同理，联立0,22=+=y y x z 得,2x z =故旋转抛物面在xOz 面上的投影为2x z=及4=z 所围成的区域.。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
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如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
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你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
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我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
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在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
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《高等数学》第七版课后练习题
第一章、函数、极限与连续1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。
2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。
3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。
4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？5、求下列函数的定义域。
6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。
7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。
8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。
9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。
10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。
11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。
12、判断下列函数的奇偶性。
13、求下列函数的周期。
14、下列函数能够复合成一个函数。
15、函数13ln sin y y x==，由哪些较简单的函数复合而成。
16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。
17、下列函数的极限。
18、求下列函数的极限。
19、求下列函数的极限。
20、求下列极限。
21、求下列函数的极限。
22、求下列函数的极限23、求下列函数的极限。
21,0(1)()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪==⎨⎪->⎩设，求20lim (),lim ()x x f x f x →→232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩设，求012lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→ 24、当0x →时，证明：1133(1)sin x x x +→x25、下列函数在指定点是否连续？为什么？ 20(1)()1,0f x x x =+=在点。
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)1 ⎭ 习题 1-11. 求下列函数的自然定义域：(2) y = 1;(1) y = 1 - x 2(3) y = 1x (4); y =1(5) y =(6) y = tan(x +1);(7) y = arcsin(x - 3); (9) y = ln(x + 1);(8) y1+ arctan ; x(10) y = e e x.解：(1)3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2，即定义域为⎡- 2 , +∞⎫(2)1 - x 2 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1,⎣⎢ 3⎪ 即定义域为(-∞, -1) ⋃ (-1,1) ⋃ (1, +∞)(3)x ≠ 0 且1- x 2 ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 且 x ≤ 1即定义域为[-1,0) ⋃ (0,1](4)4 - x 2 > 0 ⇒ x < 2 即定义域为(-2, 2) (5)x ≥ 0, 即定义域为[0, +∞)(6)x +1 ≠ k π + π(k ∈ Z ),2 即定义域为⎧x x ∈ R 且x ≠ (k + 1 )π -1, k ∈ Z ⎫⎨ 2 ⎬⎩ ⎭⎩⎪ π π π(7) x - 3 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4, 即定义域为[2, 4](8)3 - x ≥ 0且 x ≠ 0，即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0,3] (9)x + 1 > 0 ⇒ x > -1即定义域为(-1, +∞) (10)x ≠ 0,即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0, +∞)2. 下列各题中，函数 f (x ) 和 g (x ) 是否相同？为什么？(1) f (x ) = lg x 2 , g (x ) = 2 l g x (2) f (x ) = x , g (x )(3) f (x ) g (x ) = (4) f (x ) = 1, g (x ) = sec 2 x - tan 2 x解：（1） 不同，因为定义域不同（2） 不同，因为对应法则不同， g (x ) == ⎧ x , x ≥ 0（3） 相同，因为定义域，对应法则均相同（4） 不同，因为定义域不同⎨-x , x < 0⎧sin x , 3.设ϕ(x ) = ⎨ x < π 3 π ⎪ 0, x ≥⎩3求ϕ(),ϕ( ),ϕ(- 644),ϕ(-2), 并指出函数 y = ϕ (x )的图形( ) = sin = ,ϕ( ) = sin = ϕ π π1 π π 6 62 4 4 2 解：ϕ(- π ) = sin(- π ) = 2,ϕ(-2) = 0,4 4 2y = ϕ (x )的图形如图1-1所示4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) y =x ; 1 - x(2) y = x + ln x ,(0, +∞)证明：(1) y =f (x ) =x 1 - x= -1+1 1 - x,(-∞,1) 设x 1 < x 2 < 1，因为f (x ) - f (x ) = x 2 - x 1 > 02 1(1 - x )(1- x ) 1 2所以 f (x 2 ) > f (x 1 ), 即 f (x ) 在(-∞,1) 内单调增加(2) y = f (x ) = x + ln x ,(0, +∞)设0 < x 1 < x 2 ，因为2,f (x ) -f (x ) =x -x + ln x2 > 02 1 2 11所以 f (x2 ) > f (x1 )即f (x) 在(0, +∞) 内单调增加5.设f (x) 为定义在(-l,l) 内的奇函数，若 f (x) 在(0,l) 内单调增加，证明f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加证明：设-l <x1 <x2< 0 ，则0 <-x2<-x1 <l由f (x) 是奇函数，得f (x2 ) - f (x1 ) =-f (x2 ) + f (-x1 )因为 f (x) 在(0,l) 内单调增加，所以 f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0即f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l) 上的。
高等数学同济第七版上册课后答案
习题1-101.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.证明设x0为(a,b)内任意一点.因为0||lim |)()(|lim 00000=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00=-→x f x f x x , 即 )()(lim 00x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ, 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在[x 1, x n ]上的最大值和最小值.因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ . 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界.证明 令A x f x =∞→)(lim , 则对于给定的ε >0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有|f (x )-A |<ε , 即A -ε<f (x )<A +ε .又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界.6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是
1时1=*-15,\A(J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/，则
L・
j =~IPyi •h' =-18x *360.
0 <x< 10,
yx2+18.x.】0〈x<15.
18x f 360,15 <x < 20.
利用以卜美国人I I普•在局提供的世：界人口■据①以及指数模郴来推測I 2020年的世界人口.
解(I) 0w/<|n顼
(2 ) 0 W sin x W 1 n、住!2〃tt. (2〃+I) ” ]
(3)0Wi + “Wl x e I - «. I - «/ •
{OWx+oWl.■, c1
n当0时
OG-rxWl・
".1-知；当时.定义域为。
1.Ixl <1 .
(),Ixl = 1 ,青(x) *■，
1/(*) IW虬xg
即/（*）在X上有界・
QU.在卜列各题中，求由所给两数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定白变最值％和勺的函数值：
TTIT
"2>
7T TT
-8
= 1+X2,X| = 1 ,X2= 2；y = cMtu =,X| = 0,电=1;
r =以2,h= e'x
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。
然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。
为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。
第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。
2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。
考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。
根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。
根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。
经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。
观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。
因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。
2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。
根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。
对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一练习2-1练 Nhomakorabea2-2练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
(2)
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高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
《高等数学》第七版课后测习题
精心整理第一章、函数、极限与连续1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。
2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。
3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。
45678、设f 9、设f 10、设111213141516、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。
17、下列函数的极限。
18、求下列函数的极限。
19、求下列函数的极限。
20、求下列极限。
21、求下列函数的极限。
22、求下列函数的极限23、求下列函数的极限。
21,0(1)()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,2x x f x x -≤⎧⎪==设，求lim (),lim ()f x f x (3)24、当25(1)2sin ,(2)x x ≠，x=0,01(3)x ≤≤2627第2章和第3章 一元函数微分学1、用导数定义求函数21y x =-在点x 0 处的导数。
2、求曲线3y x x =+上过点（1，2）的切线方程和法线方程。
3、求曲线ln y x =的一点（x,y ），使过该点的直线与直线y=3x 平行。
4、设函数()y f x =在点0x 处可导，导数的0'()f x ，试求下列极限。
5、讨论下列函数在指定点处的可到性。
6、讨论函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x=0处的连续性，可导性。
7、求下列函数的导数。
8、求下列函数的导数。
9、试求下列函数的导数dy ，其中f 都可导。
10111213142,0.02x =,1516171819、下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件？为什么？20、验证下列函数在所给区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的ε。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
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1
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1
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y
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高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案【注意：以下是根据题目需求给出的格式，仅供参考。
具体格式请根据实际情况自行调整。
】第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.（1）解：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则有：f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -11.（2）解：设函数g(x) = 2x - 1，则有：g(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 51.（3）解：将x = 3代入f(x) = x^2 + g(x)中，得：f(3) = 3^2 + g(3) = 9 + 5 = 141.（4）解：由f(x) = 2x + g(2)可得：g(2) = f(x) - 2x = 2x + g(x) - 2x = g(x)1.（5）解：f(g(-1)) = f(2(-1) - 1) = f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 2 = 9 - 9 - 2 = -21.（6）解：海伦公式中，设a = BC = 3，b = AC = 4，c = AB = 5，则有：p = (a + b + c) / 2 = 6S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6(3)(2)(1)] = √[36] = 62.极限与连续性2.（1）解：根据极限的定义，当x趋于2时，有：lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 82.（2）解：根据极限的性质，当x趋于2时，有：lim(x->2)(2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 32.（3）解：由题意得，当x趋于3时，有：lim(x->3)(x^2 + 2x) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 152.（4）解：在x = 2处，f(x)不连续。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
考研高数同济七版必做课后习题
考研高数同济七版必做课后习题第一章习题1-1：2，5，6，13；习题1-2：2，3，6，7，8；习题1-3：1，2，3，4，7，12；习题1-4：1，5，6；习题1-5：1，2，3，4，5；习题1-6：1：（5），（6），2，4；习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）；习题1-8：2，3，4，5，6；习题1-9：1，2，3，4，5；总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。
第二章习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20；习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14；习题2-3：1，2，3，4，10，12；习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）；习题2-5：3，4；总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。
第三章习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15；习题3-2：1，2，3，4；习题3-3：6，10；习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11；习题3-5：1，3，4，5，6，9；习题3-6：2，3，5；习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5；总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。
第四章习题4-1：1，2，3；习题4-2：1，2；习题4-3：1-24；习题4-4：1-24；习题4-5：1-25；总复习题四：1，2，3，4。
第五章习题5-1：2，3，4，7，11，12，13；习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14；习题5-3：1-7；习题5-4：1，4；总复习题五：1-14。
第六章习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）；习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11；总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。
高等数学第七章测试题答案(第7版)
第七章测试题答案一、填空（20分）1、是 3 阶微分方程；2、与积分方程等价的微分方程初值问题是；3、已知微分方程，则函数不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设和是二阶齐次线性方程的两个特解，为任意常数，则一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；5、已知、、是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：；6、方程的通解为.7、微分方程的特解可设为；8、以为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：；9、微分方程的特解形式为：；10、微分方程的通解：。
二、（10分）求的通解.解：由一阶线性微分方程的求解公式，三、（10分）求解初值问题.解：分离变量，两边同时积分，，又由，得，故四、（15分）曲线的方程为，已知在曲线上任意点处满足，且在曲线上的点处的曲线的切线方程为，求此曲线方程。
解：得，，又由知，，故曲线方程为五、（15分）求齐次方程的通解.解：原方程可化为，令，则，.原方程变为：即.分离变量，得两边积分得：即.以代入上式中的，化简得方程的通解为：.六、（15分）求解初值问题：.解：设，则，代入方程得：，分离变量并积分，得：，即.当时，，得.则.分离变量并积分，得：由，得.则即.七、（15分）求方程的通解.解：该方程对应的齐次方程的特征方程为，解得则.由于不是特征根，所以设为，代入原方程，得：.所以.该二阶常系数非齐次线性方程的通解为.。
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第一章、函数、极限与连续
1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。
2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。
3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。
4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？
5、求下列函数的定义域。
6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。
7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x
+-的表达式。
8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。
9、设221
1(),()f x x f x x x +=+求。
10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。
11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。
12、判断下列函数的奇偶性。
13、求下列函数的周期。
14、下列函数能够复合成一个函数。
15、函数13ln sin y y x
==，由哪些较简单的函数复合而成。
16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。
17、下列函数的极限。
18、求下列函数的极限。
19、求下列函数的极限。
20、求下列极限。
21、求下列函数的极限。
22、求下列函数的极限
21,0(1)()1,0
x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪==⎨⎪->⎩
设，求20lim (),lim ()x x f x f x →→ 232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩
设，求012lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→ 24、当0x →时，证明：1133
(1)sin x x x +
→x →
25、下列函数在指定点是否连续？为什么？
20(1)()1,0f x x x =+=在点。
21sin ,0(2)()0x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪⎩g ，x=0
，在00x =点。
,01(3)()42,1313,3x x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≤<+∞⎩
，在01,3x =两点。
26、求下列函数的不连续点。
27、证明方程310,01x x +-=在开区间（，
）内有实根 第2章和第3章一元函数微分学
1、用导数定义求函数21y x =-在点x 0处的导数。
2、求曲线3y x x =+上过点（1，2）的切线方程和法线方程。
3、求曲线ln y x =的一点（x,y ），使过该点的直线与直线y=3x 平行。
4、设函数()y f x =在点0x 处可导，导数的0'()f x ，试求下列极限。
5、讨论下列函数在指定点处的可到性。
6、讨论函数1sin ,0()0,0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩g 在x=0处的连续性，可导性。
8、求下列函数的导数。
9、试求下列函数的导数dy
dx
，其中f都可导。
10、求下列函数的导数。
sin
(1)x
y x
=
1 (2)(1)x
y x
=+
11、求下列函数的导数dy
dx。
12、求下列函数的高阶导数()
y n。
13、已知下列参数方程。
4
(1)
4
x t
y t
⎧=
⎨
=
⎩
1
()
2
(2)
1
()
2
a
x t
t
b
y t
t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
14、求函数2
y x
=在2,0.02
x x
==
V,时的增量与微分。
15、求下列函数的微分
16、利用微分，计算下列各数的近似值。
17、求下列近似值
18、一个正方形的棱长x=10m,如果棱长增加0.1m，求正方形体积增量的精确值和近似值。
19、下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件？为什么？
20、验证下列函数在所给区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的ε。
21、验证下列函数在所给区间上满足拉格朗日中值定理，并求出定理结论的ε。
22
、试对函数[]
2
(),()1
f x x
g x
==，4上写出柯西公式，并求出ε。
23、求下列函数的极限。
24、讨论函数在所给区间上的单调性。
25、证明下列不等式
26、求下列函数在所给区间上的极值。
27、求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。
28、讨论下列函数在所给区间的凸性，并求其拐点。
第4章不定积分
1、设()f x 的一个原函数是sinx ，求'()f x dx ⎰
2、求函数()f x ，使2()sin arccos x f x dx x x e x c =++⎰g
3、已知某曲线()y f x =，在任一点(,())x f x 处的切线斜率为112x +，且曲线通过点(1,2)，求此曲线方程。
4、求下列不定积分。
5、求下列不定积分
6、求下列不定积分。
7、求下列不定积分
8、设20()cos ,'()3x G x tdt G π
=⎰求 9、求下列函数的导数。
10、计算下列定积分
11、求下列定积分
12、求下列函数的极限。
13求曲线1,,2y y x y x
===，所围成图形的面积。
14、求曲线cos y x =在[]0,2π内与x 轴，y 轴及直线2x π=所围圆形面积。
15、求曲线22,y x x y ==，所围图形面积及此图形绕y 轴旋转所的立体的体积。
16、求曲线0x y e y -==与之间位于第一象限内的平面图形面积及绕x 轴旋转所得立体体积。
第五章、定积分
1、利用定积分的几何意义，证明下列等式：
（1）、。