2018年高中数学黄金100题系列第66题空间几何体的外接球与内切球理
空间几何体外接球和内切球
3D．32 3 π方法技巧专题 3 空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体（以P -ABCD 为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O';（2）把O'垂直上移到点O ，使得点O 到顶点P 的距离等于到A、B、C、D 的距离相等，此时点O 是几何体外接球球心；（3）连接OA ，那么R =OA , 由勾股定理得：R2 =r 2 +OO'2 .1、已知正四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA =AB = 2，则球O 的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π2、在三棱锥P -ABC 中. PA =PB =PC = 2. AB =AC =1，BC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．4π 3【二】高不过外心3 27 高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥P -ABCD ，PA ⊥底面ABCD（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O';（2）把O'垂直上移到点O ，使得OO'=1PA ，此时点O 是几何体外接球球心；2（3）连接OA，那么R=OA,由勾股定理得：R2=r2+OO'2=r2+（PA）2.21、长方体 A ꆸ䎑ꮘ ΐ A 1ꆸ1䎑1ꮘ1的 8 个顶点在同一个球面上，且 A ꆸ = ⺁，A ꮘ = 3，A A 1= 1，则球的表面积为 ．2、已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面边长为 3，外接球表面积为16π，则正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积为（）A.3 34B.3 3 2D.9 3 423、已知 P ， A ， B ，C ， D 是球O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形， AD / /BC ， AB = DC = AD = 2 ，BC = PA = 4 ， PA ⊥ 面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A ．64 2π B ．16 2πC ．16 2πD ．16π3 34、已知三棱柱 ABC - A B C 的侧棱与底面垂直， AA = BC = 2, ∠BAC = π，则三棱柱 ABC - A B C 外接球的体积为（）1 1 1141 1 1A ．12 3πB ． 8 3πC ． 6 3πD ． 4 3π5、四棱锥 P - ABCD 的底面为正方形 ABCD ， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 2 ，若该四棱锥的所有顶点都在体积为9π 2的同一球面上，则 PA 的长为（ ）1 A ．3B ．2C ．1D ．26、四棱锥 A - BCDE 的各顶点都在同一球面上， AB ⊥ 底面 BCDE ，底面 BCDE 为梯形， ∠BCD = 60 ，且AB ＝CB ＝BE ＝ED ＝2，则此球的表面积等于（）A ． 25πB ．24π C ． 20πD ．16π【三】长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径： R = 3 a （a 为正方体棱长）； 23、长方体的同一顶点的三条棱长分别为a , b , c ，外接球的半径： R =21、若一个长、宽、高分别为 4，3，2 的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是 .C. 9 3a 2 +b 2 +c 2r 2+ ( h )2 2 PA 2 - AH 2 OH 2+ AH2(h - R )2 + ( 2 r )234、棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的 8 个顶点都在球O 的表面上， E ，F 分别是棱 AA 1 ， D D 1 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） 2A ． 2【四】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—汉堡模型B ．1C ．1+2 D ． 21. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理1 a1）第一步：求底面外接圆的半径： r =（ a 为角 A 的对边）；2 sin A2）第二步：由勾股定理得外接球半径： R = （ h 为直棱柱侧棱高度）1、直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，已知 A ꆸ T ꆸ䎑，A ꆸ = 3，ꆸ䎑 = 4，AA 1 = 5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．2、直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的所有棱长均为 ⺁ 3，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．12πB ．16πC ． 28πD ． 36π3 、设直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的所有顶点都在一个球面上， 且球的表面积是 40π ， AB = AC = AA 1 ，∠BAC = 120o ，则此直三棱柱的高是.【五】棱锥的外接球类型一：正棱锥型 （如下图 1，以正三棱锥为例，顶点 P 的投影落在∆ABC 的外心上）1) 求底面外接圆半径：r = 1 a（ a 为角 A 的对边）；2) 求出 AH 2 sin A= 2 r ，求出棱锥高度h = PH = ;33) 由勾股定理得外接球半径: R = =.2r 2+（h ）2 2类型二：侧棱垂直底面型（如上图2）1）求底面外接圆半径：r =HD =1 a（a 为角A 的对边）；2）棱锥高度h =PA ;2 sin A3）由勾股定理得外接球半径: R =. 类型三：侧面垂直于底面---切瓜模型2类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径）题设： ∠APB = ∠AQB = π,且面ABP ⊥ 面ABQ则外接球半径： R = 2类型五：折叠模型1、已知正四棱锥 P - ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为球的体积为 （），若该正四棱锥的体积为 2，则此124π A.3625π B.81 500π C.81256π D.92 、 在 三 棱 锥 P - ABC 中 ，AP = 2 ，AB = 3 ， PA ⊥ 面 ABC ， 且 在 三 角 形 ABC 中 ， 有c cos B = (2a - b )cos C ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 40πB. 20πC. 12πD.20π3AB 2 33 3 3、已知如图所示的三棱锥 D - ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，∆ABC 和∆DBC 所在平面相互垂直，AB = 3，AC = ， BC = CD = BD = 2 ，则球O 的表面积为()A ． 4πB ．12πC ．16πD ． 36π4、三棱锥 P - ABC 的底面是等腰三角形， ∠C = 120︒ ，侧面 PAB 是等边三角形且与底面 ABC 垂直， AC = 2 ， 则该三棱锥的外接球表面积为( )A ．12πB ． 20πC ． 32πD ．100π5、已知三棱锥 P - ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， PC 是球O 的直径．若平面 PCA ⊥ 平面 PCB ， PA = AC ，PB = BC ，三棱锥 P - ABC 的体积为 a ，则球O 的体积为()A ． 2πaB ． 4πaC ． 2π a3D ． 4πa36、在三棱锥 A ﹣B C D 中，△A B D 与△C B D 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 A - BD - C 的平面角为 120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．16π 328π D ．37、已知正四棱锥 P - ABCD 的各条棱长均为 2，则其外接球的表面积为()A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π8、如图，正三棱锥 D - ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为 3，侧棱长为2 表面积是()，则球O 的A ．4π B ．32π C ．16π D ． 36π3313 13 9、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）214 A.3127 B.3115 C.3124 D.310、已知三棱锥 S －ABC 中， SA ⊥ 平面 ABC ，且∠ACB = 30︒， 接球的体积为()AC = 2AB = 2 3.SA = 1 .则该三棱锥的外A. 13 13πB. 13πC. 8πD. π6 611、已知四棱锥 P ΐ A ꆸ䎑ꮘ 的三视图如图所示，则四棱锥 P ΐ A ꆸ䎑ꮘ 外接球的表面积是（ ）A. 20π101 B.5C. 25πD. 22π12、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 81nB. 33nC. 56nD. 41n13 πππππ6 7 3a 2 +b 2 +c 213、已知底面边长为 ⺁，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P ΐ A ꆸ䎑 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3nB. ⺁nC. 4nD. 4n32π 14、如图所示，三棱锥 S 一 A B C 中，△A B C 与△S B C 都是边长为 1 的正三角形，二面角 A ﹣B C ﹣S 的大小为，若3S ，A ，B ，C 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（）713 A ． πB ． 334 πC ． 3πD ．3π15、四面体 SABC 中， AC ⊥ BC ， SA ⊥ 平面 ABC ， SA =，AC = ， BC = ，则该四面体外接球的表面积为（ ）32πA ．3【六】墙角型16π B ．3C ．16πD ． 32π题设：墙角型（三条线两两垂直）方法：找到 3 条两两互相垂直的线段途径 1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径 2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径 3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径 4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．墙角型外接球半径： R = （ a , b , c 分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）2A ． 2π B ． 3π1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）C ． 3πD ． 4 3π322、已知四面体 A ꆸ䎑ꮘ 的四个面都为直角三角形，且 A ꆸ T 平面 ꆸ䎑ꮘ，A ꆸ = ꆸꆸ = 䎑ꮘ = ⺁，若该四面体的四个顶点都在球 0 的表面上，则球 0 的表面积为（ ） A ．3nB ．⺁ 3nC ．4 3nD ．1⺁n3、已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是 ()A ． 24πB ． 20πC ．16πD ．12π4、在三棱锥 P 一 ABC 中， PA = PB = PC = 1， PA 、 PB 、 PC 两两垂直，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为( )A ．12πB ． 6πC ． 4πD ． 3π【七】空间几何体内切球6 33 2 1、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． 2、若三棱锥 A - BCD 中， AB = CD = 6，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为．3、一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为()3 + 3 3 A ．23 3 B ． C ．21+ 3 D ．24、球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( )A ．1:1B ． 2 :1C ． 3: 2D ． 4 : 3【八】球与几何体各棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直 角三角形进行转换和求解1、已知一个全面积为 24 的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为2、把一个皮球放入如图 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）A.10 cmB. 10cmC. 10 cmD. 30 cm。
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。
在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。
例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。
除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。
例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。
高考数学 核心考点 外接球与内切球的计算
A微专题 与球相关的外接与内切问题知识梳理1、若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球，计算外接球的两大方法：构造法、球心定位法。
2、若一个多面体的各面都与内部的一个球相切，那么这个球叫做这个多面体的内切球。
3、球的性质：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222dr R +=题型归纳方法一 构造法（补形法）处理外接球问题事实：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 类型一：三棱相互垂直型【例1】如图所示，设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝3， 若AD ＝R(R 为球O 的半径)，则球O 的表面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以AB ，AC ，AD 为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB ＝AC ＝3，所以AE ＝6，AD ＝R ，DE ＝2R ，则有R 2＋6＝(2R)2，解得R ＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选D 。
【点评】当一三棱锥的三侧棱a 、b 、c 两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，满足2222)2(c b a R ++=关系式。
变式1：如图所示，已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ， BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A-BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R)2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π.故选A 。
高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的b a ,,就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2222c b a R ++=练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
高中数学中的内切球和外接球问题
高中数学中立体几何的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
高考数学：几何体中的外接球与内切球解题捷径
高考数学：几何体中的外接球与内切球解题捷径
解惑
同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时，常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策.事实上，有时无需画出球体，只需找出球心和半径即可，或者画出球的大圆转化为平面几何问题.本文举几个简单的例子，希望给同学们一些帮助。
一、外接球
在考查几何体的外接球时，常常以正方体、长方体、三棱锥为基本模型。
二、内切球
空间几何体的内切球问题，常常转化为球心到平面的距离为球的半径解答。
空间几何体外接球和内切球题型归纳
空间几何体外接球和内切球题型梳理一、求外接球半径的常用方法题型1高过外心例题1 正四棱锥P ABCD-的所有顶点都在球O的球面上，2PA AB==，则球O的表面积为______【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，P A＝AB＝2，∵连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO∵面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD221122222AC==+=OP22422PB OB=-=-=∵O是球心，球O半径r2=∵球O表面积为S＝4πr2＝8π变式1在三棱锥P ABC-中.2PA PB PC===.1AB AC==，3BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为______【解析】因为1,3AB AC BC===，由余弦定理可求得23BACπ∠=再由正弦定理可求得ABC∆的外接圆的半径122sin3BCrπ==因为2PA PB PC===，所以P在底面上的射影为ABC∆的外心D，且3PD=设其外接球的半径为R，则有22213)R R=+，解得23R=空间几何体（以ABCDP-为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD的外接圆半径r，确定底面ABCD外接圆圆心位置O';（2）把O'垂直上移到点O，使得点O到顶点P的距离等于到DCBA、、、的距离相等，此时点O是几何体外接球球心；（3）连接OA，那么OAR=, 由勾股定理得：222OOrR'+=.所以其表面积为24164433S R πππ==⨯= 题型2 高不过外心例题2 （1）长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB =2，AD =√3，AA 1=1，则球的表面积为______．（2）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ） 【解析】（1）长方体ABCD −A 1B 1C 1D 18个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长， 设球的半径为R ，因为AB =2，AD =√3，AA 1=1，所以4R 2=22+√32+12=8，球的表面积为4πR 2=8π，故答案8π.（2）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为03,2sin60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒=外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ====+=解得1,2OM MN h === 故棱柱的体积为：13322V Sh ==⨯⨯=，选D 例题3 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为______【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC ==，∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又12DC BC =，12DE BC ∴=，AE DE BE EC ∴===， E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心，设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==设AF x =，OP OA R ==，则()22444x x +-=+，解得：2x =，R ∴==∴球O 的体积：343V R π==本题正确选项：A 变式2 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，111A B C ∆的外接圆圆心为2O ， 球的球心为O ，因为三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，所以球的球心为12O O 的中点，且直线12O O与上、下底面垂直，且122sin4O C π==，11O O =，所以在1O Rt O C ∆中，OC ==343R π=，选D 变式3 四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．12【解析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE ∥PA,OE ⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得12R PC ==34932ππ⋅=，解得PA=1,故选C. 变式4 四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠=，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（ ）A ．25πB ．24πC ．20πD ．16π【解析】如图，由已知可得，底面四边形BCDE 为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为G ，连接BG ，则224sin30BG ==，2BG ∴=，又2AB =，设四棱锥外接球的球心为O ，则OA =∴此球的表面积等于2420ππ⨯=．选C二、常见几何体的外接球题型3长/正方体外接球例题4 若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为________【解析】长方体外接球半径：2292432222=++=R ，所以外接球面积：ππ2942==R S例题5 一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______ 【解析】设正方体棱长为a ，则1862=a ，∴3=a .设球的半径为R ，则由题意知2323==a R .故球的体积ππ29343==R V 变式5 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A ．B ．C ．D 【解析】平面D D AA 11截面所得圆面的半径为2222122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r ，直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径，为22=r题型4 棱柱的外接球1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+例题6 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【解析】AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，所以5=b 底面外接圆的半径：25sin 21==B b r ，111C B A ABC -是直三棱柱，5=h ，所以几何体外接球半径225)2(22=+=h r R ；故该球表面积ππ5042==R S直棱柱外接球的求法—汉堡模型1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理1）第一步：求底面外接圆的半径：Aar sin 21=（a 为角A 的对边）；22)(hr R +=例题7 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．16πC ．28πD ．36π【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面外接圆的半径：23sin 3221==πr ， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则32=h ，所以外接球半径7)2(22=+=hr R ，∵外接球的表面积ππ2842==R S ．选C变式6 设直三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是π40，1AA AC AB ==，o 120=∠BAC ，则此直三棱柱的高是________.【解析】设BAC ∆边长为a ，则BAC ∆外接圆半径为122sin3aπ⋅=，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是题型5 棱锥的外接类型一：正棱锥型 （如下图1，以正三棱锥为例，顶点P 的投影落在ABC ∆的外心上） 1) 求底面外接圆半径：Aar sin 21=（a 为角A 的对边）2) 求出r AH 32=，求出棱锥高度22AHPA PH h -==3) 由勾股定理得外接球半径:()2222)32(r R h AHOH R +-=+=类型二：侧棱垂直底面型 （如上图2）1）求底面外接圆半径：AaHD r sin 21==（a 为角A 的对边）；2）棱锥高度PA h =3）由勾股定理得外接球半径:222）（h r R +=图1图2例题8 已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为__________．【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=，3OO PO PO R ∴-'=='-在D O O Rt '∆中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭球例题9 在三棱锥P ABC -中， 2AP =，AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-，则该三棱锥外接球的表面积为__________．【解析】设该三棱锥外接球的半径为R . 在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C=-∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，2sin3r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.例题10 已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，AC =BC CD BD ===O 的表面积为__________．【解析】3AB =，AC =BC =222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，43sin32sin 2==∠=πBCDBC R ，∴球O 表面积为2416R ππ=．例题11 三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒，又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心，则22sin sin 30AC CG ABC ==∠︒，2CG ∴=．再设CG 交AB 于D ，可得1CD =，AB =1DG =． 在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ，则223BH PH PD ===． 过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ， 则O 为该三棱锥的外接球的球心，则半径R OB ===∴该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=例题12 在四面体ABCD中，AB =1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．【解析】由AB =，1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=可得90ACB ADB ∠=∠=，所以2OA OB OC OD ====，即O 为外接球的球心，球的半径2R =所以四面体ABCD 外接球表面积214422S R πππ==⨯=例题13 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为__________．【解析】如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且PBC ∆的面积为212PBC S PC OB R ∆==，PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，球O 的体积为33414433R R a πππ=⨯=例题14 在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π【解析】如图，取B D 中点H ，连接AH ，CH ，因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F则由AH ＝2=AE 23=AH =EH 13=AH = 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°所以OE ＝1，则R ＝OA 3==，则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 变式7 已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO ='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径,故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.变式8 如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为O 的表面积是__________．【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =， 2r ∴=，16O S π∴=球，选C ．变式9 已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2AC r ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足,2R ==故三棱锥外接球的体积34.36V R π== 变式10 已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P −ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 2πC. 43π D. 4π【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为S =4×π×(√32)2=3π．选A ．变式11 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 81πB. 33πC. 56πD. 41π【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P −ABCD ，其中ABCD 是边长为4的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ．设F 为AB 的中点，E 为正方形ABCD 的中心，O 为四棱锥外接球的球心，O 1为ΔPAB 外接圆的圆心，则球心O 为过点E 且与平面ABCD 垂直的直线与过O 1且与平面PAB 垂直的直线的交点．由于ΔPAB 为钝角三角形，故O 1在ΔPAB 的外部，从而球心O 与点P 在平面ABCD 的两侧．由题意得PF =1,OE =O 1F,OO 1=EF ，设球半径为R ，则R 2=OE 2+OB 2=EF 2+O 1P 2,即OE 2+(2√2)2=22+(1+OE)2，解得OE =32，∴R 2=(32)2+(2√2)2=414，∴S 球表=4πR 2=41π．选D ．变式12 （2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．73πB ．133πC ．43πD ．3π【解析】取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ，由题意得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，∴∠ADS 是二面角A ﹣BC ﹣S 的平面角，∴∠ADS 23π=，由题意得BC ⊥平面ADS ， 分别取AD ，SD 的三等分点E ，F ，在平面ADS 内，过点E ，F 分别作直线垂直于AD ，SD ，两条直线的交点即球心O ，连结OA ，则球O 半径R ＝|OA |，由题意知BD 12=，AD 32=，DE 1336AD ==，AE 2333AD ==，连结OD ，在Rt △ODE 中，3ODE π∠=，OE =12=， ∴OA 2＝OE 2+AE 2712=，∴球O 的表面积为S ＝4πR 273π=．选A ．变式13 四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =AC =，BC =，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π【解析】如图所示：由已知可得SAB 与SBC 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB 的中点O因为AC BC ==且AC BC ⊥,所以10AB ,所以4SB ==所以四面体SABC 的外接球半径2R =,则表面积2416S R ππ==，选C题型6 墙角型例题15 已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，AB =BD =CD =2，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．2√3πC ．4√3πD ．12π【解析】∵BD =CD =2且ΔBCD 为直角三角形 ∴BD ⊥CD又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ∴CD ⊥AB ∴CD ⊥平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即球O 的表面积：S =4πR 2=12π，选D变式14 已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ，其外接球即为正方体1AC 的外接球，由1AC ==∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．选D ．变式15 在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 【解析】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径22r ==， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．选A ．巩固提升1．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC =（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π2ACB ∠=设球的半径为R ，根据题目所给体积比有34π114π332R R =⋅⋅，解得1R =故球的表面积为4π.2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．√6πB．6πC．9πD．24π【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P−ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π．选B．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）A B C．193πD．223π【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,23OM ON ===所以外接球的半径2222219()212R ON AN R =+=+=∴=所以外接球的体积34354V R π==，选A 4．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将ΔADE ，ΔBEF ，ΔCDF 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EDF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．5πB ．6πC ．8πD ．11π【解析】由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ．三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：√1+1+4=√6．∴球的半径为√62，∴球的表面积为4π·(√62)2=6π．选B ．5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积是：（ ）A ．8πB ．12√3πC ．12πD ．48π【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4π×(√3)2=12π．选C ．6．已知三棱锥O −ABC 的底面ΔABC 的顶点都在球O 的表面上，且AB =6，BC =2√3，AC =4√3，且三棱锥O −ABC 的体积为4√3，则球O 的体积为（ ）A ．32π3B ．64π3C ．128π3D ．256π3【解析】由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，BC =2√3，AC =4√3，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13•OM •12AB •BC =16OM •12√3=4√3，解得OM ＝2， R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即R ＝4，球O 的体积为43πR 3=43π•64=2563π．选D ．7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A B ．8π C D ．43π【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==，又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =3344333V R ππ==⨯=，故选C. 8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．48π【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以,SC =设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，在直角三角形SBC 中，OB=12SC =所以,所以点O所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.选B9．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B ．3 C ．2π D ．3π【解析】根据题意, 21===AB PB PA ， ，PAB ∆∴是直角三角形又 平面PAB ⊥平面ABC ，所以，三棱锥P ABC -外接球半径等于ABC ∆的外接圆半径 AB BC ⊥,21==AB BC ，,32==∴AC R ∴球的表面积为243R ππ=故选D 。
关于球的历年高考真题空间几何体的外接球与内切球精品总结-- 学生版精品资料
搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 在四面体S ABC-中，ABCSA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）(6)题图(3)题-1(引理）AC图2-1第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3πC. 4πD.43π（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和俯视图侧视图正视图解答图△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(2)题-2(2)题-1→A(3)题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7(4)题图例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为 ．第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.92． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等B图8-1A图8-2于 .332π3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43π.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14π.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5，则其外接球的表面积是_______________.9π.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积249S R ππ==.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【重磅】数学研究课题-空间几何体的外接球与内切球问题
数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题例1．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,B A B A ，上述大圆的垂直于11B A 的直径交2211,B A B A 于21,O O ，如图2．设2211,d OO d OO ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2222222121152427R d R d d d ，解得25=R ．)(2500422cm R S ππ==∴圆．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算． 例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，则由ππ43,3433V r V r ==，343πV r =，由,3V a =得3V a =． 322324)43(44V V r S ππππ===球．32322322166)(66V V V a S ====正方体．∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．依题意得)(31r R S V BCD A +=-，又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3144r r R 4=+∴即r R 3=．所以914422==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．271343433==R rππ外接球的体积内切球的体积． 说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．例5 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形． ∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥． 过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线a AC 2=，故截面SAC 是等腰直角三角形．又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以R AC 2=，即R a 2=．∴高R SO =，体积33231R SO S V =⋅=底． 说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．例6 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===．求这个球的表面积．分析：24R S π=球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ． 解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ， 球心到该圆面的距离为d ，则222d r R +=．由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABC P -（如图所示）．ABC ∆的外接圆是球的截面圆．由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影'O 是ABC ∆的垂心，又a PC PB PA ===，所以'O 也是ABC ∆的外心，所以ABC ∆为等边三角形， 且边长为a 2，'O 是其中心， 从而也是截面圆的圆心．据球的截面的性质，有'OO 垂直于⊙'O 所在平面，因此P 、'O 、O 共线，三棱锥ABC P -是高为'PO 的球内接正三棱锥，从而'PO R d -=．由已知得a r 36=，a PO 33'=，所以2'2222)(PO R r d r R -+=+=，可求得a R 23=，∴2234a R S ππ==球面． 说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．例7 已知棱长为3的正四面体ABCD ，E 、F 是棱AB 、AC 上的点，且FC AF 2=，AE BE 2=．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．分析：可用何种法求内切球半径，把AEF D V -分成4个小体积(如图)．解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结NA 、NE 、NF 、ND ，则EFD N ADE N AFD N AEF N AEFD V V V V V ----+++=．四面体AEFD 各面的面积为2392==∆∆ABC AEF S S ，23332==∆∆ABC AFD S S ，43331==∆∆ABC AED S S ． DEF ∆各边边长分别为3=EF ，7==DE DF ，∴345=∆DEF S ． ∵2292==ABCD ADEF V V ，)(31DEF AED AFD AEF AEFD S S S S r V ∆∆∆∆+++=，∴)43543323323(3122+++=r ， ∴86=r ．如图，AEF ∆是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．设ABC ∆中心为1O ，连结1DO ，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上， 连结1GO 、MD ．∵ABC MG 平面⊥，ABC DO 平面⊥1， ∴1//DO MG ，1GO MG ⊥．在直角梯形DM GO 1中，11=GO ，61=DO ，R MD =，1222-=-=R AG AM MG ，又∵22121)(MD GO MG DO =+-，∴2221)16(R R =+--，解得：210=R ． 综上，四面体AEFD 的内切球半径为86，外接球半径为210．说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视． 例8球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴222AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=， ∴22215)21(=-R R ，得310=R ．∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 例9 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．PH 是正三棱锥的高，即1=PH ． E 是BC 边中点，H 在AE 上，ABC ∆的边长为62，∴26263=⨯=HE ． ∴3=PE可以得到2321=⋅===∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ．36)62(432==∆ABC S由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631 得：2633232-=+=R ，∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球．说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R 2，四个球心构成一个棱长为R 2的正四面体，可以计算正四面体的高为R R 362236=⨯，从而上面球离开桌面的高度为R R 3622+． 例10 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；R O O OB 330cot 1=︒⋅=，R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱，3233)3(31R R R V ππ=⋅⋅=锥，∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ． 例11 正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积． 分析：求球半径，是解本题的关键．解：如图，作⊥PD 底面ABC 于D ，则D 为正ABC ∆的中心． ∵⊥OD 底面ABC ，∴O 、P 、D 三点共线． ∵l PC PB PA ===，α2=∠APB ． ∴ααsin 22cos 2222l l l AB =-=．∴αsin 33233==AB AD ， 设β=∠APD ，作PA OE ⊥于E ，在APD Rt ∆中，∵αβsin 332sin ==PA AD ， 又R OA OP ==，∴l PA PE 2121==．在POE Rt ∆中，∵αβ2sin 3412cos -===lPE PO R ， ∴)sin 43(2sin 433sin 34123422332ααπαπ--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=l l V 球． 说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系． 例12在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．∵ππ4922=⋅B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=⋅A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=． 在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2227)9(++=x R ，∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ， ∴22222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球． ∴球的表面积为22500cm π．几何体与球切、接的问题1球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2aOJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图1.位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =.（2）正方体的外接球，如图2.位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =. （3）正方体的棱切球，如图3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有22r a =.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A 2B ．1C ．212+D 2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径1222AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.1.2 球与长方体例2自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．【解析】以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．.例3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A.16πB.20πC.24πD.32π思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.【解析】正四棱柱也是长方体。
2018年高中数学 黄金100题系列 第66题 空间几何体的外接球与内切球 理
第66题 空间几何体的外接球与内切球I ．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm求球的体积．【解析】设球的半径为R 知，正方体的体对角线为球的直径，所以2R =，即R =，所以球的体积为343V R π=＝34)3π＝32． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标3理8】已知圆柱的高为1，底面的圆周在直径为2体积为A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π4【答案】B11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径 r ==体积是223124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B .2334439()3322R πππ==，故选B ． 【例5】【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R 此时2311136326O ABC C AOBV V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．【例6】【2014全国大纲卷】上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，( ) A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为为E ,则OE 直棱锥底面，4O E R =-,所2242R R -+=（）222)R =，解得94R =，的表面积24S R π==814π，故选A ．【例7】【2013新课标I 卷】如图，无盖的正方体容器，容器高8cm 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ( )3 B ．38663cm 3 D ．320483cm R ，则由题知球被正方体4，球心到截面圆的距离为222(2)4R R =-+，解得5R =，∴3453π⨯=35003cm ，故选A ．人教版A 版必修二第28页练习第2本题是球的正方体构成的组合体问 根据所涉及到几何体组合的结构特本类题主要考查空间几何体结构特能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．34III ．理论基础·解题原理 考点一 棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的n 边形与n 个平行四边形组成；n 棱锥的展开图由一个n 边形与n 个共顶点三角形组成；n 棱台的展开图由两个相似的n 边形与n 个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为a 的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c 、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋． 考点二 圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 考点三 柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即13V Sh =圆锥．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是213V r h π=圆锥． 考点五 球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现． 【技能方法】1．当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解；2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．5【易错指导】（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征而出现思维上的障碍； （2）不能正确建立两个几何量间的关系而致错． V ．举一反三·触类旁通 考向1 球与棱柱的组合体【例1】【2017云南第二次统一检测】已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ） A ．323π BC ．332πD【答案】A【解析】设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===a b cbc ab ,则22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为ππ3322343=⨯=V ，故选A ．【解法指导】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径．【例2】【2018宝鸡模拟】已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π 【答案】D【例3】【2018届四省名校大联考】已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为3的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ）2C. 3D. 【答案】A【解析】设正三棱柱的外接球半径为R ，底面三角形外接圆半径为r ，边长为a ，6则：3433R π=，解得：R =1r ==，结合正弦定理：2,21sin60a r a =∴=⨯=选择A 选项.【跟踪练习】1．【山东省济宁市2018届高三期末】已知正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为( ) A.253π B. 1003πC. 25πD. 100π 【答案】B【解析】由正三棱柱的底面边长为4,所以底面正三角形的外接圆的半径为r =又由正三棱柱的高为O 的球心距我们易得球半径R 满足：R 2=r 2+d 2253=所以该正三棱柱外接球的表面积为1003π故选B 2.【2017重庆一中高三下适应性】三棱柱111C C AB -A B 的各个顶点都在球O 的球面上，且C 1AB =A =，C B =1CC ⊥平面C AB ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12D ．1 【答案】C【技巧点拨】球内接直三棱柱的组合体问题，如果棱柱底面是直角三角形，常常可采用补形法，即将直三棱柱补为一个长方体来解决，主要抓住的几何特征：补形的长方体的体对角线为球的直径．3.【2018江西赣中南五校第一次联考】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．7【答案】D【解析】由球的体积是323π，可得2=r ，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为34的正三角形，所以三棱柱的体积是348463421=⨯⨯⨯；故选D ． 4.【2018大连模拟】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若A 34B AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A ．2173 B ．210 C ．213 D ．310 【答案】C5．【2018云南民族大学附属中学二次月考】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm ），则该阳马的外接球的体积为（ ）A. 100πcm 3B.5003πcm 3 C. 400πcm 3 D. 40003πcm 3 【答案】B【解析】由三视图可知该“阳马”的底面是边长为6,cm 的长方形，垂直于该底面的侧棱长为6cm ，则该“阳马”的外接球的半径为5R ==，其体积为334500ππ533V cm =⨯=；故选B.6.【2016浙江省绍兴县鲁迅中学上期期中】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，8此球的体积为_____________．【解析】由条件知正方体的棱长为2，对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即2R =R =343V r π==3．【解法指导】正方体的每条棱球相切的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体的面对角线等于球体的直径．7.【2017山西太原二模】若正三棱住的所有棱长均为a，且其体积为_____________． 【答案】283π∴332332=⨯=BO ．又12121='='=A A O O OD ∴3213722==+=OD OB BD ． ∴三棱柱外接球的表面积ππ32842=⨯=BD S ．【技巧点拨】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径．8．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018期末】已知直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC ∠=︒，侧9面11BCC B 的面积为8，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为__________． 【答案】2【解析】设BC=2x ，BB 1=2y ，则4xy=8，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°， ∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1≥，∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球半径的最小值为2．故答案为：2.9．【辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三月考】我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三 角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．【答案】310考向2 球与棱锥的组合体【例1】【广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π 【答案】C【解析】三棱锥P ABC -将四个面都为直角三角形，所以只能ABC ∠为直角，将三棱锥补成长方体，可得PC 为球O 的直径，PC ==球O球O 的表面积为4520ππ⋅=，故选C.【例2】【2017云南玉溪市质检】已知三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径2AD =，且,ABC BCD ∆∆都是等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．13 B．4 C．3 D ．12【答案】A【方法点睛】球内接三棱锥的组合体问题，情况较多，须根据具体题型进行具体分析，如本题条件中已知很明确知道，球的直径为三棱锥的一条棱．【例3】【2017衡水中学高三摸底联考】在四面体S ABC -中，,AB BC AB BC ⊥==2,SA SC SB ==== ）A． BC ．24πD ．6π 【答案】D【解析】因为,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，则三角形SAC 的外心1O 为在线段AD 上，且1133DO AD ==，又三角形ABC 的外心为D ，又,SD AC BD AC ⊥⊥，所以AC ⊥平面SDB ，过D 垂直于平面ABC 的直线与过1O 垂直于平面SAC 的直线交于点O ，则O 为四面体外接球的球心，在三角形SDB 中，由余弦定理得cos SDB ∠=，所以1sin sin()cos 23ODO SDB SDB π∠=∠-=-∠=，所以111tan OO O D ODO =⨯∠=，设外接圆半径为R ，则2221132R SO OO =+=， 所以246S R ππ==，故选D.【方法点睛】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面ABC 上的投影为ABC ∆ 的斜边AC 中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面SAC 上的投影为SAC ∆的外心；（3）由（1）（2）确定出球的球心． 【跟踪练习】1.【2017山西太原市二模】已知三棱锥S ABC -中，底面ABC SA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．5π 【答案】D2．【2018届黑龙江省大庆实验中学模拟】将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．12πC ．8πD ．4π 【答案】C【解析】沿对角线BD 把正方形ABCD 折起，得到的三棱椎C ABD -的外接球，球心是BD 中点，BD 长的一半为球半径，得1122R BD ==⨯= 故三棱椎C ABD -的外接球表面积等于248S R ππ== ，选C3.【2016江西赣州市上期期末】在正三棱锥—V ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．【答案】【解析】由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴2134V ABC V b -=⨯＝113232⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-，∴113232V ABCV -=⨯⨯＝＝＝．令2480b t -=>，3(48)()t f t t+=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h ===【思路点睛】本题半球与三棱锥的组合体中的最值问题，解答时注意到球的半径为球心（底面三角形中心）到侧面的距离，然后通过建立函数来解决．4.【2017江西九江市下期三模】如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥ABC P -中，则此正三棱锥体积的最小值为_____________．【答案】385．【江西省南康中学、于都中学2017-2018学年高二联考】四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，则当此四面体体积最大时，该四面体的外接球表面积为__________．【答案】15【点睛】：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．考向3 球与圆柱的组合体【例1】【2016湖南常德市石门一中期中】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）A ．32，1 B ．23，1 C ．32，32 D ．23，32【答案】C【点睛】球外切于圆柱的组合体问题，解答时注意到球的直径为圆柱的高、底面直径相等． 【跟踪练习】1.【2017容城县二模】半径为R 的球O 中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（ ） A ．34 B ．1 C ．43D ．2 【答案】D【解析】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则cos r R α=，圆柱的高为2sin R α，圆柱的侧面积为22sin 2R πα，当且仅当4πα=时，sin 21α=，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为22R π，球的表面积为24R π，球的表面积与该圆柱的侧面积之比为2:1，故选D ．考向4 球与圆锥的组合体【例1】【20172的圆锥的外接球O 的表面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．8π D ．16π 【答案】D【解析】母线长为2，可求得其轴截面的顶角为32π．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，则11O O R =-，222221(1)R OO r R =+=-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R π=π，故选D ．【点睛】球内接圆锥的组合问题，解答时抓住圆锥底面圆心与球心连线段、底面半径、球的半径间的勾股关系求解． 【跟踪练习】1.【2018广东实验中学上期期末】一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为___________．【答案】3:12.【2016上海金山中学下期期末】 已知三棱锥P ABC -，若PA PB PC ，，两两垂直，且 2PA =，1PB PC ==，则三棱锥P ABC -的内切球半径为__________．【答案】14【解析】由题意得，设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ，球心为O ，则B PA C O P AB V VV ---=+O AB COV V --++，即11111121121211323232r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＋1132r ⨯，解得14r =． 【方法点拨】棱柱内切球的组合问题，通常利用球心到各面的距离为半径，将棱锥化为若干棱锥，利用其体积关系求解．考向5 球与球的组合体【例1】【2017吉林四平一中五模】半径为1的三个球,,A B C 平放在平面α上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D ，由四个球心,,,A B C D 构成一个新四面体，则该四面体外接球O 的表面积为（ ）A ．24323π B ．24392π C ．9π D ．23 【答案】A【点睛】解答多面相切问题主要从两个方面入手：（1）抓住各球球心构成的几何体的形状；（2）利用球相切的条件：圆心距等于半径之和． 【跟踪练习】1.【2018兰州一中期末】底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____________3cm .【答案】 1(32π+【解析】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，所以注水高为12+，其中2为两异面直线1234O O O O 与的距离（在正四面体中求）。
高中数学中的内切球和外接球问题
高中数学中立体几何的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________________ 27—例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为_________________ 3届.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________ .14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16，则这个球的表面积为（）.CA. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀3•求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知 8，底面周长为3，则这个球的体积为的半径的常用公式.二、构造法（补形法） 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ' 3，则其外 接球的表面积是 __________________ 护.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3,则其外 接球的表面积是 ________ .2故其外接球的表面积S=4「：R =9二.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 解 设正六棱柱的底面边长为x ，咼为h，则有6x =3, 9 3 2U 6 x h,841 x ,2_ h = . 3.二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R ^-：r 2d 2.体积:小结本题是运用公式R 2 1r = 2 ,球心到底面的距离4兀3VR 3. 3d 2求球的半径的，该公式是求球则有 2R 二、•. a 2 b 2 c 2 .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
空间几何体的外接球与内切球
空间几何体的外接球与内切球1正方体的内切球：设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc 图4PCO 2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R （1）在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
图3图4图5（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC-中，M N、分别是棱SC BC、的中点，且MNAM⊥,若侧棱23SA=,则正三棱锥ABCS-外接球的表面积是（4）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（5）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC∆画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC∆的外心，所以⊥1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO=1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得图5A DPO1OCBr C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R1. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对2. 在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D3.已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 为（ ） .4.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．Π5.正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为6.在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3π C. 4π D.43π7.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A A ．2 B．3 C ．2 D ．28.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( ) A ．323π B ．48π C ．643π D ．163π 9.10.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．6πD 6π类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO 1OCBP图9-3PAO 1OCB图9-4AO 1OCBP1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=1三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .2.已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 。
高中数学搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享. 不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2.结论:结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之, 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论&圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1•若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直•（与直线切圆的结论有一致性）2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等•（类比：与多边形的内切圆）3•正多面体的内切球和外接球的球心重合4. 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5. 基本方法：（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法）四、与台体相关的，此略五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为图1-1 图1-2 图1-3 图1-4bcC方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2(2R)b 2c 2，即 2R ■. a 2 b 2 c 2，求出 RA. 16 B • 20 C • 24D • 32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是4，体积为16，则这个球的表面积是（3(3)在正三棱锥 S ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且 AM MN ,若侧棱SA Z 3 ,则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 .证明如下：如图(3)-1，取AB,BC 的中点D,E ，连接AE,CD ，AE,CD 交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形 ABC 的中心，球的表面积为()A.11B.7(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 _________SH 平面ABC : ，SH AB ， AC BC ，AD BD ， CD AB ， AB 平面 SCD ， AB SC ,同理： BC SA ，AC SB ，即正三棱锥的对棱互垂直, 本题图如图(3)-2， AM MN ，SB//MN ， AM SB ， AC SB ，SB 平面 SAC ， SB SA ，SB SC ， SB SA ，BC SA ， SA平面SBC ，SA SC ， 故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 ! (23)2 (2；3)2 (2 3)2 36，即 4R 2 36，正三棱锥(4)在四面体SABC 中, SA 平面 ABC ， BAC120,SA ACABC 外接球的表面积是36 .2, AB 1,则该四面体的外接D.40B C(3)题-1(引理)（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等, 求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x，AB CD y，AC BD z，列方程组，图2-12ab 22 c b 2 2c 2 a 2x y 2(2R)22z a 2 b 2 c 2补充： 2-1中，VA BCD abc -abc6 -abc . 3第三步：根据墙角模型，2R ,a 2 b 22 2 2xy z，R2x 2 y 2 z 2-，R求出R .例2 （1）如下图所示三棱锥A BCD , 其中 AB CD5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为 （i ）题图 (2) 在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥A BCD 外接球的表面积为 (3) 正四面体的各条棱长都为 2，则该正面体外接球的体积为 (4) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形（正四面体的截面）的面积是 ⑷题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）任意三角形）（1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为8球的表面积等于题设：如图 3-1， 图 3-2，图 3-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是第一步：确定球心0的位置，0,是 ABC 的外心，则00, 平面ABC ；第二步：算出小圆 0,的半径A0,00,-AA2-h 2（AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理: 2 2 2 220A 0-A °。
高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点 . 考察学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 .一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题例1 假设棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为 ______________ .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的表面积为24，那么该球的体积为 ______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，那么此球的外表积为.例 4 各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，那么这个球的外表积为〔〕.A. 16B.20C.24D.32Word X文3.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长8为 3 ，那么这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，那么有6x 3h3932h x 16x2 84∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 d3.∴外22接球的半径 R r 2 d 2.体积： V4R3.3小结此题是运用公式 R2r 2 d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体例5 假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是 _______________.例3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是.故其外接球的外表积S 4 r 29.小结：一般地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a, b, c ，那么就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，那么Word X文.有 2Ra2b2c2.出现“墙角〞构造利用补形知识，联系长方体。
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第66题 空间几何体的外接球与内切球I ．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm求球的体积．【解析】设球的半径为R 知，正方体的体对角线为球的直径，所以2R =，即R =，所以球的体积为343V R π=＝34)3π＝32． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标3理8】已知圆柱的高为1，底面的圆周在直径为2体积为A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π4【答案】B11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径 r ==体积是223124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B .334439()3322R πππ==，故选B ． 【例5】【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R 此时2311136326O ABC C AOBV V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．【例6】【2014全国大纲卷】上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，( ) A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为为E ,则OE 直棱锥底面，4O E R =-,所2242R R -+=（）222)R =，解得94R =，的表面积24S R π==814π，故选A ．【例7】【2013新课标I 卷】如图，无盖的正方体容器，容器高8cm 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ( )3 B ．38663cm 3 D ．320483cm R ，则由题知球被正方体4，球心到截面圆的距离为222(2)4R R =-+，解得5R =，∴3453π⨯=35003cm ，故选A ．人教版A 版必修二第28页练习第2本题是球的正方体构成的组合体问 根据所涉及到几何体组合的结构特本类题主要考查空间几何体结构特能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．III ．理论基础·解题原理 考点一 棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的n 边形与n 个平行四边形组成；n 棱锥的展开图由一个n 边形与n 个共顶点三角形组成；n 棱台的展开图由两个相似的n 边形与n 个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为a 的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c 、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋． 考点二 圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 考点三 柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即13V Sh =圆锥．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是213V r h π=圆锥． 考点五 球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现． 【技能方法】1．当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解；2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．【易错指导】（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征而出现思维上的障碍； （2）不能正确建立两个几何量间的关系而致错． V ．举一反三·触类旁通 考向1 球与棱柱的组合体【例1】【2017云南第二次统一检测】已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B C ．332πD【答案】A【解析】设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===a b cbc ab ,则22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为ππ3322343=⨯=V ，故选A ．【解法指导】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径．【例2】【2018宝鸡模拟】已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π 【答案】D【例3】【2018届四省名校大联考】已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为3的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ）2C. 3D. 【答案】A【解析】设正三棱柱的外接球半径为R ，底面三角形外接圆半径为r ，边长为a ，则： 3433R π=，解得： R = 1r ==，结合正弦定理： 2,21sin60a r a =∴=⨯=选择A 选项.【跟踪练习】1．【山东省济宁市2018届高三期末】已知正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为( ) A.253π B. 1003πC. 25πD. 100π 【答案】B【解析】由正三棱柱的底面边长为4,所以底面正三角形的外接圆的半径为r =又由正三棱柱的高为O 的球心距我们易得球半径R 满足：R 2=r 2+d 2253=所以该正三棱柱外接球的表面积为1003π故选B 2.【2017重庆一中高三下适应性】三棱柱111C C AB -A B 的各个顶点都在球O 的球面上，且C 1AB =A =，C B =1CC ⊥平面C AB ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12D ．1 【答案】C【技巧点拨】球内接直三棱柱的组合体问题，如果棱柱底面是直角三角形，常常可采用补形法，即将直三棱柱补为一个长方体来解决，主要抓住的几何特征：补形的长方体的体对角线为球的直径．3.【2018江西赣中南五校第一次联考】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由球的体积是323π，可得2=r ，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为34的正三角形，所以三棱柱的体积是348463421=⨯⨯⨯；故选D ． 4.【2018大连模拟】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若A 34B AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A ．2173 B ．210 C ．213 D ．310 【答案】C5．【2018云南民族大学附属中学二次月考】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm ），则该阳马的外接球的体积为（ ）A. 100πcm 3B.5003πcm 3 C. 400πcm 3 D. 40003πcm 3 【答案】B【解析】由三视图可知该“阳马”的底面是边长为6,cm 的长方形，垂直于该底面的侧棱长为6cm ，则该“阳马”的外接球的半径为5R ==，其体积为334500ππ533V cm =⨯=；故选B.6.【2016浙江省绍兴县鲁迅中学上期期中】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为_____________．【解析】由条件知正方体的棱长为2，对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即2R =R =343V r π==3．【解法指导】正方体的每条棱球相切的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体的面对角线等于球体的直径．7.【2017山西太原二模】若正三棱住的所有棱长均为a ，且其体积为_____________． 【答案】283π∴332332=⨯=BO ．又12121='='=A A O O OD ∴3213722==+=OD OB BD ． ∴三棱柱外接球的表面积ππ32842=⨯=BD S ．【技巧点拨】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径．8．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018期末】已知直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为8，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为__________． 【答案】2【解析】设BC=2x ，BB 1=2y ，则4xy=8，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1≥，∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球半径的最小值为2．故答案为：2.9．【辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三月考】我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三 角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．【答案】3考向2 球与棱锥的组合体【例1】【广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π 【答案】C【解析】三棱锥P ABC -将四个面都为直角三角形，所以只能ABC ∠为直角，将三棱锥补成长方体，可得PC 为球O 的直径， PC ==球O 球O 的表面积为4520ππ⋅=，故选C.【例2】【2017云南玉溪市质检】已知三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径2AD =，且,ABC BCD ∆∆都是等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．13 B ．4 C ．3 D ．12【答案】A【方法点睛】球内接三棱锥的组合体问题，情况较多，须根据具体题型进行具体分析，如本题条件中已知很明确知道，球的直径为三棱锥的一条棱．【例3】【2017衡水中学高三摸底联考】在四面体S ABC -中，,AB BC AB BC ⊥==2,SA SC SB ==== ）A ．BC ．24πD ．6π 【答案】D【解析】因为,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，则三角形SAC 的外心1O 为在线段AD 上，且1133DO AD ==，又三角形ABC 的外心为D ，又,SD AC BD AC ⊥⊥，所以AC ⊥平面SDB ，过D 垂直于平面ABC 的直线与过1O 垂直于平面SAC 的直线交于点O ，则O 为四面体外接球的球心，在三角形SDB 中，由余弦定理得cos SDB ∠=，所以1sin sin()cos 23ODO SDB SDB π∠=∠-=-∠=，所以111tan OO O D ODO =⨯∠=，设外接圆半径为R ，则2221132R SO OO =+=， 所以246S R ππ==，故选D.【方法点睛】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面ABC 上的投影为ABC ∆ 的斜边AC 中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面SAC 上的投影为SAC ∆的外心；（3）由（1）（2）确定出球的球心． 【跟踪练习】1.【2017山西太原市二模】已知三棱锥S ABC -中，底面ABC SA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．5π 【答案】D2．【2018届黑龙江省大庆实验中学模拟】将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．12πC ．8πD ．4π 【答案】C【解析】沿对角线BD 把正方形ABCD 折起，得到的三棱椎C ABD -的外接球，球心是BD 中点，BD 长的一半为球半径，得1122R BD ==⨯= 故三棱椎C ABD -的外接球表面积等于248S R ππ== ，选C3.【2016江西赣州市上期期末】在正三棱锥—V ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．【答案】【解析】由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴2134V ABC V b -=⨯＝113232⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-，∴113232V ABCV -=⨯⨯＝＝＝．令2480b t -=>，3(48)()t f t t+=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h ===【思路点睛】本题半球与三棱锥的组合体中的最值问题，解答时注意到球的半径为球心（底面三角形中心）到侧面的距离，然后通过建立函数来解决．4.【2017江西九江市下期三模】如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥ABC P -中，则此正三棱锥体积的最小值为_____________．【答案】385．【江西省南康中学、于都中学2017-2018学年高二联考】四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，则当此四面体体积最大时，该四面体的外接球表面积为__________．【答案】15【点睛】：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．考向3 球与圆柱的组合体【例1】【2016湖南常德市石门一中期中】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）A ．32，1 B ．23，1 C ．32，32 D ．23，32【答案】C【点睛】球外切于圆柱的组合体问题，解答时注意到球的直径为圆柱的高、底面直径相等． 【跟踪练习】1.【2017容城县二模】半径为R 的球O 中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（ ） A ．34 B ．1 C ．43D ．2 【答案】D【解析】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则cos r R α=，圆柱的高为2sin R α，圆柱的侧面积为22sin 2R πα，当且仅当4πα=时，sin 21α=，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为22R π，球的表面积为24R π，球的表面积与该圆柱的侧面积之比为2:1，故选D ．考向4 球与圆锥的组合体【例1】【20172的圆锥的外接球O 的表面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．8π D ．16π 【答案】D【解析】母线长为2，可求得其轴截面的顶角为32π．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，则11O O R =-，222221(1)R OO r R =+=-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R π=π，故选D ．【点睛】球内接圆锥的组合问题，解答时抓住圆锥底面圆心与球心连线段、底面半径、球的半径间的勾股关系求解． 【跟踪练习】1.【2018广东实验中学上期期末】一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为___________．【答案】3:12.【2016上海金山中学下期期末】 已知三棱锥P ABC -，若PA PB PC ，，两两垂直，且 2PA =，1PB PC ==，则三棱锥P ABC -的内切球半径为__________．【答案】14【解析】由题意得，设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ，球心为O ，则B PA C O P AB V VV ---=+O AB COV V --++，即11111121121211323232r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＋1132r ⨯，解得14r =． 【方法点拨】棱柱内切球的组合问题，通常利用球心到各面的距离为半径，将棱锥化为若干棱锥，利用其体积关系求解．考向5 球与球的组合体【例1】【2017吉林四平一中五模】半径为1的三个球,,A B C 平放在平面α上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D ，由四个球心,,,A B C D 构成一个新四面体，则该四面体外接球O 的表面积为（ ）A ．24323π B ．24392π C ．9π D ．23 【答案】A【点睛】解答多面相切问题主要从两个方面入手：（1）抓住各球球心构成的几何体的形状；（2）利用球相切的条件：圆心距等于半径之和． 【跟踪练习】1.【2018兰州一中期末】底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____________3cm .【答案】 1(32π+【解析】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，所以注水高为12+，其中2为两异面直线1234O O O O 与的距离（在正四面体中求）。