20110505-中考新动向(九)(代数综合)

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中考数学专题2024代数历年题目解析

中考数学专题2024代数历年题目解析代数作为数学的一个重要分支，是中考数学考试的重点内容之一。

通过掌握代数知识和解题技巧，可以更好地应对中考数学考试中的代数题目。

下面，本文将结合2024年中考数学实际题目，进行代数题目的历年解析，帮助同学们更好地理解和掌握代数知识。

一、线性方程组在中考数学中，线性方程组是一个常见的代数问题。

以下是2024年中考数学中的一道线性方程组题目：【题目】解方程组$$\begin{cases}2x-y=3\\x+y=5\end{cases}$$【解析】该方程组为二元一次方程组。

我们可以使用消元法或代入法进行求解。

方法一：消元法将第二个方程的等式两边同乘2，得到$2(x+y)=2 \times 5\Rightarrow 2x+2y=10$。

将该式与第一个方程相减，消去$y$，得到：$$(2x+2y)-(2x-y)=10-3$$$$3y=7$$$$y=\frac{7}{3}$$代入第二个方程，得到：$$x+ \frac{7}{3} = 5$$$$x = 5- \frac{7}{3}$$$$x = \frac{8}{3}$$所以，方程组的解为：$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{7}{3}$。

方法二：代入法由第二个方程可得：$y=5-x$。

将该式代入第一个方程，得到：$2x-(5-x)=3$，化简得：$x=\frac{8}{3}$。

代入第二个方程，得到：$y=5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}$。

所以，方程组的解为：$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{7}{3}$。

二、因式分解在代数题目中，因式分解是一个常见的解题方法。

以下是2024年中考数学中的一道因式分解题目：【题目】将多项式$3x^2-x-4$分解因式。

【解析】要想将多项式$3x^2-x-4$分解因式，我们需要找出其因式的组合，使得两个因式的乘积可以得到原多项式。

观察该多项式，可以发现它是一个二次多项式，可以用因式定理来进行分解。

【复习专题】中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

2011年中考数学专题复习教学案--综合型问题(附答案)[1]范文

综合型问题类型之一代数类型的综合题代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．例1.(·安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。

一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时。

⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。

1.【解析】本题是一道包含着分类思想的应用综合应用题。

解题前先认真阅读弄清题意，把握好时间信息，二分队在营地不休息，几小时能赶到A镇，途中考虑到在塌方地点的停留，解题时不能忽视；在考虑图像时，同样也要分不同的情况去研究。

【答案】解：（1）若二分队在营地不休息，则a＝0，速度为4千米/时，行至塌方处需102.5 4＝（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要10135＝（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+204＝8（小时）（2）一分队赶到A镇共需305+1＝7（小时）（Ⅰ）若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a＝5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；（Ⅱ）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7－a)=30，即a2－3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合题意。

初三中考数学总复习代数综合题复习(文字稿答案)

中考总复习——代数综合题复习（答案版）一、2014年考试说明中与代数综合题有关的C 级要求：数与代数式：运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题；方程与不等式：运用方程与不等式的有关内容解决有关问题；一次函数：运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题；二次函数：运用二次函数的有关内容解决有关问题。

及与几何图形有关的很多C 级要求。

这些考试说明的C 级要求意味着代数综合题有很多的题型可以选择！面对今年难度很可能会降低的背景下，我们备课组对综合题的复习策略大致是：先是针对近几年的北京中考的代数综合题有针对性的重点复习，再分析2013、2014年的一模、二模的代数综合题涉及到的各种问题进行复习，最后借鉴外地中考中出现的与代数综合题有关的问题。

因为难度的降低，我们认为：复习中让学生多了解一些处理问题的方式方法，重在常见方法的落实和计算的准确！因为代数综合题中涉及到的基本问题的求解在各章节复习中已经涉及到了，所以我对综合题的分类是以每题的核心问题为主的，但在学生练习时还是要带着前面的基本问题。

二、复习中需要注意的细节：1、审题：前“二”后“两”、关于“y 轴”翻折、将x 轴“下方”的部分如何如何、A点在B 点的左侧、正．整数解、不与C 、D 两端点重合、不包括边界、点A 停止时点B 亦停止、给定区间……（13分高媛老师）2、注意隐含条件或前提：一次函数、反比例函数、二次函数（抛物线）的定义中隐含不为0的式子，用△的前提，简单综合条件得到的范围等等；3、积累基本问题的解法：如:（1）求线段长——纵坐标“上减下”或横坐标“右减左”，不用带绝对值（2）动点坐标化，根据象限，字母隐含取值范围（3）几何元素（面积、线段长）转到坐标时，带绝对值可弥补因作图不全而丢失的解（4）求某点坐标，除了动点坐标化，寻找几何条件列方程外，还有“由点及线”，两函数联立求交点的方法（5）三定一动定平四；两定两动定平四——定边、定距离（6）草图尽量准确，平移（转动）尺子，动态模拟运动变化的过程（13分高媛老师）另外，整数根问题、根的分布问题、距离最短问题、恒成立问题、单调性问题等等4、点题：做完每一问或每一题后，要养成点题的习惯，回头看一下自己所求的是否是题目所求，特别是求字母的值或范围时，要重点注意题目所给的范围或隐含范围及前提范围，千万别忘了综合。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

中考压轴题目归类总结代数几何综合板块

中考压轴题目归类总结代数几何综合板块.doc 中考压轴题目归类总结：代数几何综合板块引言介绍中考压轴题目的重要性代数几何综合板块在中考中的地位归类总结的目的和意义代数几何综合板块概述代数几何综合板块的定义该板块涵盖的主要内容代数方程几何图形函数与图形几何证明代数几何综合题目特点结合代数和几何的解题思路需要综合运用多种数学知识题目通常具有较高的难度和综合性代数几何综合题目解题策略分析题目要求，确定解题方向利用代数方法解决几何问题利用几何直观辅助代数计算综合运用函数、方程、不等式等数学工具代数几何综合板块常见题型题型一：代数方程与几何图形结合例题分析解题步骤易错点提示题型二：几何图形中的代数问题例题分析解题步骤易错点提示题型三：函数与几何图形的结合例题分析解题步骤易错点提示题型四：几何证明中的代数应用例题分析解题步骤易错点提示代数几何综合题目解题技巧转化思想：将几何问题转化为代数问题建模思想：建立数学模型解决实际问题归纳推理：通过已知条件推导未知结论逆向思维：从结论出发，逆向求解代数几何综合板块备考建议系统复习代数和几何基础知识多做综合题目，提高解题能力总结解题规律，形成自己的解题方法培养空间想象能力和逻辑推理能力经典例题解析选取几道历年中考中的代数几何综合题目分步骤解析解题过程总结解题思路和技巧结语强调代数几何综合板块在中考中的重要性鼓励学生通过不断练习提高解题能力表达对学生中考取得优异成绩的祝愿。

九年级数学代数综合问题华东师大版知识精讲

初三数学代数综合问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数综合问题【典型例题】例1. 如果5223313535()()x a a x a x +=++=-①与②是关于x 的同解方程，求a 的值。

解：解方程①得：x a =-275解方程②得：x a =-95∵方程①②是关于x 的同解方程∴-=--=-=27595279711a a a a a例2. 若方程x px q 220+-=（p ，q 是实数）没有实数根，求证：p q +<14。

证明：方程x px q 220+-= 判别式∆=+⨯=+()244422p q p q 依题意：4402p q +<()()()()2414410214410441212104410142222p p p q p p q p q p p p q p q -+++-<-++-<+-<----≤∴+-<∴+<方法二： p q 20+< ∴++<+<-+-+=--p p q p p q p p p p p p 2222 ()=--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+≤∴+<p p p p q 22141412141414例 3. 已知方程27302x x ++=的解满足不等式13222-->-x x ，求方程3220x y -+=的解。

解：方程27302x x ++=解之：x x 12123=-=-，不等式：13222-->-x x解集为：x <0∵方程的解满足不等式∴=-=-x x 12123，∴=--+===--+==-∴=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪把代入方程中把代入方程中x x y y x x y y x y x y 112211221232201433220721214372例4. 已知无论k 取何值，关于x 的方程2326kx m x nk+=+-的解总是x =1，求m ，n 的值。

2023中考代数综合

2023中考代数综合引言代数综合是中学数学中的一个重要知识点，也是中考数学中常常出现的题型之一。

在2023年的中考中，代数综合仍然是一个需要重点关注和准备的内容。

本文将从代数综合的相关概念、题目类型和解题方法三个方面进行介绍和讨论。

代数综合的相关概念在了解代数综合之前，我们先来了解一些与代数综合密切相关的概念。

1. 代数式代数式是由数和运算符号组成的一种符号语言。

代数式中常常包含未知数，是一个描述数学关系的表达式，比如a+a、3a−2a等。

2. 方程方程是一个等式，它以一个或多个未知数为变量，并溶于规定的域中。

代数综合中常常涉及到解方程的问题，需要根据已知条件，求解出未知数的值。

3. 不等式不等式是一个含有不等号的代数式，描述了数之间的大小关系。

在代数综合中，我们也会遇到一些关于不等式的问题，需要根据已知条件，确定不等式的解集。

代数综合的题目类型代数综合题目可以分为以下几种类型：1. 代数式的计算这种类型的题目主要是要求对给定的代数式进行计算，包括加减乘除、合并同类项、分配律等运算。

通过对代数式的计算，培养学生运算能力和逻辑思维能力。

在解决这类题目时，要注意运算符号的优先级，遵循先乘除后加减的规则，并注意合并同类项的方式。

2. 解方程和不等式这类题目要求根据已知条件，解出方程或不等式中的未知数。

需要运用代数方程解决实际问题的能力。

解这类题目时，要根据题意设立方程或不等式，并采用恰当的方法求解。

3. 几何问题的代数表示这类题目是将几何问题转化为代数问题，并利用代数方法求解。

常见的题目包括根据已知条件求面积、周长、体积等。

这类题目要求学生将几何问题用代数式表示，并运用代数知识求解。

解题方法在解决代数综合题目时，有一些常用的方法可以帮助我们更好地解题。

1. 逆向思维有时候，我们可以通过逆向思维来解决代数综合题目。

逆向思维就是从结果倒推出题目的条件和要求。

通过观察题目给出的答案，我们可以反推出方程或不等式的解。

【精选】北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(提高)

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx=和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,11.aa k⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得2,1.ak=⎧⎨=⎩(2)将2yx=代入y＝kx+1，消去y，得220kx x+-=．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k ．∴1+8k ≥0，解得k ≥18-． ∴k ≥18-且k ≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1.∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a∴抛物线解析式为23212-+=x x y . (2)由2)1(21232122-+=-+=x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.1,3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）. (3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x. 令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+，由于△＝(-m)2－4×1×221202m m ⎛⎫+=--< ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴没有交点．对于关于x 的二次函数2222m y x mx +=--，由于△＝2222()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为22202m y x mx +=--=．x y O (2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=．整理，得220m m -=．解之，得m ＝0，或m ＝2．①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．解这个方程，得11x =-，21x =．此时，B 点的坐标是B(1，0)．②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3．此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3 =(3m －1)2.∵ (3m －1)2≥0，∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．（2）解：令y =0，那么 mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++.（3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1.又∵点A 在点B 左侧，∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）.设直线CD 的表达式为y =kx +b .∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线CD 的表达式为y =－3x +3. 又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54）， ∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）. 当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时，∴－3(－3+n )+3=0，∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时， ∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. 类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(1)．(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，得3a =．所以233y x x =+． (3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则20.k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此直线AB的解析式为33y x =+．当1x =-时，y = 因此点C的坐标为⎛- ⎝⎭． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．设点P 的横坐标为x ．则PAB PAD PBD S S S =+△△△1122PD AE PD BF =⨯+⨯ 1()2PD AE BF =⨯⨯+ 1()()2D P B A y y x x =--21323333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22122228x x x ⎫=--=-++⎪⎝⎭．当12x =-时，△PAB ，此时1,24⎛-- ⎝⎭．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标; （3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P .∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--. 令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N .与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．又∵1tan 3OCA ∠=，∴A(1，0)．又∵6ABC S =△， ∴1362AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。

中考数学专题复习代数综合题学案-人教版初中九年级全册数学学案

代数综合题【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.类型一方程不等式型∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式=1.【提醒】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.举一反三类型一1.(2013·某某乌鲁木齐)已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小值为().A.-2B.0C.2D.2.52.(2015·某某某某)若-2x m-n y2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是.类型二函数型典例2(2015·某某某某)如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO 和x轴于点M,P,N,D,连接MH.(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为:;(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值X围.【全解】 (1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,(1)∵A(2,0),C(0,2),∴OE=OA=2,OG=OC=2.∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°,∴G(-,3),E(,1).设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,∵经过G,O,E三点,(2)(3)【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.(3)已知S X围求横坐标的X围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达式再代入,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.举一反三类型二3.(2015·某某某某)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元?(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?4.(2015·某某某某)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.(1)(2)(第4题)【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.类型一1.(2015·某某某某)若,则(x+y)2015等于().A.-1B.1C.32015D.-320152.(2015·某某某某)若a+b=2,ab=2,则的值为().A.6B.1C.3D.23.(2015·某某某某)若-2a m b4与5a n+2可以合并成一项,则m n的值是().A.2B.0C.-1D.14.(2015·某某某某)先化简,再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2015·某某某某)先化简,再求值:,其中x满足x2-4x+3=0.类型二6.(2015·某某某某)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值X围是().(第6题)③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.其中正确的结论是(把所有正确的结论的序号都填上).(第8题) (第9题)10.(2015·某某某某)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B坐标;(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.(第10题)参考答案【真题精讲】1.D解析:∵m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为(第4题(1))(第4题(2))由☉E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2-1, 要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P坐标为(x,y),由勾股定理得EP2=(x-3)2+(y-2)2.又点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴P(5,1).【课后精练】1.B2.B3.D4.原式=÷=·=,不等式2x-3<7,解得x<5,其正整数解为1,2,3,4,当x=1时,原式=.5.原式=÷=·=-, 解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3.当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=-. 6.B7.a<-58.①④解析:作AE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F,(第8题)∵四边形OABC是平行四边形,∴S△AOB=S△COB.∴AE=CF.∴OM=ON.当∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.∴不能确定OA与OC相等.而OM=ON,∴不能判断△AOM≌△O.∴不能判断AM=.∴不能确定|k1|=|k2|,所以③错误.若OABC是菱形,则OA=OC,而OM=ON,∴Rt△AOM≌Rt△O.∴AM=.∴|k1|=|k2|.∴k1=-k2.∴两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称,所以④正确.故答案为①④.,∴k=33=9.(2)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N. (第9题)则∠DMA=∠ANB=90°.∵B(3,3),∴BN=ON=3.设MD=a,OM=b.∴△ADM≌△BAN(AAS).∴BN=AM=3,MD=AN=a.∴OA=3-a,即AM=b+3-a=3,得a=b,∵ab=4,∴a=b=2.∴OA=3-2=1.即点A的坐标是(1,0).10.(1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=(x-1)2-3, 顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,点A(0,-2),x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥AO于点E,过点M作MF⊥AO于点M,(第10题)∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°.同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF.。

[第9讲]代数综合(中考热点)

【例1】已知关于x 的方程mx ＋2＝x ①的根是负实数，2(2)(23)10m x m x m -+--+=②有实根。

⑴求m 的取值范围；⑵若两方程的根均为整数，求整数m 的值；⑶求证：无论m 取何值，抛物线2(2)(23)1y m x m x m =-+--+总经过一个定点；⑷在⑵的条件下，若a 是两方程中较大的整数根，对于b 取任意实数，关于x 的方程ax 2－2bx ＋c ＋b ＝0都有实根，求c 的最小值；⑸在⑷的条件下，当c 取最小值时，抛物线y ＝ax 2－2bx －c ＋b 与直线y ＝-bx ＋a 只有一个交点，求b 的值。

【例2】一元二次方程22(24)40x m x m m -+++=的两根x 1， x 2(x 1＜ x 2)是抛物线212y x bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标。

⑴求x 2－ x 1的值。

⑵若抛物线过点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，且b ＞0，求抛物线的解析式； ⑶在⑵的条件下，若反比例函数23(00)k y x k x =>>，的图象与抛物线212y x bx c =++的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标x 0满足2＜x 0 ＜3，试求实数k 的取值范围。

【例3】已知抛物线2(1)2y m x mx m =+-+ (m 为整数)经过点A (1，1)，顶点为P ，且与x 轴有两个不同的交点。

⑴判断点P 是否在线段OA 上(O 为坐标原点)，并说明理由；⑵设该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、 x 2，且x 1＜x 2 ，是否存在实数m ，使x 1＜m ＜x 2?若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

测试题1．已知关于x 的方程()22110kx k x k +++-=①有实根。

⑴求k 的取值范围；⑵在⑴的条件下，若k 是不大于5的整数，且方程①的根为整数，求满足条件的k 的值； ⑶求证：无论k 取何值，抛物线()21211y kx k x k =+++-必经过一个定点；⑷一次函数2y mx n =+经过⑶中的定点，且无论k 取何值，2y 与1y 均只有一个交点，求m 的值。

最新中考专项训练：代数综合问题--知识讲解(提高)(含答案解析)

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）责编：常春芳【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx=和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,11.aa k⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得2,1.ak=⎧⎨=⎩(2)将2 yx=代入y＝kx+1，消去y，得220kx x+-=．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥18-．∴k≥18-且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322=-+xx的两根1x，2x（1x＜2x）是抛物线)0(2≠++=acbxaxy与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322=-+xx，得1x=-3，2x=1.∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639cbacbacba解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21cba∴抛物线解析式为23212-+=xxy.(2)由2)1(21232122-+=-+=xxxy，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.1,3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小? 【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+，由于△＝(-m)2－4×1×221202m m ⎛⎫+=--< ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴没有交点．对于关于x 的二次函数2222m y x mx +=--，由于△＝2222()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为22202m y x mx +=--=． (2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=．整理，得220m m -=．解之，得m ＝0，或m ＝2．①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．解这个方程，得11x =-，21x =．此时，B 点的坐标是B(1，0)．②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3．此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0．（1）求证该方程有两个实数根；xyO（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3 =(3m －1)2.∵(3m －1)2≥0，∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．（2）解：令y =0，那么mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++. （3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1. 又∵点A 在点B 左侧， ∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）. 设直线CD 的表达式为y =kx +b . ∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的表达式为y =－3x +3.又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54），∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）.当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时，∴－3(－3+n )+3=0， ∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时，∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. 类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(13．(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，3，得33a =．所以232333y x x =+．(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则3,20.k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得3,23.k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此直线AB 的解析式为32333y x =+．当1x =-时，33y =．因此点C 的坐标为31,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．设点P 的横坐标为x ．则PAB PAD PBD S S S =+△△△1122PD AE PD BF =⨯+⨯ 1()2PD AE BF =⨯⨯+ 1()()2D P B A y y x x =-- 21323323323333x x x ⎡⎤⎛⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22333193322228x x x ⎫=-=-++⎪⎝⎭．当12x =-时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,24⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解. 【答案与解析】解：（1）∵抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =.设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P .∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．又∵1tan 3OCA ∠=，∴A(1，0)．又∵6ABC S =△， ∴1362AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。

中考复习代数综合试题(北师大版)

中考代数综合1（北师大版）一、基础达标：1、在函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是( ) A.x≠3 B.x≠0 C.x>3 D.x≠－32、下列说法中，正确的是（）A. “打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B.某彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C.神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查D.了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查3、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为( )A.16 B.13 C. 14 D.124、在Rt △ABC 中，∠C=90︒，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变5、如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合），则cosC 的值是6、已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A.34m >B.34m ≥ C.34m >且2m ≠ D.34m ≥且2m ≠7、李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD ，设BC 的边长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式是( )A.y=-2x+24(0＜x ＜12)B.y=-12x+12(0＜x ＜24)C.y=2x-24(0＜x ＜12)D.y=12x-12(0＜x ＜24)8、反比例函数4y x =图象的对称轴的条数是（）A.0B.1C.2D.39、如果反比例函数1k y x -=的图象经过点(-1，-2)，则k 的值是( )A.2B.-2C.-3D.310、如图，A 是反比例函数图像上一点，过点A 作AB ⊥y轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 .11、函数2y kx k =+和ky x =在同一坐标系中的图象大致是（）12、将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为（）A. 2(1)4y x =++B. 2(1)2y x =++C. 2(1)4y x =-+D. 2(1)2y x =-+二、拓展题：13、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )A.y=3(x+2)2-1B.y=3(x-2)2+1C.y=3(x-2)2-1D.y=3(x+2)2+114、已知反比例函数10yx，当1<x<2时，y的取值范围是（）A.0<y<5B.1<y<2C.5<y<10D.y>1015、如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．16、下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒根.17、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P 作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC(或边CB)于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )18、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）19、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④20、如图所示，已知A(12，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P(x ，0)在x 轴正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.(12，0) B.(1，0) C.(32，0) D.(52，0)1、基础达标当堂测验：1、函数5y x =-中自变量x 的取值范围是（）A.5x ≥-B.5x ≤-C.5x ≥D.5x ≤2、在平面直角坐标系xOy 中，点P(2，a )在正比例函数12y x =的图象上，则点Q( 35a a -，)位于第象限.3、已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（）A.3-B.3C.0D.0或34、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA( ) A. 35B. 45C. 34D. 435、如图，关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是( )A.顶点坐标为(1,2-)B.对称轴是直线x =lC.开口方向向上D.当x >1时，y 随x 的增大而减小6、某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（）A.2144(1)100x -=B.2100(1)144x -=C.2144(1)100x +=D.2100(1)144x +=7、在同一平面直角坐标系内，将函数2243y x x =+-的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A.(-3，-6)B.(1，-4)C.(1，-6)D.(-3，-4)8、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0,-4)，N(0,-10)，函数(0)k y x x=<的图象过点P ，则k= .9、如图，函数11-=x y 和函数x y 22=的图像相交于点M(2,m )、N(-1,n )，若21y y >则x 的取值范围是( )A.1-<x 或20<<xB.1-<x 或2>xC.01<<-x 或20<<xD.01<<-x 或2>x10、一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是( )11、已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12、已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”连接）二、拓展题达标当堂测验：13、将抛物线C：y=x²+3x－10，将抛物线C平移到C＇.若两条抛物线C，C＇关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( )A.将抛物线C向右平移52个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位14、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(0，3)，点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30º，则满足条件的点C有个．15、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac>0；②abc<0；③m>2. 其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.316、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★.17、观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22021﹣1的末位数字是（）A．0 B．3 C．4 D．818、如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（）19、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是( )20、如图，直线43y x =与双曲线k y x =(0x >)交于点A.将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x= (0x >)交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AO BC=，则k = ．三、解答题：1、计算： ①201()(1)2sin 60122π-++-︒+②解方程：3(1)22x x x -=-2、如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．(1)求事件“转动一次，得到的数恰好是0”发生的概率；(2)写出此情境下一个不可能发生的事件；(3)用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数的绝对值相等”发生的概率．3、如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数1kyx的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0，-2)，若S△AOD=4（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1>y2时，求x的取值范围．4、如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB 段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）5、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．6、在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．(3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．3、解答题当堂测验：1、计算①011(1)()52π--+-+-②解方程：24(1)3(1)x x -=-2、A 、B 、C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A 将球随机地传给B 、C 两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B 手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A 手中的概率．3、如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD 为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）4、如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，请直接写出当>k2x+b时，x的取值范围.5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C （x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．6、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y 轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．。

中考复习代数综合试题 (北师大版)

中考代数综合2（北师大版）一、基础达标：1、已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a -+的结果为（）A.1B.1-C.12a -D.21a -2、函数y=中，自变量x 的取值范围是．3、已知反比例函数my x =(m>0 )和一次函数y kx k =-(k<0)在同一坐标系的图象大致是（）4、若反比例函数ky x = (k≠0)的图象经过点P(-2，3)，则该函数的图象不经过的点是() A.(3，-2) B.(1，-6) C.(-1，6) D.(-1，-6)5、用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是( )A.2(2)3x +=B.2(2)3x -=C.2(2)5x -=D.2(2)5x +=6、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A. 频率就是概率B.频率与试验次数无关C. 概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率7、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是( ) A.51 B.103 C.31 D.21 8、关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≤3B ．m ＜3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠29、如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sinα的值是（） A.45 B.54C.35D.5310、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（）A.9mB.6mC.63D.3311、在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上(下)或向左(右)平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.612、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )A.a ＜0B.abc ＞0C.a+b+c ＞0D.b 2-4ac ＞0二、拓展题：13、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元；若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（）A.(3)(40.5)15x x +-=B.(3)(40.5)15x x ++=C.(4)(30.5)15x x +-=D.(1)(40.5)15x x +-=14、在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A.2(2)2y x =++B.2(2)2y x =--C.2(2)2y x =-+D.2(2)2y x =+-15、若二次函数c x x y +-=62的图像过A (－1,y 1)、 B(2,y 2)、23),则321,,y y y 的大小关系是( )A.123y y y >>B.132y y y >>C.213y y y >>D.312y y y >>16、谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是．17、如图，已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A→B→C→E 运动，设点P 经过的路程为 x ，△APE的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为( )18、如图，已知函数3y x =-与()200y ax bx a b =+>>，的图象交于点P ，点P 的纵坐标为１，则关于x 的方程230ax bx x ++=的解为 .19、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C 的坐标为（m ，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO 交D 点，连接BD ，当DB ⊥x 轴时，k 的值是（）A ．6B ．﹣6C ．12D ．﹣1220、如图，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+ 交于点A(1,3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，.则以下结论：①无论x 取何值,2y 的值总是正数.②1a =.③当0x =时,214y y -=.④23AB AC =.其中正确结论是( )A.①②B.②③C.③④D.①④1.基础达标当堂测验：1、二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a ﹣b 的值为（）A.-3B.-1C.2D.52、在函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（） A.0x ≠ B.2x ≥ C.x>2且0x ≠ D.2x ≥且0x ≠3、如果关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣m=0没有实数根，那么m 的取值范围是．4、“a 是实数, ||0a ≥”这一事件是 ( )A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件5、从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是( )A.12 B.13 C.23D.1 6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是（） A.34B. 43C. 35D. 457、已知反比例函数1y x =的图象上有两点A （1，m ）、 B （2，n ）．则m 与n 的大小关系为（）A.m ＞nB.m ＜nC.m=nD.不能确定8、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（） A.3 B.6002505- C.6003250 D.3503503+9、在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是(4,1),(1,1)A B --，将线段AB 平移后得到线段''A B ，若点'A 的坐标为(2,2)-，则'B 点的坐标为（）A.(4,3)B.(3,4)C.(1,2)--D.(2,1)--10、在平面直角坐标系中,先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A.22y x x =--+B.22y x x =-+-C.22y x x =-++D.22y x x =++ 11、在同一平面直角坐标系中，函数1y x =-与函数y=x 的图象交点个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个12、如图，点A 是反比例函数2y=x （x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数3y=x-的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（）A.2B.3C.4D.52、拓展题达标当堂测验：13、如图，在反比例函数2yx(x＞0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=.14、如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…第n次碰到正方形的边时的点为P n，则P2015的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（0，2）D．（2，0）15、二次函数y=ax2+bx+c图象如图，有下列结论：①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c ＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．下列正确的个数为（）A.2B.3C.4D.516、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC ．则下列结论：①abc ＜0；②＞0；③ac ﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．117、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2，D 是AB 边上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD ＝x ，CE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是（）18、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（）A ．2B ．4C ．2D ．419、如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）.若函数k y x =在第一象限内的图像与△ABC 有交点，则k 的取范围是（） A.4924k ≤≤ B.610k ≤≤C.26k ≤≤D.2522k ≤≤ 20、如图，已知直线y=﹣x+3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线y=﹣x 2+2x+5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q ，则当PQ=BQ 时，a 的值是．三、解答题：1、计算：①231()16(2)3--÷-＋0(tan 60)π-︒－23cos30︒－13②解方程：23400x x --=2、一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、-2、-3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片(1)求小芳抽到负数的概率；(2)若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．3、如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高.（精确到0.1米，3≈1.732）4、如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON 的外心为点A（，﹣2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．（1）求直线l的解析式；（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．5、如图，二次函数2(0)y x px q p =++<的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，ABC ∆的面积为54．(1)求该二次函数的关系式； (2)过y 轴上的一点(0,)M m 作y 轴的垂线，若该垂线与ABC ∆的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．3、解答题当堂测验：1、计算：①2010301(1)()(sin 58)4cos6022π--⨯+︒-+︒②解方程：260x x --=2、在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．3、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM到BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）4、如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．17。

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