河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试
数学（理科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）
1．设集合2
{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A
B =，则B =（ ）
A ．{1,3}-
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
1．答案：C
解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入2
40x x m -+=，得3m =，所以2
430x x -+=，
即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数
i
12i
a -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12
-
B ．0
C ．12
D ．2
2．答案：D
解析：设
i
i,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21
a b b =-⎧⎨
=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．
2
3．答案：D 解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否
→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．
4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值
是（ ）
A ． 5
B ．3
C
．
5
D
．4．答案：C
解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，
d =
=
=
5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC
边上的中线2AD AB =
=，则
ABC S =△（ ）
A ．3
B
．C
．D ．6
5．答案：C
解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2
2
2
2cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即
2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，
1
sin 602
ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）
A ．3
B
．C
．D
6．答案：A
解析：该几何体的直观图如图所示，
则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======
所以最长的棱为3
A
B
C
D
7．已知数列{}n a
满足110,()n a a n N *+==
∈，则20a =（ ）
A ．0
B
．C
D
7．答案：B
解析：解法1
：123410,02
a a a a a -===
===-，周期3T =，
所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =
，11tan tan
3tan 1tan tan 3
n n n a π
ααπ
α++-==
=
+
tan 3n πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，
13n n απ-=-
，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫
=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A ．110,
3⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．511,
23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得
3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332
,322
32k k Z k π
ππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+
⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212
k -<≤，又因为
k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）
A ．17,224πωϕ==
B ．211,312π
ωϕ==-
C ．111,324πωϕ==-
D ．2,312
π
ωϕ==
9．答案：D
解析：根据题意
1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21
T k Z k π
=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122
x k k Z ππ
ωϕϕπ+=+=+∈
212
k π
ϕπ∴=+
，又因为ϕπ<，所以12
π
ϕ=
10．已知函数3
1()x
x
f x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,(2,)2⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭ B ．1,[2,)2
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．答案：C
解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以
()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以1
22
a ≤≤
11．已知函数32
()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B
．,2⎛-∞- ⎝
⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-
11．答案：B
解析：2
()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-
，所以003
a
x =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，
所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23
a
x =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须3
41027
a +<
，解得2a <-
12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．2±
C ．1
2
或3 D ．1或2 12．答案：D
解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，
[2,4]2
x
∈，()2x f x cf ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1
()(2)f x f x c
=，所以在区间[1,2]上，
当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据题意，(3,1)A ，
(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点共线，所以111332
c c -
-=，解得1c =或2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：
85
解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，
(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，
所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685
,2
55λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨
⎪=⎪⎩
A
M
x
14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式
(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．
15．答案：1009-
解析：由题意可得221222
22
21212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S
>，
所以222n S +
=，
所以)n N *
=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，
2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得3
12S =，所以数列
2
=为首
1
=1n =+，即2
2(1)n S n =+
，
故21(1)(2)n S n n -=
=++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，
所以2016201620151009a S S =-=-
16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,
42()11, 1.4x
x x f x x π⎧⎛⎫
⎪⎪⎝⎭⎪
=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭
⎩≤≤， 若关于x 的方程2
5[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a
的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或5
4
a =
解析：由2
5[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5
f x =
或
()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65
154
<<，所以该方程有4个根；因
（2）求cos 2sin 22B --
⎪⎝⎭
的取值范围．
17．解：（1
cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：
cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，
故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，
0πB <<，sin 0B ∴≠
，cos A ∴=
0πA <
<，所以6
π
A = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC
B B
C B A B ⎛⎫
--=+-=-+-
⎪⎝⎭
3sin cos
cos sin
sin 1sin 116626ππ
πB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝
⎭
由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，
116πB ⎛⎤⎛
⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2
(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．
（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)X
N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-
<<+=-<<+=
18．解：因为语文成绩服从正态分布2
(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为
11
(135)(10.96)0.022
p P X =>=-⨯=，
数学成绩特别优秀的概率为23
0.0016200.0244
p =⨯⨯
= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），
数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）
（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3
3211231010610663333
16161616327151
(0),(1),(2),(3),14565628
C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以
的分布列为
()0123145656288
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）
19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，
11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC
C 沿1CC 折起，
如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①
②
A
C
B
A 1
C 1
B 1
A
C
B
A 1
C 1
B 1
（1）求证：11AB CC ⊥；
（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．
19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且
11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，
所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO
B O O =，所以1C
C ⊥平面1AOB ，又因
为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）
A
C B
A 1
C 1
B
1
O
（2）由已知得1OA OB AB ===222
1OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以
11,,OB OC
OA 的方向为x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得
11(0,1,0),
3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,
,)m x y z =，
1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130
AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨
⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．
设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB
AA =-=，
由122123020
AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪
⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =
，
于是cos ,5m n m n m n
⋅=
=
=⨯⋅．
因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为 20．（本小题满分12分）已知曲线2
()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；
（2）若2
()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．
20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1
(1)2
f a f a b ==⎧⎨
'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）
（2）由22
ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1
x x k x ++≤恒成立，令
2ln ()(0)1
x x
g x x x +=>+，则22
(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，
所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）已知函数2
11()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
（a 为常数，0a >）．
（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；
（2）当()y f x =在1
2
x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相
等的实数根，求实数b 的取值范围；
（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使不等式2
0()(23)f x m a a >+-成立，求实
数m 的取值范围．
21．解：（1）当1a =时，2
11()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，
又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3
(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）
（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212
a f a a
⎛⎫
'=
+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=
+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31
ln 42
b -<≤．…………（6分）
（3）2
222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax
⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==
+++， 因为12a <<，所以
221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫
==++- ⎪⎝⎭
．
问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式2
11ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭
恒成立，
设2
11()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭
，
则212(41)2()12211
ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即1
8
m -≤．
当18m -≤时，设2
()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m
=--<，又20m ->，
开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)
内单调递增，()(1)0h a h >=，即2
11ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．
于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使不等式2
0()(23)f x m a a >+-成立．
综上可知，1
8
m -≤…………………………（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为
1,12
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．
22．解：（1）将4c o s ρθ=化为2
4cos ρρθ=，由2
2
2
,c o s ρρθx y x =+=，得2
2
4x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
(2)4x y
-+=．
由1,12
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩消去t 解得10x
+=， 所以直线l
10x +=……………………（5分）
（2）把1,212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入22
(2)4x y -+=，整理得
2
50t -+=，设其两根为12,t t ，则 121
25t
t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）
方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2
r =，圆心C 到直线
l 的距离32
d =， 所以
PQ ==………………（10分）
方法3，将1
x =-代入22
(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：
1212524
y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．
（1）解不等式()5g x <；
（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．
23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<
（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以
{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，
解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。