江苏省2018届高三数学二轮专题复习(第1层次)专题9数列通项、求和、综合应用

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)班级 姓名一、前测训练1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2n a n －1(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．答案：(1)a n ＝3n ＋1－72；（2）a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．2．(1) 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． (2) 已知数列{a n }中，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2(n ＋1)，则a n ＝ ． (3) 已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2，则a n ＝ ． 答案： (1)－1n ．=；(2) a n ＝2n ；(3) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2．3．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (2)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n =2a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (3)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝2a n －1a n －1＋2 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．答案：(1)a n ＝3－2×(23)n －1； (2)a n ＝(2n －1)×2n －1；(3)a n ＝2n ＋1．4． (1) 已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．(2) 已知数列{a n }中，a n a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．答案：(1) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数；(2) a n ＝⎩⎨⎧(2)n -1，n 为奇数，(2)n ，n 为偶数5． 已知数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝67，则a 2014的值为 ．答案：67．6．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n 的前n 项的和为 ． (2)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，（n ∈N *），则数列{1a n}的前10项和为(3)数列a n ＝(2n －1)·3n 的前n 项的和为 ．(4)设f (x )＝9x 9x ＋3，则f (120)＋f (220)＋f (320)＋…＋f (1920)的值为 ．(5)已知数列a n ＝(－1)n ·n ，则前n 项的和S n ＝ ． 答案：(1)2n ＋2－(4＋n )； (2) 2011；(3)(n －1)·3n ＋1＋3；(4)192；(5) S n＝⎩⎨⎧－n ＋12，n 为奇数，n2，n 为偶数．7．(1)数列{a n }通项公式为a n ＝an 2＋n ，若{a n }满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围为 ．(2)已知数列{a n }通项公式为a n ＝(12)n －2，b n ＝λa n －n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为 ．(3)已知数列{a n }通项公式为a n ＝4n 2(45)n －1(n ∈N *)，则{a n }的最大项为第 项． 答案：(1)(－19，－117)；（2）λ＞－3；(3)9．二、方法联想1．形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N 且n ≥2)方法 叠加法，即当n ∈N ，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1．形如a na n －1＝f (n )(n ∈N 且n ≥2)方法 用叠乘法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1．注意 n ＝１不满足上述形式，所以需检验．2．形如含a n ，S n 的关系式方法 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题，则考虑转化为仅含有S n 的关系式)． 注意 优先考虑n ＝1时，a 1＝S 1的情况． 3．形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n )记b n ＝na ，则f (n )是数列{b n }的前n 项和方法 (1)列出⎩⎨⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2)，两式作差得a n ＝f (n )－f (n －1)n(n ∈N *且n ≥2)，而a 1＝f (1)． (2)列出⎩⎨⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2)，两式作商得a n ＝f (n )f (n －1) (n ∈N *且n ≥2)，而1(1)a f =．注意 n ＝１是否满足上述形式须检验．【变式】（1）已知数列{a n }中，na 1＋(n －1)a 2＋(n －2)a 3＋…＋a n ＝n 2(n ＋1)(n ∈N *)，则a n ＝ ．(n 与a n 倒序之和)（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n (n ∈N *)，a n ＝ ． （S n 前面的系数不是常数）【答案】（1）a n ＝6n －4，（2）a n ＝n2n －13．形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N 且n ≥2)方法 化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋q p －1)形式．令b n ＝a n ＋qp －1，即得b n ＝pb n －1，转化成{b n }为等比数列，从而求数列{a n }的通项公式．形如a n ＝pa n －1＋f (n ) (n ∈N 且n ≥2)方法 两边同除p n ，得a n p n =a n －1p n －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f (n )p n ，转化为利用叠加法求b n (若f (n )p n 为常数，则{b n }为等差数列)，从而求数列{a n }的通项公式．【变式】（1）已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝3a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (a n 前的系数不等于公比)（2）已知数列{a n }中，a 1＝1，a nn ＋1＝2a n －1n －1＋6n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．（换元后可转化为此类问题）答案：(1)a n ＝5×3n －1－2n ＋1，（2）a n ＝n (n ＋1)(13×2n －2－6)． 形如a n ＝pa n －1qa n －1＋p(n ∈N 且n ≥2)方法 两边取倒数得1a n ＝1a n －1＋q p ，令b n ＝1a n，得b n ＝b n －1＋qp ，转化成{b n }为等差数列，从而求数列{a n }的通项公式．4．形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式方法 (1)列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1)，两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，即找到隔项间的关系．(2)列出⎩⎨⎧a n a n ＋1＝f (n )a n ＋1a n ＋2＝f (n ＋1)，两式作商得a n ＋2a n＝f (n ＋1)f (n )，即找到隔项间的关系．【变式】（1）已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝3n ，a 1＝1，a 2＝4(n ∈N *)，则a n ＝ ．（2）已知数列{a n }中，a n a n ＋1a n ＋2＝8n ，a 1＝1，a 2＝2(n ∈N *)，则a n ＝ ． (类比找到a n ＋3与a n 的关系)答案：（1）a n ＝3n －2；（2）a n ＝2n －1．5．归纳猜想方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项．【变式】已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，4a n ＋a n ＋2＝4a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ ． 答案：n ·2n(非周期性的规律) 6．数列求和形如a n ±b n (等差数列与等比数列的和)的形式方法 分组求和法． 形如1a n (a n +d )或1n ＋d ＋n等形式方法 采用裂项相消法．形如a n b n 形式(其中a n 为等差，b n 为等比)方法 采用错位相减法． 首、尾对称的两项和为定值的形式方法 倒序相加法． 正负交替出现的数列形式方法 并项相加法．【变式】（1）已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则S n ＝ ．（2）已知数列{a n }中，a n ＝2n sin 2n π3(n ∈N *)，则S 30＝ ． （分段数列的和）答案：（1）S n＝⎩⎨⎧2n ＋1－13，n 为奇数，2n ＋1－23，n 为偶数．（2）450．7．数列的单调性方法1 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n 与1的关系，其中a n ＞0)判断(或证明)数列的单调性．方法2 扩充定义域，转化为函数的单调性，如利用图象分析． 注意 图象分析时，数列图象为离散的点．【变式】设数列{1n }的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *，恒有S 2n ≥S n ＋a ，则实数a 的取值范围是_______．（通过分析想到需要研究数列的单调性） 答案：712． 数列的最值方法1 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n与1的关系，其中a n ＞0)判断数列的单调性．方法2 若第m 项为数列的最大项，则⎩⎨⎧a m ≥a m ＋1，a m ≥a m －1．若第m 项为数列的最小项，则⎩⎨⎧a m ≤a m ＋1，a m ≤a m －1．（反之，一定成立吗？）【变式】已知数列{a n }通项公式为a n ＝4n 2a n －1(n ∈N *)，若{a n }的最大项为第9项，则正数a的取值范围是——．答案：(6481，81100)．三、例题分析例1 已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【答案】(I) q ＝2，; a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数， 2n 2，n 为偶数．(2) S n ＝4－n ＋22n －1.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．等差中项定义； 2．求数列通项公式；方法：①利用数列的通项a n 与前n 和S n 的关系，在已知S n 条件下求通项a n ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项； ③构造等差(比)数列求通项； ④用累加(乘)法求通项．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；④裂项求和；⑤倒序求和．(2)方法选择与优化建议：对于问题2，本题中通项的递推关系是a n ＋2＝qa n ，可得隔项间的关系，成等比数列，选择方法②，注意奇数项、偶数项分别成等比数列．对于问题3，学生一般会选择④，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，所以选择方法④．例2 已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，S 4＝28． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设由b n ＝S n n ＋c (c ≠0)构成的新数列{b n }，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列{b n }，设c n ＝8(a n ＋7)⋅b n （n ∈N *），数列{c n }的前n 项和为T n ，现有数列{f (n )}，f (n )＝2b na n －2－T n （n ∈N *），求证：存在整数M ，使f (n )≤M 对一切n ∈N *都成立，并求出M 的最小值． 答案：(1) a n ＝4n －3；(2)略；(3)整数M ≥2，所以M 的最小值为2． 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．求数列的通项：方法：①利用数列的通项a n 与前n 和S n 的关系，在已知S n 条件下求通项a n ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项； ③构造等差(比)数列求通项； ④用累加(乘)法求通项．2．证明数列是等差数列：方法：①利用定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)；②等差中项：2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)． 3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；④裂项求和；⑤倒序求和．4．求数列的最大项问题：方法:①作差法比较相邻项的大小，确定单调性；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列单调性转化为函数的单调性，利用函数的单调性，求最大项，但要注意通项中n 的取值范围． (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题的数列是等差数列，所以选择方法②． 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题可以求出数列{b n }的通项，所以选择方法①．对于问题3，学生一般会选择④，因为数列的通项是分式形式，所以选择方法④． 对于问题4，数列问题首选比较法确定单调性；也可选择②，因为f (n )所对应的函数是基本函数，比较容易得到函数的单调性．例3 数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1, n ∈N *.(1) 求a 3的值；(2) 求数列{a n }前n 项和T n ；(3) 令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋(1＋12＋13＋…＋1n) a n (n ≥2)．证明：数列{b n }的前n 项和为S n ,满足S n ＜2＋2ln n ． 答案:（1）14；（2）2－(12)n －1；（3）略．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列求和公式；②叠加(乘)法；③构造等差(比)数列；④猜想证明．2．数列求和问题：方法①等差(比)数列求和；②分组求和；③拆项相消；④错位相减； ⑤倒序相加；⑥并项求和法． 3．不等式的证明:①不等式基本性质；②基本不等式；③比较法；④分析法；⑤放缩法；⑥函数单调性；⑦反证法．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，记b n ＝na n ，则已知前n 项和的通项，选择方法①．对于问题2，已知数列{a n }为等比数列，选择方法①，利用等差(比)数列求和公式．数列{b n }的前n 项和，可通过变形转化为裂项求和的形式．对于问题3，放缩法，比较法，函数单调性综合运用．四、课后反馈：1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ ．答案：－11 (考查等比数列的通项公式与前n 项和公式)2．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．答案：50 (考查本题考查了等比数列以及对数的运算性质,等差数列的求和) 3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为 ．答案：a n ＝(－2)n －1 (考查数列通项与前n 项和之间的关系，等比数列的概念与通项公式)4．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案：8 （考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和最值条件） 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8．则数列{9－2a n2n}的前n 项和T n ＝ ．答案：4－n ＋22n －1 (考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用)6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，则数列{b m } 的前m 项和S m ＝ . 答案：S m ＝92m ＋1＋180－9m8.(考查等差数列的基本量运算，等比数列求和)7．数列{a n }满足1a n ＋1＝1a n＋2n (n ∈N *)，且a 1＝4．记b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝ ．答案：4n2n ＋1．（考查用叠加法求数列通项，数列的裂项求和） 8．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0． 若b n ＝3n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ ．答案：S n ＝(n －1)3n ＋1．（考查等差数列的概念与性质，用错位相减法求和）9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为 ． 答案：λ＜2 (考查由递推求数列的通项及递增数列的概念)10．设1≤a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ． 答案：33 (考查等差、等比数列的性质及分析推理的能力) 11．已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )．(1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．答案：(1) a 1＝1；a n ＝n ．(2) T 2n ＝(6n －5)·22n ＋19＋n 2＋2n ＋109．(考查数列的通项与前n 项和之间的关系，由递推关系求数列的通项，用错位相减法求数列的和)12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2．(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由． 答案：(1) a ＝0，提示：用等比中项法证明数列是等差数列．(2) 存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立． (考查数列的通项与前n 项和之间的关系，证明数列为等差数列的方法，数列的裂项求和)13．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n－1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和数列{b n }的前n 项和的T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 答案：(1) a n ＝2n －1，T n ＝n2n ＋1；(2) λ<－21； (3) 当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列． (考查等差数列基本量运算，数列的裂项求和，求数列的最大项问题以及综合分析问题的能力)14．在数列{a n}中，a1＝1，且对任意的k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等比数列，其公比为q k．(1)若q k＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为d k，设b k＝1q k－1．①求证：{b k}是等差数列，并指出其公差；②若d1＝2，试求数列{d k}的前k项的和D k．答案：(1) 13(4k－1)；(2)①证明略，公差为1；②Dk＝k(k＋3)2或D k＝2k2．(考查等比数列的概念及求和公式，证明数列为等差数列的方法，数列求和及分析讨论的思想)。