湖北省武汉六中高三(国际部)数学复习课件：4.2三角函数图像的变换

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三角函数图像变换ppt

分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z）图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1）当函数y取最大值时，求自变量x的集合；（ 2）该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4

三角函数的图像及其变换

振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一个常数，可以改变函数图像的形状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学问题中也有应用，例如在几何学和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π，图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度，但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周期从2π变为π，图像长度也减半。

高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修

这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变了图像的周期，还会影响函数的相位。例如，将x轴缩短为原来的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是指保持x轴不变，通过改变y轴的长度来改变整个图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为旋转角度。

三角函数图像变换课件

利用三角函数的和差化积公式，将复杂波形分解为简单波形的组合。
考虑不同波形的振幅、频率和相位差，合理调整参数以生成目标波形。
利用傅里叶级数展开分析复杂波形
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，适用于分析复杂波形。
利用傅里叶级数的系数，可以定量描述波形中各频率成分的振幅和相位。
波形
正弦函数的图像呈现出平滑的波形，具有连续
性和可导性。
余弦函数图像特点
01
02
03
04
周期性
余弦函数同样是周期函数，其图像在x轴上无限延伸，且每隔
2π个单位重复一次。
振幅
余弦函数的振幅也是1，表示图像在y轴上的最大偏移量为1。
相位
余弦函数的相位与正弦函数相差π/2，因此其图像相对于正
弦函数有一定的平移。
鼓励学生提出自己的见解和思考，促进课堂交流和互动。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
波形
余弦函数的图像也呈现出平滑的波形，与正弦函数类似，但
相位不同。
正切函数图像特点
周期性
正切函数是周期函数，其周期为π，图像在x轴上无限延伸，且每隔π个单位重复一
次。
趋于无穷
当x趋近于(kπ + π/2)时，正切函数的值会趋于无穷大或无穷小，因此在这些点上图
像会出现垂直渐近线。
不连续性
正切函数在(kπ + π/2)处存在间断点，其中k为整数，因此在这些点上图像不连续。
应用举例
在振动分析、图像处理等领域中，伸缩变换常用于调整信号的频率、幅度等参数。
周期性和对称性变换
周期性定义
三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重复出现。通过周期性变换，可以实现函数图像的重复和延拓。

三角函数图像变化PPT课件

2
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+

2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长（纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长缩短
y sin 2 x

6
0
得到sinωx x∈R在长度为一个周期的闭区间上简图
沿x轴平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度为一个周期的闭区间上简图

3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位

湖北省武汉六中高三数学复习课件：4.2三角函数图像的变换

g x af k x d d
If we apply this to the sine and cosine functions, we get
f x sin x
g x a sin k x d c
f x cos x
g x a cos k x d c
第三页，编辑于星期日：十五点四十一分。
3
3
c=6
the axis of curve is y = 6
第八页，编辑于星期日：十五点四十一分。
Example 2: Notes
The tip of the day:
Always factor the coefficient on the x-term to correctly identify the transformations
1. Draw a horizontal line that divides the function in half
(axis of curve)
2. Locate the starting point of a sine/cosine period and mark
this point with an A.
3. Locate the ending point of a sine/cosine period and mark this point with a B.
4. Determine the horizontal distance between these two points (the period).
right and it has been reflected in the x-axis
6
第十二页，编辑于星期日：十五点四十一分。

高中数学课件三角函数式的变换演示文稿

高中数学课件三角函数式的变换演示文稿
第一页，共15页。
优选高中数学课件三角函数式的变换
第二页，共15页。
第一部分：同角三角函数关系式及诱导公式
• 同角三角函数的基本关系
• 同角函数的诱导公式
第三页，共15页。
同角三角函数的基本关系
• 倒数关系：sinαcscα=1，
cosαsecα=1,tanαcotα=1
• 商数关系：
sinα/cosα=tanα;cosα/sinα=cotα
• 平方关系：sinα的平方+cosα的平方=1
第四页，共15页。
同角函数的诱导公式之诱导公式的内容
-α π-α π+α 2π-α 2kπ+α sin -sinα sinα –sinα –sinα sinα cos cosα -cosα –cosα cosα cosα
熟练掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等。
第十三页，共15页。
公式大集合
• 两角和与差
sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
(sinα-cosα)的平方=1-2sinαcosα
（sinα+cosα）的平方+(sinα-cosα)的平方=2
（sinα+cosα）的平方-(sinα-cosα)的平方=4sinαcosα
第八页，共15页。
Tips
“1”的代换： 1= sinα的平方+cosα的平方
1=secα的平方-tanα的平方 1=cscα的平方-cotα的平方 1=cosαsecα 1=sinαcscα

湖北省武汉六中高三(国际部)数学复习课件4.4三角函数的二次方程

Summary
• A quadratic trigonometric equation involves one of the six trigonometric ratios raised to an exponent of two – In the interval 0 to 2π there can be as many as four solutions
• Quadratic trigonometric equations can have as many as four answers
• Solve:
Example 2
cos2 x cosfox r 2xε[00, 2π]
Example 2: Solution
There is an x-term but the equation is factorable To better see this, let’s do a substitution:
x tan1 1.281
x 0.908
The RAA is 0.908
In quadrant II, this becomes: 0.908 2.234 rad In quadrant IV, this becomes: 2 0.908 5.375 rad
Therefore, the solutions are: x = 0.663 rad, x= 3.805 rad, x = 2.234 rad and x = 5.375 rad
Note: It may be necessary to use a reciprocal identity now
Practice Problems
• P. 287-288 #7, 9-12, 14-19

湖北省武汉六中高三(国际部)数学复习课件3.1三角函数定义

• The reason for this is that there is another unit used to measure angles – the RADIAN
• The default unit for angles on a TI-83 is the radian, not the degree
Example 2: Solution
• Before proceeding, make sure your calculator is in DEGREES
• On your TI-83 press MODE, move down to DEGREES and press ENTER. Then 2nd QUIT
Example 2: Solution
(b) Because there is no “sec” button on
your calculator, we need to use the
definitiosencofs2e.3c4ant:
1 2.34
cos
cos 1
2.34
cos1
1 2.34
(a)Because there is no “csc” button on your calculator, we need to use the definition of cosecant:
csc 25 1 sin 25
1 0.4226
2.3662
There is a “sin” button on your calculator
UNIT CIRCLE Radius = 1 unit Centre at origin
The radian is defined such that these two quantities are equal:

湖北省武汉六中高三数学复习课件：4.1三角函数的图像

NextKnown as trigonometric functions In grade 12, we will create graphs of sin, cos and tan for angles
between 0 and 2π
The period is the horizontal length of the repeating pattern
The axis of curve is equation of the horizontal line that cuts the graph in half
The amplitude is vertical distance from the axis of curve to the maximum (or minimum) point Because it is a distance, the amplitude is always positive
The graph of tan has vertical asymptotes!
第十四页，编辑于星期日：十五点四十一分。
Example 3: Notes
Although it is periodic (period = π), the graph of
f(x) = tan x looks nothing like f(x) = sin x or f(x) = cos x
Minimum
第五页，编辑于星期日：十五点四十一分。
Properties of the Graph of cos
Maximum Amplitude
Axis of curve
One period
Period: 360˚ Axis of curve: The line y=0

湖北省武汉六中高三(国际部)数学复习课件3.3三角函数角度变换

tan 3 3
tan
1
63
14
2
4
1
sin cos 1 4 42
tan 1 4
Use the CAST rule to determine the sign of the trig ratio for angles that are multiples of these special angles
These are both special
4 3
3 4 12 12 12
Use compound angle formula #2
angles
Therefore,
cos
12
cos
3
4
cos cos sin sin
3 4 34
Now we use the special triangles
1 1 3 1 22 2 2
1 3 22 22
1 3 22
Example 3: Notes
• Always check questions like these on
your calculator:
cos 0.9659
12
1 3 0.9659 22
• This agreecsosw12ith12w h23at we found
cos cos 63
sin sin
63
cos6Biblioteka 3cos6
2
6
Single trig expression
Exact value
cos
3
6
cos
2
0
Example 2
• Use an appropriate compound angle

高中数学三角函数图象的变换优秀课件

12
3
4
D
A y sin( x ) f x 3cos x 53
反思小结
逆向变换， “严格倒推〞
正向变换
先伸缩后平移
先平移后伸缩
横向的变换都异名变换，异化同
是针对“x”而言
sin(x ) cosx 2
cos(x ) sin x
2
课堂提升
心中能有“图〞
下笔能作“图〞
以“不变〞应 “万变〞
三角函数图象与性质
专题复习
xx石室蜀都教师：林欢
目录
课堂提升
课前检测
知识回忆
定义域
两域值域
函数四性
单调性奇偶性周期性
变换
三角函数
一图
对称性
y sin x, y cosx
整体思想
y Asin(x )
类比思想
课堂检测反思小结

知目标函数求初始函数
思考练习
左 11
12
或右
12
课堂小结
1 要有扎实的“图象变换〞根本知
识
2
“整体思想〞要扎根
3 面对“特殊变换〞有应对策略
作业
学案上的课后作业
谢谢聆听
敬请批评指正

高中数学课件_三角函数式的变换18页PPT

10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而鲁莽，倔强而有原则，热情而不冲动，乐观而不盲目。 ——马克思
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学课件_三角函数式的变换
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ——马卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律，否则一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！

高中数学课件三角函数的图像变换(一)

6
C、先将各点横坐标变为原来的3倍，再向左平移个单位

D、先将各点横坐标变为原来的3倍，再向右平移 6 个单位
）
-18练习3、要想得到函数 y sin
1

1
x 的图像，只需将函数 y sin x 2 的图像（
2
6
2

A、先向下平移2个单位，再向左平移 3பைடு நூலகம்个单位
在确定正弦函数 y sin xx 0,2 的图像时，起关键作用的五个点是：
0, 0 ，

,1，
2
, 0 ，
3

, 1，
2

② y sin x 的图像与性质：
y sin x 的值域： 1,1 ，周期：2
2 , 0
-7-
-8-

2
T
决定函数周期，引起函数图像的横向伸缩
-9-
（振幅）：引起图像的纵向伸缩，它决定函数的最值
-10-
-11-

图像向左平移

4
2 8个单位
平移变换总是对变量 x 而言
-12-
例题讲解
-13-

例题1、已知 f x 3 sin 2 x 1 ，则 f x 的图像是由 y sin x 的图像如何变换而来？
即“上加下减”。
a个单位长度，
-62、 A、、对函数图像的影响
=

= sin(2 + 4 )（简谐运动）
3、三角函数图像变换的两种方法

用两种方法进行函数 y sin x 到函数 y 3sin 2 x

高三寒假复习讲义第4章第2讲三角函数的图象变换及应用

高三寒假复习讲义第2讲三角函数的图象变换及应用考点一三角函数的图象及变换1 用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：x －φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 02 y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相，ω叫做角速度．3 三角函数的图象变换及其应用由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤注意点y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中各个字母的含义A 所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A 倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的1ω倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，简称为相位变换.1．思维辨析(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中的ω一定大于零．( ) (2)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8只需向左平移π8个单位．( ) (3)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( ) (4)若sin x >22，则x >π4.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π8个单位长度B ．向左平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度答案 A解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8由函数图象平移规律可知A 正确．3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A解析由T ＝π知ω＝2πT＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．[考法综述] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A 、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角的恒等变换问题，题型多以客观题为主，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及．命题法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换及解析式求法典例 (1)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位(2)如图是函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位，故选C. (2)由图象知，A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝32，由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π，∴φ＝－3π4. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3π4＋2.[答案] (1)C (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3π4＋2【解题法】三角函数解析式的求法和图象变换技巧 (1)已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法 ①求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.②求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.③求φ，常用方法有：a ．代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．b ．五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0，“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2)关于三角函数的图象变换的方法 ①平移变换a ．沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．b ．沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移． ②伸缩变换a ．沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍．b ．沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍．1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B.2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.3.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 D解析由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6，由正弦函数易得f (0)>f (－2)>f (2)．故选A.5.若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象．由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.6．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0π2 π3π2 2πxπ3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 13π12 A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.考点二三角函数的性质及应用三角函数的图象与性质三角函数正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x正切函数y ＝tan x图象定义域 R R 错误!值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎢⎡π2＋2kπ，⎦⎥⎤3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数最值当且仅当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1—周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)注意点正切函数的单调区间正切函数y ＝tan x 在定义域上不是单调函数，但存在单调区间，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k∈Z 为其单调递增区间.1．思维辨析(1)正弦函数y ＝sin x 在其任一周期内都只有一个增区间，一个减区间．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6 B.11π6C.7π6D.5π6答案 B解析将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位后，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z )，又0≤φ<2π，所以φ＝116π.3．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2B.12 C ．3 D.13答案 B解析由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2cos 2π3ω＝1，即cos2π3ω＝12.经验证，得出选项B 符合．[考法综述] 三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用．命题法 y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的性质及应用典例已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f (x )的周期为π，所以2π|ω|＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．【解题法】三角函数性质问题的解题策略 (1)三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略 ①已知三角函数解析式求单调区间a ．求函数的单调区间应遵循简单化原则：将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．b ．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． (2)求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)． ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法①若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )＝0.②求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|，T ＝2π|ω|，T ＝π|ω|求解． ③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,2][错解][错因分析] 不能准确利用集合的关系，把问题进行等价转化是求解的关键，利用正弦函数的单调性，确定f (x )的单调减区间，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为其子区间．[正解] 结合y ＝sin ωx 的图象可知y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2ω，3π2ω 上单调递减，而y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω，可知y ＝sin ωx 的图象向左平移π4ω个单位之后可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象，故y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4ω，5π4ω单调递减，故应有⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4ω，5π4ω，解得12≤ω≤54. [答案] A [心得体会]………………………………………………时间：60分钟基础组1.[·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010. 2．[·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 D解析易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.3．[·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．[·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6， ∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos2x ，∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B.5．[·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛2x ＋π3＋φ⎭⎫ ，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A. 6．[·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称B ．图象关于x ＝－π6轴对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减答案 C解析函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3≠0，A 不正确；令x ＝－π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故选C. 7．[·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增答案 B解析设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π12，k π＋⎦⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确．8．[·冀州中学模拟]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4C ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4答案 B解析由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π2，可得φ＝π4，故选B.9．[·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )解析由题意知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．10．[·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 11．[·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.12．[·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x 2＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1，由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4，∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.能力组13. [·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3 B.23π C.43π D.π3或43π 答案 D解析要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3. 14. [·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是________．答案 ②④解析将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.15. [·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16．[·枣强中学月考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin2ωx －12cos2ωx －4×1－cos2ωx 2＋2＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋m ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。