2.7 正多边形与圆

B
形.
方法归纳 圆的内接正多边形有两种作法：1.用量角器
作图；2.尺规作图.
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五 正多边形的对称性
问题9 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否 为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的 对称轴.
正三角形 （奇数边）
19
正方形 （偶数边）
正五边形 （奇数边）
正六边形 （奇数边）
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则 它的中心角为____7_2___度．
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4.下列说法正确的是（ D ） A.各边都相等的多边形是正多边形 B.一个圆有且只有一个内接正多边形 C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
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H
r
DF
C
正多边形外接圆的圆心，称 其为正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的 半径.
中心到正多边形一边的距离叫 作正多边形的边心距.
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都 相等，叫作正多边形的中心角.
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练一练 完成下面的表格：
正多边形的 外角=中心角
正多边 形边数
3 4 6
72°
正六边 形 √
√
60°
归纳总结 正n边形(n为偶数)是中心对称图形，它 的对称中心就是这个正n边形的中心.
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当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长
2 23
2
2
22
边心距
1 1
3
周长
63
8 12
面积
33
4
63
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
F 抽象成
A
E
O
D
B PC
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解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝
BC 2

4 2

2，
F
E
利用勾股定理,可得边心距 r 42 22 2 3.
A
O
D
4m r
B MC
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亭子地基的周长l=6×4=24(m)
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
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E F
A
D
C B
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例4 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.
分析：因为正方形的中心角为 90º，所以只要作
两条互相 垂直 的直径，就可将⊙O四等分.
D
作法：（1）作直径AC与BD，使AC⊥BD.
（2）依次连接AB、BC、CD、DA.则四 A
C
边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方
∴S四边形AOCB=
1 BO AC= 1 2 2 2=2 2 ，
2
2
∴正八边形面积为：2
2

360
=8
2
．
90
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四 正多边形的画法
问题7 如何做一个正多边形呢？(提示：圆与多边形 的关系) 只要将一个圆n等分，就可以得到正n边形. 问题8 如何将圆n等分呢？ 用量角器将圆心角n等分，就可以将圆n等分.
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
中心角 外角
120 ° 90 °
60 °
A
F
120 ° 90 °
B 中心角
中心
O半径R E
边心问距r题1
60 ° C
D
360
360
n
n
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三 圆内接正多边形的有关计算
想一想
问题4 正n边形的中心角怎么计算？ F
E
第2章 圆
2.7 正多边形与圆
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1
导入新课
情境引入 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
它们的各边都相等，各内角也相等.
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2
讲授新课
一 正多边形与圆的关系
概念学习 各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边 形叫做正n边形.
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方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
C
边长一半
O
中心角一半 边心距r
M
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
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练一练 1.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是 劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数 是___4_5____度．
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正三角形 （奇数边）
正方形 （偶数边）
正五边形 （奇数边）
正六边形 （奇数边）
讨论与归纳
1.正n边形 是__ 轴对称图形，共有 n__ 条对称轴； 2.n为奇数时，n条对称轴过中心与 顶_点__；
(如上图中蓝色直线) 3.n为为偶数时，n条对称轴中：
n/2条过中心与顶_点_ ； (如上图中蓝色直线) n/2条过中心与边的 _中__ 点. (如上图中红色2019直/5/28 线)
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5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 74___度. （不取近似值） 6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选 用的圆形铁片的直径最小要_4__2_cm.
也就是要找这个正 方形外接圆的直径
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课堂小结
正多边形和 圆的关系
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2.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积 为__8__2 __．
解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2， ∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= 360 =45 ，
8
∴∠AOC=90°，
∴AC= 2 2 ，此时AC与BO垂直，
360
a
n
A
问题5 正n边形的边长a，半径R，边
O
R r
D
BP C
心距r之间有什么关系？
R2 r2 (a)2. 2
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
11
S

nar 2

lr. 2
其中l为正n边形的周长.
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典例精析 例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边 形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
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例3 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 6_0_º， 所以正六边形的边长与圆的半径 相_ 等 . 因此，在半径为r的圆上依次截取等于 r 的弦， 即可将圆六等分.
作法：（1）在⊙O上以任意一点A为 圆心、以r为半径画弧，连续截取点B、 C、D、E、F； （2）依次连接AB、BC、CD、DE、 EF、FA，则六边形ABCDEF即为所求.
正多边 形和圆
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正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
正多边形的
画
法
正n边形各顶点等分其外 接圆.
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
1.用量角器作图 2.尺规作图
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判一判
1.如图① ，矩形ABCD是正四边形吗？ （×）
（理由：AB ≠ BC, CD ≠ DA.) 2.如图② ，菱形ABCD是正四边形吗？
（×） (理由：∠ A ≠ ∠ B， ∠ C ≠ ∠ D.)
图① 图②
各边相等 正多边形
各角相等
缺一不可
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探究归纳
问题2 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即 A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A，依次连接各等分点，所得五边
弧相等— 弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
归纳 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所
得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆
是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分
其外接圆.
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二 圆内接正多边形的有关概念及性质
A
E
B
R
O
G
形ABCDE是正五边形吗？
解： ∵ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA. ∴ B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B ∴ ∠A=∠B.
同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
5
A B O· E
C
D
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问题3 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到 的多边形是正多边形吗？
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典例精析 例2 用量角器画⊙O的内接正六边形. 分析：关键是用量角器画60°的中心角.
方法归纳
60º
用量角器画正n边形的一般方法：
（1）作圆；
（2）用量角器作
360 n
的中心角，得圆的n等分点；
（3）依次连接各等分点，得圆的内接正n边形.
思考 还有其它的方法可以作出⊙O的内接正六边形吗？ 2019/5/28
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问题10 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是 旋转对称图形？ 问题11 如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度 所得图形与原图形重合？
O
O
O
O
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是否中心 对称图形
是否旋转 对称图形
绕中心 旋转最少
角度数
正三角 形 ×
√
120°
正方形 √ √ 90°
正五边 形 ×
√