数学选修模块测试题(北师大版2-2)

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北师大版高中数学选修2-2第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题

A.12米/秒B.8米/秒C.6米/秒D.8米/秒A . 1 12B.-1C.—3D.5.C.-2<b<22A.b<-B.b>一22下面几种推理中是演绎推理的为由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；猜想数列丄,丄，丄，…的通项公式为a=1（n G N）；1x22x33x4n n（n+1）+A.B.D.b<2C .第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题第I卷（选择题，共60分）命题人：班级姓名说明：本试卷共二卷，一卷客观题答在答题卡上，共计80分，二卷解答题共六道大题,记70分，必须写明运算过程，只有答案无过程不得分。

第一卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4-2t+12,贝y该物体在4秒末的瞬时速度是2.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为为3.给出下列四个命题：（1）若z G C，则z2>0；（2）2i-1虚部是2i；（3）若a>b,贝贝a+i>b+i；（4）若z,z，且z>z，则z,z为实数；其中正确命题的个数为121212----A.1个B.2个C.3个D.4个4.在复平面内复数（i+bi）（2+i）（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，贝血的取值范围是半径为r圆的面积S—nr2,则单位圆的面积S—nD.由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）2+（y-b）2二r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2二r2.6.已知f(x)=(2x+1)3—+3a，若广(—1)=8，则f(-1)=xA.4B.5C.-2D.-37.若函数f(x)=In x一ax在点P(1,b)处的切线与x+3y—2=0垂直，则2a+b等于A.2B.0C.-1D.-228.J2(sinx+cosx)Dx的值为2。

高中数学北师大版选修2-2模块综合测试2 Word版含解析

选修－模块综合测试(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．[·江西高考]已知集合＝{，}，为虚数单位，＝{}，∩＝{}，则复数＝( )．－．．－．解析：由∩＝{}知∈，所以＝，＝－，选.答案：．凡自然数是整数，是自然数，所以是整数，以上三段论推理( )．正确．推理形式不正确．两个“自然数”概念不一样．两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选.答案：．函数＝＋单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．＝．＝．＝解析：可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．函数＝＋在(，＋∞)上的最小值为( )．．．．解析：′＝－，令′()＝，得＝(＝－舍去)，而∈()，′()<，∈(，＋∞)，′()>，∴＝是函数的最小值点，且()＝.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( )．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，＝.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝时，由＝到＝＋左边需要添加的项是( )．．．．解析：由＝到＝＋时，左边需要添加的项是＝.故选.答案：．[·陕西高考]已知复数＝－，则·的值为( )．．．．解析：∵＝－，∴＝＋，∴·＝(－)(＋)＝＋＝.故选.答案：．若函数()＝－＋在()内有极大值，在()内有极小值，则实数的取值范围是( )．<< ．<<．>或< ．<<解析：命题⇔′()＝在()，()都有根，且′()>，′()<，′()>，′()＝－＋，即(\\(>－<－>))⇒<<，故选.答案：．定义复数的一种运算]＋)(等式右边为普通运算)，若复数＝＋，且正实数，满足＋＝，则*的最小值为( )．．．．解析：*＝＝＝＝，又∵≤＝，∴－≥－，*≥＝＝.答案：．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()。

北师大版高中数学选修2-2模块综合测评

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】 B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】 D6.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点.【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )【导学号：94210089】A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C.a k －1＋a k ＋…＋a 2kD.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D.【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2D.a ≤13【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>bD.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪10＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项. 【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时，f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b ＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【导学号：94210090】【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋). 证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ). 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

高中数学模块综合检测北师大版选修22

【三维设计】高中数学模块综合检测北师大版选修2-2(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝(1＋i)(－2＋3i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数z＝( )A．1＋i B．1－iC．－5＋i D．－5－i解析：z＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i＝－5＋i，∴z＝－5－i.答案：D2．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增加的”，现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝e x－1e x.因为x>0，所以e x>1,0<1e x<1，所以e x－1e x>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，使用的证明方法是( ) A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是答案：A3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可归纳出一般结论为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋1答案：C4．函数y＝sin(2x＋1)的导数为( )A．cos(2x＋1) B．2cos(2x＋1)C．2cos x D．(2x＋1)sin(2x＋1)解析：y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sin μ和μ＝2x＋1复合而成的，∴y′x＝y′μ·μ′x＝cos μ·(2x＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x＋1)．答案：B5．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．答案：C6．已知函数y＝x ln x，则这个函数的图像在点x＝1处的切线方程是( )A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：当x＝1时，y＝0；y′＝ln x＋1，k＝1，所以切线方程为y＝x－1.答案：C7．已知数列2,5,11,20，x,47，…，合情推理出x的值为( )A．33 B．32C．31 D．30解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，猜测x－20＝12，即x＝32，此时47－x＝47－32＝15.答案：B8．在区间(0，＋∞)内，函数f(x)＝e x－x是( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：f′(x)＝e x－1，因为x>0 ，所以e x>1，所以e x－1>0，即y′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A9．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②③B．①③C ．①D ．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行．成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：A10．抛物线y ＝x 2＋x 与x 轴围成的图形面积为( ) A.18 B ．1[ C.16D.12解析：令x 2＋x ＝0，则x ＝0或－1， ∴S ＝－∫0－1(x 2＋x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋12x 20－1＝16. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是______________________________________________________________．答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知平行四边形OABC 的顶点A ，B 分别对应复数1－2i,3＋i.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是________．解析：设点C 对应的复数为x ＋y i ，则OA uuu r＝(1，－2)， OB uuu r＝(3－x,1－y )，由题意得3－x ＝1,1－y ＝－2，解得x ＝2，y ＝3，故C 对应的复数是2＋3i. 答案：2＋3i13．已知f (x )为一次函数，且f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t ，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0) 则∫10f (t )d t ＝∫10(at ＋b )d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12at 2＋bt 10＝12a ＋b . 又f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t 得ax ＋b ＝x ＋a ＋2b ，∴a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x －1. 答案：x －114．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ， ∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)设F (x )＝∫x 0(t 2＋2t －8)d t . (1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解：依题意得：F (x )＝∫x0(t 2＋2t －8)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)． (1)F ′(x )＝x 2＋2x －8，令F ′(x )>0得x >2或x <－4，令F ′(x )<0得－4<x <2，由于定义域是(0，＋∞)，∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)，由于F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－283.17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……， ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 18．(本小题满分14分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x) ＞0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＜0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值，g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（）A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（） A ．20192020 B ．20182019 C ．20172018 D ．20182017 3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（）A ．4B ．12C ．2eD ．e 4．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（） A ．6-B ．8-C ．6D ．86．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（）A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（） A 31-B 13-C 31+ D ．31+9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[0，π) C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π] 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）.A ．1BC ．2D ．二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________． 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___． 20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．25．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行．(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围． 26．已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点，求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++，所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>；当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>.所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．A解析：A【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ；故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．A解析：A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A解析：A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A. 12．C解析：C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x '=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝．故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考解析：4【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果.【详解】因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =，则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ，则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2 【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a +=，解得a =∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】因为()()f x g x alnx a'=+，所以2()a x b g x x a-'=+．又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+，所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】解得故故答案为解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-，然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程．（2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=，则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．（Ⅰ）12(1)e +（Ⅱ）2a e ≥-【解析】试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II ）将f （x ）≥x 2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围．试题（Ⅰ）∵当1a =时，()1xf x e x =+-，()1111f e e =+-=，()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-，即()11y e x =+-．设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ，令0x =得，1y =-，令0y =得，11x e =+， ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +．（Ⅱ）由()()()20,1f x x x ≥∈得，21x x ea x+-≥．令()211x xx e e h x x x x x+-==+-，则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=，令()1xk x x e =+-，则()'1xk x e =-．∵()0,1x ∈，∴()'10xk x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，∴()()00k x k <=．又10x -<，20x >，∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>，∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-，因此只需2a e ≥-即可满足题意．点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 23．（1）()10e x ey e -+-=（2）12a = 【解析】试题分析:（1）根据导数几何意义得切线斜率为()f e '，再根据点斜式得切线方程（2）根据分母符号转化为：1x >时()0max f x <，01x <<时()0min f x >，研究()f x ，其导函数有两个零点1x =或11x a =-，根据11a-与0,1大小分类讨论，确定函数单调性，进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题（1）1a =时，()ln 1f x x x =-+，()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-，()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= （2）∵当0x >且1x ≠时，不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立等价于1x >时()0f x <，01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时，即102a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=，∴102a <<不符合题意②当111a -=时，即12a =时，()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=；()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时，即112a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时，即1a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意综上，12a =. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4. 【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵()823f =，所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0．（Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切，所以切线方程为()()202y x ax =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25．（1）（2）答案见解析（3）【解析】试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的. （2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值；（3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题 (1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以. (2)由，.由，得或. ①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：2－＋＋2－2，为与中较大的一个．. 所以.(3)令，．在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围. 26．（1）4180x y --=；（2）130x y -=. 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程．【详解】（1）(1)14f =-，2()31f x x '=+(1)4f '=，144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为：4180x y --=（2）设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即：()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-，所以02x =-此时026y =-，切点(2,26)-- 所以直线l 方程为：130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.。

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：模块综合测评

答案： A
4．数列 { an} 中， a1＝ 1，当 n≥ 2 时， an＝ an－1＋ 2n－ 1，依次计算 a2 ，a3， a4 后，猜想
an 的表达式是 ( )
A ． 3n－ 2
B． n2
n－1
C．3
D． 4n－3
解析：计算出 a2＝ 4， a3＝ 9， a4＝16，猜想 an＝n2.
答案： B
1
A ． 4,6,1,7 C．6,4,1,7
B． 7,6,1,4 D． 1,6,4,7
a＋ 2b＝ 14， 2b＋ c＝ 9，解析：由 2c＋ 3d＝23， 4d＝ 28，
a＝ 6， b＝ 4，得 c＝ 1， d＝ 7.
故选 C．
答案： C
6． (2017 ·北京卷 )若复数 (1－i)( a＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数范围是 ( )
＋2i) ＝ 2i.∴虚部为 2.
答案： D
2．观察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第 100 项是 ( )
A ． 10 C．14
B． 13 D． 100
解析：
∵
1＋ 13 2
× 13＝ 91，
∴从第 92 项开始为 14，共有 14 项．
∴第 100 项为 14.
答案： C
＝－ 2( －cosx)
＋ (－ coБайду номын сангаасx)|π0
＝2
cos
0－ cos
－
π 6
－ (cos
π－ cos 0)
＝ 2×
3 1－ 2
－ (－ 1－1)＝ 4－
3.
2
答案： B
8．已知 α， β是三次函数

高中数学北师大版选修2-2模块综合测试1 含解析

选修2－2 模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.答案：B2．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于( )A．10 B．10ln10＋lgeC．10ln10＋ln10 D．11ln10解析：∵f′(x)＝10x ln10＋1xln10，∴f′(1)＝10ln10＋lg e，故选B.答案：B3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝－a ＋bi(a ，b ∈R ＋)，则z 的共轭复数z ＝－a －bi ，它对应点的坐标为(－a ，－b)，是第三象限的点．故选B.答案：B4．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A ．83B ．32C ．－83D ．－32解析：z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3m －8)＋(6＋4m )i 32＋42是实数，∴6＋4m ＝0.∴m ＝－32. 答案：D5．a ＋b>2c 成立的一个充分条件是( ) A ．a>c 或b>c B ．a>c 且b>c C ．a>c 且b<c D ．a>c 或b<c解析：⎩⎪⎨⎪⎧a>cb>c⇒a ＋b>2c ，a ＋b>2cD ⇒/⎩⎪⎨⎪⎧a>c ，b>c.答案：B6．[2014·杭州高二检测]函数y ＝lnx(x>0)的图像与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln2－1B ．ln2＋1C ．ln2D ．2ln2 解析：因为函数y ＝lnx 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝lnx(x>0)的图像与直线y＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P(2，ln2)，所以ln2＝1＋a ，即a ＝ln2－1.答案：A7．∫2π0|sinx|dx ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：∫2π0|sinx|dx ＝∫π0sinxdx ＋∫2ππ(－sinx)dx ＝－cosx⎪⎪⎪ π0＋cosx⎪⎪⎪2ππ＝1＋1＋1＋1＝4. 答案：D8．给出下列三个命题：①若a ≥b>－1，则a1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；。

【金版优课】高二数学北师大版选修2-2模块综合测试3 Word版含解析

爱看书的康强选修2－2 模块综合测试(三)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A2．[2013·广东高考]若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：由已知条件得z ＝2＋4i i ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.答案：C3．函数y ＝f (x )的图像如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )爱看书的康强解析：当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0. 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0. 故选D. 答案：D4．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32，故B 选项不正确．答案：B5．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A ．92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：∵y ′＝12e 12 x ，∴y ＝e 12 x在(4，e 2)处切线斜率为12e 2.∴过点(4，e 2)的切线为y ＝12e 2x －e 2，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－e 2)． ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.故选D.答案：D6．如下图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353解析：由图形分析阴影部分的面积为 ⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 21－3＝323. 答案：C7．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤4解析：由题意f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0在R 上恒成立，故Δ≤0，解之得2≤m ≤4，故应选D.答案：D8．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值( )A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：假设这三个数都小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，则(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x)<6，又由基本不等式x >0，y >0，z >0时，(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x )≥2x ·1x ＋2 y ·1y＋2 z ·1z＝6，与假设矛盾．故选C. 答案：C9．已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x－x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)解析：根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)·(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．答案：C10．给出下列命题：( )①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛0－1x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：⎠⎛a b d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．故选B.答案：B11．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (|x |)|的图像可能是( )解析：该题考查函数的图像变换，显然从f (x )→f (|x |)的图像是保留原函数y 轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f (x )→|f (x )|的图像是保留原函数在x 轴上方的图像，把下方的图像翻折到x 轴上方去，结合原函数的特征．答案：A12．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系( )A ．2x >3sin xB ．2x <3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析：令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递增再递减，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若三次函数f(x)＝ax3－x(a≠0)在R上单调递减，则a的取值范围为________．解析：f(x)在R上单调递减⇔f′(x)≤0恒成立，即3ax2－1≤0恒成立．又∵a≠0，∴a<0.答案：(－∞，0)14．[2013·陕西高考]观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为____________________．解析：设等式右边的数的绝对值构成数列{a n}，∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，a n－a n－1＝n，以上所有等式相加可得a n－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，再观察各式的符号可知第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)215．若a>b>c，n∈N*，且1a－b＋1b－c≥na－c恒成立，则n的最大值为________．解析：要使1a －b ＋1b －c ≥na －c 恒成立．∵a >b >c ，∴a －c >0.∴只需a －c a －b ＋a －c b －c ≥n 恒成立．∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )， ∴a －ca －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋ (a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －ca －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. 要使不等式恒成立只需n ≤4. ∴n 的最大值为4. 答案：416．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．解析：设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06. 令y ′＝0，得m ＝10.2. 当0≤m <10.2时，y ′>0；当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值．又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6；当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．答案：45.6三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y >2，求证：1＋y x 和1＋xy中至少有一个小于2. 证明：反证法．假设1＋y x ≥2，1＋x y ≥2，即1＋y ≥2x,1＋x ≥2y . ∴2＋x ＋y ≥2x ＋2y .即x ＋y ≤2. 这与x ＋y >2矛盾． ∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 18．(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离．所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞. 19．(12分)[2013·广西高考]已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x (1＋λx )1＋x .(1)若x ≥0时f (x )≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，证明：a 2n －a n ＋14n >ln2.解：(1)由已知f (0)＝0，f ′(x )＝(1－2λ)x －λx 2(1＋x )2，f ′(0)＝0.若λ<12，则当0<x <2(1－2λ)时，f ′(x )>0，所以f (x )>0.若λ≥12，则当x >0时，f ′(x )<0，所以当x >0时，f (x )<0. 综上，λ的最小值是12.(2)令λ＝12.由(1)知，当x >0时，f (x )<0.即x (2＋x )2＋2x>ln(1＋x )．取x ＝1k ，则2k ＋12k (k ＋1)>ln k ＋1k .于是a 2n －a n ＋14n ＝∑k ＝n 2n －1 (12k ＋12(k ＋1))＝∑k ＝n 2n －12k ＋12k (k ＋1)>∑k ＝n2n －1l n k ＋1k＝ln2n －ln n ＝ln2. 所以a 2n －a n ＋14n>ln2.20．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3.∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，得－14≤a ≤14.(2)当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减．∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增．∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14<a <14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．21．(12分)由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．解：观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，13，17，115，…，猜想第n 个不等式左边的最后一项为12n－1，又由各不等式的右边可分别写成12，1＝22，32，2＝42，所以第n个不等式应为n2.猜想：第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下(1)当n ＝1时，1>12，猜想正确．(2)假设当n ＝k 时猜想正确，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2(k ∈N *)，那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k 2＋2k 2k ＋1 ＝k 2＋12＝k ＋12. ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上可知，对于任意n ∈N *，不等式成立．22．(12分)[2013·山东高考]设函数f (x )＝xe 2x ＋c (e ＝2.71828…是自然对数的底数，c ∈R )．(1)求f (x )的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e－2x，由f ′(x )＝0，解得x ＝12.当x <12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)，最大值为f (12)＝12e －1＋c . (2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．(ⅰ)当x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ，所以g ′(x )＝e－2x(e 2xx＋2x －1)．因为2x －1>0，e 2xx >0，所以g ′(x )>0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增． (ⅱ)当x ∈(0,1)时，ln x <0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c ，所以g ′(x )＝e－2x(－e 2xx＋2x －1)．因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x >0，所以－e 2xx <－1.又2x －1<1，所以－e 2xx ＋2x －1<0，即g ′(x )<0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c >0，爱看书的康强爱看书的康强即c <－e －2时，g (x )没有零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c <0，即c >－e －2时，①当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e－2x －c ≥ln x －(12e －1＋c )>ln x －1－c ，要使g (x )>0，只需ln x －1－c >0，即x ∈(e 1＋c ，＋∞)； ②当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e－2x －c ≥－ln x －(12e －1＋c )>－ln x －1－c ，要使g (x )>0，只需－ln x －1－c >0，即x ∈(0，e－1－c )；所以c >－e －2时，g (x )有两个零点．故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2.综上所述，当c <－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e－2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c >－e－2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2.。

(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)

(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
5．D
解析：D
【解析】
根据微积分定理，，，，所以，故选择D。
6．B
解析：B
【解析】
设底面边长为，依据题设可得棱锥的高，底面中心到顶点的距离，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱锥的体积，故应选答案B．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数，则阴影部分的面积为，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
12．D
解析：D
【解析】
∵（x2﹣2x）′=2x﹣2，
∴若 =t2﹣2t=8，又t＞0，解得t=4．选D.
二、填空题
13．108m【分析】令速度为0求出t的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
【解析】
试题分析：解：因为
＝＝，所以，所以，故选A.
考点：定积分.
4．D
解析：D
【解析】
(-sinx+cosx)dx (sinx-cosx)dx=2 (cosx－sinx)dx,选D.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
解析：108m.
【分析】
令速度为0求出t的值0和6，求出速度函数在上的定积分即可.

高中数学选修2-2模块测试试题(北师大)

金陵寺中学2013－2014学年度第二学期上半学期高二数学（选修2-2）模块测试试题说明：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷50分，第II 卷100分，共150分；答题时间120分钟．2．试题作答要卷面整齐，书写在规定位置。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．复数73ii -=+（）A.2i +B.2i -C.2i -+D.2i --2. 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（）A. 230x y ++=B. 032=--y xC. 210x y ++=D. 012=--y x 3.22(cos sin )x x dx ππ-+⎰的值是（）A ．0B ．4πC ．4D ．24．一物体运动方程为2()323s t t t =-+，那么物体在 3t =秒末的瞬时速度为（）A ．8B ．10C ． 16D ． 245．曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（）A ．4π- B ．1 C ．4πD ．34π6．设21sin x y x -=，则'y =（）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x xx x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．x x x x sin )1(sin 22---7．函数32()29121f x x x x =-++的单调减区间为（）A ．（1，2）B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(,1),(2,)-∞+∞8．函数23()(1)1f x x =-+在1x =-处（）A ．有极大值B ．有极小值C ．无极值D ．无法确定极值情况9．函数32()26187f x x x x =---在区间[1，4]上的最小值为（）A ．-64B ．-61C ．-51D ． -5610．已知函数1213243'''()sin ,()(),()(),()(),f x x f x f x f x f x f x f x ====，1'()(),n n f x f x -=则2009()f x 等于（）A ．cos x -B ．sin x -C ．cos xD ．sin x 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中的横线上）11．观察下面的几个算式，找出规律。

2019年高中数学北师大版选修2-2模块综合测试2 Word版含解析

2019年北师大版精品数学资料选修2－2 模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}知4∈M ，所以z i ＝4，z ＝－4i ，选C. 答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一样D ．两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．函数y ＝4x 2＋1x 单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案：C4．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛－ππ sin xdx ＝0B ．⎠⎛01x dx ＝23C ．cos xdx ＝2cos xdxD ．⎠⎛－ππsin 2xdx ＝0解析：可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：D5．函数y ＝x 3＋3x 在(0，＋∞)上的最小值为( )A ．4B ．5C ．3D ．1解析：y ′＝3x 2－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，而x ∈(0,1)，f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，∴x ＝1是函数的最小值点，且f (1)＝4.答案：A6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是( )A ．±15B ．15C ．－15D ．15解析：lo g 2(m 2－3m －3)－2lo g 2(m －3)＋1＝0， lo g 2m 2－3m －3(m －3)2＝－1，m 2－3m －3(m －3)2＝12，m ＝±15，而m >3，m ＝15. 答案：B7．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A ．2k (k ＋2)B ．1k (k ＋1)C ．1(k ＋1)(k ＋2)D ．2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).故选D.答案：D8．[2014·陕西高考]已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5B ． 5C ．3D ． 3解析：∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5.故选A. 答案：A9．若函数f (x )＝13x 3－ax 2＋ax 在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <43B ．0<a <43C ．a >1或a <0D ．0<a <43解析：命题⇔f ′(x )＝0在(0,1)，(1,2)都有根，且f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a >01－a <04－3a >0⇒1<a <43，故选A.答案：A10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A ．92B ．322C ．32D ．94解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )C 3H 8A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )≤f (x )，对任意的正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤bf (b )B ．af (a )≥bf (b )C ．af (b )≤bf (a )D ．af (b )≥bf (a )解析：∵xf ′(x )≤f (x )， ∴f (x )－xf ′(x )≥0.∴(f (x )x )′≤0即函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上递减(或为常数函数)．∴g (b )≤g (a )即f (b )b ≤f (a )a .∴af (b )≤bf (a )，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是__________．解析：k ＝y ′＝cos x ∈[－1,1]，因此倾斜角的范围为[0，π4]∪[3π4，π)．答案：[0，π4]∪[3π4，π)14．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8，f (1)＝1, 即(1,1)点在y ＝f (x )上，又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，f ′(1)＝2，∴切线过点(1,1)，斜率为2，∴切线方程为y ＝2x －1.答案：y ＝2x －116．若R t △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在R t △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ (x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾；②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)[2013·福建高考]已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为 f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．20．(12分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)．解：(1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104，∴P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x ·500x －1200－2x 375＝－2x 375＋500x －1200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x ，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，则x ＝25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L (25)≈－416.7＋2500－1200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元． 21．(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，若f ′(1)＝1. (1)求a 的值并求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ＝g (x )； (2)设h (x )＝f ′(x )＋g (x )，求h (x )在[0,1]上的最大值与最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ，由f ′(1)＝1，得3－2a ＝1，所以a ＝1；当a ＝1时，f (x )＝x 3－x 2，f (1)＝0，又f ′(1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －0＝1×(x －1)，即g (x )＝x －1. (2)由(1)得h (x )＝3x 2－x －1＝3⎝⎛⎭⎫x －162－1312，又h (0)＝－1，h (1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫16＝－1312，所以h (x )在[0,1]上有最大值1，有最小值－1312.22．(12分)[2013·江苏高考]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．解：(1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x <0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)．从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a . 当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0，解得a <e x ，即x >ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0<a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x >0，得f (x )存在唯一的零点；(ⅱ)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a,1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x >0时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．所以f (x )只有一个零点． (ⅲ)当0<a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x <a－1时，f ′(x )>0，当x >a －1时，f ′(x )<0，所以x ＝a－1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. ②当－ln a －1>0，即0<a <e－1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0<a <e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1<0，f (a －1)>0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)<0.为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2. 设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.当x >1时，l ′(x )＝e x －2>e －2>0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x >2时，h ′(x )＝e x －2x >h ′(2)＝e 2－4>0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x >e 时，h (x )＝e x －x 2>h (e)＝e e －e 2>0. 即当x >e 时，e x >x 2.当0<a <e －1，即a －1>e 时，f (ea －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)<0，又f (a －1)>0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x >a－1时，f ′(x )＝1x－a <0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0<a <e－1时，f (x )的零点个数为2.。

北师大版高中数学选修2-2第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）命题人：班级姓名说明：本试卷共二卷，一卷客观题答在答题卡上，共计80分，二卷解答题共六道大题，记70分，必须写明运算过程，只有答案无过程不得分。

第一卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是 A ．12米/秒 B ．8米/秒 C ．6米/秒 D ．8米/秒 2．由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为为 A ．112 B ． 14 C ． 13D ．712 3．给出下列四个命题：（1）若z C ∈，则20z ≥；（2）2i 1-虚部是2i ；（3）若,i i a b a b >+>+则；(4）若12,z z ，且12z z >，则12,z z 为实数；其中正确命题．．．．的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．在复平面内复数(1i)(2i)b ++（i 是虚数单位，b 是实数）表示的点在第四象限，则b 的取值范围是A.b <12-B.b >12-C.12-< b < 2 D.b < 2 5．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．6．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 7．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +等于 A ．2 B ．0 C ． 1- D ．2- 8．()22sin cos d x x x ππ-+⎰的值为A ．0B ．4πC ．2D ．4 9．设()f x 是一个多项式函数,在[],a b 上下列说法正确的是A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在[],a b 上可能没有极值点D ．()f x 在[],a b 上可能没有最值点10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知111,n n a a a +=>且()()211210n n n n a a a a ++--++=,计算23,a a ,猜想n a 等于A ．nB ．2nC ．3n D ．3n n +-12．已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为 A. ()<e (0)a f a f B. ()>e (0)a f a f C. ()=e (0)a f a f D. ()e (0)a f a f ≤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.若复数(2)3i z a =-+ (a R Î)是纯虚数，则i1ia a ++= . 14．111()1()23f n n n+=+++鬃??N 经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.15．若数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n n +=?+N ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f16．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．第二卷三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）抛物线21y x =-，直线2,0x y ==所围成的图形的面积18.(本小题满分12分) 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明20．（本小题满分12分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系 2000x t =．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？21．（本小题满分12分）设函数()()e 0kx f x x k =≠（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程．（2）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x x =+（a 为实常数）．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+?上是增函数；（2）求函数()f x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值；参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CAAACADCCＡBB12.提示：令()e ()x g x f x -=，则()e [()()]0x g x f x f x -ⅱ=->．所以()g x 在(,)-??上为增函数，()(0)g a g >．0()(0)a e f a e f ->，即()>e (0)a f a f ，故选B ．二、填空题13．43i 5- 14．2(2)2nn f +> 15．2()22n f n n +=+ 222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233111324322 (223341122)n n n n n n n n =-+-+⋅⋅⋅-+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++16．324()'43R R ππ=；球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题17.解由210x -=，得抛物线与轴的交点坐标是(1,0)-和(1,0)，所求图形分成两块，分别用定积分表示面积1211|1|d S x x -=-⎰，2221(1)d S x x =-⎰.故面积12221211|1|d (1)d S S S x x x x -=+=-+-⎰⎰=122211(1)d (1)d x x x x --+-⎰⎰=331211()()33x x x x --+-=11818112(1)33333-+-+---=. 18.证明： ∵a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+---- 2224b c a b b c a ba b b c a b b c----=+++?----≥，（a b c >>） ∴4a c a c a b b c --+--≥ 得114a b b c a c +---≥. 19.（1）1111112a a S a ==+-，所以，113a =-?，又 ∵0n a >，所以131a =-.221221=12a S a a a +=+-，所以 253a =-, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以375a =-. （2）猜想2121n a n n =+--．证明： 1o 当1n =时，由（1）知131a =-成立．2o 假设()n k k +=?N 时，2121k a k k =+--成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 111212k k a k a ++=+-+．所以21122120k k a k a ++++-=12(1)12(1)1k a k k +=++-+- 所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．20解：（1）因为赔付价值为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为：)0(2000≥-=t st t w .因为,1000)1000(200022ss t s st t w +--=-=所以当w st ,)1000(2时=取得最大值．所以乙方取得最大年利润的年产量2)1000(st =吨. （2）设甲方净收入为v 元，则2002.0t st v -=. 将2)1000(st =代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格之间的函数关系式： 234100021000v s s ´=-． 432100021000s s v ⨯-=又22232551000810001000(8000)s v s s s创-¢=-+=．令0='v ，得20s =.当20s <时，0v ¢>；当20s >时，0v ¢<．所以20s =时， v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入． 21．解：（1）()=e e kx kx f x kx ¢+，(0)1f ¢=，(0)0f = ∴()y f x =在（0,0）处的切线方程为y x =．（2）法一 ()=e e (1)e 0kx kx kx f x kx kx ¢+=+= ，得 1x k=-（0k ¹）若0k >，则当1(,)x k??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，当1(,)x k?+?时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．若0k <，则当1(,)x k??，()0f x ¢>，()f x 单调递增. 当1(,)x k?+?时，()0f x ¢<，()f x 单调递减. 若()f x 在区间(1,1)-内单调递增，当0k >时，11k --≤，即1k ≤. 当0k <时，11k-≥，即1k -≥.故()f x 在区间(1,1)-内单调递增时k 的取值范围是[1,0)(0,1]-U法二 ∵()f x 在区间(1,1)-内单调递增,∴()0f x ¢≥在区间(1,1)-上恒成立. e e 0kx kx kx +≥，∵e 0kx >，∴10kx +≥. 即10kx +≥在区间(1,1)-上恒成立. 令()1g x kx =+，∴(1)0(1)0g g ì-ïïíïïî≥≥ 解得11k -≤≤. 当0k =时，()1f x =.故k 的取值范围是[1,0)(0,1]-U .22．解：（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，(1,)x ??，22(1)()0x f x x-¢=>.故函数()f x 在(1,)+?上是增函数．（2）22()0x af x x+¢=>.当[1,e]x Î，222[2,2e ]x a aa +?+.若2a -≥，()f x ¢在[1,e]上非负（仅当2a =-，1x =时，()0f x ¢=），故函数()f x 在[1,e]上是增函数. 此时，min [()](1)1f x f ==．若22e 2a -<<-，当2ax =-时，()0f x ¢=．当12ax -≤≤时，()0f x ¢<，此时，()f x 是减函数．当e 2ax -≤≤时，()0f x ¢<，此时，()f x 是增函数.故min [()]()ln()2222a a a a f x f =-=--．若22e a -≤，()f x ¢在[1,e]上非正（仅当时22e a =-，e x =时，()0f x ¢=）故函数()f x 在[1,e]上是减函数，此时2min [()](e)e f x f a ==+．综上可知，当2a -≥时，()f x 的最小值为1，相应的x 的值为1；当22e 2a -<<-时，()f x 的最小值为ln()222a a a--．相应的x 值为2a ；当22e a ?时，)(x f 的最小值为2+e a ，相应的x 值为e ．。

数学选修模块测试题(北师大版-)

数学选修模块测试题选修2-2 （北师大版）考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 计算24i i +=A ．i -B ．1-C ．0D ．12．设函数()sin f x x =，则()f x '等于A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -3．如果质点按规律323s t t =+（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，则质点在3s 时的瞬时速度为 A ． 57m/s B ． 55m/sC ． 54m/sD ． 50m/s4．计算120x dx =⎰A ．14 B ．13 C ．12D ．15.复数1iiz -=在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数()e xf x x =,则)(x f '等于A ．e xB ．e xxC ． e (1)xx +D ． x x ln7．函数1y x=在点(1,1)处切线的斜率为 A ．1-B ．0C ．1D ．28. 若一个命题的结论是 “直线l 在平面α内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作的假设为A ．假设直线//l 平面αB ．假设直线 l 平面α于点AC ．假设直线⊄l 平面αD ．假设直线l ⊥平面α9.关于函数()e 2xf x =-，下列结论正确的是A ．)(x f 没有零点B ．)(x f 没有极值点C ． )(x f 有极大值点D ．)(x f 有极小值点10.“因为无理数是无限小数，而13是无限小数，所以13是无理数.” 在以上三段论推理中 A ．推理形式错误B ．大前提错误C ．小前提错误D ．大前提、小前提、推理形式均正确11．如图，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，则)4(f '=A ．12B ．3C ．4D ．512．曲线sin y x =与x 轴在区间],0[π上所围成的图形的面积是A ．0B ．2C ． 2-D ． 413．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．114.现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是 A ． 1m B ．1.5m C ．0.75m D ．0.5m二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．若2i i a b +=，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+b a ___________． 16．函数()ln(1)f x x =+的导数是___________．17．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________________________________”，这个类比命题的真假性是_________.18. 右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①2-是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增.则正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分）已知函数3()3f x x x =-. （Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.20．（本小题满分10分）数列{}n a 中，11a =，*12()2nn n a a n a +=∈+N . （Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）归纳{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21．（本小题满分10分）设1()(0)xf x ax a ax-=+>. （Ⅰ）判断函数()f x 在(0,)+∞的单调性；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[1,2]上的最大值，写出()g a 的表达式.参考答案一、选择题（每小题4分，共56分）1．C 2．C 3．A 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9．B10．A11．A12．B13．D14．A二、填空题（每小题4分，共16分）15．1-16．11x + 17．夹在两个平行平面之间的平行线段相等；真命题. 18．①④三、解答题（解答题共28分） 19．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）33(2-='x x f ），所以9)2(='f . （Ⅱ）2()33f x x '=-，解()0f x '>，得1x >或1x <-. 解()0f x '<，得11x -<<.所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）计算得 2342122,,3245a a a ====. （Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 21n a n =+.当1n =时，12111a ==+，与已知相符，归纳出的公式成立.假设当n k =（*k ∈N ）时，公式成立，即21k a k =+，那么，12224212224(1)121k k k a k a a k k k +⨯+====++++++. 所以，当1n k =+时公式也成立.综上，21n a n =+对于任何*n ∈N 都成立.21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知21()f x a ax '=-，注意到0a >，(0,)x ∈+∞，解()0f x '>，得1x a >；解()0f x '<，得10x a<<. 所以1(,)a +∞为函数()f x 的单调增区间，1(0,)a为函数()f x 的单调减区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当11a ≤，即1a ≥时，()f x 的最大值为1(2)22f a a =-；当12a ≥，即210≤<a 时，()f x 的最大值为(1)f a =；当112a <<，即112a <<时，因为2121(2)(1)222a f f a a a a--=--=，所以，当122a <<时，()f x 的最大值为(1)f a =，当12a ≤<时，()f x 的最大值为1(2)22f a a=-，综上，12,22(),02a a a g a a a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩。

《高二数学北师大选修2-2》选修2-2综合测试题

高中数学选修2-2综合测试题(时间：120分钟满分：150分)学号：班级：姓名：得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z=(l+i)(—2+3i)(i为虚数单位)，则z的共轲复数z=()A.1+iB.1-iC.—5+iD.—5—i2.已知复数z=l—2i,那么!等于()Ag-十飞-1 B.^~_*12n l_2.C'5+5D5孑3. 证明命题："如：)=节+点在(0,+8)上是增加的"，现给出的证法如下：因为顶x)=e'+j,所以f(x)=e v—因为x>0,所以所以e*—*>0,即f'(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上是增加的，使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是4.观察下式：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,则第〃个式子是()A.〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(2〃一1)=〃2B.乃+(〃+1)+(〃+2)+...+(2〃—1)=(2〃一I)2C.乃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3〃—2)=(2〃一I)2D.〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3〃一1)=(2〃一I)25.函数*=sin(2x+l)的导数岳()A.cos(2x+l)B.2cos(2x+l)C.2cosxD.(2x+l)sin(2x+l)6.函数y=\n x(x>0)的图象与直线y=^x+a相切，则。

等于()A.In2-1B.In2+1C.In2D.21n27.已知函数*(x)的图象如下图所示，其中/(x)是函数/(》)的导函数，函数y=A x)的图象大致是图中的()7V8.设ZUBC的二边长分别为a,b,c,AABC的面积为S,内切圆半径为r,则『=芥床，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S[,&，S3,&，内切球半径为R,四面体S一/BC的体积为则R=()VA-------------S+S2+S3+S4 -3/2Vc-------------S+S2+S3+S4[x2,[0,1],2—x9xC[l,2], 345 A'4B5C685]+&+&+$4 -4KD$+&+&+&9〃)=D.不存在若»=A2-x),且(x-ir(x)>0,a=J[O),b=K§),c=X3)，则10.函数人*)在定义域R内可导,a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a11.若CKxv*则2x与3sinx的大小关系().A.2x>3sinxB.2x<3sinxC.2x=3sinxD.与x的取值有关x212.设函数/(X)满足x2/7(x)+2欢x)=£,久2)=§,则x>0时，7(x)()则匚/3用=()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13.观察下列等式:13+23=32'13+23+33=6243+23+33+43=102,…,根据上述规律，第五个等式为•14.设，=(2—i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为.15.山曲线y=(x~2)2+l,横坐标轴及直线x=3,x=5围成的图形的面积等于.16.已知函数y(x)=—|x2+4x—3Inx在|7,f+1］上不单调，则/的取值范围是三、解答题(本大题共6小臀，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)设复数z=~,若z2+ax+b=1+/,求实数a,b的值.18.8以(12分)已知数歹Uj守，尹孑，•••,(2〃一1)2.(2〃+1)2,…，&为该数列的前”项和，计算得8...24...48 (80)S=6，&=云&=为，&=曲.观察上述结果，推测出S…(«£N*),并用数学归纳法加以证明.19.(12分)设F(x)=/J(?+2?-8)dA(1)求E(x)的单调区间；(2)求E(x)在［1,3］上的最值.、20.(12分)已知函数/(x)=x2+lnx.⑴求函数»^［1,e］上的最大值和最小值；(2)求证：当x6(l,+8)时，函数fix)的图象在g(x)=|x3的下方.21.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB=(2,—1,—4),AD= (4,2,0),AP=(~1,2,-1).(1)求证：以_L底面ABCD-,(2)求四棱锥P-ABCD的体积；(3)对于向量。

2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2资料

模块综合质量评估(考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 解析： ∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1,0,1}，∴i 2∈S . 答案： B2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2，∴A 错．(log 2x )′＝1x ·1ln 2＝1x ln 2，∴B 正确．故选B. 答案： B3．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律，得出猜想结果．答案： B4．由曲线y ＝x 与x 轴及x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为( ) A ．πB ．2πC ．3πD.π2解析： V ＝⎠⎛02πx d x ＝π⎠⎛02x d x ＝π2x 2|20＝2π(如图所示)．答案： B5．在用数学归纳法证明“已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：f (2n)＜n ＋1”的过程中，由k 推导k ＋1时，原式增加的项数是( )A ．1B ．k ＋1C ．2k－1D ．2k解析： f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋…＋12k ＋1，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝2k.答案： D 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析： ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝x －1－x ＋1x －12＝－2x －12，∴在点(3,2)处切线的斜率k ＝－23－12＝－12.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2. 答案： D7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝4x －5 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝－3x ＋2解析： y ′＝3x 2－6x ，∵(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上，且k ＝y ′|x ＝1＝－3.从而切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选D.答案： D8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2＞0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)＞0的解集为{x|x＞－1}，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B9．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝( )A.14B.12C．1 D．2解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，∴z·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i⎝⎛⎭⎪⎫－34－14i＝316＋116＝14.故选A.答案： Ay＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是( )解析：当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，f(x)为增函数；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数．答案： C二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝a sin x ＋sin 3x 在x ＝π3处取得极值，则a ＝________.解析： y ′＝a cos x ＋3cos 3x ，由题意知，y ′⎪⎪⎪x ＝π3＝0，即a cos π3＋3cos π＝0，∴a ＝6.答案： 612．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ≥0，－x x ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x ＝____________.解析：因为⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x ，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x | 10＝236. 答案：23613．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_______．解析：将三角形内切圆扩展到四面体的内切球，边长扩展为四面体的各面的面积，积扩展为四面体的体积，于是可得一个类似的结论．答案：若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．复数1－i 1＋i ＋i 2 010对应的点位于复平面的第______象限．解析：原式＝1－i 21＋i 1－i ＋(i 4)502·i 2＝－2i 12＋1＋i 2＝－1－i. 其对应的点位于第三象限．答案：三15．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的． x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的．当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝5 2.求ω. 解析：方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意得a －3b ＝0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．方法二：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0且k ∈R ，则ω＝k i2＋i1＋3i.∵|ω|＝5 2.∴kω＝±(7－i)．17．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d ，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负实数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴a ，b ，c ，d ∈[0,1]， ∴ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ，当x ＝2时，函数f (x )有极值－163.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． (3)求曲线y ＝f (x )与直线x ＋y ＝0所围图形的面积．解析： f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＝－163，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4.故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x .(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值163；当x ＝2时，f (x )有极小值－163. 所以函数的大致图像如图所示．故实数k 的取值范围是－163＜k ＜163.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x 3－4xx ＋y ＝0得交点坐标为(－3,3)，(0,0)和(3，－3)．∴所围图形的面积S ＝⎠⎛－30⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ＋x d x ＋⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －13x 3＋4x d x ＝2⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－112x 4| 3＝272. 19．(本小题满分12分)已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/小时(8＜v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？解析：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝kv 2.当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5， ∴y 1＝5v 2. ∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8(8＜v ≤v 0)．y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值．当v 0≥16时，v ＝16使y 最小．即全程燃料费最省．当v 0＜16时，可得y ＝1 000v2v －8在(8，v 0]上递减，即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8.综上，若v 0≥16，则当v ＝16千米/小时时，全程燃料费最省；若8＜v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )＜g (x )在(0,1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析：令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝－x 3＋ax ＋12x 32 ，即F (x )＜0在(0,1]上恒成立，所以a ＜x 2－12x 12 在(0,1]上恒成立，令h (x )＝x 2－12x 12 ，h ′(x )＝2x －14x＝2x 3－14x＝2x －14x ＋2x ＋14x，令h ′(x )＞0，又x ∈(0,1]，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1，令h ′(x )＜0，又x ∈(0,1]得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316. 即a ＜－316.21．(本小题满分15分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解析：当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]，得g (2)＝f 1f2－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2. 当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得g (3)＝f 1＋f 2f 3－1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算知，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1) ＝k [f (k )－1](k ≥2)，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立．故存在函数g (n )＝n 使等式成立．。

北师大版高中数学选修2-2(下)选修模块2-2水平测试.docx

焦作市2010—2011学年（下）选修模块2-2水平测试数学试卷注意：本试卷满分120分，附加题20分，考试时间100分钟。

答案必须写在答题卷上，在试卷上作答无效。

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）。

1.若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-12.函数2323+-=x x x f )(在区间],[11-上的最大值为（） A.2 B.0 C.-2 D.43.421dx x ⎰等于 ( ) A ．2ln2- B.2ln 2 C.ln 2- D.ln 24.已知曲线C:1)(3+=x x f ，则与直线431--=x y 垂直的曲线C 的切线方程为（）A 013.=--y xB 033.=--y xC 033013.=+-=--y x y x 或D 033013.=--=--y x y x 或5.设a,b 为实数，若复数i bia i+=++121，则 ( ) A.31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==6. 证明),(21214131211+∈>-+++++N n nn 假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 ( )A.1项B.1-k 项C.k 项D.k 2项7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个8.由曲线32x y x y ==,围成的封闭图形面积为（） A ．121 B.41 C . 31 D.127 9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）x 'abxy)(f y =OA B C D10.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是（） A ．12-=x y B.x y = C ．23-=x y D.32+-=x y二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若复数iiz -=12，则=+||i z 3 。

北师大版高中数学选修2-2模块综合检测(B)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －52．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1]3．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个零点，并且不等式f (1－x )≥－1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]5．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B.12 C ．－12D ．－2 7．设a 、b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．已知函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (|x |)|的图像可能是( )11．若z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．－1－2i 或1＋2i D ．2＋i12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．若a ≥b >0，则a ＋4(2a －b )b的最小值为________．16．复数z ＝x －2i (x ∈R )与其共轭复数z 对应的向量相互垂直，则x ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值，并讨论f (x )的单调性；(2)证明：当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．(12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.19.(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i (a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．20．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．21.(12分)由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋ax )－x 2 (a >0，x ∈(0,1])． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若不等式1＋n 2λ≥n 2ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n 对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．答案1．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.]2．A [∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，∴0<x ≤1时，f ′(x )≤0.]3．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图像上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A 满足．]4．B [∵f (x )＝x 2－2x ＋m 有两个零点，∴4－4m >0，∴m <1，由f (1－x )≥－1得(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1，即x 2＋m ≥0，∴m ≥－x 2，∵－x 2的最大值为0，∴0≤m <1.]5．B [由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .]6．D [y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1.∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. ∴－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1.∴a ＝－2.] 7．A [∵a 2＋b 2<1，∴|a |<1，|b |<1.∴ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0成立．反之：(a －1)(b －1)>0，推不出a 2＋b 2<1.]8．A [(1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7， f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1) 得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8， f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.]9．C [根据函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)·(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．]10．A [该题考查函数的图像变换，显然从f (x )→f (|x |)的图像是保留原函数y 轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f (x )→|f (x )|的图像是保留原函数在x 轴上方的图像，把下方的图像翻折到x 轴上方去，结合原函数的特征．]11．C12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5. 由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.]13．(－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1<m ≤0.14. 2解析设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．3解析 a ＋4(2a －b )b ＝⎝⎛⎭⎫a －b 2＋b 2＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2·b2≥3，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 16．±2解析 ∵z ＝x －2i ，∴z ＝x ＋2i ，又两对应向量垂直，∴x 2－4＝0，∴x ＝±2.17．(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)．由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0， ∴a ＝－1.于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2)＝－e x (x ＋2)(x －1)．故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0.从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)证明由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，故f (x )在[0,1]的最大值为f (1)＝e ，最小值为f (0)＝1.从而对任意x 1，x 2∈[0,1]，有 |f (x 1)－f (x 2)|≤e －1<2.而当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos θ，sin θ∈[0,1]．从而|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1.从而有2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4.∴a ＋12＋b ＋12≤2. 19．解 ∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离，所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞. 20．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立； ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0得－14≤a ≤14.(2)当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14<a <14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．21．解观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，13，17，115，…，猜想第n 个不等式左边的最后一项为12n －1，又由各不等式的右边可分别写成12，1＝22，32，2＝42，所以第n个不等式应为n2.猜想：第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2 (n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下(1)当n ＝1时，1>12，猜想正确．(2)假设当n ＝k 时猜想正确，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2(k ∈N ＋)，那么，当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k 2＋2k2k ＋1 ＝k 2＋12＝k ＋12. ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上可知，对于任意n ∈N ＋，不等式成立．22．解 (1)由题意得，f ′(x )＝a1＋ax －2x ＝－2ax 2－2x ＋a 1＋ax ，由－2ax 2－2x ＋a ＝0，得x ＝－1±2a 2＋12a.∵a >0，∴－1－2a 2＋12a <0，－1＋2a 2＋12a>0.又∵－1＋2a 2＋12a ＝a 2a 2＋1＋1<1，而x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2＋1－12a .(2)不等式1n2＋λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n ，即为λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n2① 令1n＝x ，当n ∈N ＋时，x ∈(0,1]．则不等式①即为λ≥ln(1＋2x )－x 2. 令g (x )＝ln(1＋2x )－x 2，x ∈(0,1]，由(1)知，在f (x )的表达式中，当a ＝2时，f (x )＝g (x )，又∵a ＝2时，－1＋2a 2＋12a ＝12，∴函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减．函数g (x )在x ＝12时，取得最大值ln 2－14.因此，对一切正整数n ，当n ＝2时，ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n 2取得最大值ln 2－14.∴实数λ的取值范围是λ≥ln 2－14.模块综合检测(C)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h等于( )A ．f ′(x 0)B ．－2f ′(x 0)C ．2f ′(x 0)D ．0 2．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A ．2B ．1 C.233D ．03．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )≥g (x )D ．f (x )≤g (x )5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若 △BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3537．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H8.lim x →1 x x －x x －1等于( ) A.12 B.14 C.32 D.34 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 009)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.11212．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． 14．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解是______________．15．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为________万元．16．a >b >c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．18．(12分)求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.19.(12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．20．(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率P与日产量x的函数关系是：P＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC，求顶点C所对应的复数z.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋c 在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a ，c 的值．答案1．C [lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)．]2．A [f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x .又∵x ＝π3为最值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即a 2＝1，∴a ＝2.]3．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.故选D.]4．C [∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增．∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )＝0，即f (x )－g (x )≥0.]5．C [如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.] 6．C [由图形分析阴影部分的面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝323.]7．D [由图可知，z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，∴2－i 对应的点为(2，－1)．]8．A [lim x →1 x x －x x －1＝lim x →1 x(x －1)(x ＋1)(x －1)＝lim x →1 x x ＋1＝12.]9．C [当x >0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x >0时，函数f (x )的周期是6.又∵f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)，∴由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1.]10．C [W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．]11．C [∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，∴n 2＝m 2，即n ＝m ，即(1,1)，(2,2)，…，(6,6)共6种．∴所求概率P ＝66×6＝16.] 12．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.] 13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 14．(－∞，－3)∪(0,3)解析设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴ F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )·g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．15．45.6解析设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06.令y ′＝0，得m ＝10.2.当0≤m <10.2时，y ′>0；当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值．又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6；当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．16．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立．即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立．a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号．∴n 的最大值为4.17．解由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.18．解 (1)当－a ≤－4，即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3，即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |－a －4＋⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－a＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3，即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).19．证明假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0 (x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2. 这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．解 (1)由题意可知次品率P ＝日产次品数÷日产量，每天生产x 件，次品数为xP ，正品数为x (1－P )．因为次品率P ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32件正品，所以T ＝200x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8. (2)T ′＝－25·(x ＋32)·(x －16)(x ＋8)2，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0；所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图．∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42，解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.22．解显然，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝4(舍去)．(1) 当a >0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 －f (x ) －7a ＋c 单调递增单调递减－16a ＋c所以当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以c ＝3.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)>f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2) 当a <0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) － 0 ＋f (x ) －7a ＋c 单调递减单调递增－16a+c所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以c ＝－29.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)<f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述，a ＝2，c ＝3或a ＝－2，c ＝－29.。