2020版高考数学大二轮复习课时作业19坐标系与参数方程文

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2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点二十坐标系与参数方程课件文

∴圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ＋2sinθ.
(2)将直线 l：ρsinθ＝ρcosθ＋2，与圆 C：ρ＝4cosθ＋2sinθ 联立，得(4cosθ＋2sinθ)(sinθ－cosθ)＝2，整理得 sinθcosθ＝3cos2θ， ∴θ＝π2或 tanθ＝3. 不妨记点 A 对应的极角为π2，点 B 对应的极角为 θ，且 tanθ＝3. 于是，cos∠AOB＝cosπ2－θ＝sinθ＝3 1010.
解 (1)将 C 的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴直线 l 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.
(2)将 θ＝π4代入 ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，得 ρ2＋3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝－2 2，ρ2＝－ 2， |MN|＝|ρ1－ρ2|＝ 2， ∵圆 C 的半径为 1， ∴△CMN 的面积为12× 2×1×sinπ4＝12.
则|OA|＋|OB|＝2 2cosβ＋4sinβ＝2 6sinβ·36＋cosβ·33＝2 6sin(β＋φ)，其中 φ 为锐角，且满足 sinφ＝ 33，cosφ＝ 36，
当 β＋φ＝π2时，|OA|＋|OB|取最大值，
此时 β＝π2－φ，
tanβ＝tanπ2－φ＝csoinsπ2π2－－φφ＝csoinsφφ＝
(2)由(1)知，曲线 C2：(x－2)2＋y2＝4 的圆心为(2,0)，半径为 2，由点到
直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线
x－2y－3＝0
的距离为
d＝|2－05－3|＝
5 5
<2，
所以曲线 C1 与曲线 C2 相交，弦长为 2

2020年高考数学试题分项版解析专题19 选修系列：坐标系与参数方程(教师版) 理

2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题19 选修系列：坐标系与参数方程（教师版）一、填空题:1. (2020年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为1:(x t C t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为______.2．(2020年高考北京卷理科9)直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。

3. (2020年高考湖北卷理科16)（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________. 【答案】55(,)22【解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB 的中点)25,25(P ..【考点定位】本小题考查坐标系与参数方程,属选学内容之一,熟练掌握基础知识是解决好本题目的关键.4. (2020年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.5.(2020年高考天津卷理科12)己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .6．(2020年高考上海卷理科10)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .7. (2020年高考江西卷理科15)（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。

2020高考数学(理)专项复习《坐标系与参数方程》含答案解析

坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础．【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xy θ 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f xb t a ≤≤……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数)；(3)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ 为参数)；(4)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用．【例题分析】例1 (1)判断点)35π,23(-是否在曲线2cos θρ=上． (2)点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π) (3)点P 的极坐标为)4π,3(-，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为2365πcos2cos-==θ，所以点)35π,23(-是在曲线2cos θρ=上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，)0(tan =/=x xy θ，得ρ ＝2，3tan -=θ，又点P 在第四象限，2π23π≤<θ，所以35π=θ，所以点P 的极坐标为).3π5,2( (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得223,223-==y x ，所以点P 的直角坐标为).223,223(- 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．(2)直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______．解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为2．(2)将直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得由3π=θ得xy=3πtan ，即x y 3=，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为21311=+=d ，所以.3)21(12||2=-=AB评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ．⑤若O (0，0)，A (2a ，2π)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ．对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4 (1)曲线的参数方程是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由t x 11-=得x t -=11，带入y ＝1－t 2，得,)1()2()11(122--=--=x x x x y 注意到111=/-=t x ，所以已知参数的普通方程为⋅--=2)1()2(x x x y (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离.222|620|=-+=d 评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为).1()1()2(2<--=x x x x y 例5 求椭圆12222=+by a x 的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为)2π,0(∈θ，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ．评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2，故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x (α 为参数)，两式平方相加得x2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且53cos -=α的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知53cos -=α得,54sin =α所以已知直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x …………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得.095542=+-t t …………………②②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数527221=+=t t t ，代入参数方程，得,2533,2544==y x 所以M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值221t t t M +=，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标)34π(2,的直角坐标为 (A)(1，3)(B)(－3，－1) (C)(－1，－3) (D)(－1，3)2．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x (θ 为参数)的焦距等于( )(A)21 (B)221 (C)29 (D)2923．已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若)3π,2(--P 是极坐标系中的一点，则、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N)(Z ∈k 四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是)4π5,2()4π,2(B A 、，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A))4π3,4( (B))43π,32( (C))π,32((D)(3，π)二、选择题 6．过极点，倾斜角是6π的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________．8．直线⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3(t 为参数)过定点____________．9．曲线⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x (θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点)4π,3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆14922=+y x 上求一点，使点M 到直线021032=-+y x 的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．)(6πR ∈=ρθ； 7．)47π,23(； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)；三、解答题 11．⋅=223cos θρ12．解：由题设知椭圆参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x (θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd即d 的最小值为26134，此时4π=θ．所以M 的坐标为).2,223(13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ． 14．解：设AB 的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．。

2020年高考数学(理)二轮专题学与练 20 坐标系与参数方程(考点解读)(原卷版)

专题20 坐标系与参数方程1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．知识点二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．知识点三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．高频考点一坐标系与极坐标例1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【变式探究】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【变式探究】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 高频考点二参数方程例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【变式探究】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【变式探究】在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π41．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩(t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离． 1. (2018年全国I 卷理数)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程；(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 2. (2018年全国Ⅱ卷理数)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)求和的直角坐标方程；(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 3. (2018年全国Ⅱ卷理数)在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点．(1)求的取值范围； (2)求中点的轨迹的参数方程．4. (2018年江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为___________.3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. (1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到la.【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. (I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．4. 【2016高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为sin()224ρθπ+=(I)写出的普通方程和的直角坐标方程；(II)设点P 在1C 上，点Q 在上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习精选《坐标系与参数方程》试题及答案解析.docx

高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）选修4-4 坐标系与参数方程1、设直线l 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为( )A ．112352x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B ．312152x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C ．112352x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D ．112352x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 【答案】C【解析】由于过点（a ，b ）倾斜角为α 的直线的参数方程为x=a+ t ？cos α，y=b + t ？sin α (t 是参数)，而直线L 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l的参数方程可为112352x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故选C.2、曲线 (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ) A. B ．1 C.D.【答案】A【解析】因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边)．故最大值必大于1，排除B ，C ，D.3、已知点P 的极坐标为（2，），那么过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．ρsin θ=B ． ρsin θ=2C ． ρcos θ=D ． ρcos θ=2【答案】A 4、参数方程为，为参数）t ty tx (3221⎩⎨⎧-=+=则普通方程为（）A ．3x+2y-7=0 B.3x-2y-7=0 C ．3x+2y+7=0 D ．-3x+2y-7=0 【答案】A5、在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.1,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(1，π) 【答案】B【解析】将极坐标方程左右两边同时乘以ρ得θρρsin 22-=,化为直角坐标方程y y x 222-=+,圆心为(0,-1),极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故答案选B.6、曲线的参数方程是211(0)1x t t t y t⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩是参数，，它的普通方程是（）A ． 2(1)(1)1x y --=B ．2(2)(1)x x y x -=- C ．211(1)y x =-- D ．211xy x=+- 【答案】B 7、圆()θθρsin cos 2+=的圆心坐标为（）A ．（1，4π）B.（21，4π）C.（2，4π）D.（2，4π）【答案】A 8、已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 和原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是（）A.（3，4）B.1212(,)55-- C.(-3，-4) D.1212(,)55【答案】D9、已知实数y x ,满足，则的最小值是（）A ．55-B ．45-C ．51-D ．55 【答案】A【解析】先由2246120x y x y +-++= 化为圆的参数方程23x cos y sin αα⎩+-⎧⎨＝＝，将()222|5|55x y cos sin sin αααθ--=-+=++利用()555555sin αθ⎡⎤++∈-+⎣⎦，求解．∵实数x ，y 满足2246120x y x y +-++=,∴23x cos y sin αα⎩+-⎧⎨＝＝，所以()222|5|55x y cos sin sin αααθ--=-+=++，()555555sin αθ⎡⎤++∈-+⎣⎦Q ，，min 225555]255[2x y x y ∴--∈-+∴-=--，，故选A.考点：直线与圆的参数方程10、将极坐标（2，32π）化为直角坐标为（）A ．（0,2）B ．（0，－2）C ．（2,0）D ．（－2,0）【答案】B【解析】332cos 0,2sin 222x y ππ====-，所以选B ．考点：极坐标化为直角坐标11、在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 【答案】C【解析】法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为22N |MN |4,24,,0MN 5.3.,34C π'∴'===⎛⎫ ⎪⎝⎭+再由勾股定理得故选法二:可将M ？N 化为直角坐标22233(22)M(2,2,0)(23,N(2,2,3),MN 5.3.23)C ++-=+-∴=故选12、在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________. 【答案】213、在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. 【答案】cos 3ρθ=14、在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________ 【答案】22 15、已知曲线C的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】3 16、已知直线l的参数方程为()23x tt y t=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,若以直角坐标系xoy 的原点O 点为极点,以x 轴正半轴为极轴,选取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin()4πρθ=+,若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.(I)求直线l 的倾斜角及l 与坐标轴所围成的三角形的面积; (II)求| AB|. 【答案】17、已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值．【答案】（1）2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），062=-+y x（2）最大值为2255，最小值为255．试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普通方程转化，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距离来求解．试题解析：（1）曲线C的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为062=-+y x ．（2）曲线C 上任意一点)sin 3,cos 2(θθP 到l的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-，则25|5sin()6|sin305d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，|PA|取得最大值，最大值为2255．当sin()1θα+=时，|PA|取得最小值，最小值为255．考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．18、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为,3sin 3cos 2222=+θρθρ直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=ty tx 13t (为参数,)R t ∈.试在曲线C 上一点M ，使它到直线l 的距离最大.【答案】曲线C 的普通方程是1322=+y x ，直线l 的普通方程是033=-+y x设点M 的坐标是)sin ,cos 3(θθ,则点M 到直线l 的距离是2|1)4sin(2|32|3sin 3cos 3|-+=-+=πθθθd当1)4sin(-=+πθ时,即Z k k ∈+=+,2324πππθ,Z k k ∈+=,452ππθ d 取得最大值,此时22sin ,26cos 3-=-=θθ,综上, 点M 的坐标是)22,26(--时,M 到直线l 的距离最大19、已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。

(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

又 d(α)＝
＝
2
π 2 sin α＋ 3 － 2 ，当且仅当
α＝
2kπ＋
π 6(k∈
Z)时，
d(α)取得最小值，
最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 ( 3 , 1 ) . 22
【思维点拨】 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，
求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程
后求解 .当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程
22 5 当 sin( θ＋α)＝－ 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 5 ；
当 sin( θ＋α)＝ 1 时， |PA|取得最小值，最小值为
25 5.
【易错点】参数方程要变形使用 . 【思维点拨】 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，
常用的消参方法有代入消参、
参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件
（2）面积为
1 2.
【解析】 (1)因为 x＝ ρcos θ，y＝ ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C2 的极坐标方程为 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.
π (2) 将 θ＝ 4代入
ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋4＝ 0，
得 ρ2－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ1＝ 2 2，ρ2＝ 2.故 ρ1－ ρ2＝ 2，即 |MN |＝ 2.
y＝ 2－ 2t
(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2) 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 .
【答案】（
1） 2x＋ y－ 6＝ 0；（2）最大值为

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高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线宀化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾，所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪（0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切，・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。

新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十二坐标系与参数方程文

专题过关检测（二十二）坐标系与参数方程1．(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A (2,0),B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4,D (2,π),弧»AB ,,»CD所在圆的圆心分别是(1,0),⎝⎛⎭⎪⎫1，π2,(1,π),曲线M 1是弧»AB ,曲线M 2是弧,曲线M 3是弧»CD. (1)分别写出M 1,M 2,M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1,M 2,M 3构成,若点P 在M 上,且|OP |＝3,求P 的极坐标．解：(1)由题设可得,弧»AB ,,»CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ,ρ＝2sin θ,ρ＝－2cos θ,所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4,M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4, M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ,θ),由题设及(1)知：若0≤θ≤π4,则2cos θ＝3,解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4,则2sin θ＝3,解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π,则－2cos θ＝3,解得θ＝5π6. 综上,P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.(1)写出C 的普通方程,并用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为直线的倾斜角,t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交？若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由．解：(1)C 的普通方程为x 24＋y 2＝1,由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2得x －y －2＝0, 则直线l 的倾斜角为π4,又直线l 过点(2,0),得直线l 的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程得 5t 2＋42t ＝0,解得t 1＝0,t 2＝－425,显然l 与C 有两个交点,分别记为A ,B ,且|AB |＝|t 1－t 2|＝425.3．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,α为倾斜角),曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数,β∈[0,π])．以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ,求点P 的极坐标．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β，得(x －4)2＋y 2＝4.∵β∈[0,π],∴曲线C 的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4(y ≥0)． ∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,α为倾斜角),∴直线l 的倾斜角为α,且过原点O (极点)． ∴直线l 的极坐标方程为θ＝α,ρ∈R. (2)由(1)可知,曲线C 为半圆弧．若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ,则直线l 与半圆弧相切．设P (ρ,θ)(ρ>0)．由题意,得sin θ＝24＝12,故θ＝π6.而ρ2＋22＝42,∴ρ＝2 3.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.4．(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α(α为参数),直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos β，y ＝t sin β(t 为参数,0≤β<π),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|OA |－|OB |＝2,求β. 解：(1)由曲线C 的参数方程可得普通方程为(x －2)2＋y 2＝3, 即x 2＋y 2－4x ＋1＝0,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l 的参数方程可得直线l 的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．因为直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,所以设A (ρ1,β),B (ρ2,β)(ρ1>ρ2),联立得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝β，可得ρ2－4ρcos β＋1＝0,因为Δ＝16cos 2β－4>0,所以cos 2β>14,所以|OA |－|OB |＝ρ1－ρ2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝16cos 2β－4＝2, 解得cos β＝±22,所以β＝π4或3π4. 5．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1,φ),B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1,ρ2,ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ,C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数),求四边形OBAC的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ,ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6,ρ3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6,则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1. (2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0,将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0,解得t 1＝0,t 2＝3,∴在平面直角坐标系中,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32,C (2,0),则ρ2＝1,ρ3＝2,φ＝π6,∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.6．(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ,B ,Q 是曲线C 上的动点,求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0,所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ,得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ,化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ,所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知,曲线C 是以(2,2)为圆心,22为半径的圆,直线l 过点P (3,2),可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t ，y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程,得t 2－92t ＋33＝0.设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝92,t 1t 2＝33, 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2,2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22,所以△ABQ 面积的最大值为12×30×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22＝5152.7．(2019·贵阳第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ,y )为曲线C 上任意一点,求x ＋y 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，消去t 得y ＝x ＋42,由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ,由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1,即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心,1为半径的圆,圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5>1,所以直线l 与曲线C 相离．(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数),则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4,又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1,则－2≤x ＋y ≤2,所以x ＋y 的取值范围为[－2,2]．8．(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时,若曲线C 与射线l 交于A ,B 两点,求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2, 令x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中,得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0,结合0<r <2,得3<r 2<4.方程的解ρ1,ρ2分别为点A ,B 的极径,ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝4－r 2>0, ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3<r 2<4,∴0<4－r 2<1, ∴1|OA |＋1|OB |∈(2,＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数,t ≥0),将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得,t 2－2t ＋4－r 2＝0,令Δ＝4－4(4－r 2)>0,结合0<r <2,得3<r 2<4,方程的解t 1,t 2分别为点A ,B 对应的参数,t 1＋t 2＝2,t 1t 2＝4－r 2,t 1>0,t 2>0, ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3<r 2<4,∴0<4－r 2<1, ∴1|OA |＋1|OB |∈(2,＋∞)．。

2020届高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第1讲坐标系与参数方程课时作业(选修4_4)

第1讲坐标系与参数方程限时45分钟满分50分解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分)1．(2020·惠州模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝23cos θ＋2sin θ,直线l 1：θ＝π6(ρ∈R ),直线l 2：θ＝π3(ρ∈R )．以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l 1,l 2的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；(2)若直线l 1与曲线C 交于O ,A 两点,直线l 2与曲线C 交于O ,B 两点,求△AOB 的面积．解析：(1)依题意,直线l 1的直角坐标方程为y ＝33x ,直线l 2的直角坐标方程为y ＝3x . 由ρ＝23cos θ＋2sin θ得ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ, 因为ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y , 所以(x －3)2＋(y －1)2＝4, 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)联立得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝23cos θ＋2sin θ，所以|OA |＝4,同理,|OB |＝2 3. 又∠AOB ＝π6,所以S △AOB ＝12·|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×4×23×12＝23,即△AOB 的面积为2 3.2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中,O 为极点,点M (ρ0,θ0)(ρ0＞0)在曲线C ：ρ＝4sinθ上,直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直,垂足为P .(1)当θ0＝π3时,求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M (ρ0,θ0)在C 上,当θ0＝π3时,ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cosπ3＝2. 设Q (ρ,θ)为l 上除P 的任意一点,在Rt △OPQ 中,ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以,l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ,则ρ＝4cos θ,因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM ,故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 3．(2020·成都摸底)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝1＋32t (t为参数)．在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ2(1＋2cos 2θ)＝3.(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M (1,1),若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ,B ,求|AM |＋|BM |的值．解析：(1)由直线l 的参数方程消去参数t ,得x －1＝33(y －1), 化简,得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0. 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos 2θ＝3, ∴(x 2＋y 2)＋2x 2＝3,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 23＝1.(2)由题易知,点M 在直线l 上．将直线l 的参数方程代入x 2＋y 23＝1,得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＝1,化简,得t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33t ＋23＝0, 此时Δ＝83＋833＞0,此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ,B 对应的参数t 1,t 2.由根与系数的关系,得t 1＋t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋233,t 1t 2＝23,∴|AM |＋|BM |＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝2＋233.4．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数),曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程．(2)若射线θ＝π6(ρ＞0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB |.解析：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数),所以曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4. 因为曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1,所以把x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1,得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1,化简得ρ＝2cos θ. (2)依题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6, 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0, 将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 1的极坐标方程,得ρ2－2ρ－3＝0,解得ρ1＝3,同理,将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 2的极坐标方程,得ρ2＝3,所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3. 5．(2020·长春模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若过点F (1,0)的直线l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2交于M ,N 两点,求|FA ||FB ||FM ||FN |的取值范围．解析：(1)曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1,曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),因为直线l 与曲线C 2：y 2＝4x 有两个交点,因此sin α≠0. 联立直线l 与曲线C 1：x 22＋y 2＝1, 可得(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0, 则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝11＋sin 2α, 联立直线l 与曲线C 2：y 2＝4x , 可得t 2sin 2α－4t cos α－4＝0, 则|FM |·|FN |＝|t 3t 4|＝4sin 2α,所以|FA |·|FB ||FM |·|FN |＝11＋sin 2α4sin 2α＝14·sin 2α1＋sin 2α＝14·11＋1sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18.。

2019-2020年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题八鸭部分十九坐标系与参数方程课时作业文

2019-2020年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题八鸭部分十九坐标系与参数方程课时作业文1．(xx·郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.2．(xx·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解析：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2,22s)，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋－22＝2s －22＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝122，t 1t 2＝48>0，所以|PM|＋|PN|＝|t 1＋t 2|＝12 2.4．(xx·全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 5．(xx·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB |≥23，求实数a 的取值范围．解析：(1)根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12，设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －6，y ′＝2y ，代入x 2＋y 2－4y ＝12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝ax ，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d ≤22－32＝1，即|3a －1|a 2＋1≤1，解得0≤a ≤34.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.6．(xx·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解析：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.。

2020高考数学二轮复习专题讲练20选修4-4极坐标系与参数方程专题(最新,超经典)

2020高考数学二轮复习专题讲练20选修4－4坐标系与参数方程专题（最新，超经典）专题七选考内容第1讲选修4－4坐标系与参数方程全国卷3年考情分析考|题|细|目|表1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用。

2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用。

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝y x (x ≠0)。

2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)。

几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b 。

3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ。

4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cosα，y ＝y 0＋t sinα(t 为参数)。

设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量。

5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)。

2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：坐标系与参数方程(选修4—4)含解析

即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.
(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P( cosα,sinα)到直线x+y-8=0的距离d= ,
所以当sin =1时,d的最小值为3 ,此时点P的坐标为
当cosα=0时,l的普通方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=- ,
故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.
解：(1)由曲线C1: (α为参数),得
(α为参数),
两式两边平方相加,得 +y2=1,
即曲线C1的普通方程为 +y2=1.
由曲线C2:ρsin =4 ,得
(sinθ+cosθ)=4 ,
即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,
则|PA|= |5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
5.(20xx全国Ⅲ,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为 (θ为参数),过点(0,- )且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题七系列第1讲坐标系与参数方程练习理

第1讲坐标系与参数方程「考情研析」高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大。

核心知识回顾1.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ），则2．常见圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r的圆:错误!ρ＝r（0≤θ〈2π)．（2)圆心为M(a,0），半径为a的圆：□，02ρ＝2a cosθ错误!.（3）圆心为M错误!,半径为a的圆：错误!ρ＝2a sinθ(0≤θ≤π）．3．常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为α:错误!θ＝α(ρ∈R）．(2）直线过点M(a，0）,且垂直于极轴：错误!ρcosθ＝a错误!.(3）直线过点M错误!，且平行于极轴：错误!ρsinθ＝a(0〈θ〈π）．4．直线、圆与椭圆的参数方程热点考向探究考向1 极坐标方程及应用例1 (2019·全国卷Ⅱ）在极坐标系中,O 为极点，点M (ρ0,θ0)（ρ0〉0）在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A （4,0)且与OM 垂直,垂足为P .（1)当θ0＝错误!时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解（1)因为M （ρ0，θ0)在曲线C 上,当θ0＝π3时，ρ0＝4sin 错误!＝2错误!. 由已知得|OP ｜＝｜OA ｜cos 错误!＝2.设Q（ρ,θ）为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcos错误!＝|OP|＝2.经检验，点P错误!在曲线ρcos错误!＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcos错误!＝2.（2）设P（ρ,θ）,在Rt△OAP中，|OP｜＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ。

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是错误!。

2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题七选修系列(1) 坐标系与参数方程 Word版含答案

[例 3] (2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线
C1
的参数方程为xy＝＝sin3coαs
α，
(α
为参数)，以坐标原点
为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
C2 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4＝2 2.
第二十四页，编辑于星期日：一点五分。
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．解：(1)C1 的普通方程为x32＋y方程为ρ2＋2ρcos θ＋
4ρsin θ＋4＝0.
第八页，编辑于星期日：一点五分。
[规律方法] 1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓
住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝
xy(x≠0)，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．
2k－1 y＝2k2－k 1
k为参数，且k＞12.
(2)由 ρ＝4cos θ，得 ρ2＝4ρcos θ，所以 x2＋y2＝4x.
x＝ 2 ， 2k－1 将y＝2k2－k 1 代入 x2＋y2＝4x 整理得 k2－4k＋3＝0，
第三十一页，编辑于星期日：一点五分。
所以 k1＋k2＝4. 故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 4.
x＝1－ 22t，
解：(1)直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，
y＝ 22t
消去参数 t，得 x＋y－1＝0.
第十七页，编辑于星期日：一点五分。
x＝2cos θ，
曲线 C 的参数方程为
(θ 为参数)，
y＝2＋2sin θ

2020届高考数学(文)二轮强化专题卷：(13)坐标系与参数方程 Word版含答案

（13）坐标系与参数方程1、选修4—5；极坐标与参数方程已知直线l 的参数方程为1324x ty t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为π)4ρθ=-.(1).求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2).设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB . 2、已知过点(,0)P a 的直线l的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1).求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2).若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试问是否存在实数a，使得AB =实数a 的值；若不存在，说明理由.3、在直角坐标系 xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 2sin (x y ααα=+=+⎧⎨⎩为参数),直线2C的方程为y =,以 O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程;（2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点,求11OAOB+4、在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=uuu r uu u r,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为42cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点(2,1),M 直线l 与曲线C 分别相交于点,,A B 求MA MB ⋅的值.6、曲线1C 的参数方程为21,21x t y t =+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2:2cos (0)C a a ρθ=>关于1C 对称. 1.求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；2.将2C 向左平移2个单位长度，按照1,2x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值.7、在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值.8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．9、在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为3cos {(x y ααα==为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1.求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程2.设点P 为曲线C 上的任意一点,求点P 到直线l 的距离的最大值10、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2x m y m=⎧⎨=⎩(m 为参数)，在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合的极坐标系中，圆O 的极坐标方程为()0a a ρ=>.1.若直线l 与圆O 相切，求a 的值；2.若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：(1)直线13:24x t l y t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数),消去t 得42(1)3y x --=+,即4320x y +-=曲线π:)4C ρθ=-,即2cos 2sin ρθθ=+又cos ,sin x y ρρθρθ==故曲线22:220C x y x y +--=,:4320l x y +-=(2).直线l 的参数方程为1324x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参22220x y x y +--=数）⇒直线l 的参数方程为//315425x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（/t 为参数）代入曲线22:220C x y x y +--=消去y x ,得/2///124303,1t t t t ++=⇒=-=- 由参数/t 的几何意义知，//12312AB t t =-=-+=解析：2答案及解析：答案：(1).消t由2x y a =+直线l的普通方程为0x a -= 由6cos ρθ=，26cos ρρθ∴=曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=(2).由于曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，则圆心(3,0),3r =，所以圆心到直线l 的距离32a d -=，根据垂径定理可得222()2ABd r +=，即22392a ⎛-⎫+= ⎪⎝⎭，可求得3a =±3a =± 解析：3答案及解析：答案：（1）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=, 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=, 由于直线2C 过原点,且倾斜角为π3, 故其极坐标为()R 3πθρ=∈ (或tan θ=) （2）由24cos 4sin 70π3ρρθρθθ⎧--+==⎪⎨⎪⎩,得()2270ρρ-+=,故12122,7ρρρρ+==121211OA OB OA OB OA OB ρρρρ++∴+===⋅ 解析：4答案及解析：答案：(1)设P 的极坐标为()(),0ρθρ>，M 的极坐标为()11(),0θρρ>由题设知OP ρ=，14cos OM ρθ=-由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()4cos 0ρθρ=>因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠(2)设点B 的极坐标为()(,)0B B ραρ>由题设知2OA =，4cos B ρα=，于是OAB △面积1sin 2B s OA AOB ρ=⋅⋅∠π4cos sin 3αα=-⎛⎫ ⎪⎝⎭π2sin 23α⎛⎫ -⎪⎭-⎝=2≤+当π12a =-时，S取得最大值2所以OAB △面积的最大值为2解析：5答案及解析：答案：解:（1）由曲线C 的参数方程42cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)得普通方程为22(4)(3) 4.x y -+-=所以极坐标方程为28cos 6sin 210.ρρθρθ--+= （2）设点,A B 对应的参数分别为12,,t t将2,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入22(4)(3)4,x y -+-=得21)10,t t -+=所以12 1.t t =2,:1x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)可化为122,212,x t y t ⎧=+⨯⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以1212224 4.MA MB t t t t ⋅=⋅== 解析：6答案及解析：答案：1.曲线1C 的普通方程为20x y --=,由2cos a ρθ=得22cos a ρρθ=，根据222,cos x y x ρρθ=+=，得222x y ax +=,即222()x a y a -+=.又曲线2C 关于1C 对称，故2C 的圆心(,0)a 在直线1C 上，得2a =. 故曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.2.将2C 向左平移2个单位长度，得224x y +=,由1,2x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得2,,x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，代入224x y +=,整理得3C 的方程为2213y x +=. 设点P坐标为(cos )ϕϕ，点P 到1C的距离d ==当ππ2π,Z 62k k ϕ-=+∈,即2π2π,Z 3k k ϕ=+∈时，点P 到1C的距离最大，最大值为解析：7答案及解析：答案：(1).曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.(2).将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =.因为点M对应的参数为122t t +=所以12122t t PM AB t t +⋅=⋅-=3==解析：8答案及解析：答案：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. （2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. 解析：9答案及解析：答案：1.因为直线l 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以222ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭即0x y -=曲线C的参数方程为3cos {x y αα== (α为参数)所以22193x y += 2.设()3cos p αα,则P 到直线l 的距离为d ==所以当sin 14πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,d取最大值2解析：10答案及解析：答案：1.圆O 的直角坐标方程为222x y a +=，直线l 的一般方程为220x y -+=，∴d ==，∴5a =；2.曲线C 的一般方程为2y x =，代入220x y -+=得2220x x --=， ∴122x x +=，122x x =-，∴12AB x =-==解析：。