典型加法原理和加乘原理
排列组合问题之—加法原理和乘法原理
排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。
1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。
例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。
加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。
【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。
在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。
例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。
所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。
对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。
总的情况数等于每类的情况数加和。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理
1.加法原理：
加法原理也称为分情形原理，是指对一个由相互独立的事件构成的事件总和，其计数等于这些事件各自计数的总和。
简单来说，当我们需要从A和B两个集合中选择元素，或者进行两个动作时，可以使用加法原理来计数。
加法原理的表达式可以表示为：，
A∪B，=，A，+，B，-，A∩B。
一个例子是，有5个红球和3个蓝球，我们要从中选3个球。
这里红球和蓝球是分别独立的集合，使用加法原理可以直接将选红球的方式数目与选蓝球的方式数目相加，即C(5,3)+C(3,3)=10+1=11
2.乘法原理：
乘法原理也称为连乘法则，是指对一个多步操作的计数问题，其计数等于每个步骤计数的乘积。
乘法原理可以用于计数多个独立事件同时发生的可能性。
乘法原理的表达式可以表示为：，A×B，=，A，×，B。
一个例子是，有4个人，每个人有3种选择，问有多少种不同的选择方式。
我们可以将这个问题分解成4个独立的选择过程，并将每个选择过程的可能性相乘：3^4=81
乘法原理还可以推广到更多步骤的操作。
比如，在一个密码中，每位密码有10个可能的选项，密码有4位。
使用乘法原理，我们可以计算出总共有10^4=10,000种不同的密码可能性。
总结起来，加法原理和乘法原理是计数问题中非常重要的基本原理。
它们可以帮助我们计算各种可能性的总数，从而解决各种实际问题。
在实际应用中，我们通常需要灵活地使用这两个原理，结合具体问题进行推理和计算。
加法原理乘法原理
加法原理乘法原理加法原理和乘法原理是概率论中重要的基本原理，它们在计算概率问题时起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍加法原理和乘法原理，并从实际问题的角度解释这两个原理。
一、加法原理：加法原理是指当可能发生的两个事件互不相容时，其概率可以通过将两个事件的概率相加来计算。
假设有两个事件A和B，它们互不相容，即A和B不可能同时发生。
那么，这两个事件的概率可以用加法原理进行计算。
对于事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么事件“A或B 发生”的概率可以表示为P(A∪B)。
根据加法原理，有以下公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)加法原理可以简单地理解为，当两个事件互不相容时，事件“A或B 发生”的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
举例说明：假设考虑一个掷骰子的问题，事件A表示掷骰子出现1的概率，事件B表示掷骰子出现2的概率。
由于掷骰子不可能同时出现1和2，所以事件A和B互不相容。
根据加法原理，事件“A或B发生”的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
假设掷骰子出现1的概率为1/6，出现2的概率为1/6，那么事件“A或B发生”的概率为1/6+1/6=1/3加法原理的应用不仅仅局限于两个事件，它可以推广到多个互不相容的事件之间。
如果有n个互不相容的事件A1，A2，...，An，那么它们的概率之和可以表示为：P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)二、乘法原理：乘法原理指出当一个事件发生的次数与另一个事件发生的次数有关联时，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们同时发生的概率。
假设有两个事件A和B，它们的发生次数有一定的关联。
那么，这两个事件同时发生的概率可以用乘法原理进行计算。
对于事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么事件“A和B 同时发生”的概率可以表示为P(A∩B)。
根据乘法原理，有以下公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)乘法原理可以简单地理解为，事件“A和B同时发生”的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率。
4 加法原理和乘法原理
本讲主线
1.
本讲2.
C城
A城B城
1.加法原理：分类枚举，结果相加。
2.乘法原理：做一件事情如果需要分步，总的方法数＝每一步中的方法数
相乘。
件不同的连衣裙。
那么，王子出门一共有多少种不同的穿衣方式？条裤子。
那么，现在的王子出门有多少种不同的打扮方式？
的上衣条
里有：3顶不同的帽子，5件不同的上衣，4条不同的裤子。
那么，现
在的王子出门有多少种不同的打扮方式？
模块二：经典分步题型
书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三【例3】(★★★★)
层放了5本科普书，并且这些书都是各不相同。
请问：
问：王子一共有多少种不同的染色方式？
电池废纸易拉塑料不可
罐1知识大总结1.2.。
加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理都是数学中常用的基本原理，它们在组合计数和概率等领域中具有广泛的应用。
下面将分别对加法原理和乘法原理进行详细的介绍。
一、加法原理加法原理又称为求和原理，它指出当其中一事件可以通过若干个不同的方法实现时，其总的可能性数等于各种情况的可能性之和。
首先，我们假设有两个事件A和B，事件A可以通过m种方式发生，事件B可以通过n种方式发生。
那么，事件A和B共同发生的方式有多少种呢？加法原理告诉我们，共同发生的方式总共有m+n种。
这就是加法原理的基本形式。
这一原理可以推广到多个事件的情况。
假设有n个事件A1，A2，...，An，分别可以通过m1，m2，...，mn种方式实现。
那么，这n个事件共同发生的方式有多少种呢？根据加法原理，可以得出这n个事件共同发生的方式总共有m1+m2+...+mn种。
加法原理在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在数列求和中，如果一些数列可以分成若干个部分进行求和，那么最终的求和结果就可以通过加法原理来计算。
又如，在排列组合问题中，如果一些问题可以拆分成若干个子问题，那么其总的可能性数也可以通过加法原理来计算。
二、乘法原理乘法原理又称积法原理，它指出当若干个独立的事件同时发生时，这些事件共同发生的方式数等于各事件发生方式数的乘积。
首先，我们假设有两个独立的事件A和B，事件A可以通过m种方式发生，事件B可以通过n种方式发生。
那么，事件A和B同时发生的方式有多少种呢？根据乘法原理，共同发生的方式总共有m*n种。
类似地，乘法原理也可以推广到多个事件的情况。
假设有n个独立的事件A1，A2，...，An，分别可以通过m1，m2，...，mn种方式实现。
那么，这n个事件同时发生的方式有多少种呢？根据乘法原理，可以得出这n个事件同时发生的方式总共有m1 * m2 *...* mn种。
乘法原理在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，在排列组合问题中，如果一些问题可以拆分成若干个独立的子问题，那么其总的可能性数就可以通过乘法原理来计算。
初中数学重点梳理：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理知识定位加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来．当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数．知识梳理知识梳理1.加法原理完成一件工作有n种方式，用第1种方式完成有m1种方法，用第2种方式完成有m2种方法，…，用第n种方式完成有m n种方法，那么，完成这件工作总共有m+m2+…+m n1种方法．例如，从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞机每天只有1个班次，那么，从A城到B 城的方法共有2+3+1=6种．知识梳理2.乘法原理完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，…，完成第n个步骤有m n种方法，那么，完成这一件工作共有m·m2·…·m n1种方法．例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct．下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．例题精讲【试题来源】【题目】利用数字1，2，3，4，5共可组成(1)多少个数字不重复的三位数？(2)多少个数字不重复的三位偶数？(3)多少个数字不重复的偶数？【答案】（1）60 （2）24 （3）130【解析】(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有5×40×3=60个数字不重复的三位数．(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数．(3)分为5种情况：一位偶数，只有两个：2和4．二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．三位偶数由上述(2)中求得为24个．四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？【答案】242【解析】解法1将符合要求的自然数分为以下三类：(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个．因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个．解法2将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9－1=242(个)．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？【答案】3439【解析】不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9＝6561，其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999－6560=3439个．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】求正整数1400的正因数的个数．【答案】24【解析】因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=23527所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：(1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．说明利用本题的方法，可得如下结果：若p i是质数，a i是正整数(i=1，2，…，r)，则数的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．【答案】12504【解析】要使一个数能被3整除，只要确保该数各数位的和是3的倍数即可：于是分别讨论如下：(1)从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000(个)．(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700(个)．(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430(个)．(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．(5)a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色．如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？【答案】360【解析】对这五个区域，我们分五步依次给予着色：(1)区域A共有5种着色方式；(2)区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；(3)区域C因不能与区域A，B同色，故共有3种着色方式；(4)区域D因不能与区域A，C同色，故共有3种着色方式；(5)区域E因不能与区域A，C，D同色，故共有2种着色方式．于是，根据乘法原理共有5×4×3×3×2=360种不同的着色方式．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图1－64，有多少种不同的剪法？【答案】64【解析】我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头．凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的．于是，边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个．第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有4×(4×4)=64(个)．由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法．【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？【答案】（1）96 （2）48 （3）72 （4）12【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？【答案】45【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】用1，2，3，4，5，6，7这七个数，(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数？(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1不在百位上？【答案】（1）1440 （2）1260【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？【答案】60【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数？【答案】420【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？【答案】119【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】将三封信投到5个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？【答案】125【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】从字母a，a，a，b，c，d，e中任选3个排成一行，共有多少种不同的排法？【答案】73【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3。
第05讲_加法原理与乘法原理
第05讲_加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是数学中常用的计数原理，用于解决计数问题。
加法原理适用于求解互斥事件的总数，乘法原理适用于求解有序事件的总数。
下面将详细介绍这两个原理的应用。
一、加法原理加法原理也被称为分拆原理或分情形讨论法，它适用于互斥事件的计数问题。
互斥事件指的是一组事件中，事件之间不存在交集。
加法原理可以用于求解以下问题：1.选择一个事件或另一个事件2.事件A或事件B发生3.求解两个事件中至少一个发生的情况数加法原理的表达式为：若事件A和事件B是互斥事件，则事件A或事件B发生的情况数为事件A的情况数加上事件B的情况数。
举例说明：问题1：小明去购买水果，水果店有苹果、橙子和梨三种水果可选购，小明需要选择一种水果购买。
苹果有3种不同的品种可选购，橙子有4种不同的品种可选购，梨有2种不同的品种可选购。
求小明可选择购买的情况数。
解：根据问题可知，小明购买水果的情况可以分为三种互斥的情况，即购买苹果、购买橙子或购买梨。
根据加法原理，小明可选择购买的情况数为购买苹果的情况数加上购买橙子的情况数再加上购买梨的情况数。
购买苹果的情况数为3，购买橙子的情况数为4，购买梨的情况数为2，所以小明可选择购买的情况数为3+4+2=9种。
问题2：班级有40名学生，其中男生20人，女生20人。
为了活跃班级气氛，班长要从全班学生中选出两位同学参与游戏。
求这两位同学的选择情况数。
解：根据问题可知，班长从全班学生中选择两位同学参与游戏，可分为两种情况，一种是两位男生参与游戏，另一种是两位女生参与游戏。
根据加法原理，这两种情况的选择情况数分别为男生中选择两位同学的情况数加上女生中选择两位同学的情况数。
男生中选择两位同学的情况数为C(20,2)=190，女生中选择两位同学的情况数为C(20,2)=190，所以这两位同学的选择情况数为190+190=380种。
二、乘法原理乘法原理适用于有序事件的计数问题。
有序事件指的是一系列事件按照一定顺序排列。
加法原理乘法原理
加法原理乘法原理加法原理和乘法原理是组合数学中的两个基本原理，用于计算事件发生的可能性。
以下是一个关于加法原理和乘法原理的详细解释，并提供一些实际应用的例子。
加法原理：加法原理用于计算两个或多个互斥事件的并集，即求“或”关系的总数。
根据加法原理，如果事件A有n种可能结果，事件B有m种可能结果，且两个事件互斥，即A和B不能同时发生，则两个事件的并集有n+m种可能结果。
实际应用1：假设在一所学校有两个班级，班级A有30个学生，班级B有40个学生，要计算有多少种可能从这两个班级中选择一名班级代表。
根据加法原理，选择班级代表的总数为30+40=70。
实际应用2：餐厅供应午餐和晚餐两种套餐，午餐有5种选择，晚餐有3种选择，要计算选择午餐或晚餐的总数。
根据加法原理，总数为5+3=8乘法原理：乘法原理用于计算几个相互独立发生的事件的总数，即求“与”关系的总数。
根据乘法原理，如果事件A有n种可能结果，事件B有m种可能结果，则两个事件的总数为n*m。
实际应用1：假设有一份菜单，提供3种主菜和4种饮料，要计算如果顾客选择一种主菜和一种饮料的总数。
根据乘法原理，总数为3*4=12实际应用2：一些密码锁由4位数字组成，每位数字有10种可能结果，要计算一共有多少种可能的密码组合。
根据乘法原理，总数为10*10*10*10=10,000。
综合应用：加法原理和乘法原理可以结合使用，来计算包含多个事件的总数。
实际应用：假设有一个长跑比赛，参赛者可以选择短跑、中跑或长跑三种项目，并且每种项目有10个参赛者报名参加。
要计算一共有多少种可能的比赛结果。
根据乘法原理，每个项目的结果有10种可能性，因此总数为3*10*10*10=3,000。
通过理解加法原理和乘法原理，我们可以计算出复杂事件的总数，这对于解决组合数学和概率问题非常有用。
奥数：加法原理、乘法原理
题型一：乘法原理【知识要点】1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
【典型例题】例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【同步训练】1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？题型二：加法原理（一）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决这些问题提供了重要的方法和思路。
让我们先来了解一下加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路线可以选择，分别是路线 1、路线 2 和路线 3。
那么，你从 A 地到 B 地一共有多少种走法呢？答案很简单，就是这三条路线的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
假设你周末想去图书馆看书，图书馆有数学、语文、英语、历史和地理这五类书籍。
你决定只看一本，那么你有多少种选择呢？这里，因为你只能选择其中的一类书籍，而每一类书籍都算是一种选择，所以总的选择方法就是这五类书籍的总和，即 5 种。
接下来，我们说一说乘法原理。
假如你要从 A 地去 C 地，但是中间必须经过 B 地。
从 A 地到 B 地有 2 条路可以走，从 B 地到 C 地有 3条路可以走。
那么，从 A 地经过 B 地到 C 地一共有多少种走法呢？答案是 2×3 ＝ 6 种。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
为了更好地理解乘法原理，我们再举一个例子。
你要参加一个活动，需要选择一套服装。
上衣有 3 种款式，裤子有 2 种款式。
第一讲 排列组合(加法与乘法原理)
第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。
五年级加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理一、原理描述加法原理：如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例、从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？乘法原理：如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例、用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
三、加法原理和乘法原理的应用例1．从1、2、3、4、5这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例2．从数字1、2、3、4、5中选若干个数字组成一个三位数，可以组成多少个三位数（数字可以重复用）？例3．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例4．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？例5．从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？例6．有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？例7．A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？例8．（涂色问题）如图，用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、3、4号的长方形，要求任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？例9．成都市的电话号码全是8位数，第一位必须是8，问成都市一共可以有多少个不同的电话号码？五、练习1、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位数？2、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个4位数（数字可以重复用）？3、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位偶数（双数）？4、从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？5、从1到100的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？6、有5个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？7、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不站在最左端并且E不站在最右端，一共有多少有种不同的排法？8、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不能站在最左端也不能站在最右端，一共有多少有种不同的排法？9、编号是1、2、3、4的四位同学，坐在编号是1、2、3、4的四个位置上，要求编号和位置要不同（比如1号同学不能坐在1号位置上），一共有多少种坐法？10、用红、黄、蓝三种颜色去涂下面的图形，要求相邻的区域不能同色，一共有多少种涂法？。
加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是概率论中非常重要的基本原理，它们用来计算和分析事件的可能性。
无论是在日常生活中还是在各种实际问题中，加法原理和乘法原理都有着广泛的应用。
本文将对这两个原理进行详细论述，并分析它们的实际应用。
一、加法原理加法原理是指对于两个不相交的事件A和B，它们的总可能性等于各自发生的可能性之和。
换句话说，当事件A和B不能同时发生时，它们的概率可以进行相加。
这一原理可以用以下公式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A∪B)表示事件A和B中至少发生一个的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B各自发生的概率。
加法原理的应用非常广泛。
例如，在一次投掷一枚硬币的实验中，我们可以定义事件A为“正面朝上”和事件B为“反面朝上”。
根据加法原理，事件A和B至少发生一个的概率为1，即P(A∪B) = 1。
这是因为在一次投掷中，硬币只能以正面朝上或反面朝上其中一种方式落下。
二、乘法原理乘法原理是指对于两个独立事件A和B，它们的总可能性等于各自发生的可能性相乘。
换句话说，当事件A和B相互独立时，它们的概率可以进行相乘。
这一原理可以用以下公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B各自发生的概率。
乘法原理的应用也非常广泛。
例如，在抓娃娃机的实验中，我们定义事件A为“第一次抓到娃娃”和事件B为“第二次抓到娃娃”。
根据乘法原理，事件A和B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
假设第一次抓到娃娃的概率为0.2，第二次抓到娃娃的概率为0.3，则可以计算出事件A和B同时发生的概率为0.2 × 0.3 = 0.06。
综上所述，加法原理和乘法原理是概率论中常用的计算方法。
通过运用这两个原理，我们可以准确地计算事件的可能性，分析事件之间的关系。
在实际应用中，我们可以根据具体问题确定采用加法原理还是乘法原理，从而得到正确的计算结果。
四年级加法原理与乘法原理
加法原理和乘法原理是数学中的两个基本原理，也是四年级数学学习中的重点内容。
在接下来的文章中，我将详细介绍加法原理和乘法原理，并且给出一些实际问题的解决方法。
一、加法原理加法原理是指在进行加法运算时，两个数相加所得的和不受数的顺序和加数的分组方式的影响，即a+b=b+a。
在解决实际问题时，可以运用加法原理来解决一些计数问题。
例子：小明有10块钱，他想买一本书，书的价格有5元和8元两种，那么小明一共有多少种买书的选择？解法：我们可以使用加法原理来解决这个问题。
小明可以选择花5块钱买书，也可以选择花8块钱买书。
所以小明一共有2种买书的选择。
二、乘法原理乘法原理是指在进行乘法运算时，将两个数相乘所得的积不受数的顺序和因数的分组方式的影响，即a×b=b×a。
在解决实际问题时，可以运用乘法原理来解决一些排列组合的问题。
例子：小明有3种上衣和2种裤子，那么小明一共有多少种搭配的选择？解法：我们可以使用乘法原理来解决这个问题。
小明可以选择第一种上衣（3种）搭配第一种裤子（2种），也可以选择第一种上衣搭配第二种裤子，以此类推。
所以小明一共有3×2=6种搭配的选择。
综合运用加法原理和乘法原理：有时候，解决问题需要同时使用加法原理和乘法原理。
例子：商店有3种颜色的衬衫和2种款式的裤子，如果小红想买一套搭配，那么小红一共有多少种搭配的选择？解法：我们可以使用乘法原理来解决这个问题。
小红可以选择第一种衬衫（3种）和第一种裤子（2种）组成一套搭配，也可以选择第一种衬衫搭配第二种裤子，以此类推。
所以小红一共有3×2=6种搭配的选择。
在以上的例子中，我们使用了乘法原理计算小红的搭配方式的总数。
而如果我们要计算小明和小红一共有多少种搭配方式，那么我们需要通过加法原理将两个人的搭配方式的总数相加。
加法原理和乘法原理是数学中非常基础但非常重要的原理。
掌握了这两个原理，我们可以更好地解决一些计数和排列组合的问题，为数学学习打下坚实的基础。
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理一、加法原理加法原理（也叫做并法则）是指对于两个或多个互不相容事件的概率之和等于每个事件概率的总和。
互不相容事件是指它们不能同时发生的事件。
假设有两个事件A和B，它们是互不相容的事件。
事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，即：P(A或B)=P(A)+P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。
如果有n个互不相容的事件A1,A2,...,An，它们的概率分别为P(A1),P(A2),...,P(An)，那么这些事件中至少有一个事件发生的概率等于每个事件概率之和，即：P(A1或A2或...或An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)加法原理的应用可以帮助计算出一系列互不相容事件的概率和，从而推断出整个概率空间的概率。
二、乘法原理乘法原理（也叫做积法则）是指对于两个或多个独立事件的概率乘积等于每个事件概率的乘积。
独立事件是指它们的发生与其它事件无关。
假设有两个事件A和B，它们是独立事件。
事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B发生的概率，即：P(A且B)=P(A)×P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。
P(A1且A2且...且An)=P(A1)×P(A2)×...×P(An)乘法原理的应用可以帮助计算出多个独立事件同时发生的概率，从而推断出复杂事件的概率。
三、加法原理和乘法原理的关系加法原理和乘法原理在概率论中是相辅相成的。
乘法原理可以看作加法原理的特殊情况。
当事件A和事件B同时发生时，可以将事件A和事件B看作两个互不相容的子事件，此时根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
而根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B在事件A发生的条件下发生的概率。
加法原理乘法原理
03
计算项目总工作量：将每个子任务 的工作量相加
04
计算公司总资产：将每个部门的资 产相加
02 乘法原理
定义
01
02
03
04
适用范围
01
计数问题：解决计数问题，如排列、 组合、概率等
02
计算问题：解决计算问题，如求和、 求积、求最大值等
03
优化问题：解决优化问题，如最优 化、最短路径等
04
决策问题：解决决策问题，如决策 树、博弈论等
感谢您的耐心观看
101
应用举例
排列组合问题：例如，从5个不同元素中取出3个进行排列，可以使用乘法 原理计算排列数。
概率问题：例如，一个袋子里有3个红球和2个白球，随机取出2个球，可 以使用乘法原理计算取出2个红球的概率。
组合问题：例如，从5个不同元素中取出3个进行组合，可以使用乘法原理 计算组合数。
计数问题：例如，计算n个元素的全排列数，可以使用乘法原理计算。
管理类联考
计数原理
101
加法原理 乘法原理
Contents
目录
01
02
01 加法原理
定义
01
02
03
04
加法原理：一种 计数方法，通过 将不同类别的物 体进行组合，得 到总数。
加法原理的基本 思想：将复杂问 题分解成若干个 简单问题，分别 求解，然后相加 得到最终结果。
加法原理的应用： 广泛应用于概率 论、组合数学、 图论等领域。
加法原理的局限 性：只适用于有 限个类别的物体， 不适用于无限个 类别的物体。
适用范围
解决计数问题时， 可以使用加法原
理
加法原理适用于 解决有限个事件
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理1、加法原理：做一件事情分几类，每一类方法数之和就是完成这件事情的总方法数。
2、乘法原理：做一件事情分几步，每一步方法数之积就是完成这件事情的总方法数。
P29作业1、分四步组成四位数第一步：写好千位上的数，有3种选择（0不能作千位数）（所以一定要先考虑千位）第二步：写好百位上的数，有3种选择第三步：写好十位上的数，有2种选择第四步：写好个位上的数，有1种选择所以共有3×3×2×1=18个2、分三步组成三位数第一步：写好百位上的数，有4种选择（哪一位先考虑都行）第二步：写好十位上的数，有3种选择第三步：写好个位上的数，有2种选择所以共有4×3×2=24个3、分三步组成三位数第一步：写好个位上的数，有2种选择（个位一定是2或4）（所以一定要先考虑个位）第二步：写好十位上的数，有3种选择第三步：写好百位上的数，有2种选择所以共有2×3×2=12个4、分三步完成借书的事情第一步：第一个人来借书有7种选择第二步：第二个人来借书有6种选择第三步：第三个人来借书有5种选择所以共有7×6×5=210种5、分五步组成五位数第一步：写好万位上的数，有5种选择（哪一位先考虑都行）第二步：写好千位上的数，有4种选择第三步：写好百位上的数，有3种选择第四步：写好十位上的数，有2种选择第五步：写好个位上的数，有1种选择所以共有5×4×3×2×1=120个6、分三步完成种菜的任务第一步：第一块田里种菜有4种选择第二步：第一块田里种菜有3种选择第三步：第一块田里种菜有2种选择所以共有4×3×2=24种7、分类完成选书的事情第一类：选语文、数学（这一类在分2步完成，第一步选语文有3种选择，第二步选数学有4种选择，所以一共有3×4=12种）第二类：选数学、外语（同理，有4×5=20种）第三类：选外语、语文（同理，有3×5=15种）一共有12+20+15=47种（分类的要相加）综合列式：3×4+4×5+3×5=47种8、为叙述方便，设五个人为ABCDE，不能坐两端的是A。
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加法原理或加乘原理
在加法原理或加乘原理中，我们在课上给同学们介绍了两类解题思想：一种为有序枚举法，这种方法着重要求我们的同学能够形成一种有序的思考方式，这样的话就保证做任何事情尽量做到不遗漏、不重复，原理简单，但想做好仍需多加思考；另一类是介绍一种比较巧妙的标数法（包涵树状图），此法的核心是:关注完成一件事情与上一步骤的联系，从而达到“类类相加”，这种方法主要培养我们同学平时对于学习、生活的因果联系，此法巧妙灵活，但不易想到。
今天我们就法二，给同学们做一些补充，增强同学们的学习兴趣以及提升学生们的理解。
第一类：发散性：如例6、“我爱春蕾杯”的读法（省略）
进行标数法，如上所以”我爱春雷杯”的读法有：1+4+6+4+1=16（种）
在下面图表中，从“北”子开始，每次向下移动到相邻的字可以读出“北京奥运会”，那么一共有几种不同读法？
第二类：走方格便（路线问题）
从A到B点，如果要经过C的最近路线一共有几种走法？
方法一：直接使用标数法（注意：要使得路径最短，A到C的路线很重要，见下图）
方法二：使用分布考虑（A-C-B）,共有两步：
第一步：先考虑A-C的走法；上图可看到共有20种走法；
第二步：考虑C-B的走法；下图一共有6种走法；
最后步步相乘：20*6=120（种）
从A到B点，如果要经过C和D点的最近路线一共有几种走法？
从A到B点，如果要经过C或D点的最近路线一共有几种走法？（提示：1、先分2类：路线A-C-B,路线A-D-B
2、类类相加，但注意此时我们发现上述两类路线，路线A-C-D-B我们走了两次，因而还是再减去这一条路线保证不重复。
四、如图，有几处街区积有水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少条？（有时在行走过程中，出现部分路线是断的，因而标数时要注意）
第三类：走方格（包括爬楼梯）
图中有10个编号号码的房子，你可以从小房子走到相邻的大房子，但不能从大号号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有几种不同走法？
走楼梯
找规律，共有10级台阶，每次只能跨1级台阶或2级台阶
若到1级台阶的话，只有1种走法；
若到2级台阶的话，只有2种走法；
若到3级台阶的话，在我们发现，也有两类情况：1）从第2级走到第3级，则有2种走法，2）先走第1级台阶而后直接走第3级台阶，有1种走法，所以有3种走法；
……..
……..
第n级台阶，我们发现，其实我们只需要考虑前一级台阶以及前两级台阶的走法就行，而后类类相加就好了，得出从开始上楼梯起，分别到各级台阶的走法列成一串数字如下：第1级，第2级，….走法是：
1，2，3,5,8,13,21,34,55,89,….
因此：到第10级台阶走法是89种。