【学霸优课】高考数学(理)一轮复习课时练：10-1椭圆的方程与性质(含答案解析)

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高考数学一轮复习课后限时集训47椭圆的定义、标准方程及其性质理(含解析)北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训47椭圆的定义、标准方程及其性质理（含解析）北师大版课后限时集训(四十七) 椭圆的定义、标准方程及其性质(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－k ＞0，2k －1＞0，2k －1＞2－k ，解得1＜k ＜2.故选C.]2．(2018·惠州二模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B ．59 C.49D ．513D [如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513，故选 D ．]3.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B ．34 C.13D ．23A [由题意得2a ＝12cos 30°＝83(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝a 2－b2＝2 3 cm ，∴e ＝c a ＝12.故选A.]4．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．22D [设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D ．]5．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B ．x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D ．x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D ．]二、填空题6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为________．22[由题意可知a 2－4＝4，∴a 2＝8，即a ＝2 2. ∴C 的离心率e ＝c a ＝222＝22.]7．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 [令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x ＝－2，∴若椭圆的一个顶点为(－2,0)，则其一个焦点为(0,1)，此时椭圆方程为x 24＋y 25＝1.若椭圆的一个顶点为(0,1)，则其焦点为(－2,0)，此时椭圆方程为x 25＋y 2＝1.]8．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [满足MF →1·MF →2＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c ＜b ，即c 2＜b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2＜a 2－c 2，即2c 2＜a 2，所以e 2＜12，又因为0＜e ＜1，所以0＜e ＜22.] 三、解答题9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．[解] (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋－323＝2，或t 2＝－324＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 10.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .[解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝2－22＋2－12＝9－62＝6－ 3.B 组能力提升1.(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A.x 236＋y 216＝1 B ．x 240＋y 215＝1 C.x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 C [由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在R t △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C.]2．(2019·南昌重点中学联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( )A.32B ．22 C.12D ．52A [如图，连接EF 1，PF 1，则|EF 1|＝|EF 2|，所以△PEF 2的周长l ＝|PE |＋|EF 2|＋|PF 2|＝|PE |＋|EF 1|＋|PF 2|，因为|PE |＋|EF 1|≥|PF 1|，所以△PEF 2的周长l ≥|PF 1|＋|PF 2|，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以l ≥2a ，因为△PEF 2的周长的最小值为4b ，所以2a ＝4b ，即a ＝2b ，所以c 2＝a 2－b 2＝3b 2，所以c ＝3b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32，故选A.] 3．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为________．8,12 [如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练46椭圆——椭圆的概念及其性质(含解析)

课下层级训练(四十六) 椭圆的概念及其性质[A 级基础强化训练]1．(2019·山东滨州模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12 B ．33 C ．22D ．24【答案】C [依题意可知，c ＝b ，又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.] 2．(2018·广东惠州调研)“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C [把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．]3．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5【答案】A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【答案】A [由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.] 5．(2019·山东烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8【答案】C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________．【答案】x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.]7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________________．【答案】(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为____________．【答案】7 [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．【答案】解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1．(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．【答案】解椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0．∵m －mm ＋3＝m m ＋m ＋3>0，∴m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m m ＋m ＋3．由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1． ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． [B 级能力提升训练]11．(2019·山东德州模拟)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →的值等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9【答案】D [由题意易知A (0，－2)，B (0,2)为椭圆x 212＋y 216＝1的两焦点，∴|AP →|＋|BP →|＝2×4＝8．又|A P →|－|BP →|＝2，∴|A P →|＝5，|B P →|＝3． ∵|A B →|＝4∴△ABP 为直角三角形，∴A P →·B P →＝(AB →＋BP →)·BP →＝|BP →|2＝9.]12．(2019·山东临沂月考)过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20【答案】C [如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]13．(2019·山东东营检测)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝____________．【答案】3 [由椭圆方程x 225＋y 216＝1，得长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，|AB |＝6，|BC |＋|AC |＝10，由正弦正理可得，5sin C sin A ＋sin B ＝5|AB ||BC |＋|AC |＝5×610＝3.]14．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a ，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c ＝a －ca＝1－e ．又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.]15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )． (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．【答案】解 (1)设椭圆半焦距为C ．由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c2，y －b 2＝a b (x －a2)，于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac2b )．所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac2b≤0，整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2．所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1．(2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ，此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1，设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12．当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2；当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2，即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.．。

2020版高考数学一轮复习教案第8章_第5节_椭圆(含答案解析)

a
a，b，c 的关系
c2＝a2－b2
[常用结论] 与椭圆定义有关的结论
x2 y2
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点 a2 b2
P(x0，y0)(y0≠0)和焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的
△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)
＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]
2．(2019·济南调研)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内
部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
x2 y2 A. －＝1
64 48
x2 y2 B. ＋＝1
48 64
x2 y2 C. －＝1
48 64
x2 y2 D. ＋＝1
64 48
D [设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以 M 的轨
y2 x2 ＋＝1(a>b>0)
a2 b2
图形
－a≤x≤a，
－b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b
－a≤y≤a
性质
对称性顶点离心率
对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0)， A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)

高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。

2022届高考数学一轮复习课时作业椭圆及其性质

椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝332．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝14．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝16．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．127．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17.则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 23．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围．扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是________．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝33BD [将椭圆方程化为标准方程x 2＋y 21k ＝1,2c ＝2，∴c 2＝12.当焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1k ，那么c 2＝1－1k ＝12，∴k ＝2，此时e ＝c a ＝22.当焦点在y 轴上时，a 2＝1k ，b 2＝1，那么c 2＝1k －1＝12，∴k ＝23，此时e ＝ca ＝1232＝33.故选项BD 正确．]2．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C[由题意得⎩⎨⎧2－k ＞0，2k －1＞0，2k －1＞2－k ，解得1＜k ＜2.故选C.]3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝1C [根据椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝8， ∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]4．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在AC [当a >0时，由基本不等式得a ＋9a ≥2a ×9a ＝6，当且仅当a ＝3时等号成立．当a ＋9a ＝6时，点P 的轨迹是线段F 1F 2，当a ＋9a >6＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．故选AC.]5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝1C [由题意，2c ＝8，即c ＝4，∵△ PF 1F 2面积的最大值为16，∴12×2c ×b ＝16，即4b ＝16，b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝16＋16＝32. 则椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1.故选C.]6．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．12AB [当椭圆C 的焦点在x 轴上时，0<n <1，所以a 2＝1，b 2＝n ，所以c 2＝a 2－b 2＝1－n ，此时，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝1－n ＝32，解得n ＝14；当椭圆C的焦点在y 轴上时，n >1，所以a 2＝n ，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝n －1，此时，椭圆C 的离心率e ＝ca ＝n －1n ＝32，解得n ＝4.因此，n ＝14或n ＝4.故选AB.]7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋4)2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．]9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．6＋2 6－2 [椭圆方程可化为x 29＋y 25＝1. 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，连接AF 1，PF 1， ∴|AF 1|＝2，易知|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1三点共线时等号成立)， ∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.]10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．[解] 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|＝2，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3，所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． [解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎨⎧2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17. 则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④C [因为|F 1F 2|＝2，所以F 2(1,0)，|PF 2|＝1，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时，取等号，故①正确；若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 21＝1，12＋11＞1，则点P 在椭圆外，故②错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a ＋1b ＜1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a ＋1a －1＜1，即a 2－3a ＋1＞0，解得a ＞3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a ＞1＋52，所以e ＝1a＜5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12，故③正确；若PF 1→＝F 1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故④正确．故选C.]2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2BC [对于A ，因为在椭圆中，a ＋c 是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以A 错误；对于B ，因为在椭圆中，a －c 是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以a 1－c 1＝a 2－c 2，所以B 正确；对于C ，D ，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以D 是错误的，C 正确．]3．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围． [解] 因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2a ＋2c ＝4b ，即a ＋c ＝2b . F (3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c ＝3. 在椭圆中，a 2＝c 2＋b 2，所以⎩⎨⎧a 2＝c 2＋b 2a ＋c ＝2bc ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5b ＝4c ＝3，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 设P (m ，n )(0＜m ＜5)，则m 225＋n 216＝1，则n 2＝16－1625m 2.所以OP →·PF →＝(m ，n )(3－m ，－n )＝3m －m 2－n 2 ＝3m －m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1625m 2 ＝－925m 2＋3m －16＝－925⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2562－394. 因为0＜m ＜5，所以当m ＝256时，OP →·PF →取得最大值为－394，当m 趋近于0时，OP →·PF→的值趋近于－16. 所以OP →·PF →的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－16，－394. 扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是________．①② [椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1(6－b 2，0)和F 2(－6－b 2，0)，短轴的两个端点分别为B 1(0，－b )和B 2(0，b )，设P (x ，y )，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，由椭圆定义可得，|PB 1|＋|PB 2|＝2a ＝26＞2b ，即有P 在椭圆y 26＋x 26－b 2＝1上，对于①，将x 换为－x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P 满足x 2＝y 2，即有6－b 2＝b 2，即b ＝3时，|OP |取得最小值，可得x 2＝y 2＝2时，即有|OP |＝x 2＋y 2＝2＋2＝2取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜6，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围．[解](1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2 a2＋y2b2＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4 c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4 2. 当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．。

高中数学2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用练习(含解析)新人教A版选修1_1

第2课时椭圆方程及性质的应用[学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点F (c ，0)的弦中最短弦长是( )A.2b2aB ．2a 2bC.2c2aD ．2c 2b解析：选A.最短弦是过焦点F (c ，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b2a.2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0，即k >54或k <－54时，直线和椭圆有两个公共点．故选C. 3．(2019·安庆高二检测)已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，①y 229＋x 22＝1.②①－②，得（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得9x ＋y －5＝0.4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C.设yx －2＝k ，则y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －2）消去y ，整理得 (k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0， Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0，解得k ＝±233，所以k min ＝－233.选C.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A.设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1，知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)．由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（1－2）2＋（－n ）2＝1＋1＝ 2.6．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________．解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，所以|PF 2|＝4－12＝72.答案：727．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋5y 2－20＝0，y ＝2（x －1），解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.设右焦点为F ，则S △OAB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪43＋2＝53. 答案：538．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)．如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为________．解析：焦点在x 轴上，由题意知，M ⎝⎛⎭⎪⎫16－m 2，m 24.又因为点M 在y ＝22x 上，所以m 24＝2216－m 2，解得m ＝22，所以e ＝c a ＝224＝22.答案：229．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，所以b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，所以a ＝5，所以C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，所以AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.[B 能力提升]11．已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C ：x 2＋3y 2＝5相交于A ，B 两点，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，则MA →·MB →的值是( )A ．－94B ．94C ．－49D ．49解析：选D.将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5中得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，所以Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49. 故选D.12．F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e ＝__________．解析：易知圆F 2的半径为c ，又直线MF 1恰与圆F 2相切，所以∠F 1MF 2是直角，因为|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，所以在直角三角形F 1MF 2中，有(2a －c )2＋c 2＝4c 2，化简得c 2＋2ac －2a 2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，所以e ＝ca ＝3－1或e ＝c a＝－3－1(舍去)．答案：3－113．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)，故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.14．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少？解：(1)设P (x ，y )，由椭圆的定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b ＝ 22－（3）2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4＝0.所以k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝±417，x 1x 2＝－1217.|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝42172＋4×1217＝43×13172，所以|AB|＝54×43×13172＝46517.。

【学霸优课】高考数学(理)一轮复习课时练：10-3抛物线的方程与性质(含答案解析)

………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中周测]若抛物线y 2＝2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P(2，y 0)到其准线的距离为4，∴⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，∴p ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选C.2．[2016·枣强中学仿真]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案 D解析 ∵2c ＝4a ，∴c ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3a ，∴渐近线y ＝±3x ，又∵抛物线C 2的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2， ∴d ＝p 22＝2，∴p ＝8，∴抛物线C 2的方程为x 2＝16y.3. [2016·衡水二中月考]如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA 1|，|BF|＝|BB 1|，∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF|＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF|，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.4. [2016·武邑中学热身]已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2答案 C解析抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝3－12＝52，选C.5．[2016·衡水二中热身]已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离， ∴⎝⎛⎭⎫2－p 22＋y 20＝2＋p 2＝3. 解得：p ＝2，y 0＝±2 2.∴点M(2，±22)，根据两点距离公式有： ∴|OM|＝22＋22＝2 3.6. [2016·武邑中学期末]已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－1答案 D解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x ＝－1，因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1，又d 1＋1＝|PF|，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF|＋d 2－1，焦点F 到直线l 的距离d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF|＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF|＋d 2－1≥522－1，选D.7．[2016·衡水二中预测]已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 C解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p2，与抛物线方程联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去y 整理得：x 2－3px ＋p 24＝0，可得x 1＋x 2＝3p.根据中点坐标公式，有3p2＝3，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1. 8．[2016·枣强中学月考]过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF|＝6，AF →＝2FB →，则|BC|＝( )A.92 B ．6 C.132 D ．8答案 A解析不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)，则点B 在x轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF|＝|BB 1|＝3，|AF||AB|＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F(1,0)，cosθ＝p |AF|＝26＝13，sinθ＝1－cos 2θ＝223，tanθ＝sinθcosθ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22－y 2＝4x得8(x －1)2＝4x ，即2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC|＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A.9．[2016·衡水二中猜题]已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．答案17－1解析由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.10．[2016·衡水二中一轮检测]已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC|的最小值为________．答案41解析由题意得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m ＋|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m ＋|PC|)min ＝－3－2＋－2＝41.11．[2016·冀州中学周测]已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案254解析由y 2＝8x 知2p ＝8， ∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k(x －2)，点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )．又点A(8,8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0，则x A ＋x B ＝172，∴线段AB 的中点到准线的距离是x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254.12．[2016·冀州中学热身]已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x.(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可得x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.能力组13. [2016·枣强中学周测]设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF＝( )A.45 B.23 C.47 D.12答案 A解析如图，过A ，B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值，∴S △BCF S △ACF ＝|BC||CA|. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC ， ∴|BC||CA|＝|BB 1||AA 1|，由抛物线定义知|BB 1||AA 1|＝|BF||AF|＝2|AF|，∴S △BCF S △ACF ＝|BF||AF|. 由|BF|＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF|＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF||AF|＝252＝45.故选A. 14．[2016·冀州中学预测]已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|PA|＋|PM|的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，又点A ⎝⎛⎭⎫72，4在抛物线外，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM|＝d －12，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|＝|PA|＋d －12≥5－12＝92，即(|PA|＋|PM|)min ＝92.故选C.15．[2016·衡水二中热身]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析建立适当的坐标系，如图所示，可求出抛物线的方程是x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x 2＝－2×(－3)＝6，所以x ＝±6，即水面宽是2 6 米．16．[2016·武邑中学期末]设抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解 (1)由题意易知B ，D 两点关于y 轴对称，所以|FB|＝|FD|.故△BFD 为等腰直角三角形．设BD 交y 轴于点E ，则|BE|＝|DE|＝|EF|＝p.所以|BD|＝2p.故圆F 的半径|FA|＝|FB|＝2p.由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA|＝2p.因为△ABD 的面积为42，所以12|BD|·d ＝42，即12·2p·2p ＝42，得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F(0,1)．故圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b|＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。

椭圆的标准方程与性质(有答案)

椭圆的标准方程与性质1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2.2第1课时椭圆及其标准方程一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )3．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.944．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±345．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32 B.3 C.72D ．4 6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．208．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 29．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <410．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 二、填空题11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.14．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.三、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变．18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．2.2第2课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22 D.323．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.154．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝45．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]6．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.638．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 9．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率二、填空题11．(2009·广东理)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．12．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________．14．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题15．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．16．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2第1课时椭圆及其标准方程一、选择题 1．[答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2－a ＋x 2－b ＝1，焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a∴焦点坐标为(0，±b －a ) 3．[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.4．[答案] C[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±325．[答案] C[解析] 如图所示，由x 24＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点的横坐标为x p＝－3，代入椭圆方程得y p ＝12，∴|PF 1|＝12，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.6． [答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n >1m>0⇔m >n >0.故选C. 7．[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C. 8．[答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4. 9．[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0. 10．[答案] D[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．二、填空题 11．[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4⇒c ＝2 ∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，求出b 2＝2 3. 12． [答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.13． [答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8. 14．[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题15．[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.16． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1.故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.17． [解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．18． [解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系．设M (－c,0)，N (c,0)，c >0，又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎨⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.2.2第2课时椭圆的简单几何性质一、选择题 1． [答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即 C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2 ∴e ＝c a＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 3． [答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B.4．[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.5．[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20.又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64(1－x 20100)＝64－1624x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 2＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10. 6． [答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故答案为B. 7．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.8．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝13∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为x236＋y232＝1或x232＋y236＝1.9． [答案] C[解析]∵点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.10． [答案] D[解析]椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝a2－b2a，椭圆x2 a2k ＋y2b2k＝1(k>0)的离心率e2＝k a2－b2ka＝a2－b2a.二、填空题11． [答案]x236＋y29＝1[解析]设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＝12ca＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＝6c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.12． [答案]2120°[解析]依题知a＝3，b＝2，c＝7，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝27.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.13． [答案]12[解析]由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.14． [答案]2b2a[解析]∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝±cx2a2＋y2b2＝1，得y2＝b4a2，∴|y|＝b2a，故弦长为2b2a.三、解答题15． [解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0， ∴m >m m ＋3. 即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12)． 16． [解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10b ＝5 所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1. 17． [解析] 由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.。

(2021年整理)椭圆的简单性质练习题及答案

(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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镇江市统一高考数学第一轮复习学案(解析答案版)：51. 椭圆的方程与性质

椭圆定义与几何性质的应用
（二）分析诱导
（1）由定义及余弦定理求出值.
（2）连可将问题转化在直角三角形中解决.
（三）解题步骤
(四)变式训练
椭圆的两个焦点分别为，P椭圆上的一点，已知，则的面积为.
（五）小结提炼
“整体”处理及“转化”思想的应用.（1）中只要求出
即可；（2）把问题转化到直角三角形中便于问题的解决.
(2)已知椭圆的中心在原点，它在轴上的一个焦点F与短轴的两个端点的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离，求椭圆的标准方程
（一）选题目的
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程
（二）分析诱导
（2）由焦点F与短轴的两个端点的连线互相垂直可得离心率.
（三）解题步骤
(四)变式训练
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的标准方程.
2.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为
3.若F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1作直线交椭圆于A,B两点，则周长等于__.
4. 椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使得的值最小，M点的坐标是
七、课后作业
1.椭圆的焦距是
2.已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为，短轴长为，求椭圆的方程. 或
四、例题选讲
例3.已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，求
(1) 的最大值；(2) 的取值范围；(3) 的最大值
（一）选题目的
简单的最值问题.
（二）分析诱导
掌握消元、三角代换等常用方法
（三）解题步骤
（四）变式训练
椭圆上的点到直线的最大距离是

高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练(文,含解析)北师大版

学习资料第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练A组—-基础对点练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A。

错误!B．（1，2)C．(－∞，0）∪（1，2)D．（－∞，－1）∪错误!解析:依题意得不等式组错误!解得m＜－1或1＜m＜错误!,故选D。

答案：D2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B．错误!C．2 D.2 2解析:设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，错误!×2cb＝1⇒bc ＝1,2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D。

答案：D3．(2020·东北三校联考）若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为错误!，则错误!＝（）A。

错误!B．错误!C.错误!或错误!D。

错误!或错误!解析：若焦点在x轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1,依题意得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!；若焦点在y轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1，同理可得错误!＝错误!.所以所求值为错误!或错误!。

答案:D4．过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点,则△OAB的面积为（）A。

错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立错误!解得交点为(0，－2），错误!,所以S△OAB＝错误!·|OF|·|y A－y B|＝错误!×1×错误!＝错误!，故选B。

答案：B5．设F 1，F 2分别是椭圆错误!＋y 2＝1的左,右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(错误!＋错误!）·错误!＝0（O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D 。

1解析:因为（错误!＋错误!)·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!·错误!＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°。

椭圆的方程与性质课件-2024届高考数学一轮复习

动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.

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总结提炼
1. 椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周
长、面积及求弦长、最值和离心率等.
2. 通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积
问题.
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[对点训练]
1. 已知圆（ x ＋ 2 ）2＋ y 2＝16的圆心为 M ， P 是圆 M 上的动点，点 N
2

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回归课本
1. 判断：
（1）
2
（RA选一P109练习第2题改编）椭圆＋ x 2＝1的焦点坐标为
16
（0，± 15 ），短轴长为1.
（2）
（
✕
）
2
2
（RA选一P109练习第3题（1）改编）经过椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞

b ＞0）的右焦点 F 2作直线 AB ，交椭圆于 A ， B 两点， F 1是椭圆的左焦

由椭圆经过点

−

＋

,−

，可得2 a ＝

−
＝2

+

＋

−
＋

，所以 a ＝，则 b 2＝ a 2－ c 2＝6.所以

椭圆的标准方程为＋＝1.

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（2）椭圆的焦点在坐标轴上，且经过 A （ 3 ，－2）和 B （－2 3 ，
1）两点；
6
2
2
B. ＋＝1
18
9
2
2
C. ＋＝1

【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：10-1-1 椭圆的标准方程(含答案解析)

1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A(c ，b 2)，又|AF 1|＝3|F 1B|，∴AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝⎛⎭⎫－5c 3，－b 23将其代入椭圆方程化简得25c 29＋b 29＝1，又c 2＝1－b 2，得b 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.3．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________.答案 12解析如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN|＝2|PF 1|.同理可得可知|BN|＝2|PF 2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM|＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k(k>0)，则直线FM 的方程为y ＝k(x ＋c)．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c)，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c.因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM|＝＋2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y)，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t(x ＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 2＋2>2，解得－32<x<－1或－1<x<0. 设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t(x ＋1)<0，因此m>0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t(x ＋1)>0，因此m<0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 5．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P(x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.(ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝22＋4－m 221＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t≤1. 因此S ＝2－＝2－t 2＋4t.故S≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝2－x 12＋2－y 12＝＋k22－x 12＝22＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ·⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2＋2k 2，从而PC ＝2＋1＋k 2|k ＋2k 2.因为PC ＝2AB ，所以2＋1＋k 2＋2k 2＝42＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。

高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理含解析北师大版

第五节椭圆授课提示：对应学生用书第361页〖A 组基础保分练〗1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5〖解析〗连接PF 2（图略），由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4．〖答案〗A2．过点A （3，－2）且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为（）A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1〖解析〗法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为（±5，0），设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1（λ＞0），将点A （3，－2）代入，得9λ＋5＋4λ＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．〖答案〗A3．（2021·衡水模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为13，则ab＝（）A ．98B ．322C ．43D ．324〖解析〗因为e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324．〖答案〗D4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1〖解析〗由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1．〖答案〗A5．（2020·石家庄质检）倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．23C ．22D ．33〖解析〗由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得（b 2＋a 2）y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以（c －x 1，－y 1）＝2（x 2－c ，y 2），所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23．〖答案〗B 6．（2021·惠州调研）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为（）A ．514B ．59C ．49D ．513〖解析〗如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513．〖答案〗D7．（2021·郑州模拟）已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为 _________．〖解析〗因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A （1，0），所以b ＝1，焦点坐标为（0，c ），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1．〖答案〗y 24＋x 2＝18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．〖解析〗（1）由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1．（2）由条件可知F 1（－3，0），直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．（1）若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；（2）若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．〖解析〗（1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c ．所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22．（2）由题知A （0，b ），F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝a 2－b 2，设B （x ，y ）．由AF 2→＝2F 2B →，得（c ，－b ）＝2（x －c ，y ），解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2．①又由AF 1→·AB →＝（－c ，－b ）·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1．②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．〖B 组能力提升练〗1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）A ．22 B ．33 C ．32D ．13〖解析〗设圆柱的底面圆的直径为d ，则椭圆的短轴长为d ．因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2d ，所以椭圆的半焦距为⎝⎛⎭⎫22d 2－⎝⎛⎭⎫d 22＝d 2，则e ＝c a ＝d 222d ＝22．〖答案〗A2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（）A ．13B ．12C ．33D ．32〖解析〗因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，因为P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝|PF 2||PF 1|＝12．〖答案〗B3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为（）A ．32B ．332C ．94D ．154〖解析〗由椭圆C ：x 24＋y23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1（－1，0），F 2（1，0），由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3× 1－14＝±32，不妨设A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32．设P （m ，n ），则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝（m ＋1，n ）·⎝⎛⎭⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332．〖答案〗B4．（2021·温州模拟）正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 〖解析〗设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ．又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1＞c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e4－3e 2＋1＞0，e 2＜3－52＝（5－1）24，∴0＜e ＜5－12．〖答案〗B5．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________．〖解析〗设点A 在点B 上方，F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝1－b 2，则可设A （c ，b 2），B （x 0，y 0），由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1．〖答案〗x 2＋3y22＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |－|PF 1|的最小值为_________．〖解析〗由椭圆的方程可知F 2（3，0），由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|．所以|PM |－|PF 1|＝|PM |－（2a －|PF 2|）＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，所以|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．〖答案〗－57．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．〖解析〗（1）由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2．不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c ．由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2．解得c a ＝－2（舍去）或c a ＝12．所以C 1的离心率为12．（2）由（1）知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1．设M （x 0，y 0），则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1． ① 因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c 2＋4（5－c ）3c ＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1（舍去）或c ＝3．所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x ．〖C 组创新应用练〗1．有一个高为12 cm ，底面圆半径为3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎝⎛⎦⎤0，55B ．⎣⎡⎭⎫55，1C ．⎝⎛⎦⎤0，255D ．⎣⎡⎭⎫255，1〖解析〗由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为122＋62＝65，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫3352＝255，所以e ∈⎝⎛⎦⎤0，255．〖答案〗C2．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点B 和左焦点F ，并被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是_________．〖解析〗依题意，知b ＝2，kc ＝2．设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165．又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14．于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255．〖答案〗⎝⎛⎦⎤0，2553．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为千米．〖解析〗设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85．即椭圆形轨道的焦距为85千米．〖答案〗85。

椭圆的性质-高中数学知识点讲解(含答案)

椭圆的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22184x y +=B ．221164x y +=C ．221816x y +=D ．221168x y +=2．（2019秋•石景山区期末）设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P 点的坐标为,，则12||||(PF PF += )A ．1B C ．2D ．3．（2019秋•东城区期末）已知1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1||PF ，2||PF ，12||F F 构成公比为12的等比数列，则椭圆C 的离心率为( ) A ．16B ．14 C ．13D ．254．（2019秋•西城区期末）已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0)，则a 的值为( )A ．BC ．6D ．85．（2019秋•通州区期末）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，点P 为椭圆C 上一点，且12||||10PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．96．（2019秋•海淀区校级期末）已知椭圆方程为224312x y +=，则椭圆的长轴长为( )A B ．2C ．D ．47．（2019•海淀区校级三模）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D 二．填空题（共6小题）8．（2019秋•西城区期末）设P 是椭圆221259x y +=上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为． 9．（2019秋•东城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是．10．（2018秋•丰台区期末）设1F ，2F 分别是椭圆22195x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则△12F PF 的周长为．11．（2019•西城区二模）以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为；该双曲线的渐近线方程为．12．（2019秋•西城区校级期中）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点(1,0)作斜率0k ≠的直线交椭圆C 于两点P ，Q ，则四边形12F PF Q 的周长为13．（2018秋•西城区期末）已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五个点中，有两个点在1C 上，另有两个点在2C 上．则椭圆1C 的方程为，1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为．三．解答题（共2小题）14．（2020•东城区模拟）已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F ．（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线:(0)l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．15．（2020•西城区校级模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 1)在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF 为定值．椭圆的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22184x y +=B ．221164x y +=C ．221816x y +=D ．221168x y +=【分析】根据题意，作出椭圆的图形分析可得221122||||||||||||||416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，解可得a 的值，又由其离心率可得2c e a ==，解可得c 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：2ABF ∆的周长为16，则有221122||||||||||||||416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，则4a =，又由其离心率22c e a ==，则22c =，2221688b a c =-=-=；又由其焦点在x 轴上，则其标准方程为221168x y +=；故选：D ．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是由2ABF ∆的周长求出a 的值．属于中档题．2．（2019秋•石景山区期末）设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P 点的坐标为23(,，则12||||(PF PF += ) A ．1B 2C ．2D ．22【分析】判断P 的位置，利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：经验证P 的椭圆上的一点，椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P点的坐标为(2，则12||||2PF PF a +== 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆定义的应用，是基本知识的考查．3．（2019秋•东城区期末）已知1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1||PF ，2||PF ，12||F F 构成公比为12的等比数列，则椭圆C 的离心率为( ) A ．16B ．14 C ．13D ．25【分析】1||PF ，2||PF ，12||F F 构成公比为12的等比数列，12||2F F c =，利用等比数列的通项公式可得：1||PF ，2||PF ，再利用椭圆的定义可得：12||||2PF PF a +=，即可得出．【解答】解：1||PF ，2||PF ，12||F F 构成公比为12的等比数列，12||2F F c =， 122||81()2c PF c ∴==，22||412cPF c ==， 12||||842PF PF c c a ∴∴+=+=，解得：16c a =．则椭圆C 的离心率16e =．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（2019秋•西城区期末）已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0)，则a 的值为( )A．BC ．6D ．8【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解a 即可．【解答】解：椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0)，所以椭圆的长轴是x 轴，2=，解得a =．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．（2019秋•通州区期末）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，点P 为椭圆C 上一点，且12||||10PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】由已知求得c ，再由椭圆定义得a ，结合隐含条件求得b ，则椭圆C 的短轴长可求．【解答】解：由椭圆C 的两个焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，得3c =，又P 为椭圆C 上一点，且12||||10PF PF +=，得210a =，5a =．∴4b ==，则椭圆C 的短轴长是28b =．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．6．（2019秋•海淀区校级期末）已知椭圆方程为224312x y +=，则椭圆的长轴长为( )A B ．2C ．D ．4【分析】将椭圆方程转化为标准方程，判断焦点的位置，根据椭圆的性质，即可长轴长．【解答】解：椭圆的标准方程为22143y x +=，所以椭圆的焦点在y 轴上，且24a =，所以椭圆的长轴长为24a =，故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．7．（2019•海淀区校级三模）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c a =，然后根据离心率ce a=，即可得到答案．【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 2c a ∴= 12c e a ∴== 故选：A ．【点评】此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．二．填空题（共6小题）8．（2019秋•西城区期末）设P 是椭圆221259x y +=上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为8 ．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a 的值，结合椭圆的定义可得若M 为椭圆上一点，则有12||||210MF MF a +==，又由题意，分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为221259x y +=，其中255a ==，若P 为椭圆上一点，则有12||||210PF PF a +==，又由P 到左焦点1F 的距离是2，则P 到右焦点的距离为1028-=；故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的定义分析．9．（2019秋•东城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 2[2，1) ．【分析】如图所示，设椭圆的右焦点为F '．连接AF '，BF '．AF BF ⊥，可得四边形AF BF '是矩形，设AF m =，AF n '=，可得2m n a +=，2224m n c +=，利用离心率计算公式、基本不等式的性质即可得出范围．【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为F '．连接AF '，BF '．AF BF ⊥，可得四边形AF BF '是矩形，设AF m =，AF n '=，则2m n a +=，2224m n c +=， 2222221()2c m n e a m n +==+，又(0,1)e ∈， ∴21e <． ∴椭圆的离心率的取值范围是2[2，1)．故答案为：2[，1)．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2018秋•丰台区期末）设1F ，2F 分别是椭圆22195x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则△12F PF 的周长为 10 ．【分析】由题意可知△12PF F 周长1212||||||22PF PF F F a c =++=+，进而计算可得答案．【解答】解：由题意椭圆22195x y +=知：3a =，b 2c =，△12PF F 周长226410a c =+=+=．故答案为：10．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．11．（2019•西城区二模）以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为2214y x -= ；该双曲线的渐近线方程为．【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，可得a ，c ，进而得到b 的值，可得双曲线的方程．然后求解渐近线方程．【解答】解：椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点(0)和焦点(1,0)±，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，可得1a =，c =2b =，可得2214y x -=．双曲线的渐近线方程为：2y x =±．故答案为：2214y x -=；2y x =±．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．12．（2019秋•西城区校级期中）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点(1,0)作斜率0k ≠的直线交椭圆C 于两点P ，Q ，则四边形12F PF Q 的周长为【分析】椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，根据椭圆的性质：122PF PF a +=，122QF QF a +=，得到周长的值．【解答】解：椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，根据椭圆的性质：122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以周长为4a =故答案为：【点评】考查椭圆的性质，基础题．13．（2018秋•西城区期末）已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五个点中，有两个点在1C 上，另有两个点在2C 上．则椭圆1C 的方程为 2214x y += ，1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为．【分析】由表可知：抛物线2C 焦点在x 轴的正半轴，设抛物线22:2(0)C y px p =>，则有22(0)y p x x=≠，(3,-，(4,4)-在2C 上，代入求得24p =，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设22122:1(0)x y C a b a b+=>>，把点(2,0)-，，代入，即可求得椭圆方程，求得左焦点坐标，即可求得1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线2C 焦点在x 轴的正半轴，设抛物线22:2(0)C y px p =>，则有22(0)y p x x=≠，据此验证四个点知(3,-，(4,4)-在2C 上，代入求得24p =，∴抛物线2C 的标准方程为24y x =．则焦点坐标为(1,0)，准线方程为：1x =-，设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，把点(2,0)-，代入得，2a =，224112a b+=，解得1b =，1C ∴的标准方程为2214x y +=；由c ==，左焦点(0)，1C 的左焦点到2C 1．故答案为：2214x y +=1．【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用，考查计算能力，属于中档题．三．解答题（共2小题）14．（2020•东城区模拟）已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F ．（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线:(0)l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】()I 由椭圆的标准方程即可得出；()II 直线:(0)l y kx m k =+≠过点F ，可得:(2)l y k x =-．代入椭圆的标准方程可得：2222(31)121260k x k x k +-+-=．（依题意△0)>．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得根与系数的关系．点P 关于x 轴的对称点为P '，则1(P x '，1)y -．可得直线P Q '的方程可以为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++，把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】解：（Ⅰ）椭圆22:162x y C +=，2224c a b ∴=-=，解得2c =，∴焦点(2,0)F，离心率e =．（Ⅱ）直线:(0)l y kx m k =+≠过点F ， 2m k ∴=-，:(2)l y k x ∴=-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260k x k x k +-+-=．（依题意△0)>．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+．点P 关于x 轴的对称点为P '，则1(P x '，1)y -．∴直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-22222212612223131312(4)31k k k k k k --++==-+．∴直线P Q '过x 轴上定点(3,0)．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为△0>及其根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（2020•西城区校级模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，点P 1)在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF 为定值．【分析】（Ⅰ）椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，即2a =，将点P 1)的坐标代入22214x y b+=，解得：b 即可求得椭圆C 的方程；（Ⅱ）由题意可知：设0(M x ，0)y ，则有220024x y +=，直线MP的方程为1y x -=，令0y =，得0001x x y -=-，从而000||||1x OE y -=-．，同理即可求得000||||1x OF y +=+，则22220000220022(42)||||||||411y x y y OE OF y y ---===--．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，即2a =．[（2分）]将点P 1)的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得：b．[（4分）]∴椭圆C 的方程是22142x y +=．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q 关于x轴于P 对称，得Q 1)-．设0(M x ，0)y ，则有22024x y +=，0x ≠01y ≠±．[（6分）] 直线MP的方程为1y x -=，[（7分）]令0y =，得0001x x y -=-，[（8分）]0|||OE ∴=．第11页（共11页）直线MQ的方程为：1y x +，[（9分）]令0y =，得0x =，[（10分）]0|||OF ∴=． 2222000000002200002222(42)||||||||||||4[1111y x y x y x y y OE OF y y y y -+---∴====-+--（12分）] ||||4OE OF ∴=||||OE OF 为定值．[（14分）]【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．。

2025版高考数学一轮总复习知识必备第八章椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质(含答案)

高考数学一轮总复习知识必备：第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质课程标准有的放矢1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用.必备知识温故知新【教材梳理】椭圆的定义把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.常用结论1.椭圆定义、标准方程相关常用结论（1）在用椭圆定义时，若，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段（包括端点）；若，则轨迹不存在.（2）椭圆的参数方程是.2.椭圆几何性质相关常用结论（1）椭圆中的最值：为椭圆上任一点，为短轴一个端点，则；；；;过焦点的弦中通径最短为.（2）焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形.,, ,的面积为，则在椭圆中有以下结论.①焦点三角形的周长为..③当时，即点的位置为短轴端点时，最大..当时，即点的位置为短轴端点时，取最大值.（3）设，，是椭圆上不同的三点，其中点，关于原点对称，直线，的斜率存在且不为0，则直线与的斜率之积为定值（焦点在轴上）.自主评价牛刀小试1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. （×）（2）椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形. （√）（3）表示焦点在轴上的椭圆. （×）（4）椭圆的离心率越大，椭圆就越圆. （×）（5）与的焦距相等. （√）2. 若方程表示椭圆，则的取值范围是（C）A. B. C. D.解：由方程表示椭圆，知解得且.故选.3. 下列与椭圆焦点相同的椭圆是（D）A. B. C. D.解：椭圆的焦点坐标为和，满足题意的为选项.故选.4. （教材题改编）椭圆的离心率为.解：,,故,.故填.。

高考数学一轮复习学案：9.5 椭圆第1课时椭圆及其性质(含答案)

高考数学一轮复习学案：9.5 椭圆第1课时椭圆及其性质（含答案）9.5椭椭圆圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握椭圆的定义.几何图形.标准方程及简单几何性质.椭圆的定义.标准方程.几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择.填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM||MF1||MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数1若ac，则集合P为椭圆；2若ac，则集合P为线段；3若ab0y2a2x2b21ab0图形性质范围axabybayabxb对称性对称轴坐标轴对称中心原点顶点坐标A1a,0，A2a,0B10，b，B20，bA10，a，A20，aB1b,0，B2b,0轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率eca0,1a，b，c的关系a2b2c2知识拓展点Px0，y0和椭圆的位置关系1点Px0，y0在椭圆内x20a2y20b21.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆2椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距3椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆4方程mx2ny21m0，n0，mn表示的曲线是椭圆5y2a2x2b21ab表示焦点在y轴上的椭圆6x2a2y2b21ab0与y2a2x2b21ab0的焦距相等题组二教材改编2P80A组T31椭圆x210my2m21的焦距为4，则m等于A4B8C4或8D12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10mm24，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m210m4，m8.m4或8.3P49A组T5过点A3，2且与椭圆x29y241有相同焦点的椭圆的方程为A.x215y2101B.x225y2201C.x210y2151D.x220y2151答案A解析由题意知c25，可设椭圆方程为x25y210，则9541，解得10或2舍去，所求椭圆的方程为x215y2101.4P49A组T6已知点P是椭圆x25y241上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________答案152，1或152，1解析设Px，y，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F11,0，F21,0由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入x25y241，得x152，又x0，所以x152，所以P点坐标为152，1或152，1.题组三易错自纠5若方程x25my2m31表示椭圆，则m的取值范围是A3,5B5,3C3,11,5D5,11,3答案C解析由方程表示椭圆知5m0，m30，5mm3，解得30的左.右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y241答案A解析AF1B的周长为43，4a43，a3，离心率为33，c1，ba2c22，椭圆C的方程为x23y221.故选A.第第1课时课时椭圆及其性质椭圆及其性质题型一题型一椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是A椭圆B双曲线C 抛物线D圆答案A解析由条件知|PM||PF|，|PO||PF||PO||PM||OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆2过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为A2B4C8D22答案B解析椭圆方程变形为y21x2141，椭圆长轴长2a2，ABF2的周长为4a4.3xx承德模拟椭圆x24y21的左.右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于A.72B.32C.3D4答案A解析F13，0，PF1x轴，P3，12，|PF1|12，|PF2|41272.4xx呼和浩特模拟已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A1,1是一定点，则|PA||PF|的最大值为________，最小值为________答案6262解析椭圆方程化为x29y251，设F1是椭圆的右焦点，则F12,0，|AF1|2，|PA||PF||PA||PF1|6，又|AF1||PA||PF1||AF1|当P，A，F1共线时等号成立，|PA||PF|62，|PA||PF|62.思维升华椭圆定义的应用技巧1椭圆定义的应用主要有求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长.面积及弦长.最值和离心率等2通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题题型二题型二椭圆的标准方程椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程典例1xx济南调研已知两圆C1x42y2169，C2x42y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为A.x264y2481B.x248y2641C.x248y2641D.x264y2481答案D解析设圆M的半径为r，则|MC1||MC2|13r3r168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.2在ABC中，A4,0，B4,0，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是A.x225y291y0B.y225x291y0C.x216y291y0D.y216x291y0答案A解析由|AC||BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆A，B，C不共线设其方程为x2a2y2b21ab0，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是x225y291y0命题点2利用待定系数法求椭圆方程典例1已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，3，5，则椭圆方程为________答案y210x261解析设椭圆方程为mx2ny21m，n0，mn由322m522n1，3m5n1，解得m16，n110.椭圆方程为y210x261.2过点3，5，且与椭圆y225x291有相同焦点的椭圆的标准方程为________________答案y220x241解析方法一椭圆y225x291的焦点为0，4，0,4，即c4.由椭圆的定义知，2a302542302542，解得a25.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为y220x241.方法二所求椭圆与椭圆y225x291的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21ab0c216，且c2a2b2，故a2b216.又点3，5在所求椭圆上，52a232b21，即5a23b21.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为y220x241.思维升华1求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法2利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形焦点位置，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21m0，n0，mn的形式跟踪训练设F1，F2分别是椭圆Ex2y2b210c0，a2b2c2的左.右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32ac，则椭圆的离心率e的取值范围是__________答案35，22解析因为|PT||PF2|2bc2bc，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为ac2bc2.依题意，有ac2bc232ac，所以ac24bc2，所以ac2bc，所以ac2b，所以ac24a2c2，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得35e22.。