矩形薄板的横向振动
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，能够在固有模态下以多少频率振动。
这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。
以下将详细介绍如何计算四边支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。
对于四边支承矩形薄板来说，其振动方程为二维拉普拉斯方程：∇^2u+k^2u=0其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。
在四边支承的情况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：u(0,y)=u(a,y)=0u(x,0)=u(x,b)=0其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄板的两个垂直边界。
这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄板被四边支撑。
这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值问题。
通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。
具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两个一维波动方程。
然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。
解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。
对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
在使用数值解法时，我们需要将薄板分割成小的单元，并在每个单元上使用适当的数学模型和数值方法。
然后，我们可以通过迭代计算来获得薄板的固有频率。
在实际计算中，我们还需要确定薄板的材料参数，如杨氏模量、泊松比和密度。
这些材料参数可以通过实验测试获得，或者根据已有的文献和标准进行估算。
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动是一种常见的力学问题，它涉及到矩形板的振动及其影响因素。
本文将介绍各向异性矩形板自由振动的一般解析解法。
首先，我们需要确定矩形板的几何参数，包括长度L、宽度W、厚度h以及材料参数，如
板的弹性模量E、泊松比μ等。
其次，我们需要确定矩形板的自由振动模态，即矩形板的振动形式。
一般来说，矩形板的
自由振动模态可以分为两类：一类是横向振动模态，即矩形板在横向方向上的振动；另一类是纵向振动模态，即矩形板在纵向方向上的振动。
最后，我们需要求解矩形板的自由振动方程，即求解矩形板的振动频率和振幅。
一般来说，矩形板的自由振动方程可以用拉普拉斯变换法求解，即将矩形板的自由振动方程转换为拉
普拉斯变换的形式，然后求解拉普拉斯变换的结果，从而得到矩形板的振动频率和振幅。
总之，各向异性矩形板自由振动的一般解析解法包括确定矩形板的几何参数和材料参数，确定矩形板的自由振动模态，以及求解矩形板的自由振动方程。
通过这种解析解法，我们
可以获得矩形板的振动频率和振幅，从而更好地了解矩形板的振动特性。
轴向运动矩形薄膜的横向振动控制
T
T
式中 , i = 1 , 2 , 3 , … , m ; j = 1 , 2 , 3 , … , n 。
w 0 , j = 0 ; w m+1 , j = 0 w i , 0 = 0 ; w i , n+1 = 0
T T
( 5)
设 W = [ w 1 , 1 w 1 , 2 … w 2 , 1 w 2 , 2 …
(・ ) 的范数 。可以证明 [ 8 ] : X0 P X0 的上限为矩阵 P
的迹 , 这样 , 性能指标 J 用 Tr ( P) 表示 。
4 数值计算
需要指出的是 , 轴向运动矩形薄膜存在一个临 界速度 ccr = 1 。在 c < 1 时 , 系统呈线性稳定性状 态 ; 当 c > ccr 时 , 系统会出现非线性稳定性现象 。本 文仅考虑 c < 1 的情况 , 取无量纲轴向运动速度 c = 0 . 5 。在 c = 0 . 5 ,λ= 0 . 5 ,μ= 1 的情况 , 用 4 × 4 的网 格进行计算 , 如图 3 所示 。
式中 , g ij 为矩阵 G = F - F 的第 i 行第 j 列元素 。 该式还可以写成 :
J
3 3
=
Tr ( F - F 3 ) T ( F - F 3 )
3 T T -1 K = F C (C C )
( 16) ( 17)
对 J 取极小 , 可求得 : 由式 ( 13 ) 可见 , 性能指标 J 与初始状态矢量 X0 有 关 。为消除 J 对 X0 的依赖性 , 令 X0 为分布在范数 为 1 的球面上的随机变量 , 记 ‖X0 ‖= 1 , ‖・‖ 为
T y 为其受到的单位长度的拉力 , a 、 b 分别为 x 和 y
矩形薄板的振动
即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
2M y
4.94
因
2014年3月15日 《振动力学》
M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
11
连续系统的振动
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
2014年3月15日 《振动力学》
18
连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
2014年3月15日 《振动力学》
2
连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
任意四边形板的振动问题
任意四边形板的振动问题任意四边形板的振动问题引言：振动是物体在作用力的作用下，围绕平衡位置来回运动的现象。
振动问题是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到各种不同形状和材质的物体。
本文将讨论任意四边形板的振动问题，探讨其振动模式和频率。
一、四边形板的基本特性四边形板是指具有四个不同长度的边和四个不同角度的角的平面形状。
它可以是矩形、平行四边形、梯形等等。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
二、矩形板的振动问题矩形板是最简单的四边形板，它具有两个相等的对边和四个直角。
矩形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个对边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个直角边同时向内或向外运动。
对于矩形板的振动问题，我们可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
三、平行四边形板的振动问题平行四边形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与矩形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
平行四边形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于平行四边形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
四、梯形板的振动问题梯形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与平行四边形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
梯形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于梯形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
结论：任意四边形板的振动问题是一个复杂而有趣的研究领域。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
矩形板、平行四边形板和梯形板是最常见的四边形板，它们的振动模式和频率可以通过求解波动方程和边界条件来得到。
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。
薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。
设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。
图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。
为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。
根据假定（4），剪切应变分量为零。
由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
ｔ ｈ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｕｃ ｒ ｔ ｕ ｒ ｅ ｉ ｎ ｒ ｅ ｌ ａ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ，ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ ｆ ｒ ｅ ｅ ｄ ｏ ｍ ｏ ｆ ｍａ ｓ ｓ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｇ ｒ ｅ ｅ ｓ ｏ ｆ ｆ ｒ ｅ ｅ ｄ ｏ ｍ ，Ｓ Ｏ ａ ｓ
ｔ ａ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕｃ ｔ ｕ ｒ ｅ，ｉ ｔ ｓ ｎ ａ ｔ ｕｒ ａ ｌ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎｃ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ， ｉ ｔ ｓ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａｓ ｅｓ ｔ ａ ｂ—
结 构振 动 的横 向 位 移 幅值 ， 利 用静 力 凝 聚 法 将 质 量 矩 阵和 刚度 矩 阵 中转 动 自由度 上 的 质 量 和 刚 度 凝 聚 到 横 向 振 动 自 由度 上 ， 以达 到 降低 模 型 阶 目的 ， 为板 结构 振 动 主动 控 制 奠 定基 础 。 ｓ ｈ ｅ ｄ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｗ ｏ—ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ａ ｍ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｉｎ ｒ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ．Ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ，ｔ ｈ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ａ ｓ ｅ ｍｐ ｌ ｏ ｙ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ｅ ｍａ ｓ ｓ ｍａ —
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
第三章板壳理论
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
多激励作用下的矩形薄板横向非线性振动分析
=1,2,
* • ,7 / 15) in which 3 ,•
were the incommensurable nonlinear response frequencies, the corresponding calculation process of
the IHB method was presented. As a numerical example, the system displacement response time histories diagrams, spectrum diagrams, phase diagrams and Poincare maps were obtained with the IHB method under different excitations, and the quasi-periodic motions of the plate under external multi-excitations were analyzed. Meanwhile, it was shown that the results obtained with the IHB method are in good agreement with those obtained with the numerical integration method; the correctness and effectiveness of the IHB method are verified .
Key words ： rectangular thin plate ; nonlinear vibration ； incremental harmonic balance method; multi-force
四边自由矩形板横向振动的近似解及其实验
Vol.37 No.5 2018
四边自由矩形板横向振动的近似解及其实验
付 江 松 ，徐 鉴
(同 济 大 学 航 空 航 天 与 力 学 学 院 ，上 海 200092)
摘 要 ：针对四边自由矩形板横向振动目前没有精确解的问题，构造出四边自由矩形板横向振动振型函数的一种
航 天 器 进 入 太 空 后 ，太 阳 能 帆 板 大 多 暴 露 在 航 天
基 金 项 目 ：国家自然科学基金项目（11572224) 收稿日期；2016 -09 - 2 9 修改稿收到日期；2 0 1 7 - 0 1 - 1 8 第 一 作 者 付 江 松 男 ，博 士 生 ,1992年生 通 信 作 者 徐 鉴 男 ，博 士 ，教 授 ,1961年生
of
the
plate are
obta
excitation frequency range of 0 to 2 000 Hz. Comparing the experiment results ( Chladni patterns) to the standing wave
patterns in the approximate
中图分类号：TH212; TH213.3
文 献 标 志 码 ：A
DOI：10. 13465/j. cnki. jvs. 2018.05.014
A n a p p r o x i m a t e solutionto transverse vibrationof a rectangular
plate with 4 free edges a n d its experimental verification
approximate solution
筋上有开口裂缝的加筋矩形板横向振动特性分析
筋上有开口裂缝的加筋矩形板横向振动特性分析作者：王志强周叮霍瑞丽李雪红来源：《振动工程学报》2023年第04期摘要利用能量法分析筋上含有开口裂缝的四边简支加筋矩形板的横向振动。
将矩形板与加强筋沿交界面切开，再将加强筋沿裂缝分成多个子块，采用薄板弯曲和平面应力理论分别建立矩形板和各子块的横向振动能量方程，解决了传统分析方法需给定开裂处筋的弯曲刚度问题。
采用第一类切比雪夫多项式构造矩形板和各子块的位移试函数，由Ritz法和板‑筋界面变形连续条件得出含有开口裂缝的加筋矩形板的横向振动特征方程。
计算结果与有限元分析结果吻合很好，详细分析了裂缝深度和裂缝位置对无量纲频率的影响。
关键词加筋矩形板; 横向振动; 裂缝; Chebyshev‑Ritz法引言加筋板的稳定性和承载力较大，因而在土木、机械等工程中被广泛应用，例如跨度较大的加筋楼板、带肋的桥面板等结构，由于结构初始缺陷和长期承受动荷载作用，加强筋容易产生裂缝。
近年来国内外对加筋板结构振动特性的分析很多，但是对于含有开口裂缝的加筋矩形板振动特性的研究还相对较少。
因此需要了解此类型加筋矩形板的振动特性，为其在工程应用中提供一定的理论依据。
对于加筋板振动特性的分析，通常采用有限元等数值计算或者试验测试。
Rao等［1］考虑了加筋板内加强筋分布角度的影响，将加筋板离散化，利用Lagrange方程求解加筋板的固有频率。
Samanta等［2］提出了一种通用的三节点三角形壳单元，可以灵活地分析加筋板的振动特性。
Peng等［3］基于一阶剪切变形理论提出了无网格伽辽金方法。
Bhaskar等［4］使用弹性力学和经典力学计算了四边简支加筋板的无量纲频率，并与各种近似模型进行了比较。
李凯等［5］利用能量泛函变分以及拉格朗日乘子得到加筋板的特征方程。
杜菲等［6］利用Rayleigh‑Ritz法求解四边固支加筋板的固有频率，计算结果与ANSYS分析和实验结果吻合均较好。
游翔宇等［7］运用边光滑有限元方法对加筋板的静力问题和动力问题进行分析。
矩形薄板的振动.
中面位置上，如图4.27所示。设板上任意一点a的位置，将
由变形前的坐标 x、y、z来确定。
2018年12月18日
图 4.27
4
连续系统的振动
根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互 独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移
w(x,y,t)所决定。
根据假定（3），可认为处处为零。 根据假定（4），剪切应变分量 不难看出，板上任意一点a(x,y,z)沿x,y,z三个方向的位 移分量u,v,w分别为
Ym (y)=C1mch(1m y)+C2msh(1m y)+C3mcos(2m y)+C4msin(2m y)
2018年12月18日 《振动力学》
（4.110）
19
连续系统的振动
式中
m 2 k ( ) , a m 22m k 2 ( )2 a
2 1m 2
再由y=0及y=b的边界条件，由式（4.110）可求得Cim(i=1,2,34) 的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程 式，从而求出固有频率。
D 2 k h
D h
m 2 n 2 a b
连续系统的振动
整理后，可得
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
4.91
M
x
0 M y
Qy 1 M y dx ( M y dx dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx ) 0 x
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。 2. 矩形板横向振动微分方程的解 矩形板的横向自由振动的微分方程为
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
数为 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）。则薄板横向自由振动的基本微分方程为：
鄣４ｗ ＋２ 鄣４ｗ ＋ 鄣４ｗ ＋ ρh 鄣２ｗ ＝０
（１）
鄣ｘ４ 鄣ｘ２鄣ｙ２ 鄣ｙ４ Ｄ 鄣ｔ２
式中：Ｄ ＝ Eh １２（１－μ２）
— ５０８ —
其中：Ｅ 为材料的弹性模量，ρ 为材料密度，μ 为材料泊松比。
式（１）是关于挠曲面函数 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
［摘 要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板 横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。 ［关键词］弹性薄板 横向振动 基本理论 振动方程
弹性体振动理论分析质量和刚度都是连续分布的结构，本质上认
为结构由无穷多质量点组成，并用空间连续函数来反映结构的运动状
＋μ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０，ｋｗｗ －Ｄ
ｙ＝ｙ０
鄣３ｗ 鄣ｙ３
－（２－μ）Ｄ
鄣３ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｄ）
（５）弹性嵌固边 若平板边界连接在垂直方向不可移动，但在垂直
边界平面内可转动（可用弹簧常数为 ｋΦ 的螺旋弹簧表示）的结构上，其 边缘上各点挠度为零，而弯矩由弹簧支承力矩产生，即：
板壳理论 15
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度