《综合法与分析法》参考教案

综合法与分析法

教学目的： 1掌握综合法、分析法证明不等式； 2熟练掌握已学的重要不等式； 3增强学生的逻辑推理能力教学重点：综合法、分析法

教学难点：不等式性质的综合运用

一、复习引入：

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2

b a +） 4． b

a a

b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

二、讲解新课：

（一）1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法

2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒

3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

（二）1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法

2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐

3．分析法的思维特点是：执果索因

4．分析法的书写格式：

要证明命题B 为真，

只需要证明命题1B 为真，从而有……

这只需要证明命题2B 为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A 为真

而已知A 为真，故命题B

例1：已知a b ,是正数，且a b ≠，求证：a b a b ab 3322+>+

转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐

⇐⇐

证明：∵0,0,a b a b >>≠且

∴要证3322a b a b ab +>+,只要证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+,

只要证22a ab b ab -+>,只要证2220a ab b -+>.

∵0a b -≠,∴2()0a b ->即2220a ab b -+>得证.

注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通

联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 法二：证明：∵0,0,a b a b >>≠且

∴3222a ab a b +>,3222b ba ab +>,

∴32322222a ab b ba a b ab +++>+,∴3322a b a b ab +>+

法三 aab b a a ≥++3

3

33

注：综合法的思维特点是：执因索果. 基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

例2.（P23例1）已知c b a ,,是不全相等的正数,求证

abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++

证明：∵22c b +≥2bc ,a ＞0,

∴)(22c b a +≥2abc ①

同理 )(22a c b +≥2abc ②

)(22b a c +≥2abc ③

因为a ，b ，c 不全相等，所以22c b +≥2bc , 22a c +≥2ca , 22b a +≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++ 法二：33332223c b a ca bc ab >++ 法三：6

2222226>+++++cb ca ba bc ac ab 法四：222>++ba ab 法五：3222222222222)()()(3)()()(b a c a c b c b a b a c a c b c b a +++>+++++ 例3（P23例2）.已知+∈R a a a n ,,21，且121=n a a a ，求证

n n a a a 2)1()1)(121≥+++ （

改变:同样的条件,怎样证明: n n a a a 3)2()2)(221≥+++ （ 证明：111112

1,a a a R a =⋅≥+∴∈+ 即 1121a a ≥+，同理2221a a ≥+……n n a a 21≥+

因为+∈R a a a n ,,21，由不等式的性质，得

n n n n a a a a a a 22)1()1)(12121=≥+++ （

因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a 时取等号

变式：已知+∈R a a a n ,,21，且121=n a a a ，求证

n n a a a 3)2()2)(221≥+++ （

例4、（P24例3）求证6372+<+

证（略）

四、课堂练习：

1． 设a , b , c ∈ R ，

1︒求证：)(2

222b a b a +≥+ 2︒求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

3︒若a + b = 1, 求证：22

121≤+++b a 证：1︒∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2

|2|222b a b a b a +≥+≥+ ∴)(2

222b a b a +≥+ 2︒同理：)(2222c b c b +≥

+， )(2222a c a c +≥+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

3︒由幂平均不等式：

12

22)1(2)21()21()2121(21==++=+++≤+++b a b a b a ∴22

121≤+++b a 2．已知a ,b ,c ,d ∈R,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++