深圳大学量子力学复习
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量子力学总结
顾 樵 (Qiao Gu)
International Institute of Biophysics, Germany
联系：gu-qiao@gmx.de
量子力学：概率
经典的因果关系在物质的深处 终结了，代替它的是一幅概率 世界的画面。
基本内容
1.德布罗意物质波 2.薛定谔方程 3.玻恩：波函数的几率解释 4.海森堡测不准关系 5.狄拉克符号 6.泡利矩阵
牛顿力学：质点的轨道
r(t) mr(t)
F m d 2r dt 2
r(0) mr(0)
牛顿力学与量子力学的 逻辑对应
d2r(t) F m dt2
t
(r,t)
i
Hˆ
(r,t)
r (t )
(r,t)
波函数的物理意义
(r) 2 : 粒子在单位体积出现的几率
波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几 率密度(即单位体积的几率)。这就是波函数 的 “统计解释”。
归一化条件
V
(r) 2 d r 1 V 系统占据的整个空间
一维无限深势阱
2
x 2
k 2
0
(0) (a) 0
通解： (x) Asin kx B coskx 边界条件要求：B 0, sin ka 0
E
k 22 2m
ka n
本征值：En
2 2n2
2ma 2
(n 1, 2, 3, )
写出波函数的归一化条件，它的物理意义 是什么？
• 设微观粒子的归一化波函数为(x) ，则 (x) 2表示什么？
概率密度
• 微观体系的薛定谔方程的一般形式为
i (t) Hˆ (t) t
其中的 Hˆ 代表什么？ 哈密顿算符
• 写出哈密顿算符 Hˆ 的本征方程，并说明所 有量的意义。
• 如果 1 和 2 是微观体系的状态，则 c1 1 c2 2 是否为体系的状态？
• 写出坐标算符的本征方程，指出相应的本 征值。
• 一个本征值对应一个以上本征函数的情况 称为﹍简并﹍
• 动量的本征函数为
p (x)
1
2
exp(i
px)
它在全空间的“正交归一化”表达式是什么？
• 写出一维自由粒子的波函数 (x,t)
(r, t )
Aei
(pr
E
t
)
• 一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同 的本征函数？
量子数 n
• 在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的 势垒而逸出的效应称为什么？或什么？
势垒贯穿 隧道效应
• 微观粒子的海森堡测不准关系可以表示 为 xp ~ h ，其中 x ，p ，h 各表示什么？
• 分别为：坐标变化范围 ，动量的变化范 围 ，表示普朗克常数
• 设厄密算符的本征方程是
Fˆ
基本概念
• 普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设 是什么？
• 能量是以hv一份一份的，不是连续
• 黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么？ • 温度
• 玻尔的原子量子理论的表达式为，
E2 E1 h
说明每个量的含义。 （E2：高能态动态能量、E1：低能态、hv：高
能态到低能态跃迁发出的光子的能量）
nr=0,1,2,3，…n-1 l =0,1,2,3…n-1 n=1,2,3…无穷
• 氢原子的电子云分布用角向几率密度 Ylm ( ,) 2 表示，其中 Ylm ( ,)称为什么函数？
球谐函数
• 厄密算符满足 F 1 F，还是 F F • 第二个
•
写出动量算符 pˆ i 的厄米共轭
x
n (x)
Asin n
a
x
归一化
条件：
a A2 sin2 n x dx 1
牛顿力学的因果关系
牛顿力学的研究思路是非常明 确的：只要知道了质点的初始 位移 r(0)和初始动量 mr(0) ， 通过求解微分方程，就可以得
到任意时刻的位移 r(t)，并进 而得到任意时刻的动量 mr(t)。
牛顿力学的图像是质点的 轨道，反映在哲学上，则是因 果关系。在这里初始条件与微 分方程同属“因”，二者是同等 重要的。
在状态 中测量力学量F，所得测量值是
什么？
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统 的哈密顿算符 Hˆ 的本征态展开：
f (x) cn n (x)
n
其中展开系数的物理意义是什么？ 表示粒子波函数的几率幅
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统
的哈密顿算符 Hˆ 的本征态展开：
f (x) cn n (x)
• 它本身
• 厄密算符的本征值是﹍实﹍数，这确保了 力学量的期待值是﹍实﹍数
• 两个力学量 A 和 B 能被同时测定的条 件是什么？
• A和B对易
• 如果两个算符 A 和 B 有共同的本征函数， 则算符 A 和 B ﹍対易﹍。
球谐函数 Ylm ( ,) 是哪两个算符的共同的 本征函数？
• 能量与时间的测不准关系为﹍﹍
n
设 Hˆn Enn ，在 f (x) 态中，能量 E1 出现 的概率有多大？
|Cn|^2
• 写出坐标算符和动量算符的对易关系，即
x, px ?
ih
• 设厄密算符A和B的对易关系为
AB BA iC
问 AB ?
C/2
• 对于氢原子的主量子数n，能级的简并度是 多少？
• N平方
重要问题
是的
• 一维无限深势阱模型如图所示，写出波函 数的边界条件。
V (x) 0 E p2
2m
0
a
x
• 写出线性谐振子的量子化能量表达式，基 态能量（即零点能）是什么？
• 氢原子能量量子化的条件为
nr l 1 n
其中nr ,l,n 分别为径量子数，角量子数和 主量子数。试由此确定各个量子数的取值 范围。
• 德布罗意物质波理论的表达式是什么？
• 康普顿散射的理论结果为：
0
h (1 cos ) c
其中 0 , , 各表示什么？
，入射粒子的原波长 ，受撞粒子的静止质 量 ，散射角
• 统计解释对波函数的要求（即波函数的标 准条件）是什么？
单值、有限、连续、
• 设微观粒子的波函数为
A(x) ( x )
(r, t )
Aei
(pr
E
t
)
• 算符 n n矢量 向 的 ﹍投影﹍
• 在抽象态空间，分立态的正交完备集 {n } 的正交归一化表达式是什么？完备性关系 式是什
么？
• 在一维无限深势阱中，量子效应约化为 经典效应的条件是：量子数 n ，还 是 n0？
量子力学总结
顾 樵 (Qiao Gu)
International Institute of Biophysics, Germany
联系：gu-qiao@gmx.de
量子力学：概率
经典的因果关系在物质的深处 终结了，代替它的是一幅概率 世界的画面。
基本内容
1.德布罗意物质波 2.薛定谔方程 3.玻恩：波函数的几率解释 4.海森堡测不准关系 5.狄拉克符号 6.泡利矩阵
牛顿力学：质点的轨道
r(t) mr(t)
F m d 2r dt 2
r(0) mr(0)
牛顿力学与量子力学的 逻辑对应
d2r(t) F m dt2
t
(r,t)
i
Hˆ
(r,t)
r (t )
(r,t)
波函数的物理意义
(r) 2 : 粒子在单位体积出现的几率
波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几 率密度(即单位体积的几率)。这就是波函数 的 “统计解释”。
归一化条件
V
(r) 2 d r 1 V 系统占据的整个空间
一维无限深势阱
2
x 2
k 2
0
(0) (a) 0
通解： (x) Asin kx B coskx 边界条件要求：B 0, sin ka 0
E
k 22 2m
ka n
本征值：En
2 2n2
2ma 2
(n 1, 2, 3, )
写出波函数的归一化条件，它的物理意义 是什么？
• 设微观粒子的归一化波函数为(x) ，则 (x) 2表示什么？
概率密度
• 微观体系的薛定谔方程的一般形式为
i (t) Hˆ (t) t
其中的 Hˆ 代表什么？ 哈密顿算符
• 写出哈密顿算符 Hˆ 的本征方程，并说明所 有量的意义。
• 如果 1 和 2 是微观体系的状态，则 c1 1 c2 2 是否为体系的状态？
• 写出坐标算符的本征方程，指出相应的本 征值。
• 一个本征值对应一个以上本征函数的情况 称为﹍简并﹍
• 动量的本征函数为
p (x)
1
2
exp(i
px)
它在全空间的“正交归一化”表达式是什么？
• 写出一维自由粒子的波函数 (x,t)
(r, t )
Aei
(pr
E
t
)
• 一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同 的本征函数？
量子数 n
• 在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的 势垒而逸出的效应称为什么？或什么？
势垒贯穿 隧道效应
• 微观粒子的海森堡测不准关系可以表示 为 xp ~ h ，其中 x ，p ，h 各表示什么？
• 分别为：坐标变化范围 ，动量的变化范 围 ，表示普朗克常数
• 设厄密算符的本征方程是
Fˆ
基本概念
• 普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设 是什么？
• 能量是以hv一份一份的，不是连续
• 黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么？ • 温度
• 玻尔的原子量子理论的表达式为，
E2 E1 h
说明每个量的含义。 （E2：高能态动态能量、E1：低能态、hv：高
能态到低能态跃迁发出的光子的能量）
nr=0,1,2,3，…n-1 l =0,1,2,3…n-1 n=1,2,3…无穷
• 氢原子的电子云分布用角向几率密度 Ylm ( ,) 2 表示，其中 Ylm ( ,)称为什么函数？
球谐函数
• 厄密算符满足 F 1 F，还是 F F • 第二个
•
写出动量算符 pˆ i 的厄米共轭
x
n (x)
Asin n
a
x
归一化
条件：
a A2 sin2 n x dx 1
牛顿力学的因果关系
牛顿力学的研究思路是非常明 确的：只要知道了质点的初始 位移 r(0)和初始动量 mr(0) ， 通过求解微分方程，就可以得
到任意时刻的位移 r(t)，并进 而得到任意时刻的动量 mr(t)。
牛顿力学的图像是质点的 轨道，反映在哲学上，则是因 果关系。在这里初始条件与微 分方程同属“因”，二者是同等 重要的。
在状态 中测量力学量F，所得测量值是
什么？
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统 的哈密顿算符 Hˆ 的本征态展开：
f (x) cn n (x)
n
其中展开系数的物理意义是什么？ 表示粒子波函数的几率幅
• 设一个量子体系的任意态可以按照该系统
的哈密顿算符 Hˆ 的本征态展开：
f (x) cn n (x)
• 它本身
• 厄密算符的本征值是﹍实﹍数，这确保了 力学量的期待值是﹍实﹍数
• 两个力学量 A 和 B 能被同时测定的条 件是什么？
• A和B对易
• 如果两个算符 A 和 B 有共同的本征函数， 则算符 A 和 B ﹍対易﹍。
球谐函数 Ylm ( ,) 是哪两个算符的共同的 本征函数？
• 能量与时间的测不准关系为﹍﹍
n
设 Hˆn Enn ，在 f (x) 态中，能量 E1 出现 的概率有多大？
|Cn|^2
• 写出坐标算符和动量算符的对易关系，即
x, px ?
ih
• 设厄密算符A和B的对易关系为
AB BA iC
问 AB ?
C/2
• 对于氢原子的主量子数n，能级的简并度是 多少？
• N平方
重要问题
是的
• 一维无限深势阱模型如图所示，写出波函 数的边界条件。
V (x) 0 E p2
2m
0
a
x
• 写出线性谐振子的量子化能量表达式，基 态能量（即零点能）是什么？
• 氢原子能量量子化的条件为
nr l 1 n
其中nr ,l,n 分别为径量子数，角量子数和 主量子数。试由此确定各个量子数的取值 范围。
• 德布罗意物质波理论的表达式是什么？
• 康普顿散射的理论结果为：
0
h (1 cos ) c
其中 0 , , 各表示什么？
，入射粒子的原波长 ，受撞粒子的静止质 量 ，散射角
• 统计解释对波函数的要求（即波函数的标 准条件）是什么？
单值、有限、连续、
• 设微观粒子的波函数为
A(x) ( x )
(r, t )
Aei
(pr
E
t
)
• 算符 n n矢量 向 的 ﹍投影﹍
• 在抽象态空间，分立态的正交完备集 {n } 的正交归一化表达式是什么？完备性关系 式是什
么？
• 在一维无限深势阱中，量子效应约化为 经典效应的条件是：量子数 n ，还 是 n0？