【K12教育学习资料】高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案新人教A版必修1

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3.1.1方程的根与函数的零点导学案

教学难点：准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间．
教法指导
通过引导、探究，发现方程的根与函数零点的关系；通过观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况；通过研究：①函数图象不连续；② ；③ ，函数在区间上不单调；④ ，函数在区间上单调，等各种情况，加深对零点存在性定理的理解．
2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.
问题1. 不是连续函数，结论还成立吗？请举例说明。
问题2. ,那么,函数在区间内一定没有零点吗?
问题3.若 ,那么,函数在区间内一定只有一个零点吗?
问题4.若函数在区间内有零点,那么一定有吗?
问题5.若 ,那么,增加什么条件可确定函数在区间内一定只有一个零点?
例2.求函数的零点的个数。
达标检测
1.函数的零点为( )
A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(– 4 ,0), (0,0),(4,0) D.– 4 ,0,4
2.对于定义在R上的函数 ,若 ,则函数在内（）
A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法确定有无零点
二次备课
1.三分钟德育教育：
2.预习评价情况反馈：
3.教学措施：
课堂学习研讨、合作交流
1.比较二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，可知：
函数的零点就是方程的，也就是函数的图象与的交点的横坐标。
方程有实数根函数的图象函数。
例1.（1）求函数的零点。（2）利用函数图象判断方程根的情况：
3.1.1方程的根与函数的零点
班级：姓名：小组：
教学目标知识与技能：1.ຫໍສະໝຸດ 解并掌握方程的根与相应函数零点的关系.

【配套K12】高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案新人教A版必修1

3.1.1方程的根与函数的零点班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】高尚的理想是人生的指路明灯。

有了它，生活就有了方向；有了它，内心就感到充实。

迈开坚定的步伐，走向既定的目标吧!【学习目标】1．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.2．掌握判断函数零点的方法.3．了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系.【学习重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【学习难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解【自主学习】1．一元二次方程的根与二次函数的图象的关系(以为例)：请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表：二次函数图象与轴交点的方程实方程的判别式方程的,_____________________2．函数的零点对于函数把使的实数叫做函数的零点.3．方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系方程有实根函数的图象与轴有函数有 .4．函数零点的判断 (1)条件：函数在上,①图象是的一条曲线.② 0.(2)结论：在区间内有 ,即存在使得 .【预习评价】1．函数的零点是A.1B.2C.4D.-2 2．函数的零点个数是A.0B.1C.2D.3 3．函数的零点所在的区间是A.(1,2)B.(-1,-2)C.(0,1)D.(-1,0)4．函数的零点为 .5．已知函数的图象与轴有三个不同的交点,则函数有个零点.6．已知函数在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间(2,5)上零点的个数是 .知识拓展· 探究案【合作探究】1．函数的零点结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.2．函数零点的判断根据函数零点的判断依据,若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且那么函数在区间内存在零点.探究以下问题：(1)若那么函数在区间内一定没有零点吗？(2)若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数在区间内有零点一定有吗？(3)若函数在区间上的图象不是连续不断的一条曲线,满足.那么函数在区间内有唯一零点的条件是什么？【教师点拨】1．对函数零点的两点说明(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)由于函数的零点就是方程的实根,因此判断函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实根,有几个实根.2．对函数零点判断的两点说明(1)当函数同时满足：①函数的图象在闭区间上是连续曲线；②则可以判断函数在区间内至少有一个零点.(2)当函数的图象在闭区间上不是连续曲线或不满足时,函数在区间内可能存在零点,也可能不存在零点.【交流展示】1．函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是A.2；2B.(2，0)；2C.-2；-2D.(-2，0)；-22．函数的零点是A.±3B.(3，0)和(-3，0)C.3D.-33．若函数在区间，上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是A.若，则不存在实数，使得B.若，则存在且只存在一个实数，使得C.若，则有可能存在实数，使得D.若，则有可能不存在实数，使得4．设函数的零点为，则所在区间是A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)5．函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的限值范围是 .6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求的取值范围.【学习小结】1．求函数零点的两种方法(1)代数法：求相应方程的实数根.(2)几何法：对于方程的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通过将方程的根转化为函数的图象与轴交点的横坐标问题.2．判断函数存在零点的三种方法(1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.(2)图象法：由得在同一坐标系内作出和的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.(3)定理法：函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,由即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数在区间上是单调函数,则函数在区间内只有一个零点.【当堂检测】1．若函数有一个零点为2，那么函数的零点是A.， B.， C.0，2 D.，2．函数有零点的区间是A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(1，2)D.(2，3)3．函数的零点的个数是 .4．函数的两个零点是2和3，求函数的零点. 5．若函数没有零点，求实数取值范围.3.1.1方程的根与函数的零点详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．2个不等实根2个等根 2 1 0,Δ＝0 Δ＜02．x3．交点零点4．(1)①连续不断②＜(2)零点f(c)＝0【预习评价】1．B2．A3．D4．1,－2,35．36．1知识拓展· 探究案【合作探究】1．不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.2．(1)不一定.如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点,但f(2)·f(－2)＞0.(2)不一定.可能有f(a)·f(b)≥0.(3)函数y＝f(x)在区间(a,b)内单调.【交流展示】1．B2．A3．C4．B5．6．m的取值范围为，【当堂检测】1．A2．C3．2【解析】由y＝1n x：与＝的图象如图，可知有两个交点.4．由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.由－6x2－5x－1＝0，得，.所以函数g(x)的零点是，.5．由题意令＝｜－，函数＝｜－的图象如图.函数f(x)没有零点，即直线y＝a与函数＝｜－的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0.故a的取值范围为(－∞，0).。

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)导学案新人教A版必修1

四川省古蔺县中学高中数学必修一 3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)导学案一、教学目标：1．借助二次函数的图象与x轴的交点和相应一元二次方程根的关系，理解函数零点的概念。

体会函数的零点与方程的根及函数图象之间的联系。

2．理解并会用函数的零点存在定理判断函数零点所在区间。

3.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.二、教学重难点：1.教学重点：发现和认识函数零点与方程根之间的关系。

2.教学难点：探究和掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

三、课时学法指导1.学生自学和教师引导相结合，通过实际例子概括出函数零点的概念，通过观察探讨，学生认识与领会二次函数图象与二次方程根的关系，最终认识函数零点的概念。

2.在认识函数零点概念的基础上，通过观察总结，学生总结概括函数图像与X轴的交点、方程有无实数根这三者之间关系，从而渗透函数与方程思想。

四、预习案: 完成任务情况自评：学科组长评价： .1.任务布置：阅读与思考：小组长组织本小组仔细阅读书上86—88页；找出疑惑之处，完成预习案，思考探究案。

1.函数y=f(x)的零点的概念：2.函数y=f(x)的零点就是，也就是3. 函数122+-=x x y 的零点是（1,0）吗？函数y=f(x)的零点与几何意义上的点有区别吗？2.存在问题：五、探究案探究一：若将特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20axbx c ++=(0)a > 及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，课本上86页最下边结论是否仍然成立？探究二：函数零点的定义是探究三：1.零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是的一条曲线,并且有 , 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在 ,使 , 这个c 也就是方程f(x) = 0的根．2.概念辨析：（1）若函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象不连续此定理还成立吗？（2）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0吗？3．思考：判定函数y=f(x) 在区间(a, b)内是否有零点的方法是：六：训练案课本88页、练习1 92页习题2七：反思与小结:。

高中数学第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案新人教版必修1

§3.1.1 方程的根与函数的零点1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.8688复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为，函数223y x x =--的图象与x 轴有个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为，函数221y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为，函数223y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为；（2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上零点； ()()f a f b 0；在区间[,]b c 上零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.※ 典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．※ 动手试试练1. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+.练2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.三、总结提升※ 学习小结①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※ 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点. .※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.。

3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书 A 版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．二、教学目标【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点难点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三教学环节设计【教学过程】（一）创设情境，感知概念实例引入解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表：填空：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根函数 y =x 2-2x -3 y =x 2-2x +1 y =x 2-2x +3图象图象与x 轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0Δ＝0 Δ＜042-2-4 3 -1 1 2 Oxy 4 2-2 -43 -1 1 2 Ox y 4 2-23 -1 1 2 Ox y方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根两个不相等的实数根x 1、x 2有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象与x 轴的交点两个交点： (x 1,0)，(x 2,0) 一个交点：(x 1,0) 无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为（ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点. 练习2：函数f (x )=x 2-4的零点为（） A ．(2，0) B ．2C ．(–2，0)，(2，0)D ．–2，2练习3：求下列函数的零点O xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y（1）f(x)=-x2+3x+4 （2）f(x)=lg(x2+4x-4)小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言. （四）实例探究，归纳定理零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]；（2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点．（ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点．（ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点．（ × ）例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )．解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．x1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2c bd ax O y由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4 f (x ) －－＋＋结合函数的单调性，f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点．练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 23 9 －7 11 －5 －12 －26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）（七）布置作业：习题3.1A 组 26O xy 2 1 3 4g (x )h (x )。

高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

探究一次函数与x轴的交点，方程x+1=0的根
函数
函数图像
函数与x轴的交点
方程
方程的根
（-1,0）
x+1=0
x=-1
给出函数零点概念
零点：对于函数 ,我们把使的实数x叫做函数的零点。
注意：零点是实数不是点。
探究二、函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的关系
情景设计：请大家完成下列表格别完成以下问题
例2：求函数y= 的零点
解：y=x( ) =x( )=x(x )(x )
令x(x )(x )=0
解得：
所有函数y= 的零点为，0,1，-1
思考：请同学们思考，若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的一条曲线，那么是不是函数在区间[a,b]就一定没有零点？
课堂总结：
1：函数的零点，方程的根，函数图象与x轴的交点间的关系；
2：基本初等函数的零点
3：零点的存在性定理
作业：
无交点
无
方程的根，函数与x轴的交点，函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
（零点=f(x)＝0的根=图象与x轴的交点的横坐标）
函数零点的计算方法
1、图象法（画图象找与x轴的交点）
2、方程法（令f(x）=0，求方程的根）
探究三、基本初等函数的零点
1、一次函数y=kx+b(k )的零点- ,
2、反比例函数 ( )的零点无，
3,、二次函数的零点
函数
零点
两个零点
一个零点
无零点
4、指数函数 )的零点无，
5、对数函数 ( )的零点1，
6、幂函数的零点0。

3.1.1方程的根与函数的零点教案

3.1.1 方程的根与函数的零点教案1. 教学目标本课程旨在使学生了解方程的根与函数的零点的概念，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。

具体目标如下：•了解方程的根与函数的零点的定义；•能够找到方程的根与函数的零点；•能够应用方程的根与函数的零点解决实际问题；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2. 教学内容2.1 方程的根与函数的零点的定义•方程的根：对于方程f(f) = 0，f是方程的根是指当f = f时，方程成立。

•函数的零点：对于函数f(f)，f是函数的零点是指当f(f) = 0，即函数在f = f处取得零值。

2.2 方程的根的求解•方程的根的存在性：介绍方程根的存在性判断方法，例如奇偶效应等。

•方程的根的求解方法：介绍常见的求根方法，如因式分解、配方法、公式法等。

•方程根的重数：定义方程根的重数，了解重根的概念。

2.3 函数的零点的求解•函数的零点的求解方法：介绍几种常见的求零点的方法，如图像法、几何意义法、代数法等。

•函数零点的性质：介绍零点的性质，如唯一性、存在性和多个零点等。

3. 教学过程3.1 导入与提问通过展示一道实际问题，引出方程的根与函数的零点的概念，并提问学生是否了解这些概念。

3.2 概念讲解分别介绍方程的根与函数的零点的定义，并与实际问题进行对比，使学生更好地理解。

3.3 方程的根的求解通过实例演示和练习题的讲解，引导学生掌握方程根的存在性判断方法和求解方法，并加深对重根概念的理解。

3.4 函数的零点的求解介绍函数零点的求解方法，并通过实例演示和练习题的讲解，让学生熟练运用求零点的方法。

3.5 实际问题的应用通过一个或多个实际问题的案例分析，引导学生应用所学的方程的根与函数的零点的知识解决实际问题，培养学生的问题解决能力。

4. 教学评价4.1 课堂练习在课堂上进行几道练习题，既可以检验学生的掌握程度，又可以帮助学生巩固所学知识。

4.2 作业布置布置一些作业题，要求学生独立完成，并在下节课前交回，以检验学生对方程的根与函数的零点的理解情况。

高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案新人教A版必修1

高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案新人教A 版必修1四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。

板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。

板书（方程的根与函数零点的等价关系）。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。

如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

“方程的根与函数的零点”【教学过程设计】（一）设问激疑，引出新知方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成果，比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。

随着计算机技术的发展，方程的数值解法得到了广泛的运用，如二分法，牛顿法、弦截法等，今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图：了解数学史，激发学生学习兴趣。

】问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x .问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标。

方程 0322=--x x 0122=+-x x 0322=+-x x函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y函数图象（简图）方程的实数根函数的图象与轴的交点提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标。

问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？)0(02>=++a c bx ax方程的根函数的图象（简图）图象与x 轴的交点0>∆0=∆0<∆【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。

高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案2新人教A版必修1

§4.1.1方程的根与函数的零点教学目标：（一）知识与技能：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）过程与方法：自主发现、探求理论，领会函数的零点与方程的根之间的联系．（三）情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值. 教学重难点：重点：领会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．难点：探求发现函数零点的存在性. 教学过程设计（一）回顾旧知，发现成绩成绩1 求以下方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；成绩2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数成绩3 若将上面特殊的一元二次方程推行到普通的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论能否仍然成立？0>∆0=∆0<∆（二）总结归纳，构成概念 1、函数的零点：辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（）A ．（-1，0），（3，0）；B ．x =-1；C ．x =3；D ．-1和3． 2、等价关系：变式练习：求以下函数的零点（1）65)(2+-=x x x f ；（2）12)(-=x x f （3）：xy 1=；（四）分组讨论，探求结论（零点存在性）成绩4：函数y ＝f(x)在某个区间上能否必然有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)必然有零点？（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（2）观察上面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．（3）观察屏幕上的函数图象：若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点摆布两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是（相反／互异）由以上探求，你可以得出甚么样的结论？讨论：（1）从这一结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？（5）若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内有零点，必然能得出f (a )·f (b )<0的结论吗？（6）在甚么样的条件下，就可确定零点的个数是唯一的呢？变式训练1.若函数()y f x =在区间[],a b 上的影象为连续不断的一条曲线，则以下说法正确的是 ( )A ．若()()0f a f b >，则不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =B ．若()()0f a f b <，则存在且只存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =C ．若()()0f a f b >，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =D ．若()()0f a f b <，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c = 2. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 必然存在零点的区间是（） A ．(),1-∞ B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,+∞ 3. 若函数2()f x x ax b =++的零点是2和-4，则a=,b=.（五）观察感知，例题学习试一试：你能判断出方程 3ln +-=x x 实数根的个数吗？六）反思小结,提升能力 1．函数零点的定义2．等价关系函数Y=f(x)函数Y=f(x)的图象与X 轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性和个数的判断课后考虑．求函数22)(x x f x -=的零点个数。

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点导学案新人教A版必修1

课题：3.1.1方程的根与函数的零点一、三维目标：知识与技能：结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系；过程与方法：掌握判定函数零点存在的条件，并能简单应用；情感态度与价值观：通过学习，体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。

二、学习重、难点：函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。

三、学法指导：认真阅读教材，在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数图象，由特殊到一般逐渐理解零点的概念，并会判断零点的存在。

四、知识链接：五、学习过程：（一）、认真阅读教材P86---P87页内容，思考：1．通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与x 轴的交点的关系归纳一元二次方20ax bx c ++=)0(≠a 的根与相应的二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象有什么关系？2．函数的零点的概念：对于函数y ＝f (x )，把叫做函数y ＝f (x )的零点。

注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。

3．方程、函数、图象之间的关系：方程f (x )＝0 ⇔函数y ＝f (x )的图象 ⇔函数y ＝f (x ) 。

练习：Al ．函数y ＝x －1的零点是 ( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．0D ．1A2．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是________B3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a <1B ．a >1C ．a ≤1D ．a ≥1C4．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( )A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定（二）、认真阅读教材P87---P88页内容，探究：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？1观察二次函数223y x x =--的图象我们发现函数223y x x =--在区间]1,2[-上有零点。

《方程的根与函数的零点》上课导学案

《方程的根与函数的零点》导学案一．学习目标1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系．2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．二．学习重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点．三．学习过程（一）课前思考问题1 判断方程2230x x --=根的个数，并求解问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？思考结论：问题3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？判别式ac b 42-=∆()200ax bx c a ++=≠的根 ()20y ax bx c a =++≠图象与x轴的交点0>∆0=∆0<∆（二）课堂学习函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=xx f解题小结____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________动手探究：已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象．思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？探究结论__________________________________________________________________________A ·B ·A ·B ·A ·B ·A ·B ·__________________________________________________________________________ 定理：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反馈练习：1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．2．能确定在区间()1,0上有零点的函数是（）．A ．()12+=x x fB ．()323+-=x x x fC ．()223-+=x x x fD ．()322++=x x x f3．函数()x f y =在定义域内满足()()()b a R b a b f a f <∈<⋅,,0，则函数()x f 在()b a ,内（）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点练习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2 求函数()ln 26f x x x =+-零点的个数．归纳总结____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 反思小结1.你通过本节课的学习，有什么收获？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（三）课后作业必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题选做题：已知()()221421f x m x mx m =+++-．（1）m 为何值时，函数有两个零点？（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求m 的值．。

高中数学 3.1.1 方程的根与零点学案新人教版必修1(2021年最新整理)

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《方程的根与函数的零点》学习目标：1。

掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；2零点的概念及零点存在性的判定学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？错误!方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;错误!方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;错误!方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y填下表？函数322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象函数与x 轴交点f （x)=0的根探究案：探究1：对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

注意:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值；②存在性一致:方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点．零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的.练习:求函数x x y 43-=的零点是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根)0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ∆>0∆=0∆〈0探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○，1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，=)1(f _______，)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．错误! 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．观察下面函数)(x f y =的图象错误! 在区间()b a ,上______(有/无）零点;)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．错误! 在区间()c b ,上______（有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．○，3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0(＜或＞)．○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无）零点？错误!()()d f a f • 0（＜或＞)。

新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案

§3.1.1 方程的根与函数的零点课前预学案一、预习目标1.通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数。

2.会求一些简单函数的零点二、预习过程预习课本P 86－P 87,完成下面的表格（1）解下列一元二次方程：0322=--x x ，0122=+-x x ，0322=+-x x 。

（2）画出下列函数的图象：322--=x x y ，122+-=x x y ，322+-=x x y 。

一般结论：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .提问：零点是一个点吗？（零点指的是一个）反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。

（1）y=2x-1 （2）244y x x =-+ （3）243y x x =-+（4）;3x y = （5）x y 2log = （6）xy 1=小结：方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .课内探究学案一、学习目标① 理解函数（结合二次函数）零点的概念； ② 领会函数零点与相应方程的关系； ③ 掌握零点存在的判定定理； ④会求简单函数的零点.学习重点与难点：函数零点的判别。

二、预习结果梳理：1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .2.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .3. 方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .三、预习检测：1.判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。

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3.1.1方程的根与函数的零点导学案

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高中数学 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案 新人教版必修1