高等代数_wlkc-13

任α = (ax , a y , az ) = ax i + (a y j + az k ) = ax i + a y j) az k = ax i + λ j) (a y λ) + az k ] ( + ( +[ j 表示不唯一.
定理10:两个子空间的交与和 均为子空间. 证 :由 0 ∈ W1 , 0 ∈ W 2 ∴ 0 = 0 + 0 ∈ W1 + W 2 又设 α , β ∈ W1 + W2 , ∴ W1 + W 2非空 . 则 α = α 1 + α 2 , β = β 1 + β 2 , 其中 α 1, β 1 ∈ W1, α 2 , β 2 ∈ W2 → α 1 + β 1 ∈ W1, α 2 + β 2 ∈ W2 ∴α + β = α1 + β1) α2 + β 2) W1 + W2 . ( + ( ∈ kα = kα1 + kα2 ∈W1 + W2 .
k1 = k3 பைடு நூலகம் = k 1 4 k 2 = k3 0 = k5
k1 = k2 = k3 = k4 = k , k5 = 0
16
�
为5阶方阵,A = N 2
试求
A 的化零空间 N ( A), 和 A 的列空间 R( A)
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
解: 0
A=
1 0 0 0 1 0 R ( A) =< 0 , 0 , 1 > 0 0 0 0 0 0
exp 1 : 在 V3 ( R )中, W1表 x 轴, W 2为 oyz 平面 . 那么 W1 ∩ W 2 = {0}, W1 + W 2 = V3 ( R ).
任α = ( a x , a y , a z ) = a x i + ( a y j + a z k )分解唯一.
exp 2 : 在V3 ( R)中,W1 表 oxy 平面,W2表 oyz 平面. 则 W1 ∩ W2 = y 轴, W1 + W2 = V3 ( R). 6
7
命题2 命题2:设W1 =< α1 ,,α s >, W2 =< β1 ,, β t >, 则 W1 + W2 = L(α1 ,,α s , β1 ,, β t ).
proof : ∵ 任α ∈ 右, 有 α = ∑ λi αi + ∑ i βi = α(1) + α( 2) , α(1) ∈W1, α( 2) ∈W2 , ∴ α ∈W1 + W2 ∴ 右 左
特别 t +1 = = s = 0, 代回(1)式中,
又由 α1 , , α t , β t +1 , , β r 线性无关得: λi = 0, i = 1, , r 于是得 α1 , , α t , β t +1 , , β r , γ t +1 , , γ s 线性无关 ∴ dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 ∩ W2 ).
exp1: 给定 Vn ( F ) 的一组向量 α1 ,α 2 ,,α m
3
W = {∑ kiα i ki ∈ F , i = 1,2, , m} 是非空
i =1
m
记为 L (α 1 , α 2 , , α m ) =< α 1 , α 2 , , α m >, 称为 α 1 , α 2 , , α m 的生成空间 . 例16:设 Am× n ,由 A 的列向量生成的空间 称为 A 的列空间 . 记 A = ( A1 , , An ), 则
R ( A ) = L ( A1 , , An ) = { AX X ∈ R },
n
且对加法和数乘封闭, ∴ 是 Vn ( F )的子空间,
dim R ( A ) = r ( A ) , 极大线性无关组就是
A 的列向量组的 R ( A ) 的一组基 .
4
Exp2:
0 1 设 N = 1 0
2
例11:设 Am× n
,则 AX = 0 的解全体构成
n
一个线性空间 . 这个空间是 R 的子空间 , 它在 A 的作用下化为 0 , 称为 A的零空间 ( null space ). 记为 N ( A)
N ( A) = { X ∈ R AX = 0}, 当 r ( A) = r 时,
n
dim N ( A) = n r , AX = 0的基础解系就构成它的一组基.
若 W1是 Vn ( F )的子空间,怎么样去找 Vn ( F )的子空间 W 2 , 使 V = W1 ⊕ W 2 .
14
从 W1选 基 α 1, α m, 扩 充 为 空 间 Vn ( F )的 基 α 1, α m, α m +1, α n, 则 W 2 = < α m +1, α n >.
11
e3
e4
e5
§4- 3
子空间的直和
定 义 9 : 设 W1 , W 2 是 V n ( F ) 的 子 空 间 , 如 果 W1 ∩ W 2 = {0} , 则 称 W1 + W 2 为 子 空 间 W1 与 W 2 的 直 和 , 记 为 W1 ⊕ W 2 .
定理 : 设 W1 , W2 是 Vn ( F ) 的子空间 , W = W1 + W2 , 则以下 4个命题等价 : (1 ) W 1 ∩ W 2 = { 0 }; 4个命题等价
9
∴ δ ∈ W1 ∩ W 2 , 故存在 1 , , t 使 δ = 1α 1 + + tα t = t +1γ t +1 sγ s 而 α 1 , , α t , γ t + 1 , , γ s 为 W 2的基 , ∴ 线性无关. → 得 i = 0 , i = 1, , s ,
8
定理12 (维数公式) dimW1 + dimW2 = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 ∩ W2 ) proof : 设 dimW1 = r, dimW2 = s, dim (W1 ∩W2 ) = t. α1,,αt 是 W1 ∩W2 的基, 把它扩充为 W1 的基 α1,,αt,βt +1,, βr ;
W2称为 W1在Vn ( F )中的补子空间
其不唯一) ( 其不唯一 )
W1
⊥
W2
α2
W2
α
W1
15
0
α1
若 要 求 正 交 补 ,则 唯 一 .
k1e1 + k2e2 = k3e3 + k4e4 + k5e5
1 1 0 k1 + k2 0 0 1 1 = k3 1 0 0 0 0 1 0 0 + k4 + k5 . 0 0 0 0 1
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x x x, y ∈ R}, 基为 1 1 0 0 ; 例19:W1 = { y 0 0 0 1 0 e1 e2 x y x, y, z ∈ R}, 基为1 0 0 1 0 0 . W2 = { 1 0 0 0 0 1 x z
W1 + W2 = L(e1, e2 , e3 , e4 , e5 ) = L(e1, e2 , e4 , e5 ) = M 2 ( R). ∵ e3 = e1 e4 + e2 1 1 k (e1 + e2 ) = k (e3 + e4 ), W1 ∩ W2 = k 1 0 a b ∈ M (R), a b = a(e e ) + be + ce + de c d 2 1 4 4 2 5 c d = (ae1 + ce2 ) + ((b a)e4 + de5) = α1 + α2
T T
5
N ( A) =< (1 0 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 0 ) >
§4-2 子空间的运算
定义 8:设 W1 , W 2 是 Vn ( F ) 的两个子空间 , W1 ∩ W 2 = {α α ∈ W1 , α ∈ W 2 } 称为 W1与 W 2的交 . W1 + W 2 = {α = α1 + α 2 α1 ∈ W1 , α 2 ∈ W 2 } 称为 W1与 W 2的和 .
( 2 ) dim( W ) = dim( W 1 ) + dim( W 2 ); (3)任 α ∈ W , α = α1 + α 2 , α1 ∈ W1 , α 2 ∈ W 2 分解式唯一 ; ( 4 ) 0 表为 W 1与 W 2中元素和的方法唯一, 即 0 = 0 + 0. 12
proof : (1) (2), 由维数公式立得, W1 ∩W2 = 0, ∵dim (2 ( 3), 设 dim W1 = r , dim W 2 = m , 则 ) dim W = r + m , 取 W1的基 α1 , , α r , W 2的基 β1 , , β m 则 W =< α 1 , , α r , β 1 , , β m > , 且 dim W = r + m ,
把它扩充为W2 的基α1 ,,α t , γ t +1 ,, γ s . 要证 α1,,αt,βt +1,, β r,γ t +1,, γ s 恰为W1 + W2的基 设 λ1α1 + λtαt + λt +1βt +1 + + λr β r δ ∈ W 1 + t +1γ t +1 + + sγ s = 0, (1) δ ∈ W2
∴ α 1 , , α r , β 1 , , β m 线性无关 , 为 W 的基 . ∴ 任 α ∈ W , 在此基下坐标唯一