高中数学苏教版必修5 3.2 一元二次不等式作业

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2020高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。

高二数学必修五第三章《不等式》3.2一元二次不等式及其解法

2
O
x1

x1=x2
x2
x
a x b x c 0的解
2

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判别式 △=b2- 4ac
品质来自专业函数、方程、不等式之间的关系信赖源于诚信
△>0 y x1 O
y>0
△=0
△<0
y>0
y=ax2+bx+c 的图象
y
y
y>0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
⑴
当
1 a
6, 即a
1 6
时
1 解集为 : x x 或x 6 a
⑵ 当 ⑶
1
6, 即a
1
时
①当a<0时， a
②当a>0时， a
0,
1 解集为 x 6 x a 1
0
解集为 : x x R或x 6 1 1 当 6, 即0 a 时 a 6
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 (a 2) 4(a 2) 0
a 2 即 2 a 6 a 2 即 (a 2)(a 6) 0
解集为：
5 x x R且x a 2 ;
5
3.当⊿=25a2－24<0,

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0，方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

苏教版高一数学必修5不等关系与一元二次不等式测试题

不等关系与一元二次不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 2x 2－3x －2≥0的解集是。

1. {x|x ≥2或x ≤－12}。

提示：方程2x 3－3x －2＝0的根是：x 1＝－12，x 2＝2，故不等式解集为{x|x ≥2或x ≤－12}。

2.已知a ＜0,-1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2的大小关系是。

2.ab ＞ab 2＞a.提示：特殊值.a=-1,b=-12,ab=12,ab 2=-12.故ab ＞ab 2＞a. 3.不等式-x 2+2x-3>0的解集为。

3. {x/-1<x<3}。

提示：原不等式转化为： x 2-2x+3<0,解得{x/-1<x<3}。

4.不等式301x x -<+的解集为。

4.{}13x x -<<。

提示：由301x x -<+⇔（x-3）(x+1)<0，得{}13P x x =-<<．5. x 2－(m ＋3)x ＋m 2＋3＝0有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围是 .5.∅。

提示：Δ=(m ＋3)2－4(m 2＋3)＝m 2＋6m ＋9－4m 2－12＞0 即－3m 2＋6m －3＞0，∴m 2－2m ＋1＜0，(m －1)2＜0，无解。

6.有48支铅笔，在甲组里每人分配3支，则有多余；若每人分配4支，则不够分配；乙组里，若每人分配4支，则有多余；若每人分配5支，则不够分配.设甲组为x 人乙组y 人，则x 、y 满足不等式组 .6.⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

提示：由题意可得：3x ＜48，3x ＞48，4y ＜48，5y ＞48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

7.设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则a = ，b = 。

7.a ＝－3，b ＝－2。

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时）练习（含解析）新人教A 版必修5一、选择题：1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( )A ．{x |x ≤2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅【答案】C【解析】：由－x 2－x ＋2≥0，得x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，所以原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}．2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)【答案】B【解析】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 【答案】D【解析】结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx ＋c ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0.4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 【答案】D【解析】由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13.所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.5．已知不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }．则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【答案】C【解析】因为不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2，则x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，则－1≤x ≤2.因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2. 因为当x ＜－1时，y ＞2；当x ＞2时，y ＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0. 所以当x ∈[－1，2] 时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.综上可知，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题：7．设0＜b ＜1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．【答案】(1，3)【解析】原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a ＞1时，b 1－a ＜x ＜b a ＋1，由题意知0＜ba ＋1＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a＜－2.整理，得2a －2＜b ≤3a －3.结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a .所以a ＜3，从而有1＜a ＜3.综上可得a ∈(1，3)．8．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t【解析】因为0＜t ＜1，所以1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |t ＜x ＜1t . 9．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________．【答案】{x |x ＞1或x ＜－2}【解析】因为ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2.10．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．【答案】(－∞，1]【解析】 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.三、解答题 11．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3＞0. 【答案】见解析【解析】 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R. 12．解不等式组：－1＜x 2＋2x －1≤2. 【答案】见解析【解析】原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.所以原不等式组的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}， 13．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若不等式f (x )＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值．【答案】见解析【解析】 (1)当m ＝1时，不等式f (x )＞0为2x 2－x ＞0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1＞0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m ＞0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根．因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.。

高中数学人教版必修5课时练习：第三章不等式3-2 一元二次不等式及其解法

∴M∩N＝{x|0≤x≤2}，故选 D．
3．若{x|2<x<3}为 x2＋ax＋b<0 的解集，则 bx2＋ax＋1>0 的解集为( )
A．{x|x<2 或 x>3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|31<x<12}
D．{x|x<31或 x>21}
[答案] D
[解析] 由 x2＋ax＋b<0 的解集为{x|2<x<3}，知方程 x2＋ax＋b＝0 的根分别为 x1＝2，x2 ＝3.
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
[答案] {x|x＜－2 或 x＞3}
[解析] 由表知 x＝－2 时 y＝0，x＝3 时，y＝0. ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可化为 y＝a(x＋2)(x－3)，又当 x＝1 时，y＝－6，∴a＝1. ∴不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|x<－2 或 x>3}．三、解答题
<x<1}，选 D．
2．设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则 M∩N 等于( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
[答案] D
[解析] ∵N＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，M＝{x|0≤x≤2}，
C．{x|x＜1t 或 x＞t}
D．{x|t＜x＜1t }
[答案] D
[解析] 化为(x－t)(x－1t )＜0，
∵0＜t＜1，∴1t ＞1＞t，∴t＜x＜1t .
6．已知不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( )

高中必修5一元二次不等式偏难试题(2021年)

高中必修5一元二次不等式偏难测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．关于实数x的不等式-x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜-3或x＞2}，则关于x的不等式cx2-bx-1＞0的解集是（）A．（-，）B．（-2，3）C．（-∞，-）∪（，+∞）D．（-∞，-2）∪（3，+∞）2．已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a+b为（）A．25B．35C．-25D．-353．不等式6x2-13x+6＜0的解集为（）A．{x|x＜-或x＞}B．{x|x＜或x＞}C．{x|-＜x＜}D．{x|＜x＜}4．关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，-1），则关于x的不等式（x-2）（ax+b）＜0的解集为（）A．（-1，2）B．（1，2）C．（-∞，-1）∪（2，+∞）D．（-∞，1）∪（2，+∞）5．已知一元二次函数f（x）=x2+bx+c，且不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜-1或x＞lg2}B．{x|-1＜x＜lg2}C．{x|x＞-lg2}D．{x|x＜-lg2}6．关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|-1＜x＜2}C ．{x|x ＜-1或x ＜2}D ．{x|x ＞2}7．不等式-x 2+3x-2＞0的解集是（） A ．{x|x ＜-2或x ＞-1} B ．{x|x ＜1或x ＞2} C ．{x|-2＜x ＜-1}D ．{x|1＜x ＜2}8．若a ＞0，且不等式ax 2+bx+c ＜0无解，则左边的二次三项式的判别式（） A ．△＜0 B ．△=0C ．△≤0D ．△＞09．与不等式同解的不等式是（）A ．（x-3）（2-x ）≥0B ．lg （x-2）≤0C ．D ．（x-3）（2-x ）＞010．不等式（x+1）（3-x ）＞0的解集为（） A ．{x|x ＜-1或x ＞3} B ．{x|x ＜-2或x ＞1} C ．{x|-1＜x ＜3}D ．{x|-3＜x ＜1}11．若不等式f （x ）=ax 2-x-c ＞0的解集为（-2，1），则函数y=f （x ）的图象为（） A．B．C．D．12．不等式x 2+ax+b ≤0的解集是[-1，2]，则a+b 的值是（） A ．-3B ．-1C ．1D ．3二．填空题（共__小题） 13．不等式的解集为______．14．若关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为（α，β），其中α＜0＜β，则关于x 的不等式cx 2-bx+a ＜0的解集为______． 15．不等式2x2-x-1＞0的解集是______． 16．已知实数x ，y 满足xy+2x+3y-3=0．（1）若x ，y ∈R ，则x+y 的取值范围是______；（2）若x，y∈R+，则x+y的取值范围是______．17．已知函数f（x）=ax2-4ax+b（a＞0），则f（2x+5）＜f（x+4）的解集为______．18．不等式x2-2x-3＜0的解集是______．19．若函数f（x）=ax2+（a+3）x-1，当0≤x≤m时有-≤y≤-1，则实数m的取值范围是______．20．若x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜4}，则b-a=______．21．不等式-x2+bx+c＞0的解集是x∈（-1，4），则b+c=______．22．已知不等式kx2-4kx-3＜0对任意k∈[-1，1]时均成立，则x的取值范围为______．三．简答题（共__小题）23．若关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，B={x|1＜}，求a，b．24．解不等式：（x-1）2+5＞0．25．解下列一元二次不等式：（1）x2+2x-8＜0；（2）2x2-9x+10≥0．26．解不等式（1）2x2+3x-2＞0（2）2x2+x+2＞0（3）5-x2＞4x．27．解不等式组．28．a为何实数时，不等式（a-4）x2+10x+a＜4的解为一切实数．高中必修5一元二次不等式偏难测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．关于实数x的不等式-x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜-3或x＞2}，则关于x的不等式cx2-bx-1＞0的解集是（）A．（-，）B．（-2，3）C．（-∞，-）∪（，+∞）D．（-∞，-2）∪（3，+∞）答案：C解析：解：关于x的不等式-x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜-3或x＞2}，∴对应方程-x2+bx+c=0的两个实数根为-3和2，由根与系数的关系，得，解得b=-1，c=6；∴关于x的不等式cx2-bx-1＞0可化为6x2+x-1＞0，解得x＜-或x＞；∴该不等式的解集是（-∞，-）∪（，+∞）．故选：C．2．已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a+b为（）A．25B．35C．-25D．-35答案：A解析：解：∵ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，∴ax2-5x+b=0的根为-3、2，即-3+2=-3×2=解得a=-5，b=30∴a+b=-5+30=25．故选A．3．不等式6x2-13x+6＜0的解集为（）A．{x|x＜-或x＞}B．{x|x＜或x＞}C．{x|-＜x＜}D．{x|＜x＜}答案：D解析：解：不等式6x2-13x+6＜0可化为（2x-3）（3x-2）＜0，该不等式对应方程的实数根为和，所以该不等式的解集为{x|＜x＜}．故选：D．4．关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，-1），则关于x的不等式（x-2）（ax+b）＜0的解集为（）A．（-1，2）B．（1，2）C．（-∞，-1）∪（2，+∞）D．（-∞，1）∪（2，+∞）答案：D解析：解：∵关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，-1），∴a＜0，=-1，∴关于x的不等式（x-2）（ax+b）＜0化为（x-2）（x-1）＞0，解得x＞2或x＜1．∴不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）．故选：D．5．已知一元二次函数f（x）=x2+bx+c，且不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜-1或x＞lg2}B．{x|-1＜x＜lg2}C．{x|x＞-lg2}D．{x|x＜-lg2}答案：C解析：解：∵不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜-1或x＞}，即不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜-1或x＞}，∴f（10x）＞0的解为10x＜-1，或10x＞；解得x∈∅，或x＞lg，即x＞-lg2；∴f（10x）＞0的解集为{x|x＞-lg2}．故选：B．6．关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|-1＜x＜2}C．{x|x＜-1或x＜2}D．{x|x＞2}答案：B解析：解：∵关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，∴1是方程ax+b=0的根且a＜0，∴a+b=0，a＜0，∴不等式＞0可化为，解得-1＜x＜2∴关于x的不等式＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．故选B．7．不等式-x2+3x-2＞0的解集是（）A．{x|x＜-2或x＞-1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|-2＜x＜-1}D．{x|1＜x＜2}答案：D解析：解：∵-x2+3x-2＞0，∴x2-3x+2＜0，∴（x-1）（x-2）＜0，∴1＜x＜2，∴原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选D．8．若a＞0，且不等式ax2+bx+c＜0无解，则左边的二次三项式的判别式（）A．△＜0B．△=0C．△≤0D．△＞0答案：A解析：解：∵a＞0，且不等式ax2+bx+c＜0无解，∴△＜0．故选：C．9．与不等式同解的不等式是（）A．（x-3）（2-x）≥0B．lg（x-2）≤0C．D．（x-3）（2-x）＞0答案：B解析：解：解不等式，得，2＜x≤3，A、不等式（x-3）（2-x）≥0的解集是2≤x≤3，故不正确．B 、不等式lg （x-2）≤0的解集是2＜x ≤3，故正确．C 、不等式的解集是2＜x ＜3，故不正确．D 、不等式（x-3）（2-x ）＞0的解集是2＜x ＜3，故不正确．故选B ．10．不等式（x+1）（3-x ）＞0的解集为（） A ．{x|x ＜-1或x ＞3} B ．{x|x ＜-2或x ＞1} C ．{x|-1＜x ＜3} D ．{x|-3＜x ＜1}答案：C 解析：解：∵（x+1）（3-x ）＞0∴（x+1）（x-3）＜0，∴由图解法可得解集为{x|-1＜x ＜3} 故选C ．11．若不等式f （x ）=ax 2-x-c ＞0的解集为（-2，1），则函数y=f （x ）的图象为（） A．B．C．D．答案：B 解析：解：∵不等式f （x ）=ax 2-x-c ＞0的解集为（-2，1），∴a＜0，且-2，1是对应方程ax2-x-c=0的两个根，∴（-2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2-x-c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选B．12．不等式x2+ax+b≤0的解集是[-1，2]，则a+b的值是（）A．-3B．-1C．1D．3答案：A解析：解：∵不等式x2+ax+b≤0的解集是[-1，2]，∴-1，2是x2+ax+b=0的两个实数根，∴-1+2=-a，-1×2=b，解得a=-1，b=-2．∴a+b=-3．故选：A．二．填空题（共__小题）13．不等式的解集为______．答案：解析：解：∵∴即即即即（2x+1）（x+3）＜0解得故不等式的解集为故答案为：14．若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），其中α＜0＜β，则关于x的不等式cx2-bx+a＜0的解集为______．答案：解析：解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），∴α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，且a＜0．则，则．∵α＜0＜β，∴，a＜0，得c＞0．．∴方程cx2-bx+a=0的两根为．则不等式cx2-bx+a＜0的解集为．故答案为：．15．不等式2x2-x-1＞0的解集是______．答案：解析：解：不等式2x2-x-1＞0，因式分解得：（2x+1）（x-1）＞0，可化为：或，解得：x＞1或x＜-，则原不等式的解集为．故答案为：16．已知实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．（1）若x，y∈R，则x+y的取值范围是______；（2）若x，y∈R+，则x+y的取值范围是______．答案：（-∞，-11]∪[1，+∞）解析：解：（1）令u=x+y，则y=u-x，∵实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．∴x（u-x）+2x+3（u-x）-3=0，化为x2+（1-u）x+3-3u=0，∵x∈R，∴△≥0，化为u2+10u-11≥0，解得u≤-11，或u≥1．∴x+y的取值范围是（-∞，-11]∪[1，+∞）．（2）∵实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．∴y=＞0，解得．∴x+y==+2=f（x），f′（x）=1+＞0，∴函数f（x）在上单调递增．∴，即1＜f（x）＜．∴x+y的取值范围是．故答案分别为：（-∞，-11]∪[1，+∞）；．17．已知函数f（x）=ax2-4ax+b（a＞0），则f（2x+5）＜f（x+4）的解集为______．答案：（-，-1）解析：解：∵f（x）=ax2-4ax+b（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=2为对称轴的抛物线，∴自变量距离对称轴x=2的距离越远，函数值越大，∴不等式f（2x+5）＜f（x+4）可化为：|2-（2x+5）|＜|2-（x+4）|，即|-2x-3|＜|-x-2|，即|-2x-3|2＜|-x-2|2，化为3x2+8x+5＜0，解得-＜x＜-1．∴f（2x+5）＜f（x+4）的解集为∈（-，-1）．故答案为：（-，-1）．18．不等式x2-2x-3＜0的解集是______．答案：（-1，3）解析：解：不等式x2-2x-3＜0，因式分解得：（x-3）（x+1）＜0，可得：或，解得：-1＜x＜3，则原不等式的解集为（-1，3）．故答案为：（-1，3）19．若函数f（x）=ax2+（a+3）x-1，当0≤x≤m时有-≤y≤-1，则实数m的取值范围是______．答案：解析：解：（1）当a=0时，f（x）=3x-1，∴f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．（2）当a＞0时，f（x）=a-1-．当x时，函数f（x）单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．（3）当a＜0时，f（x）=a-1-．①≥0，即-3≤a＜0时，当x＞时，函数f（x）单调递增；当x＜时，函数f（x）单调递减．当≥m时，函数f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．当0＜＜m时，函数f（x）在0≤x≤时单调递增，在≤x≤m时单调递减．f（0）=-1，不符合题意，舍去．②＜0，即a＜-3时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，∴，化为a=＜-3，且m＞0，解得0＜．∴实数m的取值范围是．故答案为：．20．若x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜4}，则b-a=______．答案：14解析：解：由题意可得2和4是x2+ax+b=0的两个根，∴2+4=-a，2×4=b．∴b-a=14，故答案为：14．21．不等式-x2+bx+c＞0的解集是x∈（-1，4），则b+c=______．答案：7解析：解：不等式-x2+bx+c＞0即不等式x2-bx-c＜0的解集是x∈（-1，4），∴-1，4是一元二次方程x2-bx-c=0的两个实数根，∴，解得b=3，c=4．∴b+c=7．故答案为：7．22．已知不等式kx2-4kx-3＜0对任意k∈[-1，1]时均成立，则x的取值范围为______．答案：解析：解：令f（k）=kx2-4kx-3=（x2-4x）k-3，看作关于k的一次函数，∵不等式kx2-4kx-3＜0对任意k∈[-1，1]时均成立，∴，即，解得或．∴x的取值范围为．故答案为：．三．简答题（共__小题）23．若关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，B={x|1＜}，求a，b．答案：解：由，∴，即（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1，∴B={x|-3＜x＜1}．∵关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，∴-3，1是一元二次方程2x2+ax+b=0的实数根，∴-3+1=-，-3×1=，解得a=4，b=-6．解析：解：由，∴，即（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1，∴B={x|-3＜x＜1}．∵关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，∴-3，1是一元二次方程2x2+ax+b=0的实数根，∴-3+1=-，-3×1=，解得a=4，b=-6．24．解不等式：（x-1）2+5＞0．答案：解：由于（x-1）2≥0恒成立，故（x-1）2+5≥5恒成立，故：（x-1）2+5＞0恒成立，故不等式（x-1）2+5＞0的解集为R．解析：解：由于（x-1）2≥0恒成立，故（x-1）2+5≥5恒成立，故：（x-1）2+5＞0恒成立，故不等式（x-1）2+5＞0的解集为R．25．解下列一元二次不等式：（1）x2+2x-8＜0；（2）2x2-9x+10≥0．答案：解：（1）不等式x2+2x-8＜0可化为（x+4）（x-2）＜0，且该不等式对应方程的两个实数根为-4和2，所以原不等式的解集为（-4，2）；（2）不等式2x2-9x+10≥0可化为（2x+1）（x-5）≥0，且该不等式对应方程的两个实数根为-和5，所以原不等式的解集为（-∞，]∪[5，+∞）．解析：解：（1）不等式x2+2x-8＜0可化为（x+4）（x-2）＜0，且该不等式对应方程的两个实数根为-4和2，所以原不等式的解集为（-4，2）；（2）不等式2x2-9x+10≥0可化为（2x+1）（x-5）≥0，且该不等式对应方程的两个实数根为-和5，所以原不等式的解集为（-∞，]∪[5，+∞）．26．解不等式（1）2x2+3x-2＞0（2）2x2+x+2＞0（3）5-x2＞4x．答案：解：（1）不等式2x2+3x-2＞0可化为（2x-1）（x+2）＞0，解得x＜-2，或x＞，∴该不等式的解集为{x|x＜-2，或x＞}；（2）∵不等式2x2+x+2＞0，且△=12-4×2×2=-15＜0，∴该不等式的解集为R；（3）不等式5-x2＞4x可化为x2+4x-5＜0，即（x-1）（x+5）＜0，解得-5＜x＜1，∴该不等式的解集为{x|-5＜x＜1}．解析：解：（1）不等式2x2+3x-2＞0可化为（2x-1）（x+2）＞0，解得x＜-2，或x＞，∴该不等式的解集为{x|x＜-2，或x＞}；（2）∵不等式2x2+x+2＞0，且△=12-4×2×2=-15＜0，∴该不等式的解集为R；（3）不等式5-x2＞4x可化为x2+4x-5＜0，即（x-1）（x+5）＜0，解得-5＜x＜1，∴该不等式的解集为{x|-5＜x＜1}．27．解不等式组．答案：解：∵，由①得，（x-2）（x-4）＞0，解得x＜2，或x＞4；由②得，（x-1）（x-5）＜0，解得1＜x＜5；∴原不等式组的解集是{x|1＜x＜2，或4＜x＜5}．解析：解：∵，由①得，（x-2）（x-4）＞0，解得x＜2，或x＞4；由②得，（x-1）（x-5）＜0，解得1＜x＜5；∴原不等式组的解集是{x|1＜x＜2，或4＜x＜5}．28．a为何实数时，不等式（a-4）x2+10x+a＜4的解为一切实数．答案：解：不等式（a-4）x2+10x+a＜4可化为（a-4）x2+10x+（a-4）＜0，应满足，即，解得，即a＜-1；∴a的取值范围是{a|a＜-1}．解析：解：不等式（a-4）x2+10x+a＜4可化为（a-4）x2+10x+（a-4）＜0，应满足，即，解得，即a＜-1；∴a的取值范围是{a|a＜-1}．。

高中数学必修5：一元二次不等式知识点及经典例题(含答案)

一元二次不等式【知识概述】本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法，以及利用一元二次不等式解决其他相关数学问题.通过本节课的学习，要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，能够解决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参数的取值范围的问题.b－4ac）三个二次之间的关系（下表中a>0，△=2【学前诊断】1.[难度] 易不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是（）A. }12|{>-<x x x 或B. }12|{<<-x xC. {|12}x x x <->或D. }21|{<<-x x 2. [难度] 易方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A. 41->mB. 41-<mC. 41≥mD. 41->m 且0≠m 3. [难度] 中若不等式220ax bx +->的解集是(－2，－41)，则a =___________，b =____________【经典例题】例1. 解下列关于x 的不等式（1）(5)(32)6:x x +-≥（2）2(12)20ax a x -++>.例2. 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}24x x <<，求不等式20cx bx a ++<的解集.例3. 若关于x 的不等式2230ax ax -+>对一切实数x 都成立，求a 的取值范围.例4. 若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++≥在区间(],1-∞上总成立，求a 的取值范围.例5.若关于x 的不等式22320x ax a +-≤在区间[]1,2-上总成立，求a 的取值范围.例6.若对(],1x ∈-∞-，不等式21()2()12x x m m --<恒成立，求实数m 的取值范围.【本课总结】不等式是高考的基本内容之一，作为重要的工具性知识，在高考数学试卷中一直占有较高的比例，由于不等式内容的高渗透性特征，所以本部分内容的考查形式比较灵活，可以出现在各种题型内，如选择、填空、解答题都可以渗透不等式内容，所以新课标卷对不等式的考查都是小题和大题兼顾，而且由于高考试卷命题的综合性特征明显，单纯考查不等式的题目不是很多，常在一些函数、数列、解析几何和实际应用问题的试题中有所涉及，并在其中充分发挥着工具性作用，不等式高考题的落脚点在于不等式的基础知识和不等式的解法，特别是一元二次不等式（包括含参数和不含参数的）的解法.不等式部分要求考生要有足够的运算求解能力和转化化归能力，且由于解题途径的多样性，又对考生的综合运用所学知识分析和解决问题的能力有较高要求.具体学习时要注意一下几点：1.要特别重视四位一体的综合思维模式，即将二次函数、二次方程、二次不等式、二次函数图像作为有机整体进行思考，并能进行必要的转化，此思维模式中包含重要的数学思想，如数形结合思想、转化思想等，通过数形结合将抽象问题直观化，通过转化则可将复杂问题简单化、将陌生问题熟悉化.2.解一元二次不等式时，要转化为标准形式，即二次项系数大于零，在此背景下才能直接套用不等式的解集公式.3.如果不等式的系数中包含字母参数，则在解不等式时一般要进行分类讨论，在含参问题的讨论中，充分利用二次函数图像突出其直观性是重要的思想方法.此类问题的难点在于含参问题的讨论，许多同学的困惑在于如何确定分类讨论的标准，一般来说此类问题的讨论分三个层次：先讨论二次项系数的符号，如本题中分k=0,k>0；再讨论判别式的符号；在有根的情况下，如有必要再讨论两根之大小关系，若该二次三项式可以因式分解，则不需讨论判别式而直接讨论两根之大小..4. 在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.已知不等式恒成立求参数的取值范围，是一种重要的数学模型，如(1)()()f x a x D ≥∈恒成立，求参数a 的取值范围；（2）()()f x g x ≥恒成立，求式中参数m 的取值范围等，此类数学模型一般有两种基本解法，一是转化为求函数的最小值：如()()f x a x D ≥∈恒成立max ()(),f x a x D ⇔≥∈二是分离参数法，将参数m 与自变量x 进行分离，分离参数是一种重要的方法，可避免分类讨论的痛苦，在研究不等式恒成立的问题时非常有效..5.要关注求解不等式的逆向思维问题，即若给出不等式的解集研究原不等式.6.要关注在其他数学问题背景中涉及到一元二次不等式的相关问题，此类问题具有一定的综合性，对解题方法的选择有一定灵活性.【活学活用】1 . [难度] 易若10<<a ，则不等式0)1)((>--a x x a 的解集是（） A. a x a 1<< B. a x a <<1 C. a x 1>或a x < D. a x 1<或a x > 2. [难度] 中解关于x 的不等式0))((2<--a x a x .3. [难度] 中对于任意实数x ，一元二次不等式0)4()1()12(2>-+++-m x m x m 恒成立，求实数m 的取值范围.。

一元二次不等式解法和集合运算练习题

必修 5《一元二次不等式及其解法》练习卷知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：鉴别式b2 4ac 0 0 0 二次函数y ax2bx ca0 的图象有两个相异实数根一元二次方程ax2 bx c 0x1,2 b 有两个相等实数根2a x1 x2b 没有实数根a 0 的根2ax1 x2ax2 bx c 0x x x1或x x2x xbRa 0 2a一元二次不等式的解集ax2 bx c 0x x1 x x2a 0同步练习：1、不等式6x2 5x 4 的解集为（）A ．, 4 1 , B． 4 , 13 2 3 2C．, 1 4 , D． 1 , 42 3 2 32、设会合x 1 x 2 ，x x a 0 ，若，那么实数 a 的取值范围是（）A．1, B．2, C．,2 D．1,3、若不等式x2 mx 1 0 的解集为 R ，则 m 的取值范围是（）A ．RB ．2,2 C．, 2 2, D．2,24、设一元二次不等式ax 2 bx 1 0 的解集为x 1 x 1 ，则 ab 的值是（）3A ．6 B．5 C．6 D．55、不等式x2 ax 12a2 0 a 0 的解集是（）A ．3a,4 aB ．4a, 3a C．3,4 D ．2a,6 a6、不等式ax2 bx 2 0 的解集是x 1 x 1，则2 3 A．14 B．14 C．a b（）10D．101 2 x2 6 x 9 x2 3x 191的解集是（）7、不等式22A ．1,10 B．, 1 10,C．R D．, 1 10,8、不等式x 1 2 x 0 的解集是（）A ．x 1 x 2 B．x x 1或x 2 C．x 1 x 2 D．x x 1或x 29、不等式ax2 bx c a 0 的解集为，那么（）A ．a 0，0B ．a 0，0 C．a 0，0 D ．a 0，010、设f x x2 bx 1 ，且 f 1 f 3 ，则 f x 0 的解集是（）A．,1 3, B．R C．x x 1 D ．x x 111、若0 a 1，则不等式 a x1的解是（）x 0aA ．a1 1x a x B．a aC．x a或x 1 D．x 1或 x aa a12、不等式x 1 3x 0 的解集是（）A．,1B．,0 0,1C．1, D．0,13 3 3 313、二次函数y ax2 bx c x R 的部分对应值以下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6则不等式 ax2 bx c 0 的解集是____________________________．14、若a b 0 ，则 a bx ax b 0 的解集是_____________________________．15 、不等式ax2 bx c 0 的解集为x 2 x 3 ，则不等式ax2 bx c 0 的解集是________________________ ．16、不等式x2 2x 3 0 的解集是___________________________．17、不等式x2 5x 6 0 的解集是______________________________．18、k 1 x2 6x 8 0 的解集是或4 ，则k_________．x x 2 x519、已知不等式x2 px q 0 的解集是x 3 x 2 ，则 p q ________．20、不等式x x3 0 的解集为____________________．21、求以下不等式的解集：⑴ x 4 x 1 0 ；⑵3x2 x 2 ；⑶ 4x2 4x 1 0 ．22、已知不等式ax 2bx 2 0 的解集为x 1x1，求a、b的值．2 323、已知会合x x29 0 ，x x24x 3 0 ，求，．会合的运算一、知识点：1．交集：由所有下于会合 A 即：A B2．并集：由所有下于会合 A 即：A B 属于会合 B 的元素所组成的会合，叫做 A 与 B 的交集。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(选择题：一般)

一元二次不等式及其解法（选择题：一般）1、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或2、关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A． B． C． D．5、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．6、已知集合则 ( )A． B． C． D．7、关于的不等式()的解集为,且,则（）A． B． C． D．8、已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．11、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B．(-∞,2］ C． D．12、若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．413、若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是A． B． C． D．14、不等式的解集是（）A． B．C． D．15、不等式的解为（）A． B． C． D．16、已知不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．17、不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A． B． C． D．18、关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B． C． D．19、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．20、不等式的解集是（）A． B． C． D．21、对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(-∞,2) B．(-∞,2］C．(-2,2) D．（-2,2］22、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．23、设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x成立，则下列关系中成立的是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=φ24、若实数，且，满足，，则代数式的值为（）A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或2025、若实数，且满足，，则代数式的值为（）A．-20 B．2 C．2或-20 D．2或2026、已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A． B． C． D．27、若为的解集，则的解集为()A．或 B．C． D．或28、若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）29、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则的取值范围是( ) A．或 B．或C．或 D．或30、已知集合，，则（）A． B． C． D．31、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．32、已知集合，，则A． B． C． D．33、已知集合，，则A． B． C． D．34、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )A．6 B．7 C．9 D．1035、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或36、若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．37、不等式的解集是（）A． B． C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．1440、对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．41、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．42、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a-b等于（）A．-10 B．10 C．-14 D．1443、当时，不等式恒成立，则k之的取值范围是（）A． B． C． D．（0，4）44、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =245、若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为()A．{x|x<2或x>3} B．{x|2<x<3}C． D．46、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．47、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是()A．(-∞,2] B．(1,+∞) C．(-∞,2) D．[1,+∞)48、函数的定义域是()A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4<x<3}C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}49、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－50、不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或51、当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)52、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]53、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)54、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．55、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．56、不等式的解集为A． B． C．R D．57、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－58、二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D.59、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、若关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．61、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]62、不等式的解集是 ( )A． B．C． D．63、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．64、设，=,C U A=,则m的取值范围是（）A．[0， ) B．{0} (，+)C．(-，0] D．( -，0] (，+)65、关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2） B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+） D．（-，1）（2，+）66、当x>0时，若不等式x2+ax+4≥0恒成立，则a的最小值为（）A．-2 B．2 C．-4 D．467、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．68、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．69、函数的定义域为_______________．70、关于x的不等式的解集中，恰有个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、C2、A3、B4、D5、B6、C．7、A8、B9、A10、C11、D12、A13、A14、D15、C16、A17、B18、C19、B20、A21、D22、B23、C24、A25、A26、A27、D28、A29、D30、B31、D32、A33、A34、C35、C36、D37、D38、B39、A40、A41、B42、A43、C44、B45、D46、C47、A48、C49、C50、C51、C52、C53、D54、B55、A56、A57、C58、C59、A60、D61、C62、B63、A64、A65、C66、C67、A68、A69、70、D【解析】1、求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2、试题分析：原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以，解得，故选A.考点：一元二次不等式3、由题意可知的两个根为，不等式即为，解不等式得解集为.考点：三个二次之间的关系.4、当时，恒成立；当时，有解得，所以.考点：不等式恒成立问题.5、试题分析：由已知可得是方程的两根．由根与系数的关系可知，，．代入不等式解得．考点：本题考查一元二次不等式的解法．6、试题分析：解得，，故选C．考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．7、试题分析：由得，，所以.所以选A. 考点：1.含参的二次不等式的解法.8、不等式等价于，令，由得在上是减函数，时，取最大值，故选B.9、不等式对于恒成立，(1)时，不等式成立；当时，，；综上可知：的取值范围是.10、，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.11、首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4<0,恒成立；当时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零，，且两种情况并到一起，得到a的范围为。

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】解下列不等式(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2x －5≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≤0，x －2<0，②解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】3 1．解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋23－x ≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3≤0，x ≠3－2≤x <3.∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.∴23<x <34. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}. 题型二、不等式中的恒成立问题【例2】关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4mm －1＜0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ＜0，或m ＞43m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.【类题通法】不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0；4一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0.【对点训练】2．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．【类题通法】5用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.【练习反馈】1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4 解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x ≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3x ＋1x －3≤02x －1x ≥0x (2x －1)≥0且x ≠0x <0或x ≥12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x∈R恒成立．∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.解得－1＜a＜0.答案：(－1,0)5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．6。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：一般)

一元二次不等式及其解法（填空题：一般）1、设的解集为，则实数的取值范围是______.2、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.3、已知关于的不等式的解集为，则等于．4、设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .5、不等式组的解集是 .6、若关于的不等式的解集，则的值为_________．7、已知关于的方程有两根，且，求实数的取值范围__________．8、在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则__________9、关于x的方程x2－2tx＋t－1＝0的两个根中的一个根在(－2,0)内，另一根在(1,2)内，则实数t的取值范围是________.10、不等式的解集为________.11、设关于的不等式的解集为，已知，则实数的取值范围是________.12、已知，，若，则的值是___________13、下列命题正确命题的序号是：___________.①三角形中，若,则；②的解集是；③是数列的前项和，若，则；④是数列的前项和，若,则数列是等比数列.14、不等式的解集为__________．15、若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_______.16、若关于的不等式的解集为，则的值为__________．17、不等式的解集为________.18、若不等式的解集为｛x|2<x<3｝，则不等式的解集为________。

19、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．20、关于的不等式的解集是，则的取值范围是__________.21、已知不等式的解是，则=________，=________。

22、关于的不等式的解集，则的值为_________.23、已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．24、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.25、若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________．26、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.27、在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比，则的取值范围是________.28、已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )A．B．C．D．29、若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。

高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教

课时作业20 一元二次不等式的解法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中是一元二次不等式的是(C)A．a2x2＋2≥0 B．1x2＋x<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C．2．不等式6－x－2x2<0的解集是(D)解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝32，x2＝－2，所以不等式的解集为．故选D．3．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a的值是(D) A．－2 B．－1C．0 D．1解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，代入解得a＝1.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足：x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1. 5．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( A ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2<0.∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.6．已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，则实数m 的取值X 围是( C ) A ．{m |0<m ≤3－22或m ≥3＋22} B ．{m |m <3－22或m >3＋22} C ．{m |0<m <3－22或m >3＋22} D ．{m |m ≤3－22或m ≥3＋22}解析：∵方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，∴Δ＝(－m －1)2－8m >0，即m 2－6m ＋1>0，解得m <3－22或m >3＋2 2.再根据两根之和为m ＋12>0，且两根之积为m 2>0，解得m >0.综上可得，0<m <3－22或m >3＋2 2.二、填空题7．函数f (x )＝log 2(－x 2＋x ＋12)的定义域为(－3,4)．解析：由－x 2＋x ＋12>0，得x 2－x －12<0，解得－3<x <4，所以定义域为(－3,4)．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0的解集是{x |x >3或x ≤－1}．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0，得⎩⎨⎧x ≥23或x ≤－1，x >3或x <34，即x >3或x ≤－1，故不等式组的解集为{x |x >3或x ≤－1}．9．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a 2，x －4<2a 解集不是空集，则实数a 的取值X 围是－1<a <3.解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x >1＋a 2，x <4＋2a ，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1<4＋2a ，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.三、解答题10．求下列不等式的解集． (1)－2x 2＋x ＋12<0；(2)3x 2＋5≤3x ； (3)9x 2－6x ＋1>0.解：(1)原不等式可以化为2x 2－x －12>0.∵方程2x 2－x －12＝0的解是：x 1＝1－54，x 2＝1＋54，∴原不等式的解集是{x |x <1－54或x >1＋54}．(2)原不等式变形为3x 2－3x ＋5≤0. ∵Δ<0，∴方程3x 2－3x ＋5＝0无解． ∴不等式3x 2－3x ＋5≤0的解集是∅.∴原不等式的解集是∅.(3)∵Δ＝0，∴方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝13，∴不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为{x |x ≠13}．11．已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，不等式为f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)≤0， ∴不等式的解集为(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0，当0<a <1时，有1a>a ，∴不等式的解集为当a >1时，有1a<a ，∴不等式的解集为当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．——能力提升类——12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如右图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．13．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2. 由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6>3，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x ≥0，即x >3或0≤x <1；②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>3，x <0，解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 15．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围． (2)若函数的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上，0≤a ≤1. (2)因为函数的最小值为22，所以y ＝ax 2＋2ax ＋1的最小值为12，因此4a －4a 24a ＝12(a ≠0)，解得a ＝12.于是不等式可化为x 2－x －34<0，即4x 2－4x －3<0，解得－12<x <32.故不等式x 2－x －a 2－a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32.。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：较易)

一元二次不等式及其解法（填空题：较易）1、已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是．2、不等式的解集是_________．3、已知关于的不等式的解集为（2，），则的解集为．4、函数的定义域为___________.5、若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．6、已知函数，则不等式的解集是__________．7、已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.8、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。

9、若函数的两个零点是－2和3，则不等式的解集是________．10、已知不等式的解集为，则_______．11、不等式的解集是_______________12、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．13、若方程的两根分别为和1，则不等式的解集为__________．14、若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．15、不等式的解集为________16、不等式的解集为_____17、不等式的解为_____________18、不等式的解集是_____________.19、如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___.20、集合，，则___________．21、不等式的解集是______．22、不等式的解集是___________.23、已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是．24、不等式的解集是 .25、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．26、设关于的一元二次不等式的解集为，则．27、二次不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .28、已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .29、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．30、不等式的解集是 .31、若对任意实数恒成立，求x的取值范围_________32、不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝____．33、若不等式的解集为，则__________ .34、已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .35、对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是．36、不等式的解集为______.37、不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．38、（1）的解集是；（2）的解集是 .39、关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________.40、二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.41、关于的不等式的解集是，则的取值范围是______．42、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．43、关于的不等式的解集为，则．44、若不等式的解集为，则_______.45、已知，不等式恒成立，则的取值范围为__________.46、已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是 .47、已知函数,如果不等式的解集是则不等式的解集是___________48、不等式的解集为．49、不等式的解集为，则。

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学 3.2 一元二次不等式(4)导学案苏教版必修5

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学 3.2 一元二次不等式（4）导学案苏教版必修5【学习目标】掌握一元二次不等式的解法；学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题；体会由实际问题建立数学模型的过程．【课前预习】1．已知某市场某一年的前n 个月商品累计需求量为)18)(2(901n n n -+，问：这一年哪几个月份商品需求量超过31．万件？2．某校在一块长m 40，宽m 30的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉（花卉带的宽度相等），中间铺设草坪（如图），要使草坪面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度范围．【课堂研讨】例1.用一根长为m 100的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成矩形的面积最大？例2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价P 元/件之间的关系为x P 2160-=，生产x 件所需成本为x C 3500+=元．问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？例3 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为h km /40的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m S 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：201010x x S ．．甲+=，20050050x x S ．．乙+=．问：甲、乙两车有无超速现象？【学后反思】课题:3.2一元二次不等式（4）检测案班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1．某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？2．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元（叫做税率%R ），则每年的销售量将减少R 10万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万，R 应怎样确定？【课后巩固】1．某企业生产一种机器的固定成本为50．万元，但每生产100台时又需可变成本250．万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为2215)(x x x R -=（万元）)50(≤≤x ，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量为多少时，企业所得的利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本？2．已知汽车刹车到停车所滑行的距离)(m S 与速度)/(h km v 的平方及汽车的总重量)(t a 的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以h km /50行驶时，从刹车到停车滑行了m 20，如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶，并与前面的车辆距离为m 15，为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞，那么最大车速是多少？（假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁s 1，答案精确到h km /1）。

3.2《一元二次不等式及其解法》(人教版必修5)好

ax2+bx+c>0 或 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 } 的解集
b {x|x≠ − } 2a
R Φ
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Φ
求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序的程序框图: 框图
△≥0
b x≠− 2a
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x< x1或x> x2
题2：解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
因为△ 解：因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 } 另解:由于4 另解:由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0
2
{
{
x
x
2
− 16 > 0
x2 − 4x + 3 > 0
2
或
− 16 < 0 x2 − 4x + 3 < 0
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习题3.2
A组第2题 B组第2题
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解于等 x − ax − 2a < 0. 关 x不式
2 2
方程x 2 − ax − 2a 2 = 0.的判别式∆ = a 2 + 8a 2 = 9a 2 ≥ 0
得方程的两根为x1 = 2a, x2 = − a. (1)若a > 0, 则 − a < x < 2a

2020年高中数学必修5 第3章不等式课后习题练《一元二次不等式解法》(含答案解析)

第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法（习题课）A 级基础巩固一、选择题1．不等式(x-1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x|x>1}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ≥1或x=-2}D ．{x|x ≤-2或x=1}2．若集合A={x|ax 2-ax ＋1<0}=∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4}C ．{a|0<a ≤4}D ．{a|0≤a ≤4}3．已知集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N={x|x≤-3}，则集合{x|x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R(M∩N) D ．∁R(M∪N)4．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f(10x )＞0的解集为( ) A ．{x|x ＜-1或x ＞lg 2} B ．{x|-1＜x ＜lg 2}C ．{x|x ＞-lg 2}D ．{x|x ＜-lg 2}5．对任意a∈[-1，1]，函数f(x)=x 2＋(a-4)x ＋4-2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x<3B ．x<1或x>3C ．1<x<2D ．x<1或x>2二、填空题6．若不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．7．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(-∞，-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a=________．8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m-1=0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．已知一元二次不等式(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围．10．已知f(x)=-3x 2＋a(6-a)x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.B 级能力提升1．若实数α，β为方程x 2-2mx ＋m ＋6=0的两根，则(α-1)2＋(β-1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．-14D ．-4942．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．答案解析A 级基础巩固1．解析：(x-1)x ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x=-2，⇒x ≥1或x=-2，故选C. 答案为：C ；2．解析：因为ax 2-ax ＋1<0无解，当a=0的显然正确；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a 2－4a≤0⇒0≤a ≤4.综上知，0≤a ≤4.选D. 答案为：D ；3．解析：因为M={x|-3<x<1}，N={x|x ≤-3}，所以M∪N ={x|x<1}，故∁R(M∪N)={x|x≥1}，选D.答案为：D ；4．解析：由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f(10x )＞0，所以-1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜-lg 2. 答案为：D ；5．解析：f(x)=x 2＋(a-4)x ＋4-2a>0，a ∈[-1，1]恒成立⇒(x-2)a ＋x 2-4x ＋4>0，a ∈[-1，1]恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0，解得3<x 或x<1.选B. 答案为：B ；6．答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1；7．解析：由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(-∞，-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故-12应是ax-1=0的根，所以a=-2. 答案为：-2；8．解析：若方程x 2m＋x ＋m-1=0有一个正实根和一个负实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0.所以0＜m ＜1或∅. 答案为：(0，1)；9．解：因为y=(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4为二次函数，所以m≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2＜m ＜6. 所以m 的取值范围为{m|2＜m ＜6}．10．解：f(1)=-3＋a(6-a)＋3=a(6-a)，因为f(1)≥0，所以a(6-a)≥0，a(a-6)≤0，方程a(a-6)=0有两个不等实根a 1=0，a 2=6，由y=a(a-6)的图象，得不等式f(1)≥0的解集为{a|0≤a≤6}．B 级能力提升1．解析：因为Δ=(-2m)2-4(m ＋6)≥0，所以m 2-m-6≥0，所以m≥3或m≤-2.(α-1)2＋(β-1)2 =α2＋β2-2(α＋β)＋2=(α＋β)2-2αβ-2(α＋β)＋2=(2m)2-2(m ＋6)-2(2m)＋2=4m 2-6m-10=4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342-494，因为m≥3或m≤-2，所以当m=3时，(α-1)2＋(β-1)2取最小值8.答案为：A ；2．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x-8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4（x －8）x 升．依题意，得x-8-4（x －8）x≤28%·x. 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2-150x ＋400≤0，即(3x-10)(3x-40)≤0.解得103≤x ≤403.又x ＞8，所以8＜x≤403. 答案为：⎝⎛⎦⎥⎤8，403；3．解：设f(x)=x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.解得-56<m<-12.。

高中数学苏教版必修5 3基本不等式的证明作业

[学业水平训练]一、填空题1．(2014·镇江调研）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b≥1； ③ab ≥2; ④1ab≥1. 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤2，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②2．已知数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *，则a 2n ＋1________a n a n ＋2.（用不等号填空）．解析：法一：a 2n ＋1＝(n ＋2)2＝n 2＋4n ＋4，a n a n ＋2＝(n ＋1)(n ＋3)＝n 2＋4n ＋3，a 2n ＋1－a n a n＋2＝1＞0，∴a 2n ＋1＞a n a n ＋2.法二：∵a n ＞0，且｛a n ｝为等差数列，公差大于0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴a n a n ＋2＜(a n ＋a n ＋22)2＝a 2n ＋1. 答案：＞3．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝（a －b ）＋（b －c ）2≥（a －b ）（b －c ）（当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)．答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 24．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2> ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R5．已知函数f (x )＝2x ，若a ≠b ，记P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，Q ＝12[f (a )＋f (b )]，则P ，Q 的大小关系是________．解析：P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ 2a ·2b <12(2a ＋2b )＝Q . 答案：P <Q6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ≠0)，则m 与n 之间的大小关系为________．解析：m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号，而n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2<⎝⎛⎭⎫12－2＝4.∴m >n . 答案：m >n7．设f (x )＝x 2＋x ＋1，g (x )＝x 2＋1，则f （x ）g （x ）的取值范围是________．解析：f （x ）g （x ）＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，当x ＝0时，f （x ）g （x ）＝1；当x >0时，f （x ）g （x ）＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝32；当x <0时，x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2，则f （x ）g （x ）＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝12.∴f （x ）g （x ）∈⎣⎡⎦⎤12，32. 答案：⎣⎡⎦⎤12，32二、解答题8．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. ∵上述三个不等式两边均为正，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 9．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[高考水平训练]一、填空题1．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．（写出所有正确命题的编号）①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab≥2，即ab ≤1，由①知成立．答案：①③⑤2．某民营企业的一种电子产品，2013年的年产量在2012年基础上增长率为a ；2014年计划在2013年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2012年的年产量为1，则2014年的年产量为（1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )，∴1＋q ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．答案：q ≤a ＋b 2二、解答题3．如图，在⊙O 上半圆中，设AC ＝a ，CB ＝b ，OF ⊥AB 交上半圆于F ，请你利用FC ≥OF 得出一个关于a ，b 的不等式，并证明你的结论．解：关于a ，b 的不等式为：a 2＋b 22≥a ＋b 2.证明如下： ∵OF ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2， FC ＝ ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝a 2＋b 22.∵FC ≥OF ， ∴ a 2＋b 22≥a ＋b 2. 4．若a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14. 证明：法一：假设（1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14，因为1－a >0，b >0，所以（1－a ）＋b 2≥（1－a ）b >14＝12. 同理有（1－b ）＋c 2>三个不等式相加得32>矛盾，故假设不成立，所以（1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14. 法二：假设（1－a )b>(1－b )c>(1－c )a 〉14同时成立．因为1－a >0，1－b >0，1－c >0，a >0，b >0，c >0，所以（1－a )b (1－b )c (1－c )a>即（1－a )a (1－b )b (1－c )c >164(*)．又（1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14，同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，故（1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与（*）矛盾，故假设不成立，所以（1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.。