2019届北京市海淀区高一数学期末试卷及答案
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+ 因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+.存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数学试题和答案(原版)
北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数 学2020.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =−<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}−,, （2）不等式|1|2x −≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x −≤≤D. {|33}x x −≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是( )A. 1y x=B.2x y =C.y =D.ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 ( ) A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( ) A.(3,1)− B. (0,1) C. (]3,0− D. (0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)−，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x −<的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =−，则点B 的坐标为_________,CB 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=−的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =−，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人. 基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =−−.（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB =+.（Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .(18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (参考数据:41.2 2.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1图2图附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度δ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度δ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑;②1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =−，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度δ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）北京市海淀区2109-2020学年高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1,)−∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636−=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A == ..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =−−≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =−−开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =−−≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分 (Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=−>⎪⎩， ..........8分解得3a <−，所以a 的取值范围是{|3}a a <−. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+−=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =−=−，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =−=−， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =−，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =−∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =−=−<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分(Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k −+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T−=+>−即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=−，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=−=−，，由111()()k k f f T TT −=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +−=−=−∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=−<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市海淀区2019年高一下学期期末练习数学试题 Word版含答案
海淀区2018-2019学年高一年级第二学期期末练习数 学最新试卷十年寒窗最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为 （ ） A. {|31}x x x <->或 B. {|13}x x x <->或 C. {|13}x x -<< D. {|31}x x -<<2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于 （ ）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为 （ ） A ．12B ．12-C ．32D ． 32-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1ba<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为 （ ）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是 （ ） A. 20≤x ≤30 B. 20≤x ≤45 C. 15≤x ≤30 D. 15≤x ≤45 7. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，2a c =，则B ∠等于 （ ） A. 45︒ B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级 平均值为2，方差为2 初二年级 平均值为1，方差大于0 高一年级 中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是 （ ）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是 ． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为 ．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________， 此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a nb =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD . （Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.17. （本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（III）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为i x ，若存在正整数n ，使得126n x x x +++=，则称n 为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率； （Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案 2016.7数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分 故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分 故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时， ABD ∆的面积11393sin 332224ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------2分ACD ∆的面积11333sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积9333153424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分 又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC .所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分 在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分 28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+= 故27AB =. -----------9分 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分 即272sin 32B =∠，整理得3212sin 147B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分 因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE . ---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分 又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分 所以321sin 1427AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分 （Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分 则事件D 包含12个基本事件， ----------6分 而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分 由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分 而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分 所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ， 共有36个基本事件， -----------6分 而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分 所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式： ①22212314++=； ②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同， 所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4， 所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可 ， 由于20）7-（51i 2i =∑=C，所以易知115≤C ，当115=C 时，由于3551i i =∑=C ，20）7-（51i 2i =∑=C ， 所以2441i i =∑=C，421(7)4i i C =-=∑ 此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i =∑=C ，20）7-（51i 2i =∑=C ， 所以2541i i =∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ， 若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i ）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i =∑=C ，2）7-（42i 2i =∑=C ， 易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。
3_2019北京海淀高一(上)期末数学
如图，在四边形 OBCD 中， CD 2BO ， OA 2 AD ， D 90 ，且 BO AD 1 .
（Ⅰ）用 OA,OB 表示 CB ； （Ⅱ）点 P 在线段 AB 上，且 AB 3AP ，求 cos PCB 的值 .
C
B
P
O
A
D
3 / 11
(18) （本小题共 12 分）
2019 北京海淀高一（上）期末 数学
2019.01
学校班级姓名 成绩
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
（ 1）已知集合 A {1,2} ， B { x | 0 x 2} ，则 A B
()
（ A） {1}
（ B） {1,2}
OA,OP .
（ 14）已知函数 f ( x)
2x 1,
x a,
x2 2a, x a.
B P
（Ⅰ）若函数 f ( x) 没有零点，则实数 a 的取值范围是
O
A ________；
（Ⅱ）称实数 a 为函数 f ( x) 的包容数，如果函数 f ( x2 ) f ( x1) .
f ( x)0 x 2}
（ 2）已知向量 a (m,6) ， b ( 1,3) ，且 a b ，则 m
()
（ A） 18
（ B） 2
（ C） 18
（D） 2
（ 3）下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 上是增函数的是
（ A） f (x) 2 x
3
（ B） f (x) x （ C） f ( x) lg x
, a) ，都存在 x2 (a,
) ，使得
北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(精品解析)
海淀区2018-2019高一年级期末统一考试数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：A．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.已知向量，，且，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据可得出，解出m即可．【详解】；；．故选：D．【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．3.下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，，为幂函数，既是奇函数又在上是增函数，符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，是正弦函数，在上不是增函数；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.命题，则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题，得解．【详解】命题p：，，则是：，，故选：C．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定，属简单题．5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合平方关系即可求得的值．【详解】由，得，即，代入，得，，，为第三象限角，则．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．【详解】角的终边经过点，，，，故，而，正负号不确定，，正负号不确定，故选：B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得的图象，故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．8.如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为. 则下列关于函数的说法正确的（）A. 的定义域是B. 的图象的对称中心是C. 的单调递增区间是D. 对定义域内的均满足【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），则以点P为切点的圆的切线方程为：x cosα+y sinα=1，得：函数f （α）=，结合三角函数的性质得解．【详解】由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），则以点P为切点的圆的切线方程为：x cosα+y sinα=1，由已知有cosα≠0，令y=0，得：x=，即函数f（α）=，由cosα≠0，得：α≠2kπ±，即函数f（α）的定义域为：±，k∈z}，故A错误，由复合函数的单调性可知：函数f（α）的增区间为：[2kπ，2k），（2k2kπ+π]，k∈Z，故C错误，f（α）,故D错误，函数f（α）的对称中心为（k，0），k∈Z，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆的切线方程、及三角函数的性质，属中档题．二、填空题，把答案填在题中横线上.9.已知，则_____【答案】2【解析】【分析】由，得，由此能求出结果．【详解】，．故答案为：2．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知，，则___；____.【答案】(1). 11(2).【解析】【分析】由数量积的坐标运算可求；由可求结果．【详解】，，，．故答案为：11；．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，坐标运算，考查计算能力．11.已知集合，，集合满足，.则一个满足条件的集合是____ 【答案】（或或）【解析】利用子集、并集的定义直接求解．【详解】集合2，3，4，，，集合S满足S A，．一个满足条件的集合S是2，3，或2，4，或2，．故答案为：2，3，或2，4，或2，．【点睛】本题考查集合的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集是_____【答案】或【解析】【分析】容易判断偶函数在上单调递增，且，从而根据可得出，从而得出，解该绝对值不等式即可得出原不等式的解集．【详解】，为增函数，是R上的偶函数；；由得；；解得，或；原不等式的解集为或．故答案为：或．【点睛】本题考查偶函数的定义，清楚和的单调性，以及增函数的定义，绝对值不等式的解法是解本题的关键．13.如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____.【答案】(1). 2(2). 0【分析】由弧长公式得：，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，，，结合两角和差的正弦公式则，进而即可得解.【详解】由弧长公式得：，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，，设，则，则，又，所以，当即时，取得最大值，故答案为：2，0．【点睛】本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题．14.已知函数（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是________；（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得. 在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）【答案】(1). Ⅰ或(2). Ⅱ②③【解析】【分析】Ⅰ考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．【详解】Ⅰ函数，由时，，无零点；若时，，当时，，无零点；当时，由，即，由时，递增，可得，由，可得，无零点；综上可得或；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时，，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意．综上可得函数的包容数是②③．故答案为：或；②③．【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数的单调递增区间是：，（Ⅲ）见解析【解析】【分析】Ⅰ利用正弦函数的周期公式即可计算得解；Ⅱ利用正弦函数的单调性即可求解；Ⅲ利用五点作图法即可画出函数在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解．【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）由，得，.所以函数的单调递增区间是：，.（Ⅲ）函数的简图如图所示.函数在区间上的取值范围是.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．16.已知函数，存在不等于1的实数使得.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出与的大小关系.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据题意，分析可得，变形可得，分析可得b的值；Ⅱ根据题意，任取，由作差法分析可得答案；Ⅲ根据题意，对c的值分2种情况讨论，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】（Ⅰ）因为实数使得，所以，即.因为，所以，即.经检验，满足题意，所以.（Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下：任取，，当时，.所以.所以，即.所以函数在上单调递增.（Ⅲ）当时，；当时，.【点睛】本题考查函数单调的判定以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出b的值．17.如图，在四边形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可．【详解】（Ⅰ）因为，所以.因为，所以（Ⅱ）因为，所以.因为，所以点共线.因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为，，，所以.所以，.因为点在线段上，且，所以所以.因为，所以.【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．18.设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据新定义，即可求出判断，Ⅱ根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，Ⅲ根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：因为对，，所以.所以均有，即不存在，，使得.所以不是函数的ℱ区间（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，，使得.所以.因为所以，即.又因为且，所以.（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设. 又因为，所以.所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间的长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.②当时，有，所以.（i）当时，有即.所以也符合题意.（ii）当时，有即.所以符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题19.声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点位于图④中波形曲线上.③④（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型来模仿图④中的波形曲线：___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.【答案】(1). Ⅰ②(2). Ⅱ，【解析】【分析】Ⅰ由题意可设未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，结合图③和图④，即可得到结论；Ⅱ由图④可设，，代入，结合图形，计算可得所求解析式．【详解】Ⅰ未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍，即有未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，由图③和图④，可得图③的周期为图④周期的2倍，描述未成年女性声音的声波图为②；Ⅱ由图④可设，，由，可得，由图④可得，可得，，故答案为：②，，．【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，考查数形结合思想和待定系数法，考查运算能力，属于基础题．。
北京市海淀区2019-2020学年第一学期高一期末数学试题
高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）12（10） (0,)+∞；{|12}x x << （11）(22)，；(03)， （12）1 ；(,0)(1,)-∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 1051343195a =⨯-=； ..........2分 901324195b =⨯-=； ..........4分 (Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为441059012076⨯+⨯=； ..........7分 (Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0， 列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636-=种，.........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件A ，则366()427P A ==..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =--≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =--≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥..........7分(Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=->⎪⎩， .........8分解得3a <-，所以a 的取值范围是{|3}a a <-. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+-=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). .........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤； ..........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分 (Ⅲ) ① A ； ,......................................................................................................................................10分②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为()f x 满足性质(2)P ，所以对于任意的0x >，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =-=-， ........3分所以，1(4)()04f f +=. ...........4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =-，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =-∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ..........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数()f x 同时满足性质1()P T 和2()P T . ...........7分 (Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为()f x 的零点； ...........8分② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k -+=+=+∈N ，其中.取[]1M Mk T T-=+>-即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，()f x 存在零点. ...........9分 ③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T =-，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T =-=-，，由111()()k k f f T TT -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T+-=-=-∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=-<. 所以，()f x 存在零点.综上，()f x存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ..........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市海淀区一零一中学高一数学下学期期末考试试题(含解析)
北京市海淀区北京一零一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.不等式1 xx->0的解集是（）A. （－∞，0）U（1，+∞）B. （－∞，0）C. （1，+∞）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】由题意可得，()1010xx xx->⇔->，求解即可.【详解】()1010xx xx->⇔->，解得1x>或0x<，故解集为（－∞，0）U（1，+∞），故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.2.如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积为1V，E为棱1CC上的点,且113CE CC=，三棱锥E－BCD的体积为2V，则21VV=（）A.13B.16C.19D.118【答案】D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案. 【详解】由题意，11ABCD V S CC =⋅，21111113321318BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭V ，则21118V V =. 故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是所在棱的中点，则MN 与平面1BB D 的位置关系是（ ）A. MN ⊂平面1BB DB. MN 与平面1BB D 相交C. MN //平面1BB DD. 无法确定MN 与平面1BB D 的位置关系 【答案】C 【解析】 【分析】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，可证明平面//EMN 平面1BB D ，由于MN ⊂平面EMN ，可知//MN 平面1BB D .【详解】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，显然11//,////EM BD EN CC BB ， 因为EM ⊄平面1BB D ，EN ⊄平面1BB D ， 所以//EM 平面1BB D ，//EN 平面1BB D ， 又EM EN E =I ，故平面//EMN 平面1BB D ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面1BB D . 故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.4.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A. 11x y x y->- B. cos cos 0x y -<C.110x y-> D. ln x +ln y >0【答案】A 【解析】 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.5.等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A. a 1＝1 B. a 3＝1 C. a 4＝1 D. a 5＝1【答案】B 【解析】分析：由题意知25511T a q （）==，由此可知211a q =，所以一定有31a =． 详解2342551111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅==：（），211a q ∴= ，31a ∴= ．故选：B ．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6.设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. α，β平行于同一条直线 C. α，β垂直于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面【答案】C 【解析】 【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于选项A ，当α，β相交于直线l 时，α内有无数条直线与β平行，即A 错误； 对于选项B ，当α，β相交于直线l 时，存在直线满足：既与l 平行又不在两平面内，该直线平行于α，β，故B 错误；对于选项C ，设直线AB 垂直于α，β平面，垂足分别A,B ，假设α与β不平行，设其中一个交点为C ，则三角形ABC 中，90ABC BAC ︒∠=∠=，显然不可能成立，即假设不成立，故α与β平行，故C 正确；对于选项D ，α，β垂直于同一平面，α与β可能平行也可能相交，故D 错误. 【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7.如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中△PAB 的面积的最大值为（ ）A.1sin 2β+sin2β B. sin β+12sin2β C. β+sin β D. β+cos β【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=，12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大，求解即可. 【详解】在ABP △中，由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=.12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB 的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大. 取AB 的中点C ，过点C 作AB 的垂线，交圆于点D ，取圆心为O ，则2221sin cos OC OB BC ββ=-=-=（β为锐角），1cos CD DO OC β=+=+.所以ABP △的面积最大为()()1112sin 1cos sin sin cos sin sin 2222S AB DC βββββββ=⋅=⋅+=+=+. 故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.8.已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°.则球O 的体积为（ ） A. 86π B. 43π6πD.3π2【答案】D 【解析】 【分析】计算可知三棱锥P －ABC 的三条侧棱互相垂直，可得球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，球的直径23d PA =O 的体积.【详解】在△PAC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，,0EC y x =>，0y >， 因为点E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以1,2EF PB x AE x ===， 在△PAC 中，22cos 222x θ=⨯⨯，在△EAC 中，22cos 22x θ=⨯⨯整理得221x y -=-，因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以6CF =， 又因为∠CEF =90°，所以2232x y +=， 所以12x =， 所以21PA PB PC x ====.又因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以PA,PB,PC 两两垂直，则球O 是以PA 为棱的正方体的外接球， 则球的直径233d PA ==，所以外接球O 的体积为33443πππ3322d V r ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题。
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北京市海淀区 2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试题本试卷共 100分.考试时间 90分钟.三题号分数一二1516 17 18一.选择题：本大题共 8小题, 每小题 4分,共 32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集U{1,2,3,4},A {1,2},B {2,3},则 () B（ ）A UA.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 2.代数式s in120 cos210的值为（）3 43 3 D.1A.B.C.424,b 3.已知向量 (1,1), ( , 2), 若a 共线,则实数 的值为 （（））a b x x x2 A. 1 B.2 C.1或 2 D.1或21 4.函数 f (x)的定义域为 lgx 1A.(0,)B.(0,1) (1,) C.(1,)D.(0,10) (10,)5.如图所示,矩形 中, AB4, 点 E 为 AB 中点, C AB C D D 若 D E A C ,则| DE| （ ）B A5 E 2 3 C.3D.2 2A. B. 216.函数 ( ) f xl og 的零点所在的区间是 （ ） x 4x41 1A.(0, )B.( ,1)C.(1,2 )D.(2,4) 2 2π7.下列四个函数中，以π 为最小正周期，且在区间( ,π) 上为减函数的是（ ） 2A.y2|s inx | B.y s in2x C.y 2|cosx | D.y c os2x| x| a | x a |8.已知函数 f (x),则下列说法中正确的是 （ ）A.若a( ) 1 ，则 f x 恒成立 B.若 f (x) 1恒成立，则aC.若a0 ，则关于的方程 xf (x) a 有解(x) a 有解，则0 a 1D.若关于 的方程 f x二.填空题：本大题共 6小题, 每小题 4分,共 24分.把答案填在题中横线上. (1, 3),则9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点cos ____.10.比较大小：s in1cos1(用“ ”,“ ”或“ ”连接).B P11.已知函数 ( ) 1 3 , (,1) ,则 f 的值域为. f x x x (x) O1 4A12.如图，向量 BP 则____.x yBA,若OP x OA+yOB,13.已知sin t an 1，则cos____.π(x) [t ,t 1] (x) s in x，任取 t R ，记函数 , 上的最大值为 M 最小值为 m ，记14.已知函数 f 在区间 f 2 t t h(t) M m . 则关于函数h(t)有如下结论：tt(t ) ①函数h 为偶函数；2 (t ) ②函数h 的值域为[1 ,1]；2(t ) ③函数h 的周期为2 ；1 3 (t ) ④函数h 的单调增区间为 [2k ,2k ],k Z .22其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三.解答题:本大题共 4小题,共 44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 10分）已知函数 f (x) x bx c ，其中 b ,c为常数.2 （Ⅰ）若函数 f （Ⅱ）若对任意 xR(x )在区间[1,)上单调，求 的取值范围； bf (1 x) f (1 x ) f (x)的图象经过点(c ,b )，，都有 成立，且函数求 的值. b ,c 16.（本小题满分 12 分）已知函数.)f (x) s in (2x 3 （Ⅰ）请用“五点法”画出函数 f (x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的 数值，再画图）；（Ⅱ）求函数 f (x)的单调递增区间；x [0, ] （Ⅲ）当 时，求函数 f (x)的最大值和最小值2及相应的 的值.xy1xO 117.（本小题满分 12 分）已知点 A(1,0),B (0,1)，点 P(x , y)y x 1上的一个动点. 为直线（Ⅰ）求证：APB 恒为锐角；（Ⅱ）若四边形 ABP Q 为菱形，求 B Q AQ 的值.18.（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f (x)的图象连续不间断. 若函数 f (x) mR满足：对于给定的 （m0 m 1( )( ) ），存在 [0,1 ]，使得 ( ) ( )，则称 f x 具有性质 P m .x m f x f x m 且 0 0 0 1 1（Ⅰ）已知函数 ( ) ( )2， x [0,1]，判断 f (x) 是否具有性质 ( ) ，并说明理由；P f x x2 3 14x 1, 0 x , 431 4（Ⅱ）已知函数 ( ) 4 1, f x x, 若 f (x)具有性质 P(m)，求 的最大值； m x 43 4x 5, x 1. 4（Ⅲ）若函数 f(x )的定义域为[0,1]，且 f (x) 的图象连续不间断，又满足 f (0) f (1)，1N * k 2 且f (x) 求证：对任意k，函数 具有性质 ( ). P k北京市海淀区 2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共 8小题,每小题 4分,共 32分）题号 答案1 C2 A3 D4 D5 B6 C7 A8 D二、填空题（本大题共 4小题,每小题 4分） 三 、解答 题题 共 题,共 分) 1(2,1) 9． 10． 13． 11. (本大 6 小 80 212．1 21 514．③④215.（ 本满 分说明：14题答案如果只有③或④，则给 2分，错写的不给分小 题 10分）解：(I)因为函数 f (x) x 2 bx c ，b所以它的开口向上，对称轴方程为………………2分x 2 bb因为函数 f (x) 在区间[ ,) 上单调递增，所以 1，22所以 ………………………4分b 2 （Ⅱ）因为， f ( 1 x) f ( 1 x)所以函数 的对称轴方程为 ，所以b 2………………………6分 ………………………8分 ………………………10分f (x) x 1 又因为函数 的图象经过点 ，所以有 (c , b) c 2 2c c f (x) 2即 ，所以 或 c3c 2 0 2c 2 c 116．（本小题满分 12分）12x x (X )．填表：解：（I ） 令 X ，则 3 2 312x6 123632X22y1010………………………2分y1O1………………4分x（Ⅱ）令2k 2x 2k (k Z)………………………6分232x k12(k Z)解得k125[k ,k ](k Z)的单调增区间为s in(2x )所以函数y31212………………………8分（Ⅲ）因x[0,]为，所以，2x[0,](2x)[………………10分,]332333x 0y sin(2x )取得最小值所以当2x，即时，时，；332x y s in(2x )当2x，即取得最大值1……………………12分3212317.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点P(x,y)在直线y所以PA (1x,1x),PB (x,2x)，x 1上，所以点P(x,x 1)………………………1分123所以PA PB2x2x22(x x1)=2[(x)2]0………………………3分………………………4分224PA PB所以cos P A,PB|PA||PB|若A,P,B三点在一条直线上，则PA//PB，得到(x1)(x2)(x1)x0，方程无解，所以APB0…………………5分所以APB恒为锐角.………………………6分（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k。
2019北京海淀高一(上)期末数学
2019北京海淀高一（上）期末数学2019.01学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A，{|02}B x x ，则A B( )（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{02}x x （2）已知向量(,6)m a，(1,3)b，且a b ，则m( )（A ）18（B ）2（C ）18（D ）2（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)上是增函数的是（）（A ）()2xf x （B ）3()f x x（C ）()lg f x x（D ）()sin f x x（4）命题2:2,10p xx，则p 是（）（A ）22,10x x （B ）22,10x x （C ）22,1xx（D ）22,1xx（5）已知3tan4，sin 0，则cos（）（A ）35（B ）35（C ）45（D ）45（6）若角的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（）（A ）sin（B ）cos（C ）tan（D ）sin(π)（7）为了得到函数πsin()3y x的图象，只需把函数sin y x 的图象上的所有点（）（A ）向左平移2π3个单位长度（B ）向左平移π3个单位长度（C ）向右平移π3个单位长度（D ）向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角的函数记为()f . 则下列关于函数()f 的说法正确的是（）（A ）()f 的定义域是π{|2π,}2k kZ （B ）()f 的图象的对称中心是π(π,0),2k kZ（C ）()f 的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k Z（D ）()f 对定义域内的均满足(π)()f f 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)a，(3,4)b，则a b ______；2ab______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A ，{3,5}B ，集合S 满足S A 1ì，SB A .则一个满足条件的集合S是 . （12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 3时，()f x x x =+，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为弧度；若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OPOB OP 取得最大值时，,OA OP.（14）已知函数122,,()2,.x x a f x xa x a （Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ，都存在2(,)x a ，使得21()()f x f x .在①12；②12；③1；④2；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）TPyxO PBAO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）已知函数π()2sin(2)3f x x. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T 的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x xbxc ，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x .（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出(3)cf 与(2)cf 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO ，2OA AD ，90D ，且1BOAD .-π611yxO。
北京市海淀区重点名校2019-2020学年高一下学期期末综合测试数学试题含解析
7．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 丈，长 丈；上棱长 丈，无宽，高 丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（）
A． 立方丈B． 立方丈
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．
5．已知数列 的前 项和 ，那么（）
A．此数列一定是等差数列B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列D．以上说法都不正确
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 即可求得： ，当 时， 或 ，
对 赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.
所以 的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，
解得： .
【点睛】
本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.
4．已知 中， ， ， ，那么角 等于（）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由正弦定理求出 ，进而得出角 ，再根据大角对大边，大边对大角确定角 ．
【详解】
由正弦定理得： ， ，
∴ 或 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选B.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用当 与直线 垂直时， 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出 的最小值，然后利用勾股定理计算出 、 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形 面积的最小值．
【详解】
如下图所示：
由切线的性质可知， ， ，且 ，
2019-2020年北京市海淀区高一上册期末数学试卷(有答案)
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3 D．y=lg||5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（）=α，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（）=2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3 D．y=lg||【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c【解答】解：∵f（）=log2﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数0是函数y=f（）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），可得f（）为奇函数，则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin∈[﹣1，1]，∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，∵函数g（）是奇函数，∴g（﹣）=﹣g（），假设＜0，则﹣＞0，则g（﹣）=f（﹣）=2+4，∴g（）=﹣2﹣4，∴g（）=，（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）=f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数对于②f（+T）=log2（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．∵G（）=g（）﹣，∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．∴G（）=g（）﹣为周期函数．（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．∴sin（+T）+T=sin+T．令=0，得sinT+T=T；令=π，得﹣sinT+T=T；①②两式相加，得2T=2T．∵T≠0，∴=1检验：当=1时，φ（）=sin+．存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．综上，=1．。
北京海淀区2019-2020学年高一第一学期期末数学试题（Word版含答案）
第1 页共10 页海淀区高一年级第一学期期末调研数学2020.01学校班级姓名成绩考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，页，共三道大题，1818道小题道小题. . . 满分满分100分. . 另有一道附加题（另有一道附加题（另有一道附加题（55分）分）. . . 考考试时间90分钟分钟. .2．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名. . 3．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回. .一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1{0,1,2},2}A x x B =-<<=，则A B = ( )A. {0}B. {01}， C. {012}，， D. {1,012}-,,（2）不等式|1|2x -£的解集是的解集是 ( ) ( )A. {|3}x x £ B. {|13}x x ££ C.{|13}x x -££ D.{|33}x x -££（3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+¥上是增函数的是上是增函数的是 ( ) ( )A. 1y x =B.2xy = C.2y x = D.ln y x=（4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：甲乙9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是的是 ( ) ( )A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定（5）已知,a b ÎR ，则“a b >”是“1a b>”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ì³ï=íï-<î若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是取值范围是 ( ) ( ) ( ) A.(3,1)- B. (0,1) C. (]3,0- D. (0,)+¥（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是增函数”的一个充要条件是 ( ) ( ) ( ) A. 存在(1,2)a Î满足()(1)f a f £ B. 存在(1(1,2),2)a Î满足()(2)f a f ³ C. 存在,[1,2]a b Î且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b Î且a b <满足()()f a f b ³ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510´次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477»»） ( ) ( )A. 734.510´秒 B. 654.510´秒 C. 74.510´秒 D. 28秒 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0xf x a a =>且1)a ¹的图象经过点(1,2)-，则a 的值为__________. （10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x -<的解集为的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =-，则点B 的坐标为的坐标为_________,_________,CB 的坐标为的坐标为_________._________._________. （12）函数2()2xf x x =-的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________. （1414）对于正整数）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数的最大整数. .①则22()3f =_______; ②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是的值域中所含元素的个数是____________. ____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，人，女生女生90人. 基于目前高考制度的改革，基于目前高考制度的改革，为为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．份问卷中此题的答题情况．选“同意”的人数选“同意”的人数 选“不同意”的人数选“不同意”的人数男生男生 4 a 女生女生b2 （Ⅰ）写出a ，b 的值；的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =--. （Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ³的解集；的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ³在[3,)+¥上恒成立，求a 的取值范围；的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB=+. （Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ³”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段线段B. 射线射线C. 直线直线D. 圆 ②在图2中作出图形G . (18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+¥上连续不断上连续不断..若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (. (参考数据参考数据参考数据::41.22.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点存在零点. .附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）分） B COAB C OA1图2图在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ÎN +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势.（Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号）（写出所有正确说法对应的序号）A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度d ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度d ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为的偏置度的序号为 ________；l 2l 123131OP 3P 2P 1xy① 1112221=(,())(,())(,())(,())ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f xd ==-=-+-++-å;② 1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x d =-=-+-++-å.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长）的模长）（Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =-，用形如()f x ax b =+的函数去拟合的函数去拟合..当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度d ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点过点_______._______._______.（填点的坐标）（填点的坐标）（填点的坐标）草 稿 纸高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 题号题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案答案 B C C D D B D B 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （（10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1(1,,)-¥+¥ （13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4 注：两空的题，每空两空的题，每空22分；分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （1515）） ( (ⅠⅠ) ) 由题意可得由题意可得由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分 (Ⅲ) ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：列举如下：1111001111000001110001111110000000011110001111111..........9分共有76=42´种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636-=种，种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A ==..........11分（1616）） ( (ⅠⅠ) ) 当当1a =时，由2()230f x x x =--≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) ) 当当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+¥上单调递增，上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+¥上恒成立，只需(3)9630f a a =--≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分(Ⅲ) ) 因为因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ¹ìïD =+>ïïí+=>ïï=->ïî， ..........8分解得3a <-，所以a 的取值范围是{|3}a a <-. ..........9分因为2221212126()24x x x x x x a+=+-=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（1717）） ( (ⅠⅠ)PACB O图中点P 即为所求即为所求. . . ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ££ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ££”，(Ⅱ)给2分 (Ⅲ) ) ①① A ； ,..........10分 ②DACE B O图中线段DE 即为所求即为所求. . ...........12分（1818）） ( (ⅠⅠ) ) 因为满足性质，因为满足性质，因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立恒成立. .又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分 (4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =-=-， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分 (Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2TT =）， 记记 1.2()log g x x x =-，（或者设() 1.2(0,)xg x x x =-Î+¥，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ÎÎ，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分( (ⅢⅢ) ) ①① 若(1)0f =，则1即为的零点；即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)kk f T f T T f kT k -+=+=+ÎN ，其中. 取[]1M Mk T T-=+>-即可使得()0kf T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=-，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T =-=-，，由111()()k k f f T T T -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T+-=-=-ÎN ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T =-<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）分） 【答案】【答案】((Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ) ①① ...........4分(Ⅲ) 1(,1)2 ...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案 (2)
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13fk α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-.16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
2019年北京海淀区高一第二学期期末质量检测数学试卷 (23)
2019年北京海淀区高一第二学期期末质量检测数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1．1和5的等差中项是AB．C ．3D ．3±2．设a b >，则下列不等式中正确的是 A ．11a b＞B ．a c b c ++＞C ．22ac bc ＞D ．22a b ＞3．直线l 经过原点O 和点(1,1)P ，则其斜率为A ．1B ．-1C ．-2D ．24．下列结论中正确的是A ．经过三点确定一个平面B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一直线的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行5．空间两点(1,2,2)A -，(1,0,1)B --之间的距离为A ．5B ．3C ．2D ．16．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则OAB △ 的面积为A ．6 B．C ．12D．7．在ABC △中，面积S ，2c =，60B =°，则a = A ．2BCD ．18．圆224x y +=与圆22(3)1x y -+=的位置关系为 A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π10．设x,y满足如图所示的可行域（阴影部分），则12z x y =-的最大值为A．12B．0A．8 B．9 C．10 D．1112．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x-[x]，则，，A．成等差数列但不成等比数列B．成等比数列但不成等差数列C．既成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列也不成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设1x>，则11xx+-的最小值为．14．若直线2y kx=+与直线21y x=-互相平行，则实数=k.15．表面积为4π的球的半径为_________.16．已知ABC△的三边a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线1l：3420x y+-=，2l：220x y++=相交于点P.（1）求点P的坐标；（2）求过点P且与直线210x y--=垂直的直线l的方程.18．（本小题满分12分）已知不等式2(1)460a x x --+＞的解集为{}31x x -＜＜. （1）求a 的值；（2）若不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且36a =,312S =，设2n a n b =. （1）求n a ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC ∥AD ，2PA AB BC ===, 4AD=．（1）求四棱锥P ABCD -的体积； （2）求证：CD ⊥平面PAC .21．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，ccb=. （1）求角B 的大小；（2）设点D 为AB 上的一点，记BDCθ∠=，若2πθπ＜＜，2CD =，AD a =，求sin θ和b 的值.（第20题图）（第21题图）22．（本小题满分12分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 经过点A (1，0). （1）若直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时直线1l 的方程.张家界市2016-2017年普通高中一年级第二学期期末联考数学参考答案（B ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．2 15．1 16．(0,]3π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，，得22x y =-⎧⎨=⎩，所以P (2-，2)； ……………………………………………………5分（2）直线210x y --=的斜率为12， 所以2-=l k ，所以直线l 的方程为220x y ++=.………………………………………10分18．（1）由已知，10a -＜，且方程2(1)460a x x --+=的两根为3-，1.有4311631aa⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，解得3a =；……………………………………………6分（2）不等式2330x mx ++≥的解集为R ，则24330m ∆=-⨯⨯≤，解得66m -≤≤，实数m 的取值范围为(6,6)-. ……………………………………………12分19．（1）31131626221233122n a a d a a n S a d d ⎧=+=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+==⎪⎩⎪⎩⎩；……………………………6分（2）2224n a n n n b ===，123...n n T b b b b =++++23444...4n =++++144444143n n +-⨯-==-. ……………………………………………………12分所以tan B 故6B π=；…………………………………………………6分 （2）在BCD △中，sin sin CB CDBθ=，所以sin θ=，……………………………8分 在ACD △中，由sin θ=,2πθπ＜＜,所以cos ADC ∠=，………10分在ACD △中，由余弦定理的2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即222225AC =+-=，所以b = …………………………………………………………………12分 22．（1）①若直线1l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意． ……………………1分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2， 2=，解得34k =， 所求直线方程为1x =，或3430x y --=；………………………………6分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=，则圆心到直线1l 的距离d =，又∵三角形CPQ 面积12S d =⨯=∴当d 时，S 取得最小值2，则d ==17k k ==或，故直线方程为y ＝x －1，或y ＝7x －7. ……………………………………12分。
2019北京海淀高一(上)期末数学
（8）如图，在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边与单位圆 相交于点 .过点 的圆 的切线交 轴于点 ，点 的横坐标关于角 的函数记为 . 则下列关于函数 的说法正确的是 （ ）
（A） 的定义域是
（B） 的图象的对称中心是
（C） 的单调递增区间是
解：（Ⅰ） 不是函数 的ℱ区间，理由如下： ……………………1分
因为 对 ， ，
所以 . ……………………2分
所以 均有 ，
即不存在 ， ，使得 .
所以 不是函数 的ℱ区间. ………………………3分
（Ⅱ）由 是函数 （其中 ）的ℱ区间，可知
存在 ， ，使得 .
所以 . ……………………4分
因为
所以 ，即 . ……………………5分
注：对于其它正确解法，相应给分.
（13）如图，扇形 中，半径为1， 的长为2，则 所对的圆心角的大小为弧度；若点 是 上的一个动点，则当 取得最大值时， .
（14）已知函数
（Ⅰ）若函数 没有零点，则实数 的取值范围是________；
（Ⅱ）称实数 为函数 的包容数，如果函数 满足对任意 ，都存在 ，使得 .
在① ； ② ；③ ；④ ；⑤ 中，函数 的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）
（A） （B） （C） （D）
（4）命题 ，则 是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）若角 的终边经过点 ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有点 （ ）
2018-2019学年北京市海淀区高一第二学期期末复习测试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市海淀区高一第二学期期末复习测试数学试题一、单选题1．不等式2230x x +-<的解集为（ ） A ．{|3x x <-或1}x > B ．{|1x x <-或3}x > C ．{|13}x x -<< D ．{|31}x x -<<【答案】D【解析】根据不含参数的一元二次不等式的解法，可直接求出结果. 【详解】由2230x x +-<得(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<. 故选D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2．若等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前5项和5S 等于（ ） A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得到535S a =，进而可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 中，33a =， 则{}n a 的前5项和15535()5152a a S a +===. 故选B 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的性质即可，属于基础题型. 3．当3,5,7a b c ===时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为（ ）A ．12B ．12-C．2D． 【答案】B【解析】根据框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下： 输入3,5,7a b c ===，则22219254915z a b c =+-=+-=-，2223530z ab ==⨯⨯=，则12151302z m z ==-=-， 输出12m =-. 故选B 【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型. 4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 【答案】A【解析】 A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误；C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b <不成立，故C 项错误；D项，当1a =-，2b =-时，21b a =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误． 综上所述，故选A ．5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．34【答案】D【解析】记事件A={△PBC 的面积小于1}，基本事件空间是三角形ABC 的面积,(如图)事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE 是三角形的中位线)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P(A)=34.本题选择D 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ） A ．2030x ≤≤ B ．2045x ≤≤ C ．1530x ≤≤ D ．1545x ≤≤【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则2(1602)(50030)2130500y x x x x x =-⋅-+=-+-，(080)x <<，根据题意知，221305001300x x -+-≥，解得：2045x ≤≤， 所以当2045x ≤≤时，每天获得的利润不少于1300元，故选B ．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．7．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为a,b,c 若30,C a ︒∠==，则B Ð等于（ ）A ．45︒B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒【答案】C【解析】根据题中条件，结合正弦定理，先求出A ∠，再由三角形内角和为180︒，即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，30,C a ︒∠==，由正弦定理可得sin sin a c A C =，所以sin 1sin 22a C A c ===， 所以45A ∠=或135，因此1804530105B ∠=--=或1801353015B ∠=--=. 故选C 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表： 初一年级 平均值为2，方差为2 初二年级 平均值为1，方差大于0 高一年级 中位数为3，众数为4 高二年级 平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（ ） A ．初一年级B ．初二年级C ．高一年级D ．高二年级【答案】A【解析】根据平均值、方差、中位数以及众数的实际意义，即可得出结果. 【详解】能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差；平均值反应数据的平均水平，方差反应数据的波动大小，方差越大，波动越大.高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达标，高二年级知道平均数与中位数，也不能判断是否达标；故排除CD ；初二年级，方差大于0，但不确定具体取值，因此初二年级也不能判断是否达标； 初一年级，平均数和方差均为2，满足题意，因为若有一个数据大于5，方差必然大于2. 故选A 【点睛】本题主要考查平均数、方差、中位数、众数等，熟记其实际意义即可，属于基础题型.二、填空题9．若实数a ， b 满足02a <<， 01b <<，则a b -的取值范围是__________． 【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-.10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为_______. 【答案】12【解析】根据23412()a a q a a +=+，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等比数列{}n a 公比为2，且123a a +=，所以23412()12a a q a a +=+=.故答案为12 【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型. 11．如图，若5N =，则输出的S 值等于_______【答案】56【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】 执行框图如下：输入5N =，初始值1,0k S ==； 第一步：110122S =+=⨯，15<，进入循环； 第二步：112112,2233k S =+==+=´，25<，进入循环；第三步：213213,3344k S =+==+=´，35<，进入循环；第四步：314314,4455k S =+==+=´，45<，进入循环；第五步：415415,5566k S =+==+=´，结束循环，输出56S =；故答案为56【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______,此时x 的值为______.【答案】-3 2【解析】先将原式化为4()()1f x x x=-++，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号； 此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 最大值为3-，此时2x =. 【点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a =__,现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20,30)年龄段抽取的人数应为__【答案】0.035 10【解析】根据频率之和为1，结合频率分布直方图中数据，即可求出a 的值；根据分层抽样确定抽样比，进而可求出抽取的人数. 【详解】由题意可得，(0.0050.0150.0200.025)101a ++++⨯=，解得0.035a =； 因为在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，20岁到50岁的市民中20岁到30岁所占比例为0.02510.0250.0350.0153=++，故在[20,30)年龄段抽取的人数应为130103⨯=.故答案为(1). 0.035 (2). 10 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分组直方图即可，属于基础题型.14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为：___,64a 的最大值为__. 【答案】{3,1,1,3}-- 2016【解析】根据1n n a a n +-=，10a =，逐步计算，即可求出3a 所有可能的取值；由1n n a a n +-=，要使n a 取最大值，只需{}n a 为增数列，得到1n n n a a +-=，由累加法求出n a ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=， 所以211a a -=，因此21a =或21a =-；又322a a -=，所以322a a -=±，因此312a =±或312a =-±， 即3a 所有可能的取值为3,1,1,3--，故3a 所有可能的取值构成的集合为{3,1,1,3}--； 若n a 取最大值，则{}n a 必为增数列，即10n n a a +->， 所以有1n n n a a +-=，因此211a a -=，322a a -=，…，11n n n a a -=--， 以上各式相加得112...(1)n n a a =+++--， 所以(1)12...(1)2n n n n a -=+++-=，因此64636420162a ⨯==. 故答案为 (1). {3,1,1,3}-- (2). 2016 【点睛】本题主要考查数列的应用，由数列的递推公式求解即可，属于常考题型.三、解答题15．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项 （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2n an b =，判断数列{}n b 是否为等比数列。
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海淀区高一年级第一学期期末练习数学 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{}1,3,5A ={},(1)(3=0B x x x =--），则A B =A. ΦB. {}1C. {}3D. {}1,3 （2）2sin()3π-= A. 32- B. 12- C. 32 D. 12（3）若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-，则在定义域内 A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值 （4）下列函数为奇函数的是A. 2xy = B. sin ,[0,2]y x x π=∈ C. 3y x = D. lg y x =（5）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中030A ∠=，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是 A. 3CD BC = B. 0CA CE •= C. AB 与DE D. CA CB •=CE CD •（6）函数()f x 的图像如图所示，为了得到2sin y x =函数的图像，可以把函数()f x 的图像A.每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C. 先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），D.先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）（7）已知21()log ()2x f x x =-，若实数,,a b c 满足0a b c ，且()()()0f a f b f c ，实数0x 满足0()0f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A. 0x aB.0x a C.x c D.x c（8）如图，以AB 为直径在正方形内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于+++的说法正确的是PA PB PC PDA.无最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D.既无最大值，又无最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）=，写出一个与a共线的非零向量的坐标 .（9）已知向量a(1,2)-，则cosθ= .（10）已知角θ的终边经过点(3,4)（11）已知向量a，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则a•b= .（12）函数2,(),0x x tf x x x t⎧≥=⎨⎩(0)t是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是 .（13）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010,lg30.4771≈≈）（14）函数()sin f x x ω= 在区间(0,)6π上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上） ①函数()sin f x x ω=在区间(,0)6π-上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③()4f π≥()12f π.三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题10分）已知向量a (sin ,1)x =， b (1,)k =，()f x =a •b .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.（16）（本小题12分）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)f =(3)3f =-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()g x =()f x ， （ⅰ1）直接写出()g x 的单调递减区间: ；（2ⅱ）若()g a a ，求a 的取值范围.（17）（本小题12分）某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值.（18）（本小题13分）定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x R ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数，①2xy =，②2l g y o x =，③[]y x =，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为 T ，求证：函数()()G x g x x =-为线周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511.312.1t ≥13.202114.①②③ 注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ，∴()f x =⋅a b =sin +x k .--------------------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解.--------------------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解.--------------------------4分 则实数k 的取值范围为[]02,.--------------------------5分 （Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α.--------------------------6分当π(0]2,α∈时，cos α==，sin tan cos =αα=.---------------------8分当π(,π)2α∈时，cos 3α==-，tan 4=α-.-------------------------10分16.解：（Ⅰ）4b =-；--------------------------2分0c =.--------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-. --------------------------6分 （ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--. -------------------------8分若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩--------------------------10分 解得5a >或50a -<<.--------------------------12分 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.17. 解:（Ⅰ）--------------------------4分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+--------------------------6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.---------------------------8分 （Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π11sin(2)62x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1.--------------------12分18.解：（Ⅰ）③；--------------------------2分（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立. ∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =. ∴()()G x g x x =-为周期函数.--------------------------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=；---------------------① 令πx =，得sin T kT T -+=；---------------② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠，∴1k =．--------------------------8分检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =. --------------------------10分。