福州一中2013-2014高三理数试卷及答案

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福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学理试题扫描版含答案

数学(理科)试卷参考答案与评分标准第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. C2. B3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B 12. B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．1 14． 15．222n n -+ 16.．②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→-··········································· 2分由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π····························· 5分故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······················································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ······ 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ···················································· 9分 ∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ······································································· 10分由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （开区间也可以）··································································································································· 12分18. （本小题满分12分）解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>1111==n 13n 13n na a a +∴+，又 ········································································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ·············································· 4分n 1n11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ··············································································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++……① ····································································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++……② ··················································· 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++- ··································· 9分1111331313n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- ··················································· 10分 3114323n nnn S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nnS +--∴=⨯ ················································································· 12分19. （本小题满分12分） .解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,A A A ，它们彼此互斥，且123()0.4,()0.5,()10.40.50.1P A P A P A ==∴=--=分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,B B B ，它们彼此互斥，且123()0.5,()0.3,()10.50.30.2P B P B P B ==∴=--= ····················· 2分由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ········································· ３分记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++ 所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++0.40.50.50.30.10.20.20.150.020.37=⨯+⨯+⨯=++= ······ ６分 (Ⅱ) 据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 ·········································· 7分 11(0)()()0.2P P A P B ξ===1221(1)()()()()0.40.30.50.50.37P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=132231(2)()()()()()()0.40.20.50.30.10.50.28P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯= 2332(3)()()()()0.50.20.10.30.13P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯= 33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ===⨯= ············································· 10分的数学期望 ···· 11分答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，ξ的数学期望 1.4E ξ= ··············· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ································· 2分（I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ···························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<， ················································ 6分即3x10.5<. ···································································· 7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分（II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ···················································· 10分而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ········································· 12分21. （本小题满分12分）s 解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ····························· 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，·················································································· 2分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，····································································································· 3分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ····························································· 4分（II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ·················································· 6分此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ··········································································· 7分由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-， ································ 8分从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，···· 9分此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，由题设可得22199********kmm k k =--，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································································· 10分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， ············································ 11分整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >，所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝∞，，，，∞． ······· 12分 22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++， ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ······································································ 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ··························································· 2分又∵()00f =，所以切点为()0,0. ····································································· 3分故所求的切线方程为：3y x =. ··········································································· 4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-，∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ··························································· ６分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ ７分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ····················· ８分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ····· ９分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ·················································· 10分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+． ································· 11分令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111nn n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ············································· 12分另一方面，∵()2111n n n<+，即21111n n n -<+, ∴21111n n n>-+．······························································································ 13分 ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ····································································· 14分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ································· 10分 ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ······························································ 11分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·········································································· 12分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ···························· 13分令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ·················································· 14分。

2013年高考理科数学福建卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013福建，理1)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：由z＝1＋2i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．(2013福建，理2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B．故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A．3．(2013福建，理3)双曲线24x－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()．A．25B．45C D答案：C解析：双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x=±，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离5d===.4．(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()．A．588 B．480 C．450 D．120答案：B解析：×10×(15．(2013福建，理5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14 B．13 C．12 D．10答案：B解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()．A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和答案：A解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．(2013福建，理7)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．AB． C ．5 D ．10 答案：C解析：∵AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .又|AC |=，|BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5. 8．(2013福建，理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点答案：D解析：选项A ，由极大值的定义知错误；对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．9．(2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )． A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案：C解析：∵{a n }是等比数列， ∴1mn m m n ma a +(-)+＝q mn＋m －m (n －1)－m＝q m ，∴1n nc c +＝1211121··mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅＝(q m )m ＝qm 2. 10．(2013福建，理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y ∈N，满足条件；对于B，构造函数8,1,51,13,2xyx x-=-⎧⎪=⎨(+)-<≤⎪⎩满足条件；对于C，构造函数ππtan22y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．答案：2 3解析：由3a－1＞0得13a>，由几何概型知112313P-==.12．(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案：12π解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r==r=S球＝4πr2＝4π×3＝12π.13．(2013福建，理13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝AD＝3，则BD的长为________．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2 .∵sin∠BAC＝3，∴πsin2BAD⎛⎫∠+=⎪⎝⎭∴cos∠BAD.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2＋32－2××3×3＝3.∴BD.14．(2013福建，理14)椭圆Γ：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C．若直线y x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．1解析：由直线y(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝C．又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.15．(2013福建，理15)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋x n＋…＝11x -.两边同时积分得：111112222220000011d d d d d1nx x x x x x x xx +++++=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.答案：113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由0122C C C C n nn n n n x x x ++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C1d Cd Cd Cd n n nnnnx x x x x x x ++++⎰⎰⎰⎰120(1)d n x x =+⎰，＝1111201111131|11112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E(X2)＝0×25＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．17．(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x .(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝A．又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0. 解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为2,10i i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．19．(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值； (3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)．解：(1)取CD 的中点E ，连结BE . ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA ⋅⋅n n 67=，解得k ＝1，故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩20．(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象． (1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)是否存在x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，φ∈(0，π)，故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜2，0＜cos 2x ＜12，所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增．又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π42G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．令()cos2sin x h x x=-，x ∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F(x)＝a sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋a sin x＋1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；当a＜－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2＜－1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；当－1＜a＜1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2∈(0,1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．21．(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标． (2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为ρπcos 4θ⎛⎫-⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． ①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．(1)选修4—2：矩阵与变换解：①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩ ②由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．(2)选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d2＜1，所以直线l 与圆C 相交．(3)选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -≥，解得12＜a≤32.又因为a∈N*，所以a＝1.②因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.。

福建省福州一中2014届高三5月校质检数学【理】试题及答案

福州一中2013-2014学年度校质检高三数学理试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知命题p ：x R ∃∈，21x =．则p ⌝是A ．x R ∀∉，21x ≠ B. x R ∀∈，21x ≠ C ．x R ∃∉，21x ≠D. x R ∃∈，21x ≠2. 设集合{}1,1M =-，{}2N a =，则“1a =”是“MN M =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．54. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为A.2-B. 3C. 4D. 65. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于A ．40B ．42C ．43D ．456.若sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α等于 A ．34 B ．34- C ．12 D ．12- 7. 函数()412x xf x +=的图象 A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y x =对称 D ．关于原点对称 8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内9. 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为12,F F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为A ．1213144e e += B. 221231144e e += C ．221231144e e += D. 221213144e e += 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩则下列说法正确的个数是①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =;③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+. A ．2 B. 3 C ．4 D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．若复数1iz i=+，则z 的共轭复数z ＝___________. 12．已知多项式()()()22012111nn n x x x b b x b x b x ++++++=++++，且满足12n b b b +++26=，则正整数n 的一个可能值为___________.13．已知圆22:440C x y x y +--=，直线60l y ++-=，在圆C 上任取一点A ，则点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 14. 已知()ln ln 1x x x '=+，则1ln exdx =⎰___________.15.已知两个非零向量a 和b 所成的角为()0θθπ≤≤，规定向量c a b =⨯，满足：（1）模：sin c a b θ=；（2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向. 这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积. 对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是___________.①0a a ⨯=; ②0a b ⨯=等价于a 和b 共线; ③叉乘运算满足交换律，即a b b a ⨯=⨯; ④叉乘运算满足数乘结合律，即()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[]100,0，样本数据分组为[)20,0，[)40,20，[)60,40，[)80,60，[]100,80，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿.（Ⅰ）求频率分布直方图中x 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求ξ的分布列及其数学期望.17. （本小题满分13分）已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求二面角E AD B --的余弦值;（Ⅱ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ BQ ⊥，若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明说明理由.18. （本小题满分13分）如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，1,AB BC ==,M N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为A MN '∆，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=．（Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；（Ⅱ）求线段A N '长度的最小值．19. （本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点,其焦点()(),00F c c >到直线l :20x y -+=（Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点，圆M 与y 轴相切. （i ）试证：存在一定圆N 与圆M 相外切，并求出圆N 的方程；（ii ）若点P 是直线l 上任意一点，,A B 是圆N 上两点，且AB BN λ=，求PA PB ⋅的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k Z ∈，且()f x kx k >-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；（III ）若()*2ln 23ln 3ln 3,k a k k k k N=+++≥∈，证明：311nk ka=<∑()*,n k n N ≥∈．21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2413M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2010N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）求圆221x y +=在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l的参数方程为：()2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线l 与曲线C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,a b 为正实数.（Ⅰ）求证:22a b a b b a+≥+；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）一．选择题BACDB BADCC 二．填空题 11.12i -；12. 4；13. 14；14. 1；15. ①②④三．解答题16.解：（I ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …3分（II ）设中位数为y ，则()200.0125200.0250.5y ⨯+-⨯=，解得30y =所以中位数估计为30分钟. ……6分（III ）依题意得13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分 ()()33131102813128P P C ξξ⎛⎫===⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭()32313228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()311328P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………11分所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P18 38 38 18 所以ξ的数学期望是13322E ξ=⨯=..……………13分17. 解：（I ）由三视图知，,,CA CB CE 两两两垂直，以C 为原点，以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．……………1分则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=……………3分设面ADE 的法向量为(),,n x y z =，面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=则有00n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430440y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，取1z =得31,,14n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m AB m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4400x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =得()1,1,0m =，……………… 6分设二面角E AD B --的大小为θ，由图可知θ为钝角故31cos cos ,41n m n m n mθ+⋅=-=-=-=∴二面角E AD B --的余弦值为．…………………………… 8分（II ）∵点Q 在棱DE 上，∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=………………… 9分()()()0,0,10,4,30,4,31BQ BD DQ BD DE λλλλ∴=+=+=+-=-+同理()4,44,31AQ λλ=--+………………… 11分,0AQ BQ AQ BQ ⊥∴⋅=即()()()2444+3+1=0λλλ--解得15λ=所以满足题设的点Q 存在，DQ 的长为1.…………………………13分18. 解：（I ）设MA MA x '==，则1MB x =-．在Rt MBA '∆中，()1cos 2xxπθ--=，………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ===-．………4分∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合， ∴42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．…………5分（II ）在AMN ∆中，23ANM πθ∠=-，2sin sin 3AN MA πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭, 21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθθθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………… 8分令2212sin sin 2sin sin sin cos 32t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos2sin 22226πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366πππθ<-<．当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32. ∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 13分 19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24y cx =,2=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. …………4分(Ⅱ) （i ）设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于点M ''，则1M MF MM r ''==+，所以圆M 与以F 为焦点，1为半径的圆相切，圆N 即为圆F ，圆N 的方程为()2211x y -+=;…………8分(ii)由AB BN λ=可知，AB 为圆N 直径，…………9分从而()()()22211272PA PB PN NA PN NBPN PN NA NB NA NB PN ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-⎛≥- ⎝⎭=所以PA PB ⋅的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………13分 20.解：（I ）因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．………………… 1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3，所以()e 3f '=，即ln e 13a ++=．所以1a =．………………… 2分（II ）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，………………… 4分，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………… 5分因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，6分所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．……… 7分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………… 8分（III ）由（II ）知()ln 231x x x x >->，取()*2,x k k k N =≥∈，则有2ln 2223,3ln3233,,ln 23k k k >⋅->⋅->⋅-将上面各式相加得()()()222ln 23ln 3ln 22331211k k k k k k k +++>+++--=-+=-即()21k a k >-，故()()()211131(2)1k k a k k k <=≥---，所以 ()()3311111112231211111 1223211111nk kn a a a n n n n n ==++<+++⨯⨯--=-+-++---=--<∑…………………14分21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于24213=，∴M -1=1322112M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, ∴1X M N -==32201021100012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭；…………………3分（Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M -对应的变换作用下变为(),x y ''则10000x x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则0x x y '=⎧⎨'=⎩，所以作用后的曲线方程为0(11)y x =-＃.…………………7分（2）解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………4分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,代入ax y 22=得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+，因为2MN PM PN =，所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………7分（3）（Ⅰ）证明：0,0a b >>，由柯西不等式得()()222a b b a a b ba ⎛⎫++≥+=+ ⎪⎝⎭=a b =. 所以22a b a b b a+≥+.…………………4分（Ⅱ）解：01,10x x <<∴->由（Ⅰ）知，()221111x x y x x xx-=+≥-+=-，当且仅当1x x -=，即12x =时等号成立.所以函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值为1. …………………7分。

福建省福州市2014届高三质检数学理试题 Word版含解析

2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)lg },{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =∅，则是实数a 的取值范围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 0a <D. 0a≤2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是（）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 【答案】B4.命题“x R ∃∈，使得()f x x =”的否定是（） A. x R ∀∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ∀∈都有()f x x ≠ D. x R ∃∈使()f x x ≠5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.166.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是 ( )BAxxx7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A. ()sin f x x x =+ B. cos ()xf x x=C.()cosf x x x = D. 3()()()22f x x x x ππ=--x考点：1.函数的图像.2.分类讨论.3.列举排除的数学思想.4.归纳化归的数学思想.8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为（） A.2B.C.D. 29.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3D.2x【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，所以函数()f x 为偶函数，又因为f(2－x)=f(x)，所以函数()f x 关于直线1x =对称.因为函数H(x)= |xe x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程()x f x xe =的解的个数.等价于函数x y xe =和函数()y f x =的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点.故选B.考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.10.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（） A.(2B. C. 37(,25)4D. (5,25)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）.12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.14.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为____________.俯视图侧视图正视图15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足*()()2m ma f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为20072007()250122a f ==⨯+，2008(1004)2502a f ==⨯，20092009()250222a f ==+⨯，2010(1005)125022a f ==-+⨯+，2011250222a =-+⨯+，20122503a =⨯，201325032a =+⨯，2014125032a =-+⨯+.所以20142006S S -=8042.考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：21006542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.(II)ξ的取值为1，2，3. 12823101(1),15C C P C ξ⋅===21823107(2),15C C P C ξ⋅===157)3(3100238=⋅==C C C P ξ 所以ξ的分布列为故的数学期望为123.1515155E ξ=⨯+⨯+⨯=（）考点：1.茎叶图的知识.2.列举对比的数学思想.3.数学期望的计算.4.概率知识.17.（本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，18.(本小题满分13分) 如图，直角梯形ABCD 中，090,24ABC AB BC AD ∠====,点,E F 分别是,AB CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF .（Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD CG ⊥;（Ⅱ）当2B ADGE D GBCF V V --=时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.EB【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）因为当AG GC +最小时，及连结AC 与EF 的交点即为G 点，通过三角形的相似可得到EG 的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相(Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0),∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩19.(本小题满分13分) 已知动圆C 过定点（1,0），且与直线1x =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,①当2παβ+=时，求证直线AB 恒过一定点M ；②若αβ+为定值(0)θθπ<<，直线AB 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数1()ln()f x x axa=+-,其中a R∈且0a≠（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；（Ⅲ）若存在1210,0x x a-<<>,使得12()()0f x f x ==,求证：120x x +>. 【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）2ea >；（Ⅲ）参考解析【解析】()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a -> 即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >21.本小题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则安所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应提好右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵3A c ⎛= ⎝3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵；（Ⅱ）计算314A ⎛-⎫⎪⎭⎝ 【答案】（Ⅰ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A;（Ⅱ）429434⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）因为已知矩阵3A c ⎛= ⎝ 3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A 中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A 的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论.（2）(本小题满分7分)选修4-4：坐标与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为:2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若(2,4)P --求PM PN +的值.（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲设函数()43f x x x =-+-, （Ⅰ）求()f x 的最小值m ；（Ⅱ）当23(,,)a b c m a b c R ++=∈时,求222a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）114【解析】试题分析：（Ⅰ）因为()43f x x x =-+-,所以通过绝对值的基本不等式a b a b +≥-，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.亿折网一折网。

2014年福建省高考数学试卷(理科)

2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5.00分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5.00分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．（5.00分）（2014•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．144．（5.00分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．5．（5.00分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．406．（5.00分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．（5.00分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5.00分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）9．（5.00分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．610．（5.00分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4.00分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y 的最小值为．12．（4.00分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．13．（4.00分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14．（4.00分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．（4.00分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13.00分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．17．（13.00分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．（13.00分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（13.00分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．（14.00分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．21．（7.00分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7.00分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．C；2．A；3．C；4．B；5．B；6．A；7．D；8．B；9．D；10．A；二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．1；12．2；13．160；14．；15．6；三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．；17．；18．；19．；在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．；21．；五、选修4-4：极坐标与参数方程22．；六、选修4-5：不等式选讲23．；。

福建省福州一中2014届高三5月校质检理综试题 Word版含答案.pdf

，再经过20s停止运动。该物体的速度与时间的关系如图所示。求：
（1）整个过程中物体的位移大小；
（2）物体与地面的动摩擦因数。21.（19分）如图所示，在xoy平面内的y轴左侧有沿y轴负方向的匀强电场，y轴右
侧有垂直纸面向里的匀强磁场，y轴为匀强电场和匀强磁场的理想边界。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。（16分）中学化学常见的物质A、B、C、D之间存在如下转化关系
：A + B →C + D + H2O（没
有配平）请按要求填空：
（1）若A为短周期元素组成的黑色固体单质，与B的浓溶液共热时，产生C、D两种气体。C、D两种气体均能使澄清
（3）若A在水中的溶解度随温度的升高而降低；B为短周期非金属单质，C是漂白粉的有效成分之一，C发生水解反
石灰水变浑浊，则该反应的化学方程式是：______________________，鉴别这两种气体不能选用的试剂是
___________。a．BaCl2溶液
b．KMnO4溶液
c．品红溶液
d．酸化的Ba(NO3)2溶液向500mL 2mol?L-
1的NaOH溶液中通入0.8mol无色无味的C气体，恰好反应完全，此时反应混合液中物质的量最大的微粒是
D．可用BaCl2溶液除去粗盐中的SO42－
10．下列实验能达到目的的是（）
A．检验SO2具有漂白性B．配制0.1 mol?L-1NaOH溶液时定容C．分离出碘水中的碘D．配制一定浓度硫酸溶液
11．对于可逆反应mA(g) + nB(g) pC(g) + qD(g)，若其它条件都不变，探究催化剂对反应的影响，可得到如下两

福建省福州一中2013届高三数学模拟试题理新人教A版

福州一中2012-2013年高三数学（理）模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知复数1iz i=-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C. 第三象限． D ．第四象限 2．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 ( ) 3．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是 ( )A ．⊥-)( B.||||a = C ．1=⋅b a D ．b a // 4．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题；B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．函数()f x =ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图像大致是 ( )6．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ．则其中真命题的是（） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7.已知抛物线243x y =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.324 B.6C.3D.38．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A ︒=，则sin b Bc= ( )A ．12B ．22C ． 32D ．349. 设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则b a 11+的最小值为 ( )A ．625B ．38C ．311 D ．410．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。

2014届福建福州一中高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2014届福建福州一中高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：208分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（）A ．85B ．82C ．80D ．762、已知集合且={直线}，={平面}，，若，有四个命题①②③④其中所有正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．④3、已知点为坐标原点，动点满足，则点所构成的平面区域的面积是（）A ．12B ．16C ．32D ．644、已知某个几何体的三视图如右下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是 ( )A ．B ．C ．D ．5、执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A ．B ．C ．D ．6、设的内角所对边的长分别为若，则角（）A ．B ．C ．D ．7、若且命题，命题，则是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8、已知i为虚数单位，则（）A． B． C． D．9、设全集,，，则（）A． B． C． D．10、已知锐角满足,则的最大值为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的. 若,是的两个不相交的非空子集，且有有，有四个命题：①中至少有一个关于乘法是封闭的；②中至多有一个关于乘法是封闭的;③中有且只有一个关于乘法是封闭的；④中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .12、已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .13、在平面直角坐标系中，直线（）与曲线及轴所围成的封闭图形的面积为，则．14、某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取___名学生.三、解答题（题型注释）15、已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）已知都是正数，且，求证：16、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.17、二阶矩阵M 有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M 对应的变换将点变换成点．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．18、已知函数（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；（2）设分别为的极大值和极小值，其中且求的取值范围．19、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，点是双曲线右支上相异两点，且满足为线段的中点，直线的斜率为（1）求双曲线的方程；（2）用表示点的坐标；（3）若，的中垂线交轴于点，直线交轴于点，求的面积的取值范围．20、已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.21、平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案1、B2、D3、C4、B5、A6、B7、A8、B9、C10、D11、①12、13、114、4015、（1）2；（2）参考解析16、（1）2；（2）或17、（1）（2），18、（1）；（2）19、（1）；（2）；（3）20、（1）;（2）21、（1）参考解析；（2）【解析】1、试题分析：因为函数在上是单调函数，又因为也是单调函数.因为满足对任意，都有.所以必须满足为定值.否则的值跟着x的变化而变化，则又由于函数在上是单调函数，所以不可能使得成立.所以令.即.又因为.即，所以.所以.故选B.考点：1.函数的单调性.2.函数的图像的应用.3.知识超越方程的解法.2、试题分析：因为且={直线}，={平面}，..所以表示直线或平面.当表示平面时不成立，即直线可能在平面上，所以①不正确.若是直线则不成立，直线与直线还有另两种都关系都可以.所以②不正确.同样若为直线不成立.显然D是正确的.故选选D.考点：1.集合的定义.2.线面的位置关系.3.分类的数学思想.4.集合与空间知识的交汇.3、试题分析：由于点为坐标原点，所以设.所以.所以.由可得.所以可行域是一个对角线为8的正方形，所以面积为.故选C.考点：1.向量的数量积.2.线性规划.3.绝对值不等式的解法.4、试题分析：由三视图可得到原直观图是一个三棱锥，一个面垂直于底面，底面是一个底边为6，高为4的等腰三角形.所以底面积为.三棱锥的高为3.所以这个几何体的体积是.故选B.考点：1.三视图的知识.2.空间想象能力.3.三棱锥的体积公式.5、试题分析：有程序框图可得，当k=1时，进入程序框图运算得到.k=3.对k=3进行判断是否成立.接着又进入循环结构得到.在进行判断.接着得到.直到.在进行成立所以退出循环.所以输出的=.故选A.考点：1.程序框图的循环结构.2.递推列举的思想.3.等比数列求和.6、试题分析：由于的内角所对边的长分别为若.所以有正弦定理可得.又因为.所以.故选B.考点：1.正弦定理.2.三角函数的二倍角公式.3.解三角方程7、试题分析：因为且命题，所以可得，所以充分性成立.又因为由可得或.所以必要性不成立，故选A.本小题关键是要熟练掌握二次不等式的解法.考点：1.二次不等式的解法.2.对参数的正确理解.8、试题分析：.故选B.本题关键是考查复数的乘法与除法运算，其中是解题的关键，由此原来实数的平方差公式就变成了平方和公式，即.这也导致成为易错点.考点：1.复数的运算.2.复数的表示形式.9、试题分析：因为全集,，所以,又因为所以.故选C.本小题通过集合的列举法表示法，考查集合的补集，并集的知识，属于基础题型.考点：1.集合的补集的概念.2.集合的并集的概念.10、试题分析：由可得（*）.因为由锐角所以（*）式是一个关于的二次方程，且存在正实根.假设存在实根韦达定理可知，两根之和为.两根之积为.所以只需要判别式大于或等于零.即.故选D.本小题解题有一定的难度.是一道知识交汇较特殊的好题.考点：1.三角函数的恒等变换.2.二次函数的根的分布.3.构造二次函数模型解决最值问题.11、试题分析：因为关于乘法封闭的规定是.是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.如果代表负数集合，代表非负数集合，则成立, 且有有.但是.所以不是乘法封闭.所以④不正确. 如果代表奇数集合，代表偶数集合，则成立, 且有有.显然都是乘法封闭的，所以②③都不正确. 若都不满足乘法封闭，有.假设，若存在，则与题意矛盾.所以①正确.故填①考点：1.集合的概念.2.新定义的概念的理解.3.列举特值解题的思想.12、试题分析：左焦点为.连结可得四边形是矩形，所以.所以又所以. .又因为，.所以.即.因为所以.所以.故填.考点：1.直线与圆的位置关系.2.椭圆的性质.3.椭圆的定义.13、试题分析：因为在平面直角坐标系中，由定积分的知识可得直线（）与曲线及轴所围成的封闭图形的面积为.所以解得.故填1.本小题考查的是曲面面积转化为求定积分的知识.考点：1.定积分的几何意义.2.导数的逆运算问题.3.数形结合解题的思想.14、试题分析：由学校高一、高二、高三共有2400名学生，又由高一有820名学生，高二有780名学生，所以高三共有学生800名.由分层抽样调查的方法可知，高三抽取的人数为高三人数占总人数的比例乘以样本容量即相同高三所抽取的学生占.故填40.考点：1.分层抽样知识.2.样本容量的构成.15、试题分析：（1）含绝对值的不等式的解法主要通过两种方法解决，一是利用绝对值的几何意义，其二是通过平方来处理.由于函数，且的解集为，所以可得.即的值.本小题另外用三项的均值不等式来证明.（2）通过（1）可得的值，根据题意利用通过柯西不等式可证得结论.试题解析：（1）方法一：,,所以，且所以又不等式的解集为,故;方法二：即:，且，不等式的解集为,所以方程的两个根为，故;（2）证明一:，当且仅当时,等号成立.证明二：，当且仅当时,等号成立.考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.16、试题分析：（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或考点：1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.17、试题分析：（1）由于二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点.所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.（2）求矩阵M的特征值，根据特征多项式.即，可求得的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量.试题解析：（1）解：（1）设M=，则由=6得=，即a+b=c+d=6．由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，所以M=（2）由（1）知矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为6与．当时，故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为．考点：1.矩阵的变换.2.特征向量特征值的求法.3.线性问题模型化.18、试题分析：（1）因为函数，所以要求函数存在极大值和极小值即对函数的求导，要保证导函数的对应的方程有两个不相等的正实根.所以通过判别式大于零和韦达定理中根与系数的关系即可得到结论.（2）根据极大值与极小值的含义得到两个相应的方程，又由两个极值点的关系，将其中一个消去，由两个极值相加可得关于关于极大值点的等式从而通过基本不等式求最值即可.试题解析：（1）其中由题设知且关于的方程有两个不相等的正数根，记为满足化简得经检验满足题设，故为所求.（2）方法一：由题设结合知，且所以，因为，所以在区间是减函数，所以设且，所以在区间上是减函数，所以因此方法二：由题设结合知且所以，设，，所以在区间上是增函数，而，设，则在时是增函数，所以当时，，即，所以且因此方法三：由方法一知设，则所以在区间上是增函数，而所以方法四：前同方法二知，当时，关于的方程有两个不相等的正数根那么即解得，下同方法二.考点：1.利用导数求极值.2.利用基本不等式求极值.3.函数与不等式的关系.4.消元解方程的思想.19、试题分析：（1）求双曲线的标准方程只需找到两个关于的两个等式，通过解方程即可得到的值，从而得到双曲线方程.（2）由直线AB的方程与双曲线方程联立，消去y可得关于x的一个一元二次方程，判别式必须满足大于零，再由韦达定理可表示出点D的坐标，又根据即可用k表示点D的纵坐标.从而可求出点D的坐标.（3）的中垂线交轴于点，直线交轴于点求的面积.通过直线AB可以求出点N的坐标，又由线段AB的中垂线及中点D的坐标，可以写出中垂线的方程，再令y=0，即可求出点M.以MN长为底边，高为点D的纵坐标，即可求出面积的表达式.再用最值的求法可得结论.试题解析：（1）双曲线的方程为；（2）方法一：设直线的方程为代入方程得当时记两个实数根为则∴的方程为把代入得下求的取值范围：法一：由得即而所以化简得法二：在中令得即所以再结合得；方法二：两式相减得（3）由（2）可知方程中令得设点的坐标为由得∴考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3.三角形的面积的求法.4.最值的求法.20、试题分析：（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此考点：1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.21、试题分析：（1）直线与直线垂直的证明通过转化为证明直线与平面垂直，由于通过翻折为两个垂直的平面所以只需证明直线AB垂直与两个平面的交线BD即可，通过已知条件利用余弦定理即可得到直角.（2）求二面角的问题通常就是建立空间直角坐标系，根据BD与DC垂直来建立.通过写出相应点的坐标，以及相应的平面内的向量，确定两平面的法向量，并求出法向量的夹角，再判断法向量的夹角与二面角的大小是相等还是互补，即可得到结论.试题解析：（1）在中，所以所以，因为平面平面，所以平面，所以；…3分（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），A（，0，1）设平面ABC的法向量为，而由得：取再设平面DAC的法向量为而由得：取所以即二面角B-AC-D的余弦值是考点：1.线线垂直的判定.2.面面垂直性质.3.二面角的求法.4.空间坐标系的应用.5.法向量的求法.。

2014年福建高考理科数学试题详解_(word解析版)

2014年福建高考理科数学试题（word解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．【2014年福建卷（理01）】复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C． 2﹣3i D． 2+3i【答案】C【解析】∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．【2014年福建卷（理04）】若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．【2014年福建卷（理05）】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．40【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B【2014年福建卷（理06）】直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A【2014年福建卷（理07）】已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B． f（x）是增函数C． f（x）是周期函数D． f（x）的值域为[﹣1，+∞）【答案】D【解析】由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D【2014年福建卷（理08）】在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【答案】B【解析】根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B【2014年福建卷（理09）】设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D【2014年福建卷（理10）】用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c)5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【答案】A【解析】所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置【2014年福建卷（理11）】若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_________ ．【答案】1【解析】作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【2014年福建卷（理12）】在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．【答案】【解析】∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：【2014年福建卷（理13）】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）【答案】160【解析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【2014年福建卷（理14）】如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_________ ．【答案】【解析】由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：【2014年福建卷（理15）】若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是_________ ．【答案】6【解析】由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【2014年福建卷（理16）】已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【2014年福建卷（理07）】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===【2014年福建卷（理18）】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X160 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 20 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．【2014年福建卷（理19）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1【2014年福建卷（理20）】已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换【2014年福建卷（理21）】已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为五、选修4-4：极坐标与参数方程【2014年福建卷（理22）】已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2六、选修4-5：不等式选讲【2014年福建卷（理23）】已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．( 1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3。

数学_2013-2014学年福建省福州某校高三(上)第三次质检数学试卷(理科)(含答案)

2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合M ={x|y =2x }，P ={x|x ≥1}，则M ∩P =( ) A {x|x ≥0} B {x|x >1} C {y|y >0} D {y|y ≥1}2. 已知复数z 1＝cos23∘+isin23∘和复数z 2＝cos37∘+isin37∘，则z 1⋅z 2为（） A 12+√32i B √32+12i C 12−√32i D √32−12i3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( )A 8B 4C 2D 14. 若函数y =f(x)在R 上可导且满足不等式xf′(x)>−f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（）A af(b)>bf(a)B af(a)>bf(b)C af(a)<bf(b)D af(b)<bf(a) 5. 已知函数f(x)=sinx −cosx 且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1+sin 2x cos 2x−sin2x=()A −195 B 195 C 113 D −1136. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6+a 8=20，那么S 13的值是（） A 65 B 70 C 130 D 2607. 已知向量a →，b →，那么“a →⋅b →=0”是“向量a →，b →互相垂直”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 设在函数f(x)=xcosx −sinx 的图象上的点(x 0, y 0)的切线斜率为k ，若k =f′(x 0)，则函数k =f′(x 0)，x 0∈[−π, π]的图象大致为（）A B CD9. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +ln(1+1n)(n ∈N ∗)，则a n =( ) A 3ln(n +1) B 3+lnn C 3+ln(n +1) D 3+ln(21+32+⋯nn+1)10. 已知f(x)是R 上的偶函数，将f(x)的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=( ) A 1 B 0 C −1 D −1005.5二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上. 11. 已知a 为实数，i 为虚数单位，|a+i i|=2，则a =________．12. 已知函数f(x)=x 2(ax +b)(a, b ∈R)在x =2时有极值，其图象在点（1, f(1)）处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f(x)的单调减区间为________．13. 在等比数列{a n }，中，a n >0，且a 5⋅a 6•…•a 12=81，则a 4+a 13的最小值为________． 14. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A(1, cosθ)，B(sinθ, 1)，θ∈(0,π2]，则当△OAB 的面积达最大值时，则θ=________． 15. 函数f(x)={2|x−1|，x ≤2−12x +3，x >2，实数a ，b ，c 互不相同，若f(a)=f(b)=f(c)=d ，则a +b +c +d 的范围为________．三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）给定数列{c n }，如果存在实常数p ，q ，使得c n+1=pc n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，我们称数列{c n }是“R 族数列”．证明：若数列{b n }的前n 项和为是S n =n 2+n ，数列{b n }是“R 族数列”，并指出它对应的实常数p ，q ．（2）若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=2n (n ∈N ∗)，求数列{a n }前2013项的和． 17. 已知：a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2). (1)若|c →|=2√5，且c → // a →，求c →的坐标； (2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．18. 已知在同一平面内的两个向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))，其中ω>0，x ∈R ．函数f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的最小正周期为π．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间．19. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，对于任意a ，b ∈R 且当a +b ≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b>0．（1）求证：f(x)在R 上是的增函数；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立，求实数m 的取值范围．20. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120˚，BC=AC=3，点D在线段AB上．（1）若CD=√3，求BD的长；（2）若点E在线段DA上，且∠DCE=30˚，问：当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. C9. B10. B11. ±√312. (0, 2)13. 2√314. π215. (6, 7)16. （1）证明：∵ 数列{b n}的前n项和为是S n=n2+n，∴ 当n=1时，b1=S1=1+1=2，当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，∵ b1=2也适合上式，∴ b n=2n，(n∈N∗)，又∵ b n+1=2(n+1)=b n+2，(n∈N∗)，∴ 数列{b n}是“R族数列”，对应的实常数分别为p=1，q=2．（2）∵ a1=2，a n+a n+1=2n(n∈N∗)，∴ a 2+a 3=22，a 4+a 5=24，…，a 2010+a 2011=22010，a 2012+a 2013=22012．∴ S 2013=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2012+a 2013=2+22+24+⋯+22012， ∴ S 2013=2+4(1−41006)1−4=22014+23故数列{a n }前2013项的和S 2013=22014+23．17. 解：(1)设c →=(x,y)， ∵ |c →|=2√5，且c → // a →， ∴ {y −2x =0，x 2+y 2=20，解得{x =2，y =4，或{x =−2，y =−4，故c →=(2,4) 或c →=(−2,−4)． (2)∵ (a →+2b →)⊥(2a →−b →)， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=0，即2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0， ∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0，整理得a →⋅b →=−52，∴ cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，又∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．18. 解：（1）由向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))，得f(x)=a →⋅b →=√3sinωx +cos(ωx +π3)+cos(x −π3)−1=2sin(ωx +π6)−1．由2πω=π，得ω=2． ∴ f(x)=2sin(2x +π6)−1；（2）将函数的图象向右平移π6个单位后，得到函数y =g(x)的解析式为g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]−1=2sin(2x −π6)−1，由题意，得2kπ−π2≤x ≤2kπ+π2，k ∈Z ，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，∴ 函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间是[0,π6]．19. 解：（1）不妨设x 1<x 2，由f(a)+f(b)a+b>0，得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，又f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，而x 1−x 2<0 ∴ f(x 1)<f(x 2)∴ f(x)在R 上是增函数．（2）∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0⇔f(mt 2+1)>f(mt −1)， ∵ f(x)在R 上是增函数，∴ 对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立即mt 2+1>mt −1对任意的t ∈R 恒成立即mt 2−mt +2>0对任意的t ∈R 恒成立．当m =0时，不等式即为2>0恒成立，合题意；当m ≠0时，有{m >0△=m 2−8m <0，即0<m <8综上：实数m 的取值范围为0≤m <8．20. 解：（1）在△CDB 中，∠CBD =30˚，BC =3，CD =√3，由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2−2CB ⋅BD ⋅cos30∘，… 即BD 2−3√3BD +6=0，解得，BD =√3或2√3．… （2）设∠DCB =α，0∘≤α≤90∘，在△CDB 中，由正弦定理，得CD sin∠CBD=BC sin∠CDB，即CD =BC⋅sin30∘sin(150∘−α)，同理CE =BC⋅sin30∘sin(120∘−α)，…所以，S △CDE =12CE ⋅CD ⋅sin30∘=916sin(150∘−α)sin(120∘−α)=8√3sin 2(120∘−α)+8sin(120∘−α)cos(120∘−α)=4√3+8sin[(240∘−2α)−60∘]=4√3+8sin2α…∵ 0∘≤α≤90∘，∴ 0∘≤2α≤180∘．∴ 当α=45∘时，S △CDE 的最小值为4(√3+2)=9(2−√3)4．…21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f(x)的导数f ′(x)=1+lnx ．令f ′(x)>0，解得x >1e ；令f ′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0, 1e)单调递减，在(1e, +∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ．（2）若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵ x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4 故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞, 4] 证明：（3）若lnx >1e x−2ex则lnx ⋅x >xe x −2e ，由（1）得：lnx ⋅x ≥−1e，当且仅当x =1e时，取最小值；设m(x)=x ex −2e，则m′(x)=1−x e x，∵ x ∈(0, 1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， x ∈(1, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，故当x =1时，m(x)取最大值−1e 故对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx >1ex −2ex成立．。

2014年福建高考理科数学试卷(带详解)

2014年福建高考数学试题(理)第Ｉ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于( )A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算【考查方式】给出简单复数进行简化【难易程度】容易题. 【参考答案】C【试题解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱【测量目标】三视图【考查方式】给出一正视图判断其不可能是什么几何体【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A.8B.10C.12D.14【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和. 【考查方式】给出约束条件求等差数列某项值. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得3S ＝3×2＋322⨯d ＝12，解得d ＝2，则6a =a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是( )OW42(第4题图)OW43 OW44 OW45 OW46A B C D 【测量目标】对数函数、指数函数图象【考查方式】图象是否正确的判断【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由函数log a y x =的图像过点(3，1)，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝13x （），则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为3()y x =-则其函数图像不正确；选项D 中的函数为3log ()y x =-，则其函数图像不正确． 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于( ) A.18 B.20 C.21 D.40OW47(第5题图)【测量目标】带有循环结构的程序框图. 【考查方式】给定程序框图，判断输出结果. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】输入S ＝0，n ＝1，第一次循环，S ＝0＋2＋1＝3，n ＝2；第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝3；第三次循环，S ＝9＋32＋3＝20，n ＝4，满足S ≥15，结束循环，输出S ＝20. 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC △的面积为12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【测量目标】充分条件、必要条件【考查方式】判断命题的充要性【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝2111k +＜，解得k ≠0.当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝222r d -＝2，则△OAB 的面积为12×2×12＝12；当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．7.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1【测量目标】函数的奇偶性、单调性、周期性、值域【考查方式】判断函数的奇偶性、单调性、周期性、值域. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝2x ＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是( ) A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】将一个向量用两个向量表示出来【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( ) A.25 B.246+ C.27+ D.26【测量目标】圆与椭圆的基本性质【考查方式】给出圆和椭圆的标准方程求分别在圆和椭圆上两点的最远距离【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】设圆心为点C ，则圆22(6)2x x +-=的圆心为C (0，6)，半径r ＝2.设点Q ()00,x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-∴|CQ |＝22001010(6)y y -+-＝20091246y y --+＝2029()50,3y -++，当0y ＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来,依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C.()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c cc b a +++++++ 【测量目标】随机事件.【考查方式】由随机事件判断所有取法. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a 2345a a a a ++++；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋5a ；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C C C C C c c c c c +++++＝5(1),c +根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是 ()()()555432111c b a a a aa +++++++.第II 卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则y x z +=3的最小值为________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考察方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值.【难易程度】中等【参考答案】1【试题解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得min z ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.OW48(第11题图)12.在ABC △中，60,4,23A AC BC =︒== ,则ABC △的面积等于________. 【测量目标】三角函数的基本运算、正弦定理.【考查方式】给出约束条件利用正弦定理求三角形面积. 【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】由sin sin BC AC A B =，得sin B ＝4sin 6023＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则ABC S △＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于23.13.要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元). 【测量目标】基本不等式.【考查方式】给出约束条件求最低总造价. 【难易程度】容易【参考答案】160【试题解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×1×10＝80＋204x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥80＋20×24x x ⋅＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．14.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.OW49(第14题图)【测量目标】几何概率【考查方式】根据图形解落在阴影部分的概率【难易程度】中等【参考答案】22e 【试题解析】因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝xe 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝21e⎰ln xdx ＝2(x ln x －x )1|e＝2[(e ln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝22e . 15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.【测量目标】数组【考查方式】给出条件判断哪些是符合条件的数组【难易程度】中等【参考答案】6【试题解析】若①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d ＝4；由a ≠1，b ≠1，c ≠2，得满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4或a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d ＝4；由②不正确，得b ＝1，则满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.(1)若π02α<<，且2sin 2α=，求()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的图象与性质等基础知识.【考查方式】给出约束条件求解、求函数最小正周期和单调区间. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以2cos 2α=. 所以22211()()22222f α=+-=. (2)因为21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-112πsin 2cos 2sin(2)2224x x x =+=+,所以2ππ2T ==.由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3πππ,88k x k k π-+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z . 解法二：21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11sin 2cos 222x x =+ 2πsin(2)24x =+.(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以π4α=,从而2π23π1()sin(2)sin 24242f αα=+==.(2)2ππ2T ==,由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3ππππ,88k x k k -+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z .17.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥.将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.OW51(第17题图)【测量目标】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识【考查方式】考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想来证明线线垂直，以及线面余弦值.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为平面ABD ⊥平面B C D ,平面ABD 平面,B C DB D A B =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD内作B E B D ⊥,如图. 由(1)知AB ⊥平面,B C D B E ⊂平面,B C D B D ⊂平面,B C D 所以,A B B E A B B D ⊥⊥.以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得(0,0,0),(1,1,0),B C 11(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22D A M .则(1,1,0),BC = 11(0,,),22BM =(0,1,1)AD =- .设平面M B C 的法向量000(,,)n x y z = .则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0000011022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.取01,z =得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-.设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则6sin cos ,,3n AD n AD n ADθ⋅=<>==即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.OW50(第17题图)18.(本小题满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【测量目标】古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识【考查方式】给出事件求概率、分布列及数学期望、利用方差大小判断合理性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设顾客所获的奖励为X . ①依题意,得111324C C 1(60)C 2P X ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.2324C 11(60),(20)2C 2P X P X =====.即X 的分布列为:X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=(元). (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X20 60 100 P1623161X 的期望为112()206063E X =⨯+⨯+1100606⨯=,1X 的方差为1()D X =21(2060)6-⨯+22(6060)3-⨯211600(10060)63+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为:2X40 60 80P1623162X 的期望为21()406E X =⨯+2160806036⨯+⨯=,2X 的方差为221()(4060)6D X =-⨯+22(6060)3-⨯+21400(8060)63-⨯=. 由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)已知双曲线22221(0,0)x y E a b a b-=>>：的两条渐近线分别为122,2l y x l y x ==-：：. (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点(B A ,分别在第一，四象限)，且OA B △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.【测量目标】双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识. 【考查方式】给出约束条件求离心率、判读符合条件的直线是否存在【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以222,2,b c a a a -=∴=5c a ∴=,从而双曲线E 的离心率5e =.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为222214x y a a-=. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,则,4OC a AB a ==,又因为OAB △的面积为8,所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=.此时双曲线E 的方程为221416x y -=.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.Ow52(第19题图)设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k >2或k <-2.则(,0)mC k -，记1122(,),(,)A x y B x y .由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩,得122m y k =-,同理得222my k =+.由1212OAB S OC y y =-△得, 1228222m m m k k k-⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-.由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以0∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为221416x y -=Ow53（第19题图）20. (本小题满分14分)已知函数()ax e x f x -=(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值；(Ⅱ)证明：当0>x 时，2e xx <；(Ⅲ)证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有xce x <2.【测量目标】导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用【考查方式】利用导数的运算及导数的应用、全称量词来求未知量的值、和函数的极值、证明相关结论.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由()x f x e ax =-，得'()xf x e a =-.又(0)11f a '=-=-,得2a =.所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为l n 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.(Ⅱ)令2()xg x e x =-,则'()2x g x e x =-.由(Ⅰ)得'()()(ln 2)0g x f x f =>…,故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时,()(0)0g x g >>,即2x x e <.(Ⅲ) 解法一：①若1c …,则x xe ce ….又由(Ⅱ)知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<,令11k c=>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=.所以当2x >时,'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知l n ,l n 2,50k k k k>>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2xx ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.解法二：对任意给定的正数c ，取04x c=,由(Ⅱ)知，当x >0时，2x e x >，所以2222,()()22x xx x x e e e =>,当0x x >时， 222241()()()222x x x x e x c c >>=,因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.21.本题设有(1)，(2)，(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A . (Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【测量目标】逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识【考查方式】利用逆矩阵求矩阵，求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵,且1221130A -=⨯-⨯=≠,所以2121133 1212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)矩阵1A -的特征多项式为21() 12f λλλ--==-- 243(1)(3)λλλλ-+=--,令()0f λ=,得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=,所以111ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量. 211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y ta x 42，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，(θ为参数). (Ⅰ)求直线l 和圆C 的普通方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 【测量目标】直线与圆的参数方程等基础知识.【考查方式】利用参数方程求直线和圆的普通方程、给出约束条件求实数a 的取值范围【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=…,解得2525a -剟.(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：2223p q r ++…. 【测量目标】绝对值不等式、柯西不等式等基础知识【考查方式】利用不等式求函数的最小值、证明相关结论. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为12(1)(2)3x x x x ++-+--=…,当且仅当12x-剟时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.(Ⅱ)由(I)知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以222222()(111)p q r ++++…2(111)p q r ⨯+⨯+⨯2()9p q r =++=,即2223p q r ++….。

2014年福建卷(理科数学)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(福建卷)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i + 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若12a =，312S =，则6a 等于A ．8B ．10C ．12D ．144.若函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于 A ．18 B ．21 D ．40a)a6.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则“1k =”是 “OAB ∆的面积为12”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知函数210()cos 0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[1,)-+∞8.在下列向量组中，可以把向量(3,2)a =r表示出来的是A.1(0,0)e =u r ，2(1,2)e =u u rB.1(1,2)e =-u r ，2(5,2)e =-u u rC.1(3,5)e =u r ，2(6,10)e =u u rD.1(2,3)e =-u r ，2(2,3)e =-u u r9.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆11022=+y x 上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是A.25B.246+C.27+D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A.234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++B.523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++C. 523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++D.552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x ，则y x z +=3的最小值为 .12.在ABC ∆中，60A =o ，2AC =，BC =，则ABC ∆的面积等于 . 13.要制作一个容器为34m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 .（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 .15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，AB BD ⊥，CD BD ⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. （Ⅰ）求证：CD ⊥CD ；（Ⅱ）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.ABCDMx18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 19.（本小题满分13分）已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >），的两条渐近线分别为1l ：2y x =，2l ：2y x =-.（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点（A ，B 分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2013-2014年福建省福州市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

7．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣ax 的图象在点 A（1，f（1））处的切线 l 与直线 x+3y=0 垂直，若数列{ A． 8．（5 分）若实数 a= 方程为（ A．x=0 ） B．x=﹣ C．﹣ D．x=﹣ =3 ，则 = B． }的前 n 项和为 Sn，则 S2013 的值为（ C． D．）
4．（5 分）阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则判断框中应填入的条件为（）
A．i≤4
B．i≤5
C．i≤6
D．i≤7
5．（5 分）将参加夏令营的 500 名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 500 名学生分住在三个营区，从 001 到 200 在第一营区，从 201 到 355 在第二营区，
dx，则函数 f（x）=2sinx 十 acosx 的图象的一条对称轴
9．（5 分）如图，△ABC 中，∠C=90°，且 AC=BC=4，点 M 满足（）
A．2
B．3
C．4
D．6 的离心
10．（5 分）已知实数 4，m，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线率为（ A．）足①第 n 行首尾两数均为 n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行（n≥2）第 2 个数是．
16．（4 分）给出下列命题： ①“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件； ②在△ABC 中，已知 =4， =﹣12，则| |=4；
③在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 M，MA＜1 的概率为
D．36
12．（5 分）已知函数 f（x+1）是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 x1，x2，不等式 x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式 f（1﹣x）＜0 的解集为（ A．（1，+∞）） C．（0，+∞） D．（﹣∞，1）

福建省福州一中高三数上期期末试卷理

2014-2015学年高三上期理科数学期末试卷（完卷100分钟满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}4,2,1{=A ,},log |{A x x y y B ∈==2，则=B A （） A ．{0,1,2} B ．}2,1{ C ．{0,1,2,4} D ．}4,1,0{ 2．已知复数21z i=-+，则（） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 3．下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 4.命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（）A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤D ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤5. 将函数()3sin 2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =（）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 6.一个由三个正方体组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．922+ B.11C.738D ．1022+ 7. 已知00210310a b a b a b >⎧⎪>⎪⎨-+≥⎪⎪-+≤⎩, 则()221b a +-的最小值为（）A.510B. 52C. 552 D. 54 8. 已知10a b c >>>>，对以下不等式DA(1)①11a bc c >②11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④11log log c c a b>，其中成立的是（）A. ①④B. ①②③C. ①②④D. ②③④9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )ln 1x x x '=+，且101ln e S xdx =⎰，2016S =，则30S 为（）A ．31B ．43C ．45D ．4710．已知点(0,0),(O A -若F为双曲线2213x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值X 围为（）A ．(2B ．(2C ．2)D ．(2,)+∞二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上） 11.函数32()f x x x ax =-+在1x =时取得极值，则a =_______．12. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>经过圆22:2440F x y x y +-+-=的圆心，则抛物线E 的准线与圆F 相交所得的弦长为_______． 13．已知||1OA =，||1OB =，23AOB π∠=，1124OC OA OB =+，则OA 与OC 的夹角大小为．14.数列{}n a 共有6项，其中161,4,a a ==且11,1,2,3,4,5,i i a a i +-==则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知,6A π=向量(sin ,1),(1,cos ),m B n C ==且.m n ⊥（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若点D 为边AC 的中点，且BD =求ABC ∆的面积．16． (本小题满分10分)如图(1)，BD 是边长为2的正方形ABCD 的一条对角线，如图(2)，将BCD ∆沿BD 折成一个直二面角，且EA ⊥平面,.ABD AE a = （Ⅰ）若22=a ，求证：//AB 平面CDE ； A EC D --的（Ⅱ）45．大小17．（本小题满分11分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F 点F 与椭圆E 的短轴的两个端点组成等腰直角三角形. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，点M 和点N 是椭圆E 上关于x 轴对称的两个点，点P 是椭圆E 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问：OR OS ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.18. （本小题满分11分）已知函数23()32()27, 1.xf x ex a a =--+<（Ⅰ）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的最小值．19．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题6分，请考生任选2题作答，满分12分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时先用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号凃黑，并将所选题号填入横线中. （1）（本小题满分6分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵3101,.4202M N ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的X ，求圆221xy 在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题满分6分）选修4—4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 过点(1,1),P - 且倾斜角,3πα=以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin .ρθ=（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值.（3）（本小题满分6分）选修4—5 : 不等式选讲设函数()212f x x x =-++，121()(0).a a g a a a++-=≠（Ⅰ）求函数()g a 的最小值M ；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的,M 解不等式()f x M ≥.参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：每小题4分，共16分.11.1-; 12.13.6π; 14.5. 三、解答题:本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解：（Ⅰ）由题意知sin cos 0,m n B C ⋅=+=………………………………1分又,,6A ABC ππ=++=所以5sin cos()0,6B B π+-=………………………2分法一：tan 3B =即.6B π=…………4分法二：1sin sin 0,22B B B -+=即sin()0,6B π-=……………………3分又50,6B π<<所以2()(,),663B πππ-∈-所以0,6B π-=即.6B π=…………4分（Ⅱ）设,CD x =则2,CB x =由（1）知,6A B π==所以2,3C π=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222(2)22cos ,3x x x x π=+-⨯⨯⨯……7分解得1,x =………………………8分所以2,CA CB == 因此11sin 2222ABC S CA CB C ∆=⋅⋅=⨯⨯=……1016.解：（Ⅰ）法一：如图，取BD 中点,M AD 中点,NED 中点,G 连接,,,,CM MN NG GC若22=a ，则2,GN =又2,CM =所以,GN CM =又,CM GN 都垂直于平面ABD ，故//,CM GN 所以四边形CMNG 为平行四边形， -----------2分所以//,CG MN 又//,AB MN 故//,AB CG而AB ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ；------------4分法二：如图，以点A 为坐标原点,O 以向量,,AB AD AE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0), C(1,1,2),D(0,2,0),E(0,0,22),()()2,0,0,0,2,22,AB DE ==- ()1,1,2DC =-------2分设平面CDE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则2220,20y z x y z -+=-+=，取2z =时，()10,2,2n = -----------3分则10AB n ⋅=，又AB 不在平面CDE 内，所以//AB 平面CDE ；-----------4分（Ⅱ）如图，E(0,0,a ),()()0,2,,1,1,2DE a DC =-=-，设平面CDE 的一个法向量为()2,,n x y z =，则有20,20y az x y z -+=-+=，取2z =时，()222,,2n a a =----6分又平面AEC 的一个法向量为()31,1,0n =-，------------8分因为二面角A EC D --的大小为45，所以232322n n n n ⋅=，即22220a a -+=，解得2a =，此为所求.------------10分17.解：（I）4,b c a ====故椭圆22:1;168x yE +=.…4分（Ⅱ）假设存在满足条件的点P ，设),(00y x P ，又设11(,)M x y ,11(,)N x y -,则直线MP 的方程为：),(010100x x x x y y y y ---=-………….5分令0=y ，得101001y y y x y x x R --=，…………………………………….6分上式中1y 用1y -代换得101001y y y x y x x S ++=,……………………….7分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅;……………………………………………….8分又点M 与点P 在椭圆上，故222200112(8),2(8)x y x y =-=-,……….9分得222222100101222201012(8)2(8)16()16,R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===-- 16R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅=⋅=为定值. ……………………………………….11分18. 解：（Ⅰ）22()6()x f x e x a '⎡⎤=--⎣⎦ ………1分因为()y f x =的图象在0x =处切线与x 轴平行，所以2(0)6(1)0,f a '=-=故1a =-． ………3分（Ⅱ）法一：()6()()xxf x e x a e x a '=+--+，当0x ≥时1,xe x +≥又1,a <所以0,xe x a +->………4分令(),xg x e x a =-+，则()10xg x e '=-≥，所以()xg x e x a =-+ 在[)0,+∞内单调递增，且()(0)1g x g a ≥=+. ………5分讨论：（i ）当10a +≥即11a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞内单调递增，故()0f x ≥等价于3(0)2300f a =+≥，解得a ≥，从而11a -≤<；………6分（ii ）当10a +<即1a <-时，由()xg x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增，(0)10g a =+<，当x →+∞时，()g x →+∞，故存在唯一正数0x 使得000()0xg x e x a =-+=，有00x e x a =-，……7分令()0f x '>，等价于()0,g x >得0x x >，令()0f x '<，等价于()0,g x <得00x x ≤<，因此()f x 在0x x =处取最小值，………8分02300()32()27,x f x e x a =--+又00x e x a =-，0()f x 000002323227(3)(239)x x x x x e e e e e =-+=--++，由0()0f x ≥知03,xe ≤，即00ln 3x <≤，又由00x ex a =-得00x a x e =-，而()xh x x e =-在(]0,ln3x ∈时为减函数，所以00ln 331xx e -≤-<-，即ln331a -≤<-； ………10分综合（i ）、（ii ）可知：ln331,a -≤< 因此a 的最小值为ln3 3.-…11分法二：当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，即123327(),2x e a x +≥-………5分设()g x =123327()(0)2x e x x +-≥，下求max ()g x ： ()1g x '=-2223327()2x xe e -+， …………………6分由()0g x '≥并记2,xt e =1t ≥，即32491627290t t t ---≤，亦即2(9)(42781)0t t t -++≤， ………8分故9t ≤，因此0ln3x ≤≤时()g x 为增函数， ………9分同理ln3x ≥时()g x 为减函数， ………………10分所以max ()(ln3)ln33g x g ==-，即ln33a ≥-，因此a 的最小值为ln3 3.-………………………11分19. 解：（1）解：（Ⅰ）法一：由于312,42=所以1112,322M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故100;01X M N -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦……………3分法二：设,a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由MX N =得30,31,420,422,a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 即0,0,0,1,a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故00;01X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………3分（Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M-对应的变换作用下变为(),x y ''则00,01x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0,x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦则0,x y y '=⎧⎨'=⎩所以作用后的曲线方程为0(11).x y =-≤≤ .…………………6分（2）解：（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； …………………2分（Ⅱ）直线l的参数方程是112,(1x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），…………………3分代入圆C的方程整理得21)20t t --=， …………………4分此方程有两个不相等的实数根12,,t t 则1212 2.PA PB t t t t ⋅=⋅==……6分（3）解：（Ⅰ）法一：(1)(21)()3,a a g a a ++-≥=………………2分当且仅当1a ≤-或12a ≥时，()g a 取得最小值3M =； ……………3分法二：依题设得11()123,g a a a=++-≥…………2分（下同法一）（Ⅱ）由2123x x -++≥知①当2x ≤-时，4(12)(2)3,,3x x x --+≥≤-即2;x ≤-②当122x -<≤时，(12)(2)3,0,x x x -++≥≤即20;x -<≤ ③当12x >时，(21)(2)3,x x -++≥即2;3x ≥综上所述，不等式()f x M ≥的解集是2(,0][,).3-∞+∞………………6分。

福建省福州市高三数学第一学期期终考试试卷理

福州一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷（完卷100分钟满分100分）一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．当12a <<时，复数2(1)z a a i =-+-在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 下列命题中错误．．的是 A ．命题“若2560,x x -+= 则2x =”的逆否命题是“若2,x ≠ 则2560x x -+≠” B.“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件C ．已知命题p 和,q 若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对于命题:,p x R ∃∈ 使得210,x x ++< 则¬p ：,x R ∀∈则210.x x ++≥3. 在平面直角坐标系中,若角α的顶点在坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过点(3,4)P a a -(其中0a <),则cos α的值为 A.54-B.53-C.53D.544. 已知集合{}{}22201220130,0,M x x x N x x ax b =-->=++≤若,MN R =(]2013,2014,MN =则A ．2013,2014a b ==- B. 2013,2014a b =-= C ．2013,2014a b == D ． 2013,2014a b =-=-5．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题，其中是“可换命题”的是 ①垂直于同一平面的两直线平行 ②垂直于同一平面的两平面平行 ③平行于同一直线的两直线平行 ④平行于同一直线的两平面平行 A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．③④ 6. 用反证法证明命题：“,,m n N mn ∈可被5整除，那么,m n 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 A ．,m n 都能被5整除 B ．,m n 不都能被5整除C ．,m n 都不能被5整除D ．n 不能被5整除7. 已知函数()xf x a x b =+-的零点0(,1)(),x n n n Z ∈+∈其中常数,a b 满足23,a=32,b=则n 的值是 A.2- B.1- C.0 D.1 8. 设点,O F 分别是原点和抛物线24y x =的焦点，抛物线上的点A 在其准线上的射影为B ，且60,OFB ∠=︒ 则ABF ∆的面积为A B．9．已知,,a Rb R∈∈且1,22b ab ab a≥⎧⎪≤+⎨⎪≥-+⎩A．18 B．16 C．1410．已知函数()y f x=()y f x=的解析式应为A.2ln)(xxxxf-= B.)(xfC.xxxxfln)(2-=D.xf(二、填空题：本大题共4小题，每小题3应位置.11. 函数32()1f xx x=-+在点(1,1)处的切线与函数2)(xxg=围成的图形的面积等于___.12．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若要拼成一个棱长为1的正方体，则需要这样的几何体个.13．如图所示，由若干个点组成形如长方形的图形，每条边（包括两个端点）有(2)nn≥个点，每个图形总的点数记为na，则2334452012201316161616_____.a a a a a a a a++++=14.把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆,分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且(1)q q>是这两个椭圆长轴的长的比值，那么_____.q=2n=3n=4n=正视图侧视图俯视图三、解答题:本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题8分）已知数列{}n a 的首项12a =，且13,n n a a += 数列{}n n a b -是等差数列，其首项为3，公差为2 , 其中*∈N n .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .16. （本小题10分）已知(3sin ,2cos ),(2cos ,cos ),m x x n x x ==-函数()1f x m n =-． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1,()0a f A ==，求c b +的取值范围．17. （本小题10分）如图，四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是边长为2的菱形，,2(0),3BAD PD k k E π∠==>为AB 中点.(Ⅰ)求证：ED ⊥平面PDC ；(Ⅱ)当二面角P EC D --的大小为6π时，求k 的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求直线EC 与平面PAB 所成的角θ的正弦值．PAB CDE18. （本小题10分）已知双曲线2222:1x y E a b-=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线0x y -=相切. (Ⅰ) 求双曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点时，可以使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题10分）已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”. （I ）如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.福州一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题： DCBDC CBCBA 二、填空题： 11. 16 12. 3 13. 20112012三、解答题：15. 解：（Ⅰ）由题可得：13n na a +=，∴ 数列{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴123n n a -=⨯. ………………………………2分（Ⅱ）由题知：121,2321n n n n b a n b n --=+∴=⨯++， ……………………4分∴()()21232122323233212n n n n n S n n -++=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=++-.…8分16. 解：（Ⅰ）2()22cos 12cos22f x x x x x =----2sin(2) 2.6x π=-- …………………………………2分故)(x f 的最小正周期为,π …………………………………3分由262x k πππ-=+（Z k ∈）得对称轴的方程为1,.23x k k Z ππ=+∈ ……4分（Ⅱ）由0)(=A f 得2sin(2)20,6A π--=即sin(2)1,6A π-=112,2,66662A A πππππ-<-<∴-=,3A π∴= …………………………6分解法一：由正弦定理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+)32sin(sin 32sin sin 32B B C B c b π）（ =)6sin(2π+B …………………………………8分25,(0,),(,),33666A B B πππππ=∴∈+∈ 1sin(),1,62B π⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦b c ∴+的取值范围为(]2,1. …………………………10分解法二：由余弦定理得222,1,a b c bc a =+-= 221,b c bc ∴+=+22()()1313,4b c b c bc +∴+=+≤+⋅解得2,b c +≤ ………………………8分又1>+c b ，所以c b +的取值范围为(]1,2. …………………………10分17. 解：(Ⅰ)证明：连结,DB 由题知ABD ∆为正三角形，,ED AB ∴⊥ ………………1分//,,AB DC ED DC ∴⊥又PD ⊥平面ABCD ,,ED PD ∴⊥ED ∴⊥平面PDC ；…………………………3分(Ⅱ)解法一：作DM EC ⊥于点,M 连结,PM DM 为斜线PM 在平面ABCD 的射影，,PM EC DMP ∴⊥∴∠为二面角P EC D --的平面角，故,6DMP π∠=……5分PCDE在直角三角形DEC中，,7DE DC DM EC ⋅==因为,DM =所以7k =……………………………………7分解法二：以点D 为原点O ，射线,,DE DC DP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,2,0),(0,0,2),E C P k ……………4分设平面PEC 的法向量为1111(,,),n x y z=111111(,,)(2,0)0,(,,)(0,2,2)0x y z x y z k ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩可得1(2n k = …………………………………………………5分又平面DEC 的法向量可为2(0,0,1),n =由123cos ,n n 〈〉=化简得271,7k k =∴=………………………………………………7分 (Ⅲ) 解法一：设平面PBA 的法向量为3333(,,),n x y z =333333(,,)(0,2,0)0,(,,))07x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩可得3n =…………………………………………………8分又(EC =因此sin θ=32cos ,EC n 〈〉=…………………10分解法二：设点C 到平面PAB 的距离为,h 则,C PAB V -=…………………8分 PABCD EM又21P ABC V -=因为,P ABC C PAB V V --= 所以5h = ………………………9分因此sin θ=35h EC = ………………………………………………………10分18. 解：(Ⅰ)2,1,c a b == ………………………………………2分所以双曲线E 的方程为22:13x E y -=； ……………………3分（Ⅱ）解法一：当直线l 为0y =时，((2,0),P Q F -(2,0)2,0)1;FP FQ ∴⋅=⋅= ……………………4分当直线l 不是0y =时，可设:,l x ty m =+(t ≠代入22:13x E y -=整理得222(3)230(t y mty m t -++-=≠ * ……………………6分当0∆≥即229m t +≥时，设方程*的两个根为12,,y y 满足212122223,,33mt m y y y y t t -+=-=-- 1122(2,)(2,)FP FQ ty m y ty m y ∴⋅=++⋅++22221212221215(1)(2)()(2),3t m m t y y t m y y m t ---=++++++=- ………8分当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-综上得：过定点(3M -任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点时，可以使FP FQ ⋅为定值1. …………………………………………………………10分解法二：前同解法一，得FP FQ ⋅=22221215,3t m m t ---- …………………8分由222212151,3t m m t ---=- 得2212153m m ++=，解得3m =-. …………………………………………………10分解法三：当直线l 不垂直x 轴时，设:()(3l y k x m k =-≠±代入22:13x E y -=整理得22222(31)63(1)0(k x mk x m k k --++=≠ * …………5分当0∆>即222310m k k -+>时，设方程*的两个根为12,,x x 满足222121222633,,3131mk m k x x x x k k ++==-- 1122(2,())(2,())FP FQ x k x m x k x m ∴⋅=+-⋅+-22222212122(21215)1(1)(2)()4,31m m k k x x mk x x m k k ++-=++-+++=-……7分当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =- …………………………………………………8分当直线l x ⊥轴时，:3l x =-代入22:13x E y -=得1,2323,y =±+21212(1)(1)(11,FP FQ y y y y ∴⋅=-⋅-=-+= ……………9分如果3m =-l 不垂直x 轴时也满足题设；综上得：（结论同解法一） ………………………………………10分（注：第（II ）题有一般性结论：已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为双曲线E 的左焦点.① 如果,a b ≠那么在x 轴上存在两个定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点时，可以使FP FQ ⋅为定值2.b② 如果,a b =那么在x 轴上存在一个定点(,0)2M -，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点时，可以使FP FQ ⋅为定值2.b ） 19．解：（I ）解法一：由ln ln ax x x-≤ 得2ln ,a x x ≤ ………………………1分记()2ln ,h x x x =则()2(ln 1),h x x '=+ …………………………………2分当1(0,)x e∈时，()0,h x '< 所以()h x 在1(0,)e上是减函数，当1(,)x e ∈+∞时，()0,h x '> 所以()h x 在1(,)e+∞上是增函数， …………3分因此min 12()(),h x h e e ==- 即2.a e ≤- ………………………………………5分解法二：由ln ln a x x x -≤ 得2ln 0,ax x -≤设()2ln ,a P x x x =-则22(),a xP x x --'=………………………………………1分（1）若0,a <由22()()2aP x x x '=-+知()P x 在(0,)2a -上是增函数，在(,)2a-+∞上是减函数， ………………………2分因为()0P x ≤恒成立，所以max ()()0,2a P x P =-≤解得2;a e ≤- ……………3分（2）若0,a ≥当0x >且0x →时，()2ln ,aP x x x=-→+∞此与()0P x ≤恒成立矛盾，故舍去0a ≥； ……………………………………4分综上得2.a e≤- ……………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：函数1()ln , 2.x mF x x m e ex=-+> 由（I ）知22ln ,x x e ≥-即1ln ,x ex≥- ………………………………………6分111(1)(),x x x m m e exF x e ex xe +---≥-+= ………………………………………7分设函数()(1)(0),()(1),x x P x m e ex x P x m e e '=-->=-- （1）当21m e <<+时，()P x 在(0,ln)1e m -上是减函数，在(ln ,)1em +∞-上是增函数，故()(ln)ln ,11e e P x P e e m m ≥=--- 因为2,m > 所以lnln 1,1ee m <=- 即()0;P x > ………………………8分（2）当1m e ≥+时，()()0;x x P x e e ex e e x ≥⋅-=-> ……………………9分综上知()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点. ……………………………10分解法二：前同解法一，1111()(),x x m m x F x e ex x e e--≥-+=-………………7分记1(),x m x M x e e -=- 则1(),x x M x e-'= 所以()M x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，因此min 2()(1)0,m M x M e-==> ………………………………………9分故2()0,m F x ex-≥> 所以函数()F x 不存在零点. ……………………10分解法三：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe +->………………………7分设函数()(0),(),xxP x e ex x P x e e '=->=-因此()(1)0,P x P ≥=即10,x x e exxe +-≥ …………………………………9分故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点. …………………………………10分解法四：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe+-> ………………………7分从原点O 作曲线:(0)x E y e x =>的切线,l 设切点为00(,)xA x e ，那么000:(),xxl y e e x x -=-把点(0,0)O 代入得01,x =所以:,l y ex =所以xe ex ≥（当且仅当1x =时取等号），即10,x x e exxe +-≥ …………………9分故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点. ……………………………………10分。