实数与向量的积

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向量与实数之间的计算公式

向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。

1. 向量的数乘。

向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。

具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。

数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。

(k1k2)a = k1(k2a)。

k(a + b) = ka + kb。

数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。

2. 向量加法。

向量加法是指两个向量相加的运算。

假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。

向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。

(a + b) + c = a + (b + c)。

向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。

3. 向量减法。

向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。

假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。

实数和向量的积

实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。

53实数与向量的积

5.3 实数与向量的积共线条件的选择题例1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（）①e b a 432=-且e b a 32-=+；②存在相异实数λ、u ，使0=+b a u λ；③0=+b a y x （其中实数x 、y 满足0=+y x ； ④已知梯形ABCD 中，其中a =、b =．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④分析：A 、B 均含有①，而C 、D 均含有④，所以可先判定①或④．若①能使a 、b 共线，则只有从A 、B 中进一步作出选择，若①不能使a 、b 共线，则应从C 、D 中进一步作出选择．首先判定①能否使a 、b 共线．由向量方程组：⎩⎨⎧-=+=-eb a ,e b a 32432可求得：a b ,e b ,e a 1071071=∴-=-=，∴a 、b 共线，因此可排除C 、D ．而由②可得λ、u 是相异实数，所以λ、u 不同时为0，不防设a b uλu -=∴≠,0，故a 、b 共线，所以排除B ，选择A ．答案：A小结：条件③中当0==y x 时，就不能得到a 、b 共线．其实，在条件③中若添上0≠x ，则不仅可得a 、b 共线，而且可得b a =．条件④中没有明确AB 、CD 是上、下底，因此它们也可能是两腰，故条件④不能得到a 、b 共线．判断命题真假例1、判断下列命题的真假：（1）若与CD 是共线向量，则D C B A ,,,四点共线．（2）若0=++CA BC AB ，则C B A ,,三点共线．（3）R ∈λ，则a a >λ．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．分析：本题涉及平行向量（共线向量）、向量的加法、平面向量基本定理、向量的模、实数与向量的积等重要概念、运算及定理．学习时，应注意这些定义、定理、法则的条件和结论．使用时，注意借用平面向量的几何表示，利用图形直观分析．解：四个命题均是错误的．命题（1）涉及对平面向量与共线向量的理解．由于我们研究的向量是自由向量，故任何一组平行向量均可移到同一条直线．因此平行向量就是共线向量，这与平面几何中所研究的直线或线段的平行、共线有区别．平面几何中平等与共线是指两种不同的位置关系，故这里所说的与共线，不能保证D C B A ,,,四个点在一条直线上，所以命题（1）是不正确的．命题（2）中的0=++CA BC AB ，有C B A ,,三点共线与不共线两种情形．如图所示．因此由0=++不能保证C B A ,,三点一定共线．故命题（2）不正确．但应提醒，命题（2）的逆命题是真命题，即若C B A ,,三点共线，则0=++CA BC AB ．命题（3）是比较实数λ与向量a 的乘积所得向量a λ与a 的模的大小．当0≠a 时，a a ≤≤λλ,1．当0=a 时，不论λ为何实数，0==a a λ．仅当1>λ，且0≠a 时，a a >λ．故命题（3）也不正确．命题（4）涉及平面向量基本定理，作为表示平面向量的一组基底必须是不共线的两个向量，才能保证平面内任何一个向量的线性组合形式存在而且唯一．忽略了不共线的条件，其结论可能不存在，或虽然存在但不唯一．如图所示，1e 与2e 是共线向量，则a 关于1e 与2e 的线性组合形式不唯一．如图，其中1122,e a e e ==-=．那么22121,3,e a e e a e e a -=+=-=…，形式不唯一，故命题（4）也是不正确的．正确的表述应为，平面内互不共线的三个向量中的每一个向量中都可以用另外两个向量的线性组合表示．小结：命题的判断是考查对概念、性质、定理等知识的理解，为知识的应用做好铺垫．三点共线及向量共线时参数值例1．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果21e e +=，2182e e +=，()213e e -=，求证A ，B ，D 三点共线．（2）试确定实数k ，使21e e k +和21e k e +共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，须证存在λ使()21e k e +=λ即可．而若21e e k +与21e k e +共线，则一定存在λ，使()2121e k e e e k +=+λ．（1）证明 ∵21e e +=，()e e e e e e 553382212121=+=-++=+=，∴，共线，又有公共点B ∴A ，B ，D 三点共线．（2）解 ∵21e e k +与21e k e +共线， ∴存在λ使()2121ek e e e k +=+λ，则()()211e k e k -=-λλ，由于1e 与2e 不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ则1±=k ．小结：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即与共线⇔存在λ使λ=（正用与逆用）．三角形中向量的运算例1、如图，已知在ABC ∆中，D 是BC 上的一点，且λ=DCBD，试求证：λλ++=1ACAB分析：在要证的等式中，不含向量、，只含有向量与。

实数与向量积及几何意义

归纳总结
二、实数与向量的积的运算律：
设a , b 为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b
例题解析例1：计算题
12 8.向量a (3,3), a 2ba (1,1)
a 2b a,b共线
例题解析
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作 OA a + b,OB a 2b, OC a 3b 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
C
解:
AB OB OA a 2b a b b AC OC OA a 3b a b 2b
归纳总结
三、共线向量基本定理：
向量
b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一一个实数，使得 b a
思考:1) 2)
a 为什么要是非零向量? b 可以是零向量吗?
试试身手判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1 a 2e , b 2e ;
a b
a,b共线
2 a e1 e2 , b 2e1 2e2.
向量数乘运算及其几何意义
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A B
a a a a a a a a a a
注意：
b
b
b
b O
b b
b
a+b
b b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
D
b
C
a a a a a a a a a a

8.0.2实数与向量的乘积(附录2)

一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数和向量 a 的乘积是一个向量记作 a ，它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；

向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？1．向量的数乘2．数乘的几何意义λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．[知识点拨](1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．(2)对于非零向量a，当λ＝1|a|时，λa表示a方向上的单位向量．(3)注意向量数乘的特殊情况：①若λ＝0，则λa＝0；②若a＝0，则λa＝0．应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0．3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b ＝λa ． 5．向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ λμ1a ±λμ2b ．[知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用1．定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa ．2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使t a ＋s b ＝0，则a 与b 共线；若两个非零向量a 与b 不共线，且t a ＋s b ＝0，则必有t ＝s ＝0．1．已知非零向量a 、b 满足a ＝4b ，则( C ) A ．|a |＝|b | B ．4|a |＝|b |C ．a 与b 的方向相同D ．a 与b 的方向相反[解析] ∵a ＝4b,4>0，∴|a |＝4|b |． ∵4b 与b 的方向相同， ∴a 与b 的方向相同．2．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为( B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112[(4－16)a ＋(16＋8)b ]＝112(－12a ＋24b )＝2b －a3．在▱ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3bD ．2a －3b[解析] AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b ．4．已知AB →＝a ＋4b ，BC →＝2b －a ，CD →＝2(a ＋b )，则( B ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．A 、C 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线[解析] ∵BC →＋CD →＝a ＋4b ，即BC →＋CD →＝AB →，∴BD →＝AB →，即存在λ＝1使BD →＝λAB →． ∴BD →、AB →共线．又∵两向量有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．命题方向1 ⇨向量的线性运算典例1 计算：(1)4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； (2)(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； (3)23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]． [思路分析] 运用向量数乘的运算律求解．[解析] (1)原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ． (2)原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．(3)原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b )＝23(52a －1112b )＝53a －1118b ．『规律总结』向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．〔跟踪练习1〕计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(m ＋n )(a －b )－(m －n )(a ＋b )．[解析] (1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0． (2)原式＝m (a －b )＋n (a －b )－m (a ＋b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n －m ＋n )a ＋(－m －n －m ＋n )b ＝2n a －2m b ．命题方向2 ⇨共线向量定理及其应用典例2 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．[思路分析] (1)欲证三点A 、B 、D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →，只要由已知条件找出λ即可．(2)由两向量共线，列出关于a 、b 的等式，再由a 与b 不共线知，若λa ＝μb ，则λ＝μ＝0．[解析] 证明：(1)∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →． ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ) 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ， ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1．『规律总结』用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．〔跟踪练习2〕已知向量AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)求证：CA →＝xCB →＋yCD →(其中x ＋y ＝1)． [解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝a ＋5b ，AB →＝a ＋5b ，∴AB →＝BD →，∴AB ∥BD ，又AB →、BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)∵CA →＝CB →＋BA →＝－BC →－AB → ＝2a －8b －a －5b ＝a －13b ， xCB →＋yCD →＝x (2a －8b )＋3y (a －b ) ＝(2x ＋3y )a ＋(－8x －3y )b ．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝1－8x －3y ＝－13，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1 ∴CA →＝xCB →＋yCD →，其中x ＋y ＝1．命题方向3 ⇨用向量的线性运算表示未知向量典例3 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →、ON →、MN →．[思路分析] 用a ，b 表示BM →→表示OM →，ON →→MN →＝ON →－OM → [解析] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， ∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ．∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23a ＋23b ， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b＝12a －16b ．『规律总结』解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．〔跟踪练习3〕(2018·全国卷Ⅰ理，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A )A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →．故选A ．命题方向4 ⇨单位向量的应用典例4 O 为平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞ )，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[思路分析] 题目向量式中有OP →，OA →两共起点的向量，于是可利用移项得：OP →－OA →＝AP →，从而将向量式中的点O 去掉，转化为以A 为起点的两向量相等．[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)．而AB →|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB 1P 1C 1，易得平行四边形AB 1P 1C 1是菱形，对角线AP 1平分∠B 1AC 1，且AB 1→＝AB →|AB →|，AC 1→＝AC →|AC →|，所以AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝AB 1→＋AC 1→＝AP 1→，则AP →＝λAP 1→．由λ∈[0，＋∞)，可知点P 在∠BAC 的平分线上，即动点P 的轨迹经过△ABC 的内心．〔跟踪练习4〕若题设中的条件“OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．”改为“OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)．”则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，得AP →＝λ(AB →＋AC →)，则AP →与△ABC 中边BC 的中线共线，又由λ∈[0，＋∞)，知点P 的轨迹通过△ABC 的重心．三点共线定理 1．三点共线的判定定理在实际问题的描述中经常会遇到判断三点共线的问题，那么如何利用向量共线的判定定理来寻找三点共线的判定呢？我们知道，对于平面内任意三点A ，B ，C ，都可以写成AB →，AC →，BC →的形式，若存在一个实数λ使得AB →＝λAC →(或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →)，则根据向量共线的判定定理可知向量AB →，AC →共线(或AB →，BC →共线或AC →，BC →共线)．又由它们具有公共点A (或B 或C )可知三点A ，B ，C 共线．所以我们有：对于平面内任意三点A ，B ，C ，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，若实数λ，μ满足λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．2．三点共线的性质定理根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理．若平面内三点A ，B ，C 共线，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1．典例5 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．[解析] 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1．,〔跟踪练习5〕在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( D )A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(－12，0)D ．(－13，0)[解析] 当点O 与点C 重合时AC →＝0AB →＋(1－0)AC →，所以x ＝0；当点O 与点D 重合时AD →＝－13AB →＋43AC →，此时x ＝－13，所以－13<x <0．向量的起点、终点弄不清楚，导致向量表示错误典例6 已知E ，F 分别为四边形ABCD 的边CD ，BC 的中点，设AD →＝a ，BA →＝b ，则EF →＝( )A ．12(a ＋b )B ．－12(a ＋b )C ．－12(a －b )D ．12(a －b )[错解] 如图，连接BD ，则EF →＝12DB →＝12(AD →－AB →)＝12(a ＋b )．故选A ．[错因分析] 向量DB →用向量的差表示时，DB →的终点应该为被减向量的终点． [正解] EF →＝12DB →＝12(CB →－CD →)＝12(DA →－BA →)＝12(－a －b ) ＝－12(a ＋b )，故选B ．[点评] 在向量的线性运算中，向量的差、向量的方向都是易错点，在运算中要高度重视．另外，几何图形的性质还要会准确应用．〔跟踪练习6〕已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．[解析] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →．∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →， ∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →． ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( B ) A ．a －2b B ．－2b C ．0D ．b －a2．已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( C )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |[解析] 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |．3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB →B ．13AB →C ．－13AB →D ．2AB →[解析] BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →．4．已知向量a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，若a ∥b ，则( D ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或e 1＝0 [解析] 当e 1＝0时，显然有a ∥b ；当e 1≠0时，b ＝2e 1≠0，又a ∥b ，∴存在实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝2μe 1， ∴λe 2＝(2μ－1)e 1，又λ≠0，∴e 1∥e 2．5．已知两个非零向量e 1、e 2不共线，若AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2.求证：A 、B 、D 三点共线．[证明] ∵AD →＝AB →＋B C →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2 ＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6A B →， ∴AD →∥AB →．又∵AD 和AB 有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．A 级基础巩固一、选择题1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →＝( A ) A ．λ(AB →＋BC →) λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →) λ∈(0，22)C ．λ(AB →－BC →) λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →) λ∈(0，22)[解析] 设P 是对角线AC 上的一点(不含A 、C )，过P 分别作BC 、AB 的平分线，设AP→＝λAC →，则λ∈(0,1)，于是AP →＝λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1)．2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( A )A ．23B ．13C ．－13D ．－23[解析] (方法一)：由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A ．3．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( B ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上 [解析] ∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →． ∴CP →＝λP A →．∴P 、A 、C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．4．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( C ) A ．12a ＋bB ．a ＋12bC ．12(a ＋b )D ．a ＋b[解析] DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →，所以OB →＝12(a ＋b )，故选C ．5．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D [解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB →，所以，A 、B 、D 三点共线．6．如图所示，向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式中成立的是( A )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p[解析] ∵OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →， ∴BC →＝13AC →．∴OC →＝OB →＋13AC →＝OB →＋13(OC →－OA →)．∴r ＝q ＋13(r －p )．∴r ＝－12p ＋32q ．二、填空题7．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝ 12 ；y ＝－16．[解析] 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16．8．(2016·潍坊高一检测)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 12．[解析] 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12．三、解答题9．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC 、BD 交于点O ，用a 、b 表示OA →，BO →． [解析] OA →＝12CA →＝12(CB →＋BA →)＝12(－a －b )．BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．10．已知向量e 1、e 2是两个共线向量，若a ＝e 1－e 2，b ＝2e 1＋2e 2，求证：a ∥b ． [证明] 若e 1＝e 2＝0，则a ＝b ＝0，所以a 与b 共线，即a ∥b ；若e 1、e 2中至少有一个不为零向量，不妨设e 1≠0，则e 2＝λe 1(λ∈R )，且a ＝(1－λ)e 1， b ＝2(1＋λ)e 1，所以a ∥e 1，b ∥e 1．因为e 1≠0，所以a ∥b ．综上可知，a ∥b ．B 级素养提升一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a[解析] A 错误，因为λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的；B 错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D 错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C 正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．故选C ．2．设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2，与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线，当且仅当λ的值为( D )A ．0B ．－1C ．－2D ．－12[解析] ∵向量a 与b 共线，∴存在唯一实数u ，使b ＝u a 成立．即e 1＋λe 2＝u (2e 1－e 2)＝2u e 1－u e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2u ，λ＝－u .解得λ＝－12．3．在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( D )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b[解析] AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12BD →－12AC →)＝a ＋13(b －a )＝a＋13(b －a )＝23a ＋13b ． 4．在△ABC 中，点D 在BC 边所在直线上．若CD →＝4BD →＝sAB →－rAC →，则s ＋r 等于( C ) A ．0 B ．43C ．83D ．3[解析] 由题意可得，CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC →＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC →， ∴s ＋r ＝83．二、填空题5．若2(x －13a )－12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝ 421a－17b ＋17c ． [解析] ∵2x －23a －12b －12c ＋32x ＋b ＝0，∴72x ＝23a －12b ＋12c .∴x ＝421a －17b ＋17c ． 6．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝ 14(b －a ) .(用a 、b 表示)．[解析] MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12BC →＋BA →＋34AC →＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →)＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．三、解答题7．如图，已知E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．[证明] 在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点， ∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →．∴GF →＝CF →－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →．同理HE →＝12DB →．∴GF →＝HE →，即GF →与HE →共线．又∵G 、F 、H 、E 四点不在同一条直线上， ∴GF ∥HE ，且GF ＝HE ． ∴四边形EFGH 是平行四边形．8．设两个不共线的向量e 1、e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[解析] ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k 使d ＝k ·c ，即：(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 2－9k e 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．C 级能力拔高过△OAB 的重心G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝h ·OA →，OQ →＝kOB →，则1h ＋1k＝__3__． [解析] 延长OG 交边AB 于点M ，则M 为AB 边的中点， ∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(1h OP →＋1k OQ →)＝12h OP →＋12k OQ →，又OM →＝32OG →，∴OG →＝13h OP →＋13K OQ →．∵P 、Q 、G 三点共线，且OP →，OQ →是不共线的向量， ∴13h ＋13k ＝1，即1h ＋1k ＝3．。

高中数学平面向量知识及注意事项

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积可以改变向量的大小和方向，从而实现向量的缩放、旋转等操作。
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性质，如结合律、分配律等，这些性质使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
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实数与向量相乘

实数与向量‎相乘1.实数与向量‎相乘的意义‎一般的，设为正整数‎n ，a 为向量，我们用表示‎ann 个a 相加；用表示个相‎a n -n a -加.又当为正整‎m 数时，a m n 表示与同向‎a 且长度为的‎a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个‎正数，P 就是将的‎a a 长度进行放‎缩，而方向保持‎不变；—P 也就是将‎a a 的长度进行‎放缩，但方向相反‎. 2.向量数乘的‎定义一般地，实数与向量‎k a 的相乘所得‎的积是一个‎向量，记作ka，它的长度与‎方向规定如‎下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意‎.实数与向量‎k a 相乘，叫做向量的‎数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结‎果是一个与‎已知向量平‎行（或共线）的向量；（2）实数与向量‎不能进行加‎减运算；（3）ka表示向量的‎数乘运算，书写时应把‎实数写在向‎量前面且省‎略乘号，注意不要将‎表示向量的‎箭头写在数‎字上面；（4）向量的数乘‎体现几何图‎形中的位置‎关系和数量‎关系. 3.实数与向量‎相乘的运算‎律设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘‎对于实数加‎法的分配律‎）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘‎对于向量加‎法的分配律‎）4.平行向量定‎理（1）单位向量：长度为1的‎向量叫做单‎位向量. 要点诠释：任意非零向‎量与它同方‎a 向的单位向‎量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定‎理：如果向量与‎b 非零向量平‎a 行，那么存在唯‎一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与‎b a 同向还是反‎向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取‎m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的‎判定定理：a 是一个非零‎向量，若存在一个‎实数m ，使b m a =，则向量与非‎b 零向量平行‎a .（4）向量平行的‎性质定理：若向量与非‎b 零向量平行‎a ，则存在一个‎实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共‎线若存在实‎⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性‎运算 1.向量的线性‎运算定义向量的加法‎、减法、实数与向量‎相乘以及它‎们的混合运‎算叫做向量‎的线性运算‎. 要点诠释：（1）如果没有括‎号，那么运算的‎顺序是先将‎实数与向量‎相乘，再进行向量‎的加减. （2）如果有括号‎，则先做括号‎内的运算，按小括号、中括号、大括号依次‎进行． 2.向量的分解‎平面向量基‎本定理：如果是同一‎12,e e 平面内两个‎不共线（或不平行）的向量，那么对于这‎一平面内的‎任一向量a ，有且只有一‎对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内‎两个不共线‎（或不平行）向量叫做这‎12,e e 一平面内所‎有向量的一‎组基底.一组基底中‎，必不含有零‎向量．(2) 一个平面向‎量用一组基‎底表示为形‎12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的‎分解，当相互垂直‎12,e e时，就称为向量‎的正分解.每家都会装‎修，我们可以用‎一根电线将‎一盏电灯吊‎在天花板上‎，为了保险我‎们也可以用‎两根绳将这‎盏电灯吊在‎同一位置。

实数与向量相乘

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释：（1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。

新课标人教A版数学必修4全部课件：实数与向量的积

1
PQ=_____________ 2
a b
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能力·思维·方法
1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a· b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG=
2.在能力· 思维· 方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.
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第2课时实数与向量的积要点·疑点·考点
课前热身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.
【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样：设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略.

1实数与向量的积的运算律

1.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .2.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.3.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．6. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- .(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9.平面两点间的距离公式,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).10.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .14.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .15. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++= .（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅ .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++= .（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+ .。

实数与向量积及几何意义

实数与向量积及几何意义1.点积（内积）：点积，也称为内积或数量积，是两个向量的一个二元运算。

对于给定的两个n维向量A和B，其点积定义为：A·B=A1B1+A2B2+…+AnBn其中A1,A2,…,An和B1,B2,…,Bn表示向量A和B的分量。

点积有以下几个重要性质：（1）交换律：A·B=B·A；（2）分配律：(A+B)·C=A·C+B·C；（3）结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)其中k是一个实数；（4）A·A=，A，^2，其中，A，表示向量A的长度。

点积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述向量之间的关系。

具体来说，A·B是A和B的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。

特别地，当A·B=0时，表示向量A和B垂直或正交；当A·B>0时，表示向量A和B之间的夹角小于90度；当A·B<0时，表示向量A和B之间的夹角大于90度。

这个性质对于判断两个向量之间的几何关系非常有用。

2.叉积（外积）：叉积（也称为向量积、外积或叉乘）是两个向量的二元运算。

对于给定的三维向量A和B，其叉积定义为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A1,A2,A3和B1,B2,B3表示向量A和B的分量。

叉积有以下几个重要性质：（1）反交换律：A×B=-B×A；（2）分配律：A×(B+C)=A×B+A×C(B×C)×D=(A×D)×(B×C)其中A,B,C和D是向量；（3）结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)其中k是一个实数；（4）A×B=0当且仅当A和B共线。

叉积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述平面上的向量之间的关系。

实数与向量的积(2)

课题：实数与向量的积（2）教学目的：1 2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =013．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 作法：（1）取点O ，作OA =-251e =32e （2）作，OC 即为所求-251e +32e例2如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 ABCD 中， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，MB =21DB =21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b 例3已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴AE =EC =-CE ,BE =ED =-DE在△OAE 中，OA +AE =OE同理 OB +BE =OE ， OC +CE =OE ，OD +DE =OE以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE例4如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ,OB 表示OP解：∵AP =t AB ∴OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA=(1-t) OA + t OB四、课堂练习： 1设e 1、e 2是同一平面内的两个向量, A e 1、e 2 B 。

实数与向量的乘积2014

(1)( )a a a
(2) ( a) ( )a
(3) (a b ) a b
例1、如图所示，已知向量 a、 b 试画出下列向量。
(1) 2a; (2) 3b; (3) 2a 3b
a
b
例2、化简：
2(a 3b) 3(a b)
例3、填空
(1)已知平行四边形 ABCD 中, AC a,BD b, 则 AB _________, BC __________ (2)已知 ABC 中，D 是 BC 上的中点， AB a, AC b, 则 AD __________ (3)已知三角形 ABC 中, D 为 BC 中点, AC a,BC b,则 DA _________
实数与向量的乘积
一般地，对于正整数
n，
相同，
na 是一个向量，方向与 a 且 na n a 一般地，对于负整数 m ， ma 是一个向量，方向与 a 且 ma m a
相反，
1、实数与向量的乘积的定义一般地，实数与非零向量 a 的乘积是一个向量，记作 a a 的模和方向规定如下：
一般地: ( a ) ( ) a
a
a b
b
2(a b )
2(a b ) 2a 2b
2b
2a
一般地: ( a b ) a b
4、实数与向量乘法的运算律设、 R ，则
a、 b 是两个非零向量，
则 a 与 b 平行的充要条件是：存在非零实数，使得 b a 其中

b a
a
2a
5a 3a
(2 3)a 2a 3a

《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业

《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】一、预习导入阅读课本13-16页，填写。

实数与向量积及几何意义.17页文档

一、实数与向量的积的定义：
实数与向a量的积是一个向量 a，它的长度和如方下向：规定
1aa
2当 0时 a 的，方 a 的向方与向当 0时 a ，的方 a 的向方与向
特当别 0 或 a 地 0 时 a 0 ， .，
归纳总结
二、设实a数,b与为向量任的积意的运向算、律：量为，
实数与向量积及几何意义.
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时当勉励，岁月不待人。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
玛纳斯县一中
归纳总结
1a2e,b2e;
a=-b a,b共线
2 a e 1 e 2 ,b 2 e 1 2 e 2 .
a=-2b a,b共线
例题解析
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作
O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
课本 P91---92 9, 10, 11
再见！
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
C
解: ABOBOA
3b
a2bab b
B
ACOCOA
a3bab 2b
AC2AB
所以,A、B、C三点共线 a
2b
A
b